Задания С2 на ЕГЭ. Координатный метод. Углы в пространстве.

Шабанов Никита
p  x1; y1; z1
p
а
q
q  x2 ; y2 ; z2 
b
cos   a, b  
-направляющие
вектора прямых
x1 x2  y1 y2  z1 z2
x y z
2
1
2
1
2
1
x2  y2  z2
2
2
2
№ 1. Ребро куба равно 4. Найдите косинус угла между
прямыми PQ и EF, P – середина АА1, Q – середина С1D1 ,
Е – серединаz ВВ1, F – середина DC.
Q
Р (4; 0; 2)
PQ 4; 2; 2
Q (0; 2; 4)
P
F
E (4; 4; 2)
E
у
х
cos   PQ, EF  
1
Ответ:
3
F (0; 2; 0)
EF 4; 2; 2
4   4   2   2   2   2 
1

2
2
2
2
2
2
3
 4  2  2  4    2    2 
Углом между прямой и плоскостью называется угол
между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
α - угол между прямой и плоскостью
sin   sin( 90   )  cos 
β
p
α
n
β – угол между прямой и
перпендикуляром
к плоскости
Чтобы найти синус угла между прямой
и плоскостью можно найти косинус угла
между прямой и перпендикуляром к
плоскости
ax  by  cz  d  0
n a; b; c
уравнение плоскости
- вектор нормали к плоскости
p  x1; y1; z1 - направляющий вектор прямой
 
   n, p
sin  
ax1  by1  cz1
a b c
2
2
2
x y z
2
1
2
1
2
1
№ 1 В единичном кубе найдите угол между
прямой AВ1 и плоскостью (А1EF), где Е –
1
середина В1С1, BF  BB1
3
A1 (1; 0; 1)
A (1; 0; 0)
z
E
1
F
1
х
у
1
Е (0,5; 1; 1)
B1 (1; 1; 1)
1

F 1;1; 
3

p  AB1
p 0;1;1
Запишем уравнение
плоскости (А1EF):
A1 (1; 0; 1)
Е (0,5; 1; 1)
1

F 1;1; 
3

4
2
7
cx  cy  cz  c  0
3
3
3
4
2
7
x yz 0
3
3
3
4 x  2 y  3z  7  0
ax  by  cz  d  0

a  c  d  0

1
 abcd  0
2
1

ab cd  0

3

- уравнение плоскости (А1EF).
4

a

c

3

2

b

c

3

7

d


c

3

4 x  2 y  3z  7  0
n 4; 2;3
p 0;1;1
 
- вектор нормали к плоскости
- направляющий вектор прямой
   n, p
sin  
4  0  2 1  3 1
42  22  32 02  12  12
5
  arcsin
58
5

58
Ответ: arcsin 5
58
Угол между плоскостями равен углу между
перпендикулярами к этим плоскостям.
a1 x  b1 y  c1 z  d1  0  уравнение плоскости 
a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0  уравнение плоскости 
ma1 ; b1 ; c1  
n
na2 ; b2 ; c2   
 
cos m;n 
m
a1a2  b1b2  c1c2
a b c
2
1
2
1
2
1
a b c
2
2
2
2
2
2
Например:
2 x  3 y  6 z  5  0  уравнение плоскости 
4 x  4 y  2 z  7  0  уравнение плоскости 
m 2;3;6  
n 4; 4; 2  
 
cos m;n 
4  2  3 4  6  2
22  32  62 42  42  22
16

21
№ 1. В единичном кубе найдите угол между
плоскостями (АСD1) и (ВDC1).
A (1; 0; 0) D1 (0; 0; 1)
C (0; 1; 0)
z
D (0; 0; 0) C1 (0; 1; 1)
B (1; 1; 0)
у
х
Запишем уравнения
плоскостей (АСD1) и
(BDC1):
ax  by  cz  d  0
a  d  0

b  d  0
c  d  0

a  d

b  d
c   d

dx  dy  dz  d  0
d  0

a  b  d  0
b  c  d  0

d  0

 a  b
 c  b

bx  by  bz  0
A (1; 0; 0)
C (0; 1; 0)
D1 (0; 0; 1)
D (0; 0; 0)
B (1; 1; 0)
C1 (0; 1; 1)
 
cos m;n 
 
x  y  z 1  0
m 1;1;1   ACD1 
x yz 0
n 1; 1;1   DBC1 
1 1  1 1  1 1
1  1  1 1   1  1
 m; n  arccos
2
1
3
2
2
2
2
1
Ответ: arccos
3
2
1

3
Обычный метод решения
№3
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 рёбро основания
АВ = 8 3 , а боковое ребро АА1 = 7. Найдите тангенс угла между
плоскостями ВСА1 и ВВ1С1.
Решение.
С1
∆А1В1С1 – р/с, А1Н1 – его высота,
Н1
значит А1Н1⊥В1С1
В р/б ∆ВСС1, А1Н – высота, тогда
В1
А1
НН1 – проекция наклонной А1Н на
плоскость ВВ1С1 и по теореме,
обратной теореме о 3-х ⊥ НН1⊥ВС,,
т.е. искомый угол – A1НН1.
7
Найдем его тангенс из п/у ∆ A1НН1
С
Н
В
8 3
8 3 3
 12; НН1  7
2
AH
12
tgA1HH1  1 1 
HH1
7
A1H 1 
А
Ответ:
12
.
7
Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 –
прямоугольник ABCD, в котором АВ = 5, AD = 33. Найдите тангенс
угла между плоскостью грани AA1D1D призмы и плоскостью,
проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D,
если расстояние между прямыми А1С1 и BD равно 3.
В1
С1
33
А1
5
D1
φ
3
A1D 
В
С
№1
М
А
D
Решение (продолжение)
Поскольку мы имеем дело с
п/у параллелепипедом, то
этот угол легко найти из п/у
∆B1DA1.
Угол φ − и есть угол между
гранью и диагональю.
N

33
   3
2
2
 36  6
(по теореме Пифагора
из п/у ∆AA1D)
Значит, ctg φ = 6/5.
tg (90º − φ) = ctg φ = 6/5.
Ответ: 6/5.
Угол между двумя прямыми