направляющий вектор прямой

Стереометрия
Метод координат в
задачах С2
Угол между прямыми
а
р
q
- направляющий вектор прямой b
- угол между прямыми
px1 ; y1 ; z1
р

q
cos =
- направляющий вектор прямой а

q
b
р
qx2 ; y2 ; z2 
| x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2 |
x +y +z  x +y +z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
Задача 1 В единичном кубе A...D1
найдите угол
между прямыми AE и BF, где Е – середина
ребра А1В1 , а F – середина ребра B1С1
А1
K
Е
A1D1
KAE  
К - середина
B1 F
 D
А
Решение (1 способ)
С1
D1
AK || BF
С
5
AE  AK 
2
2
KE 
2
По теореме косинусов для
B
AKE
KE  AE  AK  2  AE  AK  cos 
cos   0,8
  arccos 0,8
2
2
2
z
Решение (2 способ)
1
А(1;0;0)
Е (1; ;1)
B1 F
2
1
В(1;1;0)
F ( ;1;1)
2
С
1

 1

y АЕ 0; ;1
 BF  ;0;1
2 
2



B
С1
D1
А1
Е
D
А
x
cos =
 1 1
| 0       0  1 1 |
 2 2
2
2
1
 1
2
2
2
0    1      0 1
2
 2
2
 0,8
Задача 2 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1
все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между
прямыми AD и CE, где D и E - соответственно
середины ребер A1C1 и B1C1
z С
1
С
E
D
А1
А
1
3
2
B
1
y
B
x
y
1
2
B1
С
Решение.
А
x
Координаты правильной треугольной
призмы
z С (0;0;1)
1
1 3
B1 ( ; ;1)
2 2
А1 (1;0;1)
С (0;0;0)
y
x
А(1;0;0)
1 3
B( ; ;0)
2 2
Решение.
1
D( ;0;1)
2
z С1 (0;0;1)
1 3
Е ( ; ;1)
4 4
1 3
B1 ( ; ;1)
2 2
А1 (1;0;1)
С (0;0;0)
y
x
А(1;0;0)
1 3
B( ; ;0)
2 2
 1

АD ;0;1
 2

1 3 
СЕ  ;
;1
4 4 
 1

АD ;0;1
 2

cos =
1 3 
СЕ  ;
;1
4 4 
1 1
3
|    0
 1 1 |
2 4
4
2
 1
 1   3 
2
2
2
1
    0 1     

 2
4  4 
2
cos  =
2
7
8
5
5

2
2
 0,7
Задача 3 В правильной шестиугольной призме A...F1
все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между
прямыми AB1 и BD1
Решение.
z
F1
Е
D1
E1
А1
E
F
x
А
B
1
1
2
F
D
D
y
С1
B1
1
С
3
2
1
С
3
2
y
А
x
В
Координаты правильной шестиугольной
призмы
D
(
0
;
1
;
1
)
E
(
0
;
0
;
1
)
1
1
z
F1
E1
А1
D1
B1
Е
x
С1
D
y
F
А
В
С
А1 ( 3;0;1)
3 3
С1 ( ; ;1)
2 2
B1 ( 3;1;1)
E (0;0;0)
D(0;1;0)
3 1
F1 ( ; ;1)
2 2
3 3
3 1
F ( ; ;0) С ( ; ;0)
2 2
2 2
А( 3;0;0)
B ( 3;1;0)
Решение.
z
F1
D1
E1
А1
С1
B1
E
С
F
x
B1 ( 3;1;1)
D1 (0;1;1)
АВ10;1;1
D
А
А( 3;0;0)
B ( 3;1;0)
y


ВD1  3;0;1
B
| 0  (  3 )  1  0  1 1 |
cos =
0 1 1 
2
2
2
 3   0
2
2

1
2
1
2 2
Задача 4 В правильной четырехугольной пирамиде
SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки Е и
F – середины сторон SB и SC соответственно. Найдите
угол между прямыми AE и BF.
z
Решение.
S
F
E
D
О
x
А
В
AC  12  12  2
2
С
AО 
2
y
2
 2
2
2
 
SO  1  

2
2


Координаты правильной четырехугольной
пирамиды
z
D (0;0;0)
1 1 2
S( ; ;
)
2 2 2
С (0;1;0)
y
x А(1;0;0)
В(1;1;0)
z
D
1 1 2
S( ; ;
)
2 2 2
F
E
С (0;1;0)
y
x
А(1;0;0)
В(1;1;0)
 1 3 2
АE  ; ;

 4 4 4 
Решение.
Е- середина SB
3 3 2
Е( ; ;
)
4 4 4
F- середина SC
1 3 2
F( ; ;
)
4 4 4
 3 1 2
BF  ; ;

 4 4 4 
 1 3 2
АE  ; ;

 4 4 4 
cos =
 3 1 2
BF  ; ;

 4 4 4 
1  3 3  1
2 2
|       

|
4  4 4  4 4 4
2
 1   3   2 
 3   1   2 
       
      

 4 4  4 
 4   4   4 
2
2
1
cos  
6
2
2
1
  arccos
6
2
Угол между прямой и плоскостью
рх1; у1; z1 - направляющий вектор прямой
nx2 ; у2 ; z2  - нормальный вектор плоскости
а
n 
n
р


sin  
| x1  x2  y1  y2  z1  z 2 |
x y z  x y z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
Задача 5 В правильной четырехугольной пирамиде
SABCD , все ребра которой равны 1, найдите угол
между прямой DE, где Е- середина апофемы SF грани
ASB и плоскостью ASC
Решение.
z
S(0;0;
1
4
О
1
2
1
2
x
ОВ - вектор нормали
Е(0; ;
С
D( ; ;0)
ОВ  ASC
2
)
2
А
ASC
DE - направляющий вектор прямой
2
) 1 1
4 В( ; ;0)
2 2
1
F(0; ;0)
2
плоскости
y
 1 1 
ОВ  ; ;0
 2 2 
 1 3 2
DE  ; ;

 2 4 4 
 1 1 
ОВ  ; ;0 - вектор нормали плоскости ASC
 2 2 
 1 3 2
DE  ; ;
 - направляющий вектор прямой DE
 2 4 4 
sin  
2
 1  1 1 3
|       0
|
4
 2  2 2 4
 1 1
 1   3   2 
2
      0        

2
2
2
4
4

  

   

2
5
8
2
5
sin  

2 15
30

2
4
2
2
5
  arcsin
30
2
Уравнение плоскости, проходящей через
данную точку перпендикулярно данному
вектору
n{a; b; c}
А( x0 ; у0 ; z0 )  
В ( x; y; z )

n 
n{a; b; c}-нормальный
вектор плоскости
А( x0 ; у0 ; z0 )
В( x; y; z )  

АBx  x0 ; y  y0 ; z  z0 
n  АB  0
a( x  x0 )  b( y  y 0 )  c( z  z0 )  0
ax  by  cz  d  0
, где
d  (ax0  by0  cz0 )
Уравнение плоскости
a( x  x0 )  b( y  y 0 )  c( z  z0 )  0
ax  by  cz  d  0
, где
d  (ax0  by0  cz0 )
Если плоскость проходит через начало координат, то d=0
z
С
Если плоскость пересекает оси
координат в точках А, В, С, то
В
x
А
y
x y z
  1
A B C
уравнение плоскости в отрезках
Задача 6 Составить уравнение плоскости,
проходящей через точки А(-2;3;5), В(4;-3;0), С(0;6;-5)
и найти координаты вектора нормали.
ax  by  cz  d  0
 2a  3b  5c  d  0

4a  3b  d  0
6b  5c  d  0

d  5c  6b
 2a  3b  10c  0

4a  9b  5c  0
Решение.
5
5
a  c, b  c, d  5c
2
3
5
5
cx  cy  cz  5c  0
2
3
15 x  10 y  6 z  30  0
n{15;10;6}
Расстояние от точки до плоскости
M ( x0 ; у0 ; z0 )
n{a; b; c}

 (M , ) 
| ax0  by0  cz0  d |
a b c
2
2
2
Расстояние между
параллельными плоскостями


ax  by  cz  d1  0
ax  by  cz  d2  0
 ( ,  ) 
| d 2  d1 |
a b c
2
2
2
Задача 7 В правильной четырехугольной пирамиде
SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние
от середины ребра ВС до плоскости SCD
Решение.
z
S
y
y
А
D
В
M
С
x
А
О
2
D (0;
;0)
2
2
2
С(
;0;0)
В (0;
;0)
2
2
2
2
М(
;
;0)
4
4
x
z
Решение.
2
S (0;0;
)
2
 (M , ) 
| ax0  by0  cz0  d |
a 2  b2  c2
y
А
В
2
2
M(
;
;0)
4
4
2
D (0;
;0)
2
2
С(
;0;0)
2
x
x
y
z


1
2
2
2
2
2
2
2x  2 y  2z 1  0

2
2
  2  0 1|
| 2
 2   

4
4
1


 ( M , SCD) 

2
2
2
6
2  2  2
Угол между плоскостями
 : a1x  b1 y  c1z  d1  0
Вектор нормали плоскости  : n1{a1 ; b1 ; c1}
 : a2 x  b2 y  c2 z  d2  0
Вектор нормали плоскости  : n2 {a2 ; b2 ; c2 }
cos  
| a1  a2  b1  b2  c1  c2 |
a1  b1  c1  a2  b2  c2
2
2
2
2
2
2
Задача 8 В единичном кубе A...D1 найдите угол
между плоскостями AD1 E и D1FC , где Е – середина
ребра А1В1 , а F – середина ребра B1С1
Решение.
z
Е
А1
B1
A(0;0;0)
С1
B
А
D
x
С
D1 (1;0;1)
ax  by  cz  d  0
F
D1
1
Е (0; ;1)
2
y

d  0

a  c  d  0
1
 bcd 0
2
Уравнение плоскости
с  а
b  2a
ax  2ay  az  0
AD1E : x  2 y  z  0
Вектор нормали плоскости
AD1E :
n1{1;2;1}
z
Е
А1
D1 (1;0;1)
B1
С1
B
А
D
x
С (1;1;0)
ax  by  cz  d  0
F
D1
1
F ( ;1;1)
2
а  с  d  0
1

 abcd  0
2
a  b  d  0
y
С
a  2c
bc
d  3c
2cx  cy  cz  3c  0
Уравнение плоскости
Вектор нормали плоскости
D1FC : 2 x  y  z  3  0
D1FC : n2{2;1;1}
cos  
| a1  a2  b1  b2  c1  c2 |
a1  b1  c1  a2  b2  c2
2
2
2
n1{1;2;1}
2
2
2
n2 {2;1;1}
| 1  2  2 1  1 1 |
1
cos  

12  2 2  (1) 2  2 2  12  12 2


3