Формулы к семинару


Уравнение плоскости α: Ax+By+Cz+D=0, где nA; B; C- вектор нормали плоскости  .
Если М(х0;y0; z0), то расстояние от точки М до плоскости α вычисляется по формуле:
 (М ;  ) 
Ax0  By 0  Cz 0  D
A2  B 2  C 2
.


mx 2 ; y 2 ; z 2 -вектор нормали плоскости β,
Если nx1 ; y1 ; z1 - вектор нормали плоскости α;
 
n*m
 
то Cos( ˆ;  )  Cos(n ˆ; m)    
n*m
x1 * x 2  y1 * y 2  z1 * z 2
x1  y1  z1 * x 2  y 2  z 2
2
2
2
2
2
2
.


Если nx1 ; y1 ; z1 - вектор нормали плоскости α; l x0 ; y 0 ; z 0  -направляющий вектор прямой l, то
 
n
*l


Sin (l ˆ;  )  Cos(n ˆ; l )    
n*l
x1 * x 0  y1 * y 0  z1 * z 0
x1  y1  z1 * x 0  y 0  z 0
2
2
2
2
2
2
.
Задачи.
1. В правильной шестиугольной призме АВ..F1, все ребра которой равны 1, найти
расстояние от точки А до плоскости DEF1.
2. В единичном кубе АВ…D1 найти угол между прямой AD1 и плоскостью α,
проходящей через точки А1, Е и F, где Е-середина ребра C1D1, а точка F лежит на ребре
DD1 так, что D1F=2DF.
3. В правильной пирамиде MABCD (М- вершина) высота и сторона основания равны 4.
Точка F- середина ребра МС. Плоскость α проходит через середину ребра АМ
перпендикулярно прямой BF.
Найти: а) угол между плоскостью α и плоскостью основания;
б) угол между плоскостью α и прямой DM.
4.В правильной четырехугольной призме АВСDА1В1С1D1 стороны основания равны 1, а
боковые ребра равны 4. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1 = 3:1. Найдите
угол между плоскостями АВС и ВЕD1.