А Составить: АВ ABC

Даны вершины пирамиды
А (4,7,8);
В (-1,13,0);
С (2,4,9);
D(1,8,9)
Составить:
а) уравнение ребра АВ,
б) уравнение грани ABC,
в) уравнение высоты DE,
г) уравнение прямой, проходящей через точку D параллельно ребру АВ,
д) уравнение плоскости перпендикулярно ребру АВ .
Вычислить:
е) длину ребра ВС,
ж) угол между ребром CD и плоскостью ABC,
з) угол между координатной плоскостью OXY и плоскостью ABC.
Решение:
а) Так как известны координаты точек А и В, то воспользуемся уравнением
прямой проходящей через две точки
x  x1
y  y1
z  z1


.
x2  x1 y2  y1 z 2  z1
x4
y 7 z 8


 1  4 13  7 0  8
x 4 y 7 z 8


.
5
6
8
б) Так как известны координаты трех точек, то воспользуемся уравнением
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M1 (x1, y1, z1), M2
(x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3) (если они не лежат на одной прямой):
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
x3  x1
y2  y1
y3  y1
z2  z1  0
z3  z1
x4
y7
z 8
 1  4 13  7 0  8  0
24
47
x4
y 7 z 8
5
6
2
3
98
 8  0.
9
Раскрывая определитель по первой строке, получаем уравнение грани ABC
6х - 7у – 9z + 97 = 0 .
в)
вектор
Высота DE перпендикулярна плоскости
s =(m, n, p)
ABC. Направляющий
этой прямой параллелен нормальному вектору плоскости
s
n ={6; -7; -9}. Так как вектор
параллелен DE, то в качестве этого вектора
берем вектор n , т.е. s ={6; -7; -9}.
По известной точке D (1; 8; 9) и s ={6; -7; -9} уравнение высоты DE
запишется в виде
x 6 y 8 z 9


.
6
7
9
г) Направляющий вектор
s ={-5;
6; -8} прямой АВ будет являться
направляющим вектором искомой прямой в силу их параллельности. Поэтому
уравнение последней будет следующим
x 1 y  8 z  9


.
6
7
8
д) Ребро АВ имеет направляющий вектор
s ={-5;
6; -8}. Вектор
s
перпендикулярен искомой плоскости, следовательно, параллелен нормальному
вектору искомой плоскости n ={А, В, С}. Тогда в качестве нормального вектора
n можно взять вектор
s , т.е. n ={- 5; 6; - 8}.
Используя уравнение плоскости имеем
 5x  1  6 y  8  8z  9  0 или
5x  6 y  8z  29  0 .
е) Для нахождения длины ребра ВС воспользуемся формулой
BC 
xc  xb 2   yc  yb 2  zc  zb 2 .
BC 
2  12  4  132  9  02
 9  81  81  171 .
ж) Для нахождения угла между ребром CD и плоскостью основания АВС
найдем sin  :
S CD
- направляющий вектор ребра CD, SCD  xD  xC , yD  yC , zD  zC  или
SCD   1;4;0. В то же время n  6,7,9.
Тогда скалярное произведение
SCD  n  1  6  4   7  0   9  6  28  34 , а длины векторов равны
SCD 
sin  
 12  42  02
 34
17  166

n  6 2   7    9  166 .
 1  16  17 ,
2
34
34

 0,64,
2822 53,122
2
  arcsin 0,64 .
з) Вычислим косинус угла между координатной плоскостью OXY и
плоскостью основания АВС пирамиды. n1  6;7;9 – нормальный вектор
грани АВС; n2  0; 0; 1 – нормальный вектор плоскости OXY. Отсюда
2
2
2
n1  n2  6  0  7  0  9  1  9, n1  6 2   7    9  166 , n2  0  0  1  1,
2
cos 
9
 0,7,
166
Выполним построение:
    arccos0,7.
2