Е.В. Божонок ПСЕВДОКВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В

ISSN 1683-4720
Òðóäû ÈÏÌÌ ÍÀÍ Óêðàèíû.
2009.
Òîì
18
ÓÄÊ 517.98
c 2009. Å.Â. Áîæîíîê
ÏÑÅÂÄÎÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÛ Â
ËÎÊÀËÜÍÎ ÂÛÏÓÊËÎÌ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ ÑÎÁÎËÅÂÀ W21
 äàííîé ðàáîòå â òåðìèíàõ "ïñåâäîêâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèîíàëîâ"ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ
êîððåêòíîé îïðåäåëåííîñòè, êîìïàêòíîé íåïðåðûâíîñòè, êîìïàêòíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè è ïîâòîðíîé êîìïàêòíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèîíàëà ÝéëåðàËàãðàíæà â ëîêàëüíî âûïóêëîì
ïðîñòðàíñòâå Ñîáîëåâà W21 . Ðàññìîòðåíû êàê íåîáõîäèìîå, òàê è äîñòàòî÷íîå óñëîâèÿ ñèëüíîãî
K ýêñòðåìóìà â ëîêàëüíî âûïóêëîì ïðîñòðàíñòâå W21 .
Ââåäåíèå. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ.
 èçâåñòíîé ìîíîãðàôèè È.Â. Ñêðûïíèêà [1] äîêàçàíî, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå Ñîáîëåâà W21 âàðèàöèîííûé ôóíêöèîíàë èìååò îñîáûå äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà.
Òàê, â ýòîì ñëó÷àå, ôóíêöèîíàë ÝéëåðàËàãðàíæà íå ÿâëÿåòñÿ, çà èñêëþ÷åíèåì
âûðîæäåííîãî ñëó÷àÿ, äâàæäû ñèëüíî äèôôåðåíöèðóåìûì.
Âíèìàòåëüíûé àíàëèç ñèòóàöèè ïîêàçàë, ÷òî óæå êîððåêòíàÿ îïðåäåëåííîñòü
îñíîâíîãî âàðèàöèîííîãî ôóíêöèîíàëà â ïðîñòðàíñòâå Ñîáîëåâà ñâÿçàíà ñ äîïîëíèòåëüíûì òðåáîâàíèåì "ïñåâäîêâàäðàòè÷íîñòè"èíòåãðàíòà ïî y 0 . Êðîìå òîãî, íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèîíàëà â êëàññè÷åñêîì "áàíàõîâîì"ñëó÷àå C 1 ïåðåõîäèò â ïðîñòðàíñòâå W21 â K íåïðåðûâíîñòü, äèôôåðåíöèðóåìîñòüâ K äèôôåðåíöèðóåìîñòü
è ò.ä. Äëÿ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà W21 óñëîâèÿ êîððåêòíîé îïðåäåëåííîñòè, êîìïàêòíîé íåïðåðûâíîñòè, êîìïàêòíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè è ïîâòîðíîé êîìïàêòíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè âàðèàöèîííûõ ôóíêöèîíàëîâ áûëè ïîëó÷åíû
â [2], [3]. Àíàëîãè÷íîé îêàçàëàñü è ñèòóàöèÿ ñ ýêñòðåìóìàìè âàðèàöèîííûõ ôóíêöèîíàëîâ â W21 .  ýòîì ñëó÷àå ýêñòðåìóìû ÿâëÿþòñÿ, êàê ïðàâèëî ([2], [4], [5]), íå
ëîêàëüíûìè, à êîìïàêòíûìè (K ýêñòðåìóìàìè). Â ðàáîòàõ [6][9] ðàññìîòðåíû êàê
íåîáõîäèìîå, òàê è äîñòàòî÷íîå óñëîâèÿ ñèëüíîãî K ýêñòðåìóìà â ãèëüáåðòîâîì
ïðîñòðàíñòâå W21 .
 äàííîé ðàáîòå (ï.ï. 25) ìû ïîëó÷àåì óñëîâèÿ êîððåêòíîé îïðåäåëåííîñòè,
êîìïàêòíîé íåïðåðûâíîñòè, êîìïàêòíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè è ïîâòîðíîé êîìïàêòíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè âàðèàöèîííûõ ôóíêöèîíàëîâ â ñëó÷àå ëîêàëüíî âûïóêëîãî ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà W21 .  øåñòîì ïóíêòå ñòàòüè ðàññìîòðåíû äîñòàòî÷íûå è íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñèëüíîãî K ýêñòðåìóìà â ëîêàëüíî âûïóêëîì W21 .
Ââåäåì íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ ([2][5]).
Îïðåäåëåíèå 1. Áîðåëåâñêîå îòîáðàæåíèå f : Ω × Y × Z =: T → F , ãäå Ωêîìïàêòíîå ïðîñòðàíñòâî ñ êîíå÷íîé áîðåëåâñêîé ìåðîé, Y , Z , F âåùåñòâåííûå áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà, íàçîâåì ïñåâäîêâàäðàòè÷íûì ïî z (f ∈ K2 (z)), åñëè f ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå:
f (x, y, z) = P (x, y, z) + Q(x, y, z) · kzk + R(x, y, z) · kzk2 ,
(1)
1
Å.Â. Áîæîíîê
ãäå äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà C = CY ⊂ Y áîðåëåâñêèå îòîáðàæåíèÿ P, Q, è R ñóùåñòâåííî ïî x ∈ Ω îãðàíè÷åíû íà TC = Ω × CY × Z .
Íàçîâåì îòîáðàæåíèå f âåéåðøòðàññîâñêèì ïñåâäîêâàäðàòè÷íûì: f ∈ W K2 (z),
åñëè ïðåäñòàâëåíèå (1) ìîæíî âûáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òî äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà
C = CY ⊂ Y îòîáðàæåíèÿ P, Q è R ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíû è îãðàíè÷åíû íà TC .
Ñêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèå f ïðèíàäëåæèò êëàññó W 1 K2 (z), åñëè ïðåäñòàâëåíèå (1) ìîæíî âûáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òî äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà C = CY ⊂ Y íå
òîëüêî P, Q è R, íî òàêæå è ãðàäèåíòû ∇P := ∇yz P , ∇Q := ∇yz Q, ∇R := ∇yz R
ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíû è îãðàíè÷åíû íà TC .
Ñêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèå f ïðèíàäëåæèò êëàññó W 2 K2 (z), åñëè ïðåäñòàâëåíèå (1) ìîæíî âûáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òî äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà C = CY ⊂ Y íå
òîëüêî P, Q, R, èõ ãðàäèåíòû ∇P , ∇Q, ∇R, íî è ãåññèàíû H(P ) := Hyz (P ), H(Q) := Hyz (Q),
H(R) := Hyz (R) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíû è îãðàíè÷åíû íà TC .
Ïóñòü E âåùåñòâåííîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, Ψ : E → Rôóíêöèîíàë íà E . Íàçîâåì ôóíêöèîíàë Ψ êîìïàêòíî íåïðåðûâíûì (K íåïðåðûâíûì)
â òî÷êå y ∈ E , åñëè äëÿ ëþáîãî àáñîëþòíî âûïóêëîãî êîìïàêòà C ⊂ E ñóæåíèå Ψ
íà (y + span C) íåïðåðûâíî â y îòíîñèòåëüíî áàíàõîâîé íîðìû k · kC in span C , ïîðîæäåííîé C .
Àíàëîãè÷íî, ñêàæåì, ÷òî Ψ êîìïàêòíî (äâàæäû) äèôôåðåíöèðóåì (K äèôôåðåíöèðóåì, äâàæäû K äèôôåðåíöèðóåì) â òî÷êå y ∈ E , åñëè äëÿ ëþáîãî àáñîëþòíî
âûïóêëîãî êîìïàêòà C ⊂ E ñóæåíèå Ψ íà (y + span C) (äâàæäû) äèôôåðåíöèðóåì
ïî Ôðåøå â y îòíîñèòåëüíî k · kC . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ψ0K (y) è Ψ00K (y) ïåðâóþ è âòîðóþ
K ïðîèçâîäíûå Ψ, ñîîòâåòñòâåííî.
 [3] áûëè ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû.
Îïðåäåëåíèå 2.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü Ω = [a; b], E áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, u = f (x, y, z),
f : Ω × E 2 → R. Òîãäà ïðè f ∈ K2 (z) âàðèàöèîííûé ôóíêöèîíàë Ýéëåðà-Ëàãðàíæà
Z
Φ(y) = f (x, y, y 0 )dx, y(·) ∈ W21 (Ω, E),
(2)
Ω
W21 (Ω, E).
îïðåäåëåí âñþäó íà
Òåîðåìà 4. Ïóñòü Ω = [a; b], H âåùåñòâåííîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî,
u = f (x, y, z), f : Ω × H 2 → R. Åñëè f ∈ W K2 (z), òî ôóíêöèîíàë Ýéëåðà-Ëàãðàíæà (2) K íåïðåðûâåí âñþäó íà W21 (Ω, H).
Òåîðåìà 5. Ïóñòü Ω = [a; b], H âåùåñòâåííîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî,
u = f (x, y, z), f : Ω × H 2 → R. Åñëè f ∈ W 1 K2 (z), òî ôóíêöèîíàë Ýéëåðà-Ëàãðàíæà (2) K äèôôåðåíöèðóåì âñþäó íà W21 (Ω, H).
Òåîðåìà 6. Ïóñòü Ω = [a; b], H âåùåñòâåííîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî,
u = f (x, y, z), f : Ω × H 2 → R. Åñëè f ∈ W 2 K2 (z), òî ôóíêöèîíàë Ýéëåðà-Ëàãðàíæà (2) äâàæäû K äèôôåðåíöèðóåì âñþäó íà W21 (Ω, H).
Ââåäåì òàêæå ïîíÿòèå ñèëüíîãî K ýêñòðåìóìà.
Îïðåäåëåíèå 7. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèîíàë Ψ : E → R, ãäå E âåùåñòâåííîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, èìååò ñèëüíûé êîìïàêòíûé ýêñòðåìóì (ñèëüíûé
2
Ïñåâäîêâàäðàòè÷íûå ôóíêöèîíàëû â ËÂÏ Ñîáîëåâà
W21
K ýêñòðåìóì) â òî÷êå y ∈ E , åñëè äëÿ ëþáîãî àáñîëþòíî âûïóêëîãî ïðîñòðàíñòâà
C ⊂ E ñóæåíèå Ψ íà (y + span C) èìååò ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì â y îòíîñèòåëüíî
k · kC â span C .
1. Óñëîâèÿ êîððåêòíîé îïðåäåëåííîñòè.
Îáîáùèì ïîíÿòèÿ èç ïóíêòà 1 íà ëîêàëüíî âûïóêëûé ñëó÷àé.
Îïðåäåëåíèå 8. Ïóñòü Ωêîìïàêòíîå ïðîñòðàíñòâî ñ êîíå÷íîé áîðåëåâñêîé ìåðîé, Y è Z âåùåñòâåííûå ïîëíûå îòäåëèìûå ËÂÏ, F âåùåñòâåííîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, {k · ki }i∈I è {k · kj }j∈J îïðåäåëÿþùèå ñèñòåìû ïîëóíîðì
â Y è Z, ñîîò
âåòñòâåííî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Yi è Z j ôàêòîðïðîñòðàíñòâà Y kerk·k è Z kerk·kj ,
i
j∼
ïîïîëíåííûå ïî ôàêòîðíîðìàì k · k∼
i è k · k , ñîîòâåòñòâåííî. Áîðåëåâñêîå îòîáðàæåíèå f : Ω × Y × Z =: T → F íàçîâåì ïñåâäîêâàäðàòè÷íûì ïî z (f ∈ K2 (z)), åñëè,
äëÿ íåêîòîðûõ i ∈ I , j ∈ J , f äîïóñêàåò ïðîäîëæåíèå
fij : Ω × Yi × Z j → F,
(3)
ïñåâäîêâàäðàòè÷íîå ïî z j ∈ Z j (â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1). Çàìåòèì,
÷òî ïðîäîë
j
æåíèå (3) âîçìîæíî ïðè óñëîâèè ky1 − y2 ki = 0, kz1 − z2 k = 0 ⇒ f (x, y1 , z1 ) =
f (x, y2 , z2 ) .
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî èç îïðåäåëåíèé 8 è 1 ñëåäóåò, â ñèëó íåïðåðûâíîãî âëîæåíèÿ
Ω × Y × (Z, k · kj ) ,→ Ω × Yi × Z j , ÷òî äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà CY ⊂ Y f äîïóñêàåò
ïðåäñòàâëåíèå â âèäå:
f (x, y, z) = P (x, y, z) + Q(x, y, z) · kzkj + R(x, y, z) · (kzkj )2 ,
(4)
ãäå îòîáðàæåíèÿ P , Q è R ñóùåñòâåííî (ïî x ∈ Ω) îãðàíè÷åíû íà Ω × CY × Z =: TC .
Òåîðåìà 9. Ïóñòü Ω = [a; b], E âåùåñòâåííîå ïîëíîå îòäåëèìîå ËÂÏ,
u = f (x, y, z), f : Ω × E 2 → R. Åñëè f ∈ K2 (z), òî âàðèàöèîííûé ôóíêöèîíàë ÝéëåðàËàãðàíæà (2) îïðåäåëåí âñþäó íà W21 (Ω, E).
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî çäåñü ìîæíî ïîëîæèòü, â îáîçíà÷åíèÿõ îïðåäåëåíèÿ 8, Y = Z = E , F = R. Âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíûì ïðåäñòàâëåíèåì ([10] ãë.
II, òåîð. 5.4)
E = lim Ei ,
←−
i∈I
n
o
g
∼
ãäå Ei = E
,
k
·
k
i
kerk·k
i
i∈I
ïðîåêòèâíàÿ øêàëà áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ, ïîñò-
ðîåííàÿ ïî îïðåäåëÿþùåé ñèñòåìå ïîëóíîðì {k · ki }i∈I â E . Òîãäà ïðîñòðàíñòâî
Ñîáîëåâà W21 (Ω, E) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ïðîåêòèâíîãî ïðåäåëà
W21 (Ω, E) = lim W21 (Ω, Ei ).
←−
i∈I
 ñèëó îïðåäåëåíèÿ 8, ïðè íåêîòîðîì i ∈ I ôóíêöèÿ f äîïóñêàåò ïñåâäîêâàäðàòè÷íîå ïðîäîëæåíèå fi : Ω × Ei × Ei → F . Òîãäà ïî òåîðåìå 3 ôóíêöèîíàë
Z
Φi (y) = fi (x, y, y 0 )dx
Ω
3
Å.Â. Áîæîíîê
îïðåäåëåí âñþäó íà W21 (Ω, Ei ). ßñíî, ÷òî ïðè íåïðåðûâíîì âëîæåíèè
vi : W21 (Ω, E) ,→ W21 (Ω, Ei ) áóäåò vi ◦ Φ = Φi . Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèîíàë (2) îïðåäåëåí âñþäó íà W21 (Ω, E). 2. Óñëîâèÿ êîìïàêòíîé íåïðåðûâíîñòè.
Îòìåòèì ÷òî â ëîêàëüíî âûïóêëîì ñëó÷àå îïðåäåëåíèÿ K íåïðåðûâíîñòè, K äèôôåðåíöèðóåìîñòè, ïîâòîðíîé K äèôôåðåíöèðóåìîñòè àíàëîãè÷íû ñîîòâåòñòâóþùèì ïîíÿòèÿì â áàíàõîâîì ñëó÷àå (îïðåäåëåíèå 2).
Îïðåäåëåíèå 10. Ïóñòü, â îáîçíà÷åíèÿõ îïðåäåëåíèÿ 8, f ∈ K2 (z) è íåïðåðûâíî
â Ω × E × E ïî (y, z). Íàçîâåì îòîáðàæåíèå f âåéåðøòðàññîâñêèì ïî z : f ∈ W K2 (z),
åñëè äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà C = CY ⊂ Y ïðåäñòàâëåíèå (4) ìîæíî âûáðàòü òàêèì
îáðàçîì, ÷òî îòîáðàæåíèÿ P, Q è R ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíû è îãðàíè÷åíû íà TC .
Îòäåëèìîå ïîëíîå ëîêàëüíî âûïóêëîå ïðîñòðàíñòâî E íàçîâåì
ïîëóÿäåðíûì, åñëè â íåì ñóùåñòâóåò îïðåäåëÿþùàÿ ñèñòåìà ïîëóíîðì {k · ki }i∈I ,
ïîðîæäàåìûõ ïîëóñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèÿìè k h k2i = hh, hii (i ∈ I).
Îïðåäåëåíèå 11.
Èñïîëüçóÿ òåîðåìó î ïðåäñòàâëåíèè ïîëíîãî ËÂÏ â âèäå ïðèâåäåííîãî ïðîåêòèâíîãî
ïðåäåëà
áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ ([10], ãë. II, òåîð. 5.4), è
g
∼
ïîëàãàÿ H = E
, h·, ·i , ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå E â âèäå ïðèâåäåííîãî
Çàìå÷àíèå 12.
i
i
ker k·ki
ïðîåêòèâíîãî ïðåäåëà ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ
E = lim Hi .
←−
i∈I
(5)
Çàìåòèì, ÷òî, â îòëè÷èå îò îïðåäåëåíèÿ ÿäåðíîãî ËÂÏ ([10], ãë. III, ï. 7), ìû íå
òðåáóåì ÿäåðíîñòè âëîæåíèé Hi2 ,→ Hi1 (i1 i2 ) è ñ÷åòíîñòè ñèñòåìû {Hi }i∈I . Ïðèìåðîì ïîëóÿäåðíîãî ËÂÏ ìîæåò ñëóæèòü ëþáîå ñ÷åòíîãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî,
íàïðèìåð, Lloc
2 (R) (êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ ÿäåðíûì).
Òåîðåìà 13. Ïóñòü Ω = [a; b], E âåùåñòâåííîå ïîëóÿäåðíîå ËÂÏ, u = f (x, y, z),
f : Ω × E 2 → R. Åñëè f ∈ W K2 (z), òî ôóíêöèîíàë Ýéëåðà-Ëàãðàíæà (2) K íåïðåðûâåí âñþäó íà W21 (Ω, E).
Äîêàçàòåëüñòâî. Çäåñü, êàê è â òåîðåìå 9, Y = Z = E , F = R â îáîçíà÷åíèÿõ
îïðåäåëåíèÿ
12, E ïðåäñòàâèìî â âèäå (5), ïðè÷åì
n
8.  ñèëó çàìå÷àíèÿ
o
g
∼
Hi = E ker k·k , h·, ·ii
ïðîåêòèâíàÿ øêàëà ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ. Òîi
i∈I
ãäà ïðîñòðàíñòâî Ñîáîëåâà W21 (Ω, E) òàêæå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ïðîåêòèâíîãî ïðåäåëà
W21 (Ω, E) = lim W21 (Ω, Hi ).
←−
i∈I
(6)
 ñèëó îïðåäåëåíèÿ 10, ôóíêöèÿ f ïðè íåêîòîðîì i ∈ I ïðîäîëæàåòñÿ äî âåéåðøòðàññîâñêîé ïî z ôóíêöèè fi â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå Ω × Hi × Hi (îïðåäåëåíèå 1).
Ïóñòü ui : E ,→ Hi è vi : W21 (Ω, E) ,→ W21 (Ω, Hi )êàíîíè÷åñêèå âëîæåíèÿ. Òîãäà
4
Ïñåâäîêâàäðàòè÷íûå ôóíêöèîíàëû â ËÂÏ Ñîáîëåâà
f = fi ◦ (idΩ , ui , ui ). Îáîçíà÷èì
Z
Φi (yi ) = fi (x, yi , yi0 )dx,
W21
yi ∈ W21 (Ω, Hi ) ,
Ω
òîãäà Φ(y) = Φi (ui ◦ y), Φ = Φi ◦ vi , ïîñêîëüêó vi (y) = ui ◦ y .
Ïî òåîðåìå 4, Φi K íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë â W21 (Ω, Hi ). Ïîñêîëüêó vi íåïðåðûâíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð, òî vi è K íåïðåðûâåí ([11], òåîð. 3.7). Ñëåäîâàòåëüíî, êîìïîçèöèÿ Φ = Φi ◦ vi òàêæå K íåïðåðûâíà. 3. Óñëîâèÿ êîìïàêòíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè.
Ïóñòü, â îáîçíà÷åíèÿõ îïðåäåëåíèÿ 8, ôóíêöèÿ f ∈ W K2 (z)
è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà â Ω × E × E ïî (y, z). Ñêàæåì, ÷òî f ∈ W 1 K2 (z),
åñëè äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà C = CY ⊂ Y ïðåäñòàâëåíèå (4) ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òî
íå òîëüêî îòîáðàæåíèÿ P , Q è R, íî è ãðàäèåíòû ∇P := ∇yz P , ∇Q := ∇yz Q,
∇R := ∇yz R îïðåäåëåíû, ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíû è îãðàíè÷åíû íà TC .
Îïðåäåëåíèå 14.
Òåîðåìà 15. Ïóñòü Ω = [a; b], E âåùåñòâåííîå ïîëóÿäåðíîå îòäåëèìîå ËÂÏ,
u = f (x, y, z), f : Ω × E 2 → R. Åñëè f ∈ W 1 K2 (z), òî ôóíêöèîíàë Ýéëåðà-Ëàãðàíæà (2) K äèôôåðåíöèðóåì âñþäó íà W21 (Ω, E); ïðè ýòîì
Z ∂f 0
∂f
0
h+
h dx.
(7)
ΦK (y)h =
∂y
∂z
Ω
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 13, ïðîäîëæèì, ïðè íåêîòîðîì i ∈ I , ôóíêöèþ f äî ôóíêöèè fi êëàññà W 1 K2 (z) â áàíàõîâîì
ïðîñòðàíñòâå Ω × Hi × Hi . Òîãäà, ïî òåîðåìå 5, ôóíêöèîíàë Φi K äèôôåðåíöèðóåì
â W21 (Ω, Hi ). Èç ðàâåíñòâà Φ = Φi ◦ vi è î÷åâèäíîé K äèôôåðåíöèðóåìîñòè vi (êàê
ëèíåéíîãî íåïðåðûâíîãî îïåðàòîðà) ñëåäóåò K äèôôåðåíöèðóåìîñòü Φ. 4. Óñëîâèÿ ïîâòîðíîé êîìïàêòíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè.
Îïðåäåëåíèå 16. Ïóñòü, â îáîçíà÷åíèÿõ îïðåäåëåíèÿ 8, ôóíêöèÿ f ∈ K2 (z) è
äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà â Ω×E×E ïî (y, z). Ñêàæåì, ÷òî f ∈ W 2 K2 (z),
åñëè äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà C = CY ⊂ Y ïðåäñòàâëåíèå (4) ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òî
îòîáðàæåíèÿ P , Q, R, èõ ãðàäèåíòû ∇P , ∇Q, ∇R è èõ ãåññèàíû H(P ) := Hyz (P ),
H(Q) := Hyz (Q), H(R) := Hyz (R) îïðåäåëåíû, ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíû è îãðàíè÷åíû íà TC .
Òåîðåìà 17. Ïóñòü Ω = [a; b], E âåùåñòâåííîå ïîëóÿäåðíîå îòäåëèìîå ËÂÏ,
u = f (x, y, z), f : Ω × E 2 → R. Åñëè f ∈ W 2 K2 (z), òî ôóíêöèîíàë ÝéëåðàËàãðàíæà (2) äâàæäû K äèôôåðåíöèðóåì âñþäó íà W21 (Ω, E); ïðè ýòîì
Φ00K (y)(h, k)
Z h 2
∂2f
∂2f 0 0 i
∂ f
0
0
(h,
k)
+
((h
,
k)
+
(h,
k
))
+
(h , k ) dx.
=
∂y 2
∂y∂z
∂z 2
(8)
Ω
5
Å.Â. Áîæîíîê
Äîêàçàòåëüñòâî. Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 13 è 15, ïðîäîëæèì, ïðè
íåêîòîðîì i ∈ I , ôóíêöèþ f äî ôóíêöèè fi êëàññà W 2 K2 (z) â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå Ω × Hi × Hi . Òîãäà, ïî òåîðåìå 6, ôóíêöèîíàë Φi äâàæäû K äèôôåðåíöèðóåì
â W21 (Ω, Hi ). Ïîñêîëüêó Φ = Φi ◦ vi è vi ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð, òî îòñþäà, î÷åâèäíî, ñëåäóåò ïîâòîðíàÿ K äèôôåðåíöèðóåìîñòü Φ. 5. Ýêñòðåìóìû ôóíêöèîíàëà ÝéëåðàËàãðàíæà â ëîêàëüíî âûïóêëîì
ïðîñòðàíñòâå Ñîáîëåâà W21 (Ω, E).
Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë ÝéëåðàËàãðàíæà (2) â ïðîñòðàíñòâå W21 (Ω, E), ãäå
Ω = [a; b], E âåùåñòâåííîå ïîëóÿäåðíîå ËÂÏ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî E = E1 × ... × En ,
ãäå Ei (i = 1, n)âåùåñòâåííûå ïîëóÿäåðíûå ËÂÏ òàêæå. Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå (5) äëÿ êàæäîãî Ei , ìû ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå Ei â ôîðìå ïðèâåäåííîãî ïðîåêòèâíîãî ïðåäåëà
E1 = lim H1j1 ,
←−
j1 ∈J1
E2 = lim H2j2 , . . . , En = lim Hnjn ,
←−
j2 ∈J2
←−
jn ∈Jn
ãäå Hiji = ( Ei |ker k·kij , h·, ·i∼
iji )ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà.Ââîäÿ ìóëüòèèíäåêñû
i
j = (j1 , ..., jn ), J = {j}, è ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà Hj = H1j1 × ... × Hnjn , ìû ïîëó÷èì
(9)
E = lim Hj .
←−
j∈J
 ðàáîòàõ [6][9] ïîëó÷åíû êàê íåîáõîäèìîå, òàê è äîñòàòî÷íîå óñëîâèÿ K ýêñòðåìóìîâ âàðèàöèîííîãî ôóíêöèîíàëà (2) â W21 (Ω, H) (ãäå Ω = [a; b], H ãèëüáåðòîâî
ïðîñòðàíñòâî). Ïî àíàëîãèè ñ ïóíêòàìè 24 äàííîé ñòàòüè, ëåãêî äîêàçàòü ñîîòâåòñòâóþùèå óòâåðæäåíèÿ äëÿ ïîëóÿäåðíîãî ËÂÏ W21 (Ω, E).
Ïóñòü E = E1 × ... × En âåùåñòâåííîå ïîëóÿäåðíîå ËÂÏ,
Bn : E → E ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð. Çàäàäèì ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð Bn êàê îïåðàòîðíóþ ìàòðèöó Bn = (Bij ), ãäå
Bij : Ej → Ei (i, j = 1, n).
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå ðàçáèåíèå ìàòðèöû Bn íà 4 áëîêà: Bn11 ãëàâíûé ìèíîð
ðàçìåðà [ n2 ] × [ n2 ], Bn22 ñìåæíûé ê íåìó îïðåäåëèòåëü ðàçìåðà (n − [ n2 ]) × (n − [ n2 ]),
Bn12 , Bn21 ñîîòâåòñòâóþùèå ñìåæíûå ïðÿìîóãîëüíûå áëîêè ðàçìåðà [ n2 ] × (n − [ n2 ])
è (n − [ n2 ]) × [ n2 ] (ãäå [ · ] îçíà÷àåò öåëóþ ÷àñòü ÷èñëà).
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âûïîëíåíî ëåãêî ïðîâåðÿåìîå íåîáõîäèìîå óñëîâèå ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåë¼ííîñòè ([12]) îïåðàòîðíîé ìàòðèöû ðàçìåðà 2 × 2: Bn11 è Bn22
íåïðåðûâíî îáðàòèìû. Íà ìíîæåñòâå âñåõ òàêèõ ìàòðèö Bn (n = 1, 2, ...) ââåä¼ì
îïåðàòîðû Ñèëüâåñòðà I ðîäà ÷åòûðåõ òèïîâ:
Îïðåäåëåíèå 18.
411 (Bn ) = Bn11 ;
421 (Bn ) = Bn11 − Bn12 · (Bn22 )−1 · Bn21 ;
422 (Bn ) = Bn22 ;
412 (Bn ) = Bn22 − Bn21 · (Bn11 )−1 · Bn12 .
Çàìåòèì,÷òî ìàòðèöû 4ij (Bn ) (i, j = 1, 2) èìåþò ìàêñèìàëüíûé ðàçìåð
([ n2 ] + 1) × ([ n2 ] + 1) ïðè íå÷åòíîì n è [ n2 ] × [ n2 ] ïðè ÷åòíîì n.
6
Ïñåâäîêâàäðàòè÷íûå ôóíêöèîíàëû â ËÂÏ Ñîáîëåâà
W21
en11 ýëåìåíò
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå ðàçáèåíèå Bn íà 4 áëîêà: B
en22 ñìåæíûé ê íåìó îïðåäåëèòåëü ðàçìåðà (n − 1) × (n − 1),
B11 ìàòðèöû Bn , B
12
21
e
e
Bn , Bn ñîîòâåòñòâóþùèå ñìåæíûå ñòðîêà è ñòîëáåö ðàçìåðà 1 × (n − 1) è
(n − 1) × 1.
e 11 íåïðåðûâíî îáðàòèì. Íà ìíîæåñòâå âñåõ òàêèõ
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî B
n
ìàòðèö Bn (n = 1, 2, ...) ââåä¼ì îïåðàòîðû Ñèëüâåñòðà II ðîäà :
Îïðåäåëåíèå 19.
f1 (B ) = B
e 22 − B
e 21 · (B
e 11 )−1 · B
e 12 .
4
n
n
n
n
n
2
f1 (B ) = B
e 11 ;
4
n
n
1
Òåîðåìà 20. Ïóñòü Ei (i = 1, n)âåùåñòâåííûå ïîëóÿäåðíûå ËÂÏ,
E = E1 × ... × En , f ∈ W 2 K2 (z). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ ôóíêöèé
◦
ym (·) ∈ W21 (Ω, Em ) (m = 1, n) âûïîëíåíû óðàâíåíèÿ ÝéëåðàËàãðàíæà
∂f
d
∂f
ï.â.
−
= 0 íà Ω.
∂ym dx ∂zm
!n
∂2f
∂2f
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå Γn (f ) =
∂yi ∂yj
∂2f
∂zi ∂yj
∂yi ∂zj
∂2f
∂zi ∂zj
(10)
.
i,j=1
Åñëè íà K ýêñòðåìàëè y(·) = (y1 (·), . . . , yn (·)) ïðè âñåõ x ∈ Ω âûïîëíåíà ñèñòåìà íåðàâåíñòâ
{4ijm
... 4ij22 4ij11 (Γn (f )) 0}2il ,jl =1
(11)
m
k,
for
n = 2k
ãäå 4ijll îïåðàòîðû Ñèëüâåñòðà I ðîäà, m =
, òî ôóíêk
k + 1, for 2 < n < 2k+1
öèîíàë Ýéëåðà-Ëàãðàíæà
Z
Φ(y1 , ..., yn ) =
f x, y1 (x), ..., yn (x), y10 (x), ..., yn0 (x) dx
(12)
Ω
èìååò ñèëüíûé K ìèíèìóì â òî÷êå y(·) = (y1 (·), ..., yn (·)).
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå (9), âûáåðåì èíäåêñ j äëÿ êîòîðîãî
ôóíêöèîíàë Φ äâàæäû K äèôôåðåíöèðóåì â ïðîñòðàíñòâå W21 (Ω, Hj ). Ïðèìåíÿÿ
ñîîòâåòñòâóþùåå äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñèëüíîãî K ýêñòðåìóìà â "ãèëüáåðòîâîì"ñëó÷àå ([7], òåîð. 17), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî Φ èìååò ñèëüíûé K ýêñòðåìóì â òî÷êå
y(·) ∈ W21 (Ω, Hj ). Òàê êàê, ïî (9),
(13)
W21 (Ω, E) ,→ W21 (Ω, Hj ).
òî êîìïàêò â W21 (Ω, E) åñòü êîìïàêò â W21 (Ω, Hj ). Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ 2, ñèëüíûé
K ýêñòðåìóì â W21 (Ω, Hj ) ÿâëÿåòñÿ ñèëüíûì K ýêñòðåìóìîì â W21 (Ω, E). Òåîðåìà 21. Ïóñòü Ω = [a; b], Ei (i = 1, n)âåùåñòâåííûå îòäåëèìûå ïîëóÿäåðíûå ËÂÏ, E = E1 × . . . × En , f : Ω × E × E → R, f ∈ W 2 K2 (z),
◦
y(·) = (y1 (·), . . . , yn (·))K ýêñòðåìàëü ôóíêöèîíàëà (12) â W21 (Ω, E), âñå ôóíêöèè
7
Å.Â. Áîæîíîê
∂2f
0
0
∂yi ∂zj (x, y1 (x), . . . , yn (x), y1 (x), ..., yn (x)) (i, j = 1, n) àáñîëþòíî íåïðåðûâíû íà Ω. Ââå 2 n
f
äåì îáîçíà÷åíèå Pn (f ) = ∂z∂i ∂z
. Òîãäà, åñëè ôóíêöèîíàë ÝéëåðàËàãðàíæà (12)
j i,j=1
f1 (4
f1 )k (P (f )),
èìååò ñèëüíûé K ìèíèìóì â òî÷êå y(·), ïðè÷åì âñå îïåðàòîðû 4
n
1
2
k = 0, n − 2 íåïðåðûâíî îáðàòèìû, òî ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ (íåîòðèöàòåëüíîñòè êâàäðàòè÷íîé ôîðìû)
f1 (4
f1 )k (P (f )) ≥ 0,
4
n
1
2
k = 0, n − 2;
f1 )n−1 (P (f )) ≥ 0,
(4
n
2
(14)
f1 (l = 1, 2)îïåðàòîðû Ñèëüâåñòðà II ðîäà,
ãäå 4
l
âûïîëíåíà äëÿ K ýêñòðåìàëè y(·) ïî÷òè âñþäó íà Ω.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå (9), âûáåðåì èíäåêñ j äëÿ êîòîðîãî ôóíêöèîíàë Φ äâàæäû K äèôôåðåíöèðóåì â ïðîñòðàíñòâå W21 (Ω, Hj ). Â ñèëó
f1 (4
f1 )k (P (f )) (k = 0, n − 2) â ïðîñòðàíâëîæåíèÿ (13), îáðàòèìîñòü îïåðàòîðîâ 4
n
1
2
ñòâå W21 (Ω, Hj ) ñëåäóåò èç îáðàòèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ îïåðàòîðîâ â W21 (Ω, E).
Ïðèìåíÿÿ ñîîòâåòñòâóþùåå íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñèëüíîãî K ýêñòðåìóìà â "ãèëüáåðòîâîì"
ñëó÷àå ([7], òåîð. 18), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ñèñòåìà íåðàâåíñòâ (14) âûïîëíÿåòñÿ â òî÷êå
y(·) ∈ W21 (Ω, Hj ). Òîãäà, â ñèëó âëîæåíèÿ (13), ñèñòåìà íåðàâåíñòâ (14) âûïîëíÿåòñÿ
è â òî÷êå y(·) ∈ W21 (Ω, E). 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
8
Íåëèíåéíûå ýëëèïòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ âûñøåãî ïîðÿäêà Ê.: Íàóêîâà äóìêà,
1973. 219 ñ.
Îðëîâ È.Â. K äèôôåðåíöèðóåìîñòü è K ýêñòðåìóìû // Óêðàèíñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé âåñòíèê. 2006. Ò. 3,  1. Ñ. 97115.
Îðëîâ È.Â., Áîæîíîê Å.Â. Óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ, K íåïðåðåðûâíîñòè è K äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèîíàëà Ýéëåðà-Ëàãðàíæà â ïðîñòðàíñòâå Ñîáîëåâà W21 // Ó÷åíûå çàïèñêè ÒÍÓ,
ñåðèÿ "Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà. Èíôîðìàòèêà è êèáåðíåòèêà". 2006.  2. Ñ. 6378.
Îðëîâ È.Â. Íîðìàëüíàÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòü è ýêñòðåìóìû ôóíêöèîíàëîâ â ëîêàëüíî âûïóêëîì ïðîñòðàíñòâå // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2002.  4. Ñ. 2435.
Orlov I. V. Extreme Problems and Scales of the Operator Spaces // NorthHolland Math Studies.,
Functional Analysis and its Applications. AmsterdamBoston...: Elsevier. 2004. Vol. 197.
P. 209228.
Îðëîâ È.Â. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà è K ýêñòðåìóìà â ïðîèçâåäåíèè äâóõ ÿäåðíûõ
ËÂÏ (îáùèé ñëó÷àé) // Ó÷åíûå çàïèñêè ÒÍÓ. Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà. Èíôîðìàòèêà è êèáåðíåòèêà. 2004. Ò. 17(56),  1. C. 6877.
Áîæîíîê Å.Â. Äîñòàòî÷íûå è íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà ôóíêöèîíàëîâ â ÿäåðíûõ ëîêàëüíî âûïóêëûõ ïðîñòðàíñòâàõ â ñëó÷àå ìíîãèõ ïåðåìåííûõ // Ó÷åíûå çàïèñêè ÒÍÓ, ñåðèÿ
Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà. Èíôîðìàòèêà è êèáåðíåòèêà. 2005.  1. Ñ. 326.
Áîæîíîê Ê.Â., Îðëîâ I.Â. Óìîâè Ëåæàíäðà-ßêîái äëÿ êîìïàêòíèõ åêñòðåìóìiâ iíòåãðàëüíèõ
ôóíêöiîíàëiâ // Äîïîâiäi ÍÀÍ Óêðà¨íè. 2006.  11. Ñ. 511.
Áîæîíîê Å.Â., Îðëîâ È.Â. Óñëîâèÿ Ëåæàíäðà è ßêîáè äëÿ êîìïàêòíûõ ýêñòðåìóìîâ âàðèàöèîííûõ ôóíêöèîíàëîâ â ïðîñòðàíñòâå Ñîáîëåâà // Êîìïëåêñíèé àíàëiç i òå÷i¨ ç âiëüíèìè
ãðàíèöÿìè / Çá. ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè. Êè¨â: Ií-ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè,
2006. Ò. 3,  4. Ñ. 282293.
Øåôåð Õ. Òîïîëîãè÷åñêèå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà Ì.: Ìèð, 1971. 360 ñ.
Îðëîâ È.Â. Ãèëüáåðòîâû êîìïàêòû, êîìïàêòíûå ýëëèïñîèäû è êîìïàêòíûå ýêñòðåìóìû //
Ñîâðåìåííàÿ ìàòåìàòèêà. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ. 2008. Ò. 29. C. 165175.
Ñêðûïíèê È.Â.
Ïñåâäîêâàäðàòè÷íûå ôóíêöèîíàëû â ËÂÏ Ñîáîëåâà
12.
Êîïà÷åâñêèé Í.Ä., Êðåéí Ñ.Ã., Íãî Çóé Êàí
Ì.: Íàóêà, 1989. 416 ñ.
W21
Îïåðàòîðíûå ìåòîäû â ëèíåéíîé ãèäðîäèíàìèêå
Òàâðè÷åñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Â.È. Âåðíàäñêîãî,
Ïîëó÷åíî . .09
Ñèìôåðîïîëü
[email protected]
9