1. Формальные языки

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, îñåíü 2015
Ëåêöèÿ 1: ôîðìàëüíûé ÿçûê çàïèñè ëîãè÷åñêèõ óòâåðæäåíèé
Êðàòêîå ñîäåðæàíèå
Íåîáõîäèìîñòü â ôîðìàëüíîé ñèñòåìå çàïèñè ìàòåìàòè÷åñêèõ óòâåðæäåíèé.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ: àëôàâèò, ñëîâî, ÿçûê. Ïóñòîå ñëîâî. Îïåðàöèè ñî ñëîâàìè: êîíêàòåíàöèÿ, îáðàùåíèå. Îïåðàöèè ñ ÿçûêàìè: òåîðåòèêîìíîæåñòâåííûå, êîíêàòåíàöèÿ, çâåçäà è ïëþñ Êëèíè. Îòíîøåíèÿ íà ñëîâàõ: ïðåôèêñû, ñóôôèêñû, ïîäñëîâà, ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òðè îïðåäåëåíèÿ ïðàâèëüíîé ñêîáî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: ÷åðåç ñêîáî÷íûé èòîã, ÷åðåç ðàçáèåíèå ñêîáîê
íà ïàðû è ðåêóðñèâíîå. Èõ ýêâèâàëåíòíîñòü. Íåîäíîçíà÷íîñòü ðàçáîðà ïðè ðåêóðñèâíîì îïðåäåëåíèè. Àëôàâèò ëîãèêè âûñêàçûâàíèé: ïðîïîçèöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå, ñèìâîëû ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé, ñêîáêè. Ïðàâèëà ïîñòðîåíèÿ ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë. Ëåììà î ñêîáî÷íîì èòîãå è òåîðåìà îá îäíîçíà÷íîñòè ðàçáîðà
äëÿ ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë.
1
Çà÷åì íóæåí ôîðìàëüíûé ÿçûê
Ïî ìåðå ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè å¼ ÿçûê ñîâåðøåíñòâîâàëñÿ. Ïîñòåïåííî ïîÿâèëèñü ðàçëè÷íûå îáîçíà÷åíèÿ: áóêâû â êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ, ñèìâîëû îïåðàöèé è ò.ä. Îäíàêî
ñîáñòâåííî ìàòåìàòè÷åñêèå (â ÷àñòíîñòè, ëîãè÷åñêèå) ðàññóæäåíèÿ äîëãî ïðîâîäèëèñü
íà åñòåñòâåííîì ÿçûêå. Ê êîíöó XIX íà÷àëó XX ââ. âîçíèêëà ïîòðåáíîñòü â ôîðìàëèçàöèè ðàññóæäåíèé: ñ îäíîé ñòîðîíû, ôîðìàëüíàÿ ñèñòåìà çàïèñè îáëåã÷àëà êîììóíèêàöèþ ìåæäó ðàçíûìè ìàòåìàòèêàìè, ñ äðóãîé ñòîðîíû, áûëè îòêðûòû ïàðàäîêñû,
ñâÿçàííûå ñ ðàññóæäåíèÿìè íà åñòåñòâåííîì ÿçûêå.1 Îò ýòèõ ïàðàäîêñîâ íóæíî áûëî
êàê-òî èçáàâëÿòüñÿ.
Ïðèìåðîì òàêîãî ïàðàäîêñà ìîæåò ñëóæèòü ïàðàäîêñ Ðàññåëà. Íàçîâ¼ì
ìíîæåñòâî, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ýëåìåíòîì: íàïðèìåð, ìíîæåñòâî
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñàìî íå ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì ÷èñëîì, à ìíîæåñòâî âñåõ òðåóãîëüíèêîâ íå ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèêîì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñòü è
ìíîæåñòâà.
Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì, à ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì. Âîïðîñ: êàêèì ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî
ïðàâèëüíûõ ìíîæåñòâ? Åñëè îíî ïðàâèëüíîå, òî îíî âõîäèò â ìíîæåñòâî ïðàâèëüíûõ
ìíîæåñòâ, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ýëåìåíòîì, ò.å. ÿâëÿåòñÿ íåïðàâèëüíûì. Åñëè æå
îíî íåïðàâèëüíîå, òî ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ýëåìåíòîì, ò.å. âõîäèò â ìíîæåñòâî ïðàâèëüíûõ ìíîæåñòâ, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì. Òàêèì îáðàçîì, â ëþáîì ñëó÷àå ïîëó÷àåòñÿ ïðîòèâîðå÷èå. Âïðî÷åì, ýòîò ïàðàäîêñ ðàçðåøàåòñÿ íå ôîðìàëèçàöèåé ðàññóæäåíèé, à àêñèîìàòèçàöèåé òåîðèè ìíîæåñòâ, îãðàíè÷èâàþùåé ñïîñîáû ôîðìèðîâàíèÿ
ìíîæåñòâ. Çàòî áåç ôîðìàëèçàöèè íåëüçÿ äàæå ñôîðìóëèðîâàòü, íàïðèìåð, âòîðóþ
ïðîáëåìó Ãèëüáåðòà: ÿâëÿþòñÿ ëè àêñèîìû àðèôìåòèêè íåïðîòèâîðå÷èâûìè?
ïðàâèëü-
íûì
íåïðàâèëüíûå
1Î
ñâåäåíèè ëþáîãî ðàññóæäåíèÿ ê ìåõàíè÷åñêîé ïðîöåäóðå, âû÷èñëåíèþ ãîâîðèë åø¼ Ëåéáíèö, íî
äàæå ñ ñàìîé ïîñòàíîâêîé âîïðîñà îí çíà÷èòåëüíî îïåðåäèë ñâî¼ âðåìÿ.
1
Ôîðìàëüíûå ñèñòåìû çàïèñè ìàòåìàòè÷åñêèõ óòâåðæäåíèé è ðàññóæäåíèé áûëè â
öåëîì ïîñòðîåíû â ïåðâîé ïîëîâèíå XX â. è ñûãðàëè î÷åíü áîëüøóþ ðîëü â ïîñëåäîâàâøåì ðàçâèòèè âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè. Âî-ïåðâûõ, êîìïüþòåðû íå ìîãóò ïîíèìàòü íèêàêèõ ÿçûêîâ, êðîìå ôîðìàëüíûõ, ïîýòîìó çíàíèå òåîðèè ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ î÷åíü ïîìîãàåò ïðè ïðîãðàììèðîâàíèè. Âî-âòîðûõ, ôîðìàëüíàÿ çàïèñü ìàòåìàòè÷åñêèõ óòâåðæäåíèé è äîêàçàòåëüñòâ ïîçâîëÿåò èñêàòü è ïðîâåðÿòü äîêàçàòåëüñòâà
ìàøèííûìè ìåòîäàìè. Ïîæàëóé, ñàìûì èçâåñòíûì ïðèìåðîì òàêîãî äîêàçàòåëüñòâà
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå ïðîáëåìû ÷åòûð¼õ êðàñîê: âåðíî ëè, ÷òî ëþáóþ ãåîãðàôè÷åñêóþ
êàðòó ìîæíî ïîêðàñèòü â 4 öâåòà, òàê ÷òîáû îáëàñòè îäíîãî öâåòà íå ãðàíè÷èëè äðóã
ñ äðóãîì. Ïåðâîíà÷àëüíî ïðîáëåìà áûëà ïîëîæèòåëüíî ðåøåíà â 1976 ãîäó Àïïåëåì è
Õàêåíîì ïóò¼ì êîìïüþòåðíîãî ïåðåáîðà. Âïîñëåäñòâèè äîêàçàòåëüñòâî áûëî íåñêîëüêî
ðàç óïðîùåíî, õîòÿ è îñòàâàëîñü ïåðåáîðíûì, à â 2005 ãîäó Âåðíåð è Ãîíòüå çàïèñàëè ïîëíîå äîêàçàòåëüñòâî íà ôîðìàëüíîì ÿçûêå è âåðèôèöèðîâàëè åãî ïðè ïîìîùè
ïðîãðàììû Coq.
 ýòîé ëåêöèè ìû êîñí¼ìñÿ ñàìûõ îñíîâ òåîðèè ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ, áîëåå ïîäðîáíî
îíà áóäåò îñâåùåíà â êóðñå Ôîðìàëüíûå ÿçûêè è òðàíñëÿöèè.
2
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ
Àëôàâèòîì íàçûâàåòñÿ ëþáîå êîíå÷íîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Ýëåìåíòû àëôàâèòà íàçûâàþòñÿ ñèìâîëàìè.
Îïðåäåëåíèå 1.
Êàê ïðàâèëî, àëôàâèòû ìû áóäåì îáîçíà÷àòü áîëüøèìè ãðå÷åñêèìè áóêâàìè: Σ, Γ
è ò.ä., à ñèìâîëû àëôàâèòà ìàëåíüêèìè ãðå÷åñêèìè: σ , τ è ò.ä., ëèáî êîíêðåòíûìè
çíà÷êàìè. Àëôàâèò {0, 1} áóäåì íàçûâàòü
èëè
. Òåîðåòè÷åñêè ìîæíî ðàññìîòðåòü è áåñêîíå÷íûé àëôàâèò (è äàæå íåñ÷¼òíûé), íî ïî óìîë÷àíèþ ìû ýòîãî
äåëàòü íå áóäåì.
áèíàðíûì
Ñëîâîì
äâîè÷íûì
íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñèìâîëîâ.
×èñëî ñèìâîëîâ â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàçûâàåòñÿ
ñëîâà.
Îïðåäåëåíèå 2.
äëèíîé
Ïðè çàïèñè ñëîâ, â îòëè÷èå îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ìû íå áóäåì èñïîëüçîâàòü ñêîáêè è çàïÿòûå, ïðîñòî çàïèñûâàÿ ñèìâîëû îäèí çà äðóãèì. Êàê ïðàâèëî, ñëîâà ìû áóäåì
îáîçíà÷àòü ìàëåíüêèìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè: u, v , x è ò.ä. Îñîáîå çíà÷åíèå èãðàåò
, ò.å. ñëîâî íóëåâîé äëèíû, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íóëÿ ñèìâîëîâ. Îíî ðîâíî
îäíî è íå çàâèñèò îò àëôàâèòà, ïîýòîìó äëÿ èñïîëüçóåì äëÿ íåãî ñïåöèàëüíîå îáîçíà÷åíèå ε (èíîãäà òàêæå ïèøóò λ èëè Λ). Äëèíó ñëîâà u ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç |u|
(òàêæå èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèÿ l(u) èëè len(u)).
ïó-
ñòîå ñëîâî
Îïðåäåëåíèå 3.
ßçûêîì íàçûâàåòñÿ ëþáîå ìíîæåñòâî ñëîâ â íåêîòîðîì àëôàâèòå.
ßçûêè ìîãóò áûòü è êîíå÷íûìè, è áåñêîíå÷íûìè. ßçûêè ìû áóäåì îáîçíà÷àòü áîëüøèìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè: L, M è ò.ä. ßçûê ìîæåò áûòü ïóñòûì, â òàêîì ñëó÷àå åãî
îáîçíà÷àþò ∅, êàê ïóñòîå ìíîæåñòâî (èíîãäà èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå Φ).
Íàä ñëîâàìè è ÿçûêàìè ìîæíî ïðîâîäèòü ðàçëè÷íûå îïåðàöèè.
2
Ïóñòü u = σ1 . . . σk è v = τ1 . . . τl ñóòü äâà ñëîâà. Òîãäà
ñëîâ u è v íàçûâàåòñÿ ñëîâî u · v = σ1 . . . σk τ1 . . . τl .
Îïðåäåëåíèå 4.
êîíêàòåíàöèåé
Ñóòü îïðåäåëåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñëîâî v ïðèïèñûâàåòñÿ ñïðàâà ê ñëîâó
u. Òàêæå ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî êîíêàòåíàöèÿ î÷åíü ïîõîæà íà óìíîæåíèå. Åñëè êàæäûé ñèìâîë ðàññìàòðèâàòü êàê ïåðåìåííóþ, à ñëîâà êàê ïðîèçâåäåíèÿ ïåðåìåííûõ,
òî ïåðåìíîæàòüñÿ îíè äîëæíû èìåííî òàê. Ïîýòîìó çíàê · äëÿ êîíêàòåíàöèè, êàê è
äëÿ óìíîæåíèÿ, ÷àñòî îïóñêàþò. Òàêæå êîíêàòåíàöèÿ ïîäîáíî óìíîæåíèþ ïîðîæäàåò
ïîíÿòèå ñòåïåíè.
Ïóñòü u íåêîòîðîå ñëîâî, à n íàòóðàëüíîå2 ÷èñëî. Òîãäà åãî n-îé
ñòåïåíüþ íàçûâàåòñÿ ñëîâî un = u
· · · u}.
| · ·{z
Îïðåäåëåíèå 5.
n ðàç
Ïðè ýòîì íóëåâàÿ ñòåïåíü ëþáîãî ñëîâà, ò.å. êîíêàòåíàöèÿ íóëÿ ñëîâ, ïî îïðåäåëåíèþ ñ÷èòàåòñÿ ïóñòûì ñëîâîì. Ìîæíî áûëî áû îïðåäåëèòü ñòåïåíü èòåðàòèâíî: u0 = ε,
à ïðè n > 0 âûïîëíåíî un = un−1 · u.
Ìîæíî îòìåòèòü ñëåäóþùèé ïðîñòîé ôàêò:
Äëÿ âñåõ ñëîâ u, v è w âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
à) (u · v) · w = u · (v · w) (àññîöèàòèâíîñòü êîíêàòåíàöèè);
á) u · ε = ε · u = u (ïóñòîå ñëîâî ÿâëÿåòñÿ íåéòðàëüíûì ýëåìåíòîì);
â) un · um = un+m;
ã) (un)m = unm.
Óòâåðæäåíèå 6.
 àëãåáðàè÷åñêèõ òåðìèíàõ ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñëîâà îáðàçóþò ìîíîèä, èëè ïîëóãðóïïó ñ íåéòðàëüíûì ýëåìåíòîì îòíîñèòåëüíî êîíêàòåíàöèè. (È èìåííî ïîýòîìó îíà
ïîõîæà íà óìíîæåíèå). Áîëåå òîãî, ýòà ïîëóãðóïïà ñâîáîäíàÿ.
Îïðåäåëåíèå 7.
Îáðàùåíèåì èëè çåðêàëüíûì îáðàçîì ñëîâà u = σ1 . . . σk íàçûâàåòñÿ
ñëîâî u = σk . . . σ1 , ò.å. ñëîâî u, çàïèñàííîå çàäîì íàïåð¼ä.
R
Óòâåðæäåíèå 8.
Äëÿ âñåõ ñëîâ u è v âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
à) uRR = u;
á) (u · v)R = vR · uR;
â) εR = ε.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïóñòü |u| = k, |v| = l. Çàìåòèì, ÷òî i-ûé ñèìâîë
ñëîâà uR åñòü (k + 1 − i)-ûé ñèìâîë ñëîâà u.
2 Ìû
ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà÷èíàþòñÿ ñ íóëÿ, ò.å. N = {0, 1, 2, 3, . . . }. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïîíèìàíèþ, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî îòâå÷àåò íà âîïðîñ Ñêîëüêî? è îáîçíà÷àåò êîëè÷åñòâî. Â
ñðåäíåé øêîëå ãîâîðÿò, ÷òî íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà÷èíàþòñÿ ñ åäèíèöû, è, òàêèì îáðàçîì, îòâå÷àþò íà
âîïðîñ Êàêîé ïî ñ÷¼òó? è îáîçíà÷àþò ïîðÿäêîâûé íîìåð. Âûáîð îäíîãî èç äâóõ ïîäõîäîâ ÿâëÿåòñÿ
äåëîì âêóñà, íî â ëîãèêå è èíôîðìàòèêå óäîáíåå ïåðâûé.
3
R
à) i-ûé ñèìâîë ñëîâà uR åñòü (k+1−i)-ûé ñèìâîë ñëîâà uR , ò.å. (k+1−(k+1−i))-ûé
ñèìâîë u, ò.å. i-ûé, ÷òî è òðåáîâàëîñü.
á) Äîêàæåì, ÷òî i-ûé ñèìâîë (u · v)R , ò.å. (k + l + 1 − i)-ûé ñèìâîë u · v , ðàâåí i-îìó
ñèìâîëó v R · uR . Ðàññìîòðèì ñëó÷àé i 6 l.  òàêîì ñëó÷àå k + l + 1 − i > k + 1, è
(k + l + 1 − i)-ûé ñèìâîë u · v ðàâåí (l + 1 − i)-ìó ñèìâîëó v , ò.å. i-îìó ñèìâîëó v R ,
ò.å. i-îìó ñèìâîëó v R · uR , ÷òî è òðåáîâàëîñü.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé i > l.  òàêîì ñëó÷àå k + l + 1 − i 6 k , è (k + l + 1 − i)-ûé
ñèìâîë u · v ðàâåí (k + l + 1 − i)-ìó ñèìâîëó u, ò.å. (k + 1) − (k + l + 1 − i) = (i − l)-ìó
ñèìâîëó uR , ò.å. i-ìó ñèìâîëó v R · uR , ÷òî è òðåáîâàëîñü.
â) Ïîñêîëüêó ïóñòîå ñëîâî íå ñîäåðæèò íè îäíîãî ñèìâîëà, òî è åãî çåðêàëüíûé îáðàç
íå ñîäåðæèò ñèìâîëîâ, ò.å. òàêæå ïóñò.
Îïåðàöèÿ îáðàùåíèÿ ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü îäíî øèðîêî èçâåñòíîå ïîíÿòèå:
Îïðåäåëåíèå 9.
ïàëèíäðîìîì.
Ñëîâî u, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå uR = u, íàçûâàåòñÿ
Ïðèìåðàìè ïàëèíäðîìîâ ìîãóò ñëóæèòü ñëîâà ÒÎÏÎÒ, ÐÎÒÀÒÎÐ â ðóññêîì ÿçûêå,
â àíãëèéñêîì ÿçûêå èëè SAIPPUAKIVIKAUPPIAS â ôèíñêîì. ×àùå âñåãî ðàññìàòðèâàþò íå ñëîâà, à ôðàçû-ïàëèíäðîìû, êîòîðûå ñòàíîâÿòñÿ
ïàëèíäðîìàìè â ñòðîãîì ñìûñëå, åñëè èñêëþ÷èòü èç íèõ âñå ïðîáåëû è çíàêè ïðåïèíàíèÿ, à òàêæå íå ðàçëè÷àòü ðåãèñòðû áóêâ, íàïðèìåð À ðîçà óïàëà íà ëàïó Àçîðà èëè
Madam, I'm Adam.
Äàëåå ïåðåéä¼ì ê îïåðàöèÿì íàä ÿçûêàìè. Âî-ïåðâûõ, íàä ÿçûêàìè ìîæíî ïðîâîäèòü âñå òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè: îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå, ðàçíîñòü, äîïîëíåíèå. Íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ îáúåäèíåíèå, ïîýòîìó äëÿ íåãî ìîãóò èñïîëüçîâàòü ñïåöèàëüíûé çíàê + âìåñòî ∪. Âî-âòîðûõ, âîçíèêàþò ñïåöèàëüíûå îïåðàöèè,
ñâÿçàííûå ñ êîíêàòåíàöèåé.
CIVIC, RACECAR, REDIVIDER
êîíêàòåíàöèåé
Ïóñòü L è M ñóòü äâà ÿçûêà. Òîãäà èõ
íàçûâàåòñÿ
ÿçûê L · M = {uv | u ∈ L, v ∈ M
}. Åñëè n íàòóðàëüíî, òî n-îé ñòåïåíüþ
ÿçûêà L
=
u
.
.
.
u
|
u
∈
L
ïðè
âñåõ
i
∈
{1,
.
.
.
,
n}
.
íàçûâàåòñÿ ÿçûê Ln = L
·
·
·
·
·
L
1
n
i
| {z }
Îïðåäåëåíèå 10.
n ðàç
Íàïðèìåð, åñëè L = {0, 01}, à M = {0, 10}, òî L · M = {00, 010, 0110}. Îáðàòèòå
âíèìàíèå, ÷òî ñëîâî 010 ïîëó÷àåòñÿ äâóìÿ ñïîñîáàìè: êàê 0 · 10 è êàê 01 · 0. Ñòåïåíü
ÿçûêà âíîâü ìîæíî îïðåäåëèòü èòåðàòèâíî: L0 = {ε}, Ln = Ln−1 · L. Ìîæíî çàìåòèòü
âûïîëíåíèå íåñêîëüêèõ ïðîñòûõ ñâîéñòâ:
Ïðè âñåõ L, M è K âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
à) (L · M ) · K = L · (M · K);
á) L · {ε} = {ε} · L = L;
Óòâåðæäåíèå 11.
4
â) L · ∅ = ∅ · L = ∅;
ã) L0 = {ε}, L1 = L;
ä) Ln · Lm = Ln+m;
å) (Ln)m = Lnm.
Òàêèì îáðàçîì, êîíêàòåíàöèÿ ÿçûêîâ òîæå âåä¼ò ñåáÿ ïîäîáíî óìíîæåíèþ, ïðè÷åì
ïîìèìî åäèíèöû ({ε}) òàì åñòü íîëü (∅). Íà ÿçûêè ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü è îïåðàöèþ
îáðàùåíèÿ:
Îáðàùåíèåì ÿçûêà L íàçûâàåòñÿ ÿçûê LR = {uR | u ∈ L}.
Ïðè âñåõ L è M âûïîëíåíî:
à) (L · M )R = M RLR;
á) (LR)R = L.
Èòåðàöèåé (çàìûêàíèåì Êëèíè) ÿçûêà L íàçûâàåòñÿ ÿçûê L∗ =
n
∞
∪n=0 L . Ýòó îïåðàöèþ òàêæå íàçûâàþò çâåçäîé Êëèíè. Ïëþñîì Êëèíè íàçûâàþò îïåÎïðåäåëåíèå 12.
Óòâåðæäåíèå 13.
Îïðåäåëåíèå 14.
n
ðàöèþ, ïåðåâîäÿùóþ ÿçûê L â L+ = ∪∞
n=1 L .
Íàïðèìåð, åñëè L = {ïàðàì, ïàì}, òî L∗ = {ε, ïàðàì, ïàì, ïàðàìïàðàì, ïàìïàðàì,
ïàðàìïàì, ïàìïàì, ïàðàìïàìïàðàì, ïàðàìïàìïàì, . . . }.
Äëÿ âñåõ ÿçûêîâ L âûïîëíåíû ñâîéñòâà:
à) L∗ = L+ t {ε}, L+ = L · L∗;
á) (L∗)∗ = L∗, (L+)+ = L+ (èäåìïîòåíòíîñòü);
Óòâåðæäåíèå 15.
Ïîëåçíî ïîíÿòü, ÷òî ïîëó÷èòñÿ â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ çâåçäû è ïëþñà Êëèíè
ê ïóñòîìó ÿçûêó è ê ÿçûêó èç ïóñòîãî ñëîâà. Äëÿ ÿçûêà èç ïóñòîãî ñëîâà ìîæíî ïî
èíäóêöèè äîêàçàòü, ÷òî {ε}n = {ε}, ïîýòîìó {ε}∗ = {ε}+ = {ε}. Äëÿ ïóñòîãî ÿçûêà ïî
îïðåäåëåíèþ ∅0 = {ε}, à ïðè n > 0 ïî èíäóêöèè ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ∅n = ∅. Òàêèì
îáðàçîì, ∅∗ = {ε}, à ∅+ = ∅.
Åñëè â êà÷åñòâå ÿçûêà L âçÿòü àëôàâèò Σ (èëè, åñëè óãîäíî, ìíîæåñòâî îäíîáóêâåííûõ ñëîâ), òî îïåðàöèè çâåçäû è ïëþñà ïîçâîëÿþò ââåñòè óäîáíûå îáîçíà÷åíèÿ: Σ∗ ìíîæåñòâî âñåõ ñëîâ, Σ+ ìíîæåñòâî âñåõ íåïóñòûõ ñëîâ.
Çàâåðøèì ðàçäåë îïðåäåëåíèåì íåñêîëüêèõ îòíîøåíèé íà ìíîæåñòâå ñëîâ.
ïðåôèêñîì
Cëîâî u ÿâëÿåòñÿ
(íà÷àëîì) ñëîâà v , åñëè äëÿ íåêîòîðîãî
ñëîâà w âûïîëíåíî v = uw. Îáîçíà÷åíèå: u @ v . Cëîâî u ÿâëÿåòñÿ
(êîíöîì)
ñëîâà v , åñëè äëÿ íåêîòîðîãî ñëîâà w âûïîëíåíî v = wu. Îáîçíà÷åíèå: u A v . Cëîâî
u ÿâëÿåòñÿ
ñëîâà v , åñëè äëÿ íåêîòîðûõ ñëîâ w è z âûïîëíåíî v = wuz .
Îáîçíà÷åíèå: u A@ v . Ñëîâî u íàçûâàåòñÿ
ñëîâà v , åñëè v =
σ1 . . . σn , à u = σi1 . . . σik äëÿ íåêîòîðûõ 1 6 i1 < · · · < ik 6 n. Ïðåôèêñû, ñóôôèêñû,
ïîäñëîâà è ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðûå êîðî÷å ñàìîã
î ñëîâà, ìû áóäåì íàçûâàòü
.
Îïðåäåëåíèå 16.
ïîäñëîâîì
ñóôôèêñîì
ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ
ñîáñòâåííûìè
5
Íàïðèìåð, ñëîâî ÒÓÍ ÿâëÿåòñÿ ïðåôèêñîì ñëîâà ÒÓÍÈÑ, ñëîâî ÎËÀ ÿâëÿåòñÿ ñóôôèêñîì ñëîâà ÀÍÃÎËÀ, ñëîâî ÃÅÍÒ ÿâëÿåòñÿ ïîäñëîâîì ñëîâà ÀÐÃÅÍÒÈÍÀ, à ñëîâî
ÐÈÌ ÿâëÿåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñëîâà ÑÓÐÈÍÀÌ.3
Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî çàïèñü u A v îçíà÷àåò, ÷òî u åñòü ñóôôèêñ v , à íå ÷òî
v åñòü ïðåôèêñ u. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ëþáûå ïðåôèêñû è ñóôôèêñû ÿâëÿþòñÿ
ïîäñëîâàìè, à ëþáîå ïîäñëîâî ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ. Òàêæå âåðíû ñëåäóþùèå
ñâîéñòâà:
Ïðè âñåõ u, v è w âûïîëíåíî:
à) u @ u, u A u, u A@ u (ðåôëåêñèâíîñòü);
á) Åñëè u @ v è v @ u, òî u = v (àíòèñèììåòðè÷íîñòü, àíàëîãè÷íî äëÿ A è A@);
â) Åñëè u @ v è v @ w, òî u @ w (òðàíçèòèâíîñòü, àíàëîãè÷íî äëÿ A è A@).
Óòâåðæäåíèå 17.
Ãîâîðÿò, ÷òî ñëîâà îáðàçóþò ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà îòíîñèòåëüíî âñåõ
òð¼õ îïåðàöèé. (Áîëåå òîãî, ýòî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî áóäåò ðåø¼òêîé).
Ïîíÿòèå ïðåôèêñà ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü âàæíîå ïîíÿòèå:
ßçûê L íàçûâàåòñÿ
u è v èç L íå âûïîëíÿåòñÿ u @ v .
Îïðåäåëåíèå 18.
áåñïðåôèêñíûì, åñëè íè äëÿ êàêèõ ðàçëè÷íûõ
Áåñïðåôèêñíûå ÿçûêè î÷åíü âàæíû: òàêèì ñâîéñòâîì îáëàäàþò ìíîæåñòâî ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë, ìíîæåñòâî ôîðìóë ïåðâîãî ïîðÿäêà (ò.å. ôîðìóë ñ êâàíòîðàìè),
ìíîæåñòâà êîððåêòíûõ ïðîãðàìì âî ìíîãèõ ÿçûêàõ ïðîãðàììèðîâàíèÿ è ò.ä.
3
Ïðàâèëüíûå ñêîáî÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
 ëþáûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôîðìóëàõ âàæíóþ ðîëü èãðàþò ñêîáêè. Ïîñêîëüêó ìû àíàëèçèðóåì ôîðìàëüíûé ÿçûê, òî ðàçóìíî ñíà÷àëà ïðîàíàëèçèðîâàòü ÿçûê, ñîñòîÿùèé
òîëüêî èç ñêîáîê.
Îïðåäåëåíèå 19.
Ñêîáî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íàçîâ¼ì ëþáîå ñëîâî â àëôàâè-
òå {(, )}, ò.å. ëþáîé ýëåìåíò {(, )}∗ .
ïðàâèëüíîé ñêîáî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî ôîðìàëè-
Èíòóèòèâíîå ïîíÿòèå
çîâàòü òðåìÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè:
Îïðåäåëåíèå 20. Ñêîáî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè âñå
âõîäÿùèå â íå¼ ñêîáêè ìîæíî ðàçáèòü íà ïàðû, òàê ÷òî â êàæäîé ïàðå åñòü îòêðûâàþùàÿ è çàêðûâàþùàÿ ñêîáêè, ïðè÷¼ì îòêðûâàþùàÿ âñòðå÷àåòñÿ ðàíüøå.
Îïðåäåëåíèå 21.
Ñêîáî÷íûì èòîãîì (áàëàíñîì) ñêîáî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà-
çûâàåòñÿ ðàçíîñòü ÷èñëà çàêðûâàþùèõ è îòêðûâàþùèõ ñêîáîê. Ñêîáî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè å¼ ñêîáî÷íûé èòîã ðàâåí íóëþ, à ó ëþáîãî å¼
ïðåôèêñà ñêîáî÷íûé èòîã íåîòðèöàòåëüíûé.
3  ãåîãðàôè÷åñêîì ñìûñëå Òóí ðàñïîëîæåí â Øâåéöàðèè, Îëà â Ìàãàäàíñêîé îáëàñòè Ðîññèè,
Ãåíò â Áåëüãèè, à Ðèì, ðàçóìååòñÿ, â Èòàëèè.
6
Ïóñòàÿ ñêîáî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ò.å. ε) ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé.
Åñëè s ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé ñêîáî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, òî (s) òîæå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé ñêîáî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ. Åñëè s1 è s2 ÿâëÿþòñÿ ïðàâèëüíûìè, òî s1 · s2
òîæå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé. Íèêàê èíà÷å îáðàçîâàòü ïðàâèëüíóþ ñêîáî÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåëüçÿ.
Îïðåäåëåíèå 22.
Îïðåäåëåíèÿ 20, 21 è 22 ýêâèâàëåíòíû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåä¼ì äîêàçàòåëüñòâî ïî öèêëó: äîêàæåì, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ 20
Òåîðåìà 23.
ñëåäóåò 21, èç îïðåäåëåíèÿ 21 ñëåäóåò 22, à èç 22 20.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè âñå ñêîáêè ðàçáèòû íà ïàðû, òî â ëþáîé ïðåôèêñ îò êàæäîé
ïàðû ëèáî íå âõîäèò íè îäíîé ñêîáêè, ëèáî ðîâíî îäíà, ëèáî îáå. Ïàðû, îò êîòîðûõ
íå âõîäÿò íè îäíîé ñêîáêè èëè âõîäÿò îáå, äàþò íóëåâîé âêëàä â ñêîáî÷íûé èòîã ïðåôèêñà, à ïàðû, îò êîòîðûõ âõîäèò ðîâíî îäíà ñêîáêà, äàþò âêëàä +1, ò.ê. ýòà ñêîáêà
îáÿçàòåëüíî îòêðûâàþùàÿ, ðàç âñòðå÷àåòñÿ ðàíüøå. Çíà÷èò, ó ëþáîãî ïðåôèêñà ñêîáî÷íûé èòîã íåîòðèöàòåëüíûé. Íó à âñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîäåðæèò âñå ïàðû, ïîýòîìó
å¼ ñêîáî÷íûé èòîã íóëåâîé.
Ïóñòü äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè t òåïåðü âûïîëíåíî îïðåäåëåíèå 21. Áóäåì äîêàçûâàòü èíäóêöèåé ïî äëèíå t, ÷òî îíà ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåíèþ 22. Åñëè t = ε, òî îïðåäåëåíèå 22 âûïîëíåíî, è ýòî áàçà èíäóêöèè. Èíà÷å ðàññìîòðèì êðàò÷àéøèé íåïóñòîé
ïðåôèêñ t0 @ t, ñêîáî÷íûé èòîã êîòîðîãî ðàâåí íóëþ. Çàìåòèì, ÷òî ïåðâûì ñèìâîëîì t0
îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ îòêðûâàþùàÿ ñêîáêà, à ïîñëåäíèì çàêðûâàþùàÿ, èíà÷å óñëîâèå íà íåîòðèöàòåëüíîñòü ñêîáî÷íîãî èòîãà áóäåò íàðóøåíî ëèáî äëÿ îäíîáóêâåííîãî
ïðåôèêñà t0 , ëèáî äëÿ (|t0 | − 1)-áóêâåííîãî. Ïóñòü t0 = t. Òîãäà â ñèëó ñêàçàííîãî âûøå
t = (s). Ïðè ýòîì ñêîáî÷íûé èòîã s òàêîé æå êàê ó t, ò.å. íóëåâîé, à ñêîáî÷íûé èòîã
ëþáîãî ïðåôèêñà s0 @ s íåîòðèöàòåëüíûé, ïîñêîëüêó (s0 åñòü ïðåôèêñ t0 , è ïî îïðåäåëåíèþ t0 ñêîáî÷íûé èòîã (s0 ïîëîæèòåëüíûé. Çíà÷èò, äëÿ s0 âûïîëíåíî îïðåäåëåíèå 21,
è ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè âûïîëíåíî îïðåäåëåíèå 22. Çíà÷èò, äëÿ t = (s) îïðåäåëåíèå 22 òàêæå âûïîëíåíî, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Åñëè æå t0 êîðî÷å t, òî t = t0 · s. Äëÿ t0
âûïîëíåíî îïðåäåëåíèå 21, ïîñêîëüêó âñå åãî ïðåôèêñû ÿâëÿþòñÿ ïðåôèêñàìè t. Äëÿ
s îíî òîæå âûïîëíåíî, ïîñêîëüêó ó ïðåôèêñà s0 @ s ñêîáî÷íûé èòîã òàêîé æå, êàê è ó
t0 · s0 , êîòîðîå åñòü ïðåôèêñ t. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè îïðåäåëåíèå 22 âûïîëíåíî
äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé t0 è s, çíà÷èò îíî âûïîëíåíî è äëÿ t = t0 · s, ÷òî è òðåáîâàëîñü.
Íàêîíåö, äîêàæåì, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ 22 ñëåäóåò îïðåäåëåíèå 20. Âåñòè äîêàçàòåëüñòâî áóäåì èíäóêöèåé ïî ïîñòðîåíèþ. Äëÿ ïóñòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âñ¼ âåðíî:
íèêàêèõ ñêîáîê íåò è íè÷åãî ðàçáèâàòü íå íàäî. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü s ðàçáèòà íà
ïàðû ñêîáîê, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (s) òîæå ðàçáèâàåòñÿ: íàäî äîáàâèòü ïàðó âíåøíèõ
ñêîáîê. Íàêîíåö, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè s1 è s2 ðàçáèòû íà ïàðû ñêîáîê, òî îáúåäèíåíèå ýòèõ ðàçáèåíèé äà¼ò ðàçáèåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè s1 ·s2 . Òàêèì îáðàçîì, âñå òðè
èìïëèêàöèè è âñÿ òåîðåìà äîêàçàíû.
Ðåêóðñèâíûå îïðåäåëåíèÿ, ïîõîæèå íà 22 áóäóò ÷àñòî íàì âñòðå÷àòüñÿ. Òåîðèÿ ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ ïîäðîáíî èõ ðàññìàòðèâàåò, íàçûâàÿ êîíòåêñòíî-ñâîáîäíûìè ãðàììàòèêàìè. Òàê, îïðåäåëåíèå 22 ìîãëî áû áûòü çàïèñàíî êàê
pmp → ε | (pmp) | pmp · pmp,
7
ãäå pmp îçíà÷àåò properly matched parantheses. Ìû íå áóäåì ïîäðîáíî ðàñøèôðîâûâàòü ýòó çàïèñü, îñòàâëÿÿ ÷èòàòåëþ âîçìîæíîñòü äîãàäàòüñÿ î å¼ çíà÷åíèè ñàìîñòîÿòåëüíî.
Òàêæå ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðàâèëüíûå ñêîáî÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âàæíû äëÿ
êîìáèíàòîðèêè: êîëè÷åñòâî ïðàâèëüíûõ ñêîáî÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé äëÿ n ïàð ñêîáîê íàçûâàåòñÿ n-ûì ÷èñëîì Êàòàëàíà è èìååò ìíîãî èíòåðåñíûõ ñâîéñòâ.
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïðàâèëüíûõ ñêîáî÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íå ñîáëþäàåòñÿ
: ïî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåâîçìîæíî îäíîçíà÷íî ñêàçàòü, ïî êàêîìó
ïðàâèëó è èç êàêèõ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îíà îáðàçîâàíà. Íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ()()() ìîæåò âîçíèêíóòü êàê ()() · () è êàê () · ()(). (Âïðî÷åì, íåñêîëüêî âàðèàíòîâ
ðàçáèåíèÿ íà ñîñòàâëÿþùèå ïî òðåòüåìó ïðàâèëó ýòî åäèíñòâåííûé èñòî÷íèê íåîäíîçíà÷íîñòè).
îäíî-
çíà÷íîñòü ðàçáîðà
4
Ïîñòðîåíèå ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë
Ïîñëå ïðîâåä¼ííîé ïîäãîòîâêè ïåðåéä¼ì ê îïèñàíèþ ÿçûêà ïðîïîçèöèîíàëüíîé ëîãèêè.
Ñëîâî ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ îçíà÷àåò îòíîñÿùàÿñÿ ê âûñêàçûâàíèÿì, ò.å. óòâåðæäåíèÿì, êîòîðûå ìîãóò áûòü èñòèííû èëè ëîæíû. Ïðåæäå âñåãî îïèøåì àëôàâèò.
Àëôàâèò áóäåò ñîäåðæàòü ïðîïîçèöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå, ò.å. ñèìâîëû, îáîçíà÷àþùèå âûñêàçûâàíèÿ. Îáû÷íî ìû áóäåì îáîçíà÷àòü èõ áóêâàìè p, q , r è ò.ä. Ìû äîãîâîðèëèñü, ÷òî àëôàâèò êîíå÷åí, íî íà ïðàêòèêå óäîáíî èìåòü õîòÿ áû ñ÷¼òíîå ÷èñëî
ïåðåìåííûõ. Íóæíî ëèáî îòêàçàòüñÿ îò òðåáîâàíèÿ êîíå÷íîñòè àëôàâèòà, ëèáî ðàçðåøèòü îáîçíà÷àòü ïåðåìåííûå áîëåå, ÷åì îäíèì ñèìâîëîì, íàïðèìåð ëàòèíñêîé áóêâîé
ñ äåñÿòè÷íûì ÷èñëîì â èíäåêñå. Ïîìèìî ïåðåìåííûõ, ÿçûê áóäåò ñîäåðæàòü ñèìâîëû
ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé ∧ (êîíúþíêöèÿ, è), ∨ (äèçúþíêöèÿ, èëè), → (èìïëèêàöèÿ,
âëå÷¼ò) è ¬ (îòðèöàíèå, íå), à òàêæå ñêîáêè.
Ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû îïðåäåëÿþòñÿ ðåêóðñèâíî:
Åñëè p ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ, òî p åñòü ôîðìóëà.4 Åñëè
ϕ åñòü ôîðìóëà, òî ¬ϕ òàêæå ôîðìóëà. Åñëè ϕ è ψ ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè, òî (ϕ ∧ ψ),
(ϕ ∨ ψ) è (ϕ → ψ) òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè.
Îïðåäåëåíèå 24.
Íàïðèìåð, ôîðìóëîé áóäåò ÿâëÿòüñÿ âûðàæåíèå ((p∨q) → ¬(q∧¬¬r)). Âèäíî, ÷òî ïî
äàííîìó îïðåäåëåíèþ íóæíî ñòàâèòü èçëèøíåå êîëè÷åñòâî ñêîáîê. Íàïðèìåð, âíåøíèå
ñêîáêè âîêðóã âñåé ôîðìóëû íå íóæíû, à ðàññòàíîâêà ïðèîðèòåòîâ îïåðàöèé ïîçâîëÿåò åù¼ óìåíüøèòü ÷èñëî ñêîáîê. Îäíàêî, äàííîå íàìè îïðåäåëåíèå íàèáîëåå ïðîñòî è
â ôîðìóëèðîâêå, è ïðè àíàëèçå. Ìû äîêàæåì, ÷òî â îòëè÷èå îò ïðàâèëüíûõ ñêîáî÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû ðàçáèðàþòñÿ îäíîçíà÷íî, ÷òî
èñêëþ÷àåò ðàçíî÷òåíèÿ â òðàêòîâêå èõ ñìûñëà.
(î ñêîáî÷íîì èòîãå) Ñêîáî÷íûì èòîãîì ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàçîâ¼ì ðàçíîñòü êîëè÷åñòâ îòêðûâàþùèõ è çàêðûâàþùèõ ñêîáîê â íåé (áåçîòíîñèòåëüíî
Ëåììà 25
.
4 Åñëè
ïåðåìåííàÿ îáîçíà÷àåòñÿ îäíèì ñèìâîëîì, òî ôîðìóëîé áóäåò îäíîáóêâåííîå ñëîâî èç ýòîãî
ñèìâîëà, åñëè ìíîãèìè, òî ôîðìóëîé áóäåò ñîîòâåòñòâóþùåå ñëîâî.
8
ïðî÷èõ ñèìâîëîâ). Ïóñòü ϕ åñòü ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà, à s íåêîòîðûé å¼ ïðåôèêñ. Òîãäà ñêîáî÷íûé èòîã s íåîòðèöàòåëåí, ïðè÷¼ì ðàâåí íóëþ, òîëüêî åñëè s = ϕ
èëè s ∈ {¬}∗ (ò.å. ëèáî ïóñò, ëèáî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåñêîëüêî çíàêîâ îòðèöàíèÿ).5
Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì äîêàçûâàòü ëåììó èíäóêöèåé ïî ïîñòðîåíèþ ôîðìóëû. Äëÿ
ïåðåìåííîé âñ¼ âåðíî, ïîñêîëüêó ó íå¼ òîëüêî äâà ïðåôèêñà: ïóñòîé è îíà ñàìà. Åñëè äëÿ ôîðìóëû ϕ ëåììà âåðíà, òî è äëÿ ôîðìóëû ¬ϕ òîæå âåðíà: ëþáîé ïðåôèêñ
ôîðìóëû ¬ϕ ïîëó÷àåòñÿ äîïèñûâàíèåì ¬ â íà÷àëî ïðåôèêñà ϕ, îò÷åãî íå ìåíÿåòñÿ íè
ñêîáî÷íûé èòîã, íè çàêëþ÷åíèå ëåììû. Íàêîíåö, åñëè äëÿ ôîðìóë ϕ è ψ ôîðìóëà âåðíà,
òî îíà âåðíà è äëÿ (ϕ ∗ ψ), ãäå ∗ îáîçíà÷àåò îäèí èç ñèìâîëîâ ∧, ∨, →. Äåéñòâèòåëüíî,
ðàññìîòðèì ñîáñòâåííûé íåïóñòîé ïðåôèêñ (ϕ ∗ ψ). Òîãäà îí íå ïîäõîäèò ïîä çàêëþ÷åíèå ëåììû. Ïîñ÷èòàåì åãî ñêîáî÷íûé èòîã. Åñëè îí èìååò âèä (ϕ0 , ãäå ϕ0 @ ϕ, òî åãî
ñêîáî÷íûé èòîã íà åäèíèöó áîëüøå ñêîáî÷íîãî èòîãà ϕ0 , ò.å. ïîëîæèòåëüíûé. Åñëè æå
îí èìååò âèä (ϕ ∗ ψ 0 , ãäå ψ 0 @ ψ , òî åãî ñêîáî÷íûé èòîã íà åäèíèöó áîëüøå ñêîáî÷íîãî
èòîãà ψ 0 , ò.å. òîæå ïîëîæèòåëüíûé. Òàêèì îáðàçîì, óòâåðæäåíèå ëåììû äîêàçàíî.
Ïóñòü ϕ åñòü ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìóëà. Òîãäà ìîæíî îäíîçíà÷íî ñêàçàòü, ïî êàêîìó ïðàâèëó è èç êàêèõ ïîäôîðìóë îíà
îáðàçîâàíà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñìîòðèì íà ïåðâûé ñèìâîë ϕ. Åñëè ýòî ïåðåìåííàÿ, òî ôîðìó-
Òåîðåìà 26
(îá îäíîçíà÷íîñòè ðàçáîðà).
ëà ñàìà ÿâëÿåòñÿ ïåðåìåííîé. Åñëè ýòî ñèìâîë ¬, òî ôîðìóëà îáðàçîâàíà ïî âòîðîìó
ïðàâèëó èç ïîäôîðìóëû, ïîëó÷àþùåéñÿ çà÷¼ðêèâàíèåì ýòîãî ñèìâîëà. Åñëè æå ýòî
îòêðûâàþùàÿ ñêîáêà, òî àïðèîðè âîçìîæíû ðàçëè÷íûå âàðèàíòû. Äîêàæåì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî âàðèàíò åäèíñòâåííûé. Ïóñòü (ϕ1 ∗ ψ1 ) P (ϕ2 ∗ ψ2 ), ãäå çíàê P (ãðàôè÷åñêîå
ðàâåíñòâî, ïîñèìâîëüíîå ñîâïàäåíèå) ïîä÷¼ðêèâàåò ðàâåíñòâî âûðàæåíèé êàê ñëîâ, à íå
â êàêîì-òî äðóãîì ñìûñëå. Çíàêè ∗ ìîãóò îáîçíà÷àòü ðàçíûå ñèìâîëû, ýòî íå ïîâëèÿåò
íà íàøè ðàññóæäåíèÿ. Åñëè ϕ1 P ϕ2 , òî ψ1 P ψ2 , ò.å. ýòî òî æå ñàìîå ïðåäñòàâëåíèå.
Ïóñòü ϕ1 6P ϕ2 . Òîãäà îäíà èç ýòèõ ôîðìóë ÿâëÿåòñÿ ïðåôèêñîì äðóãîé, áåç îãðàíè÷åíèÿ
îáùíîñòè ϕ1 @ ϕ2 . Íî, ñ îäíîé ñòîðîíû, ñêîáî÷íûé èòîã ϕ1 íóëåâîé, à ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñêîáî÷íûé èòîã ñîáñòâåííîãî ïðåôèêñà ϕ2 ìîæåò áûòü íóëåâûì, òîëüêî åñëè îí
ëåæèò â {¬}∗ . Òàêèå ñëîâà íå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè, ïîýòîìó ìû ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ. Çíà÷èò, ïðè îáðàçîâàíèè ôîðìóëû ïî òðåòüåìó ïðàâèëó òàêæå ìîæíî îäíîçíà÷íî
ñêàçàòü, èç êàêèõ ïîäôîðìóë îíà îáðàçîâàíà, òàê ÷òî òåîðåìà äîêàçàíà.
5 Çäåñü ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ïåðåìåííàÿ ýòî îäèí ñèìâîë, èíà÷å ïðèøëîñü áû äîáàâèòü âàðèàíò, êîãäà
ϕ åñòü ïðåôèêñ ïåðåìåííîé.
9