Линейка длиной в один нанометр

1-4.p65
1
28.07.2009, 17:40
2-3.P65
1
29.07.2009, 11:35
ÈÞËÜ
ÀÂÃÓÑÒ
ÍÀÓ×ÍÎ-ÏÎÏÓËßÐÍÛÉ
2009
©
Þ
¹4
ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
ÆÓÐÍÀË
ÈÇÄÀÅÒÑß Ñ ßÍÂÀÐß 1970 ÃÎÄÀ
 íîìåðå:
Ó÷ðåäèòåëè — Ðîññèéñêàÿ àêàäåìèÿ
íàóê, Ôîíä ïîääåðæêè
ôóíäàìåíòàëüíîé íàóêè è
îáðàçîâàíèÿ (Ôîíä Îñèïüÿíà),
ÈÔÒÒ ÐÀÍ
Èçäàòåëü – ÎÎÎ ÍÏÏ ÎÎ
«Áþðî Êâàíòóì»
ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
Ñ.Ñ.Êðîòîâ
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß
À.ß.Áåëîâ, Þ.Ì.Áðóê, À.À.Âàðëàìîâ,
À.Í.Âèëåíêèí, Â.È.Ãîëóáåâ, Ñ.À.Ãîðäþíèí,
Í.Ï.Äîëáèëèí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî
ðåäàêòîðà), Â.Í.Äóáðîâñêèé,
À.À.Åãîðîâ, À.Â.Æóêîâ,
À.Ð.Çèëüáåðìàí, Â.Â.Êâåäåð (çàìåñòèòåëü
ïðåäñåäàòåëÿ ðåäêîëëåãèè), Ï.À.Êîæåâíèêîâ,
Â.Â.Êîçëîâ (çàìåñòèòåëü ïðåäñåäàòåëÿ
ðåäêîëëåãèè), Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.À.Ëåîíîâè÷,
Þ.Ï.Ëûñîâ, Â.Â.Ïðîèçâîëîâ, Í.Õ.Ðîçîâ,
À.Á.Ñîñèíñêèé, À.Ë.Ñòàñåíêî, Â.Ã.Ñóðäèí,
Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Â.À.Òèõîìèðîâà, Â.Ì.Óðîåâ,
À.È.×åðíîóöàí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî
ðåäàêòîðà)
%
&
"
&
!
!"
!"
!$
!
!%
"
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÛÉ ÑÎÂÅÒ
À.Â.Àíäæàíñ, Â.È.Àðíîëüä, Ì.È.Áàøìàêîâ,
Â.È.Áåðíèê, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, À.À.Áîðîâîé,
Í.Í.Êîíñòàíòèíîâ, Ã.Ë.Êîòêèí, Ñ.Ï.Íîâèêîâ,
Ë.Ä.Ôàääååâ
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß
1970 ÃÎÄÀ
ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
È.Ê.Êèêîèí
ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÌÅÑÒÈÒÅËÜ
ÃËÀÂÍÎÃÎ ÐÅÄÀÊÒÎÐÀ
À.Í.Êîëìîãîðîâ
Ë.À.Àðöèìîâè÷, Ì.È.Áàøìàêîâ,
Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, È.Í.Áðîíøòåéí,
Í.Á.Âàñèëüåâ, È.Ô.Ãèíçáóðã, Â.Ã.Çóáîâ,
Ï.Ë.Êàïèöà, Â.À.Êèðèëëèí, Ã.È.Êîñîóðîâ,
Â.À.Ëåøêîâöåâ, Â.Ï.Ëèøåâñêèé,
À.È. Ìàðêóøåâè÷, Ì.Ä.Ìèëëèîíùèêîâ,
Í.À.Ïàòðèêååâà, Í.Õ.Ðîçîâ,
À.Ï.Ñàâèí,È.Ø.Ñëîáîäåöêèé,
Ì.Ë.Ñìîëÿíñêèé, ß.À.Ñìîðîäèíñêèé,
Â.À.Ôàáðèêàíò, ß.Å.Øíàéäåð
Òîâàðíûé çíàê «Æóðíàë «Êâàíò»
ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîñòüþ
ÎÎÎ ÍÏÏ ÎÎ «Áþðî Êâàíòóì»
© 2009, ÐÀÍ,
Ôîíä Îñèïüÿíà, æóðíàë «Êâàíò»
01-19.p65
1
ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ
Ëèíåéêà äëèíîé â îäèí íàíîìåòð. È.ßìèíñêèé
Ïî÷åìó óãëåðîäíûå òðóáêè ïðî÷íåå ñòàëè?
Àðèôìåòèêà ìíîãîãðàííèêîâ. Ã.Ïàíèíà
Ðàññêàçû î ñîâðåìåííîé ìåõàíèêå (ïðîäîëæåíèå). Ã.׸ðíûé
ÍÀØÈ ÍÀÁËÞÄÅÍÈß
Ìàòåìàòèêè è ïðîãðàììèñòû. À.Øåíü
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
Çàäà÷è Ì2139–Ì2145, Ô2145–Ô2152
Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2116–Ì2123, Ô2130–Ô2137
Ê Ì Ø
Çàäà÷è
Êîíêóðñ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà «Ìàòåìàòèêà 6–8»
Îá îäíîé õîðîøî çàáûòîé ñòàðîé çàäà÷å. Â.Äîöåíêî,
Ê.Øðàìîâ
Ïîáåäèòåëè êîíêóðñà èìåíè À.Ï.Ñàâèíà «Ìàòåìàòèêà 6–8»
2008/09 ó÷åáíîãî ãîäà
ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ»
Ïîä äàííûì óãëîì
ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»
Äâèæåíèÿ ïëîñêîñòè è òåîðåìà Øàëÿ. Â.Áóãàåíêî
Çàãàäî÷íûå êðóãè è äâèæåíèÿ ïëîñêîñòè. Ñ.Äîðè÷åíêî,
Ñ.Øàøêîâ, À.Øåíü
"!
ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß «ÊÂÀÍÒÀ»
Îïûòû ñ êîìïàêò-äèñêîì. Í.Ðîñòîâöåâ, À.Ñåäîâ
"$
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
Ìîäóëü ñóììû è ñóììà ìîäóëåé. À.Åãîðîâ
"'
#
#
##
#$
#%
#'
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
XXX Òóðíèð ãîðîäîâ
Èçáðàííûå çàäà÷è LXXII Ìîñêîâñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé
îëèìïèàäû
Èçáðàííûå çàäà÷è Ìîñêîâñêîé ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäû
XIII Ìåæäóíàðîäíûé òóðíèð «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà»
Âñåðîññèéñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß
Èçáðàííûå çàäà÷è ñîáåñåäîâàíèé â 9 êëàññ 57 øêîëû
Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ
Íàì ïèøóò (30)
ÍÀ ÎÁËÎÆÊÅ
I
II
III
IV
Èëëþñòðàöèÿ ê ðóáðèêå «Íàíîòåõíîëîãèè»
Êâàíòû Èíòåðíåòà
Øàõìàòíàÿ ñòðàíè÷êà
Ïðîãóëêè ñ ôèçèêîé
 èçäàíèè æóðíàëà «Êâàíò» ôèíàíñîâîå ó÷àñòèå ïðèíèìàåò
ÎÀÎ «ÒÅÕÑÍÀÁÝÊÑÏÎÐÒ»
29.07.09, 17:14
ÊÂÀÍT 2009/¹4
ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ
Ëèíåéêà äëèíîé
â îäèí íàíîìåòð
È.ßÌÈÍÑÊÈÉ
Äåâî÷êå Íàíà è ìàëü÷èêó Íîíî îáúÿñíÿþò, ÷òî òàêîå íàíîìåòð. Ñîîáðàçèòåëüíàÿ Íàíà
óëûáàåòñÿ. Åé âñå ïîíÿòíî. Íàíîìåòð – ýòî îäíà ìèëëèàðäíàÿ ÷àñòü ìåòðà.  Íîíî âèäíî
íàïðÿæåíèå. Ñ íåêîòîðîé çàäåðæêîé îí ñïðàøèâàåò: à ÷òî òàêîå ìåòð? È òóò áîëüøîé
ïåäàãîãè÷åñêèé òàêò ïðîÿâëÿåò òðåòèé ïåðñîíàæ – óìóäðåííûé îïûòîì ïðîôåññîð. Îí íå
ðàçäðàæàåòñÿ, íå âîçìóùàåòñÿ, à ïðîñòî ïîäõîäèò ê Íîíî è ïîêàçûâàåò åìó, ÷òî ìåòð ýòî ïðèìåðíî
ðàññòîÿíèå îò ïîëà äî ïîäáîðîäêà Íîíî. Ìàëü÷èê ðàäóåòñÿ, ÷òî îí ñàì áîëüøå ìåòðà. Îí âñå
ïîíÿë è óæå ãîòîâ áåæàòü èãðàòü â ôóòáîë...
Òàê íà÷èíàåòñÿ òàéâàíüñêèé ìóëüòôèëüì «Ôàíòàñòè÷åñêîå ïóòåøåñòâèå Íàíà è Íîíî», êîòîðûé
ïîñâÿùåí ïîïóëÿðíîìó ðàññêàçó î íàíîòåõíîëîãèÿõ. È òàêîå íà÷àëî ìóëüòôèëüìà íå ñëó÷àéíî.
Íàíîòåõíîëîãèè îïèðàþòñÿ íà èçìåðåíèÿ, â êîòîðûõ íàíîìåòð èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü. Èìåííî î
íàíîìåòðå è áóäåò ðàññêàçàíî â ñòàòüå.
Íåìíîãî èñòîðèè
Ââåäåíèå
Âñåì èçâåñòíî, ÷òî ìåòð – ýòî îñíîâíàÿ åäèíèöà äëèíû. Îí áûë
ââåäåí âî Ôðàíöèè â XVIII âåêå è îïðåäåëÿëñÿ êàê îäíà ñîðîêàìèëëèîííàÿ ÷àñòü äëèíû Ïàðèæñêîãî ìåäèàíà.  1799 ãîäó èç ñïëàâà
ïëàòèíû è èðèäèÿ áûë èçãîòîâëåí ïåðâûé ýòàëîí ìåòðà.
Ïðè âûáîðå ìåòðà â êà÷åñòâå åäèíèöû äëèíû ðóêîâîäñòâîâàëèñü, â
÷àñòíîñòè, òàêèìè âàæíûìè ñîîáðàæåíèÿìè, êàê óäîáñòâî èñïîëüçî-
 Òîêèî ïåðåä îãðîìíûì âûñòàâî÷íûì çàëîì, ãäå åæåãîäíî ïðîõîäèò
ìåæäóíàðîäíîå øîó ïî íàíîòåõíîëîãèÿì, ñîîðóæåíà ñîðîêàìåòðîâàÿ ïèëà,
íàïîëîâèíó âêîïàííàÿ â çåìëþ. Ýòî ïàìÿòíèê áîëüøîé òðóæåíèöå îáû÷íûõ
òåõíîëîãèé. Íàíîòåõíîëîãèè æå ïðèçâàíû êîíñòðóèðîâàòü íîâûå óñòðîéñòâà
è ìàòåðèàëû, ñîáèðàÿ èõ, êàê â êîíñòðóêòîðå, èç àòîìîâ è ìîëåêóë.
Ýòà ñòàòüÿ îïóáëèêîâàíà â ðàìêàõ äîãîâîðà ñ ÃÊ «ÐÎÑÍÀÍÎÒÅÕ».
01-19.p65
2
Êîãäà ìåòðîëîãèÿ áûëà
áåç ïðèñòàâêè «íàíî»
Èçäðåâëå áîëüøèíñòâî ìåð äëèíû ñòðîèëèñü èñõîäÿ èç óäîáñòâà èõ èñïîëüçîâàíèÿ.
Íàïðèìåð, ñòàðîðóññêàÿ ñàæåíü, èëè ïðÿìàÿ ñàæåíü, áûëà ðàâíà ðàññòîÿíèþ îò êîíöà ïàëüöåâ îäíîé âûòÿíóòîé ïî ãîðèçîíòàëè
ðóêè äî êîíöà ïàëüöåâ äðóãîé âûòÿíóòîé
ðóêè. Ïî óêàçó Íèêîëàÿ I, â 1835 ãîäó áûëè
ïðèâåäåíû â ñîîòâåòñòâèå ðóññêèå è àíãëèéñêèå ìåðû äëèíû. Îí ïîëîæèë, ÷òî îäíà
ñàæåíü äîëæíà ðàâíÿòüñÿ ñåìè àíãëèéñêèì
ôóòàì (îò àíãëèéñêîãî foot – ñòóïíÿ). Ïðè
ïåðåâîäå â ìåòðû ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî 1 ïðÿìàÿ
ñàæåíü ðàâíà 2,1336 ìåòðà.
Êîñàÿ ñàæåíü — åùå îäíà ñòàðîðóññêàÿ
åäèíèöà äëèíû, ðàâíàÿ 2,48 ìåòðà. Ïåðâîíà÷àëüíî êîñàÿ ñàæåíü îïðåäåëÿëàñü êàê
ðàññòîÿíèå îò ïàëüöåâ ëåâîé íîãè äî êîí÷èêîâ ïàëüöåâ âûòÿíóòîé ïî äèàãîíàëè ïðàâîé
ðóêè.
Ýòî áûëè óäîáíûå â ïðèìåíåíèè ìåðû.
Îäíàêî, èñïîëüçóÿ èõ, ïîëó÷àëè … ðàçëè÷íûå äëèíû.
Î íåîáõîäèìîñòè è âàæíîñòè àêêóðàòíûõ
è òî÷íûõ èçìåðåíèé õîðîøî ïîíèìàë Äìèòðèé Èâàíîâè÷ Ìåíäåëååâ, êîòîðûé áûë ïåðâîïðîõîäöåì íå òîëüêî â ñîçäàíèè ïåðèîäè÷åñêîé ñèñòåìû ýëåìåíòîâ. Åìó áûëî î÷åâèäíî, ÷òî â îáùåñòâå ñ ðàñòóùèì ïðîìûøëåííûì ïðîèçâîäñòâîì âîïðîñ èçìåðåíèé è
ìåòðîëîãèè ïðèíèìàåò êëþ÷åâîå çíà÷åíèå.
Ðàçâèòèå æåëåçíîäîðîæíîãî òðàíñïîðòà,
ñòàíîâëåíèå çàâîäîâ è ôàáðèê, âõîæäåíèå
Ðîññèè â ìèðîâóþ ýêîíîìèêó òðåáîâàëè
ðåøåíèÿ çàäà÷ åäèíñòâà èçìåðåíèé. Íåîá-
29.07.09, 17:14
ËÈÍÅÉÊÀ
õîäèìû áûëè ñåðüåçíûå óñèëèÿ, ÷òîáû êèëîãðàììû, ãðàììû, ìåòðû, ñàíòèìåòðû, ìèëëèìåòðû è äþéìû âåçäå áûëè îäèíàêîâûìè.
Ñ 1892 ãîäà è äî êîíöà ñâîåé æèçíè
Ä.È.Ìåíäåëååâ âîçãëàâëÿë ïåðâîå íàó÷íîå
ìåòðîëîãè÷åñêîå ó÷ðåæäåíèå Ðîññèè – Ãëàâíóþ ïàëàòó ìåð è âåñîâ. Åå çàäà÷åé áûëî
îáåñïå÷åíèå åäèíñòâà ìåð è ñîçäàíèå íàäåæíûõ ìåòîäîâ èçìåðåíèé è èõ ýòàëîíîâ, à
òàêæå îáåñïå÷åíèå åäèíîîáðàçèÿ è âåðíîñòè
ïðèìåíÿåìûõ ìåð è èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ. Òåïåðü ýòî Âñåðîññèéñêèé íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèé èíñòèòóò ìåòðîëîãèè, íîñÿùèé èìÿ Ä.È. Ìåíäåëååâà. Ïàëàòà, à
íûíå èíñòèòóò ðàñïîëîæåíû â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå. Áëàãîäàðÿ óñèëèÿì Ä.È.Ìåíäåëååâà, â 1900 ãîäó â Ìîñêâå ïðè Ìîñêîâñêîì
îêðóæíîì ïðîáèðíîì óïðàâëåíèè áûëà ñîçäàíà Ïîâåðî÷íàÿ ïàëàòêà òîðãîâûõ ìåð è
âåñîâ ¹3. Ñåé÷àñ ýòî Âñåðîññèéñêèé íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèé èíñòèòóò ìåòðîëîãè÷åñêîé ñëóæáû (ïðåäïðèÿòèå ôåäåðàëüíîãî
çíà÷åíèÿ). Åãî ýìáëåìà – áóêâà Ì (ïåðâàÿ
áóêâà â ñëîâå ÌÅÒÐÎËÎÃÈß), îïîÿñûâàþùàÿ çåìíîé øàð è îäíîâðåìåííî îïèðàþùàÿñÿ íà íåãî. Õîðîøàÿ ñèìâîëèêà äëÿ
òîãî, ÷òîáû ïîêàçàòü, íàñêîëüêî âàæíà ìåòðîëîãèÿ äëÿ âñåõ íàñ.
Ëåãåíäà îá îâñå è íå òîëüêî…
«Åñëè âû â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå êóïèëè äâà
ïóäà îâñà, à ïîòîì íà ñàíÿõ ïðèâåçëè â
Ìîñêâó è òàì âçâåñèëè îâåñ è îáíàðóæèëè,
÷òî âåñû ïîêàçûâàþò âñåãî ïîëòîðà ïóäà,
âîò áóäåò ãîðå. Íî åñëè âû – ïðåäïðèèì÷èâûé òîðãîâåö, òî ãîðå ïîïðàâèìî. Ïîêóïàåòå
â Ìîñêâå 100 ïóäîâ îâñà, à â Ñàíêò- Ïåòåðáóðãå ïðîäàåòå èõ êàê 133 ñ íåáîëüøèì
ïóäà. ×òîáû áûòü ïðåäïðèèì÷èâûì òîðãîâöåì, âàì ïðèäåòñÿ åùå ïîñìîòðåòü íà ðàçíèöó â öåíå íà îâåñ â Ìîñêâå è Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå. Ïîñ÷èòàòü, ñêîëüêî íàäî áóäåò âçÿòü
îâñà, ÷òîáû ïðîêîðìèòü ëîøàäü. Îöåíèòü
ñòîèìîñòü ñîáñòâåííîãî òðóäà. È íå çàáûòü
ïðî àìîðòèçàöèþ îáîðóäîâàíèÿ – èçíîñ
ïîäêîâ ëîøàäè è ïîëîçüåâ ñàíåé».
«Èñòîðèÿ» ñ äþéìîì
Ñ íàíîìåòðàìè íàäî âåñòè ñåáÿ àêêóðàòíî. À òî ìîãóò ïðîèçîéòè âñÿêèå èñòîðèè,
êàêèå èìåëè ìåñòî ñ ìåòðîì. Âïðî÷åì, äàæå
íå ñ ìåòðîì, à ñ äþéìîì. Êñòàòè ñêàçàòü,
ïî÷åìó-òî íàíîäþéì íå òàê ïîïóëÿðåí, êàê
íàíîìåòð. Íàâåðíîå, ïîòîìó, ÷òî íàíîäþéì
ïî÷òè â 40 ðàç ìåíüøå, ÷åì íàíîìåòð, è íà
ïîðÿäîê ìåíüøå ðàçìåðà àòîìà.
Íî âåðíåìñÿ ê îáåùàííîé èñòîðèè ñ äþéìîì.
Ïðîèñõîäèëî ýòî âî âðåìåíà áîëüøîé êîñìè÷åñêîé ãîíêè ìåæäó ÑÑÑÐ è ÑØÀ. Îáå
ñâåðõäåðæàâû ñïåøèëè áûòü ïåðâûìè. Âîçìîæíî, äëÿ óñêîðåíèÿ ïðîöåññà ñîçäàíèÿ
êîñìè÷åñêîé ðàêåòû àìåðèêàíöû äâå ïîëîâèíêè ðàêåòû äåëàëè â ðàçíûõ ìåñòàõ. Êîãäà äâå ïîëîâèíêè îêàçàëèñü â îäíîì ìåñòå
01-19.p65
3
ÄËÈÍÎÉ
Â
ÎÄÈÍ
ÍÀÍÎÌÅÒÐ
!
âàíèÿ è ïðèìåíåíèÿ. Â íàøå âðåìÿ, â ÕÕI âåêå, ìíîãèå èññëåäîâàíèÿ
âåäóòñÿ íà ìàñøòàáå íàíî. Ñïîñîá ïðîèçâîäñòâà, êîãäà ìàòåðèàëû è
óñòðîéñòâà êîíñòðóèðóþòñÿ è ñîáèðàþòñÿ èç îòäåëüíûõ àòîìîâ è
ìîëåêóë, ïðèíÿòî íàçûâàòü íàíîòåõíîëîãèÿìè. Äëÿ íàíîòåõíîëîãèé
Ïàëàòà ìåð è âåñî⠖ ÍÈÈ ìåòðîëîãèè èì. Ä.È.Ìåíäåëååâà
ìåòð ñëèøêîì áîëüøàÿ åäèíèöà èçìåðåíèÿ äëèíû. Ïîäõîäÿùåé
âåëè÷èíîé çäåñü ìîæåò ñëóæèòü íàíîìåòð.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè, âñå î÷åâèäíî: 1 íì = 10 −9 ì , è, êàçàëîñü
áû, íåò íè÷åãî ïðîùå. Îäíàêî íà ïðàêòèêå âîçíèêàþò ñëîæíûå
âîïðîñû. È ïåðâûé èç íèõ – êàê èçãîòîâèòü ëèíåéêó ñ ðàññòîÿíèÿìè
ìåæäó ðèñêàìè äëèíîé â îäèí íàíîìåòð. Äåéñòâèòåëüíî, ìåòð ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîé ïåðâè÷íîé åäèíèöåé äëÿ èçìåðåíèÿ äëèí è èìååò
ñâîé ýòàëîí. Íàíîìåòð ïîÿâëÿåòñÿ êàê ïðîèçâîäíàÿ îò ìåòðà åäèíèöà
äëèíû. À êàê ñäåëàòü âòîðè÷íûé ýòàëîí – äëÿ íàíîìåòðà? Ýòîò âîïðîñ
îòíîñèòñÿ ê îáëàñòè íàíîìåòðîëîãèè è èìååò ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ íàíîòåõíîëîãèé.
«Õî÷åøü ñîçäàâàòü – íàó÷èñü ìåðèòü», – ýòî ñëîâà çíàìåíèòîãî
ðóññêîãî ó÷åíîãî Äìèòðèÿ Èâàíîâè÷à Ìåíäåëååâà, âíåñøåãî îãðîìíûé âêëàä â ñîçäàíèå ìåòðîëîãè÷åñêîé ñëóæáû â Ðîññèè.  ïîëíîé
ìåðå åãî ñëîâà ñïðàâåäëèâû è äëÿ íàíîòåõíîëîãèé.
Èòàê, äàëüíåéøèé ðàññêàç áóäåò î òîì, êàê ñäåëàòü ëèíåéêó äëÿ
èçìåðåíèé äëèí â íàíîäèàïàçîíå.
Êàê ïîäåëèòü ìåòð íà ìèëëèàðä íàíîìåòðîâ?
Íàíîòåõíîëîãèè – ýòî èñêóññòâî ñîçäàâàòü íîâóþ ïðîäóêöèþ,
ðàçìåðû êîòîðîé íàõîäÿòñÿ â îáëàñòè íàíîìåòðîâîãî äèàïàçîíà. Åñëè
ñåðüåçíî çàíèìàòüñÿ ïðîèçâîäñòâîì òàêèõ èçäåëèé, òî íóæíî î÷åíü
õîðîøî íàó÷èòüñÿ èçìåðÿòü ýòè ñàìûå íàíîìåòðû. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèì íå òîëüêî óäîáíûé, íî è îäíîçíà÷íûé ýòàëîí äëèíû.
Âðîäå áû, âñå ïðîñòî: ÷òîáû ïîëó÷èòü íàíîìåòð, íàäî ðàñïèëèòü
îäèí ýòàëîííûé ìåòð íà îäèí ìèëëèàðä ðàâíûõ ÷àñòåé. Åñëè ïîòîì
ìèëëèàðä ÷åëîâåê ïîëó÷àò ïî îäíîìó íàíîìåòðó, ðàçîéäóòñÿ ïî
ðàçíûì ÷àñòÿì ñâåòà, à çàòåì, ñïóñòÿ ìíîãî âðåìåíè, âíîâü ñîáåðóòñÿ
â îäíîì ìåñòå, ïðèëîæàò âñå ñâîè íàíîìåòðû äðóã ê äðóãó è óáåäÿòñÿ,
÷òî èõ íàíîìåòðû îäèíàêîâîé äëèíû, – âîò áóäåò çäîðîâî. È îçíà÷àòü
ýòî «çäîðîâî» áóäåò ìíîãîå. Âî-ïåðâûõ, ÷òî âíà÷àëå ìåòð ïîðåçàëè
òî÷íî íà ðàâíûå ÷àñòè. Âî-âòîðûõ, ÷òî âî âðåìÿ ñòðàíñòâèé íàíîìåòð
íå ïîèçíîñèëñÿ, íå ïîèñòåðñÿ è íå ðàñòÿíóëñÿ. Â-òðåòüèõ, ÷òî òàêèå
íàíîìåòðû ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ìåðó äëèíû è ÷òî äâà ÷åëîâåêà,
èçìåðÿþùèå îäèí è òîò æå ïðåäìåò «ðàçíûìè» íàíîìåòðàìè, ïîëó÷àò
îäíè è òå æå ðåçóëüòàòû. Îäíàêî îñóùåñòâèòü òàêîå íå óäàñòñÿ,
29.07.09, 17:14
"
ÊÂÀÍT 2009/¹4
ïîñêîëüêó, êàê òîëüêî ìû íà÷íåì ïèëèòü ìåòð, ïîÿâèòñÿ ñòðóæêà, à
øèðèíà êàæäîãî ïðîïèëà ìîæåò âîîáùå îêàçàòüñÿ áîëüøå îäíîãî
íàíîìåòðà, ò.å. âåñü íàø òðóä óéäåò â îïèëêè. Ìîæíî ïîïðîáîâàòü
ðàçðåçàòü ìåòð íîæîì òàê, ÷òîáû íå áûëî îïèëîê, íî êàê ýòî ñäåëàòü?
Âåðíåìñÿ îïÿòü ê ìåòðó. Ìåòð – ýòî åäèíèöà èçìåðåíèÿ äëèíû, è
ðàâåí îí, â ñîîòâåòñòâèè ñ ñîâðåìåííûì îïðåäåëåíèåì, ðàññòîÿíèþ,
êîòîðîå ïðîõîäèò ñâåò çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ðàâíûé 1/299792458
ñåêóíäû. Ýòàëîííûé ìåòð òåïåðü ïðèâÿçàëè êî âðåìåíè è ê ñêîðîñòè
ñâåòà. Ñäåëàëè ýòî â 1983 ãîäó è ñäåëàëè ïîòîìó, ÷òî èçìåðåíèÿ
âðåìåíè ñåãîäíÿ îòíîñÿòñÿ ê ñàìûì òî÷íûì èçìåðåíèÿì, à ñêîðîñòü
ñâåòà åñòü îäíà èç ôóíäàìåíòàëüíûõ è ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí. Òàêèì
îáðàçîì, òåïåðü, âìåñòî òîãî ÷òîáû ìåòð ðàçðåçàòü íà ÷àñòè, íàäî
ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïîäåëèòü íà ìèëëèàðä ÷àñòåé. Òîãäà ïîëó÷àåòñÿ,
÷òî
1 íàíîìåòð ðàâåí ðàññòîÿíèþ, êîòîðîå ïðîõîäèò ñâåò
çà 1/299792458000000000 ñåêóíäû.
Åñëè ìû õîòèì èçìåðÿòü íàíîìåòð ñ òî÷íîñòüþ õîòÿ áû 1%, òî
ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïðèäåòñÿ îïðåäåëÿòü ñ îøèáêîé íå áîëåå ÷åì
3 ⋅ 10−20 ñåêóíäû. Ñåé÷àñ íàöèîíàëüíûå ìåòðîëîãè÷åñêèå öåíòðû
ÑØÀ, Ãåðìàíèè è Ôðàíöèè, èìåþùèå â ñâîåì ðàñïîðÿæåíèè ýòàëîíû íà îñíîâå öåçèåâûõ ôîíòàíîâ, âåäóò ðàáîòû íàä ñòàíäàðòàìè
÷àñòîòû íà îñíîâå îïòè÷åñêèõ èçëó÷àòåëåé, èñïîëüçóþùèõ îäèíî÷íûé èîí èçîòîïà èòòåðáèÿ 171
70Yb, çàõâà÷åííûé ìàãíèòíîé èëè ýëåêòðè÷åñêîé ëîâóøêîé. Îñóùåñòâëåííûå îöåíêè óæå ïîêàçûâàþò, ÷òî
îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèé âðåìåíè ìîæíî óìåíüøèòü
äî 1 ⋅ 10 −19 . Èíûìè ñëîâàìè, â ïðèíöèïå ìîæíî èçìåðèòü îäèí
íàíîìåòð ñ òî÷íîñòüþ 3%.
Ïðîñòîé ðåöåïò èçãîòîâëåíèÿ íàíîìåòðà
Äàâàéòå ïîäóìàåì, êàê â äîìàøíåé ëàáîðàòîðèè ñäåëàòü ïðîñòîé è
íàäåæíûé ýòàëîí â 1 íàíîìåòð. Êàçàëîñü áû, ýòà çàäà÷à íåïîñèëüíà
â óñëîâèÿõ, êîãäà ó íàñ íåò ïðàêòè÷åñêè íè÷åãî, êðîìå íàøåãî
æåëàíèÿ ñäåëàòü ýòàëîí. Åñëè ìû ïîéäåì ïî ïóòè ïðèìåíåíèÿ
ñòàíäàðòîâ ÷àñòîòû èëè èçìåðåíèÿ ñâåðõêîðîòêèõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè – áóäåò èìåííî òàê. Íî äëÿ ñîçäàíèÿ íàøåãî ýòàëîíà äëèíû â 1
íàíîìåòð åñòü âîçìîæíîñòü âûáðàòü äðóãîé ïóòü. È êàê âû ñêîðî
óáåäèòåñü – ïóòü íå òîëüêî î÷åíü ïðîñòîé, íî îáåñïå÷èâàþùèé
âûñîêóþ òî÷íîñòü èçãîòîâëåíèÿ íàíîìåòðà.
Èòàê, ïåðåõîäèì ê îïèñàíèþ ðåöåïòà èçãîòîâëåíèÿ ýòàëîíà â 1 íì.
Íàì ïîíàäîáÿòñÿ áàòàðåéêà, ïëàñòèíêà èç ïüåçîêåðàìèêè ñ ýëåêòðîäàìè, äâà ýëåêòðè÷åñêèõ ñîïðîòèâëåíèÿ è ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà.
Âñå, êðîìå ïüåçîïëàñòèíêè, íàéòè íåñëîæíî. Ïåðåä òåì êàê îòïðàâèòüñÿ íà ïîèñêè ïüåçîïëàñòèíêè, äàâàéòå ðàçáåðåìñÿ, ÷òî îíà èç ñåáÿ
ïðåäñòàâëÿåò. Òàêèå ïëàñòèíêè îáû÷íî èçãîòàâëèâàþò èç ïüåçîêåðàìèêè, íàïðèìåð öèðêîíàòà-òèòàíàòà ñâèíöà, â âèäå ñïëþùåííîé øàéáû. Íà ïðîòèâîïîëîæíûå òîðöû øàéáû íàíîñÿò ìåòàëëè÷åñêèå ýëåêòðîäû. Äëÿ íàñ ïîäîéäåò øàéáà ðàçìåðîâ ìîíåòû â 1 êîïåéêó.
À ÷åì õîðîøà ïüåçîêåðàìèêà? Åñëè ïüåçîêåðàìèêó ïîìåñòèòü â
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, òî åå ðàçìåðû èçìåíÿòñÿ. Ïðîèñõîäèò ýòî ïî
ïðè÷èíå îáðàòíîãî ïüåçîýôôåêòà. Ïðÿìîé ïüåçîýôôåêò ïðîÿâëÿåòñÿ
â âîçíèêíîâåíèè ýëåêòðè÷åñêîé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ íà ýëåêòðîäàõ
ïüåçîïëàñòèíêè, åñëè ýòó ïëàñòèíêó ïîäâåðãíóòü ìåõàíè÷åñêîìó
âîçäåéñòâèþ – ñæàòèþ èëè ðàñòÿæåíèþ. Îáðàòíûé ïüåçîýôôåêò
ñîñòîèò â èçìåíåíèè äëèíû ñòåðæíÿ ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííîãî ê
íåìó ýëåêòðè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ. Îáà ýòè ýôôåêòà âïåðâûå áûëè
îáíàðóæåíû áðàòüÿìè Æàêîì è Ïüåðîì Êþðè â 1878 ãîäó íà
êðèñòàëëå êâàðöà. Êñòàòè ñêàçàòü, íà ïðèíöèïå îáðàòíîãî ïüåçîýôôåêòà óñòðîåí ýëåêòðè÷åñêèé çâîíîê â ìîáèëüíûõ òåëåôîíàõ èëè
íàðó÷íûõ ÷àñàõ.
01-19.p65
4
è èõ ïîïûòàëèñü ñîåäèíèòü, îêàçàëîñü, ÷òî
èõ äèàìåòðû îòëè÷àþòñÿ íà… öåëûé äþéì.
Ñîñòàâèòü èç äâóõ ïîëîâèíîê îäíî öåëîå
ñðàçó íå óäàëîñü. Ïðîèçîøëà çàìèíêà, ïîâëåêøàÿ îòñòàâàíèå àìåðèêàíöåâ, è íàøà
êîñìè÷åñêàÿ ðàêåòà â î÷åðåäíîé ðàç ñòàðòîâàëà ïåðâîé. Áûëà ëè îøèáêà â äîêóìåíòàöèè èëè äþéìû áûëè ðàçíûå, òåïåðü
íèêîãî íå èíòåðåñóåò. Òîãäà, êàê è âñåãäà,
êàæäîìó õîòåëîñü áûòü ïåðâûì.
Åñòü ëè íàíîìåòðîëîãèÿ
â æèâîé ïðèðîäå?
Ïðèðîäíûå íàíîòåõíîëîãèè, êîòîðûå òàê
óñïåøíî ðàáîòàþò â æèâîé ïðèðîäå â òå÷åíèå ìíîãèõ ìèëëèîíîâ ëåò ýâîëþöèè, ê
ðàçìåðàì îòíîñÿòñÿ î÷åíü àêêóðàòíî. Òàê,
ñáîðêà íåêîòîðûõ áåëêîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ
òî÷íîñòüþ, ïðåâûøàþùåé 1/10 íàíîìåòðà.
Áàêòåðèÿ Helicobacter pilory
Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìíîãèå ïðîöåññû ìîëåêóëÿðíîãî óçíàâàíèÿ â áèîëîãè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ïîñòðîåíû íà âåñüìà òî÷íîì âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè àòîìîâ è ìîëåêóë. Íàïðèìåð, ãåîìåòðèÿ àíòèòåë – áåëêîâûõ ìîëåêóë, êîòîðûå ïîçâîëÿþò îáíàðóæèâàòü
÷óæåðîäíûå ÷àñòèöû àíòèãåíû, – ÿâëÿåòñÿ
äîïîëíèòåëüíîé ê ýòèì ñàìûì àíòèãåíàì.
Ïðè îáúåäèíåíèè äðóã ñ äðóãîì îíè îáðàçóþò íîâûé ìàêðîìîëåêóëÿðíûé êîìïëåêñ áåç
ëèøíèõ «çàçîðîâ».
Ýòî òîëüêî îäèí ïðèìåð, òàêèõ ïðèìåðîâ
â æèâîé ïðèðîäå î÷åíü ìíîãî.
Õîðîøî èçó÷åííûé âèðóñ òàáà÷íîé ìîçàèêè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîëåêóëó ÐÍÊ â
ôîðìå ñïèðàëè ñ îêðóæàþùåé åå áåëêîâîé
îáîëî÷êîé. Îí èìååò ôîðìó ïðîäîëãîâàòîé
ïàëî÷êè äèàìåòðîì 18 íì è äëèíîé îêîëî
300 íì. Âîò òàêàÿ ìèíèàòþðíàÿ ÷àñòèöà
Âèðóñ òàáà÷íîé ìîçàèêè
29.07.09, 17:14
ËÈÍÅÉÊÀ
Âèðóñ êàðòîôåëÿ
ìîæåò äîñòàâèòü î÷åíü ìíîãî íåïðèÿòíîñòåé
òàáàêó, ïîìèäîðàì è äðóãèì ðàñòåíèÿì.
Ðàñòåíèÿ, êàê è ìû, ïîäâåðæåíû âèðóñíûì çàáîëåâàíèÿì. Ê íàøåìó ñ÷àñòüþ, âèðóñû ðàñòåíèé íå ïðåäñòàâëÿþò íèêàêîé
îïàñíîñòè ÷åëîâåêó. Ïî êðàéíåé ìåðå, ìîæíî êîíñòàòèðîâàòü, ÷òî îáðàòíîå íèêòî íèêîãäà íå äåìîíñòðèðîâàë. Ïîýòîìó, íàïðèìåð, ìû ìîæåì ñïîêîéíî ñúåñòü êàðòîôåëü,
ïîðàæåííûé Õ âèðóñîì êàðòîôåëÿ. Áóêâà Õ
çäåñü îáîçíà÷àåò òèï âèðóñà. Åñòü òàêæå À
âèðóñ êàðòîôåëÿ è Â âèðóñ êàðòîôåëÿ. Õ
âèðóñ êàðòîôåëÿ, êàê è âèðóñ òàáà÷íîé
ìîçàèêè, èìååò, íèòåâèäíóþ ôîðìó, òîëüêî
îí ïîóæå è ïîäëèííåå: 14 íì â äèàìåòðå ïðè
äëèíå 1 ìèêðîí.
Êñòàòè, áûëî âûñêàçàíî ïðåäëîæåíèå èñïîëüçîâàòü âèðóñ òàáà÷íîé ìîçàèêè êàê ýòàëîí 18 íàíîìåòðîâ, à Õ âèðóñ êàðòîôåëÿ –
êàê ýòàëîí 14 íàíîìåòðîâ.
Ñîâðåìåííûå ñèñòåìû
íàâèãàöèè
Ñîâðåìåííûå ñèñòåìû íàâèãàöèè GPS è
ÃËÎÍÀÑÑ ðàáîòàþò ñ òî÷íîñòüþ èçìåðåíèÿ ÷àñòîòû è, ñîîòâåòñòâåííî, ïðîìåæóòêà
âðåìåíè ñ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ
1 ⋅ 10−13 .
GPS – ñîêðàùåíèå àíãëèéñêèõ ñëîâ Global
Positioning System, ò.å. ãëîáàëüíàÿ ñèñòåìà
ïîçèöèîíèðîâàíèÿ. Ïîëíîå íàçâàíèå ýòîé
ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû íàâèãàöèè – NAVSTAR
GPS (NAVigation Satellites providing Time
And Range— íàâèãàöèîííûå ñïóòíèêè, îáåñïå÷èâàþùèå èçìåðåíèå âðåìåíè è ðàññòîÿíèÿ; ãëîáàëüíàÿ ñèñòåìà ïîçèöèîíèðîâàíèÿ). Ýòà ñèñòåìà ñîçäàíà Ìèíèñòåðñòâîì
îáîðîíû ÑØÀ äëÿ òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ
êîîðäèíàò è ñêîðîñòè îáúåêòîâ.
Ðîññèéñêàÿ ñïóòíèêîâàÿ ñèñòåìà íàâèãàöèè – ÃËÎáàëüíàÿ ÍÀâèãàöèîííàÿ Ñïóòíèêîâàÿ Ñèñòåìà, èëè ñîêðàùåííî ÃËÎÍÀÑÑ.
Åñëè ó âàñ äîìà åñòü GPS-ïðèåìíèê, òî
âû ìîæåòå ïîäóìàòü î ïðèâÿçêå îäíîãî ìèëëèìåòðà ê ìåòðó ñ ïîìîùüþ ýòîãî îáùåäîñòóïíîãî ýòàëîíà ÷àñòîòû è î ïðîâåðêå ðàñïîëîæåíèÿ íàñå÷åê íà äîìàøíåé ëèíåéêå ñ
01-19.p65
5
ÄËÈÍÎÉ
Â
ÎÄÈÍ
ÍÀÍÎÌÅÒÐ
#
Ïðàâèëî îáðàòíîãî ïüåçîýôôåêòà î÷åíü ïðîñòîå – èçìåíåíèå ðàçìåðîâ ïüåçîïëàñòèíèêè ∆D ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî ïðèëîæåííîìó
íàïðÿæåíèþ ∆U :
∆D = d33 ∆U ,
ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè d33 – ïüåçîýëåêòðè÷åñêèé
ìîäóëü. Èñïîëüçîâàíèå äâóõ öèôð â èíäåêñå ìîäóëÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî
íàïðÿæåíèå â îáùåì ñëó÷àå ìû ìîæåì ïðèêëàäûâàòü ïî îäíîìó èç
òðåõ íàïðàâëåíèé (âäîëü îñåé êîîðäèíàò X, Y èëè Z), à èçìåíåíèå
ðàçìåðî⠖ íàáëþäàòü ïî ëþáîìó äðóãîìó íàïðàâëåíèþ.  íàøåì
ñëó÷àå íàïðàâëåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì
ïåðåìåùåíèÿ, ïîýòîìó èñïîëüçóþòñÿ äâå îäèíàêîâûå öèôðû 3. Êàê
ëåãêî ïîäñ÷èòàòü, âñåãî ó ïüåçîýëåêòðè÷åñêîãî ìîäóëÿ 9 êîìïîíåíòîâ:
d11, d12, d13,… , d33 . (Òàêèå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû íàçûâàþòñÿ òåíçîðàìè
âòîðîãî ïîðÿäêà.)
Âîçüìåì êåðàìèêó ñ ïüåçîýëåêòðè÷åñêèì ìîäóëåì d33 =
= 200 ⋅ 10−12 Êë Í = 200 ⋅ 10 −12 ì Â . Åñëè ìû ïðèëîæèì ê ýëåêòðîäàì
íàïðÿæåíèå 5 Â, òî èçìåíåíèå ðàçìåðîâ ïëàñòèíêè ñîñòàâèò 1 íì.
Çàìåòüòå, ÷òî èçìåíåíèå ðàçìåðîâ ïüåçîïëàñòèíêè íå çàâèñèò îò
òîëùèíû ñàìîé ïëàñòèíêè. È ýòî î÷åíü õîðîøî, èáî, ñîçäàâàÿ ýòàëîí
äëèíû, ìû íå äîëæíû äóìàòü î äëèíå ñàìîãî ýòàëîíà.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ íàøåãî íàíîìåòðà ìû óæå ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ãëàâíûé òåçèñ:
íàíîìåòð – ýòî ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîå èçìåíÿåòñÿ ðàçìåð
ïëàñòèíêè, èçãîòîâëåííîé èç ïüåçîêåðàìèêè ñ ïüåçîýëåêòðè÷åñêèì
ìîäóëåì d33 = 200 ⋅ 10 −12 Êë Í = 200 ⋅ 10 −12 ì Â , ïðè ïðèëîæåíèè ê åå
ýëåêòðîäàì íàïðÿæåíèÿ 5 Â.
 íàøåì ýòàëîíå ìû èñïîëüçîâàëè èìåííî òàêèå ïüåçîïëàñòèíêó è
áàòàðåéêó. Åñëè ó áàòàðåéêè íàïðÿæåíèå áîëüøå 5 Â, òî íàì
ïîíàäîáÿòñÿ äâà ýëåêòðè÷åñêèõ ñîïðîòèâëåíèÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ
ìû ñäåëàåì äåëèòåëü íàïðÿæåíèÿ ñ âûõîäîì 5 Â. À åñëè ìû íàéäåì
ïüåçîêåðàìèêó ñ äðóãèì çíà÷åíèåì ïüåçîýëåêòðè÷åñêîãî ìîäóëÿ, òî,
ïîäáèðàÿ íà äåëèòåëå íóæíîå íàïðÿæåíèå, ìû ñìîæåì è äëÿ ýòîãî
ñëó÷àÿ âûïîëíèòü óñëîâèå ∆D = 1 íì.
Ìàëåíüêèå õèòðîñòè åñòü â êàæäîì äåëå
 èçãîòîâëåíèè íàøåãî íàíîìåòðà åñòü ñâîè «õèòðîñòè». Âîò ïåðâàÿ.
Åñëè ìû èñïîëüçóåì ïüåçîïëàñòèíêó, èçãîòîâëåííóþ èç ïüåçîêåðàìèêè ñ ïüåçîýëåêòðè÷åñêèì ìîäóëåì d33 = 200 ⋅ 10−12 Êë Í , òî ïîñëå
êàæäîãî ïðèëîæåíèÿ íàïðÿæåíèÿ 5  ðàçìåð ïëàñòèíêè áóäåò èçìåíÿòüñÿ íà 1 íì. Ìåæäó ïðèëîæåíèÿìè íàïðÿæåíèé î÷åíü âàæíî íå
çàáûâàòü îáêëàäêè ïëàñòèíêè çàìûêàòü ïðîâîäíèêîì. Ïüåçîêåðàìèêà
– î÷åíü õîðîøèé èçîëÿòîð: áóäó÷è ïðèëîæåííûì ê îáêëàäêàì åäèíîæäû, íàïðÿæåíèå áóäåò äåðæàòüñÿ íà íèõ äîñòàòî÷íî äîëãî. Ýòî
ìîæåò äëèòüñÿ è ÷àñû, è ñóòêè, âñå çàâèñèò îò âëàæíîñòè âîçäóõà è
÷èñòîòû ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíêè. Çàìûêàÿ ýëåêòðîäû ïëàñòèíêè ïðîâîäíèêîì, ìû ïîçâîëÿåì îòðèöàòåëüíîìó çàðÿäó ñòå÷ü ïî ïðîâîäíèêó
íà ïðîòèâîïîëîæíóþ îáêëàäêó òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàïðÿæåíèå íà
ïëàñòèíêå ñòàëî ðàâíûì íóëþ è ïëàñòèíêà âåðíóëàñü ê èñõîäíûì
ðàçìåðàì.
È åùå îäíà âàæíàÿ «ìåëî÷ü». Ýëåêòðè÷åñêîå íàïðÿæåíèå ìîæíî
ïðèêëàäûâàòü òàê, ÷òîáû ïüåçîïëàñòèíêà ñòàíîâèëàñü òîëùå, èëè
òàê, ÷òîáû ïëàñòèíêà ñòàíîâèëàñü òîíüøå. Èíûìè ñëîâàìè, áàòàðåéêó ìîæíî ïîäêëþ÷àòü ïëþñîì íà âåðõíèé ýëåêòðîä, à ìîæíî –
ïëþñîì íà íèæíèé ýëåêòðîä.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ïëàñòèíêà áóäåò
ìåíÿòü ñâîé ðàçìåð íà 1 íì. Åñòü ëè ðàçíèöà â òîì, êàê ïðèêëàäûâàòü íàïðÿæåíèå? ×òîáû îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ, íàäî ðàññêàçàòü,
êàê èçãîòàâëèâàþò ïüåçîêåðàìèêó.
Ïüåçîêåðàìèêó äåëàþò èç ïîðîøêà, êîòîðûé ñïåêàþò ïðè âûñîêîé
òåìïåðàòóðå è ëó÷øå ïðè âûñîêîì äàâëåíèè. Ïðè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ
òâåðäûé ìàòåðèàë, êîòîðûé íà ìèêðîñêîïè÷åñêîì ìàñøòàáå ñîñòîèò
29.07.09, 17:15
$
ÊÂÀÍT 2009/¹4
èç îòäåëüíûõ çåðåí. Â êàæäîì çåðíå ïîëîæèòåëüíûå çàðÿäû ñëåãêà
ñìåùåíû îòíîñèòåëüíî îòðèöàòåëüíûõ (â öåëîì çåðíà ýëåêòðè÷åñêè
íåéòðàëüíû), è ýòî ñìåùåíèå çàðÿäîâ ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ó çåðíà
ïîÿâëÿåòñÿ äèïîëüíûé ìîìåíò. Ïîïàäàÿ â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, òàêîå
çåðíî áóäåò ðàñòÿãèâàòüñÿ èëè ñæèìàòüñÿ.
 ñâåæåèñïå÷åííîé ïüåçîêåðàìèêå äèïîëüíûå ìîìåíòû îòäåëüíûõ
çåðåí èìåþò ñëó÷àéíûå íàïðàâëåíèÿ, îáðàòíûé ïüåçîýôôåêò íàáëþäàåòñÿ äëÿ êàæäîãî çåðíà â îòäåëüíîñòè, à íàïðàâëåííîå ïåðåìåùåíèå
ïëàñòèíû â öåëîì îòñóòñòâóåò.  ïîñòîÿííîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå
÷àñòü çåðåí ðàñòÿíåòñÿ, à ÷àñòü ñîæìåòñÿ â íàïðàâëåíèè ïîëÿ, íî â
öåëîì ðàçìåð ïüåçîêåðàìè÷åñêîãî îáðàçöà íå èçìåíèòñÿ.
×òîáû âûçâàòü íàïðàâëåííîå ïåðåìåùåíèå, âñå äèïîëüíûå ìîìåíòû
îòäåëüíûõ çåðåí íóæíî ñîðèåíòèðîâàòü îäèíàêîâûì îáðàçîì. Äëÿ
ýòîãî ïüåçîêåðàìèêó ïîìåùàþò â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ 1000 Â/ìì è áîëåå è íàãðåâàþò äî òåìïåðàòóðû îêîëî 300 °Ñ.
Ýòîò ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ ïîëÿðèçàöèåé êåðàìèêè. Ïåðåãðåâàòü êåðàìèêó íåëüçÿ, ïîòîìó ÷òî ïðè íåêîòîðîé òåìïåðàòóðå (òî÷êà Êþðè)
ïüåçîýôôåêò ïðîïàäàåò. Åñëè ïîëÿðèçàöèÿ ïðîâåäåíà óñïåøíî, òî âñå
çåðíà èìåþò äèïîëüíûå ìîìåíòû, íàïðàâëåííûå â îäíó ñòîðîíó, ïðè
ýòîì ïîëÿðèçóþùåå ïîëå ðàñòÿãèâàåò êåðàìèêó. Åñëè æå ïðèëîæèòü
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ, òî áóäåò ïðîèñõîäèòü ïðîöåññ äåïîëÿðèçàöèè, ñæèìàþùèé êåðàìèêó.
Âîò çäåñü è êðîåòñÿ îòâåò íà íàø âîïðîñ, êàê íàäî ïðèêëàäûâàòü
íàïðÿæåíèå â ýòàëîíå íàíîìåòðà – ÷òîáû êåðàìèêà ðàñòÿãèâàëàñü èëè
ñæèìàëàñü. Ïðàâèëüíûé îòâåò òàêîé. Åñëè ìû õîòèì èçáåæàòü
âîçìîæíîé äåïîëÿðèçàöèè êåðàìèêè, òî íàïðÿæåíèå íàäî ïðèêëàäûâàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âñåãäà ïðîèñõîäèëî òîëüêî óäëèíåíèå
ïëàñòèíêè.
Ïîâåðÿåì íàíîìåòð
è ñòàíîâèìñÿ íàíîìåòðîëîãàìè
Ó ïüåçîêåðàìèêè åñòü ðÿä íåäîñòàòêî⠖ íåëèíåéíîñòü, ãèñòåðåçèñ,
êðèï. Íåëèíåéíîñòü ïðîÿâëÿåòñÿ â îòêëîíåíèè îò ïðîñòîé ôîðìóëû
∆D = d33 ∆U . Ãèñòåðåçèñ îáóñëîâëåí «ïàìÿòüþ» ìàòåðèàëà ê ïðåäûñòîðèè ïðèêëàäûâàåìîãî íàïðÿæåíèÿ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ïðè îäíîì è òîì æå ïðèëîæåííîì íàïðÿæåíèè óäëèíåíèÿ
ïëàñòèíêè áóäóò ðàçíûìè. Âñëåäñòâèå êðèïà, èëè ïîëçó÷åñòè, óäëèíåíèå ïüåçîêåðàìèêè ìîæåò îòñòàâàòü âî âðåìåíè îò ïðèëîæåííîãî
íàïðÿæåíèÿ.
Áóäóò ëè ýòè ýôôåêòû ñíèæàòü òî÷íîñòü íàøåãî ýòàëîíà íàíîìåòðà?
Ïðàêòè÷åñêè íåò, åñëè ê ýëåêòðîäàì ýòàëîíà ñòðîãî ïåðèîäè÷åñêè
ïðèêëàäûâàòü òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ: 5 Â
è 0 Â. Âñå íåäîñòàòêè ïüåçîêåðàìèêè – íåëèíåéíîñòü, ãèñòåðåçèñ,
êðèï – ïðèñóòñòâîâàòü áóäóò, íî èõ âêëàä áóäåò âñå âðåìÿ îäíèì è òåì
æå. À åñëè òàê, òî, àêêóðàòíî âûáèðàÿ íàïðÿæåíèå, ìû ìîæåì
äîáèòüñÿ óäëèíåíèÿ ïüåçîïëàñòèíêè òî÷íî íà îäèí íàíîìåòð.
Çàâåðøàÿ íàø ðàññêàç, îòìåòèì, ÷òî åñëè âû íå ñóìåëè èçãîòîâèòü
ñâîé ñîáñòâåííûé ýòàëîí íàíîìåòðà, íî âñå ïîíÿëè â äàííîé ñòàòüå,
òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âû óæå ñîñòîÿâøèéñÿ íàíîìåòðîëîã. (Âåäü íå
êàæäûé æå íàíîìåòðîëîã ïîëüçóåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî èçãîòîâëåííûì
íàíîýòàëîíîì.) Åñëè æå âû ïîòðóäèëèñü, íàøëè ïüåçîïëàñòèíêó è
ñîîðóäèëè ñâîé íàíîìåòð, òî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî âû ñàìûé ïåðåäîâîé
íàíîìåòðîëîã.
Çà ðàìêàìè ñòàòüè îñòàëñÿ î÷åíü âàæíûé âîïðîñ: êàê óáåäèòüñÿ, ÷òî
íàøà ïëàñòèíêà óäëèíÿåòñÿ òî÷íî íà îäèí íàíîìåòð? Äðóãèìè
ñëîâàìè, êàêèì îáðàçîì îñóùåñòâèòü ïðèâÿçêó ñîçäàííîãî íàíîìåòðà
ê ïåðâè÷íîìó ýòàëîíó ìåòðà? Ê ñîæàëåíèþ, ýòó ïðîöåäóðó â äîìàøíèõ óñëîâèÿõ ñäåëàòü íåëüçÿ. Íàäî îáðàòèòüñÿ â ìåòðîëîãè÷åñêóþ
ñëóæáó, è òàì ñ ïîìîùüþ èíòåðôåðîìåòðà ñìîãóò òî÷íî îïðåäåëèòü
ïåðåìåùåíèå ïëàñòèíêè. Êàê ýòî äåëàåòñÿ – òåìà äëÿ äðóãîé ñòàòüè.
01-19.p65
6
òî÷íîñòüþ ÷óòü ëó÷øå ÷åì 1%. Äî íàíîìåòðà ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû GPS ïîêà ïðèáëèçèòüñÿ íå óäàåòñÿ.
Ýêîíîìèêà èçãîòîâëåíèÿ íàíîìåòðà
Âîçìîæíî, ó âàñ îñòàåòñÿ ïîêà íåðåøåííûì âîïðîñ, ãäå íàéòè ïüåçîêåðàìè÷åêóþ
ïëàñòèíêó. Íà ñàìîì äåëå, òàêèå ïëàñòèíêè áóêâàëüíî îêðóæàþò íàñ â íàøåé ïîâñåäíåâíîé æèçíè. Çâîíêè â ÷àñàõ, ìîáèëüíûõ òåëåôîíàõ è êîìïüþòåðàõ ÷àñòî
èçãîòàâëèâàþò èìåííî èç ïüåçîêåðìà÷åñêèõ ïëàñòèí. Ïðàâäà, â íèõ åñòü îäíà îñîáåííîñòü. Òàì ïüåçîïëàñòèíêè ïðèêëåèâàþò ê óïðóãîé ìåòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêå. Â
ðåçóëüòàòå ýòîãî ïðè èçìåíåíèè ðàçìåðîâ
ïüåçîïëàñòèíêè òàêàÿ êëååíàÿ êîíñòðóêöèÿ
ñîâåðøàåò äîïîëíèòåëüíûé èçãèá è öåíòð
êîíñòðóêöèè ïåðåìåùàåòñÿ íà ãîðàçäî áîëüøåå ðàññòîÿíèå, ÷åì ñâîáîäíàÿ ïëàñòèíêà.
Ïîýòîìó åñëè ìû õîòèì ïîëó÷èòü ïåðåìåùåíèå â 1 íì, òî ëó÷øå èñïîëüçîâàòü ïðîñòî ïüåçîêåðàìè÷åñêóþ ïëàñòèíêó – èíà÷å
ïðèêëàäûâàåìîå íàïðÿæåíèå äîëæíî áûòü
ñóùåñòâåííî ìåíüøå äà è ñòàáèëüíîñòü òàêîé ñèñòåìû ãîðàçäî ìåíüøå. Êðîìå òîãî,
çà ñ÷åò ðàçíèöû òåìïåðàòóðíûõ êîýôôèöèåíòîâ ïüåçîêåðàìèêè è ìåòàëëà êëååíàÿ
êîíñòðóêöèÿ áóäåò äîïîëíèòåëüíî èçãèáàòüñÿ ïðè èçìåíåíèè òåìïåðàòóðû îêðóæàþùåé ñðåäû.
Ãäå æå íàéòè ïðàâèëüíóþ ïüåçîïëàñòèíêó? Îêàçûâàåòñÿ, îíè ïðîäàþòñÿ â ìàãàçèíàõ ýëåêòðîííûõ àêñåññóàðîâ. Ñòîèìîñòü
îäíîé ïëàñòèíêè – îêîëî 10 ðóáëåé.
Òîãäà ìîæíî ïîäñ÷èòàòü áþäæåò íàøåé
ðàçðàáîòêè ýòàëîíà íàíîìåòðà: áàòàðåéêà
– 40 ðóá., ïðîâîäà – 8 ðóá., ïüåçîïëàñòèíêà – 10 ðóá., ïîèñê è çàêàç ïëàñòèíêè â
Èíòåðíåòå (îïëàòà òðàôèêà) – 35 ðóá.,
äîñòàâêà ïüåçîïëàñòèíêè (åñëè âû íå ïîåäåòå ñàìè) – 150 ðóá., ñîáñòâåííûé òðóä –
îöåíèòå ñàìè.
Âîò òàêàÿ ýêîíîìèêà èçãîòîâëåíèÿ ýòàëîíà â îäèí íàíîìåòð.
Ëþáîïûòíî, ÷òî ...
…åñëè âû âçãëÿíèòå íà ñåáÿ â çåðêàëî, òî
çà ýòî âðåìÿ êàæäûé âîëîñîê âàøåé øåâåëþðû óäëèíèòñÿ íà îäèí íàíîìåòð.
…åñëè âîäîé èç îçåðà Áàéêàë çàïîëíèòü
ïîëîâèíó îáúåìà æåëåçíîäîðîæíîé öèñòåðíû, òî óðîâåíü âîäû â îçåðå óïàäåò ïî÷òè íà
îäèí íàíîìåòð.
…ìîíåòó äîñòîèíñòâîì â 1 êîïåéêó áðîñèëè â áàññåéí, ïðè ýòîì óðîâåíü âîäû ïîâûñèëñÿ íà 1 íì. Êàêîâû ðàçìåðû áàññåéíà?
…ó÷åíûå íàó÷èëèñü äåëàòü çîëîòûå íèòè
òîëùèíîé â îäèí àòîì. Ïðè ýòîì íà äëèíå
1 íàíîìåòð öåëèêîì óêëàäûâàþòñÿ 3 àòîìà
çîëîòà.
29.07.09, 17:15
ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ
Ïî÷åìó óãëåðîäíûå íàíîòðóáêè ïðî÷íåå ñòàëè?
(Íà÷àëî ñì. íà 4-é ñòðàíèöå îáëîæêè)
Óãëåðîä âñòðå÷àåòñÿ â ïðèðîäå â âèäå íåñêîëüêèõ ïîëèìîðôíûõ ìîäèôèêàöèé (àëëîòðîïîâ). Äâà èç íèõ øèðîêî
èçâåñòíû – ýòî ãðàôèò è àëìàç. Óãëåðîäíàÿ íàíîòðóáêà òîæå
ÿâëÿåòñÿ ìîäèôèêàöèåé óãëåðîäà è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãèãàíòñêóþ ìîëåêóëó èç àòîìîâ óãëåðîäà.
Íàíîòðóáêè ìîãóò áûòü âëîæåíû îäíà â äðóãóþ – òîãäà èõ
íàçûâàþò ìíîãîñëîéíûìè. Íà ðèñóíêå 1 èçîáðàæåíû ïðîäîëüíûå ñå÷åíèÿ ïÿòèñëîéíîé, äâóõñëîéíîé è ñåìèñëîéíîé
æåíèå ðàçðûâàåò òîëüêî Ñ-Ñ ñâÿçè, îðèåíòèðîâàííûå âäîëü
îñè òðóáêè è ðàñïîëîæåííûå â îäíîé ïëîñêîñòè åå ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Èçâåñòíî, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó áëèæàéøèìè
àòîìàìè óãëåðîäà â íàíîòðóáêå ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíî d =
0,15 íì. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè äèàìåòð òðóáêè ðàâåí D,
òî êîëè÷åñòâî ñâÿçåé, îðèåíòèðîâàííûõ âäîëü îñè òðóáêè,
πD
. Ïðè ýòîì ê êàæäîé Ñ-Ñ ñâÿçè ïðèëîæåíà
ðàâíî N =
d 3
F
. Ïðî÷íîñòü îäíîé Ñ-Ñ ñâÿçè ìîæíî íàéòè
ñèëà, ðàâíàÿ
N
èç ãðàôèêà çàâèñèìîñòè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ýòîé ñâÿçè
îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó àòîìàìè (ðèñ.3). Èç ãðàôèêà âèäíî,
÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñâÿçè äîñòèãàåò ìèíèìóìà, êîãäà
ðàññòîÿíèå ìåæäó ÿäðàìè àòîìîâ ñîñòàâëÿåò 154 ïì. Ýòî è
îïðåäåëÿåò ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîì íàõîäÿòñÿ àòîìû óãëåðîäà â íåðàñòÿíóòîé íàíîòðóáêå. Òàíãåíñ óãëà íàêëîíà êàñà-
Ðèñ. 1
íàíîòðóáîê, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ýëåêòðîííîãî ìèêðîñêîïà, à íà ðèñóíêå 2 ïðåäñòàâëåíî èçîáðàæåíèå ïîâåðõíîñòè
Ðèñ. 3
Ðèñ. 2
îäíîñëîéíîé íàíîòðóáêè, ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ ñêàíèðóþùåãî çîíäîâîãî ìèêðîñêîïà.
Ïðî÷íîñòü íà ðàçðûâ óãëåðîäíûõ íàíîòðóáîê, èçìåðåííàÿ
ýêñïåðèìåíòàëüíî, î÷åíü áîëüøàÿ è ñîñòàâëÿåò îêîëî
60 ÃÏà. À âîò ïðî÷íîñòü ñòàëè – ïðèìåðíî 0,8 ÃÏà. Ïî÷åìó
æå íàíîòðóáêè ïî÷òè â ñòî ðàç ïðî÷íåå ñòàëè? Ïîïðîáóåì
âû÷èñëèòü ïðî÷íîñòü îäíîñòåííîé íàíîòðóáêè, ñõåìàòè÷íî
ïîêàçàííîé íà 4-é ñòðàíèöå îáëîæêè. Òàì øàðèêàìè îáîçíà÷åíû àòîìû óãëåðîäà, à ñîåäèíÿþùèìè èõ ëèíèÿìè –
êîâàëåíòíûå ñâÿçè ìåæäó ýòèìè àòîìàìè. Ó òàêîé òðóáêè
îäíà òðåòü Ñ-Ñ ñâÿçåé îðèåíòèðîâàíà âäîëü åå îñè. Çàêðåïèì
íåâèäèìûé êîíåö òðóáêè, à ê äðóãîìó åå êîíöó ïðèëîæèì
ðàñòÿãèâàþùóþ ñèëó F. Ïóñòü â íàíîòðóáêå àòîìû óãëåðîäà
îáðàçóþò ìåæäó ñîáîé îäèíàêîâûå ñâÿçè è óãëû ìåæäó íèìè
ñîñòàâëÿþò 120°. Òîãäà ïðè ðàñòÿæåíèè íàíîòðóáêè ýòè
ñâÿçè áóäóò ðàñòÿãèâàòüñÿ îäèíàêîâî. Îäíàêî ðàçîðâàòüñÿ
íàíîòðóáêà ìîæåò ñàìûì ïðè÷óäëèâûì îáðàçîì, çàâèñÿùèì, íàïðèìåð, îò òîãî, êàêàÿ èìåííî ñâÿçü ðàçîðâåòñÿ
ïåðâîé. ×òîáû óïðîñòèòü ðàñ÷åòû, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàñòÿÝòîò ìàòåðèàë îïóáëèêîâàí â ðàìêàõ äîãîâîðà ñ ÃÊ «ÐÎÑÍÀÍÎÒÅÕ».
01-19.p65
7
òåëüíîé ê ïðàâîé âåòâè êðèâîé ïðîïîðöèîíàëåí ñèëå F1,
íåîáõîäèìîé äëÿ òîãî, ÷òîáû óäåðæèâàòü àòîìû íà äàííîì
∂U 1
ðàññòîÿíèè r. Îòñþäà íàõîäèì F 1 =
, ãäå
⋅
∂r NA
23
−1
– ÷èñëî Àâîãàäðî. ×òîáû óâåëè÷èòü
NA = 6 ⋅ 10 ìîëü
ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè óãëåðîäà, íàäî ïðèëîæèòü áóëüøóþ ñèëó. À åñëè îíà áóäåò áîëüøå ñèëû, ñîîòâåòñòâóþùåé
ìàêñèìàëüíîìó òàíãåíñó óãëà íàêëîíà (ñì. ñèíèé ïóíêòèð
íà ðèñóíêå 3), òî ñâÿçü ïîðâåòñÿ. Èíûìè ñëîâàìè, ñâÿçü
ïîðâåòñÿ ïðè
348 ⋅ 103 Äæ ìîëü
= 3,8 íÍ .
F>
154 ⋅ 10−12 ì ⋅ 6 ⋅ 1023 1 ìîëü
Ïîíÿòíî, ÷òî åñëè â îäíîñòåííîé íàíîòðóáêå ÷èñëî ïàðàëëåëüíûõ îñè C-C ñâÿçåé â îäíîì ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ðàâíî
N, òî íàíîòðóáêà ðàçîðâåòñÿ, êîãäà ðàñòÿãèâàþùàÿ åå ñèëà
ñòàíåò áîëüøå N ⋅ 3,8 íÍ . Ïóñòü D = 1,5 íì, òîãäà N = 18 è
Fmax = 18 ⋅ 3,8 íÍ ≈ 69 íÍ . ×òîáû âû÷èñëèòü ïðåäåë ïðî÷íîñòè σmax íàíîòðóáêè, ðàçäåëèì Fmax íà ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S = πD2 4 :
4F
4 ⋅ 69 ⋅ 10−9
σmax = max
=
Ïà = 39 ÃÏà .
πD2
3,14 ⋅ 2,25 ⋅ 10−18
Ïîëó÷åííîå íàìè çíà÷åíèå σmax äîâîëüíî áëèçêî ê ýêñïåðèìåíòàëüíî íàéäåííûì âåëè÷èíàì (63 ÃÏà) è, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ãîðàçäî áîëüøå ïðî÷íîñòè ñàìûõ ïðî÷íûõ
ñîðòîâ ñòàëè (0,8 ÃÏà).
(Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ.43)
29.07.09, 17:15
&
ÊÂÀÍT 2009/¹4
Àðèôìåòèêà
ìíîãîãðàííèêîâ
Ã.ÏÀÍÈÍÀ
– Ñëîæåíèþ òåáÿ îáó÷èëè? – ñïðîñèëà Áåëàÿ
Êîðîëåâà.
– Ñêîëüêî áóäåò îäèí ïëþñ îäèí ïëþñ îäèí ïëþñ
îäèí ïëþñ îäèí ïëþñ îäèí ïëþñ îäèí ïëþñ îäèí
ïëþñ îäèí ïëþñ îäèí?
– ß íå çíàþ, – îòâåòèëà Àëèñà. – ß ñáèëàñü ñî ñ÷åòà.
– Ñëîæåíèÿ íå çíàåò, – ñêàçàëà ×åðíàÿ Êîðîëåâà.
– À Âû÷èòàíèå çíàåøü? Îòíèìè èç âîñüìè äåâÿòü.
– Ýòîãî ÿ íå çíàþ, íî çàòî...
– Âû÷èòàíèÿ íå çíàåò, – ñêàçàëà Áåëàÿ Êîðîëåâà.
Ë. Êýððîëë. Àëèñà â Çàçåðêàëüå
Ââåäåíèå
Ñíà÷àëà ìû íàó÷èìñÿ ñêëàäûâàòü ìíîãîóãîëüíèêè
íà ïëîñêîñòè è ìíîãîãðàííèêè â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ ìíîãîãðàííèêîâ è âîîáùå
ïðîèçâîëüíûõ ôèãóð áûëà ââåäåíà íåìåöêèì ìàòåìàòèêîì Ãåðìàíîì Ìèíêîâñêèì (1864–1909) è èçó÷àåòñÿ
â óíèâåðñèòåòñêèõ êóðñàõ.
À çàòåì ìû íàó÷èì âàñ òîìó, ÷òî ïîêàæåòñÿ íà
ïåðâûé âçãëÿä íåâîçìîæíûì – âû÷èòàòü ìíîãîóãîëüíèêè è ìíîãîãðàííèêè. Êàæóùàÿñÿ íåâîçìîæíîñòü
âû÷èòàíèÿ íå äîëæíà íàñ ñìóòèòü – âåäü êàæäûé èç íàñ
áûë â ñâîå âðåìÿ óáåæäåí, ÷òî íåëüçÿ èç âîñüìè
âû÷åñòü äåâÿòü. Âû÷èòàíèå ìíîãîãðàííèêîâ â ÷åì-òî
íàïîìèíàåò ïåðåõîä ê îòðèöàòåëüíûì ÷èñëàì, íî êîíñòðóêöèÿ çäåñü âîçíèêàåò ãîðàçäî çàáàâíåå – ìíîãîãðàííèêè êàê áû âûâîðà÷èâàþòñÿ íàèçíàíêó, ïðèíèìàþò äîâîëüíî ïðè÷óäëèâûå ôîðìû (íàïðèìåð, âçãëÿíèòå íà ðèñóíêè 6 è 12,á).
Êàêàÿ ïîëüçà â óìåíèè ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü ìíîãîãðàííèêè? Âîîáðàçèòå, ÷òî âàì íóæíî ðåøèòü îáû÷íóþ øêîëüíóþ çàäà÷êó (íàïðèìåð, ïðî áàññåéí ñ
òðóáàìè èëè ïðî äâóõ çåìëåêîïîâ), íî ïðè ýòîì
çàïðåùåíî ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü ÷èñëà. Ñêîðåå âñåãî,
ðåøèòü çàäà÷ó âû íå ñìîæåòå – áóäóò ñâÿçàíû ðóêè.
Òàê æå è ñ äðóãèìè îáúåêòàìè ìàòåìàòèêè. Êàæäûé
ðàç, êîãäà óäàåòñÿ ïðèäóìàòü ðàçóìíóþ îïåðàöèþ
ñëîæåíèÿ (âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ ...) äëÿ íåîáû÷íûõ
îáúåêòîâ, ýòî áîëüøîé ïðîãðåññ, äàþùèé ðàáî÷èé
èíñòðóìåíò. Íàïðèìåð, ìàòåìàòèêè óìåþò ñêëàäûâàòü
è âû÷èòàòü òî÷êè íà êðèâîé, ïåòëè íà ïîâåðõíîñòè,
èëè, êàê â ýòîé ñòàòüå, ìíîãîãðàííèêè. Êñòàòè, çäåñü
æå íàì ïðèäåòñÿ íàó÷èòüñÿ ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü
ïðóæèííûå ãðàôû íà ñôåðå.
 ñòàòüå íåò äîêàçàòåëüñòâ, çàòî ìíîãî ïðèìåðîâ. Ìû
ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ðàññìîòðåòü ñàìîñòîÿòåëüíî äîïîëíèòåëüíûå ïðèìåðû, ýêñïåðèìåíòèðîâàòü, âíà÷àëå
01-19.p65
8
ïîâåðèòü â óòâåðæäåíèÿ, à òîëüêî ïîòîì äóìàòü î
äîêàçàòåëüñòâàõ.
Ìàòåìàòèêà – ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ íàóêà!
Cêëàäûâàåì ìíîãîóãîëüíèêè íà ïëîñêîñòè
Áåëàÿ Êîðîëåâà îõíóëà è çàêðûëà ãëàçà.
– Ïðèáàâèòü ÿ åùå ìîãó, – ñêàçàëà îíà, – åñëè ìíå
äàäóò ïîäóìàòü. Íî îòíÿòü – íè ïîä êàêèì âèäîì!
Èòàê, ìû æèâåì íà ïëîñêîñòè, ãäå ââåäåíà äåêàðòîâà
ñèñòåìà êîîðäèíàò ( x, y ) ñ íà÷àëîì â òî÷êå O. Ýòî äàåò
íàì ïðàâî íà êàæäóþ òî÷êó a ñìîòðåòü
îäíîâðåìåííî
è êàê íà òî÷êó, è êàê íà âåêòîð Oa . Ïîýòîìó âñÿêèé
ðàç, êîãäà ìû áóäåì ïèñàòü î ñóììå òî÷åê, áóäåì èìåòü
â âèäó ñóììó ñîîòâåòñòâóþùèõ âåêòîðîâ.
Âûïóêëûì ìíîãîóãîëüíèêîì íà ïëîñêîñòè ìû íàçûâàåì âûïóêëóþ îáîëî÷êó íåïóñòîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà òî÷åê. Âàæíî, ÷òî ó íàñ òî÷êà è îòðåçîê òîæå
ñ÷èòàþòñÿ ìíîãîóãîëüíèêàìè.
Îïðåäåëèì íà ìíîæåñòâå âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ îïåðàöèþ ñëîæåíèÿ ïî Ìèíêîâñêîìó.
Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü K è L – âûïóêëûå ìíîãîóãîëüíèêè. Èõ ñóììîé Ìèíêîâñêîãî íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê
K + L = {N + O N ∈ K, O ∈ L} .
Âîò ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà ñóììû Ìèíêîâñêîãî.
(1) Ñóììà äâóõ ìíîãîóãîëüíèêî⠖ âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê.
(2) Åñëè îäèí èç ìíîãîóãîëüíèêîâ, ñêàæåì L = {a},
ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè, òî K + L – ïàðàëëåëüíûé
ïåðåíîñ ìíîãîóãîëüíèêà K íà âåêòîð a.
(3) «Îäíîòî÷å÷íûé» ìíîãîóãîëüíèê O = {O} , ãäå Î
– íà÷àëî êîîðäèíàò, èãðàåò ðîëü «íóëÿ»: ñóììà K + O
âñåãäà ðàâíà K.
(4) Åñëè ñëàãàåìûå K è L ïåðåìåñòèòü ñ ïîìîùüþ
ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ K è J, òî èõ ñóììà ïåðåíåñåòñÿ
ïàðàëëåëüíî íà âåêòîð K + J.
Ïîýòîìó èìååò ñìûñë îòîæäåñòâëÿòü ìíîãîóãîëüíèêè, îòëè÷àþùèåñÿ íà ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ. Èëè
èíà÷å, êîãäà ìû âû÷èñëÿåì ñóììó Ìèíêîâñêîãî, ìû
ìîæåì ïîìåñòèòü íà÷àëî êîîðäèíàò òóäà, êóäà íàì
óäîáíî (êàê ïðàâèëî, óäîáíî â âåðøèíó îäíîãî èç
ìíîãîóãîëüíèêîâ).
(5) Äëÿ ïîâîðîòîâ ïðåäûäóùåå óòâåðæäåíèå íåâåðíî. Åñëè ïîâåðíóòü îäíî èç ñëàãàåìûõ, ñóììà èçìåíèòñÿ óæå ñóùåñòâåííî.
29.07.09, 17:15
ÀÐÈÔÌÅÒÈÊÀ
Ïðèìåð 1. Ñóììà Ìèíêîâñêîãî äâóõ íåïàðàëëåëüíûõ îòðåçêî⠖ ïàðàëëåëîãðàìì (ðèñ.1).
Ðèñ. 1
Ïðèìåð 2. Ñóììà Ìèíêîâñêîãî äâóõ ïàðàëëåëüíûõ
îòðåçêî⠖ îòðåçîê ñóììàðíîé äëèíû.
Ïðèìåð 3. Ñóììà Ìèíêîâñêîãî òðåóãîëüíèêà è îòðåçêà, ïàðàëëåëüíîãî îäíîé èç ñòîðîí, – òðàïåöèÿ
(ðèñ.2).
'
i Îòëîæèì âñå âåêòîðû îò íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïîëó÷èòñÿ òàê íàçûâàåìûé îáùèé áóêåò âåêòîðîâ äëÿ
îáîèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ.
i Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî äâà âåêòîðà èç áóêåòà èìåþò
îáùåå íàïðàâëåíèå. Òîãäà ýòó ïàðó âåêòîðîâ íóæíî
çàìåíèòü íà èõ ñóììó.
i Äâèãàÿñü ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, áåðåì ïî î÷åðåäè
âåêòîðû èç áóêåòà è îòêëàäûâàåì îäèí çà äðóãèì
(ïåðâûé âåêòîð – îò ïðîèçâîëüíî âûáðàííîé òî÷êè íà
ïëîñêîñòè, êàæäûé ñëåäóþùèé âåêòîð – îò êîíöà
ïðåäûäóùåãî). Ïîëó÷àåòñÿ ëîìàíàÿ ëèíèÿ.
i Ëîìàíàÿ çàìêíåòñÿ. Îíà îãðàíè÷èâàåò ñóììó Ìèíêîâñêîãî ìíîãîóãîëüíèêîâ K è L.
Çàäà÷à 1. Ïóñòü K – âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê. Óáåäèòåñü,
÷òî K + K åñòü ìíîãîóãîëüíèê K, ðàñòÿíóòûé ãîìîòåòèåé â
2 ðàçà.
Ðèñ. 2
Ïðèìåð 4. Åùå îäèí ïðèìåð – ñóììà ïÿòèóãîëüíèêà
è òðåóãîëüíèêà (ðèñ.3).  äàííîì ñëó÷àå ýòî ñåìè-
Ðèñ. 3
óãîëüíèê. Îäíàêî åñëè ÷óòü ïîâåðíóòü òðåóãîëüíèê (à
ïÿòèóãîëüíèê îñòàâèòü ïðåæíèì), òî ñóììîé áóäåò
âîñüìèóãîëüíèê, òàê êàê ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû ïÿòèóãîëüíèêà è òðåóãîëüíèêà ïåðåñòàíóò áûòü ïàðàëëåëüíûìè.
Ïîãëÿäåâ íà ïðèâåäåííûå ïðèìåðû, ìîæíî ïîäìåòèòü, ÷òî ëîìàíàÿ, îãðàíè÷èâàþùàÿ ñóììàðíûé ìíîãîóãîëüíèê K + L, ñîñòàâëåíà èç ðåáåð ìíîãîóãîëüíèêîâ
K è L. Ãîâîðÿ òî÷íåå, ñóììó Ìèíêîâñêîãî ìíîãîóãîëüíèêîâ ìîæíî âû÷èñëèòü, ñëåäóÿ òàêîìó àëãîðèòìó
(ðèñ.4):
Ðèñ. 4
i Ïðåâðàòèì êàæäîå ðåáðî ìíîãîóãîëüíèêîâ K è L
â âåêòîð, íàðèñîâàâ íà íåì ñòðåëêó. Ïîëó÷åííûå
âåêòîðû äîëæíû îáõîäèòü ìíîãîóãîëüíèêè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.
01-19.p65
ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÎÂ
9
Âû÷èòàåì ìíîãîóãîëüíèêè
– Ïîéäó-êà ÿ ê Êîðîëåâå íàâñòðå÷ó, – ñêàçàëà
Àëèñà.
Êîíå÷íî, åé èíòåðåñíî áûëî ïîáîëòàòü ñ öâåòàìè,
íî ðàçâå èõ ñðàâíèøü ñ íàñòîÿùåé Êîðîëåâîé!
– Íàâñòðå÷ó? – ïåðåñïðîñèëà Ðîçà. – Òàê òû åå
íèêîãäà íå âñòðåòèøü! ß áû òåáå ïîñîâåòîâàëà èäòè
â îáðàòíóþ ñòîðîíó!
Ðàçíîñòü Ìèíêîâñêîãî îïðåäåëèòü íåâîçìîæíî, åñëè
îãðàíè÷èòü ñåáÿ òîëüêî âûïóêëûìè ìíîãîóãîëüíèêàìè. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ñëîæåíèè ìíîãîóãîëüíèêè íå
ñòàíîâÿòñÿ ìåíüøå (òî÷íåå ãîâîðÿ, ñóììà K è L ñîäåðæèò ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ êàæäîãî èç ñëàãàåìûõ – ýòî
õîðîøî âèäíî íà ðèñóíêå 3). Ïîýòîìó âû÷åñòü èç
ìàëåíüêîãî ìíîãîóãîëüíèêà áîëüøîé íåâîçìîæíî: â
ýòîì ñëó÷àå ìàëåíüêèé ìíîãîóãîëüíèê ñîäåðæàë áû
ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ áîëüøîãî.
Êàê æå ðàçóìíî ðàñøèðèòü êëàññ âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ òàê, ÷òîáû ñäåëàòü âîçìîæíûì âû÷èòàíèå?
Åñëè âçÿòü îïðåäåëåíèå ñóììû è ïîïðîáîâàòü ïîìóäðèòü ñ íèì, ïðèñïîñîáèâ äëÿ âû÷èòàíèÿ, òî íè÷åãî
õîðîøåãî íå âûéäåò (ïîïðîáóéòå!).
Èìååòñÿ óíèâåðñàëüíûé àëãåáðàè÷åñêèé ïðèåì: ðàçíîñòüþ äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ K è L áóäåì íàçûâàòü
ôîðìàëüíîå âûðàæåíèå (K – L), íå ïðèäàâàÿ ïîñëåäíåìó íèêàêîãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ñìûñëà. Äâà òàêèõ
âûðàæåíèÿ (K– L) è (M – N) áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûìè,
êàê òîëüêî K + N = M + L. Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî
òàêèå ôîðìàëüíûå âûðàæåíèÿ ìîæíî ñêëàäûâàòü (ïî
ïðàâèëó (K – L) + (M – N) = ((K + M) – (L + N)),
è ó êàæäîãî (K – L) åñòü îáðàòíûé ýëåìåíò (L – K).
Ýòîò ïðèåì âàì óæå âñòðå÷àëñÿ ðàíüøå íà óðîêàõ
ìàòåìàòèêè – ïðè ïåðåõîäå îò ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ê
îòðèöàòåëüíûì èëè îò öåëûõ ÷èñåë ê ðàöèîíàëüíûì
äðîáÿì.
Îäíàêî íàì õî÷åòñÿ èìåòü äåëî íå ñ ôîðìàëüíûìè
ðàçíîñòÿìè, à ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè îáúåêòàìè. Ïî÷åìó
òàê? Äåëî â òîì, ÷òî ìíîãîóãîëüíèê (èëè ìíîãîãðàííèê
â ïðîñòðàíñòâå) èìååò áîãàòóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ñòðóêòóðó: ó íåãî åñòü ðåáðà, âåðøèíû, ïîíÿòèå ïëîùàäè è
ò.ä. Õîòåëîñü áû èìåòü âñå ýòî áîãàòñòâî è äëÿ ðàçíîñòåé Ìèíêîâñêîãî.
Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ, ïëîäîòâîðíûì îêàçàëîñü ïðè-
29.07.09, 17:15
ÊÂÀÍT 2009/¹4
ñïîñîáèòü äëÿ âû÷èòàíèÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ àëãîðèòì
ñóììèðîâàíèÿ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàçíîñòè íàì (êàê è
Àëèñå) íàäî êîå-ãäå ïîìåíÿòü íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ íà
ïðîòèâîïîëîæíûå.
Èòàê, ðàçíîñòü äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ K – L ìû
îïðåäåëèì àëãîðèòìè÷åñêè:
i Ïîñòðîèì ìíîãîóãîëüíèê L′ , öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íûé ìíîãîóãîëüíèêó L îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò.
i Ïðåâðàòèì êàæäîå ðåáðî ìíîãîóãîëüíèêîâ K è L′
â âåêòîð, íàðèñîâàâ íà íåì ñòðåëêó.
Ïîëó÷åííûå âåêòîðû äîëæíû îáõîäèòü ìíîãîóãîëüíèê K ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, à ìíîãîóãîëüíèê L′ –
ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.
i Êàê è ðàíüøå, îòëîæèì âñå âåêòîðû îò íà÷àëà
êîîðäèíàò. Ïîëó÷èòñÿ áóêåò âåêòîðîâ äëÿ îáîèõ
ìíîãîóãîëüíèêîâ, íî íà ýòîò ðàç íåîáõîäèìî ïîìíèòü,
îòêóäà ýòè âåêòîðà ïðèøëè – îò K èëè îò L. Íà
ðèñóíêå 5 êðàñíûå âåêòîðû – áûâøèå ðåáðà ìíîãîóãîëüíèêà K, à ñèíèå – ìíîãîóãîëüíèêà L′ .
Ðèñ. 5
i Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî äâà âåêòîðà èç áóêåòà èìåþò
îáùåå íàïðàâëåíèå. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè ýòî
êðàñíûé è ñèíèé âåêòîðû, ïðè÷åì êðàñíûé âåêòîð
äëèííåå. Òîãäà ýòó ïàðó âåêòîðîâ íóæíî çàìåíèòü íà
ðàçíîñòü êðàñíîãî è ñèíåãî âåêòîðîâ è ïîêðàñèòü â
êðàñíûé öâåò. Åñëè ñèíèé âåêòîð äëèííåå, òî âñå
íóæíî ñäåëàòü íàîáîðîò. À åñëè âåêòîðû ðàâíîé
äëèíû, òî ïðîñòî îáà âåêòîðà íóæíî óäàëèòü èç
áóêåòà.
i Äâèãàÿñü ïî áóêåòó ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, ìû îòêëàäûâàåì âåêòîðû ïî î÷åðåäè îäèí çà äðóãèì. Åñëè
âåêòîðû ðàçíûõ öâåòîâ, òî èõ íóæíî îòëîæèòü ñ
íàðóøåíèåì íàïðàâëåíèÿ (íå íà÷àëî ê êîíöó, à íà÷àëî
ê íà÷àëó èëè êîíåö ê êîíöó). À åñëè äâà ïîñëåäóþùèõ
âåêòîðà îäíîãî öâåòà, òî íàïðàâëåíèå íå äîëæíî íàðóøàòüñÿ. Ïîëó÷àåòñÿ ëîìàíàÿ ëèíèÿ.
i Ëîìàíàÿ çàìêíåòñÿ. Îíà ïðåäñòàâëÿåò ðàçíîñòü
Ìèíêîâñêîãî K – L.
Äàâàéòå óáåäèìñÿ, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå õîðîøåå, ò.å.
÷òî äëÿ íåãî âûïîëíåíû îáû÷íûå ñâîéñòâà âû÷èòàíèÿ.
Çàäà÷à 2. Äîêàæèòå, ÷òî
K - K = O.
(Äåéñòâèòåëüíî, ìû ïîëó÷èì áóêåò âåêòîðîâ, ãäå êàæäûé
êðàñíûé âåêòîð ïðîäóáëèðîâàí ðàâíûì åìó ñèíèì. Ñîãëàñ-
01-19.p65
10
íî àëãîðèòìó, âñå âåêòîðû íàäî óäàëèòü, è îñòàíåòñÿ ïóñòîé
ïó÷îê âåêòîðîâ, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà.)
Çàäà÷à 3. Äîêàæèòå, ÷òî
K – L + L = K.
(Óáåäèòåñü, ÷òî â ïîëó÷åííîì ïó÷êå âåêòîðû, ïðèøåäøèå èç
L è èç –L, óáüþò äðóã äðóãà.)
Ïðèìåð 5. Ðàçíîñòü äâóõ êâàäðàòîâ, ïîâåðíóòûõ
äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà 45 , – âîñüìèêîíå÷íàÿ
çâåçäà (ðèñ.6).
Ðèñ. 6
Çàäà÷à 4. Íà ïëîñêîñòè íàðèñîâàíà çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ,
ðåáðà êîòîðîé – êðàñíûå è ñèíèå ñòðåëêè. Ïðè ýòîì äâå
ïîñëåäîâàòåëüíûå ñòðåëêè îäíîãî öâåòà ñêëååíû «êîíåö ê
íà÷àëó», à äâå ïîñëåäîâàòåëüíûå ñòðåëêè ðàçíûõ öâåòîâ
ñêëååíû «êîíåö ê êîíöó» èëè «íà÷àëî ê íà÷àëó». Êàê
îïðåäåëèòü, ïðåäñòàâèìà ëè òàêàÿ ëîìàíàÿ êàê ðàçíîñòü
äâóõ âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ? Åñëè äà, òî êàê íàéòè ýòè
ìíîãîóãîëüíèêè?
Çàäà÷à 5 (äëÿ òåõ, êòî çíàåò, ÷òî òàêîå «ãðóïïà»).
(1) Ïîäûòîæèâ ñêàçàííîå, ñäåëàéòå âûâîä î òîì, ÷òî
ðàçíîñòè ìíîãîóãîëüíèêîâ îáðàçóþò ãðóïïó îòíîñèòåëüíî
ñëîæåíèÿ ïî Ìèíêîâñêîìó.
(2) Ñëîæåíèå â ãðóïïå çàäàåòñÿ êàê (K – L) + (M – N) =
= (K + M) – (L + N). Îäíàêî äàâàéòå óâèäèì ãåîìåòðèþ
ïðîèñõîäÿùåãî. Ïóñòü K – L è M – N çàäàíû êàê ëîìàíûå
èç êðàñíî-ñèíèõ ñòðåëîê. Êàê ïîñòðîèòü èõ ñóììó?
Âûõîäèì â ïðîñòðàíñòâî
Àëèñà íà÷àëà áûëî ñïóñêàòüñÿ ñ õîëìà, íî âäðóã
îðîáåëà è îñòàíîâèëàñü.
– Ïðåæäå ÷åì òóäà èäòè, íóæíî çàïàñòèñü õîðîøåé
âåòêîé, ÷òîáû îòìàõèâàòüñÿ îò ñëîíîâ, – îïðàâäûâàëàñü îíà ïåðåä ñîáîé.
 òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ñóììà Ìèíêîâñêîãî îïðåäåëÿåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê è íà ïëîñêîñòè, íî
óñòðîåíà ñëîæíåå. Óæå íåâåðíî, ÷òî ñóììà ñîñòàâëåíà
èç ïåðåòàñîâàííûõ ðåáåð (èëè ãðàíåé) ñëàãàåìûõ.
Óáåäèòåñü â ýòîì íà ñëåäóþùèõ íåñëîæíûõ ïðèìåðàõ.
Ïðèìåð 6. Ñóììà òðåõ âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ îòðåçêîâ îäèíàêîâîé äëèíû – êóá.
Ïðèìåð 7. Ñóììà ïëîñêîãî ïÿòèóãîëüíèêà è îòðåçêà,
íå ëåæàùåãî â ïëîñêîñòè ïÿòèóãîëüíèêà, – ïÿòèóãîëüíàÿ ïðèçìà.
Ïîýòîìó äàâàéòå ñíà÷àëà ðàçðàáîòàåì óäîáíûé âñïîìîãàòåëüíûé èíñòðóìåíò, êîòîðûé ñäåëàåò äëÿ íàñ
ñóììó Ìèíêîâñêîãî óäîáíåå â îáðàùåíèè. Òàêèì èíñòðóìåíòîì áóäóò ïðóæèííûå ãðàôû íà ñôåðå.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç S åäèíè÷íóþ ñôåðó â òðåõìåðíîì
ïðîñòðàíñòâå ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò O. Áîëüøîé îêðóæíîñòüþ áóäåì íàçûâàòü ïåðåñå÷åíèå ñôåðû
S ñ ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åå öåíòð.
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûé ãðàô G íà ñôåðå. Åãî íàäî
ïðåäñòàâëÿòü ñåáå òàê: âåðøèíû ãðàôà {1, 2, ..., n} –
29.07.09, 17:15
ÀÐÈÔÌÅÒÈÊÀ
òî÷êè, ëåæàùèå íà ñôåðå, ðåáðà – îòðåçêè áîëüøèõ
îêðóæíîñòåé. Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ðåáðà ãðàôà íå ïåðåñåêàþòñÿ ìåæäó ñîáîé (íå ñ÷èòàÿ, ðàçóìååòñÿ, îáùèõ âåðøèí). Ìíîæåñòâî ðåáåð ãðàôà G îáîçíà÷èì
÷åðåç E.
Íàì èíòåðåñíû áóäóò òîëüêî òå ãðàôû, êîòîðûå
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñèñòåìû ïðóæèíîê, ïî
ïðóæèíêå íà êàæäîå ðåáðî. Êàæäàÿ ïðóæèíêà äîëæíà
áûòü îáÿçàòåëüíî ëèáî ñæàòà, ëèáî ðàñòÿíóòà (ò.å.
ïðîèçâîäèòü íåíóëåâóþ ñèëó). Ãëàâíîå óñëîâèå –
ñèñòåìà ïðóæèíîê äîëæíà íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè.
Äàäèì ñòðîãîå îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå 2. Ñòðåññîì ãðàôà íà ñôåðå G íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ f, ñîïîñòàâëÿþùàÿ êàæäîìó ðåáðó
íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî òàê, ÷òî äëÿ ëþáîãî
∀i = 1,…, n
∑ f (i, j ) uij
(i, j )∈E
= 0.
Çäåñü uij – åäèíè÷íûé âåêòîð, êàñàþùèéñÿ ðåáðà (i, j )
â òî÷êå i è íàïðàâëåííûé âäîëü ðåáðà îò âåðøèíû. Ýòà
ôîðìóëà âûðàæàåò ðàâíîâåñèå ñèë, äåéñòâóþùèõ íà
âåðøèíó i.
Ïðåäñòàâëÿòü ñåáå ýòî íàäî òàê. Ó íàñ åñòü óçêèé
øàðîâîé ñëîé (ïðîñòðàíñòâî ìåæäó äâóìÿ ñôåðàìè), â
êîòîðîì æèâåò ïðóæèííàÿ ñèñòåìà. Èç-çà âíåøíèõ
îãðàíè÷åíèé ïðóæèíêè íå ìîãóò ñëåçòü ñî ñôåðû, íî ïî
ñôåðå ìîãóò äâèãàòüñÿ ñâîáîäíî ïîä äåéñòâèåì ñèë
íàòÿæåíèÿ ïðóæèíîê. f (i, j ) – ñèëà íàòÿæåíèÿ ïðóæèíêè, ñîîòâåòñòâóþùåé ðåáðó (i, j ) . Âåêòîðû ñèë,
ñîçäàâàåìûõ ïðóæèíêîé íà åå êîíöàõ, íå ïàðàëëåëüíû, íî ðàâíû ïî âåëè÷èíå è äåéñòâóþò âäîëü ðåáðà.
Åñëè ñòðåññ ïîëîæèòåëüíûé, òî ñèëû ñîíàïðàâëåíû
âåêòîðàì uij .
Íà ðèñóíêàõ ìû îòìå÷àåì ðåáðà ãðàôà ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòðåññîì (ðàñòÿíóòàÿ ïðóæèíà) êðàñíûì öâåòîì,
à ñ îòðèöàòåëüíûì ñòðåññîì (ñæàòàÿ ïðóæèíà) –
ñèíèì (êàê íà ðèñóíêå 7).
Íàñ èíòåðåñóþò òîëüêî
âñþäó íåíóëåâûå ñòðåññû
(ò.å. âñå ïðóæèíêè äîëæíû áûòü íàïðÿæåíû).
Êðîìå òîãî, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â ãðàôå ñî
ñòðåññîì íåò èçîëèðîâàííûõ âåðøèí è íåò âåðøèí, ê êîòîðûì ïðèìûÐèñ.7. Ñæàòàÿ è ðàñòÿíóòàÿ êàåò ðîâíî äâà ðåáðà.
ïðóæèíû
Ñîâñåì íå âñå ãðàôû íà
ñôåðå ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå ñèñòåìû ïðóæèíîê. Íàïðèìåð, åñëè ãðàô ñîñòîèò èç îäíîãî-åäèíñòâåííîãî ðåáðà. Èëè ãðàô èç òðåõ
ðåáåð, îáðàçóþùèõ òðåóãîëüíèê.
Èòàê, ïóñòü G – ãðàô íà ñôåðå, à f – åãî âñþäó
ïîëîæèòåëüíûé ñòðåññ (ò.å. âñå ïðóæèíêè ðàñòÿíóòû).
Ïîêàæåì, ÷òî ýòîìó îáúåêòó ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå òðåõìåðíûé âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê P (G, f )
(îò àíãëèéñêîãî ñëîâà «polytope»).
01-19.p65
11
ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÎÂ
i Ðàññìîòðèì âíà÷àëå îòäåëüíî îäíó âåðøèíó i
ãðàôà G. Ïóñòü 1,…, k – ñèëû, ñîçäàâàåìûå ïðóæèíêàìè â âåðøèíå i. Ýòî âåêòîðû, èäóùèå âäîëü ðåáåð
ãðàôà, ïðèìûêàþùèõ ê i, äëèíû êîòîðûõ ðàâíû
çíà÷åíèþ ñòðåññà. Ïîñêîëüêó ñòðåññ âñþäó ïîëîæèòåëüíûé, îíè âñå íàïðàâëåíû âäîëü ðåáðà îò âåðøèíû.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íóìåðàöèÿ ðåáåð ñîîòâåòñòâóåò
ïîðÿäêó îáõîäà ðåáåð ãðàôà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.
i Äëÿ âåðøèíû i ðàññìîòðèì êàñàòåëüíóþ ê ñôåðå
ïëîñêîñòü.  ýòîé ïëîñêîñòè ïîñòðîèì âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê, ðóêîâîäñòâóÿñü ñëåäóþùèì ïðàâèëîì. Âûáåðåì òî÷êó â
ïëîñêîñòè è áóäåì îòêëàäûâàòü îäèí çà äðóãèì âåêòîðû 1,… , k , ïîâåðíóòûå íà óãîë π 2 ïî
÷àñîâîé ñòðåëêå (ðèñ.8).
Ïîñêîëüêó ñóììà âñåõ
ýòèõ âåêòîðîâ ðàâíà
íóëþ (ýòî óñëîâèå èç îïðåäåëåíèÿ ñòðåññà), ëîìàíàÿ çàìêíåòñÿ.
Íå ïðàâäà ëè, çíàêî- Ðèñ.8. Ãðàô ñ ïîëîæèòåëüíûì
ìàÿ êàðòèíêà? Ñèëû, ñòðåññîì ïîðîæäàåò âûïóêëûé
ïðèëîæåííûå ê âåðøè- ìíîãîãðàííèê
íå, ñîñòàâëÿþò áóêåò âåêòîðîâ, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà íóëþ, è èç ýòèõ âåêòîðîâ
ìû ñòðîèì âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê. Ýòî áóäåò ãðàíü
ìíîãîãðàííèêà P (G, f ) .
i Àíàëîãè÷íî ïîñòóïèì ñî âñåìè îñòàëüíûìè âåðøèíàìè ãðàôà.
Çàìåòèì, ÷òî ó ìíîãîóãîëüíèêîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ
ñîñåäíèì âåðøèíàì ãðàôà, åñòü ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû
îäèíàêîâîé äëèíû. Ïîýòîìó èç òàêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, ïåðåíîñÿ èõ ïàðàëëåëüíî, ìîæíî ñîáðàòü âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê P (G, f ) . Îí îïðåäåëÿåòñÿ òàêîé
êîíñòðóêöèåé ñ òî÷íîñòüþ äî ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà.
È íàîáîðîò, ïî âûïóêëîìó ìíîãîãðàííèêó ìîæíî
ïîñòðîèòü ãðàô ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòðåññîì (ðèñ.9).
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äëÿ êàæäîé ãðàíè ìíîãîãðàííè-
Ðèñ.9. Âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê ïîðîæäàåò ãðàô ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòðåññîì
êà åäèíè÷íûé âåêòîð, åé îðòîãîíàëüíûé (è ñìîòðÿùèé
íàðóæó). Åñëè îòëîæèòü âñå ïîëó÷åííûå âåêòîðû îò
íà÷àëà êîîðäèíàò O, òî èõ êîíöû ïîïàäóò íà ñôåðó S.
Ýòî áóäóò âåðøèíû ãðàôà. Ñîåäèíèì èõ, ñîãëàñíî
êîìáèíàòîðèêå ìíîãîãðàííèêà, îòðåçêàìè áîëüøèõ îêðóæíîñòåé (à èìåííî, äâå òî÷êè íóæíî ñîåäèíÿòü, åñëè
29.07.09, 17:28
ÊÂÀÍT 2009/¹4
ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàíè ìíîãîãðàííèêà èìåþò îáùåå
ðåáðî). Òàê ìû ïîëó÷èì ðåáðà ãðàôà. Çíà÷åíèå ñòðåññà
íà ðåáðå ïðè ýòîì ïîëàãàåì ðàâíûì äëèíå ñîîòâåòñòâóþùåãî åìó ðåáðà ìíîãîãðàííèêà.
 ýòîé ñõåìå ìû èìååì äåëî ñ êîìáèíàòîðíîé
äâîéñòâåííîñòüþ: âåðøèíàì ãðàôà ñîîòâåòñòâóþò ãðàíè ìíîãîãðàííèêà, âåðøèíàì ìíîãîãðàííèêà – îáëàñòè ðàçáèåíèÿ ñôåðû, ðåáðàì ãðàôà – ðåáðà ìíîãîãðàííèêà, ïðè÷åì äâå âåðøèíû ãðàôà ñîåäèíåíû ðåáðîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå
ãðàíè äåëÿò ðåáðî.
Ïðèìåð 8. Ðàñïîëîæèì íà ñôåðå òðè áîëüøèå îêðóæíîñòè, ëåæàùèå ïîä óãëîì π 2 äðóã ê äðóãó. Èõ
îáúåäèíåíèå ïîðîæäàåò ãðàô ñ 6 âåðøèíàìè è 8
ðåáðàìè. Ôóíêöèÿ, ñòàâÿùàÿ â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó
ðåáðó ÷èñëî 1, î÷åâèäíî ÿâëÿåòñÿ ñòðåññîì. Óáåäèòåñü,
÷òî â íàøåé ñõåìå òàêîìó ãðàôó ñî ñòðåññîì ñîîòâåòñòâóåò êóá.
Çàäà÷à 6. À êàêîé ìíîãîãðàííèê ïîëó÷èòñÿ, åñëè âçÿòü íå
òðè, à òîëüêî äâå áîëüøèå îêðóæíîñòè?
Ïðèìåð 9. Åäèíè÷íûé îòðåçîê òîæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òðåõìåðíûé ìíîãîãðàííèê. Ïîïðîáóåì ñîîáðàçèòü, êàêîé ãðàô íà ñôåðå åìó ñîîòâåòñòâóåò.
Ñîãëàñíî êîìáèíàòîðíîé äâîéñòâåííîñòè, ó íåãî íå
äîëæíî áûòü âåðøèí (âåäü ó îòðåçêà íåò ãðàíåé) è
äîëæíî áûòü âñåãî îäíî ðåáðî. Ïîýòîìó íàì ïðèõîäèòñÿ ðàñøèðèòü ïîíÿòèå ãðàôà íà ñôåðå.
Îïðåäåëåíèå 3. Îäíî çàìêíóòîå ðåáðî, ñîâïàäàþùåå ñ áîëüøîé îêðóæíîñòüþ, òîæå áóäåì ñ÷èòàòü
ãðàôîì íà ñôåðå. Çíà÷åíèå ñòðåññà íà ýòîì ðåáðå
ìîæåò áûòü ëþáûì. Òàêîé ãðàô (ñî ñòðåññîì) áóäåì
íàçûâàòü ýêçîòè÷åñêèì.
Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýêçîòè÷åñêîãî ãðàôà ÿñåí: ýòî
çàìêíóòàÿ ïðóæèíà, îïîÿñûâàþùàÿ ñôåðó ïî ýêâàòîðó.
Äàâàéòå íàó÷èìñÿ ñêëàäûâàòü ãðàôû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ñòðåññàìè.
Ïóñòü (G1, f1 ) è (G2, f2 ) – äâà ãðàôà ñ ïîëîæèòåëüíûìè ñòðåññàìè. Çàäàäèì èõ ñóììó àëãîðèòìè÷åñêè
(ðèñ.10).
i Ïîìåñòèì íà ñôåðó îáà ãðàôà è â êà÷åñòâå ñóììû
(G1, f1 ) + (G2, f2 ) âîçüìåì ðåçóëüòàò íàëîæåíèÿ ýòèõ
íàäî ïðèñâîèòü çíà÷åíèå ñòðåññà f1 . Àíàëîãè÷íî, åñëè
ðåáðî ñóììû åñòü ÷àñòü ðåáðà ãðàôà G2 , òî åìó íàäî
ïðèñâîèòü çíà÷åíèå ñòðåññà f2 . Åñëè æå ðåáðî îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ðåáåð îáîèõ ãðàôîâ, òî
çíà÷åíèÿ ñòðåññîâ íàäî ñëîæèòü.
Íóëåâûì ýëåìåíòîì îòíîñèòåëüíî ýòîé îïåðàöèè
ÿâëÿåòñÿ ïóñòîé ãðàô (ãðàô áåç ðåáåð è áåç âåðøèí).
Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì
ãðàô ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòðåññîì.
Òåîðåìà. Ñëîæåíèå ïî Ìèíêîâñêîìó âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ ñîîòâåòñòâóåò ñëîæåíèþ èõ ãðàôîâ
ñî ñòðåññàìè.
Èíûìè ñëîâàìè, åñëè åñòü äâà ãðàôà ñî ñòðåññàìè
(G1, f1 ) è (G2, f2 ) , òî
P ((G1, f1 ) + (G2 , f2 )) = P (G1, f1 ) + P (G2 , f2 ) .
Ìû îñòàâëÿåì ýòó òåîðåìó áåç äîêàçàòåëüñòâà. Îòìåòèì âïðî÷åì, ÷òî ïðèìåðû 6 è 7, â ñðàâíåíèè ñ
ïðèìåðàìè 8 è 9, õîðîøî åå èëëþñòðèðóþò.
Âû÷èòàíèå ïî Ìèíêîâñêîìó
– Èíòåðåñíî, êóäà ìíå òåïåðü èäòè?
Íà ýòîò âîïðîñ îòâåòèòü áûëî íåòðóäíî: ÷åðåç ëåñ
âåëà òîëüêî îäíà äîðîãà, è îáå ñòðåëêè óêàçûâàëè íà
íåå.
– Äîéäó äî ðàçâèëêè, – ïîäóìàëà Àëèñà, – òîãäà
è ðåøó. Âåäü òàì èì ïðèäåòñÿ óêàçûâàòü â ðàçíûå
ñòîðîíû.
Íàïðàñíî îíà íà ýòî íàäåÿëàñü! Îíà âñå øëà è øëà
ïî äîðîãå, íî è íà ðàçâèëêàõ ñòðåëêè íåèçìåííî
óêàçûâàëè â îäíó ñòîðîíó.
Òåïåðü íàøà öåëü – ïðèäàòü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë
âûðàæåíèþ «ðàçíîñòü Ìèíêîâñêîãî äâóõ âûïóêëûõ
ìíîãîãðàííèêîâ». Äâóìåðíûé ñëó÷àé íàñ ïîäãîòîâèë ê
òîìó, ÷òî íàñ æäåò íå÷òî íåâûïóêëîå è ñ ñàìîïåðåñå÷åíèÿìè.
Ñíà÷àëà ðàçáåðåìñÿ, êàê ñêëàäûâàòü ãðàôû ñ ïðîèçâîëüíûìè, íå îáÿçàòåëüíî ïîëîæèòåëüíûìè ñòðåññàìè. Êàê è äëÿ Àëèñû, ó íàñ ñåé÷àñ íåò âûáîðà: âñå
ñòðåëêè âåäóò â îäíî è òî æå ìåñòî.
Îïðåäåëåíèå 4. Ïóñòü (G1, f1 ) , (G2, f2 ) – äâà ãðàôà
ñ íåíóëåâûìè ñòðåññàìè. Çàäàäèì èõ ñóììó àëãîðèòìè÷åñêè (ðèñ.11):
Ðèñ. 10
ãðàôîâ. Ãîâîðÿ òî÷íåå, íóæíî âçÿòü âñå âåðøèíû
ãðàôîâ (G1, f1 ) è (G2, f2 ) è âñå íîâûå âåðøèíû,
ïîëó÷èâøèåñÿ êàê ïåðåñå÷åíèÿ ðåáåð (G1, f1 ) è
(G2, f2 ) . Ðåáðà ïîëó÷åííîãî ãðàôà – êóñî÷êè ðåáåð
(G1, f1 ) è (G2, f2 ) .
i Çíà÷åíèå ñòðåññà (G1, f1 ) + (G2, f2 ) íà ðåáðå íàñëåäóåòñÿ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè ðåáðî ãðàôà
(G1, f1 ) + (G2, f2 ) åñòü ÷àñòü ðåáðà ãðàôà G1 , òî åìó
01-19.p65
12
Ðèñ. 11
29.07.09, 17:28
ÀÐÈÔÌÅÒÈÊÀ
i Êàê è ïðåæäå, íóæíî âçÿòü ðåçóëüòàò íàëîæåíèÿ
ýòèõ ãðàôîâ.
i Êàê è ïðåæäå, çíà÷åíèå ñòðåññà íà ðåáðàõ íàñëåäóåòñÿ îò (G1, f1 ) è (G2, f2 ) .
i Îäíàêî íà ýòîì ïðîöåäóðà ñëîæåíèÿ íå çàêàí÷èâàåòñÿ. Ñëåäóþùèé øà㠖 óäàëåíèå ëèøíèõ ðåáåð è
âåðøèí. Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî ñòðåññ ñóììû
(G1, f1 ) + (G2, f2 ) íà íåêîòîðîì ðåáðå îêàæåòñÿ ðàâíûì
íóëþ. Òîãäà òàêîå ðåáðî íàäî óäàëèòü.
i Ïîñëå óäàëåíèÿ âñåõ ðåáåð ñ íóëåâûì ñòðåññîì
ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî ê îäíîé âåðøèíå ïðèìûêàþò
ðîâíî äâà ðåáðà (ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýòè ðåáðà îáðàçóþò
óãîë π , è ñòðåññû íà ýòèõ ðåáðàõ ðàâíû). Òîãäà ýòó
âåðøèíó íàäî óäàëèòü, à äâà ðåáðà îáúåäèíèòü â îäíî.
Âåðøèíû, ê êîòîðûì íå ïðèìûêàþò ðåáðà, òîæå íóæíî
óäàëèòü.
 ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì íåêîòîðûé ãðàô íà ñôåðå
ñ íåíóëåâûì ñòðåññîì.
Òåïåðü ÿñíî, êàê âû÷èòàòü ãðàôû ñî ñòðåññàìè.
Îáðàòíûì ãðàôîì ê ãðàôó (G, f ) , î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ
ãðàô (G, − f ) . (Óáåäèòåñü, ÷òî (G, f ) + (G, − f ) – ïóñòîé
ãðàô!) Ïîýòîìó âçÿòü ðàçíîñòü ãðàôîâ (G1, f1 ) è (G2, f2 )
îçíà÷àåò âçÿòü ñóììó ãðàôîâ (G1, f1 ) è (G2, − f2 ) .
Çàäà÷à 7. Ïîêàæèòå, ÷òî ëþáîé ïðóæèííûé ãðàô íà ñôåðå
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàçíîñòè äâóõ ãðàôîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ñòðåññàìè.
Òåïåðü ïîïðîáóåì ïî ãðàôó ñ âñþäó íåíóëåâûì (íî
òåïåðü íå îáÿçàòåëüíî ïîëîæèòåëüíûì) ñòðåññîì (G, f )
ïîñòðîèòü ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò P (G, f ) .
Àëãîðèòì â òî÷íîñòè ïîâòîðÿåò àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ
P (G, f ) äëÿ ãðàôà ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòðåññîì. Îïÿòü,
êàê è ó Àëèñû, ó íàñ íåò äðóãîãî âûáîðà.
i Ïóñòü 1,…, k – ñèëû, ñîçäàâàåìûå ïðóæèíêàìè â
âåðøèíå i ãðàôà (G, f ) . Òåïåðü ýòî âåêòîðû, èäóùèå
ëèáî â íàïðàâëåíèè ðåáðà, ëèáî â ïðîòèâîïîëîæíîì
íàïðàâëåíèè, â çàâèñèìîñòè îò çíàêà ñòðåññà. Ìû
ñ÷èòàåì, ÷òî èõ íóìåðàöèÿ ñîîòâåòñòâóåò ïîðÿäêó
îáõîäà ðåáåð ãðàôà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Ïîñêîëüêó
ñòðåññ ìîæåò áûòü çíàêîïåðåìåííûé, ñàìè âåêòîðû
f1,…, fk ìîãóò èäòè ñîâñåì â äðóãîì ïîðÿäêå.
i Êàê è ïðåæäå, äëÿ âåðøèíû i ðàññìîòðèì êàñàòåëüíóþ ê ñôåðå S ïëîñêîñòü. Â ýòîé ïëîñêîñòè ïîñòðîèì
çàìêíóòóþ ëîìàíóþ, ðóêîâîäñòâóÿñü ñòàðûì ïðàâèëîì. Âûáåðåì òî÷êó â ïëîñêîñòè è áóäåì îòêëàäûâàòü
îäèí çà äðóãèì âåêòîðû f1,…, fk , ïîâåðíóòûå íà óãîë
π 2 ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Çäåñü âàæíî, ÷òî ìû áåðåì
âåêòîðû ñîãëàñíî ïîðÿäêó ðåáåð, à íå ïîðÿäêó âåêòîðîâ.
Ïîëåçíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòà ïðîöåäóðà â òî÷íîñòè
îïèñûâàåò ïîñòðîåíèå ðàçíîñòè Ìèíêîâñêîãî âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ.
i Àíàëîãè÷íî ïîñòóïèì ñî âñåìè îñòàëüíûìè âåðøèíàìè ãðàôà. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû ìû ïîëó÷èì íåâûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê (çàìêíóòóþ ïëîñêóþ ëîìàíóþ,
âîçìîæíî ñ ñàìîïåðåñå÷åíèÿìè)
i Âàæíî, ÷òî äëÿ ýòèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ îñòàåòñÿ
âûïîëíåííûì ãëàâíîå ñâîéñòâî, ïîçâîëÿþùåå ñîáðàòü
èõ âîåäèíî, – ó ìíîãîóãîëüíèêîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ
01-19.p65
13
ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÎÂ
!
ñîñåäíèì âåðøèíàì ãðàôà, åñòü ïàðàëëåëüíûå îòðåçêè
îäèíàêîâîé äëèíû.
Ïîýòîìó èç òàêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, ïåðåíîñÿ èõ
ïàðàëëåëüíî, ìîæíî ñîáðàòü íåêèé îáúåêò P (G, f ) ,
îïðåäåëÿåìûé òàêîé êîíñòðóêöèåé ñ òî÷íîñòüþ äî
ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà. P (G, f ) íàçûâàåòñÿ âèðòóàëüíûì ìíîãîãðàííèêîì.
Òåïåðü ÿñíî, ÷òî íóæíî ñäåëàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ
ðàçíîñòè Ìèíêîâñêîãî äâóõ ìíîãîãðàííèêîâ K è L:
i Ïðåâðàòèòü ìíîãîãðàííèêè â ïðóæèííûå ãðàôû.
i Âçÿòü ðàçíîñòü ïðóæèííûõ ãðàôîâ.
i Ïîñòðîèòü âèðòóàëüíûé ìíîãîãðàííèê P (G, f ) , ñîîòâåòñòâóþùèé ðàçíîñòè ãðàôîâ.
Äàäèì ïîÿñíåíèå äëÿ ïðîäâèíóòûõ ÷èòàòåëåé. Äåëî â òîì,
÷òî ïðè ñóììèðîâàíèè ïî Ìèíêîâñêîìó ïàðàëëåëüíûå ãðàíè
ìíîãîãðàííèêîâ ñêëàäûâàþòñÿ. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî ãðàíÿìè ðàçíîñòè Ìèíêîâñêîãî K – L äîëæíû
ñëóæèòü ðàçíîñòè Ìèíêîâñêîãî ãðàíåé ìíîãîãðàííèêîâ K è
L. Èìåííî ýòî ÿâëåíèå çàêîäèðîâàíî â êîíñòðóêöèþ âèðòóàëüíîãî ìíîãîãðàííèêà.
Ïðèìåð 10. Íà ðèñóíêå 12,à) ïðåäñòàâëåí ãðàô ñî
ñòðåññîì. Ãðàô òðåõâàëåíòåí, ñëåäîâàòåëüíî, âèðòóàëüíûé ìíîãîãðàííèê (G, f ) (ðèñ.12,á) ñêëååí èç òðåóãîëüíèêîâ.
à)
á)
Ðèñ.12. Ïðèìåð ãðàôà ñî çíàêîïåðåìåííûì ñòðåññîì è ñîîòâåòñòâóþùèé åìó âèðòóàëüíûé ìíîãîãðàííèê
Ëèòåðàòóðà
1. À.Ïóõëèêîâ, À.Õîâàíñêèé. Êîíå÷íî-àääèòèâíûå ìåðû
âèðòóàëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ. (Àëãåáðà è àíàëèç, ò.4 (1992),
âûï. 2, ñ. 161–185.)
2. Càéò, ïîñâÿùåííûé ãèïåðáîëè÷åñêèì âèðòóàëüíûì
ìíîãîãðàííèêàì: club.pdmi.ras.ru/~panina/hyperbolicpolytopes.html
29.07.09, 17:29
"
ÊÂÀÍT 2009/¹4
Ðàññêàçû î ñîâðåìåííîé
ìåõàíèêå (ïðîäîëæåíèå)
Ã.רÐÍÛÉ
Èññëåäîâàíèå âóëêàíè÷åñêèõ èçâåðæåíèé
ìåòîäàìè ìåõàíèêè
Èçó÷åíèå âóëêàíîâ è èõ àêòèâíîñòè âñåãäà áûëî
äåëîì ñïåöèàëèñòî⠖ âóëêàíîëîãîâ, ãåîëîãîâ è ïðåäñòàâèòåëåé äðóãèõ íàóê. Ìåõàíèêà äîëãîå âðåìÿ íå
âìåøèâàëàñü â ýòîò âîïðîñ. Áûëè îòäåëüíûå ïîïûòêè
ðàññìîòðåíèÿ ãåéçåðîâ è äðóãèõ ïîäîáíûõ îáðàçîâàíèé. Íî ñîáñòâåííî âóëêàíàìè ó÷åíûå-ìåõàíèêè çàíÿëèñü ëèøü â ïîñëåäíåå âðåìÿ, è ñðàçó æå ïðîèçîøåë
ïðîðûâ â ýòîé îáëàñòè.
Äëÿ èçó÷åíèÿ è ïðîãíîçèðîâàíèÿ äåÿòåëüíîñòè âóëêàíîâ áûëè ïðèìåíåíû òðàäèöèîííûå äëÿ ìåõàíèêè
ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Íà íûíåøíåì ýòàïå èññëåäîâàíèé óæå ïîëó÷åíû èíòåðåñíûå è
îáíàäåæèâàþùèå ðåçóëüòàòû. Ïîñòðîåíû ìîäåëè ðàçëè÷íûõ òèïîâ èçâåðæåíèé, ìåòîäàìè ìåõàíèêè îïèñàí
ðÿä ïðîøëûõ èçâåðæåíèé (â õîðîøåì ñîãëàñèè ñ
èìåþùèìèñÿ äàííûìè). Â íàøè äíè, áëàãîäàðÿ ðàáîòå
ó÷åíûõ èç Èíñòèòóòà ìåõàíèêè ÌÃÓ, ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü çàäíèì ÷èñëîì ïðîâåñòè ðàñ÷åò ïðîèñõîäèâøèõ â ñâîå âðåìÿ èçâåðæåíèé, î êîòîðûõ áûëî ìíîãîå
èçâåñòíî, íî, êàê îêàçàëîñü, ìíîãîå ñòàíîâèòñÿ èçâåñòíûì ëèøü ñåé÷àñ.
Âóëêàíè÷åñêîå èçâåðæåíèå – îäèí èç íàèáîëåå ðàçðóøèòåëüíûõ âèäîâ ïðèðîäíûõ êàòàñòðîô. Äîñòàòî÷íî ñêàçàòü, ÷òî çà ïîñëåäíèå òðè âåêà â ðåçóëüòàòå
âóëêàíè÷åñêèõ èçâåðæåíèé ïîãèáëè áîëåå 220 òûñÿ÷
÷åëîâåê. Äëÿ íàäåæíîãî ïðîãíîçà ïîñëåäñòâèé âóëêàíè÷åñêèõ èçâåðæåíèé íåîáõîäèìî íàó÷èòüñÿ ïðàâèëüíî èíòåðïðåòèðîâàòü ðàçëè÷íûå ñèãíàëû, ïîëó÷àåìûå
îò âóëêàíà, – ìèêðîçåìëåòðÿñåíèÿ, äåôîðìàöèè ïîñòðîåê, ðîñò òåìïåðàòóðû â òåðìàëüíûõ èñòî÷íèêàõ è
ñîñòàâ âûäåëÿåìûõ ãàçîâ. Ñâÿçàòü ýòè íåïðÿìûå ðàçðîçíåííûå íàáëþäåíèÿ ïîä ñèëó ëèøü ìàòåìàòè÷åñêèì
ìîäåëÿì, îñíîâûâàþùèìñÿ íà ôóíäàìåíòàëüíûõ çàêîíàõ ìåõàíèêè.
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ïîäðîáíåå, ÷òî ïðîèçîøëî â
79 ãîäó íàøåé ýðû âî âðåìÿ èçâåðæåíèÿ âóëêàíà
Âåçóâèé, êîãäà ïîãèáëè ãîðîäà Ïîìïåè è Ãåðêóëàíóì.
Êàê èçâåñòíî èç ìíîãî÷ëåííûõ èñòî÷íèêîâ, ïîñëå
êðàòêîâðåìåííîãî âñïëåñêà èçâåðæåíèå áûñòðî ïîøëî
íà óáûëü. Æèòåëè Ïîìïåé, õîòÿ è èçðÿäíî íàïóãàííûå, ðåøèëè, ÷òî âóëêàí óñïîêîèëñÿ, è íå ñîáèðàëèñü
ïîêèäàòü ñâîè äîìà. Âíåçàïíî èçâåðæåíèå ñíîâà óñèëèëîñü, è íà ãîðîä îáðóøèëèñü ïîòîêè ðàñêàëåííûõ
êàìíåé. Ïðàêòè÷åñêè ìãíîâåííî ãîðîä áûë ïîãðåáåí
ïîä èõ ìíîãîìåòðîâûì ñëîåì.
Îáúÿñíèòü ýòî íå ìîã íèêòî, à ìåõàíèêè – îáúÿñíèëè.
01-19.p65
14
Ñîçäàëè ìîäåëü, ðàñ÷åòû ïî êîòîðîé âîññòàíîâèëè
õðîíîëîãèþ ñîáûòèé. Íà ðèñóíêå 1 ïðèâåäåí ãðàôèê
ðàññ÷èòàííîé çàâèñèìîñòè èíòåíñèâíîñòè èçâåðæåíèÿ
îò âðåìåíè. Îêàçûâàåòñÿ, âîçëå Âåçóâèÿ â çåìëå èìååòñÿ äîñòàòî÷íî ìîùíûé âîäîíîñíûé ñëîé. È âîò,
Ðèñ.1. Èíòåíñèâíîñòü èçâåðæåíèÿ Âåçóâèÿ (79 ã.)
êîãäà ïðîèçîøåë ñïàä èçâåðæåíèÿ, â ìåñòå êîíòàêòà ñ
ýòèì ñëîåì äàâëåíèå âíóòðè êàíàëà âóëêàíà ñèëüíî
óïàëî, è òóäà óñòðåìèëàñü âîäà, êîòîðàÿ ïðàêòè÷åñêè
ìãíîâåííî ïðåâðàòèëàñü â ïàð è ïðîèçâåëà âûñòðåë,
âûáðîñèâøèé ãðîìàäíîå ÷èñëî êàìíåé, ïåïëà è òîìó
ïîäîáíîå.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ìåòîäû ìåõàíèêè àêòèâíî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ àíàëèçà è ïðîãíîçà âóëêàíè÷åñêèõ
èçâåðæåíèé. Â Èíñòèòóòå ìåõàíèêè ÌÃÓ ñîçäàíû
ìîäåëè òå÷åíèÿ ìàãìû (ðàñïëàâëåííîé ëàâû) â êàíàëå
âóëêàíà äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ èçâåðæåíèé. Ýòè ìîäåëè
ïîçâîëÿþò ñâÿçàòü íàáëþäàåìûå íà ïîâåðõíîñòè âåëè÷èíû, íàïðèìåð ðàñõîä ìàãìû è åå òåìïåðàòóðó, ñ
ïðîöåññàìè, ïðîèñõîäÿùèìè â çåìíîé êîðå. Äëÿ ðÿäà
âóëêàíîâ èõ èñòîðèÿ èçâåñòíà, îïèñàíà ìåòîäàìè ìåõàíèêè, è, òàêèì îáðàçîì, ñòàíîâèòñÿ âîçìîæåíûì ïðîãíîç. Íàïðèìåð, âçÿâ ïàðàìåòðû èçâåðæåíèÿ äëÿ Âåçóâèÿ ïðèáëèçèòåëüíî òå æå, ÷òî áûëè â íà÷àëå íàøåé
ýðû, ó÷åíûå ðàññ÷èòàëè ëàâîâûå ïîòîêè, êîòîðûå
ìîãóò âîçíèêíóòü ñåãîäíÿ. Îíè óñòàíîâèëè, â ÷àñòíîñòè, ÷òî íà ãîðîä Íåàïîëü â òå÷åíèå 15 ìèíóò ìîãóò
îáðóøèòüñÿ îãðîìíûå ïîòîêè ðàñêàëåííîé ìàãìû. Íàñåëåíèå è ìåñòíûå îðãàíû âëàñòè ïðèçàäóìàëèñü, è
ñåé÷àñ ðàçðàáàòûâàþòñÿ ïëàíû ýâàêóàöèè íàñåëåíèÿ
íà ýòîò ñëó÷àé.
29.07.09, 17:29
ÐÀÑÑÊÀÇÛ
Î
ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÎÉ
Ìåõàíè÷åñêàÿ ìîäåëü îáðàçîâàíèÿ
ñóïåðêîíòèíåíòîâ
Åùå îäèí, äåéñòâèòåëüíî îøåëîìëÿþùèé, ïðèìåð
ïðèìåíåíèÿ ìåõàíèêè â îãðîìíîì ïî ìàñøòàáó ïðîìåæóòêå âðåìåíè îò íà÷àëà âîçíèêíîâåíèÿ Çåìëè è äî
íàøèõ äíåé – ýòî îáðàçîâàíèå êîíòèíåíòîâ. Èçâåñòíî,
÷òî êîíòèíåíòû è ñîñòàâëÿþùèå èõ ïëèòû äâèæóòñÿ. È
âîò, ïî äàííûì ãåîëîãîâ, çà ïîñëåäíèå òðè ñ ïîëîâèíîé
ìèëëèàðäà ëåò ýòè ïëèòû íåñêîëüêî ðàç ñîáèðàëèñü â
Ðèñ.2. Ñóïåðêîíòèíåíòû â ãåîëîãè÷åñêîé èñòîðèè Çåìëè
íåêèé îáùèé ìàòåðèê (ðèñ.2). Ãåîëîãè óìåþò îïðåäåëÿòü âîçðàñò ïîðîä. Íà íûíå ñóùåñòâóþùèõ êîíòèíåíòàõ åñòü îáëàñòè, ãäå ïîðîäû î÷åíü ñòàðûå – ïî òðè
ìèëëèàðäà ëåò è áîëüøå, à â äðóãèõ ìåñòàõ îáíàðóæåíû òàê íàçûâàåìûå þâåíèëüíûå ïîðîäû, ò.å. ïîðîäû,
âîçíèêøèå íàìíîãî (íà ìèëëèàðä, íà äâà ìèëëèàðäà
ëåò) ïîçæå. Íî ïî÷åìó âñå ýòî ïðîèñõîäèò – íåÿñíî.
Äëÿ îáúÿñíåíèÿ áûëà ïðåäëîæåíà êîíâåêöèîííàÿ
òåîðèÿ äèíàìèêè çåìíîé êîðû. Âíóòðåííåå ñòðîåíèå
Çåìëè âûáèðàëîñü î÷åíü ïðîñòûì – â öåíòðå íàõîäèòñÿ
ãîðÿ÷åå ðàñïëàâëåííîå ÿäðî, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì òåïëà, äàëüøå ðàñïîëàãàåòñÿ ìàíòèÿ, êîòîðàÿ
ðàçäåëåíà íà äâà ñëîÿ – âåðõíèé è íèæíèé (ýòî –
äàííûå ñåéñìîëîãèè). Ñëîè – òîëñòûå, âåðõíèé ñëîé
èìååò òîëùèíó ïðèìåðíî 650 êèëîìåòðîâ. Ýòè ñëîè
îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ïî ñâîåìó âíóòðåííåìó
ñòðîåíèþ. Ãðàíèöà ìåæäó ñëîÿìè – ýòî ïîâåðõíîñòü
ôàçîâîãî ïåðåõîäà âåùåñòâà ìàíòèè ñ ïîãëîùåíèåì
òåïëà, ò.å. ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ýòó ïîâåðõíîñòü îäíè
õèìè÷åñêèå ñâÿçè ïðåîáðàçóþòñÿ â äðóãèå è ýòî ñîïðîâîæäàåòñÿ ïîãëîùåíèåì òåïëà. Òàê âîò, áûëà ïîñòðîåíà òàêàÿ óïðîùåííàÿ ìîäåëü: åñòü ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íàÿ Çåìëÿ, çàòåì åé äàþò íåáîëüøîå âîçìóùåíèå, îòêëîíåíèå îò ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé ôîðìû,
01-19.p65
15
ÌÅÕÀÍÈÊÅ
#
è îòñëåæèâàþò, ÷òî ïðîèñõîäèò ïðè äàëüíåéøåé ýâîëþöèè. Ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä
ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðàçâèâàþùèåñÿ (óâåëè÷èâàþùèåñÿ) âîçìóùåíèÿ ïðèâîäÿò ê ãëîáàëüíûì äâèæåíèÿì
ìàíòèè Çåìëè. Âîçíèêàþò òàê íàçûâàåìûå òåïëîâûå
êîíâåêòèâíûå ïîòîêè, è â äâóõñëîéíîé ìàíòèè íàáëþäàåòñÿ èíòåðåñíåéøåå ÿâëåíèå. Â íåêîòîðûå ïåðèîäû,
äîñòàòî÷íî êîðîòêèå ïî ñðàâíåíèþ ñ îáùèì âðåìåíåì
ýâîëþöèè, âåðõíèé, áîëåå õîëîäíûé, ñëîé ìàíòèè ïî÷òè öåëèêîì
ñëèâàåòñÿ îäíîé ãèãàíòñêîé ñòðóåé âãëóáü Çåìëè, îáâîëàêèâàÿ åå
ÿäðî. Âçàìåí ýòîãî ïðîèñõîäèò
âñïëûòèå íà ïîâåðõíîñòü ÷àñòè
âåùåñòâà íèæíåãî, áîëåå ãîðÿ÷åãî, ñëîÿ. Âñïëûòèå ïðîèñõîäèò
òðåìÿ-ïÿòüþ ìåíåå ìîùíûìè ñòðóÿìè, ÷åì ñòðóÿ, èäóùàÿ âíèç.
Âñïëûâàþùèé ìàòåðèàë è îáðàçóåò íîâûå, þâåíèëüíûå ïîðîäû.
Çàìåòèì, ÷òî íàèáîëåå íåîæèäàííûì îòêðûòèåì îêàçàëàñü òàê
íàçûâàåìàÿ «ãëîáàëüíàÿ ñàìîîðãàíèçàöèÿ» òå÷åíèÿ, êîòîðàÿ çàêëþ÷àåòñÿ â êîëëåêòèâíîì, ò.å.
îäíîé ìîùíîé ñòðóåé, ïîãðóæåíèè âåùåñòâà. Ñëåäñòâèåì ýòîãî è
ÿâëÿåòñÿ ñáîðêà (íàä ìåñòîì ïîãðóæåíèÿ) ñóïåðêîíòèíåíòà èç
îòäåëüíûõ êîíòèíåíòîâ, à òàêæå
ïîâûøåííàÿ ñêîðîñòü ïîãðóæåíèÿ
âåùåñòâà.
Îïèñûâàåìàÿ òåîðèåé êàðòèíà
íå òîëüêî êà÷åñòâåííî ñîãëàñóåòñÿ ñ ãåîëîãè÷åñêîé èñòîðèåé íàøåé ïëàíåòû, íî è ïîçâîëÿåò äåëàòü íåêîòîðûå âûâîäû
(àâòîðû ðàáîòû – ìîñêîâñêèå ó÷åíûå-ìåõàíèêè). Ïîñêîëüêó òåîðèÿ èìååò íåêîòîðóþ ñâîáîäó (ñâîáîäíûå
ïàðàìåòðû, êîòîðûå ìîæíî çàäàâàòü), âðåìåííîé ìàñøòàá ïîäãîíÿåòñÿ ïîä ìàñøòàá äåéñòâèòåëüíûõ íîâûõ
îáðàçîâàíèé, êîòîðûå ãåîëîãè îïðåäåëÿþò ïî ðàñïàäó
ðàäèîàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ. Íà ðèñóíêå 3 ïðèâåäåí
Ðèñ.3. Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ìàíòèè
29.07.09, 17:29
$
ÊÂÀÍT 2009/¹4
Ðèñ.4. Ãåîëîãè÷åñêèå äàííûå ïî âîçðàñòó þâåíèëüíûõ ïîðîä
ãðàôèê ðàññ÷èòàííîé ñðåäíåé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ìàíòèè. Îí èìååò äîâîëüíî îñòðûå ïèêè, êîãäà ñêîðîñòü
ñèëüíî âîçðàñòàåò, ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïèêîâ íåâåëèêà
ïî ñðàâíåíèþ ñ îáùèì âðåìåíåì ýâîëþöèè. Âî âðåìÿ
ýòèõ ïèêîâ è ïðîèñõîäèò èíòåíñèâíîå îáðàçîâàíèå
ïîðîä. Ïîëó÷åííàÿ êàðòèíà õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ
èìåþùèìèñÿ ãåîëîãè÷åñêèìè äàííûìè ïî âîçðàñòó
þâåíèëüíûõ ïîðîä (ðèñ.4). Ïîñëå òîãî êàê ïåðèîäû
ïîäîãíàíû, ïîëó÷àåòñÿ î÷åíü ïîõîæàÿ êàðòèíà.
Ìåõàíèêà è àðêòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ
 íàøåé ñòðàíå ðàçðàáîòàíû (÷åãî íåò áîëüøå íèãäå
â ìèðå) ãëóáîêîâîäíûå, äî 6 êèëîìåòðîâ ãëóáèíû
ïîãðóæåíèÿ, ñàìîõîäíûå èëè óïðàâëÿåìûå èçâíå ñàìîäâèæóùèåñÿ àïïàðàòû – îáèòàåìûé «Ìèð» è íåîáèòàåìûé «Êëàâåñèí». Îíè ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àþòñÿ îò
èìåþùèõñÿ â ðÿäå ñòðàí òàê íàçûâàåìûõ áàòèñêàôîâ,
êîòîðûå ïðîñòî îïóñêàþò íà êàíàòå, âíèçó îíè ñáðàñûâàþò áàëëàñò è âñïëûâàþò. Íî 6 êèëîìåòðîâ ãëóáèíû – ýòî äàâëåíèå 600 àòìîñôåð, êîòîðîå äîëæíî
âûäåðæàòü äîñòàòî÷íî ñëîæíîå óñòðîéñòâî àïïàðàòà.
È çäåñü íóæíà ìåõàíèêà ìàòåðèàëîâ, ìåõàíèêà èõ
ïîâåäåíèÿ â òàêèõ ñëîæíûõ óñëîâèÿõ.
Íîâîñòü, êîòîðàÿ â ãàçåòàõ îñâåùàëàñü î÷åíü øèðîêî, – íåäàâíÿÿ ýêñïåäèöèÿ ê Ñåâåðíîìó ïîëþñó íà
àòîìíûõ ëåäîêîëàõ «Ðîññèÿ» è «Àêàäåìèê Ôåäîðîâ»
è óñòàíîâêà Ðîññèéñêîãî ôëàãà íà äíî Ñåâåðíîãî
Ëåäîâèòîãî îêåàíà. Íà àòîìíûõ ëåäîêîëàõ åñòü àòîìíûå ðåàêòîðû, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïî÷òè
÷èñòî ìåõàíè÷åñêèå óñòðîéñòâà. Âîçìîæíîñòü ñîçäàíèÿ ïðî÷íûõ ñóäî⠖ ýòî òîæå ìåõàíèêà. Íî åùå
ðàíüøå íà Ñåâåðíîì ïîëþñå ïîáûâàëè ïîäâîäíûå
ëîäêè, êîòîðûå âñïëûëè òî÷íî â òî÷êå ïîëþñà. Êòî èõ
òóäà ïðèâåë? Ðàäèî? Îíî íå ðàáîòàåò ïîä âîäîé.
Ýõîëîêàöèÿ? Õîòÿ îíà è ðàáîòàåò, íî íà î÷åíü ìàëûõ
ðàññòîÿíèÿõ. À ïðèâåëè ëîäêè èíåðöèàëüíûå ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèñòåìû íàâèãàöèè ïîðàçèòåëüíîé òî÷íîñòè –
åùå îäíî ÷óäî, âûäàþùååñÿ äîñòèæåíèå ìåõàíèêè è
ïðîøëîãî è ñîâñåì íåäàâíåãî âðåìåíè.
Íàâèãàöèÿ – ýòî íàóêà è èñêóññòâî, íàõîäÿñü íà
ïåðåìåùàþùåìñÿ àïïàðàòå (ìàøèíå, ìîðñêîì èëè âîç-
01-19.p65
16
äóøíîì ñóäíå, êîñìè÷åñêîì èëè âîçäóøíîì êîðàáëå),
îïðåäåëÿòü ìåñòîïîëîæåíèå è îðèåíòàöèþ ýòîãî àïïàðàòà. Â ñòàðèíó ìîðÿêè äëÿ íàâèãàöèè èñïîëüçîâàëè
êîìïàñ, Ñîëíöå è çâåçäíîå íåáî. Ïîòîì íà ïîìîùü
ïðèøëî ðàäèî. Íîâàÿ ýïîõà íà÷àëàñü ñ ïîÿâëåíèåì
èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì íàâèãàöèè, êîòîðûå íå èñïîëüçóþò íèêàêèõ âíåøíèõ ñèãíàëîâ èëè íàáëþäåíèé. Ñàìûå
ïåðâûå òàêèå ñèñòåìû, äî ñèõ ïîð îñòàþùèåñÿ òðàäèöèîííûìè, – ãèðîñêîïè÷åñêèå.  èõ îñíîâå ëåæèò ÷èñòî
ìåõàíè÷åñêîå óñòðîéñòâî – ãèðîñêîï. (Ïðîñòåéøåå
ïðåäñòàâëåíèå î ãèðîñêîïå äàåò áûñòðî âðàùàþùèéñÿ
âîë÷îê, êîòîðûé, âîïðåêè ñèëå òÿæåñòè, íå ïàäàåò, è
ïðè ýòîì åãî îñü âðàùåíèÿ ïðåöåññèðóåò, ò.å. ìåäëåííî
îïèñûâàåò êîíóñ.) Ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèñòåìû íàâèãàöèè
ïðîøëè êîëîññàëüíóþ ýâîëþöèþ çà ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ è îñîáåííî â íàøè äíè. Â íàøåé ñòðàíå ñîçäàíû
ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèñòåìû íàâèãàöèè ïîðàçèòåëüíîé
òî÷íîñòè. Íà ýòè ïðèáîðû èìååòñÿ îãðîìíûé ñïðîñ âî
âñåì ìèðå, êàæäûå äâà ãîäà ïðîâîäÿòñÿ ïîñâÿùåííûå
èì ìåæäóíàðîäíûå êîíôåðåíöèè. Õîòÿ ýòè ïðèáîðû è
ýëåêòðîííûå, íî ïðèíöèï èõ äåéñòâèÿ è ïðèíöèï
èïîëüçîâàíèÿ – ÷èñòî ìåõàíè÷åñêèå.
Êñòàòè ñêàçàòü, àêóñòè÷åñêàÿ ëîêàöèÿ è ñâÿçü – òîæå
äåëî ìåõàíèêîâ. Âåäü àêóñòèêà – íàóêà, îòïî÷êîâàâøàÿñÿ îò ìåõàíèêè, êàê è äàâíî âûäåëèâøàÿñÿ äèíàìè÷åñêàÿ ìåòåîðîëîãèÿ (è çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü îêåàíîëîãèè).  ñîâîêóïíîñòè ýòè äâå íàóêè èçó÷àþò äâèæåíèÿ
â âîçäóøíîé îáîëî÷êå Çåìëè – àòìîñôåðå è äâèæåíèÿ
â ìèðîâîì îêåàíå, à òàêæå èõ âçàèìîäåéñòâèå.
Ñðåäè ðÿäà íîâåéøèõ äîñòèæåíèé ýòèõ íàóê ìîæíî
îòìåòèòü òåîðèþ «ðèíãîâ» Ãîëüôñòðèìà è òåîðèþ
òîðîøåíèÿ ëüäîâ â Àðêòèêå. Ïîñëåäíÿÿ ñðîäíè òåîðèè
ñòîëêíîâåíèÿ ìàòåðèêîâûõ ïëèò, íî, êîíå÷íî, îòíîñèòñÿ ê ÿâëåíèÿì ãîðàçäî ìåíüøåãî ìàñøòàáà ïî ïðîñòðàíñòâó è âðåìåíè è ê áîëåå ïðîñòîé ñðåäå.
Ïðîèçâîäñòâî ýëåêòðîýíåðãèè íà àòîìíûõ
ýëåêòðîñòàíöèÿõ
Õîðîøèì ïðèìåðîì èñïîëüçîâàíèÿ ìåõàíèêè â òåõíèêå ìîæåò ñëóæèòü àòîìíàÿ ýíåðãåòèêà – îäíà èç
áûñòðî ðàçâèâøèõñÿ â ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ òåõíîëîãèé. Íûíå àòîìíûå ðåàêòîðû èñïîëüçóþòñÿ íå òîëüêî
â ýíåðãåòèêå, íî è äëÿ òðàíñïîðòà.
Ïðèíöèïèàëüíàÿ ñõåìà àòîìíîé ýëåêòðîñòàíöèè –
ÀÝÑ – èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 5. Ïîìèìî àòîìíîãî
ðåàêòîðà îíà âêëþ÷àåò äâóõêîíòóðíóþ ñèñòåìó òåïëîíîñèòåëÿ (ïåðâûé êîíòóð – ðàäèîàêòèâíûé, îí ðàñïîëàãàåòñÿ âíóòðè êîðïóñà ðåàêòîðà, à âòîðîé, óæå ñ
ìàëîé ðàäèîàêòèâíîñòüþ, íàõîäèòñÿ âíå ðåàêòîðíîãî
êîðïóñà), ïàðîâûå òóðáèíû, êîòîðûå âðàùàþò ýëåêòðîãåíåðàòîðû, ñàìè ýëåêòðîãåíåðàòîðû, ñèñòåìû ïåðåäà÷è ýëåêòðîýíåðãèè, ñèñòåìó îõëàæäåíèÿ, íàñîñû.
Ñåðäöåì ÀÝÑ ÿâëÿåòñÿ àòîìíûé ðåàêòîð – ñîâìåñòíîå äåòèùå ôèçèêîâ è ìåõàíèêîâ. Òîïëèâî (óðàí)
çàãðóæàþò â ðåàêòîð â âèäå òåïëîâûäåëÿþùèõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òðóáî÷êè, íàáèòûå
ýòèì òîïëèâîì. Àòîìíóþ ðåàêöèþ óìåíüøàþò èëè
óñèëèâàþò, ïåðåìåùàÿ ââåðõ èëè âíèç ýòè òåïëîâûäåëÿþùèå ýëåìåíòû, ò.å. âûäâèãàÿ èõ èç ðåàêòîðà èëè
çàäâèãàÿ â íåãî.
29.07.09, 17:29
ÐÀÑÑÊÀÇÛ
Î
ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÎÉ
ÌÅÕÀÍÈÊÅ
%
Ðèñ.5. Ñõåìà óñòðîéñòâà ÀÝÑ
Òåïëîâûäåëÿþùèå ýëåìåíòû – ýòî äàëåêî íå ñàìàÿ
ñëîæíàÿ ÷àñòü ñòàíöèè, íî äàæå èõ òåõíîëîãèÿ èçãîòîâëåíèÿ ðàçðàáàòûâàåòñÿ ó÷åíûìè-ìåõàíèêàìè ñîâìåñòíî ñ èíæåíåðàìè çàâîäà-èçãîòîâèòåëÿ. Âñÿ çàãðóæàåìàÿ â ðåàêòîð êîíñòðóêöèÿ â ñáîðå ïðèâîçèòñÿ ñ çàâîäà
íà íåñêîëüêèõ áîëüøåãðóçíûõ àâòîìàøèíàõ. Íà ýòîì
ðîëü ôèçèêîâ çàêàí÷èâàåòñÿ. Êîðïóñ ðåàêòîðà ðàññ÷èòûâàåòñÿ ìåòîäàìè ìåõàíèêè, è, ìåæäó ïðî÷èì, íå
ìåòîäàìè ÕIX âåêà, à íåïðåðûâíî ñîâåðøåíñòâóþùèìèñÿ ìåòîäàìè ïîñëåäíèõ ëåò.
Âñå îñòàëüíîå òûñÿ÷åòîííîå ñëîæíåéøåå îáîðóäîâàíèå ÀÝÑ òàêæå ðàññ÷èòûâàåòñÿ, ñîçäàåòñÿ è ìîíòèðóåòñÿ èíæåíåðíî-òåõíè÷åñêèì ïåðñîíàëîì íà îñíîâå
íîâåéøèõ äîñòèæåíèé ìåõàíèêè. Ïðàâäà, ýòî òðåáóåò
ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ è òåïëîòåõíè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ
(âêëþ÷àÿ ðàñ÷åò äâèæåíèÿ æèäêîñòè è ïàðà â ñèñòåìàõ òåïëîíîñèòåëÿ è îõëàæäåíèÿ), êîòîðûå îòíîñÿòñÿ
ê îáëàñòè ôèçèêè. Íî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî òåïëîòåõíèêà – ýòî íåáîëüøàÿ ÷àñòü ìåõàíèêè. Ìåõàíèêà, âîáðàâ â ñåáÿ òåïëîâûå ïðîöåññû, âîîáùå ãîâîðÿ, äàâíî
çàíèìàåòñÿ òåïëîòåõíè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè áîëåå ñëîæíûìè, ÷åì òå, êîòîðûå ðåøàåò ñàìà òåïëîòåõíèêà.
Íà ýòîì ïðèìåðå õîòåëîñü áû îáîñíîâàòü ñëåäóþùèé
òåçèñ. Äëÿ òîãî ÷òîáû äîñòèæåíèÿ ðÿäà äðóãèõ íàóê,
âêëþ÷àÿ ôèçèêó, ñäåëàòü ïîëåçíûìè ÷åëîâåêó, áåç
ìåõàíèêè íå îáîéòèñü. Ìåõàíèêà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé.
Òàê, ôèçèêè îòêðûëè è èçó÷èëè ðåàêöèþ äåëåíèÿ
óðàíà ñ âûäåëåíèåì ýíåðãèè. Ìåõàíèêè íà îñíîâå ýòîãî
îòêðûòèÿ ñîçäàëè ñîîðóæåíèÿ, äàþùèå ëþäÿì òåïëîâóþ è ýëåêòðè÷åñêóþ ýíåðãèþ. Äðóãèå îòêðûòèÿ â
ôèçèêå (ëàçåðû èëè èíûå èñòî÷íèêè èçëó÷åíèÿ), â
õèìèè, â íàóêå î ìàòåðèàëàõ è äàæå â áèîëîãèè, äëÿ
òîãî ÷òîáû ñòàòü ïîëåçíûìè ëþäÿì, òðåáóþò èñïîëüçîâàíèÿ íîâåéøèõ äîñòèæåíèé ìåõàíèêè. Íàïðèìåð,
âñå, ÷òî ãîâîðèëîñü âûøå îá ÀÝÑ, îñòàåòñÿ âåðíûì è
äëÿ âñåõ íîâûõ õèìè÷åñêèõ òåõíîëîãèé. Çäåñü ñåðäöå
– õèìè÷åñêèé ðåàêòîð – îïÿòü ñîâìåñòíîå äåòèùå
õèìèêîâ è ìåõàíèêîâ, ïðè÷åì, ó÷èòûâàÿ, ÷òî æåëàåìîå
óñêîðåíèå õèìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ òðåáóåò âî ìíîãèõ
ñëó÷àÿõ ñîçäàíèÿ âñå áîëåå áûñòðîïðîòî÷íûõ õèìè÷åñ-
01-19.p65
17
êèõ ðåàêòîðîâ, ðîëü ìåòîäîâ ìåõàíèêè â èõ ðàñ÷åòå
ñòàíîâèòñÿ âñå áîëüøåé. Ðàçâèòèå ñîâðåìåííûõ òåõíîëîãèé ñïóòíèêîâîé ñâÿçè, ñîçäàíèå â áóäóùåì êîñìè÷åñêèõ ñèñòåì, èñïîëüçóþùèõ ñîëíå÷íóþ ýíåðãèþ äëÿ
ïåðåäà÷è åå íà Çåìëþ, – âñå ýòî àáñîëþòíî íåâîçìîæíî
áåç ìåõàíèêè, áåç óæå ñóùåñòâóþùèõ è íîâûõ, òðåáóþùèõ ðàçâèòèÿ, åå ìåòîäîâ.
Çàêëþ÷åíèå. Ñýð Èñààê Íüþòîí
è âå÷íî íîâàÿ ìåõàíèêà
Ñîâðåìåííûé ýòàï ðàçâèòèÿ íàóêè è ïðîãðåññ íàó÷íîãî çíàíèÿ â öåëîì â çíà÷èòåëüíîé ìåðå îïðåäåëÿþòñÿ
ïðîíèêíîâåíèåì â ðàçëè÷íûå îáëàñòè íàóêè ìåòîäîâ
ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, êîòîðûå îñíîâàíû íà
ïîñòðîåíèè è èñïîëüçîâàíèè òåõ èëè èíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé.
Íå íóæíî çàáûâàòü, ÷òî ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ âîçíèê â íüþòîíîâñêîé ìåõàíèêå (çíàìåíèòûå çàêîíû Íüþòîíà) è áûë ñ óñïåõîì èñïîëüçîâàí
ñàìèì Íüþòîíîì ïðè ðåøåíèè ðÿäà ñåðüåçíûõ çàäà÷.
Âïîñëåäñòâèè èñêóññòâî ïîñòðîåíèÿ ñëîæíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé áûëî ñîçäàíî èìåííî ìåõàíèêàìè è
çàòåì ïðèìåíåíî ïîñëåäîâàòåëüíî ôèçèêàìè, ãåîôèçèêàìè, õèìèêàìè, áèîëîãàìè, ëèíãâèñòàìè, à â ïîñëåäíåå âðåìÿ – ñîöèîëîãàìè è ýêîíîìèñòàìè.
Ìîäåëè ìåõàíèêè íåîáû÷àéíî íàãëÿäíû. Íåñëó÷àéíî ðÿä çíàìåíèòûõ ôèçèêîâ ïðîøëîãî óòâåðæäàëè, ÷òî
íè îäíî ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå íå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ äî
êîíöà ïîíÿòûì, ïîêà îíî íå ñôîðìóëèðîâàíî â òåðìèíàõ ìåõàíèêè. Çàìå÷àòåëüíûé ìåõàíèê è ìàòåìàòèê,
àêàäåìèê Àëåêñåé Íèêîëàåâè÷ Êðûëîâ ïèñàë â ïðåäèñëîâèè ê åãî ðóññêîìó ïåðåâîäó «Ìàòåìàòè÷åñêèõ íà÷àë
íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè» Íüþòîíà: «Íà÷àëà ...» Íüþòîíà ñîñòàâëÿþò íåçûáëåìîå îñíîâàíèå ìåõàíèêè, òåîðåòè÷åñêîé àñòðîíîìèè è ôèçèêè». Ëàãðàíæ íàçâàë
ýòî ñî÷èíåíèå «âåëè÷àéøèì èç ïðîèçâåäåíèé ÷åëîâå÷åñêîãî óìà».
Íüþòîíîâñêàÿ ìåõàíèêà – äåéñòâèòåëüíî íåïðåâçîéäåííîå äîñòèæåíèå ôèçèêè (íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè),
âñåé èñòîðèè ÷åëîâå÷åñêîé öèâèëèçàöèè. Îíà âå÷íà.
29.07.09, 17:29
&
ÊÂÀÍT 2009/¹4
ÍÀØÈ
ÍÀÁËÞÄÅÍÈß
Ìàòåìàòèêè è
ïðîãðàììèñòû
À.ØÅÍÜ
È
ÌÅÞÒÑß N ÍÀ ÂÈÄ ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÕ ÏÐÅÄÌÅÒÎÂ, ÊÎÒÎ-
ðûå íà ñàìîì äåëå íåñêîëüêèõ ðàçëè÷íûõ òèïîâ. Èçâåñòíî, ÷òî ïðåäìåòû îäíîãî èç òèïîâ ñîñòàâëÿþò áîëüøèíñòâî (áîëüøå N/2). Òðåáóåòñÿ óêàçàòü ïðåäñòàâèòåëÿ
ýòîãî áîëüøèíñòâà, èñïîëüçóÿ äåòåêòîð, â êîòîðûé ìîæíî
(çà îäèí ðàç) çàãðóçèòü äâà ïðåäìåòà è îïðåäåëèòü, îäíîãî
îíè òèïà èëè ðàçíûõ. Ñêîëüêî òàêèõ ïðîá (ñðàâíåíèé)
ïðèäåòñÿ ñäåëàòü?
Åñëè íå ýêîíîìèòü è ñðàâíèâàòü ïîïàðíî âñå ïðåäìåòû, òî
ïîíàäîáèòñÿ N ( N − 1) 2 ñðàâíåíèé (êàæäûé ïðåäìåò ó÷àñòâóåò â N – 1 ñðàâíåíèÿõ è â êàæäîì ñðàâíåíèè ó÷àñòâóþò
äâà ïðåäìåòà). Îêàçûâàåòñÿ, åñëè äåéñòâîâàòü ñ óìîì, ìîæíî
2
ñäåëàòü ÷èñëî ïðîá ïðîïîðöèîíàëüíûì N (âìåñòî N ).
Ìû ñåé÷àñ ïðèâåäåì äâà äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ôàêòà.
Ïåðâîå (êàê ìû íàäååìñÿ) äîëæíî ïîíðàâèòüñÿ ìàòåìàòèêàì, âòîðîå – ïðîãðàììèñòàì.
Îáà ðàññóæäåíèÿ íà÷èíàþòñÿ ñ òàêîãî çàìå÷àíèÿ: åñëè ìû
íàøëè äâà ïðåäìåòà ðàçíûõ òèïîâ, òî èõ ìîæíî âûáðîñèòü,
ñîõðàíèâ áîëüøèíñòâî. Â ñàìîì äåëå, èç íèõ ìàêñèìóì îäèí
ïðèíàäëåæèò áîëüøèíñòâó, è ïîñëå åãî óäàëåíèÿ áîëüøèíñòâî íå ïðîïàäåò (âåäü ìû âûáðîñèëè è ïðåäìåò äðóãîãî
òèïà). Ïî òåì æå ïðè÷èíàì äâà ïðèÿòåëÿ, êîòîðûå ñîáèðàþòñÿ ãîëîñîâàòü çà ðàçíûõ êàíäèäàòîâ, ìîãóò ñãîâîðèòüñÿ íå
èäòè íà âûáîðû, åñëè îíè ïî÷åìó-ëèáî âåðÿò, ÷òî ïîäñ÷åò
ïðîèçâîäèòñÿ ÷åñòíî è ÷òî îäèí èç êàíäèäàòîâ ïîëüçóåòñÿ
ïîääåðæêîé áîëåå ïîëîâèíû ãîëîñóþùèõ (îí ïîòåðÿåò ìàêñèìóì îäèí ãîëîñ çà è ìèíèìóì îäèí ãîëîñ ïðîòèâ).
Ìàòåìàòèê ïðîäîëæèò ðàññóæäåíèå òàê. Ïóñòü ñíà÷àëà N
÷åòíî. Òîãäà ïîäåëèì ïðåäìåòû íà ïàðû è ñðàâíèì èõ â
êàæäîé ïàðå (âñåãî N/2 ñðàâíåíèé). Òå ïàðû, â êîòîðûõ
ïðåäìåòû ðàçëè÷íû, ìîæíî âûáðîñèòü. Ïîñëå ýòîãî îñòàþòñÿ ïàðû ñ ðàâíûìè ïðåäìåòàìè – è äîñòàòî÷íî îñòàâèòü îò
êàæäîé ïî îäíîìó, òàê ÷òî çàäà÷à ïîñëå N/2 ñðàâíåíèé
ñâîäèòñÿ ê òàêîé æå çàäà÷å äëÿ (ìàêñèìóì) ïîëîâèííîãî
÷èñëà ïðåäìåòîâ, è ìîæíî ïîâòîðÿòü ðàññóæäåíèå.
Åñëè âðåìåííî çàáûòü î íå÷åòíûõ N, ïîëó÷èòñÿ ôîðìóëà
T ( N ) ≤ N 2 + T ( N 2) ,
ãäå T (n ) – ÷èñëî ïðîá ïðè ïîèñêå ïðåäñòàâèòåëÿ áîëüøèíñòâà ñðåäè íå áîëåå ÷åì n ïðåäìåòîâ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
T ( N ) < N . (Èíäóêöèÿ: T (2 ) = 0 , ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå
áîëüøå ïîëîâèíû – ýòî âñå; åñëè T ( N 2 ) < N 2 , òî
T ( N 2 ) < N 2 + N 2 = N . Íàïðèìåð, èç 8 ïðåäìåòîâ ïîñëå 4
ñðàâíåíèé îñòàþòñÿ ìàêñèìóì 4, çàòåì ïîñëå äâóõ îñòàþòñÿ
2, âñåãî 4 + 2 = 6 ñðàâíåíèé.)
Êîíå÷íî, ýòî ðàññóæäåíèå íå èìååò ñìûñëà, ïîêà ìû íå
ðàçîáðàëèñü ñ íå÷åòíûìè N. Ïðè íå÷åòíîì N ïîñëå âûáðàñûâàíèÿ ïàð ñ íåðàâíûìè ïðåäìåòàìè îñòàþòñÿ íåñêîëüêî
ïàð ñ ðàâíûìè ïðåäìåòàìè ïëþñ îäèí íåïàðíûé ïðåäìåò.
Íàïðèìåð, ìîãóò îñòàòüñÿ ïàðû (a, a), (b, b), (c, c) è
åùå d áåç ïàðû (âñåãî 7 ýëåìåíòîâ). Ìû çíàåì, ÷òî ñðåäè ýòèõ
7 ïðåäìåòîâ áîëüøå ïîëîâèíû (ò.å. 4 èëè áîëåå) îäèíàêîâûõ. Ïîýòîìó êàê ìèíèìóì äâå ïàðû èç òðåõ ïðèíàäëåæàò
áîëüøèíñòâó (åñëè òîëüêî îäíà, òî áîëüøèíñòâà íèêàê íå
01-19.p65
18
íàáåðåòñÿ). Çíà÷èò, ïðåäìåòû èñêîìîãî òèïà ñîñòàâëÿþò
áîëüøèíñòâî ñðåäè a, b, c, à ïðî d ìîæíî çàáûòü.
Åñëè îñòàåòñÿ íå 7 ýëåìåíòîâ, à, ñêàæåì, 9, òî ñèòóàöèÿ
áóäåò äðóãîé. Ïóñòü ó íàñ ÷åòûðå ïàðû (a, a), (b, b), (c, c),
(d, d) è íåïàðíûé ïðåäìåò e. Äëÿ áîëüøèíñòâà íóæíî 5
ïðåäìåòî⠖ äîñòàòî÷íî äâóõ ïàð è e. Ïîýòîìó ñðåäè a, b, c,
d ïðåäìåòû èñêîìîãî òèïà ìîãóò íå áûòü áîëüøèíñòâîì. Íî
îíè äîëæíû áûòü áîëüøèíñòâîì ñðåäè a, b, c, d, e, èíà÷å
áóäåò 5 ýëåìåíòîâ äðóãîãî òèïà (ìèíèìóì äâå ïàðû ïëþñ
îäèí). Ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå íàäî íå âûáðàñûâàòü e, à
ïðèñîåäèíèòü åãî.
Ëåãêî ñîîáðàçèòü, ÷òî îäèí èç ýòèõ äâóõ ïðèåìîâ âñåãäà
ñðàáîòàåò: ìû ëèáî äîáàâëÿåì íåïàðíûé ïðåäìåò, ëèáî íåò
– ñ òåì ðàñ÷åòîì, ÷òîáû íà ñëåäóþùåì øàãå îñòàâàëîñü
íå÷åòíîå ÷èñëî ïðåäìåòîâ. Ïî èíäóêöèè ìîæíî ïîëó÷èòü è
T ( N ) < N , ðàçîáðàâ äâà ñëó÷àÿ: T (2k ) ≤ k + T (k ) è
T (2k + 1) ≤ k + T (k + 1) . Ïåðâîå äîêàçàòåëüñòâî çàêîí÷åíî.
Ýòî ðàññóæäåíèå ïîðàäóåò ìàòåìàòèêà, íî íå ïðîãðàììèñòà – êîòîðûé âûíóæäåí äóìàòü î òîì, êàê âñå ýòè ðàçíûå
ñëó÷àè ÷åòíîãî è íå÷åòíîãî N è ÷åòíîãî è íå÷åòíîãî êîëè÷åñòâà ïàð çàïðîãðàììèðîâàòü è íè÷åãî íå ïðîïóñòèòü. Íî åñòü
è äðóãîé âàðèàíò.
Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî íàñ çàïåðëè â êîìíàòå ñ äåòåêòîðîì,
N ïðåäìåòàìè è òðåìÿ áîëüøèìè êîðîáêàìè, ãäå ýòè ïðåäìåòû ìîãóò ëåæàòü. Êîðîáêè ïðåäóñìîòðèòåëüíî ñíàáæåíû
íàäïèñÿìè: «ÍÅÏÐÎÂÅÐÅÍÍÛÅ» (Í), «ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÅ»
(Î) è «ÂÛÁÐÎØÅÍÍÛÅ» (Â). Èçíà÷àëüíî âñå ïðåäìåòû
ëåæàò â êîðîáêå «ÍÅÏÐÎÂÅÐÅÍÍÛÅ» (÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ
åå íàçâàíèåì), è íàì èçâåñòíî, ÷òî áîëåå ïîëîâèíû èç íèõ
íåêîòîðîãî îäíîãî òèïà X.
Íàì ñòðîãî-íàñòðîãî âåëåíî ñîáëþäàòü äâå çàïîâåäè:
i Âñå ïðåäìåòû â êîðîáêå «ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÅ» äîëæíû íà
ñàìîì äåëå áûòü îäíîãî òèïà (åñëè òàì âîîáùå ÷òî-òî åñòü).
i Ïðåäìåòû òèïà X äîëæíû ñîñòàâëÿòü áîëüøèíñòâî ñðåäè
âñåõ íåâûáðîøåííûõ (íàõîäÿùèõñÿ â êîðîáêàõ «ÍÅÏÐÎÂÅÐÅÍÍÛÅ» è «ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÅ»).
(Î÷åâèäíî, â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè îáà óñëîâèÿ âûïîëíåíû.)
Êîãäà êîðîáêà ñ íàäïèñüþ «ÍÅÏÐÎÂÅÐÅÍÍÛÅ» ñòàíîâèòñÿ ïóñòîé, íàñ âûïóñêàþò èç êîìíàòû (è ýòî çàñëóæåííî,
ïîñêîëüêó â ýòîò ìîìåíò ïðåäìåòû òèïà X ïî ïðàâèëàì
ñîñòàâëÿþò áîëüøèíñòâî ñðåäè ïðåäìåòîâ â êîðîáêå «ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÅ», è ìîæíî âçÿòü èç íåå ëþáîé ïðåäìåò – îíè âñå
îäèíàêîâûå).
×òî ìû ìîæåì äåëàòü, íå íàðóøàÿ çàïîâåäåé? Íåñêîëüêî
î÷åâèäíûõ âåùåé.
Âî-ïåðâûõ, åñëè êîðîáêà «ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÅ» ïóñòà, à
êîðîáêà «ÍÅÏÐÎÂÅÐÅÍÍÛÅ» – íåò, òî ìîæíî ïåðåëîæèòü îäèí ïðåäìåò èç Í â Î. (Ìíîæåñòâî íåâûáðîøåííûõ
ïðåäìåòîâ îñòàåòñÿ òåì æå ñàìûì, òàê ÷òî çàïîâåäåé ìû íå
íàðóøèì.)
Âî-âòîðûõ, åñëè îáå êîðîáêè Î è Í íåïóñòû, òî ìîæíî
âçÿòü ïî îäíîìó ïðåäìåòó è ñðàâíèòü èõ. Åñëè îíè îäèíàêîâûå, òî êëàäåì îáà â Î; åñëè ðàçíûå, òî âûáðàñûâàåì
(êëàäåì â Â) îáà. Êàê ìû âèäåëè, ýòî íå ïðîòèâîðå÷èò
çàïîâåäÿì.
Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî
i åñëè åñòü íåïðîâåðåííûå ïðåäìåòû, òî îäíî èç äåéñòâèé
çàâåäîìî âûïîëíèìî;
i ëþáîå èç äåéñòâèé óìåíüøàåò ÷èñëî íåïðîâåðåííûõ íà 1,
ïðè ýòîì äåòåêòîð èñïîëüçóåòñÿ íå áîëåå îäíîãî ðàçà.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå N øàãîâ êîðîáêà Í îïóñòååò è íàñ
âûïóñòÿò. Ïðè ýòîì äåòåêòîð áóäåò èñïîëüçîâàí íå áîëåå N
ðàç (íà ñàìîì äåëå ìåíüøå, òàê êàê ïåðâûé øà㠖 ïåðåêëàäûâàíèå).
29.07.09, 17:29
ÊÂÀÍÒÛ
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîãðàììà (ñîâñåì ïðîñòàÿ) ïðèâåäåíà
â êíèæêå «Ïðîãðàììèðîâàíèå: òåîðåìû è çàäà÷è» (Ì.:
ÌÖÍÌÎ, 2-å èçä., 2004; ñì. òàêæå ñàéò www/mccme.ru/
freebooks) . Ïðîãðàììèðîâàíèå ïåðâîãî ðåøåíèÿ ÿâíî ïîòðåáîâàëî áû ñóùåñòâåííî áîëüøèõ óñèëèé.
Íà ýòîì ïðèìåðå ìîæíî íåìíîãî ïîôèëîñîôñòâîâàòü î
ðàçíèöå ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêèì è ïðîãðàììèñòñêèì âçãëÿäîì íà âåùè. Ïóñòü çàäà÷à X ñâîäèòñÿ ê ìíîæåñòâó îäíîðîä-
'
ÈÍÒÅÐÍÅÒÀ
íûõ ïðîñòûõ çàäà÷ X1,… , Xn . Ìàòåìàòèê îáû÷íî ðàçáèðàåò
îäíó èç íèõ è ïèøåò « X2,… , Xn ðåøàþòñÿ àíàëîãè÷íûì
ñïîñîáîì è îñòàâëÿþòñÿ ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèé».
Íàïðîòèâ, ïðîãðàììèñò ïîíèìàåò, ÷òî íèêòî çà íåãî ïðîãðàììèðîâàòü íå áóäåò, à ïðîãðàììèðîâàíèå áîëüøîãî êîëè÷åñòâà äàæå è î÷åíü ïðîñòûõ çàäà÷ óòîìèòåëüíî, è ëó÷øå
íàéòè äðóãîé ïîäõîä, èçáåãàþùèé ðàçáîðà ìíîãî÷èñëåííûõ
ñëó÷àåâ.
ÊÂÀÍÒÛ ÈÍÒÅÐÍÅÒÀ
Íà ñêîëüêî ÷àñòåé äåëÿò ïðîñòðàíñòâî ïëîñêîñòè
ãðàíåé äîäåêàýäðà?
(Íà÷àëî ñì. íà 2-é ñòðàíèöå îáëîæêè)
Íà Ìåæðåãèîíàëüíîé çàî÷íîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå
2008 ãîäà ïðåäëàãàëèñü çàäà÷è:
Íàéòè ÷èñëî ÷àñòåé, íà êîòîðûå ïðîäîëæåíèÿ ãðàíåé
òåòðàýäðà ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî (çàäà÷à 5, 7 êëàññ).
Íàéòè ÷èñëî ÷àñòåé, íà êîòîðûå ïðîäîëæåíèÿ ãðàíåé
êóáà ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî (çàäà÷à 3, 6 êëàññ).
Îáå ýòè çàäà÷è ðåøàþòñÿ ïðîñòûì ïîäñ÷åòîì.  ïåðâîì
ñëó÷àå îòâåò 15; âî âòîðîì 27. Íî âîçíèêàåò âîïðîñ, à íà
ñêîëüêî ÷àñòåé ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî ïðîäîëæåíèÿ ãðàíåé
äðóãèõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ: îêòàýäðà, äîäåêàýäðà è
èêîñàýäðà. Ïîäñ÷åò â ýòîì ñëó÷àå óæå ñëîæíåå, íî çàäà÷à
âïîëíå ðàçðåøèìà! Ðàññìîòðèì ýòó çàäà÷ó äëÿ äîäåêàýäðà.
Åñòü äâà ñïîñîáà ïîäñ÷åòà ÷èñëà ÷àñòåé, íà êîòîðûå
ïðîäîëæåíèÿ ãðàíåé äîäåêàýäðà ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî, íå
òðåáóþùèõ âûõîäà èç ïëîñêîñòè.
Ïåðâûé ñïîñîá. Ðàçîáüåì ïðîäîëæåíèÿ ãðàíåé äîäåêàýäðà íà 6 ïàð ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé. Òåïåðü áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî äîáàâëÿòü ýòè ïàðû ïëîñêîñòåé è ñìîòðåòü,
ñêîëüêî ÷àñòåé ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå. Ïðè äîáàâëåíèè
ïàðû ïëîñêîñòåé êîëè÷åñòâî ÷àñòåé óâåëè÷èâàåòñÿ íà ÷èñëî
÷àñòåé, êîòîðûå äàííûå ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþò.
 íà÷àëå åñòü îäíà ÷àñòü (âñå ïðîñòðàíñòâî). Êàæäàÿ èç
ïëîñêîñòåé ïåðâîé ïàðû ïåðåñåêàåò 1 ÷àñòü. Ïîýòîìó ïîñëå
äîáàâëåíèÿ îäíîé ïàðû ïëîñêîñòåé ÷èñëî ÷àñòåé áóäåò ðàâíî
òðåì. Àíàëîãè÷íî, âòîðàÿ ïàðà ïëîñêîñòåé ïåðåñåêàåò ïî 3
÷àñòè, à òðåòüÿ ïàðà – ïî 9 ÷àñòåé. Ïîýòîìó ïîñëå äîáàâëåíèÿ
òðåõ ïàð ïëîñêîñòåé ÷èñëî ÷àñòåé ñòàíåò ðàâíûì 27. ×òîáû
ïîñ÷èòàòü ÷èñëî ÷àñòåé, äîáàâëÿþùååñÿ íà ÷åòâåðòîì, ïÿòîì
è øåñòîì øàãå, ðàññìîòðèì ÷åðòåæ, íà êîòîðîì èçîáðàæåíû
ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè îäíîé èç ãðàíåé ïðîäîëæåíèÿìè
äðóãèõ ïëîñêîñòåé (ðèñ.1, 2). Íà ðèñóíêå 1 îäèíàêîâûì
öâåòîì èçîáðàæåíû ïåðåñå÷åíèÿ äàííîé ïëîñêîñòè ñ ïðîäîëæåíèÿìè ïàð ïàðàëëåëüíûõ ãðàíåé. Çäåñü ëþáàÿ òðîéêà ïàð
ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà 17 ÷àñòåé.
Ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòâåðòàÿ ïàðà ïëîñêîñòåé ïåðåñåêàåò ïî 17
÷àñòåé. Òàêèì îáðàçîì,
ïîñëå ïðîâåäåíèÿ ÷åòûðåõ ïàð ïëîñêîñòåé êîëè÷åñòâî ÷àñòåé ñòàíåò
ðàâíûì 27 + 17 ◊ 2 = 61 .
Àíàëîãè÷íî, ëþáàÿ ÷åòâåðêà ïàð ïàðàëëåëüíûõ
ïðÿìûõ íà ðèñóíêå ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà 26
÷àñòåé. Ïîýòîìó ïîñëå
ïðîâåäåíèÿ ïÿòè ïàð
ïëîñêîñòåé êîëè÷åñòâî
÷àñòåé ñòàíåò ðàâíûì
61 + 2 ◊ 26 = 113 . ÍàêîÐèñ. 1
íåö, âñå ïÿòü ïàð ðàçáè-
01-19.p65
19
âàþò ïëîñêîñòü íà 36
÷àñòåé (ðèñ.2). Ïîýòîìó ïîñëå äîáàâëåíèÿ
ïîñëåäíåé (øåñòîé)
ïàðû ïëîñêîñòåé ÷èñëî
ïðîñòðàíñòâåííûõ ÷àñòåé ñòàíåò ðàâíûì
113 + 36 ◊ 2 = 185 .
Âòîðîé ñïîñîá. Õîðîøî èçâåñòíà ôîðìóëà Ýéëåðà äëÿ ïëîñêîãî ãðàôà. Âîò îäèí èç
åå ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ:
Ïóñòü íà ïëîñêîñòè
Ðèñ. 2
ïðîâåäåíî íåñêîëüêî
ïðÿìûõ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç  ÷èñëî âåðøèí – òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ íåñêîëüêèõ ïðÿìûõ; Ð – ÷èñëî ðåáåð – îòðåçêîâ
ìåæäó ïàðàìè âåðøèí è ëó÷åé, âûõîäÿùèõ èç âåðøèíû; à –
÷èñëî ãðàíåé – ìíîãîóãîëüíèêîâ, íà êîòîðûå äàííûå ïðÿìûå
ðàçáèëè ïëîñêîñòü. Òîãäà à – Ð +  = 1.
Ìåíåå èçâåñòíî, ÷òî àíàëîãè÷íàÿ ôîðìóëà åñòü è â ïðîñòðàíñòâåííîì ñëó÷àå (â äåéñòâèòåëüíîñòè òàêàÿ ôîðìóëà
åñòü è äëÿ ïðîñòðàíñòâà ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè):
Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå ïðîâåäåíî íåñêîëüêî ïëîñêîñòåé.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç  ÷èñëî âåðøèí – òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ
íåñêîëüêèõ ïðÿìûõ; Ð – ÷èñëî ðåáåð – îòðåçêîâ ìåæäó
ïàðàìè âåðøèí è ëó÷åé, âûõîäÿùèõ èç âåðøèíû; à – ÷èñëî
ãðàíåé – ìíîãîóãîëüíèêîâ, êîòîðûå â äàííûõ ïëîñêîñòÿõ
âûñåêàþòñÿ äðóãèìè ïëîñêîñòÿìè; × – ÷èñëî ïðîñòðàíñòâåííûõ ÷àñòåé, íà êîòîðîå ïðîñòðàíñòâî ðàçáèâàåòñÿ
äàííûìè ïëîñêîñòÿìè. Òîãäà × – à + Ð –  = 1.
Òàêèì îáðàçîì, êîëè÷åñòâî ÷àñòåé, íà êîòîðûå äàííîå
ìíîæåñòâî ïëîñêîñòåé ðàçáèâàåò ïðîñòðàíñòâî, ìîæåò áûòü
âû÷èñëåíî ïî ôîðìóëå: × = à – Ð +  + 1.
Êàê âèäíî èç ðèñóíêà 2, â êàæäîé èç ïëîñêîñòåé ñîäåðæèòñÿ 36 «ãðàíåé». Êîëè÷åñòâî ïëîñêîñòåé ðàâíî ÷èñëó ãðàíåé
äîäåêàýäðà, ò.å. 12. Ïîýòîìó ïîëíîå ÷èñëî «ãðàíåé» ïðîñòðàíñòâåííîãî ãðàôà ðàâíî à = 12 · 36 = 432.
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî «ðåáåð». Êàæäàÿ ïëîñêîñòü ñîäåðæèò 10 ïðÿìûõ, ðàçáèòûõ íà 5 «ðåáåð»,
à âñå 12 ïëîñêîñòåé – íà 5 · 10 · 12 = 600 «ðåáåð». Íî êàæäîå
«ðåáðî» ïðèíàäëåæèò äâóì ïëîñêîñòÿì. Ñëåäîâàòåëüíî,
êîëè÷åñòâî «ðåáåð» âäâîå ìåíüøå è ðàâíî Ð = 600/2 = 300.
Íåñêîëüêî ñëîæíåå ïîñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî «âåðøèí». Â
êàæäîé ïëîñêîñòè åñòü 5 «âåðøèí», ÿâëÿþùèõñÿ ïåðåñå÷åíèåì ÷åòûðåõ ïðÿìûõ (è, ñëåäîâàòåëüíî, ïÿòè ïëîñêîñòåé) è 10
«âåðøèí», ÿâëÿþùèõñÿ ïåðåñå÷åíèåì äâóõ ïðÿìûõ (è, ñëåäîâàòåëüíî, òðåõ ïëîñêîñòåé). Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â êàæäîé
ïëîñêîñòè íàõîäèòñÿ 5 «ïÿòûõ ÷àñòåé âåðøèí» è 10 «òðåòüèõ ÷àñòåé âåðøèí». Çíà÷èò, îáùåå ÷èñëî «âåðøèí» äàííîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî ãðàôà ðàâíî B = (5 5 + 10 3) · 12 =
= 52. Ñëåäîâàòåëüíî, × = 432 – 300 + 52 + 1 = 185.
Ë.Îðèäîðîãà, Ì.Ïàíîâ
29.07.09, 17:29
ÊÂ
Í TÊ
2«
0 0Ê
9 /Â
¹À
4 Í Ò À »
ÇÀÄÀ×
ÍÀ È
Çàäà÷è
ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå
Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì
çàäà÷è íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé
ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû
îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå.
Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü íå ïîçäíåå 1 íîÿáðÿ 2009 ãîäà ïî àäðåñó:
119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè
ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå
«Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹4–2009» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ Âû ïîñûëàåòå,
íàïðèìåð «Ì2139» èëè «Ô2145».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî. Â
ïèñüìî âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì
êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé). Ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå ìîæíî
ïðèñûëàòü òàêæå ïî ýëåêòðîííûì àäðåñàì math@kvant.info è phys@kvant.info ñîîòâåòñòâåííî.
Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì
êîíâåðòå â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê
«Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).
 íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü.
Çàäà÷è Ì2139 – Ì2145 ïðåäëàãàëèñü íà çàêëþ÷èòåëüíîì ýòàïå XXXV Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû
øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå.
Çàäà÷è Ì2139–Ì2145, Ô2145–Ô2152
M2139. Ìîæíî ëè ðàñêðàñèòü íàòóðàëüíûå ÷èñëà â
2009 öâåòîâ òàê, ÷òîáû êàæäûé öâåò âñòðå÷àëñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç è íå íàøëîñü òðîéêè ÷èñåë, ïîêðàøåííûõ â òðè ðàçëè÷íûõ öâåòà è òàêèõ, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ èç íèõ ðàâíî òðåòüåìó?
Í.Àãàõàíîâ
M2140. Âîñåìü êëåòîê îäíîé äèàãîíàëè øàõìàòíîé
äîñêè íàçîâåì çàáîðîì. Ëàäüÿ õîäèò ïî äîñêå, íå
íàñòóïàÿ íà îäíó è òó æå êëåòêó äâàæäû è íå íàñòóïàÿ
íà êëåòêè çàáîðà (ïðîìåæóòî÷íûå êëåòêè íå ñ÷èòàþòñÿ
ïîñåùåííûìè). Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ïðûæêîâ ÷åðåç çàáîð ìîæåò ñîâåðøèòü ëàäüÿ?
Ð.Æåíîäàðîâ
M2141. Â òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíà áèññåêòðèñà
BD (òî÷êà D ëåæèò íà îòðåçêå AC). Ïðÿìàÿ BD
ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü Ω , îïèñàííóþ îêîëî òðåóãîëüíèêà ABC, â òî÷êàõ B è E. Îêðóæíîñòü ω , ïîñòðîåííàÿ
íà îòðåçêå DE êàê íà äèàìåòðå, ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü
Ω â òî÷êàõ E è F. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ, ñèììåòðè÷íàÿ ïðÿìîé BF îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé BD, ñîäåðæèò
ìåäèàíó òðåóãîëüíèêà ABC.
Ë.Åìåëüÿíîâ
M2142. Ñêîëüêî ðàç ôóíêöèÿ
f ( x ) = cos x cos
x
x
x
cos … cos
2
3
2009
È 2009π ˘
ìåíÿåò çíàê íà îòðåçêå Í0;
?
2 ˙˚
Î
20-36.p65
20
Á.Òðóøèí
M2143. Â êîðîëåâñòâå N ãîðîäîâ, íåêîòîðûå ïàðû
êîòîðûõ ñîåäèíåíû íåïåðåñåêàþùèìèñÿ äîðîãàìè ñ
äâóñòîðîííèì äâèæåíèåì (ãîðîäà èç òàêîé ïàðû íàçûâàþòñÿ ñîñåäíèìè). Ïðè ýòîì èçâåñòíî, ÷òî èç ëþáîãî
ãîðîäà ìîæíî äîåõàòü äî ëþáîãî äðóãîãî, íî íåâîçìîæíî, âûåõàâ èç íåêîòîðîãî ãîðîäà è äâèãàÿñü ïî ðàçëè÷íûì äîðîãàì, âåðíóòüñÿ â èñõîäíûé ãîðîä.
Îäíàæäû Êîðîëü ïðîâåë òàêóþ ðåôîðìó: êàæäûé èç
N ìýðîâ ãîðîäîâ ñòàë ñíîâà ìýðîì îäíîãî èç N ãîðîäîâ,
íî, âîçìîæíî, íå òîãî ãîðîäà, â êîòîðîì îí ðàáîòàë äî
ðåôîðìû. Îêàçàëîñü, ÷òî ëþáûå äâà ìýðà, ðàáîòàâøèå
â ñîñåäíèõ ãîðîäàõ äî ðåôîðìû, îêàçàëèñü â ñîñåäíèõ
ãîðîäàõ è ïîñëå ðåôîðìû. Äîêàæèòå, ÷òî ëèáî íàéäåòñÿ ãîðîä, â êîòîðîì ìýð ïîñëå ðåôîðìû íå ïîìåíÿëñÿ,
ëèáî íàéäåòñÿ ïàðà ñîñåäíèõ ãîðîäîâ, îáìåíÿâøèõñÿ
ìýðàìè.
Â.Äîëüíèêîâ
M2144. Ïî êðóãó ñòîÿò 100 íàïåðñòêîâ. Ïîä îäíèì èç
íèõ ñïðÿòàíà ìîíåòêà. Çà îäèí õîä ðàçðåøàåòñÿ ïåðåâåðíóòü ÷åòûðå íàïåðñòêà è ïðîâåðèòü, ëåæèò ëè ïîä
îäíèì èç íèõ ìîíåòêà. Ïîñëå ýòîãî íàïåðñòêè âîçâðàùàþò â èñõîäíîå ïîëîæåíèå, à ìîíåòêà ïåðåìåùàåòñÿ
ïîä îäèí èç ñîñåäíèõ ñ íåé íàïåðñòêîâ. Çà êàêîå
íàèìåíüøåå ÷èñëî õîäîâ íàâåðíÿêà óäàñòñÿ îáíàðóæèòü ìîíåòêó?
Á.Òðóøèí
M2145. Äàíû íàòóðàëüíûå ÷èñëà x è y èç îòðåçêà
[2; 100]. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè íåêîòîðîì íàòóðàëüíîì n
n
n
÷èñëî x2 + y2 – ñîñòàâíîå.
Ñ.Áåðëîâ, À.Áåëîâ
29.07.09, 17:49
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
Ô2145. Ñóòî÷íûé ñïóòíèê Çåìëè âðàùàåòñÿ ïî êðóãîâîé îðáèòå, ëåæàùåé â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè. Â
ðåçóëüòàòå êðàòêîâðåìåííîãî âêëþ÷åíèÿ òîðìîçíîãî
äâèãàòåëÿ ñêîðîñòü ñïóòíèêà óìåíüøàåòñÿ ïî âåëè÷èíå
íà 1 ì/ñ, à íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè íå ìåíÿåòñÿ. Íàéäèòå èçìåíåíèå ïåðèîäà îáðàùåíèÿ ñïóòíèêà.
À.Ïîâòîðîâ
Ô2146. Ïî ïðÿìîé áåæèò êðîëèê, åãî ñêîðîñòü âñå
âðåìÿ ðàâíà v0 = 5 ì ñ .  òî÷êå, îòñòîÿùåé íà
L0 = 100 ì îò ýòîé ïðÿìîé, ñèäèò ëèñà. Îíà çàìå÷àåò
êðîëèêà è áðîñàåòñÿ â ïîãîíþ, êîãäà òîò íàõîäèòñÿ íà
ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèè îò óïîìÿíóòîé òî÷êè. Ëèñà
áåæèò ñ òàêîé æå ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòüþ, âåêòîð
ñêîðîñòè ëèñû íàïðàâëåí â ëþáîé ìîìåíò â òî÷êó, ãäå
íàõîäèòñÿ êðîëèê. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå óñêîðåíèå
ëèñû â ïðîöåññå ïîãîíè. Ëèñó è êðîëèêà ñ÷èòàòü
ìàòåðèàëüíûìè òî÷êàìè.
À.Ñòàðîâ
Ô2147. Ó Ïåòè è Âàñè â êóõíå íà äà÷å èìååòñÿ
íåáîëüøîé àâòîìàòè÷åñêèé ïîäîãðåâàòåëü âîäû. Îí
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïÿòèëèòðîâóþ åìêîñòü ñ õîðîøåé
òåïëîèçîëÿöèåé è ýëåêòðè÷åñêèì äâóõêèëîâàòòíûì
íàãðåâàòåëåì. Åìêîñòü âñåãäà ñîåäèíåíà ñ âîäîïðîâîäíîé òðóáîé, ïî êîòîðîé â íåå ìîæåò ïîñòóïàòü õîëîäíàÿ
âîäà, à âíèçó åñòü êðàíèê, ÷åðåç êîòîðûé ìîæíî
îòáèðàòü ãîðÿ÷óþ âîäó. Íàãðåâàòåëü ñíàáæåí ðåëå ñ
ðåãóëÿòîðîì, ïîçâîëÿþùèì óñòàíîâèòü æåëàåìóþ òåìïåðàòóðó âîäû. Ïîäîãðåâàòåëü èñïîëüçóåòñÿ â îñíîâíîì äëÿ ìûòüÿ ïîñóäû, à ïîñêîëüêó íî÷üþ ïîñóäó
íèêòî íå ìîåò, åãî íà íî÷ü îòêëþ÷àþò.
È òóò ó áðàòüåâ çàøåë ñïîð. Ïåòÿ ñ÷èòàë, ÷òî îíè
ïîñòóïàþò ýêîíîìíî, îòêëþ÷àÿ ýëåêòðîïèòàíèå ïðèáîðà íà íî÷ü. Âàñÿ æå ïîëàãàë, ÷òî ðàçíèöû íèêàêîé íåò
– âåäü çà íî÷ü âîäà ñèëüíî îñòûâàåò, è óòðîì íàãðåâàòåëü âêëþ÷àåòñÿ íà áîëåå äëèòåëüíîå âðåìÿ, à åñëè
îñòàâëÿòü ýëåêòðîïèòàíèå, òî çà íî÷ü íàãðåâàòåëü áóäåò âêëþ÷àòüñÿ ìíîãî ðàç, çàòî íà íåáîëüøîå âðåìÿ,
ïîääåðæèâàÿ çàäàííóþ òåìïåðàòóðó âîäû.
×òîáû ðåøèòü ñïîð, áðàòüÿ ïðîäåëàëè ýêñïåðèìåíò.
Îíè óñòàíîâèëè ðåãóëÿòîð òåìïåðàòóðû íà 46 °Ñ.
Îêàçàëîñü, ÷òî çà 9 íî÷íûõ ÷àñîâ âîäà îñòûëà äî
30 °Ñ. Òåìïåðàòóðà âîçäóõà íî÷üþ â êóõíå áûëà
16 °Ñ. Äîñòàòî÷íî ëè ýòèõ äàííûõ, ÷òîáû îöåíèòü,
ñêîëüêî ïðèäåòñÿ ïëàòèòü â ìåñÿö, åñëè îòêëþ÷àòü èëè
íå îòêëþ÷àòü ïèòàíèå ïîäîãðåâàòåëÿ âîäû íà íî÷ü?
Ñòîèìîñòü êèëîâàòò-÷àñà ïðèíÿòü ðàâíîé 3 ðóáëÿì.
È.Ëååíñîí
Ô2148. Äàâëåíèå íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû ïðè +20 °Ñ
ñîñòàâëÿåò 1000 Ïà, à ïðè òåìïåðàòóðå +20,5 °Ñ îíî
âîçðàñòàåò äî 1020 Ïà. Îïðåäåëèòå ïî ýòèì äàííûì
ìîëÿðíóþ òåïëîòó èñïàðåíèÿ âîäû ïðè +20 °Ñ.
Ç.Ðàôàèëîâ
«ÊÂÀÍÒÀ»
âûâîäàì öåïî÷êè ïîäêëþ÷àþò áàòàðåéêó íàïðÿæåíèåì
U = 10 Â.Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ â
ðåçèñòîðå ñîïðîòèâëåíèåì R1 ? À â ðåçèñòîðå ñîïðîòèâëåíèåì R2 ?
À.Çèëüáåðìàí
Ô2150. Â ñõåìå íà ðèñóíêå ðåçèñòîðû (ñëåâà íàïðàâî)
èìåþò ñîïðîòèâëåíèÿ
500 Îì, 200 Îì è
200 Îì, íàïðÿæåíèå
áàòàðåéêè 6 Â. Àìïåðìåòðû îäèíàêîâûå: êàæäûé èìååò ñîïðîòèâëåíèå 1 Îì,
«êëàññ òî÷íîñòè» 1%, òîê ïîëíîãî îòêëîíåíèÿ 50 ìÀ.
Íàéäèòå ïîêàçàíèÿ àìïåðìåòðîâ.
À.Ïðîñòîâ
Ô2151. Òðè êàòóøêè, èíäóêòèâíîñòè êîòîðûõ 1 Ãí,
2 Ãí è 4 Ãí, ñîåäèíåíû «çâåçäîé». Îáùàÿ òî÷êà
çàçåìëåíà êóñêîì ïðîâîäà, ïàðàëëåëüíî ýòîìó ïðîâîäó
âêëþ÷åí êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ 10 ìêÔ.  íåêîòîðûé
ìîìåíò ñâîáîäíûå êîíöû êàòóøåê ïîäêëþ÷àþò ê áàòàðåéêàì, ñîçäàþùèì â òî÷êàõ ïîäêëþ÷åíèÿ îäèíàêîâûå
ïîòåíöèàëû +6 Â. ×åðåç âðåìÿ 0,1 ñ ïîñëå ïîäêëþ÷åíèÿ
çàçåìëÿþùèé ïðîâîä ïåðåðåçàþò. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíûé çàðÿä êîíäåíñàòîðà. Ýëåìåíòû öåïè ñ÷èòàòü èäåàëüíûìè.
Ð.Àëåêñàíäðîâ
Ô2152. Øèðîêèé ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ëó÷åé ïàäàåò íà
ïðîçðà÷íûé îäíîðîäíûé øàð èç ìàòåðèàëà ñ êîýôôèöèåíòîì ïðåëîìëåíèÿ n = 1,414. Íàéäèòå ðàçìåð
ñâåòëîãî ïÿòíà íà ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíå øàðà.
À.Øàðîâ
Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2116 – Ì2123,
Ô2130–Ô2137
M2116. Ïîëíûé íàáîð äîìèíî âûêëàäûâàåòñÿ íà ñòîëå â çàìêíóòóþ öåïü, è äëÿ âñåõ ïàð ñîñåäíèõ äîìèíîøåê âû÷èñëÿåòñÿ ìîäóëü ðàçíîñòè î÷êîâ íà êëåòêàõ,
êîòîðûìè îíè ñîïðèêàñàþòñÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S
ñóììó âñåõ òàêèõ ìîäóëåé ðàçíîñòåé. ßñíî, ÷òî
íàèìåíüøåå çíà÷åíèå S ðàâíî 0 (ýòî ïðîèñõîäèò â
òîì ñëó÷àå, êîãäà çàìêíóòàÿ öåïü âûëîæåíà ïî ïðàâèëàì äîìèíî). À êàêîå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ìîæåò
ïðèíèìàòü ñóììà S?
Îòâåò: 96.
Ïðîíóìåðóåì äîìèíîøêè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå ÷èñëàìè
îò 1 äî 28, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé èç íèõ. Ïóñòü ïåðâàÿ
è âòîðàÿ äîìèíîøêè ñîïðèêàñàþòñÿ î÷êàìè a1 è b1 ,
âòîðàÿ è òðåòüÿ – î÷êàìè a2 è b2 , …, äâàäöàòü âîñüìàÿ
è ïåðâàÿ – a28 è b28 , ïðè÷åì ai ≥ bi äëÿ âñåõ i îò 1 äî
28. Òîãäà â íàáîðå ÷èñåë a1, b1, a2, b2,… , a28 , b28 êàæäîå
Ô2149. Êîíäåíñàòîðû åìêîñòÿìè Ñ =
= 100 ìêÔ è 2Ñ è ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R1 = 10 Îì ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî, à ïàðàëëåëüíî êîíäåíñàòîðó åìêîñòüþ Ñ ïîäêëþ÷åí ðåçèñòîð
ñîïðîòèâëåíèåì R2 = 100 êÎì. Ê
20-36.p65
21
29.07.09, 17:49
ÊÂÀÍT 2009/¹4
èç ÷èñåë îò 0 äî 6 ñîäåðæèòñÿ ðîâíî 8 ðàç. Îöåíèì
óêàçàííóþ â óñëîâèè ñóììó:
S = ( a1 - b1 ) + ( a2 - b2 ) + … + ( a28 - b28 ) =
= ( a1 + b1 + a2 + b2 + … + a28 + b28 ) - 2 (b1 + b2 + … + b28 ) =
= 8 ◊ 21 - 2 (b1 + b2 + … + b28 ) £
£ 8 ◊ 21 - 2 ( 8 ◊ 0 + 8 ◊ 1 + 8 ◊ 2 + 4 ◊ 3) = 96 .
Ïðèìåð, êîãäà äàííàÿ ñóììà ðàâíà 96, ïðèâåäåí íà
ðèñóíêå. Ýòîò ïðèìåð èíòåðåñåí òàêæå òåì, ÷òî ïðè
ïîâîðîòå âñåõ äîìèíîøåê íà 180° (êàæäàÿ äîìèíîøêà
ïîâîðà÷èâàåòñÿ âîêðóã ñâîåãî öåíòðà) ïîëó÷àåòñÿ çàìêíóòàÿ öåïü, âûëîæåííàÿ ïî ïðàâèëàì äîìèíî.
À.Ãðèáàëêî
M2117. Ñóùåñòâóåò ëè àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ
èç 2008 ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ïðîèçâåäåíèå
êîòîðûõ ðàâíî òî÷íîé 2009-é ñòåïåíè íàòóðàëüíîãî
÷èñëà?
Îòâåò: ñóùåñòâóåò.
Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ
2008 !,2 ◊ 2008 !, 3 ◊ 2008 !,… ,2008 ◊ 2008 ! . Ïðîèçâåäåíèå
2009
ýòèõ 2008 ÷èñåë ðàâíî (2008 !)
.
Óòâåðæäåíèå çàäà÷è îñòàåòñÿ â ñèëå, åñëè âìåñòî ÷èñåë
2008 è 2009 âçÿòü ïðîèçâîëüíûå âçàèìíî ïðîñòûå
íàòóðàëüíûå ÷èñëà m è n. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèìåðà
âíà÷àëå ðàññìîòðèì ëþáûå m ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ
÷èñåë, îáðàçóþùèå àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Ïóñòü
ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ÷èñåë ðàâíî N. Äîìíîæèì êàæäîå
èç ÷èñåë íà N k . Ïîñëå äîìíîæåíèÿ ìû ïî-ïðåæíåìó
áóäåì èìåòü íàáîð èç m ÷èñåë, îáðàçóþùèõ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ, à ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ÷èñåë áóäåò
ðàâíî N mk +1 . Òåïåðü ÿñíî, ÷òî óñëîâèå çàäà÷è áóäåò
âûïîëíåíî, åñëè mk + 1 äåëèòñÿ íà n. Íåòðóäíî âèäåòü,
÷òî â ñëó÷àå âçàèìíî ïðîñòûõ m è n ïîäõîäÿùåå
íàòóðàëüíîå k íàéäåòñÿ.
Ã.Ãàëüïåðèí
M2118. Äîêàæèòå, ÷òî â òðåóãîëüíèêå ABC ñ óãëîì A,
ðàâíûì 120°, ðàññòîÿíèå îò öåíòðà îïèñàííîé îêðóæíîñòè äî òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò
ðàâíî AB + AC.
Ïóñòü BB1 è CC1 –
âûñîòû òðåóãîëüíèêà
ABC, à O è H – öåíòð
åãî îïèñàííîé îêðóæíîñòè è òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñóíîê).
 îêðóæíîñòè, îïèñàííîé âîêðóã òðåóãîëüíèêà ABC, âåëè÷èíà
äóãè BAC ðàâíà 120°,
ïîýòîìó öåíòðàëüíûé óãîë BOC ðàâåí 120°. Ïóñòü ω
– îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî òðåóãîëüíèêà BOC. Èç
÷åòûðåõóãîëüíèêà B1 AC1H ïîëó÷àåì, ÷òî
–BHC = –B1HC1 = 180∞ - –B1 AC1 = 180∞ - 120∞ = 60∞ ,
ïîýòîìó òî÷êà H ëåæèò íà îêðóæíîñòè ω . Íà ïðîäîë-
20-36.p65
22
æåíèè îòðåçêà AB çà òî÷êó A îòëîæèì îòðåçîê AD =
= AC. Óãîë DAC ðàâåí 60°, ïîýòîìó òðåóãîëüíèê DAC
– ïðàâèëüíûé. Îòñþäà –BDC = –ADC = 60∞ , ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà D ëåæèò íà îêðóæíîñòè ω . Êðîìå
òîãî, AB + AC = AB + AD = BD, çíà÷èò, äëÿ ðåøåíèÿ
çàäà÷è äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ðàâåíñòâî õîðä OH è BD
â îêðóæíîñòè ω . Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíû ìåíüøèõ äóã
OB è HD ðàâíû ïî 60°, òàê êàê â ñèëó BO = OC óãîë
1
–BHC , ò.å. 30 , è –HBD = 90∞ BHO ðàâåí
2
∞ - –BHC1 = 30∞ . Çíà÷èò, OH è BD ðàâíû êàê äèàãîíàëè ðàâíîáîêîé òðàïåöèè BHDO.
Ï.Êîæåâíèêîâ
M2119.  áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè a1, a2, a3,…
÷èñëî a1 ðàâíî 1, à êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî an
ñòðîèòñÿ èç ïðåäûäóùåãî an -1 ïî ïðàâèëó: åñëè ó
÷èñëà n íàèáîëüøèé íå÷åòíûé äåëèòåëü èìååò îñòàòîê 1 îò äåëåíèÿ íà 4, òî an = an -1 + 1 , åñëè æå
îñòàòîê ðàâåí 3, òî an = an -1 - 1 . Äîêàæèòå, ÷òî â
ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âñå ÷èñëà ïîëîæèòåëüíû,
ïðè÷åì êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî âñòðå÷àåòñÿ â íåé
áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç.
Ïóñòü b (t ) ðàâíî 1, åñëè íàèáîëüøèé íå÷åòíûé äåëèòåëü ÷èñëà t èìååò îñòàòîê 1 ïðè äåëåíèè íà 4, è b (t )
ðàâíî –1 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Òîãäà
an = b (1) + b (2) + … + b ( n) .
Êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó t, äëÿ êîòîðîãî b (t )
ðàâíî 1, ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå íàòóðàëüíîå ÷èñëî t¢ ,
äëÿ êîòîðîãî b (t¢ ) ðàâíî –1, ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè
t = 2x ( 4y + 1) (ãäå x è y – íåêîòîðûå öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà), ïîëîæèì t ¢ = 2x ( 4 y + 3) . ßñíî, ÷òî
t ¢ > t , è ïî ÷èñëó t¢ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëî t,
êîòîðîìó îíî ñîîòâåòñòâóåò. Ñðåäè ÷èñåë 1, 2, …, n
èìååòñÿ íåñêîëüêî ïàð ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷èñåë t, t¢ , à
òàêæå íåñêîëüêî ÷èñåë t âèäà t = 2x ( 4 y + 1) , äëÿ
êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùåå ÷èñëî t¢ áîëüøå n. Ïîýòîìó
ñóììà an = b (1) + b (2) + … + b ( n) ðàâíà êîëè÷åñòâó
÷èñåë t = 2x ( 4y + 1) , íå ïðåâîñõîäÿùèõ n, íî òàêèõ,
÷òî t ¢ > n , ò.å. êîëè÷åñòâó ðåøåíèé äâîéíîãî íåðàâåíñòâà
2x ( 4 y + 1) £ n < 2x ( 4 y + 3)
(1)
â öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ x è y. (Èç ïîëó÷åííîé
èíòåðïðåòàöèè ÷èñåë an óæå âûòåêàåò, ÷òî an ≥ 0 .)
Ïóñòü n = cr +1cr cr -1 … c1c0 – äâîè÷íàÿ çàïèñü ÷èñëà n,
äîïîëíåííàÿ ñëåâà öèôðîé 0 (äëÿ óäîáñòâà äàëüíåér
r -1
øèõ ðàññóæäåíèé), ò.å. n = cr ◊ 2 + cr -1 ◊ 2 + …
… + c1 ◊ 2 + c0 , ãäå cr +1 = 0 , cr = 1 , ci ðàâíî 0 èëè 1 ïðè
i = 0, 1, …, r – 1. Íèæå ìû äîêàæåì, ÷òî êîëè÷åñòâî
an ðåøåíèé äâîéíîãî íåðàâåíñòâà (1) â öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ x è y ðàâíî ñóììå cr +1 - cr + cr - cr -1 + …
… + c1 - c0 .
Äðóãèìè ñëîâàìè, an – ýòî êîëè÷åñòâî ïàð ñîñåäíèõ
ðàçëè÷íûõ öèôð â çàïèñè cr +1cr cr -1 … c1c0 . Íàïðèìåð,
29.07.09, 17:49
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
10
9
8
7
çíàÿ äâîè÷íóþ çàïèñü ÷èñëà 2009 = 2 + 2 + 2 + 2 +
+ 26 + 24 + 23 + 20 = 011111011001 , ëåãêî íàõîäèì
a2009 = 5 . Îòñþäà ñðàçó ïîñëåäóåò ðåøåíèå çàäà÷è.
Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê cr +1 = 0 è cr = 1 , òî an > 0.
Äàëåå, çàôèêñèðîâàâ íàòóðàëüíîå s, çàìåòèì, ÷òî, ïðè
ëþáîì íàòóðàëüíîì k, åñëè äâîè÷íàÿ çàïèñü ÷èñëà n
èìååò âèä 010…010…0…10…0 (0, çàòåì s ãðóïï âèäà
10…0 èç îäíîé åäèíèöû è k íóëåé), òî an = 2s , à åñëè
äâîè÷íàÿ çàïèñü ÷èñëà n èìååò âèä 010…010…0…10…01
(0, çàòåì s ãðóïï âèäà 10…0 èç îäíîé åäèíèöû è k
íóëåé, è åùå îäíà åäèíèöà â êîíöå), òî an = 2s + 1 .
Òàêèì îáðàçîì, an ðàâíî ôèêñèðîâàííîìó ÷åòíîìó
èëè íå÷åòíîìó ÷èñëó äëÿ áåñêîíå÷íîãî êîëè÷åñòâà
çíà÷åíèé n. Èòàê, áóäåì èñêàòü êîëè÷åñòâî ðåøåíèé â
öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ x è y íåðàâåíñòâà (1).
Òàê êàê n < 2r +1 , òî ïðè x ≥ r + 1 íåðàâåíñòâî (1) íå
èìååò íóæíûõ íàì ðåøåíèé. Çàôèêñèðóåì x èç ìíîæåñòâà {0, 1, 2, …, r}. Èìååì
n
= cr ◊ 2r - x + cr -1 ◊ 2r - x -1 + … + cx +1 ◊ 2 + cx +
2x
-1
-x
= 4 A + 2cx +1 + cx + α ,
+ cx +1 ◊ 2 + … + c0 ◊ 2
(
)
(
)
ãäå A = cr ◊ 2r - x - 2 + cr -1 ◊ 2r - x - 3 + … + cx + 2 (ñ÷èòàåì, ÷òî
A = 0 â ñëó÷àå x = r) è 0 £ α < 1 . Ïîäåëèâ íåðàâåíñòâî
(1) íà 2x , ïîëó÷àåì
4 y + 1 £ 4 A + 2cx +1 + cx + α < 4 y + 3 .
(2)
Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî y íåðàâåíñòâî (2) âûïîëíåíî.
Òîãäà ïðè y £ A - 1 èìååì 4 A + 2cx +1 + cx + α £ 4 A - 4 + 3 , ÷òî íåâåðíî, à ïðè y ≥ A + 1 èìååì 4A +
+ 2cx +1 + cx + α ≥ 4 A + 4 + 1 , ÷òî òàêæå íåâåðíî. Åäèíñòâåííîå âîçìîæíîå çíà÷åíèå y = A óäîâëåòâîðÿåò (2)
â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà îäèí èç äâîè÷íûõ
çíàêîâ cx è cx +1 ðàâåí 1, à äðóãîé ðàâåí 0. Òàêèì
îáðàçîì, êàæäàÿ ïàðà ðàçëè÷íûõ ñîñåäíèõ öèôð cx ,
cx +1 äàåò ðîâíî îäíî ðåøåíèå íåðàâåíñòâà (1).
À.Çàñëàâñêèé, Ï.Êîæåâíèêîâ
M2120. Ìíîãî÷ëåí P ( x ) ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè òàêîâ, ÷òî óðàâíåíèå P ( m ) + P ( n) = 0
èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ m è
n. Äîêàæèòå, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = P ( x ) èìååò
öåíòð ñèììåòðèè.
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà P ( x ) áîëüøå
1, à åãî ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ðàâåí 1 (åñëè ñòàðøèé
êîýôôèöèåíò îòëè÷åí îò 1, òî, ïîäåëèâ íà íåãî, ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåí, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ).
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ äàííîãî ÷èñëà n ìîæåò íàéòèñü ëèøü
êîíå÷íîå ÷èñëî òàêèõ ÷èñåë m, ÷òî P ( m ) = - P ( n)
(ïîñêîëüêó ìíîãî÷ëåí ìîæåò ïðèíèìàòü îäíî è òî æå
êîíêðåòíîå çíà÷åíèå ëèøü â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê, íå
ïðåâûøàþùåì åãî ñòåïåíü). Òàêæå áóäåì èñïîëüçîâàòü
ñëåäóþùèé ôàêò, âåðíûé äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà P ( x )
íå÷åòíîé ñòåïåíè ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì (è àíàëîãè÷íûé ôàêò äëÿ ìíîãî÷ëåíà ÷åòíîé
ñòåïåíè): íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî A, ÷òî P ( x ) > 0 ïðè
x > A, P ( x ) < 0 ïðè x < –A, è, êðîìå òîãî, P ( x )
âîçðàñòàåò íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ ( -•; - A) , ( A; +•) .
Åñëè áû ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà P ( x ) áûëà ÷åòíîé, òî ïðè
20-36.p65
23
!
«ÊÂÀÍÒÀ»
äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïî ìîäóëþ x âûïîëíÿëîñü áû
íåðàâåíñòâî P ( x ) > 0, è ìîãëî íàéòèñü ëèøü êîíå÷íîå
÷èñëî ïàð öåëûõ ÷èñåë m, n, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî
ðàâåíñòâî P ( m ) + P ( n) = 0 . Çíà÷èò, ñòåïåíü P ( x )
íå÷åòíà. Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå, ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàïåðåä çàäàííîãî ÷èñëà C íàéäåòñÿ áåñêîíå÷íî
ìíîãî òàêèõ ïàð ÷èñåë m > C è n < –C, ÷òî
P ( m ) + P ( n) = 0 .
Ïóñòü ñòåïåíü P ( x ) ðàâíà k, è P ( x ) = xk + axk -1 + …
(çäåñü è äàëåå òðîåòî÷èåì îáîçíà÷åíû ñëàãàåìûå ìåíüøèõ ñòåïåíåé). Ëåãêî ïîäîáðàòü òàêîå ÷èñëî d, ÷òî
ìíîãî÷ëåí P ( x - d) áóäåò èìåòü âèä xk + bxk - 2 + … ,
ò.å. êîýôôèöèåíò ïðè ñòåïåíè k – 1 áóäåò íóëåâûì.
Äåéñòâèòåëüíî,
k
P ( x - d) = ( x - d) + a ( x - d)
k -1
+… =
= xk - kdxk -1 + axk -1 + … ,
è äîñòàòî÷íî âçÿòü d = a/k. Äîêàæåì, ÷òî òî÷êà (d;0)
è ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ñèììåòðèè ãðàôèêà P ( x ) . Îáîçíà÷èì P ( x - d) çà Q ( x ) . Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî
ãðàôèê ìíîãî÷ëåíà Q ( x ) ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî
òî÷êè (0;0) , ò.å. ÷òî Q ( x ) = -Q ( - x ) ïðè ëþáîì x.
Èòàê, Q ( x ) = xk + bxk - 2 + … . Âîçüìåì ÷èñëà m > 0 è
n < 0 ïî ìîäóëþ áîëüøå C (êàê âûáðàíî C, áóäåò ÿñíî
èç äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé), äëÿ êîòîðûõ
Q ( m ) + Q ( n) = 0 (ãäå m – d è n – d – öåëûå ÷èñëà).
Äîêàæåì, ÷òî |m| = |n|. Ïóñòü |m| < |n|. Ïîëîæèì âíà÷àëå
n = –m – 1. Òîãäà
Q ( m ) + Q ( n) = Q ( m ) + Q ( -m - 1) =
= mk + bmk - 2 + … + ( -m - 1)k + b ( -m - 1)k -2 + … =
= -kmk -1 + R ( m ) ,
ãäå R ( x ) – íåêèé ôèêñèðîâàííûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè
k – 2; òàêèì îáðàçîì, Q ( m ) + Q ( -m - 1) – ìíîãî÷ëåí
÷åòíîé ñòåïåíè ñ îòðèöàòåëüíûì ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì. Òîãäà åñëè C äîñòàòî÷íî âåëèêî, òî
Q ( m ) + Q ( -m - 1) áóäåò ìåíüøå íóëÿ. Ïðè n = –m – 2,
–m – 3, –m – 4,… ñóììà Q ( m ) + Q ( n) òåì áîëåå áóäåò
ìåíüøå íóëÿ, åñëè C íàñòîëüêî âåëèêî, ÷òî Q ( x )
âîçðàñòàåò íà èíòåðâàëå ( -•; -C ) . Èòàê, íå ìîæåò áûòü
|m| < |n| ïðè m > C, n < –C. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ,
÷òî íåâîçìîæíî |m| > |n|. Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî m (ãäå m – d – öåëîå) òàêèõ, ÷òî
Q ( m ) + Q ( -m ) = 0 , ïîýòîìó ìíîãî÷ëåí Q ( x ) + Q ( - x )
èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî êîðíåé. Ýòî âîçìîæíî, òîëüêî
åñëè ýòîò ìíîãî÷ëåí íóëåâîé, ò.å. âûïîëíåíî òîæäåñòâî Q ( x ) + Q ( - x ) ∫ 0 .
Çàìå÷àíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî ãðàôèê ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà
òðåòüåé ñòåïåíè èìååò öåíòð ñèììåòðèè.
Ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó, àíàëîãè÷íóþ äàííîé
çàäà÷å, äëÿ ñëó÷àÿ ìíîãî÷ëåíà ÷åòíîé ñòåïåíè: åñëè
ìíîãî÷ëåí P ( x ) ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè òàêîâ, ÷òî óðàâíåíèå P (m) = P (m - n) èìååò
áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ m è
n, òî ãðàôèê ôóíêöèè y = P ( x ) èìååò îñü ñèììåòðèè.
Îòìåòèì òàêæå èäåéíî ðîäñòâåííóþ çàäà÷ó, ïðåäëàãàâøóþñÿ íà îêðóæíîì ýòàïå Âñåðîññèéñêîé îëèìïè-
29.07.09, 17:49
"
ÊÂÀÍT 2009/¹4
àäû øêîëüíèêîâ â 1999 ãîäó (çàäà÷à 8 äëÿ 11 êëàññà,
àâòîð À.Ãîëîâàíîâ): åñëè äëÿ íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà
ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî åãî çíà÷åíèé,
êàæäîå èç êîòîðûõ ìíîãî÷ëåí ïðèíèìàåò ïî êðàéíåé
ìåðå â äâóõ öåëî÷èñëåííûõ òî÷êàõ, òî ñóùåñòâóåò íå
áîëåå îäíîãî öåëîãî çíà÷åíèÿ, êîòîðîå ìíîãî÷ëåí
ïðèíèìàåò ðîâíî â îäíîé öåëîé òî÷êå.
Ñ.Äîðè÷åíêî, Ï.Êîæåâíèêîâ
M2121. Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû âûïóêëîãî øåñòèóãîëüíèêà ABCDEF ïàðàëëåëüíû. Íàçîâåì åãî «âûñîòàìè» âåêòîðû ñ êîíöàìè íà ïðÿìûõ, ñîäåðæàùèõ
ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíû, ïåðïåíäèêóëÿðíûå èì è
íàïðàâëåííûå îò AB ê DE, îò EF ê BC è îò CD ê AF.
Äîêàæèòå, ÷òî âîêðóã ýòîãî øåñòèóãîëüíèêà ìîæíî
îïèñàòü îêðóæíîñòü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
ñóììà åãî «âûñîò» ðàâíà íóëåâîìó âåêòîðó.
Ïóñòü èç «âûñîò» øåñòèóãîëüíèêà ABCDEF ìîæíî
ñîñòàâèòü òðåóãîëüíèê (ýòî è çíà÷èò, ÷òî ñóììà «âûñîò» ðàâíà íóëåâîìó âåêòîðó). Òîãäà ýòîò òðåóãîëüíèê
ðàâåí òðåóãîëüíèêó AA1 A2 , ãäå A1 è A2 – ïðîåêöèè
òî÷êè À íà ïðÿìûå CD è DE ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 1).
Çíà÷èò, ÷åòûðåõóãîëüíèê AA1DA2 – âïèñàííûé, è
äèàìåòð îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà AA1 A2
îêðóæíîñòè ðàâåí AD.
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì,
÷òî äâå äðóãèå ãëàâíûå
äèàãîíàëè øåñòèóãîëüíèêà ðàâíû ýòîìó äèàìåòðó, ò.å. AD = BE =
= CF. Ñëåäîâàòåëüíî,
ÀÂ è DE ÿâëÿþòñÿ îñíîâàíèÿìè ðàâíîáîêîé òðàïåöèè è ïîýòîìó èìåþò
îáùèé ñåðåäèííûé ïåðÐèñ. 1
ïåíäèêóëÿð. Ýòîò ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ñîâïàäàåò ñ áèññåêòðèñîé óãëà
ìåæäó ïðÿìûìè AD è ÂÅ, ò.å. ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð Î
îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê, îáðàçîâàííûé
ãëàâíûìè äèàãîíàëÿìè. Ñåðåäèííûå ïåðïåíäèêóëÿðû ê îñòàëüíûì ñòîðîíàì
øåñòèóãîëüíèêà òàêæå ïðîõîäÿò ÷åðåç
òî÷êó Î, ñëåäîâàòåëüíî, âîêðóã øåñòèóãîëüíèêà ABCDEF
ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü.
Ïóñòü
òåïåðü
ABCDEF – âïèñàíÐèñ. 2
íûé øåñòèóãîëüíèê
(ðèñ. 2). Âíîâü ðàññìàòðèâàÿ âïèñàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê AA1DA2 , ïîëó÷àåì
–DA1 A2 = –DAA2 = 90∞ - –DAB = –BCD - 90∞ ,
ò.å. A1 A2 ^ BC . Îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿðû CC1 è
CC2 íà ïðÿìûå AF è FE ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà,
20-36.p65
24
ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷èì, ÷òî C1C2 ^ DE .
Òàêèì îáðàçîì, ó òðåóãîëüíèêîâ AA1 A2 è C1CC2
ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîðîíû ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó è
AA1 = CC1 , ñëåäîâàòåëüíî, ýòè òðåóãîëüíèêè ðàâíû.
Ïîýòîìó îòðåçîê A1 A2 ðàâåí òðåòüåé «âûñîòå» øåñòèóãîëüíèêà.
Çàìå÷àíèå. Êàê óêàçàë ÷èòàòåëü Î.Æåðåáöîâ èç Óñèíñêà (Ðåñïóáëèêà Êîìè), âûâåñòè èç âïèñàííîñòè øåñòèóãîëüíèêà íóæíîå âåêòîðíîå ðàâåíñòâî ìîæíî è ïîäðóãîìó, ñ èñïîëüçîâàíèåì âåêòîðîâ. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç
A¢, B ¢, C ¢, D¢, E ¢, F ¢ ñåðåäèíû ñòîðîí âïèñàííîãî øåñòè
óãîëüíèêà
ABCDEF
ñîîòâåòñòâåííî, çàìåòèì, ÷òî A¢ D¢ ,
C ¢F ¢ è E ¢B ¢ – «âûñîòû»
Òîãäà
øåñòèóãîëüíèêà.
íóæíîå ðàâåíñòâî A¢D¢ + C ¢F ¢ + E ¢B ¢¢ = 0 âûòåêàåò èç
ðàâåíñòâ
A¢D¢ + D¢E + EE ¢ + E ¢B ¢ +
+ B ¢C + CC ¢ + C ¢F ¢ + F ¢A + AA ¢ = 0
è
D¢E + EE ¢ + B ¢C + CC ¢ + F ¢A + AA¢ =
1 DE + EF + BC + CD + FA + AB = 0 .
=
2
À.Çàñëàâñêèé
(
)
Ì2122. à) Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî
n, áîëüøåå 17, ìîæíî ðàçëîæèòü â ñóììó òðåõ
íàòóðàëüíûõ ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûõ ñëàãàåìûõ,
êàæäîå èç êîòîðûõ áîëüøå 1.
á*) Âûÿñíèòå, êîíå÷íî èëè áåñêîíå÷íî ìíîæåñòâî
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå ïðåäñòàâèìûõ â âèäå ñóììû
òðåõ âçàèìíî ïðîñòûõ â ñîâîêóïíîñòè íàòóðàëüíûõ
ñëàãàåìûõ, ëþáûå äâà èç êîòîðûõ íå âçàèìíî ïðîñòû.
à) Åñëè n – ÷åòíîå ÷èñëî, áîëüøåå 8, òî n = 6k, n =
= 6k + 2 èëè n = 6k + 4, ïðè÷åì â ïåðâûõ äâóõ ñëó÷àÿõ
k åñòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1, â òðåòüåì æå
ñëó÷àå k – íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Èç ôîðìóë 6k = 2 + 3 +
+ [6(k – 1) + 1], 6k + 2 = 3 + 4 + [6(k – 1) + 1], 6k +
+ 4 = 2 + 3 + (6k – 1) ëåãêî âûòåêàåò, ÷òî n åñòü ñóììà
òðåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, áîëüøèõ 1 è ïîïàðíî âçàèìíî
ïðîñòûõ.
Ïóñòü òåïåðü n – íå÷åòíîå ÷èñëî, áîëüøåå 17. Çäåñü
âîçìîæíû øåñòü ñëó÷àåâ: n = 12k + 1, 12k +3, 12k + 5,
12k + 7, 12k + 9 è 12k + 11, ïðè÷åì â ïåðâûõ òðåõ
ñëó÷àÿõ k åñòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1, â òðåõ æå
îñòàëüíûõ k – íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Èìååì 12k + 1 =
= [6(k – 1) – 1] + [6(k – 1) + 5] + 9, ãäå ÷èñëà 6(k –
– 1) – 1, 6(k – 1) + 5 è 9 – áîëüøèå åäèíèöû è ïîïàðíî
âçàèìíî ïðîñòûå, òàê êàê ïåðâûå äâà èç íèõ íå äåëÿòñÿ
íà 3 è ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè (èáî åñëè d | 6(k –
– 1) – 1 è d | 6(k – 1) + 5, òî d | 6, à îáà ÷èñëà íå÷åòíûå).
Åñëè n = 12k + 3, òî n = (6k – 1) + (6k + 1) + 3;
åñëè n = 12k + 5, òî n = (6k – 5) + (6k + 1) + 9;
åñëè n = 12k + 7, òî n = (6k + 5) + (6k – 1) + 3;
åñëè n = 12k + 9, òî n = (6k – 1) + (6k + 1) + 9;
åñëè n = 12k + 11, òî n = (6(k + 1) – 5) + (6(k + 1) +
+ 1) + 3.
 êàæäîì ñëó÷àå, êàê ëåãêî çàìåòèòü, ìû èìååì òðè
ñëàãàåìûõ, áîëüøèõ 1 è ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûõ.
29.07.09, 17:49
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
Êîììåíòàðèè. ×èñëî 17 íå îáëàäàåò îáñóæäàåìûì
ñâîéñòâîì: åñëè â óñëîâèÿõ çàäà÷è 17 = a + b + c, òî a,
b, c – ðàçëè÷íûå íå÷åòíûå ÷èñëà, áîëüøèå 1. Òàêèå
òðîéêè ñ íàèìåíüøèìè ñóììàìè: (3, 5, 7) è (3, 5, 9)
íå ïîäõîäÿò, à ñóììà ÷èñåë ëþáîé èíîé áîëüøå 17.
Ïîñòàðàåìñÿ òåïåðü ïîíÿòü, ïî÷åìó ãðàíèöåé îêàçàëîñü èìåííî ÷èñëî 17. Äëÿ ýòîãî ðåøèì âíà÷àëå áîëåå
ïðîñòóþ, ÷åì ïóíêò à), çàäà÷ó: äîêàæåì, ÷òî ëþáîå
íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 6, ÿâëÿåòñÿ ñóììîé äâóõ
âçàèìíî ïðîñòûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, áîëüøèõ 1. Ýòó
çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü ïîäîáíî ïóíêòó à) èëè ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ýéëåðà ϕ ( n) (óñëîâèå çàäà÷è ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî ϕ ( n) > 2 ïðè n > 6); ìû ïîêàæåì
ãîðàçäî áîëåå ïðîçðà÷íîå íåýëåìåíòàðíîå ðåøåíèå.
Ên ˆ
Ïóñòü â èíòåðâàëå Á ; n˜ íàéäåòñÿ ïðîñòîå ð òàêîå, ÷òî
Ë2 ¯
n – p > 1. Òîãäà ðàçëîæåíèå n = p + (n – p) – èñêîìîå
(÷èñëà p è n – p âçàèìíî ïðîñòû, òàê êàê ð – ïðîñòîå,
à ( n - p) < p).
ßñíî, ÷òî ïðè 6 < n < 12 èñêîìîå ð ñóùåñòâóåò. Ïðè
n ≥ 12 åãî ñóùåñòâîâàíèå âûòåêàåò èç òàêîãî óòâåðæäåíèÿ (ìû îñòàâëÿåì åãî áåç äîêàçàòåëüñòâà).
Ïðåäëîæåíèå 1. Ïóñòü n > 11. Òîãäà â èíòåðâàëå
Ên ˆ
ÁË ; n˜¯ ñîäåðæèòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå äâà ðàçëè÷íûõ
2
ïðîñòûõ ÷èñëà.
Ïåðåéäåì òåïåðü ê èñõîäíîìó ñëó÷àþ òðåõ ñëàãàåìûõ.
Ên ˆ
Ïóñòü â èíòåðâàëå Á ; n˜ íàéäåòñÿ ïðîñòîå q òàêîå,
Ë2 ¯
÷òî
n – q > 6.
(1)
Òîãäà ðàçëîæèì m = n – q êàê âûøå: m = p + (m – p).
Êàê è ðàíüøå, ðàçëîæåíèå n = q + p + (n – q – p) –
èñêîìîå.
Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ïðè n > 17 óñëîâèå (1) âñåãäà
âûïîëíÿåòñÿ.
Ïðåäëîæåíèå 2. Ïóñòü n > 17. Òîãäà â èíòåðâàëå
Ên ˆ
ÁË ; n˜¯ ñîäåðæèòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå òðè ðàçëè÷íûõ
2
n
< q < r < s < n.
ïðîñòûõ ÷èñëà:
2
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè q > 3 ïðîñòûå ÷èñëà q < r < s íå
ìîãóò áûòü ïîñëåäîâàòåëüíûìè íå÷åòíûìè. Îòñþäà
n – q > 6.
Ïðåäëîæåíèÿ 1 è 2 – íåçíà÷èòåëüíûå îáîáùåíèÿ
çíàìåíèòîãî ïîñòóëàòà Áåðòðàíà. Èõ íåòðóäíî äîêàçàòü ñ ïîìîùüþ ðàññóæäåíèé ñòàòüè À.Êîðîáîâà «Ïðîñòûå ÷èñëà è ïîñòóëàò Áåðòðàíà» («Êâàíò» ¹ 4 çà
1998 ãîä; ñì. òàêæå: Ì.Àéãíåð è Ã.Öèãëåð. «Äîêàçàòåëüñòâà èç Êíèãè». – Ì.: Ìèð, 2006).
Ñ ïîìîùüþ ïîäîáíûõ ðàññóæäåíèé íåòðóäíî äîêàçàòü
èíäóêöèåé ïî n ñëåäóþùåå
Ïðåäëîæåíèå 3. Äëÿ ëþáîãî n > 1 ñóùåñòâóåò òàêîå
N ( n) , ÷òî ëþáîå k > N ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû n
ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûõ ñëàãàåìûõ, áîëüøèõ 1.
á) Äëÿ êðàòêîñòè, íàçîâåì òðåõïàðíûì ÷èñëî, äîïóñêàþùåå ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ñóììû òðåõ âçàèìíî
20-36.p65
25
«ÊÂÀÍÒÀ»
#
ïðîñòûõ íàòóðàëüíûõ ñëàãàåìûõ, ëþáûå äâà èç êîòîðûõ íå âçàèìíî ïðîñòû.
Ïóñòü íàòóðàëüíîå n îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì:
ñóùåñòâóþò ïðîñòûå
(2)
p < r < q: p2rq < n , ( prq, n) = 1 .
Òîãäà ÷èñëî n òðåõïàðíî.
Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ÷èñëà âèäà n – xqr. Ïîñêîëüêó ð è qr âçàèìíî ïðîñòû è n íå äåëèòñÿ íà ð,
íàéäåòñÿ òàêîå öåëîå ïîëîæèòåëüíîå x < p, ÷òî n – xqr
äåëèòñÿ íà ð.
Ïóñòü n – xqr = mp.  ñèëó òîãî ÷òî n > p2qr è x < p,
èìååì m > ( p - 1) qr , ïðè÷åì m íå äåëèòñÿ íà q è r.
Ïîñêîëüêó q è r âçàèìíî ïðîñòû, íàéäåòñÿ òàêîå öåëîå
ïîëîæèòåëüíîå y < r, ÷òî m – yq äåëèòñÿ íà r. Òàê êàê
r > p > x è r – ïðîñòîå, òî r è õ âçàèìíî ïðîñòû, à çíà÷èò,
îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà õ ÷èñåë âèäà y + kr ïðè k = 0,
1, …, õ – 1 ðàçëè÷íû. Òîãäà ñðåäè ýòèõ îñòàòêîâ åñòü
1. Äëÿ òàêîãî k ÷èñëî w = y + kr âçàèìíî ïðîñòî ñ õ.
Íî ïîñêîëüêó m – yq äåëèòñÿ íà r, òî è m – wq = m –
– yq – krq äåëèòñÿ íà r. Ïðè ýòîì m – yq – krq > (p –
– 1)qr – yq – kqr > (p – 1)qr – qr – (p – 2)qr = 0, ò.å.
m = wq + zr, ïðè÷åì w, z > 0.
Îêîí÷àòåëüíî èìååì: n = xqr + wpq + zpr, ïðè÷åì ýòè
òðè ñëàãàåìûõ âçàèìíî ïðîñòû, ïîñêîëüêó xqr è wpq
èìåþò íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü q (âñå îñòàëüíûå
ìíîæèòåëè â ýòèõ ñëàãàåìûõ âçàèìíî ïðîñòû ïî ïîñòðîåíèþ), à zpr íå äåëèòñÿ íà q (èíà÷å áû è n äåëèëîñü
íà q). Òàêèì îáðàçîì, n òðåõïàðíî.
Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ n, íå îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì (2), êîíå÷íî.
Íàçîâåì íàòóðàëüíîå ÷èñëî n ñâîáîäíûì îò êâàäðàòîâ,
åñëè p2 íå äåëèò n ïðè ëþáîì ïðîñòîì ð.
Ëåììà 1. Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n ñðåäè ÷èñåë {1,
2, …, n} áîëåå ÷åòâåðòè ñâîáîäíû îò êâàäðàòîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñðåäè ÷èñåë 1, 2, …, n èìååì íå áîëåå
n
÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà p2 . Ïîýòîìó êîëè÷åñòâî
p2
÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà êâàäðàò ïðîñòîãî ÷èñëà, íå áîëüøå
Â
p£ n
•
•
1 ˆ 3n
n
n
n
n
Ê1
< +Â
= + n Á ˜ =
2
Ë
4 k = 2 k (k + 1) 4
4 .
k
k
+ 1¯
p
k=2
Ëåììà äîêàçàíà.
Çàíóìåðóåì âñå ïðîñòûå ÷èñëà â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ:
p1, p2 ,...
k +1
Ëåììà 2. pk < 2
ïðè ëþáîì k.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâûå (ïî âîçðàñòàíèþ) k – 1
ïðîñòûõ ÷èñåë ïîðîæäàþò 2k-1 ÷èñåë, ñâîáîäíûõ îò
êâàäðàòîâ. Ïîýòîìó ñðåäè ÷èñåë îò 1 äî 4 ◊ 2k -1 = 2k +1
ñîäåðæèòñÿ ïî ìåíüøåé ìåðå k ïðîñòûõ ÷èñåë (â
ïðîòèâíîì ñëó÷àå äîëÿ ÷èñåë, ñâîáîäíûõ îò êâàäðàòîâ,
k +1
áûëà áû íå áîëåå ÷åòâåðòè), ò.å. pk £ 2 .
Ëåììà 3. Äëÿ ëþáîãî n Œ N , n > 2256 , ñóùåñòâóþò
ïðîñòûå p < q < r < 4 n , íå ÿâëÿþùèåñÿ äåëèòåëÿìè
÷èñëà n (òàêèå ÷èñëà äàëåå íàçûâàåì íåäåëèòåëÿìè
÷èñëà n).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü 2k +1 £ 4 n £ 2k + 2 , è ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñðåäè p1,… , pk íå áîëåå äâóõ íåäåëèòåëåé n.
29.07.09, 17:49
$
ÊÂÀÍT 2009/¹4
Òîãäà ïîñêîëüêó 2 £ p1 < p2 < … < p11 , 25 < p12 <
< p13 < … < pk - 2 ,
11
5(k -13)
n ≥ p1 … pk - 2 > 2 ◊ 2
òî
>
4k + 8
>2
≥ n ïðè k > 62. Ñëåäîâàòåëüíî, k £ 62 ,
256
n £ 2 . Ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî òðè íåäåëèòåëÿ ñóùåñòâóþò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ëåììû 2 ñëåäóåò,
÷òî pk < 4 n . Ëåììà 3 äîêàçàíà.
Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå íàòóðàëüíîå n > 2256 îáëàäàåò
ñâîéñòâîì (2). Óòâåðæäåíèå çàäà÷è äîêàçàíî.
Çàìå÷àíèå 1. Ìîæíî äîêàçàòü è áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå: ïðè ëþáîì k ≥ 2 ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå äîïóñêàþùèõ ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå ñóììû k +
+ 1 âçàèìíî ïðîñòûõ ñëàãàåìûõ, ëþáûå k èç êîòîðûõ
íå âçàèìíî ïðîñòû, áóäåò êîíå÷íûì.
Çàìå÷àíèå 2. Ãðóáàÿ îöåíêà 2256 ïîçâîëÿåò ëåãêî
íàéòè íàèáîëüøåå íå îáëàäàþùåå ñâîéñòâîì (2) ÷èñëî:
120120. Ïîêàæåì, êàê ýòî ìîæíî ñäåëàòü.
Îöåíêó ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî ïîíèæàòü. Òàê, èç
n £ 2256 ñðàçó ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî n < 248 .
 ñàìîì äåëå, ïóñòü n ≥ 248 , 4 n ≥ 212 . Ðàññóæäàÿ êàê
ïðè äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 3, ïîëó÷àåì
( )
n ≥ 4079 ◊ … ◊ 1031 > 210
30
> 2256 .
Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àþòñÿ îöåíêè:
224 , 220 , 218 , 130000. Òåïåðü äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî
íå îáëàäàþùåå ñâîéñòâîì (2) ÷èñëî n èíòåðâàëà (120120;
130000) äîëæíî äåëèòüñÿ íà 2 ◊ 3 ◊ 5 ◊ 7 ◊ 11 ◊ 13 = 30030 .
Ðàññìîòðèì ïðîñòûå ÷èñëà 2, 3, …, 23. Ïóñòü ñðåäè íèõ
åñòü òðè íåäåëèòåëÿ p < r < s ÷èñëà n, îäèí èç êîòîðûõ
íå áîëüøå 13. Èìååì p2rs £ 132 ◊ 19 ◊ 23 < 120120 < n ,
îòêóäà n îáëàäàåò ñâîéñòâîì (2).
Çíà÷èò, ñðåäè ïðîñòûõ ÷èñåë îò 2 äî 23 íå áîëåå äâóõ
íåäåëèòåëåé n, ïðè÷åì îäèí èç íèõ íå áîëüøå 13.
Îêîí÷àòåëüíî: n ≥ 2 ◊ 3 ◊ 5 ◊ 7 ◊ 11 ◊ 17 ◊ 19 > 130000 .
Îäíàêî ÷èñëî 120120 ÿâëÿåòñÿ òðåõïàðíûì: 120120 =
= 391 + 5695 + 114034, ãäå (391, 5695) = 17, (5695,
114034) = 67, (114034, 391) = 23. Íàèáîëüøåå íå
ÿâëÿþùååñÿ òðåõïàðíûì ÷èñëî – 2730.
Â.Ëåöêî, Â.Ñåíäåðîâ
M2123. Òåñò ñîñòîèò èç 30 âîïðîñîâ, íà êàæäûé åñòü
2 âàðèàíòà îòâåòà (îäèí âåðíûé, äðóãîé íåò). Çà
îäíó ïîïûòêó Âèòÿ îòâå÷àåò íà âñå âîïðîñû, ïîñëå
÷åãî åìó ñîîáùàþò, íà ñêîëüêî âîïðîñîâ îí îòâåòèë
âåðíî. Ñìîæåò ëè Âèòÿ äåéñòâîâàòü òàê, ÷òîáû
ãàðàíòèðîâàííî óçíàòü âñå âåðíûå îòâåòû íå ïîçæå,
÷åì ïîñëå 24-é ïîïûòêè (è îòâåòèòü âåðíî íà âñå
âîïðîñû ïðè 25-é ïîïûòêå)?
Ïóñòü íà êàæäûé èç âîïðîñîâ âîçìîæíû äâà îòâåòà:
«äà» èëè «íåò».
Ðàçîáüåì âîïðîñû òåñòà íà ãðóïïû ïî 5 âîïðîñîâ (ñ
1-ãî ïî 5-é, ñ 6-ãî ïî 10-é è ò.ä.) Ïðè ïåðâîé ïîïûòêå
îòâåòèì «íåò» íà âñå âîïðîñû.
Ïîêàæåì òåïåðü, êàê çà 4 ñëåäóþùèå ïîïûòêè óçíàòü
âñå âåðíûå îòâåòû íà âîïðîñû â ïåðâîé ãðóïïå. Íà
âîïðîñû ñ 6-ãî ïî 30-é îòâå÷àåì â ýòèõ ïîïûòêàõ «íåò»,
à íà âîïðîñû ñ 1-ãî ïî 5-é îòâå÷àåì òàê:
20-36.p65
26
ïðè âòîðîé ïîïûòêå îòâå÷àåì «äà» íà âñå ïÿòü âîïðîñîâ;
ïðè òðåòüåé ïîïûòêå îòâå÷àåì «íåò» íà 1-é è 2-é
âîïðîñû (íà îñòàëüíûå òðè – «äà»);
ïðè ÷åòâåðòîé ïîïûòêå îòâå÷àåì «íåò» íà 1-é è 3-é
âîïðîñû (íà îñòàëüíûå òðè – «äà»);
ïðè ïÿòîé ïîïûòêå îòâå÷àåì «íåò» íà 1-é è 4-é âîïðîñû
(íà îñòàëüíûå òðè – «äà»).
Çàìåòèì, ÷òî èç ñîîáùåíèé î ÷èñëå âåðíûõ îòâåòîâ â
ïåðâîé è âòîðîé ïîïûòêàõ ìû óçíàåì, íàïðèìåð,
ñêîëüêî âî âòîðîé ïîïûòêå áûëî âåðíûõ îòâåòîâ íà
âîïðîñû ñ 1-ãî ïî 5-é.
Ïîñëå òðåòüåé ïîïûòêè ìû óçíàåì êîëè÷åñòâî A âåðíûõ îòâåòîâ âî âòîðîé ïîïûòêå ñðåäè äâóõ îòâåòîâ íà
1-é è 2-é âîïðîñû, ïîñëå ÷åòâåðòîé – êîëè÷åñòâî B
âåðíûõ îòâåòîâ âî âòîðîé ïîïûòêå ñðåäè äâóõ îòâåòîâ
íà 1-é è 3-é âîïðîñû, ïîñëå ïÿòîé – êîëè÷åñòâî C
âåðíûõ îòâåòîâ âî âòîðîé ïîïûòêå ñðåäè äâóõ îòâåòîâ
íà 1-é è 4-é âîïðîñû.
Ïóñòü õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë A, B, C ðàâíî 0 èëè 2.
Òîãäà ïîñëå ïÿòîé ïîïûòêè ìû óçíàåì âåðíûå îòâåòû
íà âîïðîñû ñ 1-ãî ïî 4-é. Â ñàìîì äåëå, ïóñòü,
íàïðèìåð, B = 2; òîãäà âî âòîðîé ïîïûòêå îòâåòû íà
1-é è 3-é âîïðîñû âåðíûå; ïîýòîìó, çíàÿ A è C,
îïðåäåëÿåì âåðíûå îòâåòû íà 2-é è 4-é âîïðîñû ñîîòâåòñòâåííî. Çíàÿ âåðíûå îòâåòû íà âîïðîñû ñ 1-ãî ïî
4-é, îïðåäåëèì âåðíûé îòâåò íà 5-é âîïðîñ, òàê êàê
çíàåì, ñêîëüêî áûëî âåðíûõ îòâåòîâ âî âòîðîé ïîïûòêå
íà âîïðîñû ñ 1-ãî ïî 5-é.
Îñòàåòñÿ ñëó÷àé A = B = C = 1; òîãäà âî âòîðîé ïîïûòêå:
ñðåäè îòâåòîâ íà 1-é è 2-é âîïðîñû ðîâíî îäèí âåðíûé,
ñðåäè îòâåòîâ íà 1-é è 3-é âîïðîñû – òîæå ðîâíî îäèí
âåðíûé, è ñðåäè îòâåòîâ íà 1-é è 4-é âîïðîñû – ðîâíî
îäèí âåðíûé. Çíà÷èò, ïðè âòîðîé ïîïûòêå íà 2-é, 3-é
è 4-é âîïðîñû íàøè îòâåòû ëèáî âñå âåðíû, ëèáî âñå
íåâåðíû. Íî ìû óæå çíàåì, êàêèõ îòâåòîâ ïðè âòîðîé
ïîïûòêå íà âîïðîñû ñ 1-ãî ïî 5-é áîëüøå: âåðíûõ èëè
íåâåðíûõ. Òàêèì îáðàçîì, ìû çíàåì âåðíûå îòâåòû íà
íà 2-é, 3-é è 4-é âîïðîñû, òîãäà è íà 1-é âîïðîñ (âåðíûé
îòâåò ïðîòèâîïîëîæåí âåðíîìó îòâåòó íà 2-é âîïðîñ),
à çíà÷èò, è íà 5-é âîïðîñ.
Äàëåå, àíàëîãè÷íî óçíàåì âåðíûå îòâåòû íà âîïðîñû
2-é, 3-é, 4-é è 5-é ãðóïï ïî 5 âîïðîñîâ (ïîòðàòèâ íà
êàæäóþ 4 ïîïûòêè). Òîãäà çà 1 + 4 ◊ 5 = 21 ïîïûòêó
çíàåì âåðíûå îòâåòû íà âîïðîñû ñ 1-ãî ïî 25-é.
Çàìåòèì, ÷òî âåðíûå îòâåòû íà âîïðîñû ïîñëåäíåé
ãðóïïû ìîæíî óçíàòü çà 3 ïîïûòêè, ïîñêîëüêó ìû óæå
çíàåì, ñêîëüêî âåðíûõ îòâåòîâ â ñàìîé ïåðâîé ïîïûòêå
ìû ñäåëàëè íà ýòè âîïðîñû. Èòàê, âñåãî õâàòèò 24
âîïðîñà.
Çàìå÷àíèå. Äàííóþ çàäà÷ó ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü
íà ÿçûêå ëèíåéíîé àëãåáðû è ïîëó÷èòü çíà÷èòåëüíî
áîëåå ñèëüíûå îöåíêè íà êîëè÷åñòâî ïîïûòîê. Ñêàæåì,
äëÿ òåñòà èç 33 âîïðîñîâ äîñòàòî÷íî âñåãî 16 ïîïûòîê,
÷òîáû óçíàòü âåðíûå îòâåòû íà âñå âîïðîñû.
Ñ.Äîðè÷åíêî
Ô2130. Óäàâ ðåøèë óñòàíîâèòü ìèðîâîé ðåêîðä â
ïðûæêàõ â âûñîòó ñðåäè óäàâîâ. Óäàâ ìîæåò èç
ïîëîæåíèÿ «ñâåðíóâøèñü ëåæà» âûïðÿìèòüñÿ ïî÷òè
29.07.09, 17:49
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
âåðòèêàëüíî è ðàçîãíàòüñÿ äî ñêîðîñòè v. Äëèíà
óäàâà L. Êàêèì ìîæåò áûòü ðåêîðä? Êàê äîëæåí
äâèãàòüñÿ óäàâ, ÷òîáû óñòàíîâèòü ðåêîðä? Ìàññà
óäàâà ðàñïðåäåëåíà ïî åãî äëèíå ðàâíîìåðíî.
Ïóñòü Í – âûñîòà ïëàíêè íàä óðîâíåì çåìëè, Ì –
ìàññà óäàâà. Áóäåì îòñ÷èòûâàòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ òàêæå îò óðîâíÿ çåìëè. Òîãäà íà÷àëüíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ óäàâà ñðàçó ïîñëå åãî âûïðÿìëåíèÿ
L Mv2
ðàâíà Mg +
. ×òîáû åå õâàòèëî äëÿ ïðåîäîëå2
2
íèÿ ïëàíêè êàê ìîæíî áîëüøåé âûñîòû, óäàâ äîëæåí
äâèãàòüñÿ òàê, ÷òîáû åãî öåíòð ìàññ â ìîìåíò ïðåîäîëåíèÿ ïëàíêè íàõîäèëñÿ êàê ìîæíî íèæå. Äëÿ ýòîãî
óäàâó íóæíî ñëîæèòüñÿ ïîïîëàì, ÷òîáû åãî ñåðåäèíà
îêàçàëàñü íàä ïëàíêîé, à ãîëîâà è õâîñò ñâåøèâàëèñü
âíèç. Ïðè ýòîì öåíòð ìàññ óäàâà ïîäíèìåòñÿ íà ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó, ðàâíóþ H – L/4, è â ýòîò ìîìåíò
êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ óäàâà áóäåò ðàâíà íóëþ. Òàêèì
îáðàçîì, íà ìàêñèìàëüíîé âûñîòå ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðL
ãèÿ óäàâà áóäåò Mg ÊÁ H - ˆ˜ . Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ
Ë
4¯
ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ïîëó÷àåì
L Mv2
Lˆ
Ê
Mg +
≥ Mg Á H - ˜ .
Ë
2
2
4¯
Îòñþäà íàõîäèì ðåêîðäíóþ âûñîòó:
3 L v2
Hmax =
+
.
4
2g
Ñ.Âàðëàìîâ
Ô2131. Ãîðèçîíòàëüíàÿ ïëàòôîðìà, íà êîòîðóþ ïîëîæèëè áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ãðóç ìàññîé m,
ñîâåðøàåò f ðàç â ñåêóíäó òàêèå êîëåáàíèÿ: ñíà÷àëà
îíà äâèæåòñÿ âïðàâî ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a,
ïîòîì ìãíîâåííî îñòàíàâëèâàåòñÿ è âîçâðàùàåòñÿ â
íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a/2.
Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó ãðóçîì è ïëàòôîðìîé
µ < 1, óñêîðåíèå a g , ÷àñòîòà f 1 Ãö.  êàêîì
íàïðàâëåíèè è ïî êàêîìó çàêîíó áóäåò äâèãàòüñÿ
ãðóç, è áóäåò ëè îí âîîáùå äâèãàòüñÿ? Ñ÷èòàòü, ÷òî
ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ãðóçà âñåãäà ìíîãî ìåíüøå ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ïëàòôîðìû.
Ïîñêîëüêó a g è µ < 1 , ãðóç áóäåò âñå âðåìÿ ñêîëüçèòü îòíîñèòåëüíî ïëàòôîðìû. Ïðè ýòîì íà íåãî áóäåò
âñå âðåìÿ äåéñòâîâàòü ñèëà òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ
F = µmg , ïîñòîÿííàÿ ïî âåëè÷èíå, íî íàïðàâëåííàÿ òî
âïðàâî, òî âëåâî.
Ñðàâíèì âðåìÿ äâèæåíèÿ ïëàòôîðìû âïðàâî t1 è
âðåìÿ äâèæåíèÿ âëåâî t2 . Ïîñêîëüêó äâèæåíèå ïëàòôîðìû â îáîèõ ñëó÷àÿõ ðàâíîóñêîðåííîå è ïðîéäåííûå âïðàâî è âëåâî ïóòè ðàâíû, ïîëó÷àåì
at12 a t22
=
, îòêóäà t2 = 2t1 .
2
2 2
Òàêèì îáðàçîì, âëåâî ïëàòôîðìà äâèæåòñÿ äîëüøå,
÷åì âïðàâî. Çíà÷èò, íà ãðóç áóäåò äîëüøå äåéñòâîâàòü
ñèëà òðåíèÿ, íàïðàâëåííàÿ âëåâî, è îí ñòàíåò ñìåùàòüñÿ âëåâî. Òàê êàê
1
t1 + t2 =
è t2 = 2t1 ,
f
20-36.p65
27
%
«ÊÂÀÍÒÀ»
ïîëó÷àåì
t1 =
1
(
f 1+ 2
)
, t2 =
2
(
f 1+ 2
)
.
Èçìåíåíèå èìïóëüñà ãðóçà çà âðåìÿ ∆t = 1 ñ ñîñòàâëÿåò
∆ ( mv)
1- 2
∆v
=m
= mb = f (µmgt1 - µmgt2 ) = µmg
,
∆t
∆t
1+ 2
∆v
ãäå b =
– ñðåäíåå óñêîðåíèå ãðóçà (çà ïîëîæèòåëü∆t
íîå íàïðàâëåíèå ïðèíÿòî íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ãðóçà
âïðàâî). Ñëåäîâàòåëüíî, ãðóç áóäåò äâèãàòüñÿ âëåâî ñî
ñðåäíèì óñêîðåíèåì, ðàâíûì ïî ìîäóëþ
2 -1
b = µg
.
2 +1
À.Àíäðèàíîâ
Ô2132. Îäèí èç êîíöîâ U-îáðàçíîé òðóáêè ïîñòîÿííîãî ñå÷åíèÿ ñ íàëèòîé â íåå ðòóòüþ íàãëóõî çàêðûëè. Âîçäóõ â çàêðûòîì êîíöå òðóáêè ñòàëè ìåäëåííî
íàãðåâàòü, èçìåðÿÿ çàâèñèìîñòü åãî äàâëåíèÿ ð îò
òåìïåðàòóðû T. Êàê îêàçàëîñü, ýòà çàâèñèìîñòü â
íà÷àëå íàãðåâàíèÿ ïðèáëèæåííî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé:
p = p0 (1 + α (T T0 - 1)) , ãäå p0 = 760 ìì ðò. ñò. –
àòìîñôåðíîå äàâëåíèå, T0 – òåìïåðàòóðà îêðóæàþùåé ñðåäû, êîýôôèöèåíò α = 0,5. Íàéäèòå âûñîòó
ñòîëáà âîçäóõà â çàêðûòîì êîíöå òðóáêè â íà÷àëå
ïðîöåññà.
Çàïèøåì óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ âîçäóõà â çàêðûòîì
êîíöå òðóáêè â íà÷àëå ïðîöåññà:
p0 Sl0 = νRT0 ,
ãäå S – ïëîùàäü ñå÷åíèÿ òðóáêè, l0 – èñêîìàÿ âûñîòà
âîçäóøíîãî ñòîëáà, ν – ÷èñëî ìîëåé âîçäóõà. Ïóñòü
ïðè íàãðåâàíèè äî òåìïåðàòóðû Ò óðîâåíü ðòóòè â
îòêðûòîì êîíöå òðóáêè ïîäíÿëñÿ íà õ, à â çàêðûòîì
îïóñòèëñÿ íà õ. Òîãäà äàâëåíèå âîçäóõà â çàêðûòîì
êîíöå òðóáêè ðàâíî p = p0 + 2ρgx , îáúåì ðàâåí
S (l0 + x ) , è óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ âîçäóõà èìååò âèä
νRT = ( p0 + 2ρgx ) S (l0 + x ) =
= p0 Sl0 + Sx ( p0 + 2ρgl0 ) + 2ρgSx2 .
Ïðè ìàëûõ õ, â íà÷àëå ïðîöåññà íàãðåâàíèÿ, êâàäðàòè÷íûì ñëàãàåìûì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïîýòîìó, âû÷èòàÿ èç äàííîãî óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ òî óðàâíåíèå,
êîòîðîå áûëî ñïðàâåäëèâî â íà÷àëå ïðîöåññà, ïîëó÷àåì
νR (T - T0 ) = Sx ( p0 + 2ρgl0 ) ,
îòêóäà
x=
νR (T - T0 )
S ( p0 + 2ρgl0 )
Ñëåäîâàòåëüíî,
p = p0 + 2ρgx = p0 +
=
p0l0
T - T0
.
p0 + 2ρgl0 T0
p0 ◊ 2ρgl0 T - T0
=
p0 + 2ρgl0 T0
Ê
2ρgl0 T - T0 ˆ
= p0 Á1 +
,
p0 + 2ρgl0 T0 ˜¯
Ë
29.07.09, 17:49
&
ÊÂÀÍT 2009/¹4
è
Îòñþäà íàõîäèì
2ρgl0
α=
p0 + 2ρgl0 .
Îòñþäà íàõîäèì
l0 =
(
p0
2ρg α
-1
)
-1
=
ρgh0
(
2ρg α
-1
)
-1
=
(
h0
)
2 α -1 - 1
= 380 ìì ,
p0
= 760 ìì – âûñîòà ñòîëáà ðòóòè, ñîîòâåòρg
ñòâóþùàÿ äàííîìó â óñëîâèè çàäà÷è çíà÷åíèþ àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ.
Î.Øâåäîâ
ãäå h0 =
Ô2133. Ïðîâîäÿùèå êîíöåíòðè÷åñêèå ñôåðû èìåþò
ðàäèóñû R è 3R, íà ðàññòîÿíèè 2R îò èõ îáùåãî
öåíòðà íàõîäèòñÿ òî÷å÷íûé çàðÿä Q. Ñôåðû ñîåäèíÿþò ìåæäó ñîáîé òîíêèì ïðîâîäîì, è ïîëó÷èâøèéñÿ
ïðîâîäíèê çàçåìëÿþò òîíêèì ïðîâîäíèêîì, èìåþùèì
áîëüøîå ñîïðîòèâëåíèå. Êàêîé çàðÿä ïðîòå÷åò ïî
ýòîìó ïðîâîäíèêó? Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ â ñèñòåìå çà áîëüøîå âðåìÿ?
Íàéäåì ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ñôåðàìè â òîò
ìîìåíò, êîãäà ñ ìàëîé ñôåðû íà áîëüøóþ ïåðåòåê
çàðÿä q. Ïîòåíöèàë âíóòðåííåé ñôåðû ðàâåí ïîòåíöèàëó öåíòðà:
Q
q
-q
+k
+k
ϕâíóòð = k
.
2R
3R
R
Ñíàðóæè ïîëå òàêîå æå, êàê åñëè áû âåñü çàðÿä –q +
+ q + Q = Q áûë ðàñïîëîæåí â öåíòðå, ïîýòîìó
ïîòåíöèàë âíåøíåé ñôåðû ðàâåí
Q
ϕâíåø = k
.
3R
Òîãäà ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ðàâíà
1 Q 2 q
∆ϕ = ϕâíóòð - ϕâíåø = k - k .
6 R 3 R
Îíà ìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåòåêàíèè çàðÿäà q ïî ëèíåéíîìó
1 Q - 4q
1 Q
çàêîíó ∆ϕ (q) = k
îò k
äî 0, à ñðåäíåå
6
R
6 R
1
1 Q
k . Ïîëíûé ïðîòåêçíà÷åíèå ñîñòàâëÿåò ∆ϕíà÷ =
2
12 R
øèé çàðÿä ðàâåí
Q
.
4
Ïðè ýòîì â ñîåäèíÿþùåì ñôåðû ïðîâîäå âûäåëÿåòñÿ
êîëè÷åñòâî òåïëîòû
qïð =
1 Q Q
1 Q2
=
W1 =
k ◊
k
.
12 R 4
48 R
Òåïåðü çàçåìëÿåì ïðîâîäíèê. Ïóñòü íà çåìëþ ê íåêîòîðîìó ìîìåíòó ïåðåòåê çàðÿä Q1 . Îáîçíà÷èì çàðÿäû
âíóòðåííåé è âíåøíåé ñôåð q1 è q2 ñîîòâåòñòâåííî.
Òîãäà
q1 + q2 = -Q1 è k
20-36.p65
q1
q
Q + q1 + q2
Q
+k 2 +k
=k
.
3R
2R
3R
R
28
Q
Q
è q2 = -Q1 +
4
4
– çàðÿä âíóòðåííåé ñôåðû îñòàåòñÿ íåèçìåííûì è òîê
ïî «âíóòðåííåìó» ñîåäèíÿþùåìó ïðîâîäó íå òå÷åò.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå òåïëî âûäåëÿåòñÿ â çàçåìëÿþùåì
ïðîâîäíèêå. Ïî íåìó ñòåêàåò ïîëíûé çàðÿä Q1 ïîëí = Q ,
Q
ïîòåíöèàë áîëüøîé ñôåðû ìåíÿåòñÿ ïðè ýòîì îò k
3R
1 Q
äî 0, ñðåäíåå çíà÷åíèå ñîñòàâëÿåò k , ïîýòîìó â
6 R
çàçåìëÿþùåì ïðîâîäíèêå âûäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû
q1 = -
W2 =
1 Q2
k
.
6 R
Âñåãî â ñèñòåìå âûäåëèòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû
W1 + W2 =
9 Q2
k
.
48 R
À.Òåïëîâ
Ô2134. Îáû÷íûé «ìîñòèê» ñîáðàí èç òðåõ ðåçèñòîðîâ ñîïðîòèâëåíèåì 100 Îì êàæäûé è îäíîãî ðåçèñòîðà ñîïðîòèâëåíèåì 20 Îì.  îäíó èç äèàãîíàëåé
ìîñòèêà âêëþ÷åí àìïåðìåòð, îí ïîêàçûâàåò 0,1 À.
Êàêîé òîê òå÷åò ÷åðåç áàòàðåéêó, ïîäêëþ÷åííóþ ê
äðóãîé äèàãîíàëè ìîñòèêà? Àìïåðìåòð ñ÷èòàòü èäåàëüíûì.
Îáîçíà÷èì òîê ÷åðåç ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì 20 Îì
÷åðåç I1 (ñì. ðèñóíîê),
òîãäà ÷åðåç ïàðàëëåëüíûé åìó ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì 100 Îì
I1
òå÷åò òîê I2 =
, à ñóì5
ìà ýòèõ òîêîâ òå÷åò ÷åðåç áàòàðåéêó:
6
Iáàò = I1 + I2 = I1 .
5
Òîêè â îñòàâøèõñÿ äâóõ ðåçèñòîðàõ îäèíàêîâû è ðàâíû
3
I3 = I4 = I1 .
5
×åðåç àìïåðìåòð òå÷åò òîê
2
1
IA = I1 - I4 = I1 = Iáàò .
5
3
Òàêèì îáðàçîì, òîê ÷åðåç áàòàðåþ â 3 ðàçà áîëüøå òîêà
àìïåðìåòðà, ò.å.
Iáàò = 3IA = 3 ◊ 0,1 A = 0,3 A .
Î.Ïðîñòîâ
Ô2135. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ = 100 ìêÔ ñîåäèíåí
ïîñëåäîâàòåëüíî ñ êàòóøêîé èíäóêòèâíîñòüþ L =
= 1 Ãí. Ê âûâîäàì ïîëó÷èâøåéñÿ öåïè ïîäêëþ÷àþò
áàòàðåéêó íàïðÿæåíèåì U0 = 1 Â, è òîê â öåïè
íà÷èíàåò óâåëè÷èâàòüñÿ.  òîò ìîìåíò, êîãäà òîê
ìàêñèìàëåí, ïàðàëëåëüíî êàòóøêå ïîäêëþ÷àþò ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R = 10 êÎì. Êàêîé çàðÿä
29.07.09, 17:49
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
'
«ÊÂÀÍÒÀ»
ïðîòå÷åò ÷åðåç ðåçèñòîð è ñêîëüêî òåïëà â íåì
âûäåëèòñÿ çà áîëüøîé èíòåðâàë âðåìåíè? Ýëåìåíòû
öåïè ñ÷èòàòü èäåàëüíûìè.
Ñíà÷àëà íàéäåì ìàêñèìàëüíûé òîê ÷åðåç êàòóøêó – îí
ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíòó íóëåâîé ÝÄÑ èíäóêöèè â êàòóøêå è íàïðÿæåíèþ êîíäåíñàòîðà U0 . Ðàáîòà áàòàðåè
ê ýòîìó ìîìåíòó áóäåò ðàâíà
Aáàò = U0 ◊ CU0 = CU02 .
Òîãäà áàëàíñ ýíåðãèé áóäåò èìåòü âèä
1
1 2
CU02 = CU02 + LImax
,
2
2
îòêóäà
C
Imax = U0
.
L
Íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà, êîãäà ïàðàëëåëüíî êàòóøêå
ïîäêëþ÷àþò ðåçèñòîð (ñì. ðèñóíîê), áóäåò âûïîëíÿòü-
I1, I2 , … îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî ñäâèãàìè ïî
ôàçå ϕ , à âåëè÷èíû èõ îäèíàêîâû: I1 = I2 = … = IL .
Ïðè ìàëîì ϕ
IC = IL ◊ ϕ .
Äëÿ ÷àñòîòû ω ìîæíî çàïèñàòü
UL = ωL ◊ IL , UC =
1
◊ IC .
ωC
Òîãäà
ϕ = ω LC ,
ñÿ ðàâåíñòâî
∆I
L
- L L = RIR , èëè ∆QR = - ∆IL .
∆t
R
Ñóììèðóÿ, ïîëó÷èì ïðîòåêøèé ïî ðåçèñòîðó çàðÿä:
QR =
LImax
= U0
R
LC
= 1 ìêÊë .
R
Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëÿþùååñÿ â ðåçèñòîðå, ïðîùå âñåãî íàéòè èç áàëàíñà ýíåðãèé: ÷åðåç áîëüøîå
âðåìÿ òîê ÷åðåç êàòóøêó ñòàíåò íóëåâûì, à íàïðÿæåíèå êîíäåíñàòîðà áóäåò ðàâíî U0 . Òîãäà
1
Aáàò = Wòåïë + CU02 , è
2
1
1
Wòåïë = CU02 - CU02 = CU02 = 50 ìêÄæ .
2
2
À.Ïîâòîðîâ
Ô2136. Äëÿ ïåðåäà÷è íå î÷åíü âûñîêîñêîðîñòíîé
èíôîðìàöèè èñïîëüçóåòñÿ âèòàÿ ïàðà, ñîñòîÿùàÿ èç
äâóõ òîíêèõ èçîëèðîâàííûõ ïðîâîäîâ áîëüøîé äëèíû.
Èíäóêòèâíîñòü ïðîâîäîâ â ðàñ÷åòå íà 1 ñàíòèìåòð
äëèíû ïàðû ðàâíà 1 ìêÃí, åìêîñòü ìåæäó ïðîâîäàìè
ñîñòàâëÿåò 1 ïÔ íà ñàíòèìåòð. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ
áåæèò ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà âäîëü òàêîé ïàðû?
Íàðèñóåì âèòóþ ïàðó â âèäå ýêâèâàëåíòíîé áåñêîíå÷íîé (èëè î÷åíü äëèííîé) öåïè, ñîñòîÿùåé èç îäèíàêîâûõ LC-çâåíüåâ (ñì. ðèñóíîê). Ïóñòü êàæäîå çâåíî
ñîîòâåòñòâóåò êóñî÷êó äëèíîé ∆l = 1ñì , ïîòîì ìû
ïðîâåðèì – ïðàâèëüíî ëè ìû «ðàçðåçàëè» ïðîâîäà, íå
ñëèøêîì ëè âåëèê âûáðàííûé íàìè êóñî÷åê. Òîêè
20-36.p65
29
è íàïðÿæåíèå íà âûõîäå çâåíà ñ íîìåðîì n çàïèøåòñÿ
òàê:
(
)
Un = U0 cos (ωt - nϕ) = U0 cos ω t - n LC ,
ò.å. îíî çàïàçäûâàåò íà âðåìÿ τ = n LC .
Ïî ýòîìó çàïàçäûâàíèþ ìû è îïðåäåëèì ñêîðîñòü
ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû:
v=
∆l
1 ◊ 10 -2 ì
=
= 1 ◊ 107 ì ñ .
-6
-12
τ
1 ◊ 10 ◊ 1 ◊ 10
c
Òåïåðü – ïðîâåðêà. Ñäâèã ïî ôàçå äëÿ îäíîãî çâåíà äëÿ
«óìåðåííîé» ÷àñòîòû ω = 1 ◊ 106 ðàä ñ ñîñòàâèò
ϕ = 10 -3 ðàä 1 . Åñëè «ðàçìåðû» çâåíà óìåíüøèòü
åùå – ñêîðîñòü âîëíû áóäåò òîé æå.
Ç.Ðàôàèëîâ
Ô2137. Òîíêàÿ ïëîñêîâîãíóòàÿ ðàññåèâàþùàÿ ëèíçà
ïðèæàòà ïëîñêîñòüþ ê òîðöó öèëèíäðè÷åñêîé òðóáêè.  òðóáêó âñòàâëåíà ïëîñêîâûïóêëàÿ ñîáèðàþùàÿ
ëèíçà òàê, ÷òî ãëàâíûå îïòè÷åñêèå îñè ëèíç ñîâïàäàþò ñ îñüþ òðóáêè, à ñîáèðàþùàÿ ëèíçà îáðàùåíà ê
ðàññåèâàþùåé ïëîñêîé ñòîðîíîé. Ñîáèðàþùóþ ëèíçó
ìîæíî ïåðåìåùàòü âäîëü îñè òðóáêè. Åñëè íà ïåðâóþ
(ðàññåèâàþùóþ) ëèíçó âäîëü îñè íàïðàâèòü óçêèé
ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà, òî ïðè íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè ìåæäó ëèíçàìè
èç ñèñòåìû âûéäåò
òàêæå ïàðàëëåëüíûé
ïó÷îê. Åñëè æå ïðîñòðàíñòâî ìåæäó
ëèíçàìè çàïîëíèòü
æèäêîñòüþ, òî äëÿ
29.07.09, 17:49
!
ÊÂÀÍT 2009/¹4
ïîëó÷åíèÿ íà âûõîäå ïàðàëëåëüíîãî ïó÷êà ðàññòîÿíèå
ìåæäó ëèíçàìè íåîáõîäèìî óâåëè÷èòü â 1,5 ðàçà.
Íàéäèòå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòè.
Ðàññìîòðèì õîä îäíîãî èç ïàðàêñèàëüíûõ (ò.å. ïðèîñåâûõ) ëó÷åé â äàííîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìå (ñì. ðèñóíîê).
Ïîêà ìåæäó ëèíçàìè â òðóáêå áûë âîçäóõ, ïðè ïðåëîìëåíèè ýòîãî ëó÷à íà ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè ïëîñêîâîãíóòîé ëèíçû âûïîëíÿëîñü ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå, ñïðàâåäëèâîå äëÿ ìàëûõ óãëîâ ïàäåíèÿ α (íà ðèñóíêå ýòîò
óãîë íå ïîêàçàí – îí ïðàêòè÷åñêè ðàâåí íóëþ) è
ïðåëîìëåíèÿ β :
α
1
=
β nñò ,
ãäå nñò – ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà ýòîé ëèíçû.
Ïîñëå çàïîëíåíèÿ òðóáêè æèäêîñòüþ óãîë ïðåëîìëåíèÿ èçìåíèëñÿ, òàê ÷òî òåïåðü
β
n
α
= æ , îòêóäà næ =
.
βæ
βæ nñò
Óãîë ïàäåíèÿ ëó÷à íà ïëîñêóþ ïîâåðõíîñòü ïëîñêîâû-
ïóêëîé ëèíçû ïîñëå çàïîëíåíèÿ òðóáêè æèäêîñòüþ
òàêæå óìåíüøèëñÿ îò β äî βæ . Äëÿ òîãî ÷òîáû äàííûé
ëó÷ ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ â ýòîé ëèíçå îñòàëñÿ ïàðàëëåëüíûì ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ñèñòåìû, îí äîëæåí
âíóòðè ëèíçû èäòè ïîä òåì æå óãëîì ê åå âûïóêëîé
ïîâåðõíîñòè, ÷òî è äî çàïîëíåíèÿ òðóáêè æèäêîñòüþ.
Ýòî âîçìîæíî, òîëüêî åñëè ëó÷ ïîïàë íà ëèíçó íà òîì
æå ðàññòîÿíèè îò îñè, ÷òî è äî çàïîëíåíèÿ òðóáêè
æèäêîñòüþ. Ïîñêîëüêó næ > 1 è βæ < β , äëÿ âûïîëíåíèÿ óêàçàííîãî óñëîâèÿ ïëîñêîâûïóêëóþ ëèíçó íàäî
îòîäâèãàòü îò ïëîñêîâîãíóòîé íà Læ - L , ïðè÷åì ïî
óñëîâèþ Læ L = 1,5 . Ïóñòü h – òî ðàññòîÿíèå, íà
êîòîðîå ëó÷ ñìåùàåòñÿ, ïðîõîäÿ ìåæäó ëèíçàìè, îò îñè
ñèñòåìû. Òîãäà
h
h
.
β = , à βæ =
L
L
æ
Òàêèì îáðàçîì,
L
β
næ =
= æ = 1,5 .
βæ
L
Â.Ïîãîæåâ
ÍÀÌ ÏÈØÓÒ
Íàáëþäåíèÿ иìåðà
è ýôôåêò Äîïëåðà
 1675 ãîäó äàòñêèé àñòðîíîì Îëå иìåð, ïðîâîäÿ ñåðèþ
íàáëþäåíèé íàä çàòìåíèÿìè ñïóòíèêîâ Þïèòåðà, îáíàðóæèë, ÷òî ïåðèîä îáðàùåíèÿ îäíîãî èç ñïóòíèêîâ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿåòñÿ. Àíàëèçèðóÿ ïðè÷èíû ýòîãî çàãàäî÷íîãî ÿâëåíèÿ, ó÷åíûé ïðèøåë ê âûâîäó, ÷òî îíî íåïîñðåäñòâåííî
ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ñâåò äâèæåòñÿ îò Þïèòåðà äî Çåìëè ñ
íåêîòîðîé îïðåäåëåííîé ñêîðîñòüþ, à íå ìãíîâåííî, – ôàêò
â òî âðåìÿ äàëåêî íå î÷åâèäíûé. Îí äàæå ñóìåë îïðåäåëèòü
ýòó ñêîðîñòü, èñõîäÿ èç ðåçóëüòàòîâ ñâîèõ íàáëþäåíèé.
Âû÷èñëåííàÿ èì ñêîðîñòü îêàçàëàñü ðàâíîé 215000 êì/ñ.
Íàì ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî êàæóùååñÿ èçìåíåíèå ÷àñòîòû
îáðàùåíèÿ ñïóòíèêà âîêðóã ïëàíåòû, êîòîðîå íàáëþäàë
иìåð, ÿâëÿåòñÿ ñâîåîáðàçíûì àíàëîãîì ýôôåêòà Äîïëåðà –
èçìåíåíèÿ âîñïðèíèìàåìîé ÷àñòîòû âîëíû (ñâåòîâîé èëè
àêóñòè÷åñêîé) â çàâèñèìîñòè îò ñêîðîñòè ïðèáëèæåíèÿ èëè
óäàëåíèÿ èñòî÷íèêà âîëíû îò ïðèåìíèêà. Âåäü îáà ÿâëåíèÿ
– è âðàùåíèå ñïóòíèêà âîêðóã ïëàíåòû, è ôîðìèðîâàíèå
âîëíû – ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïåðèîäè÷åñêèå ïðîöåññû. Íå
èñêëþ÷åíî, ÷òî ñðàâíåíèå ýòèõ ÿâëåíèé ìîæåò ïîìî÷ü ëó÷øå
ðàçîáðàòüñÿ â íèõ îáîèõ. Ýôôåêò Äîïëåðà ïîäðîáíî îïèñàí
âî ìíîãèõ êíèãàõ è ó÷åáíèêàõ, à íåäàâíî åìó áûëà ïîñâÿùåíà îáñòîÿòåëüíàÿ ñòàòüÿ â «Êâàíòå» (ñì. ñòàòüþ Ñ.Äâîðÿíèíîâà «Ëåãåíäà îá èñêàæåíèè ñèãíàëà» â «Êâàíòå» ¹1 çà ýòîò
ãîä). Ïîýòîìó, ÷òîáû íå ïîâòîðÿòüñÿ, ìû áóäåì ñ÷èòàòü ýòîò
ýôôåêò èçâåñòíûì ÷èòàòåëþ è ðàññêàçûâàòü î íåì íå áóäåì.
Î.иìåð íàáëþäàë äâèæåíèå îäíîãî èç ñïóòíèêîâ Þïèòåðà (Èî), êîòîðûé ïåðèîäè÷åñêè èñ÷åçàë èç ïîëÿ çðåíèÿ,
ñêðûâàÿñü çà ïëàíåòîé. Êîãäà ýòîò ñïóòíèê âûõîäèë èç òåíè,
íàáëþäàëàñü ñâîåîáðàçíàÿ âñïûøêà ñâåòà. Ïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäó âñïûøêàìè иìåð ïåðâîíà÷àëüíî ñ÷èòàë ïåðèîäîì îáðàùåíèÿ ñïóòíèêà âîêðóã ïëàíåòû. Íî ïîòîì îí
îáðàòèë âíèìàíèå íà òî, ÷òî ýòîò ïðîìåæóòîê âðåìåíè
óâåëè÷èâàåòñÿ, êîãäà Çåìëÿ è Þïèòåð óäàëÿþòñÿ äðóã îò
äðóãà, è óìåíüøàåòñÿ, êîãäà ýòè ïëàíåòû ñáëèæàþòñÿ. Òàêàÿ
20-36.p65
30
ñâÿçü ìåæäó âçàèìíûì ðàñïîëîæåíèåì Çåìëè è Þïèòåðà è
ïåðèîäîì îáðàùåíèÿ åãî ñïóòíèêà êàçàëàñü íåïîñòèæèìîé.
Íî иìåð ðàçúÿñíèë ýòî óäèâèòåëüíîå ÿâëåíèå, ïîëàãàÿ, ÷òî
ñâåò ïåðåìåùàåòñÿ íå ìãíîâåííî, à ñ êàêîé-òî îïðåäåëåííîé
ñêîðîñòüþ. Äåéñòâèòåëüíî, âî âðåìÿ ñáëèæåíèÿ ïëàíåò ñâåò
îò âòîðîé èç äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ âñïûøåê ïðîõîäèò
ìåíüøåå ðàññòîÿíèå äî âñòðå÷è ñ Çåìëåé, ÷åì îò ïåðâîé, è
äëÿ çåìíîãî íàáëþäàòåëÿ ïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäó âñïûøêàìè óìåíüøàåòñÿ. À êîãäà ïëàíåòû óäàëÿþòñÿ äðóã îò
äðóãà, ýòîò ïðîìåæóòîê âðåìåíè óâåëè÷èâàåòñÿ.  ðåçóëüòàòå ñîîòâåòñòâåííî óâåëè÷èâàåòñÿ èëè óìåíüøàåòñÿ íàáëþäàåìàÿ ÷àñòîòà âñïûøåê.
Ïîÿñíèì íàøè ðàññóæäåíèÿ ñ ïîìîùüþ ðèñóíêà. Äëÿ
ïðîñòîòû áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ïëàíåòû äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó
äðóã äðóãó èëè óäàëÿþòñÿ äðóã îò äðóãà âäîëü îäíîé ïðÿìîé. Ïóñòü â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè Ò ñïóòíèê
âûõîäèò èç òåíè Þïèòåðà, íàõîäÿùåãîñÿ íà ðàññòîÿíèè
ÇÞ1 îò Çåìëè. Íàáëþäàòåëü íà Çåìëå óâèäèò åãî â ìîìåíò
âðåìåíè T + t1 , ãäå t1 – âðåìÿ, çà êîòîðîå ñâåò ïðîõîäèò
ðàññòîÿíèå ÇÞ1 .  ìîìåíò âðåìåíè T + τ , ãäå τ – ïåðèîä
îáðàùåíèÿ ñïóòíèêà âîêðóã Þïèòåðà, ñïóòíèê âíîâü âûéäåò
èç òåíè Þïèòåðà, ïðèáëèæàþùåãîñÿ ê Çåìëå è íàõîäÿùåãîñÿ òåïåðü íà ðàññòîÿíèè ÇÞ2 îò Çåìëè. Íàáëþäàòåëü ñ
Çåìëè óâèäèò ñïóòíèê â ìîìåíò âðåìåíè T + τ + t2 , ãäå t2 –
âðåìÿ, çà êîòîðîå ñâåò ïðîõîäèò ðàññòîÿíèå ÇÞ2 . Òàê êàê
t2 < t1 , òî T + τ + t2 îòëè÷àåòñÿ îò T + t1 ìåíüøå ÷åì íà τ .
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íàáëþäàòåëÿ ñ Çåìëè âðåìÿ ìåæäó
äâóìÿ âûõîäàìè ñïóòíèêà Þïèòåðà èç òåíè áóäåò ìåíüøå τ .
À êîãäà ïëàíåòû óäàëÿþòñÿ äðóã îò äðóãà, äëÿ çåìíîãî
íàáëþäàòåëÿ âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ âûõîäàìè ñïóòíèêà Þïèòåðà èç òåíè áóäåò áîëüøå τ . Ïîëíàÿ àíàëîãèÿ ñ ýôôåêòîì
Äîïëåðà!
È.Ãîëüäôàèí
29.07.09, 17:49
ÊÌØ
Çàäà÷è
1.
Ðåøèòå ðåáóñ
ÄÅÖË = ÌÀË + ÄÀ + ÓÄÀË,
åñëè ÄÅÖË äîëæåí áûòü êàê ìîæíî ìåíüøå. (Ðàçíûìè
áóêâàìè îáîçíà÷åíû ðàçíûå öèôðû, à îäèíàêîâûìè –
îäèíàêîâûå.)
Ì.Àõìåäæàíîâà
4.
 óãëàõ øàõìàòíîé äîñêè ñòîÿò ÷åòûðå ëàäüè.
Ëàäüÿ êàæäûì ñâîèì õîäîì ïåðåìåùàåòñÿ (ïî ãîðèçîíòàëè èëè âåðòèêàëè) äî óïîðà â äðóãóþ ëàäüþ èëè
â êðàé äîñêè. Ñîáåðèòå âñå ëàäüè â ÷åòûðåõ öåíòðàëüíûõ êëåòêàõ.
À.Øàïîâàëîâ
2.
Áàðîí Ìþíõãàóçåí ãîâîðèò, ÷òî ó íåãî åñòü ìíîãîçíà÷íîå ÷èñëî-ïàëèíäðîì (îíî ÷èòàåòñÿ îäèíàêîâî
ñëåâà íàïðàâî è ñïðàâà íàëåâî). Íàïèñàâ åãî íà
áóìàæíîé ëåíòå, áàðîí ñäåëàë íåñêîëüêî ðàçðåçîâ
ìåæäó öèôðàìè è ïîëó÷èë íà êóñî÷êàõ ëåíòû ÷èñëà
1, 2, …, N (êàæäîå – ðîâíî ïî îäíîìó ðàçó). Íå õâàñòàåò
ëè áàðîí?
À.Øàïîâàëîâ
5.
Åñëè ïðÿìîóãîëüíèê ñ âûðåçàííûì â íåì îòâåðñòèåì íåïðàâèëüíîé ôîðìû ïîäâåñèòü çà âåðøèíó A,
ñòîðîíà AB îáðàçóåò ñ âåðòèêàëüþ óãîë 30°, à åñëè çà
âåðøèíó B – óãîë 60°. Êàêîé óãîë ñ âåðòèêàëüþ
îáðàçóåò ñòîðîíà AB, åñëè ïðÿìîóãîëüíèê ïîäâåñèòü
çà ñåðåäèíó ýòîé ñòîðîíû?
Å.Ñîêîëîâ
3.
Èëëþñòðàöèè Ä.Ãðèøóêîâîé
Äî ïîâûøåíèÿ öåí ÷àé ñ äâóìÿ ïðÿíèêàìè ñòîèë
1 ðóáëü. Êîãäà âñå öåíû âûðîñëè (íà îäèíàêîâîå ÷èñëî
ïðîöåíòîâ), ðóáëÿ ñòàëî õâàòàòü òîëüêî íà ÷àé ñ îäíèì
ïðÿíèêîì. Ïîòîì öåíû îïÿòü âûðîñëè, ïðè÷åì íà
ñòîëüêî æå ïðîöåíòîâ, êàê è â ïåðâûé ðàç. Õâàòàëî ëè
ïîñëå ýòîãî ðóáëÿ õîòÿ áû íà ÷àé?
È.Àêóëè÷
Ýòè çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû ïðåæäå âñåãî ó÷àùèìñÿ 6 – 8
êëàññîâ.
20-36.p65
31
29.07.09, 17:36
Ïîä äàííûì óãëîì
Âîêðóã ëþáîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü
îêðóæíîñòü (ðèñ. 1). Åå öåíòð ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì
ïðÿìîóãîëüíèêà, à äèàìåòð ðàâåí åãî äèàãîíàëè. Çàôèêñèðîâàâ îäíó
èç äèàãîíàëåé, ïðèõîäèì
ê îäíîé èç ñàìûõ ïðîñòûõ è êðàñèâûõ òåîðåì
ãåîìåòðèè: äëèíà ìåäèàíû ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííîé èç
âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà,
ðàâíà ïîëîâèíå äëèíû ãèÐèñ. 1
ïîòåíóçû (ðèñ. 2).
Äðóãèìè ñëîâàìè, äàííûé îòðåçîê âèäåí ïîä
ïðÿìûì óãëîì èç òî÷åê
îêðóæíîñòè, ïîñòðîåííîé
íà íåì, êàê íà äèàìåòðå
(ðèñ. 3).
Îòðåçîê âèäåí ïîä îñòðûì óãëîì èç òî÷åê, ëåæàùèõ âíå êðóãà, è ïîä
òóïûì óãëîì – èç òî÷åê,
ðàñïîëîæåííûõ âíóòðè
Ðèñ. 2
êðóãà.
Âîò, íàïðèìåð, èç êàêèõ òî÷åê ïëîñêîñòè îòðåçîê AC âèäåí ïîä óãëîì 30 ? Òåîðåìà î âïèñàííîì óãëå (ðèñ. 4) ïîçâîëÿåò íàéòè îòâåò –
îáúåäèíåíèå äâóõ äóã, êîòîðîå ïîõîæå íà óøè ×åáóðàøêè (ðèñ. 5).
Ïîñòàâèì òîò æå ñàìûé
âîïðîñ äëÿ òî÷åê ïðîÐèñ. 3
ñòðàíñòâà. Îòâåò ñëåäóåò
èç ïðåäûäóùåãî: äëÿ äàííûõ òî÷åê A è C óãîë
AXC ðàâåí 30 ãðàäóñîâ
â òî÷íîñòè äëÿ òî÷åê X
ïðîñòðàíñòâà, êîòîðûå ëåæàò íà ïîâåðõíîñòè S,
ïîëó÷åííîé âðàùåíèåì
«óøåé ×åáóðàøêè» âîêðóã îñè AC. Ýòî ñîîáðàæåíèå ïîçâîëÿåò ðåøàòü
âåñüìà òðóäíûå çàäà÷è,
âðîäå òàêîé: «Äàíà ïèðàìèäà ABCD, â êîòîðîé
Ðèñ. 4
20-36.p65
32
Ðèñ. 5
Ðèñ. 6
Ðèñ. 7
29.07.09, 17:37
äîëæíî èìåòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Çàïèñûâàÿ
óðàâíåíèå â âèäå
ax2 − kx + (km − n ) = 0
è âû÷èñëÿÿ äèñêðèìèíàíò
D = k2 − 4a (km − n ) ,
Ðèñ. 8
ðåáðî BD ïåðïåíäèêóëÿðíî ãðàíè ABC. Îáÿçàòåëüíî ëè óãîë ABC áîëüøå óãëà ADC?» Íà òàêîé âîïðîñ
áîëüøèíñòâî ëþäåé, íå çàäóìûâàÿñü, îòâåòÿò ïîëîæèòåëüíî, òàê êàê èç íàãëÿäíûõ ñîîáðàæåíèé êàæåòñÿ, ÷òî ïðîåêöèÿ óãëà âñåãäà èìååò ìåðó, áîëüøóþ
ìåðû èñõîäíîãî. Îêàçûâàåòñÿ, ýòî íå òàê!
Âîò èäåÿ ðåøåíèÿ. Ñðåäè òî÷åê ïëîñêîñòè, èç
êîòîðûõ îòðåçîê AÑ âèäåí ïîä óãëîì 30 ãðàäóñîâ,
íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà B, ÷òî óãîë CAB áîëüøå 120°
(ïîäóìàéòå, ïî÷åìó). Ïåðïåíäèêóëÿð, âîññòàâëåííûé èç òî÷êè B ê ïëîñêîñòè ABC, èìååò ñ ïîâåðõíîñòüþ S îáùèå òî÷êè, ïîìèìî òî÷êè B. Îáîçíà÷èâ
îäíó èç òàêèõ òî÷åê ÷åðåç D, ïîëó÷àåì ïðèìåð
ïèðàìèäû ABCD, â êîòîðîé ðåáðî BD ïåðïåíäèêóëÿðíî ãðàíè ABC, à óãëû ABC è ADC îáà ðàâíû ïî
30 ãðàäóñîâ.
Íî – âåðíåìñÿ íà ïëîñêîñòü.
Êàê íàäî äâèãàòüñÿ, ÷òîáû íåêîòîðàÿ äàííàÿ ôèãóðà – íå îáÿçàòåëüíî îòðåçîê – áûëà âèäíà ïîä äàííûì
óãëîì? Äëÿ ìíîãîóãîëüíèêà îòâåò, â ñèëó òåîðåìû î
âïèñàííîì óãëå, ñîñòîèò èç äóã îêðóæíîñòåé: íà
ðèñóíêàõ 6–8 èçîáðàæåíû îòâåòû äëÿ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà, ïðÿìîóãîëüíîãî ðàâíîáåäðåííîãî
òðåóãîëüíèêà è êâàäðàòà.
Èç êàêèõ òî÷åê âèäíà ïîä ïðÿìûì óãëîì ïàðàáîëà,
çàäàííàÿ óðàâíåíèåì y = ax 2 ? Îòâåò âåñüìà íåîæèäàííûé (ðèñ. 9): èç òî÷åê ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé!
×òîáû ýòî äîêàçàòü, ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó
P (m; n ) ïëîñêîñòè. Âñåâîçìîæíûå íåâåðòèêàëüíûå
ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ýòó òî÷êó,
çàäàþòñÿ óðàâíåíèÿìè âèäà
y = k (x − m) + n ,
ãäå k – óãëîâîé êîýôôèöèåíò. ×òîáû
òàêàÿ ïðÿìàÿ êàñàëàñü ïàðàáîëû, óðàâíåíèå
ëîì èç òî÷åê îêðóæíîñòè ðàäèóñà a2 + b2 ñ
Ðèñ. 10
öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò (ðèñ. 10). Ãåîìåòðè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð,
â óæå óïîìÿíóòîé êíèãå, à ïîêà ïîïûòàéòåñü ïðèäóìàòü àëãåáðàè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî.
À. Ñïèâàê
ax2 = k ( x − m ) + n
Ðèñ. 9
20-36.p65
ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
k2 − 4akm + 4an = 0 .
×òîáû ïàðàáîëà áûëà âèäíà èç òî÷êè P (m; n ) ïîä
ïðÿìûì óãëîì, ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå äîëæíî èìåòü
äâà ðåøåíèÿ k1 è k2 , ïðîèçâåäåíèå êîòîðûõ ðàâíî
–1. Ïîñêîëüêó â ñèëó òåîðåìû Âèåòà ïðîèçâåäåíèå
êîðíåé ðàâíî 4an, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó 4an = –1,
1
îòêóäà n = . Êàê âèäíî, êîîðäèíàòà n ôèêñèðî4a
âàíà, à m ìîæåò áûòü ëþáûì ÷èñëîì. Ýòî êàê ðàç è
îçíà÷àåò, ÷òî âñå òàêèå òî÷êè P ðàñïîëîæåíû íà
ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé, ïåðåñåêàþùåé îñü îðäèíàò â
1ˆ
Ê
òî÷êå Á 0; ˜ . Ýòà ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ äèðåêòðèË
4a ¯
ñîé ïàðàáîëû.
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ïàðàáîëà – ãåîìåòðè÷åñêîå
ìåñòî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò äèðåêòðèñû è ôèêñèðîâàííîé òî÷êè, íå ëåæàùåé íà äèðåêòðèñå (ýòà
òî÷êà íàçûâàåòñÿ ôîêóñîì ïàðàáîëû). Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ìîæíî ãåîìåòðè÷åñêè âûâåñòè, ÷òî èç òî÷åê
äèðåêòðèñû ïàðàáîëà âèäíà ïîä ïðÿìûì óãëîì, à
êðîìå òîãî, âñå îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå òî÷êè êàñàíèÿ
ñòîðîí ïðÿìîãî óãëà ñ ïàðàáîëîé, ïðîõîäÿò ÷åðåç åå
ôîêóñ (òî÷êà F íà ðèñóíêå 9). Ïîäðîáíåå ìîæíî
ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â ñòàòüå Â.Áîëòÿíñêîãî «Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ýëëèïñà, ãèïåðáîëû è ïàðàáîëû»
(«Êâàíò» ¹ 12 çà 1975 ã.) èëè â êíèãå À.Àêîïÿíà è
À.Çàñëàâñêîãî «Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà êðèâûõ
âòîðîãî ïîðÿäêà» (Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2007).
À èç êàêèõ òî÷åê ïëîñêîñòè äàííàÿ îêðóæíîñòü
âèäíà ïîä äàííûì óãëîì? Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî
îòâåòîì áóäåò êîíöåíòðè÷åñêàÿ åé îêðóæíîñòü.
Êðàñèâ îòâåò è äëÿ
ýëëèïñà. Îêàçûâàåòñÿ,
ýëëèïñ, çàäàííûé óðàâx 2 y2
+
=1,
íåíèåì
a 2 b2
âèäåí ïîä ïðÿìûì óã-
33
29.07.09, 17:37
!"
ÊÂÀÍT 2009/¹4
Êîíêóðñ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà
«Ìàòåìàòèêà 6–8»
Ìû íà÷èíàåì î÷åðåäíîé êîíêóðñ ïî ðåøåíèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ äëÿ ó÷àùèõñÿ 6–8 êëàññîâ.
Ðåøåíèÿ çàäà÷ âûñûëàéòå â òå÷åíèå ìåñÿöà ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ýòîãî íîìåðà æóðíàëà ïî àäðåñó: 119296
Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» èëè ïî ýëåêòðîííîìó àäðåñó: math@kvant.info (ñ ïîìåòêîé
«Êîíêóðñ «Ìàòåìàòèêà 6–8»). Íå çàáóäüòå óêàçàòü èìÿ, êëàññ è äîìàøíèé àäðåñ.
Êàê è ïðåæäå, ìû ïðèâåòñòâóåì ó÷àñòèå â êîíêóðñå íå òîëüêî îòäåëüíûõ øêîëüíèêîâ, íî è
ìàòåìàòè÷åñêèõ êðóæêîâ. Ðóêîâîäèòåëåé êðóæêîâ ïðîñèì óêàçàòü ýëåêòðîííûé àäðåñ èëè êîíòàêòíûé
òåëåôîí. Ïî òðàäèöèè, êðóæêè-ïîáåäèòåëè çàî÷íîãî êîíêóðñà ïðèãëàøàþòñÿ íà ôèíàëüíûé î÷íûé
òóðíèð.
1. Øàõìàòíàÿ ôèãóðà, êîòîðàÿ óìååò õîäèòü è êàê
ëàäüÿ, è êàê êîíü, íàçûâàåòñÿ êàíöëåðîì, à ôèãóðà,
ñî÷åòàþùàÿ âîçìîæíîñòè ôåðçÿ è êîíÿ, – ìàãàðàäæåé.
Ðàññòàâüòå íà øàõìàòíîé äîñêå 8 × 8 ÷åòûðå êàíöëåðà
è ÷åòûðå ìàãàðàäæè òàê, ÷òîáû íè îäíà èç ôèãóð íå
áèëà íèêàêóþ äðóãóþ.
À.Ãðèáàëêî
2. ×èñëà A è B íàçûâàþòñÿ äðóæåñòâåííûìè, åñëè
ñóììà âñåõ äåëèòåëåé ÷èñëà A, êðîìå ñàìîãî A, ðàâíà
B, à ñóììà âñåõ äåëèòåëåé ÷èñëà B, êðîìå ñàìîãî B,
ðàâíà A. (Íàïðèìåð, 220 è 284 – äðóæåñòâåííûå.)
Âçÿëè äâà äðóæåñòâåííûõ ÷èñëà A è B. Çàòåì íàøëè
ñóììó ÷èñåë, îáðàòíûõ ê äåëèòåëÿì ÷èñëà A, âû÷ëè
åäèíèöó è ïîëó÷èëè ðåçóëüòàò α. Ïðîäåëàâ òî æå ñàìîå
äëÿ ÷èñëà B, ïîëó÷èëè ðåçóëüòàò β. ×åìó ðàâíî
ïðîèçâåäåíèå αβ ?
Ã.Ãàëüïåðèí
3. Â ñòðàíå 100 ãîðîäîâ. Íåêîòîðûå ïàðû ãîðîäîâ
ñîåäèíåíû àâòîìîáèëüíîé äîðîãîé, è ìåæäó ëþáûìè
äâóìÿ ãîðîäàìè åñòü àâèàöèîííîå ñîîáùåíèå. Èçâåñòíî, ÷òî èç êàæäîãî ãîðîäà âûõîäèò íå÷åòíîå ÷èñëî
äîðîã. Ïóòåøåñòâåííèê õî÷åò ïðîåõàòü ïî êàæäîé
äîðîãå ðîâíî îäèí ðàç (â îäíîì èç äâóõ íàïðàâëåíèé).
Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî àâèàïåðåëåòîâ åìó äëÿ ýòîãî
ïðèäåòñÿ ñäåëàòü?
Ï.Êîæåâíèêîâ
4. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî a íàçîâåì óþòíûì, åñëè îäíî èç
÷èñåë a – 1 è a + 1 ïðîñòîå, à äðóãîå – ñîñòàâíîå.
Äîêàæèòå, ÷òî óþòíûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî ìíîãî.
Ä.Øâåöîâ
5.  ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD äèàãîíàëü AC ÿâëÿåòñÿ
áèññåêòðèñîé óãëà BCD, ïðè ýòîì óãîë BCD ðàâåí 120°
è óãîë BAD ðàâåí 30°. Äîêàæèòå, ÷òî ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà BCD ðàâåí äëèíå äèàãîíàëè AC.
Â.Ïðîèçâîëîâ
Îá îäíîé õîðîøî çàáûòîé
ñòàðîé çàäà÷å
Â.ÄÎÖÅÍÊÎ, Ê.ØÐÀÌÎÂ
Åõàëè ìåäâåäè
Íà âåëîñèïåäå,
À çà íèìè ðàêè
Íà õðîìîé ñîáàêå,
À çà íèìè êîò
Çàäîì íàïåðåä…
Ê.×óêîâñêèé
Ââåäåíèå
Âåñíîé 2005 ãîäà àâòîðû ýòîé ñòàòüè ïîäáèðàëè
çàäà÷è äëÿ âñòóïèòåëüíûõ ñîáåñåäîâàíèé â 9 ìàòåìàòè÷åñêèé êëàññ 57-é øêîëû ãîðîäà Ìîñêâû. Íà îäíî èç
ïîñëåäíèõ ñîáåñåäîâàíèé áûëî ðåøåíî âûáðàòü íåñêîëüêî ìàëîèçâåñòíûõ (õîòÿ áû âîñüìèêëàññíèêàì)
äîâîëüíî ñîäåðæàòåëüíûõ çàäà÷, ðåøåíèå êàæäîé èç
êîòîðûõ áûëî áû – ïî òîé èëè èíîé ïðè÷èíå –
20-36.p65
34
ñåðüåçíûì àðãóìåíòîì â ïîëüçó òîãî, ÷òî ðåøèâøèé åå
øêîëüíèê ñìîæåò ó÷èòüñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîì êëàññå.
Âîò óñëîâèå îäíîé èç íèõ:
Ðàññòîÿíèå ìåæäó ãîðîäàìè À è Á ðàâíî 30 êì. Òðè
òóðèñòà õîòÿò äîáðàòüñÿ èç ãîðîäà À â ãîðîä Á. Ó
íèõ åñòü ìîòîöèêë, íà êîòîðîì êàæäûé èç íèõ ìîæåò
åõàòü ñî ñêîðîñòüþ 60 êì/÷, è âåëîñèïåä, íà êîòîðîì
êàæäûé èç íèõ ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ
15 êì/÷. Ïåøêîì êàæäûé èç íèõ ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ 6 êì/÷. Ëþáîå èç ñðåäñòâ ïåðåäâèæåíèÿ ìîæíî îñòàâèòü íà äîðîãå, ÷òîáû êòî-òî èç
îñòàâøèõñÿ òóðèñòîâ èì âîñïîëüçîâàëñÿ.
à) Äîêàæèòå, ÷òî òóðèñòàì íå óäàñòñÿ îðãàíèçîâàòü ïóòåøåñòâèå òàê, ÷òî ïðèáûâøèé ïîñëåäíèì
çàòðàòèò íà ïóòü ìåíåå 2,5 ÷àñîâ.
29.07.09, 17:37
Ê
á) Îáúÿñíèòå, êàê òóðèñòàì íóæíî äåéñòâîâàòü,
÷òîáû ïðèáûâøèé ïîñëåäíèì çàòðàòèë ðîâíî 2,5 ÷àñà.
(Êàê îáíàðóæèëîñü âïîñëåäñòâèè, ýòà çàäà÷à áûëà
ðàíåå íà îäíîé èç Ñîðîñîâñêèõ îëèìïèàä, â êîòîðîé
àâòîðû ñòàòüè ó÷àñòâîâàëè, áóäó÷è øêîëüíèêàìè, – è,
ñóäÿ ïî âñåìó, îíà çàïîìíèëàñü èì èìåííî îòòóäà.)
Ïóíêò à) ýòîé çàäà÷è îêàçàëñÿ äîâîëüíî òðóäíûì.
(Ïîïðîáóéòå ðåøèòü åãî, íå ÷èòàÿ ñòàòüþ äàëüøå – íî
ïîìíèòå, ÷òî òðåáóåòñÿ èìåííî äîêàçàòåëüñòâî, à íå
òîëüêî «èíòóèòèâíî ÿñíîå» ðàññóæäåíèå! Çàìåòèì, ÷òî
íå î÷åâèäíî, ñêàæåì, ÷òî âñå òðàíñïîðòíûå ñðåäñòâà
äîëæíû îêàçàòüñÿ â ãîðîäå Á è ÷òî íåò ñìûñëà åçäèòü
â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè.)  ÷àñòíîñòè, ðåøåíèå, êîòîðîå àâòîðû èìåëè â âèäó â ìîìåíò ñîñòàâëåíèÿ âàðèàíòà ñîáåñåäîâàíèÿ, áûëî äîâîëüíî íåòî÷íûì (êàê è
ðåøåíèå, îïóáëèêîâàííîå â ñáîðíèêå çàäà÷ Ñîðîñîâñêîé îëèìïèàäû). Íàîáîðîò, ïóíêò á) äîïóñêàåò ìíîãî
ðàçíûõ ðåøåíèé, â òîì ÷èñëå è äîâîëüíî «ëîáîâûõ».
Ìû ïðåäëîæèëè åå íà Çàî÷íîì êîíêóðñå ïî ìàòåìàòèêå
äëÿ 6–8 êëàññîâ îñåíüþ 2005 ãîäà, è åå ðåøèëè 65
÷åëîâåê èç 307 ó÷àñòâîâàâøèõ.
Çäåñü ìû õîòèì îáñóäèòü ýòó çàäà÷ó è ïðåäëîæèòü
÷èòàòåëÿì íåñêîëüêî ñìåæíûõ èññëåäîâàòåëüñêèõ âîïðîñîâ.
Êîíñòðóêöèÿ
Çàìåòèì, âî-ïåðâûõ, ÷òî òðåáóåìóþ êîíñòðóêöèþ
äîâîëüíî ëåãêî îáíàðóæèòü ñîâåðøåííî «ëîáîâûì»
ñïîñîáîì. À èìåííî, íóæíî íàçíà÷èòü «ñõåìó äâèæåíèÿ» (ñêîëüêî ðàç è â êàêîì ïîðÿäêå ïðîèñõîäÿò
îáìåíû òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâ), ïîñëå ÷åãî ñîñòàâèòü
ñèñòåìó óðàâíåíèé è ðåøèòü åå. (Â äåéñòâèòåëüíîñòè
íóæíî åùå ïðîâåðèòü, ÷òî êàæäîå òðàíñïîðòíîå ñðåäñòâî áóäåò îêàçûâàòüñÿ â òî÷êàõ îáìåíà íå ïîçæå, ÷åì
äîëæíî ïîêèíóòü ýòè òî÷êè.)
Óïðàæíåíèå 1. Ïðîâåðüòå, ÷òî ñëåäóþùàÿ ñõåìà äâèæåíèÿ ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà:
i ïåðâûé òóðèñò åäåò x êèëîìåòðîâ íà ìîòîöèêëå, ïîòîì
èäåò y êèëîìåòðîâ ïåøêîì, à îñòàòîê ïóòè äî Á åäåò
âåëîñèïåäå;
i âòîðîé òóðèñò åäåò x + y êèëîìåòðîâ íà âåëîñèïåäå,
îñòàâëÿåò åãî ïåðâîìó è èäåò îñòàòîê ïóòè ïåøêîì;
i òðåòèé òóðèñò èäåò x êèëîìåòðîâ ïåøêîì, à îñòàòîê ïóòè
åäåò íà ìîòîöèêëå, îñòàâëåííîì ïåðâûì.
Äîâîëüíî èçÿùíóþ ñõåìó äâèæåíèÿ ïðåäëîæèë îäèí
èç ó÷àñòíèêîâ Çàî÷íîãî êîíêóðñà ïî ìàòåìàòèêå (Åâãåíèé Äæèãàëîâ, Ìîñêâà). À èìåííî, îêàçûâàåòñÿ, ìîæíî ðàçáèòü îòðåçîê ÀÁ íà 6 ÷àñòåé è íà êàæäîé èç ýòèõ
÷àñòåé íàçíà÷èòü êàæäîìó èç òóðèñòîâ îäíî èç òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâ. Ñîîòâåòñòâóþùèé ãðàôèê ïðèâåäåí
íà ðèñóíêå (êðàñíàÿ, ñèíÿÿ è ñåðàÿ ëèíèè – «ìèðîâûå
ëèíèè» òðåõ òóðèñòîâ).
Ì
!#
Ø
Îöåíêà íà âðåìÿ
Äàëüøå ìû èñïîëüçóåì ïðîñòîå, íî î÷åíü âàæíîå
ñîîáðàæåíèå.
Ðàññìîòðèì êàêóþ-íèáóäü òî÷êó, â êîòîðîé íå ïðîèñõîäèëî ðàçâîðîòîâ, ïåðåñàäîê è îñòàíîâîê.  êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ÷èñëî ïðîõîäîâ ÷åðåç ýòó òî÷êó
ïåøêîì â íàïðàâëåíèè èç À â Á íå ìåíüøå, ÷åì ðàçíîñòü
÷èñëà ëþäåé ìåæäó ýòîé òî÷êîé è Á è ÷èñëà òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâ ìåæäó ýòîé òî÷êîé è Á. (Íå «ðàâíî», à
èìåííî «íå ìåíüøå», òàê êàê êòî-òî ìîã óéòè îáðàòíî.)
Ýòî ëåãêî ïðîâåðèòü, ïîñìîòðåâ, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ
òå÷åíèåì âðåìåíè ñ äàííûìè ÷èñëàìè. Åñëè ÷åëîâåê
ïåðåñåêàåò ýòó òî÷êó ïåøêîì â ñòîðîíó Á, òî ÷èñëî
ïðîõîäîâ óâåëè÷èâàåòñÿ, è ðàçíîñòü òîæå. Åñëè ïðîåçæàåò, òî è ÷èñëî ïðîõîäîâ, è ðàçíîñòü ñîõðàíÿþòñÿ.
Òàê ÷òî åñëè áû íå áûëî èäåè âîçâðàùàòüñÿ, òî ÷èñëî
ïðîõîäîâ è ðàçíîñòü âñåãäà ìåíÿëèñü áû îäèíàêîâî. Íî
åñëè èäòè èëè åõàòü íàçàä, òî ÷èñëî ïðîõîäîâ íåèçìåííî, à ðàçíîñòü ìîæåò óìåíüøèòüñÿ (ïðè âîçâðàùåíèè
ïåøêîì) èëè îñòàòüñÿ ïðåæíåé.
Ïðîâåðèì, ÷òî ïóòåøåñòâèå íå ìîãëî äëèòüñÿ ìåíåå
2,5 ÷àñîâ. Ïóñòü íà âñå ïóòåøåñòâèå áûëî çàòðà÷åíî
âðåìÿ t, ïðè÷åì çà âðåìÿ ïóòåøåñòâèÿ ñàìîé ïðàâîé
òî÷êîé, â êîòîðîé ïîáûâàë âåëîñèïåä, áûëà òî÷êà B íà
îòðåçêå ÀÁ, à ñàìîé ïðàâîé òî÷êîé, â êîòîðîé ïîáûâàë
ìîòîöèêë, – òî÷êà Ì íà îòðåçêå ÀÁ (ìû íå ïðåäïîëàãàåì çàðàíåå, ÷òî âñå òðàíñïîðòíûå ñðåäñòâà â ðåçóëüòàòå îêàçàëèñü â Á, ðàâíî êàê íå ïðåäïîëàãàåì è òîãî,
÷òî âî âðåìÿ ïóòåøåñòâèÿ íèêòî íå åõàë è íå øåë
íàçàä). Òîãäà âåëîñèïåä ïðîåõàë íå ìåíüøåå ðàññòîÿíèå, ÷åì ÀÂ, à ìîòîöèêë – íå ìåíüøåå, ÷åì ÀÌ.
Äîêàæåì, ÷òî ïåøêîì âñåìè ëþäüìè â ñóììå áûëî
ïðîéäåíî ðàññòîÿíèå, íå ìåíüøåå ñóììû îòðåçêîâ AÁ,
ÂÁ è ÌÁ. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè òî÷êà  ëåæèò
ìåæäó À è Ì. Òîãäà íà îòðåçêå ÌÁ íè îäíî òðàíñïîðòíîå ñðåäñòâî íå ìîãëî áûòü èñïîëüçîâàíî, ïîýòîìó îí
ïðîéäåí êàæäûì ÷åëîâåêîì (õîòÿ áû) îäèí ðàç. Íà
îòðåçêå ÂÌ â ðàñïîðÿæåíèè òóðèñòîâ åñòü òîëüêî
ìîòîöèêë. Ïîýòîìó êàæäàÿ «îáû÷íàÿ» òî÷êà ýòîãî
îòðåçêà (â êîòîðîé íå ïðîèñõîäèò ðàçâîðîòîâ, ïåðåñàäîê è îñòàíîâîê) ïðîéäåíà ïåøêîì êàê ìèíèìóì äâà
ðàçà (÷åðåç áîëüøîå âðåìÿ ìåæäó Ì è Á íàõîäÿòñÿ òðè
÷åëîâåêà è îäíî òðàíñïîðòíîå ñðåäñòâî) – âîçìîæíî,
÷òî îäíèì è òåì æå ÷åëîâåêîì, íî ýòî íåâàæíî.
Àíàëîãè÷íî, êàæäàÿ îáû÷íàÿ òî÷êà îòðåçêà À õîòÿ áû
îäèí ðàç ïðîéäåíà ïåøêîì (÷åðåç áîëüøîå âðåìÿ ìåæäó
 è Á òðè ÷åëîâåêà è äâà òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâà).
Ñóììèðóÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî ïåøêîì ïðîéäåíî íå ìåíüøå,
÷åì À + 2ÂÌ + 3ÌÁ = ÀÁ + ÂÁ + ÌÁ. Îòñþäà
AB AM ÀÁ + ÂÁ + ÌÁ
3t ≥
+
+
=
15
60
6
 ÀÂ ÂÁ   ÀÌ ÌÁ  ÀÁ
=
+
+
≥
+
+
6   60
6 
6
 15
≥  ÀÂ + ÂÁ  +  ÀÌ + ÌÁ  + ÀÁ =
15   60
60 
6
 15
1 1
1 
= ÀÁ  +
+
 = 7,5 ,
 6 15 60 
è t ≥ 2,5 , ÷òî è òðåáîâàëîñü.
20-36.p65
35
29.07.09, 17:37
!$
ÊÂÀÍT 2009/¹4
Çàìåòèì, ÷òî èç íàøåãî ðåøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî äëÿ
ëþáîãî ñïîñîáà, ïðè êîòîðîì îöåíêà â 2,5 ÷àñà äîñòèãàåòñÿ, âñå òðàíñïîðòíûå ñðåäñòâà â ðåçóëüòàòå îêàçàëèñü â ãîðîäå Á, è íèêòî èç òóðèñòîâ çà âðåìÿ ïóòåøåñòâèÿ íå øåë è íå åõàë íàçàä. Äåéñòâèòåëüíî, íóæíî,
÷òîáû
i ïóòü, ïðîéäåííûé âåëîñèïåäîì, áûë ðàâåí À – ò.å.
âåëîñèïåä íå åõàë íàçàä (è àíàëîãè÷íî äëÿ ìîòîöèêëà);
i ñóììàðíî ïåøêîì ïðîéäåíî íå ìåíüøå ÀÁ + ÂÁ +
+ ÌÁ – ò.å. íèêòî íå øåë íàçàä;
i ÂÁ = ÌÁ = 0 (ïîñêîëüêó, ñêàæåì, ìû îöåíèâàëè
ÂÁ
ÂÁ
ñíèçó êàê
) – ò.å.  = Á è Ì = Á.
6
15
Ðàçëè÷íûå îáîáùåíèÿ çàäà÷è
Ñëó÷àé òðåõ ïðîèçâîëüíûõ ñêîðîñòåé (îöåíêà âðåìåíè è åå äîñòèæèìîñòü). Ñàìîå ïåðâîå îáîáùåíèå,
êîòîðîå ïðèõîäèò â ãîëîâó, ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû
ðàññìîòðåòü ñëó÷àé òðåõ ïðîèçâîëüíûõ ñêîðîñòåé a, b
è c ñîîòâåòñòâåííî ïåøåõîäà, âåëîñèïåäà è ìîòîöèêëà;
ñîõðàíÿÿ âèäèìîñòü çäðàâîãî ñìûñëà, ìû ñ÷èòàåì, ÷òî
a < b ≤ c.
Óïðàæíåíèå 2. Äîêàæèòå, ÷òî òóðèñòàì íå óäàñòñÿ îðãàíèçîâàòü ïóòåøåñòâèå òàê, ÷òî ïðèáûâøèé ïîñëåäíèì çàòðàòèò ïî âðåìåíè ìåíüøå
ÀÁ Ê 1 1 1 ˆ
τ=
Á + + ˜.
3 Ë a b c¯
Âîçíèêàåò âîïðîñ, âñåãäà ëè ïîëó÷åííàÿ îöåíêà
äîñòèãàåòñÿ, – ò.å. äëÿ ëþáûõ ëè ñêîðîñòåé ìîæíî
ïîäîáðàòü ñõåìó äâèæåíèÿ, ïðè êîòîðîé âðåìÿ ïóòåøåñòâèÿ òàêîâî. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îòâåò çäåñü «íåò».
Ïîñêîëüêó, êàê ìû âèäåëè âûøå, âåëîñèïåä â ðåçóëüòàòå îêàçàëñÿ â ãîðîäå Á 1, òî îí (à çíà÷èò, è âñÿ ãðóïïà
â öåëîì) çàòðàòèë íà ïóòåøåñòâèå âðåìÿ, íå ìåíüøåå
ÀÁ
, êîòîðîå äîëæíî áûòü íå áîëüøå τ , îòêóäà
b
1 1  1 1 1
≤  + + .
b 3a b c
1 Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî çäåñü ñóùåñòâåííî ñòðîãîå íåðàâåíñòâî a < b.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî äëÿ òàêîãî
íåðàâåíñòâà íà ñêîðîñòè ñõåìà ïóòåøåñòâèÿ ñóùåñòâóåò (íàïðèìåð, ãîäèòñÿ ñõåìà Å.Äæèãàëîâà, ïðèâåäåííàÿ âûøå). Ïîäóìàéòå, ÷åìó ðàâíî ìèíèìàëüíîå âðåìÿ
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.
Ñëó÷àé n ïðîèçâîëüíûõ ñêîðîñòåé. Ïóñòü òåïåðü
åñòü n + 1 òóðèñòîâ è n òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâ, – ò.å.
äàíû ÷èñëà v0 < v1 ≤ v2 ≤ … ≤ vn , êàæäûé òóðèñò ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ïåøêîì ñî ñêîðîñòüþ v0 è ò.ä.
Óïðàæíåíèå 3. Ïîëó÷èòå àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îöåíêó
ñíèçó
τ=
ÀÁ Ê 1
1ˆ
+…+ ˜
Á
n + 1 Ë v1
vn ¯
íà ìèíèìàëüíîå âðåìÿ ïóòåøåñòâèÿ.
Óïðàæíåíèå 4. Ïðîâåðüòå, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòî âðåìÿ
ìîãëî áûòü ðåàëèçîâàíî, íåîáõîäèìî, ÷òîáû
1
1 Ê1
1
1ˆ
£
+
+…+ ˜
v1 n + 1 ÁË v0 v1
vn ¯
– ò.å. âòîðàÿ ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòü áûëà íå ìåíüøå ñðåäíåãî
ãàðìîíè÷åñêîãî âñåõ ñêîðîñòåé (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ÷òî
âòîðàÿ ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòü íå ìåíüøå ñðåäíåãî ãàðìîíè÷åñêîãî âñåõ îñòàëüíûõ – ïðîâåðüòå!).
ßâëÿåòñÿ ëè ýòî óñëîâèå òàêæå è äîñòàòî÷íûì? Ìû
íå çíàåì îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ, õîòÿ ñêîðåå âñåãî ýòî òàê
è êîíñòðóêöèÿ íå î÷åíü ñëîæíà. Èíòåðåñíî áûëî áû
ïîñòðîèòü ïðèìåð, àíàëîãè÷íûé ïðèìåðó Å.Äæèãàëîâà â ñëåäóþùåì òî÷íîì ñìûñëå. Ðàçîáüåì îòðåçîê ÀÁ
íà n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ n ðàâíûõ ÷àñòåé. Óïîðÿäî÷èì íåêîòîðûì ñïîñîáîì âñå ïåðåñòàíîâêè òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâ
(âêëþ÷àÿ íîãè) – òàêèõ ïåðåñòàíîâîê ðîâíî n! – è
íàçíà÷èì íà k-ì îòðåçêå òóðèñòàì òðàíñïîðòíûå ñðåäñòâà â òî÷íîñòè â ñîîòâåòñòâèè ñ k-é ïåðåñòàíîâêîé
(íàçíà÷èì ïåðâîìó òóðèñòó òðàíñïîðòíîå ñðåäñòâî,
ñòîÿùåå ïîñëå ïåðåñòàíîâêè íà ïåðâîì ìåñòå, âòîðîìó
– ñòîÿùåå íà âòîðîì ìåñòå, è ò.ä.).
Çàäà÷à*. Âåðíî ëè, ÷òî ïîëó÷åííàÿ íèæíÿÿ îöåíêà
äîñòèãàåòñÿ? Åñëè äà, âåðíî ëè, ÷òî îíà äîñòèãàåòñÿ ñ
ïîìîùüþ òàêîé ñõåìû? (Èíûìè ñëîâàìè, ìîæíî ëè
òàê óïîðÿäî÷èòü ïåðåñòàíîâêè, ÷òî ýòà ñõåìà ïîçâîëÿåò
äîñòè÷ü íèæíåé îöåíêè âðåìåíè?)
Ïîáåäèòåëè êîíêóðñà èìåíè À.Ï.Ñàâèíà «Ìàòåìàòèêà 6-8»
2008/09 ó÷åáíîãî ãîäà
Ëó÷øèõ ðåçóëüòàòîâ â êîíêóðñå äîáèëèñü
øêîëüíèê
Äýíèýë Ëèíã, Áåýð-Øåâà (Èçðàèëü), 8 êë.
è êðóæîê
ëèöåÿ 14, Òàìáîâ, ðóêîâîäèòåëü À.Â.Áóðìèñòðîâà.
Æþðè êîíêóðñà îòìå÷àåò òàêæå õîðîøèå ðàáîòû
øêîëüíèêà
Ñèäðèñòîãî Äàíèëà, Ìàãíèòîãîðñê, øêîëà 5, 8 êë.
è ñëåäóþùèõ êðóæêîâ:
Öåíòðà äîïîëíèòåëüíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâà-
20-36.p65
36
íèÿ, Êóðãàí, ðóêîâîäèòåëè Î.È.Þæàêîâ, Å.Ã.Ïóøêàðåâà,
ëèöåÿ 3, ×åáîêñàðû, ðóêîâîäèòåëè Ñ.À.Èâàíîâ, À.Â.Ìîíîâ,
«Ýðóäèò» ïðè ÔÌØ 32, Àñòðàõàíü, ðóêîâîäèòåëü
Ò.Ì.Ñåðãååâà,
«Ýâðèêà», Õàðüêîâ, ðóêîâîäèòåëè Å.Ë.Àðèíêèíà,
À.Ë.Áåðíøòåéí.
Ïîáåäèòåëè êîíêóðñà íàãðàæäàþòñÿ DVD-äèñêàìè – ýëåêòðîííûì àðõèâîì æóðíàëà «Êâàíò» ñ
1970 ïî 2008 ãîä.
29.07.09, 17:37
ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»
Äâèæåíèÿ
ïëîñêîñòè è
òåîðåìà Øàëÿ
Â.ÁÓÃÀÅÍÊÎ
Ï
ÎÍßÒÈÅ ÄÂÈÆÅÍÈß ßÂËßÅÒÑß ÎÄÍÈÌ ÈÇ ÔÓÍäàìåíòàëüíûõ ïîíÿòèé ãåîìåòðèè. Îäíàêî â øêîëüíîé
ïðîãðàììå ýòó òåìó, ïî ñóùåñòâó, îáõîäÿò ñòîðîíîé, îãðàíè÷èâàÿñü ëèøü èçó÷åíèåì ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ. Òàê, â êóðñå
ïëàíèìåòðèè ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ, ïîâîðîò (ñ ÷àñòíûì ñëó÷àåì – öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé)
è îñåâàÿ ñèììåòðèÿ. Î÷åíü åñòåñòâåííûé è âàæíûé âîïðîñ
«À êàêèå âîîáùå áûâàþò äâèæåíèÿ ïëîñêîñòè?» â øêîëüíîì
ó÷åáíèêå, êàê ïðàâèëî, íå ïîäíèìàåòñÿ. À ìåæäó òåì, îòâåò
íà ýòîò âîïðîñ îêàçûâàåòñÿ íåîæèäàííî ïðîñòûì, è äàåò åãî
òåîðåìà Øàëÿ. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé öåëüþ íàñòîÿùåé ñòàòüè.
Âàæíîñòü òåîðåìû Øàëÿ åùå è â òîì, ÷òî îíà äàåò ìîùíûé
èíñòðóìåíò äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷. Â ïîäòâåðæäåíèå ýòèõ ñëîâ
ïðèâåäåì òðè çàäà÷è ñ ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îëèìïèàä. Ñîâåòóåì ïîïûòàòüñÿ ðåøèòü èõ ñàìîñòîÿòåëüíî. Ýòî
âîçìîæíî ñäåëàòü, îïèðàÿñü ëèøü íà ñâåäåíèÿ, ïî÷åðïíóòûå
èç øêîëüíîãî ó÷åáíèêà ïëàíèìåòðèè, îäíàêî ïîëó÷åííûå
ðåøåíèÿ âñåõ òðåõ çàäà÷ áóäóò äîñòàòî÷íî íåïðîñòûìè. Åñëè
âàì ýòî óäàñòñÿ, çíà÷èò, âû îáëàäàåòå ìàñòåðñòâîì ðåøåíèÿ
îëèìïèàäíûõ çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè. Åñëè íå ïîëó÷èòñÿ – íå
îò÷àèâàéòåñü. Âåðíèòåñü ê ýòèì çàäà÷àì, êîãäà äî÷èòàåòå
ñòàòüþ äî ïîñëåäíåãî ðàçäåëà. Âîîðóæåííûå çíàíèåì òåîðåìû Øàëÿ, âû íàâåðíÿêà ñïðàâèòåñü ñ íèìè. Â êîíöå ñòàòüè
ïðèâåäåíû ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷.
Çàäà÷à 1 (XIX Òóðíèð ãîðîäîâ, âåñåííèé òóð, 1998).
Âíóòðåííÿÿ òî÷êà M âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD
òàêîâà, ÷òî òðåóãîëüíèêè AMB è CMD – ðàâíîáåäðåííûå,
è ó êàæäîãî óãîë ïðè âåðøèíå M ðàâåí 120°. Äîêàæèòå, ÷òî
íàéäåòñÿ òî÷êà N òàêàÿ, ÷òî òðåóãîëüíèêè BNC è DNA
– ðàâíîñòîðîííèå.
Çàäà÷à 2 (XXIII Òóðíèð ãîðîäîâ, âåñåííèé òóð, 2002). Íà
ïëîñêîñòè íàðèñîâàíû äâà ðàâíûõ òðåóãîëüíèêà A1B1C1 è
A2 B2C2 òàê, ÷òî îáõîä âåðøèí îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîèñõîäèò ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, à îáõîä ñîîòâåòñòâóþùèõ èì
âåðøèí äðóãîãî òðåóãîëüíèêà ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé
ñòðåëêè. Äîêàæèòå, ÷òî ñåðåäèíû îòðåçêîâ A1 A2 , B1B2 è
C1C2 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé.
Çàäà÷à 3 (Óêðàèíñêàÿ ðåñïóáëèêàíñêàÿ îëèìïèàäà, 1977).
Äàí òðåóãîëüíèê ABC. Ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà M ïëîñêîñòè
îòîáðàæàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî îòíîñèòåëüíî ïðÿìûõ AB,
AC è BC. Ïðè ýòîì îíà ïåðåõîäèò â òî÷êó T ( M ) . Íàéäèòå
ìíîæåñòâî òàêèõ òî÷åê M, ÷òîáû ðàññòîÿíèå ìåæäó
òî÷êàìè M è T ( M ) áûëî ìèíèìàëüíûì.
Íà âñÿêèé ñëó÷àé íàïîìíèì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèåì ïëîñêîñòè (âçàèìíî îäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì ïëîñêîñòè íà ñåáÿ)
íàçûâàåòñÿ ëþáîå ïðàâèëî, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé
òî÷êå ïëîñêîñòè òî÷êó ýòîé æå ïëîñêîñòè (åå îáðàç) òàê, ÷òî
ëþáàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì îäíîé è òîëüêî
îäíîé òî÷êè (åå ïðîîáðàçà). Òåì ñàìûì, ÷òîáû âûÿñíèòü,
ÿâëÿåòñÿ ëè ïðåîáðàçîâàíèå ïëîñêîñòè äâèæåíèåì, íóæíî
ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ïàðû òî÷åê ðàññòîÿíèå ìåæäó
íèìè ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäó èõ îáðàçàìè. Èñïîëüçóÿ
ôèçè÷åñêóþ òåðìèíîëîãèþ, áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïðè äâèæåíèè êàæäàÿ òî÷êà ïåðåõîäèò â ñâîé îáðàç.
Çàìåòèì, ÷òî ïîíÿòèå äâèæåíèÿ â ãåîìåòðèè íå ñîâïàäàåò
ñ òåì, ÷òî îáû÷íî íàçûâàþò äâèæåíèåì ôèçèêè. Äëÿ çàäàíèÿ äâèæåíèÿ â ôèçèêå ñóùåñòâåííà òðàåêòîðèÿ êàæäîé
òî÷êè, à â ãåîìåòðèè âàæíû ëèøü åå íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå
ïîëîæåíèÿ.
Íà÷èíàåì êëàññèôèöèðîâàòü äâèæåíèÿ
Åñòü ïðîñòîé ñïîñîá ïîïîëíÿòü êîëëåêöèþ äâèæåíèé.
Åñëè âçÿòü íåñêîëüêî äâèæåíèé è îñóùåñòâèòü èõ ïîñëåäîâàòåëüíî îäíî çà äðóãèì, òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì åùå îäíî
äâèæåíèå, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèåé èñõîäíûõ äâèæåíèé. Òàêèì îáðàçîì, íà ïåðâûé âçãëÿä ìîæåò ñîçäàòüñÿ
âïå÷àòëåíèå, ÷òî ðàçíîîáðàçèå äâèæåíèé ïëîñêîñòè íåîáúÿòíî. Âåäü èìåÿ çàïàñ ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ, ïîâîðîòîâ è
îñåâûõ ñèììåòðèé, ìîæíî ñòðîèòü ðàçëè÷íûå èõ êîìïîçèöèè ëþáîé äëèíû! À êðîìå ýòîãî, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî
ñóùåñòâóþò äâèæåíèÿ, íå ïðåäñòàâèìûå â âèäå êîìïîçèöèé
äâèæåíèé, èçâåñòíûõ èç øêîëüíîé ïðîãðàììû. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòî ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî. Äà è âîîáùå, óïîìÿíóòîå
âïå÷àòëåíèå îáìàí÷èâî, ïîñêîëüêó ÷àñòî ðàçëè÷íûå êîìïîçèöèè çàäàþò îäíî è òî æå äâèæåíèå. Ýòî ÿâëåíèå ñóùåñòâåííî ñóæàåò ðàçíîîáðàçèå âñåâîçìîæíûõ äâèæåíèé. Íàøåé
áëèæàéøåé öåëüþ áóäåò äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå äâèæåíèå
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå êîìïîçèöèè óæå çíàêîìûõ
íàì äâèæåíèé, ïðè÷åì äîñòàòî÷íî êîðîòêîé.
Ðàññìîòðèì íà ïëîñêîñòè äâà òðåóãîëüíèêà ABC è A1B1C1 .
Çàäàäèìñÿ âîïðîñîì: ñóùåñòâóåò ëè äâèæåíèå, ïåðåâîäÿùåå
âåðøèíû ïåðâîãî òðåóãîëüíèêà â ñîîòâåòñòâóþùèå âåðøèíû
âòîðîãî? Î÷åâèäíûì îáðàçîì, èç îïðåäåëåíèÿ äâèæåíèÿ
ñëåäóåò, ÷òî íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ òàêîãî
äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêîâ: AB = A1B1 , BC = B1C1 è AC = A1C1 . ßâëÿþòñÿ
ëè ýòè óñëîâèÿ äîñòàòî÷íûìè? Ïîïûòàåìñÿ íàéòè äâèæåíèå,
ïåðåâîäÿùåå òðîéêó âåðøèí îäíîãî òðåóãîëüíèêà â ñîîòâåòñòâóþùóþ òðîéêó âåðøèí âòîðîãî ðàâíîãî åìó òðåóãîëüíèêà.
Áóäåì äåëàòü ýòî ïîñëåäîâàòåëüíî (ðèñ.1), ñîâìåùàÿ òî÷êè ïî î÷åðåäè. Ñíà÷àëà äîáüåìñÿ òîãî, ÷òîáû âåðøèíà A
ïåðåøëà â A1 . Ýòî ñäåëàòü
ïðîñòî, ñ ïîìîùüþ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà íà âåêòîð AA1 . Äàëåå, èñïîëüçóÿ ïîâîðîò âîêðóã
×òî òàêîå äâèæåíèå?
Îïðåäåëåíèå. Äâèæåíèåì ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå ïëîñêîñòè, ñîõðàíÿþùåå ðàññòîÿíèÿ.
37-48.p65
37
Ðèñ. 1
29.07.09, 18:01
!&
ÊÂÀÍT 2009/¹4
òî÷êè A1 , ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû è òî÷êà B ïåðåøëà â B1 .
Èòàê, òî÷êè A è B ó íàñ óæå ïîïàëè íà ñâîå ìåñòî. Ãäå ìîæåò
ïðè ýòîì îêàçàòüñÿ òî÷êà C? Îáðàç òî÷êè C äîëæåí íàõîäèòüñÿ íà çàäàííûõ ðàññòîÿíèÿõ (ðàâíûõ äëèíàì îòðåçêîâ
AC è BC ñîîòâåòñòâåííî) îò òî÷åê A1 è B1 . Òàêèõ òî÷åê âñåãî
äâå è ðàñïîëîæåíû îíè ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé
A1B1 . Îäíà èç íèõ îáÿçàíà áûòü òî÷êîé C1 . Åñëè îáðàç òî÷êè
C ñîâïàë ñ C1 , òî èñêîìîå äâèæåíèå íàéäåíî. Â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå (èìåííî ýòîò ñëó÷àé ïîëó÷èëñÿ â ïðèìåðå íà ðèñóíêå
1) íóæíî ñäåëàòü åùå îäèí øà㠖 îñåâóþ ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî A1B1 . Èòàê, èñêîìîå äâèæåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå êîìïîçèöèè ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà, ïîâîðîòà è, áûòü
ìîæåò, ñèììåòðèè.
Ïóñòü òåïåðü ìû óæå èìååì íåêîòîðîå äâèæåíèå, ïåðåâîäÿùåå ïåðâóþ òðîéêó òî÷åê âî âòîðóþ. Ìîæíî ëè ïî ýòèì
äàííûì íàéòè îáðàçû îñòàëüíûõ òî÷åê ïëîñêîñòè? Èíûìè
ñëîâàìè, åäèíñòâåííî ëè äâèæåíèå, çàäàâàåìîå îáðàçàìè
òðåõ òî÷åê? Ïîëîæèòåëüíûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ïî÷òè
î÷åâèäåí. Íàãëÿäíî ýòî ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàê, êàê áóäòî
ìû òðåóãîëüíèê, íàðèñîâàííûé íà ëèñòå áóìàãè, íàêëàäûâàåì íà ðàâíûé åìó òðåóãîëüíèê, íàðèñîâàííûé íà äðóãîì
ëèñòå áóìàãè. Î÷åâèäíî, ÷òî äîñòàòî÷íî ïðîñëåäèòü ëèøü
çà òåì, ÷òîáû âåðøèíû ïåðåøëè â âåðøèíû – òîãäà êàæäàÿ òî÷êà âåðõíåãî ëèñòà áóìàãè íàëîæèòñÿ íà îäíîçíà÷íî
îïðåäåëåííóþ òî÷êó íèæíåãî, è íèêàêîé ñâîáîäû óæå íå
áóäåò. Íåñìîòðÿ íà óáåäèòåëüíîñòü ýòîãî íàãëÿäíîãî ðàññóæäåíèÿ, òåì íå ìåíåå, ïðîâåäåì àêêóðàòíîå äîêàçàòåëüñòâî.
 çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè íàì ïðèäåòñÿ ïîâòîðèòü ðàññóæäåíèÿ, ïðèâîäèìûå ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñóùåñòâîâàíèÿ â íà÷àëå äàííîãî ðàçäåëà. Ñíà÷àëà âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî òî÷êè A
è B ïåðåøëè â A1 è B1 ñîîòâåòñòâåííî. Ãäå ìîæåò îêàçàòüñÿ
îáðàç òî÷êè C? Îí äîëæåí îòñòîÿòü îò A1 è B1 íà ðàññòîÿíèÿ
AC è BC ñîîòâåòñòâåííî, à çíà÷èò, äîëæåí íàõîäèòñÿ íà
ïåðåñå÷åíèè äâóõ ñîîòâåòñòâóþùèõ îêðóæíîñòåé. Äâå îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ íå áîëåå ÷åì â äâóõ òî÷êàõ (à â
äàííîì ñëó÷àå – ðîâíî â äâóõ òî÷êàõ – ïîäóìàéòå, ïî÷åìó?).
Òàêèì îáðàçîì, ó íàñ åñòü äâå òî÷êè, ïðåòåíäóþùèå íà ðîëü
îáðàçà òî÷êè C. Ïîñëå òîãî, êàê ìû âûáåðåì îäèí èç ýòèõ
äâóõ âàðèàíòîâ, îáðàç ëþáîé äðóãîé òî÷êè áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ îäíîçíà÷íî, ïîñêîëüêó òî÷êà íà ïëîñêîñòè îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè ðàññòîÿíèÿìè äî òðåõ çàäàííûõ òî÷åê,
íå ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé. Äåéñòâèòåëüíî, òðè îêðóæíîñòè, öåíòðû êîòîðûõ íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, ïåðåñåêàþòñÿ íå áîëåå ÷åì â îäíîé òî÷êå (äîêàæèòå ýòî).
Èòàê, åäèíñòâåííîñòü äâèæåíèÿ, çàäàííîãî îáðàçàìè òðåõ
íå ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé òî÷åê, äîêàçàíà. Ðàíåå ìû
íàøëè òàêîå äâèæåíèå ÿâíî. Îáúåäèíÿÿ äîêàçàííûå ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü, ïîëó÷àåì ôàêò, âïîëíå çàñëóæèâàþùèé çâàíèÿ òåîðåìû.
Òåîðåìà 1. Ëþáîå äâèæåíèå ïëîñêîñòè ïðåäñòàâèìî â
âèäå êîìïîçèöèè ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà, ïîâîðîòà è, áûòü
ìîæåò, ñèììåòðèè.
Ýëåìåíòàðíûå äâèæåíèÿ
 ñèëó âàæíîñòè òðåõ âèäîâ äâèæåíèé, óïîìÿíóòûõ â
òåîðåìå 1, áóäåì íàçûâàòü èõ ýëåìåíòàðíûìè. Ñ ïîìîùüþ
îïåðàöèè êîìïîçèöèè èç ýëåìåíòàðíûõ äâèæåíèé ìû ìîæåì
ïîëó÷àòü ëþáûå.
Êàæäîå ýëåìåíòàðíîå äâèæåíèå (êðîìå òîæäåñòâåííîãî
äâèæåíèÿ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî ïàðàëëåëüíûì
ïåðåíîñîì íà íóëåâîé âåêòîð è ïîâîðîòîì íà íóëåâîé óãîë ñ
ëþáûì öåíòðîì) ïðèíàäëåæèò òîëüêî îäíîìó èç òðåõ òèïîâ.
37-48.p65
38
Âûÿñíèì, ÷åì çàäàåòñÿ êàæäûé èç òðåõ òèïîâ ýëåìåíòàðíûõ
äâèæåíèé.
Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ çàäàåòñÿ ñâîèì âåêòîðîì. Ðàçíûì
âåêòîðàì ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå ïàðàëëåëüíûå ïåðåíîñû.
Òàêèì îáðàçîì, ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìíîæåñòâîì ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ è ìíîæåñòâîì âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî
îäíîçíà÷íûì.
Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ çàäàåòñÿ ñâîåé îñüþ. Ìíîæåñòâî îñåâûõ
ñèììåòðèé íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè
ñ ìíîæåñòâîì ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè.
Ïîâîðîò çàäàåòñÿ ñâîèì öåíòðîì, âåëè÷èíîé óãëà ïîâîðîòà
è íàïðàâëåíèåì. Ìû èñêëþ÷èì èç ðàññìîòðåíèÿ íàïðàâëåíèå ïîâîðîòà, âìåñòî ýòîãî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óãîë ïîâîðîòà
ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíûì, òàê è îòðèöàòåëüíûì.
Ïîëîæèòåëüíûå óãëû îçíà÷àþò ïîâîðîò ïðîòèâ ÷àñîâîé
ñòðåëêè, à îòðèöàòåëüíûå – ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Ïðè ýòîì
ïîâîðîòû îòíîñèòåëüíî îäíîãî è òîãî æå öåíòðà íà óãëû,
ðàçëè÷àþùèåñÿ íà âåëè÷èíó, êðàòíóþ 360°, ñîâïàäàþò ìåæäó ñîáîé. Íàïðèìåð, ïîâîðîòû íà –50° è íà 310° – ýòî îäíî
è òî æå. Òàêèì îáðàçîì, ïîâîðîò çàäàåòñÿ ïàðîé (öåíòð
ïîâîðîòà, âåëè÷èíà ïîâîðîòà). Ñ ó÷åòîì ñäåëàííîé îãîâîðêè
î âîçìîæíîñòè äîáàâëåíèÿ ê âåëè÷èíå ïîâîðîòà êðàòíûõ
360° è çà èñêëþ÷åíèåì óïîìÿíóòîãî âûøå ñëó÷àÿ òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàçíûì ïàðàì ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå äâèæåíèÿ.
Êîìïîçèöèè äâèæåíèé
 îòëè÷èå îò ýëåìåíòàðíûõ äâèæåíèé ñàìèõ ïî ñåáå,
êîìïîçèöèÿ äâóõ ýëåìåíòàðíûõ äâèæåíèé èíîãäà ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíà â áîëåå ïðîñòîì âèäå è ÷àñòî ñâîäèòñÿ ê
îäíîìó ýëåìåíòàðíîìó äâèæåíèþ. Ïðèâåäåì íåñêîëüêî òàêèõ ñëó÷àåâ, íà÷èíàÿ îò ñîâñåì î÷åâèäíûõ è ïåðåõîäÿ ïîòîì
ê áîëåå ñëîæíûì, â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëåìì. Â
ñëîæíûõ ñëó÷àÿõ ìû ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâà.  ïðîñòûõ
ñëó÷àÿõ îãðàíè÷èìñÿ íàáðîñêàìè äîêàçàòåëüñòâ èëè äàæå
òîëüêî ôîðìóëèðîâêàìè.
Ëåììà 1. Êîìïîçèöèÿ äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ íà
âåêòîðû a è b ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì íà
âåêòîð a + b .
Ëåììà 2. Êîìïîçèöèÿ äâóõ ïîâîðîòîâ ñ îáùèì öåíòðîì
íà óãëû α è β ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì ñ òåì æå öåíòðîì íà
óãîë α + β .
Ëåììà 3. Êîìïîçèöèÿ äâóõ îñåâûõ ñèììåòðèé îòíîñèòåëüíî äâóõ ïàðàëëåëüíûõ îñåé l1 è l2 ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì íà âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ýòèì îñÿì,
íàïðàâëåííûé îò l1 ê l2 , äëèíà êîòîðîãî ðàâíà óäâîåííîìó
ðàññòîÿíèþ ìåæäó îñÿìè.
Íàáðîñîê äîêàçàòåëüñòâà. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó
M ïëîñêîñòè, íàéäåì åå îáðàç M1 è óáåäèìñÿ, ÷òî âåêòîð
MM1 ÿâëÿåòñÿ òåì ñàìûì âåêòîðîì, êîòîðûé îïèñàí â ôîðìóëèðîâêå ëåììû. Ðèñóíîê 2
ÿâëÿåòñÿ èëëþñòðàöèåé ê äîêàçàòåëüñòâó. ×òîáû îíî áûëî
ïîëíûì, íóæíî ðàññìîòðåòü
âñå âîçìîæíûå ñëó÷àè âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ îñåé è òî÷êè M.
Ìîæíî èçáåæàòü ðàññìîòðåíèÿ ðàçëè÷íûõ ñëó÷àåâ ïðè
äîêàçàòåëüñòâå ýòîé ëåììû,
åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì Ðèñ. 2
29.07.09, 18:01
ØÊÎËÀ
êîîðäèíàò. Óäîáíî ðàñïîëîæèòü îñü àáñöèññ ïàðàëëåëüíî
ïðÿìûì l1 è l2 . Òîãäà ðàññìàòðèâàåìûå îñè ñèììåòðèé áóäóò
çàäàâàòüñÿ óðàâíåíèÿìè y = a è y = b ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè
îòðàæåíèè îòíîñèòåëüíî ýòèõ îñåé àáñöèññû òî÷åê áóäóò
ñîõðàíÿòüñÿ, à îðäèíàòû ìåíÿòüñÿ ïî ïðàâèëàì y 2a − y è
y 2b − y ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè êîìïîçèöèè ýòèõ ñèììåòðèé
îðäèíàòû áóäóò ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ ïî ïðàâèëó
y 2b − (2a − y ) = y + 2 (b − a ) , à ýòî è îçíà÷àåò ïàðàëëåëüíûé
ïåðåíîñ íà óêàçàííûé âåêòîð.
Ëåììà 4. Êîìïîçèöèÿ äâóõ îñåâûõ ñèììåòðèé îòíîñèòåëüíî äâóõ ïåðåñåêàþùèõñÿ îñåé l1 è l2 ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì îòíîñèòåëüíî òî÷êè èõ ïåðåñå÷åíèÿ íà óäâîåííûé óãîë
ìåæäó îñÿìè. (Ïîä óãëîì ìåæäó îñÿìè ìû ïîíèìàåì óãîë
ïîâîðîòà îòíîñèòåëüíî
èõ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ,
ïðè êîòîðîì îñü l1 ïåðåõîäèò â l2 .)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññóæäàåì àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ïðåäûäóùåé ëåììû, èëëþñòðàöèåé ñëóæèò ðèñóíîê 3.
 ýòîì ñëó÷àå àíàëèòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî, ïîçâîëÿþùåå èçáåæàòü ðàññìîòðåíèÿ ðàçëè÷íûõ ñëó÷àåâ, ïðîâîäèòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîëÿðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Íà÷àëî êîîðäèíàò ñëåäóåò âûáðàòü
â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ðàñÐèñ. 3
ñìàòðèâàåìûõ îñåé ñèììåòðèé. Òîãäà ïîëÿðíûé ðàäèóñ ïðè ýòèõ ñèììåòðèÿõ ñîõðàíÿåòñÿ, à ïîëÿðíûé óãîë ìåíÿåòñÿ ïî ïðàâèëàì ϕ 2α − ϕ è
ϕ 2β − ϕ , ãäå α è β – óãëû, îáðàçîâàííûå ïðÿìûìè l1 è l2
ñîîòâåòñòâåííî ñ ïîëÿðíîé îñüþ. Ïðè êîìïîçèöèè ïîëÿðíûé
óãîë
áóäåò
ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ
ïî
ïðàâèëó
ϕ 2β − (2α − ϕ ) = ϕ + 2 (β − α ) , à ýòî è îçíà÷àåò ïîâîðîò íà óãîë
2 (β − α ) .
Ñäåëàåì î÷åâèäíîå çàìå÷àíèå: êîìïîçèöèÿ äâóõ îñåâûõ
ñèììåòðèé ñ ñîâïàäàþùèìè îñÿìè ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì, îñòàâëÿþùèì âñå òî÷êè íà ìåñòå.
Îäíàêî æå, íåñìîòðÿ íà î÷åâèäíîñòü çàìå÷àíèÿ, îíî äàåò
íàì èíñòðóìåíò, êîòîðûì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì – åñëè â íåêîòîðîé êîìïîçèöèè íåñêîëüêèõ äâèæåíèé
èäóò ïîäðÿä äâå îñåâûå ñèììåòðèè ñ îäíîé è òîé æå îñüþ, òî
èõ ìîæíî ñîêðàòèòü è ïîëó÷èòü áîëåå êîðîòêóþ êîìïîçèöèþ.
Ëåììà 5. Êîìïîçèöèÿ äâóõ ïîâîðîòîâ íà óãëû α è β ñ
ðàçëè÷íûìè öåíòðàìè O1 è O2 ñîîòâåòñòâåííî ÿâëÿåòñÿ
ïîâîðîòîì íà óãîë α + β (îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî òðåòüåãî öåíòðà), åñëè α + β ≠ 360° ⋅ k , è ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäûäóùåé ëåììîé è
ïðåäñòàâèì êàæäûé èç äâóõ äàííûõ ïîâîðîòîâ â âèäå êîìïîçèöèè äâóõ îñåâûõ ñèììåòðèé. Ìû ïîëó÷èì êîìïîçèöèþ
÷åòûðåõ ñèììåòðèé îòíîñèòåëüíî ïðÿìûõ l1 , l2 , l3 è l4 . Îñè
ïåðâûõ äâóõ ñèììåòðèé ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå O1 ïîä óãëîì
α 2 , à îñè äâóõ ïîñëåäíèõ ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå O2 ïîä
óãëîì β 2 . Çàìåòèì, ÷òî âûáîð ïàðû îñåé â êàæäîì èç ýòèõ
ñëó÷àåâ íåîäíîçíà÷åí. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäîñòàâëåííîé ñâîáîäîé äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðÿìûå l2 è l3 ñîâïàëè.  êà÷åñòâå
òàêîé îáùåé ïðÿìîé íóæíî âûáðàòü ïðÿìóþ O1O2 , ñîåäèíÿ-
37-48.p65
39
Â
!'
«ÊÂÀÍÒÅ»
þùóþ öåíòðû ïîâîðîòîâ.  ýòîì ñëó÷àå ïðÿìûå l1 è l4
íàõîäÿòñÿ îäíîçíà÷íî (ðèñ.4).  ñèëó ñäåëàííîãî âûøå
çàìå÷àíèÿ, ó íàñ îñòàåòñÿ êîìïîçèöèÿ âñåãî äâóõ ñèììåòðèé
îòíîñèòåëüíî ïðÿìûõ l1 è l4 . Åñëè ýòè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ
Ðèñ. 4
â íåêîòîðîé òî÷êå O, òî óãîë ìåæäó íèìè ñîñòàâëÿåò
(α + β ) 2 (ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû î âåëè÷èíå âíåøíåãî óãëà
òðåóãîëüíèêà, ïðèìåíåííîé ê òðåóãîëüíèêó OO1O2 ). Ñîãëàñíî ïðåäûäóùåìó óòâåðæäåíèþ, ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî
èñêîìàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì ñ öåíòðîì O íà óãîë
α + β . Åñëè ýòè ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû (â ýòîì ñëó÷àå óãëû
α 2 è β 2 ñìåæíûå, à çíà÷èò, èõ ñóììà ðàâíà 180°), òî
ðàññìàòðèâàåìîå äâèæåíèå – ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.
Ëåììà 6. Êîìïîçèöèÿ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà íà âåêòîð
a è ïîâîðîòà ñ öåíòðîì â òî÷êå O íà íåíóëåâîé óãîë α
ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì íà òîò æå óãîë α (ñ äðóãèì öåíòðîì,
åñëè âåêòîð a íåíóëåâîé).
Äîêàçàòåëüñòâî. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó äîêàçàòåëüñòâó, âîñïîëüçîâàâøèñü ëåììàìè 3 è 4, ïðåäñòàâèì êàæäîå
èç äâóõ ñîñòàâëÿþùèõ êîìïîçèöèþ äâèæåíèé â âèäå êîìïîçèöèè äâóõ ñèììåòðèé òàê, ÷òîáû âòîðàÿ ñèììåòðèÿ èç ïåðâîé ïàðû ñîâïàëà ñ ïåðâîé ñèììåòðèåé èç âòîðîé ïàðû. Äëÿ
ýòîãî îáùåé îñüþ ýòèõ äâóõ
ñèììåòðèé íóæíî âçÿòü ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
O è ïåðïåíäèêóëÿðíóþ âåêòîðó
a (ðèñ. 5). È â ýòîì ñëó÷àå
ðàññìàòðèâàåìîå äâèæåíèå
Ðèñ. 5
åñòü êîìïîçèöèÿ äâóõ ñèììåòðèé ñ ïåðåñåêàþùèìèñÿ (ïîä óãëîì α 2 ) îñÿìè, à çíà÷èò,
ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì íà óãîë α .
Ëåììà 7. Êîìïîçèöèÿ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà íà âåêòîð
a è îñåâîé ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè l, ïåðïåíäèêóëÿðíîé
âåêòîðó a , ÿâëÿåòñÿ îñåâîé ñèììåòðèåé ñ îñüþ, ïàðàëëåëüíîé l.
Äîêàçàòåëüñòâî. È â ýòîò ðàç,
âîñïîëüçîâàâøèñü ëåììîé 3, ïðåäñòàâèì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ â
âèäå êîìïîçèöèè äâóõ ñèììåòðèé
ñ ïàðàëëåëüíûìè îñÿìè, âòîðàÿ
èç êîòîðûõ ñîâïàäàåò ñ l (ðèñ.6). Ðèñ. 6
 ïîëó÷åííîé êîìïîçèöèè òðåõ ñèììåòðèé äâå ïîñëåäíèå
ñîêðàùàþòñÿ.
Îðèåíòàöèÿ
Ìû óæå óïîìèíàëè î ðàçíèöå â ïîíÿòèÿõ äâèæåíèÿ â
ãåîìåòðèè è â ôèçèêå. Ðå÷ü øëà î òîì, ÷òî îäíî è òî æå
äâèæåíèå ñ òî÷êè çðåíèÿ ãåîìåòðèè ìîæåò ïðåäñòàâëÿòüñÿ
êàê ôèçè÷åñêîå äâèæåíèå ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Îäíàêî
29.07.09, 18:02
"
ÊÂÀÍT 2009/¹4
åñòü åùå îäíî îòëè÷èå ìåæäó ýòèìè ïîíÿòèÿìè. Íåêîòîðûå
äâèæåíèÿ, íàïðèìåð îñåâóþ ñèììåòðèþ, íåëüçÿ ðåàëèçîâàòü
â âèäå íåïðåðûâíîãî (ôèçè÷åñêîãî) äâèæåíèÿ, íå âûõîäÿùåãî çà ïðåäåëû ïëîñêîñòè (òàêæå êàê â ïðîñòðàíñòâå íåëüçÿ
ñîâìåñòèòü íåñèììåòðè÷íóþ ôèãóðó ñ åå çåðêàëüíûì èçîáðàæåíèåì, íàïðèìåð, ïðàâóþ ðóêó ñ ëåâîé). Ïîýòîìó ñ òî÷êè
çðåíèÿ ôèçèêè òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ äâèæåíèÿìè íå ÿâëÿþòñÿ.  ãåîìåòðèè æå îíè ñ÷èòàþòñÿ äâèæåíèÿìè, è ïðî
òàêèå äâèæåíèÿ ãîâîðÿò, ÷òî îíè ìåíÿþò îðèåíòàöèþ. Ïðèäàäèì ïîíÿòèþ îðèåíòàöèè áóëüøóþ ñòðîãîñòü.
Áóäåì íàçûâàòü òðåóãîëüíèê îðèåíòèðîâàííûì, åñëè â
íåì çàäàí íåêîòîðûé ïîðÿäîê îáõîäà åãî âåðøèí. Òðåóãîëüíèêè ABC è ACB – ýòî îäèí è òîò æå òðåóãîëüíèê, îäíàêî
åñëè èõ ðàññìàòðèâàòü êàê îðèåíòèðîâàííûå òðåóãîëüíèêè,
òî îíè ðàçëè÷íû. Åñëè îáõîä âåðøèí îðèåíòèðîâàííîãî
òðåóãîëüíèêà ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, òî îí
íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûì, à åñëè ïî
÷àñîâîé ñòðåëêå, òî – îòðèöàòåëüíî îðèåíòèðîâàííûì.
Äâà âèäà äâèæåíèé ïëîñêîñòè
Çàìåòèì, ÷òî ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ è ïîâîðîò ñîõðàíÿþò
îðèåíòàöèþ (ïåðåâîäÿò ëþáîé òðåóãîëüíèê â òðåóãîëüíèê
òîé æå îðèåíòàöèè), à îñåâàÿ ñèììåòðèÿ ìåíÿåò îðèåíòàöèþ
(ïåðåâîäèò ëþáîé òðåóãîëüíèê â òðåóãîëüíèê ïðîòèâîïîëîæíîé îðèåíòàöèè). Çíà÷èò, ëþáàÿ êîìïîçèöèÿ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ëèáî ñîõðàíÿåò, ëèáî ìåíÿåò îðèåíòàöèþ âñåõ òðåóãîëüíèêîâ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÷åòíîå èëè
íå÷åòíîå êîëè÷åñòâî îñåâûõ ñèììåòðèé â íåå âõîäèò. Ïîñêîëüêó ëþáîå äâèæåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå êîìïîçèöèè
ýëåìåíòàðíûõ äâèæåíèé, îíî ëèáî ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ
âñåõ òðåóãîëüíèêîâ, ëèáî ìåíÿåò îðèåíòàöèþ âñåõ òðåóãîëüíèêîâ (äâèæåíèå íå ìîæåò ñîõðàíÿòü îðèåíòàöèþ ó îäíèõ
òðåóãîëüíèêîâ è ìåíÿòü ó äðóãèõ). Äâèæåíèÿ, ñîõðàíÿþùèå
îðèåíòàöèþ, áóäåì íàçûâàòü ñîáñòâåííûìè, à ìåíÿþùèå
îðèåíòàöèþ – íåñîáñòâåííûìè. (Èíîãäà ýòè äâà âèäà äâèæåíèé íàçûâàþò äâèæåíèÿìè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà ñîîòâåòñòâåííî.)
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1 ìû ïîïóòíî äîêàçàëè, ÷òî
äâèæåíèå îäíîçíà÷íî çàäàåòñÿ îáðàçàìè òðåõ òî÷åê, íå
ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé, è äàæå «ïî÷òè» çàäàåòñÿ îáðàçàìè
äâóõ òî÷åê. Ñëîâî «ïî÷òè» â äàííîì ñëó÷àå îçíà÷àåò, ÷òî õîòÿ
ìû è íå ñìîæåì îäíîçíà÷íî âîññòàíîâèòü äâèæåíèå, çíàÿ
îáðàçû âñåãî äâóõ òî÷åê, íî âûáèðàòü ïðèäåòñÿ âñåãî èç äâóõ
âàðèàíòîâ. Åñëè ìû ðàññìîòðèì êîìïîçèöèþ îäíîãî èç ýòèõ
äâóõ äâèæåíèé è îñåâîé ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé,
ñîåäèíÿþùåé èçâåñòíûå íàì îáðàçû äâóõ òî÷åê, òî ïîëó÷èì
âòîðîå òàêîå äâèæåíèå. Çíà÷èò, ýòè äâà äâèæåíèÿ ðàçíîãî
âèäà: îäíî èç íèõ ñîáñòâåííîå, à âòîðîå – íåñîáñòâåííîå.
Äëÿ óäîáñòâà áóäåì ãîâîðèòü íå î ïàðå òî÷åê, à î íàïðàâëåííîì îòðåçêå1 ñ êîíöàìè â íèõ. Èòàê, ìû äîêàçàëè
òåîðåìó.
Òåîðåìà 2. Ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííîå ñîáñòâåííîå è
åäèíñòâåííîå íåñîáñòâåííîå äâèæåíèÿ, ïåðåâîäÿùèå äàííûé íàïðàâëåííûé îòðåçîê â ðàâíûé åìó äàííûé íàïðàâëåííûé îòðåçîê.
1 Íå ïóòàéòå ïîíÿòèÿ íàïðàâëåííîãî îòðåçêà è âåêòîðà,
íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â ôèçèêå ýòè ïîíÿòèÿ ÷àñòî îòîæäåñòâëÿþòñÿ. Îòðåçîê íàçûâàåòñÿ íàïðàâëåííûì, åñëè óêàçàíî, êàêîé èç
åãî êîíöîâïåðâûé,
à êàêîé âòîðîé. Â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD
âåêòîðû AB è DC ñîâïàäàþò, õîòÿ íàïðàâëåííûå îòðåçêè AB
è DC ðàçëè÷íû.
37-48.p65
40
Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Øàëÿ
Òåïåðü, ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 2, ìû ìîæåì íåñêîëüêî
óñèëèòü òåîðåìó 1, ñëåãêà ìîäåðíèçèðîâàâ åå äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ýòîãî âûÿñíèì, êàêèìè êîìïîçèöèÿìè ýëåìåíòàðíûõ äâèæåíèé ìîæíî ïåðåâåñòè íàïðàâëåííûé îòðåçîê AB â
ðàâíûé åìó íàïðàâëåííûé îòðåçîê A1B1 . Ñíà÷àëà ìîæíî
ñîâìåñòèòü òî÷êó A ñ A1 ñ ïîìîùüþ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà.
Çàòåì ó íàñ åñòü äâå âîçìîæíîñòè ïåðåâåñòè êîíåö ïîëó÷èâøåãîñÿ îòðåçêà â B1 : ëèáî ñ ïîìîùüþ ïîâîðîòà, ëèáî ñ
ïîìîùüþ îñåâîé ñèììåòðèè (ðèñ.7).  ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó-
Ðèñ. 7
÷àåòñÿ ñîáñòâåííîå äâèæåíèå, à âî âòîðîì – íåñîáñòâåííîå.
Ïîñêîëüêó, ñîãëàñíî òåîðåìå 2, â êàæäîì èç ýòèõ äâóõ
ñëó÷àåâ òàêîå äâèæåíèå åäèíñòâåííî, ïðèõîäèì ê âûâîäó,
÷òî ëþáîå ñîáñòâåííîå äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé
ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà è ïîâîðîòà, à íåñîáñòâåííîå –
êîìïîçèöèåé ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà è îñåâîé ñèììåòðèè.
Èíûìè ñëîâàìè, ïî ñðàâíåíèþ ñ òåîðåìîé 1 äëÿ ñëó÷àÿ
íåñîáñòâåííîãî äâèæåíèÿ, óäàëîñü îáîéòèñü áîëåå êîðîòêîé
êîìïîçèöèåé – áåç ïîâîðîòà. Îäíàêî æå ýòî åùå íå êîíåö –
ëþáîå äâèæåíèå ïëîñêîñòè ìîæíî ñâåñòè ê åùå áîëåå ïðîñòîìó âèäó.
 ñëó÷àå ñîáñòâåííîãî äâèæåíèÿ – êîìïîçèöèè ïåðåíîñà è
ïîâîðîòà, – åñëè ïîâîðîò ïðîèñõîäèò íà íåíóëåâîé óãîë,
âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 6 è ïîëó÷èì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå
äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì. Åñëè æå ïîâîðîò â êîìïîçèöèè ïðîèñõîäèò íà íóëåâîé óãîë, òî äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ
ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷àåì ñîâñåì
ïðîñòîå îïèñàíèå ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé.
Òåîðåìà 3. Ëþáîå ñîáñòâåííîå äâèæåíèå ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ ëèáî ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì, ëèáî ïîâîðîòîì.
Ïåðåéäåì òåïåðü ê ñëó÷àþ íåñîáñòâåííûõ äâèæåíèé. Ïîïûòàåìñÿ ïðèâåñòè êîìïîçèöèþ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà è
îñåâîé ñèììåòðèè ê áîëåå ïðîñòîìó âèäó. Äëÿ ýòîãî ðàçëîæèì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ íà äâà: ïàðàëëåëüíî è ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè ñèììåòðèè. Êîìïîçèöèþ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà íà âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé îñè, è ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè çàìåíÿåì ïî ëåììå 7 íà ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî
äðóãîé îñè, ïàðàëëåëüíîé èñõîäíîé. Îñòàåòñÿ êîìïîçèöèÿ
ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà â íàïðàâëåíèè, ïàðàëëåëüíîì îñè,
è ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ýòîé îñè. Òàêîå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèåé. Ïîäâåäåì èòîã.
Òåîðåìà 4. Ëþáîå íåñîáñòâåííîå äâèæåíèå ïëîñêîñòè
ÿâëÿåòñÿ ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèåé.
Îáúåäèíåíèå òåîðåì 3 è 4 è íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Øàëÿ.
Ìû ïîëó÷èëè ïðîñòóþ êëàññèôèêàöèþ äâèæåíèé ïëîñêîñòè.
Êîììóòèðóþùèå äâèæåíèÿ
Ïîä êîíåö ñäåëàåì åùå îäíî çàìå÷àíèå. Ïðè ðàññìîòðåíèè êîìïîçèöèé äâèæåíèé ñóùåñòâåí ïîðÿäîê, â êîòîðîì
îíè ïðîèçâîäÿòñÿ. Ïðè èçìåíåíèè ïîðÿäêà, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîëó÷àåòñÿ äðóãîå äâèæåíèå. Èíûìè ñëîâàìè, îïåðàöèÿ êîìïîçèöèè íà ìíîæåñòâå äâèæåíèé ïëîñêîñòè íåêîììóòàòèâíà. Èíîãäà âñòðå÷àþòñÿ ïàðû êîììóòèðóþùèõ
äâèæåíèé. Òàêèìè, î÷åâèäíî, ÿâëÿþòñÿ ïàðû äâèæåíèé
29.07.09, 18:02
ØÊÎËÀ
èç ëåììû 1 (ïàðàëëåëüíûå ïåðåíîñû) è èç ëåììû 2
(ïîâîðîòû ñ îáùèì öåíòðîì). À âî âñåõ êîìïîçèöèÿõ èç
ëåìì 3–7 ïîðÿäîê ñóùåñòâåí – ðàññìàòðèâàåìûå â íèõ
ïàðû äâèæåíèé íå êîììóòèðóþò. Åùå îäèí ïðèìåð êîììóòèðóþùèõ äâèæåíèé – ýòî îñåâàÿ ñèììåòðèÿ è ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ íà âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé îñè ñèììåòðèè. Ïîýòîìó ïðè îïðåäåëåíèè ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèè íåâàæíî, â
êàêîì ïîðÿäêå äåëàòü ñîñòàâëÿþùèå åå ýëåìåíòàðíûå äâèæåíèÿ.
Ðåøåíèÿ çàäà÷
Ðåøåíèå çàäà÷è 1. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè ïîâîðîòå
íà óãîë 120° îòíîñèòåëüíî òî÷êè M âåðøèíà A ïåðåõîäèò â
B, à Ñ â D. Çíà÷èò, ïðè ýòîì ïîâîðîòå íàïðàâëåííûé îòðåçîê
AC ïåðåõîäèò â íàïðàâëåííûé îòðåçîê BD, ïîýòîìó èõ
äëèíû ðàâíû, à óãîë ìåæäó íèìè ðàâåí 120°. Çíà÷èò, óãîë
ìåæäó íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè AC è DB ðàâåí 60°.
Ðàññìîòðèì ñîáñòâåííîå äâèæåíèå, ïåðåâîäÿùåå íàïðàâëåííûé îòðåçîê AC â DB. Ïî òåîðåìå Øàëÿ, îí ÿâëÿåòñÿ
ïîâîðîòîì, à âåëè÷èíà óãëà ïîâîðîòà äîëæíà áûòü ðàâíà
óãëó ìåæäó ýòèìè íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè, ò.å. 60°. Öåíòð
ýòîãî ïîâîðîòà è áóäåò èñêîìîé òî÷êîé N.
Ðåøåíèå çàäà÷è 2. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå, ïåðåâîäÿùåå
òðåóãîëüíèê A1B1C1 â A2 B2C2 . Ïîñêîëüêó ýòè òðåóãîëüíèêè
ðàçëè÷íî îðèåíòèðîâàíû, ðàññìàòðèâàåìîå äâèæåíèå íåñîáñòâåííîå, à çíà÷èò, ÿâëÿåòñÿ ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèåé. Î÷åâèäíî, ÷òî ñåðåäèíà îòðåçêà, ñîåäèíÿþùàÿ ëþáóþ òî÷êó ñ åå
îáðàçîì ïðè ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèè, ëåæèò íà îñè ýòîé
ñèììåòðèè.
Ðåøåíèå çàäà÷è 3. Äâèæåíèå, îïèñàííîå â çàäà÷å, ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé òðåõ îñåâûõ ñèììåòðèé, à ñëåäîâàòåëüíî,
íåñîáñòâåííûì äâèæåíèåì ïëîñêîñòè. Ïî òåîðåìå Øàëÿ ýòî
ñêîëüçÿùàÿ ñèììåòðèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèè òî÷êè, ñäâèãàþùèåñÿ íà ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå,
ýòî â òî÷íîñòè òî÷êè îñè. Äåéñòâèòåëüíî, âñå îíè ñäâèãàþòñÿ
íà îäèí è òîò æå âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé îñè ñèììåòðèè, â òî
âðåìÿ êàê äðóãèå òî÷êè ñäâèãàþòñÿ êðîìå ýòîãî åùå è â
íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì îñè.
Îñòàëîñü íàéòè îñü ýòîé ñèììåòðèè. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî
íàéòè äâå òî÷êè íà íåé. Âîñïîëüçóåìñÿ ôàêòîì, êîòîðûé óæå
ïîìîã íàì ïðè ðåøåíèè ïðåäûäóùåé çàäà÷è: ñåðåäèíà îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî òî÷êó ñ åå îáðàçîì ïðè ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèè, ëåæèò íà îñè ýòîé ñèììåòðèè. Ïîýòîìó, ÷òîáû íàéòè
îñü, äîñòàòî÷íî íàéòè ñåðåäèíû äâóõ îòðåçêîâ, ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè ñ èõ îáðàçàìè. Ïîèñê ìîæíî ñèëüíî óïðîñòèòü,
åñëè óäà÷íî âûáðàòü äâå òî÷êè, îáðàç êîòîðûõ ïðè ðàññìàòðèâàåìîé êîìïîçèöèè ëåãêî íàéòè.  êà÷åñòâå ïåðâîé òî÷êè
âûáåðåì âåðøèíó A òðåóãîëüíèêà. Ïðè ïåðâûõ äâóõ ñèììåòðèÿõ îíà îñòàíåòñÿ íà ìåñòå, à ïðè òðåòüåé îòðàçèòñÿ
îòíîñèòåëüíî ñòîðîíû BC. Èñêîìîé ñåðåäèíîé áóäåò îñíîâàíèå âûñîòû, îïóùåííîé èç âåðøèíû A.  êà÷åñòâå âòîðîé
òî÷êè âîçüìåì òî÷êó, ñèììåòðè÷íóþ òî÷êå C îòíîñèòåëüíî
ñòîðîíû AB. Ïðè ïåðâîé ñèììåòðèè îíà ïåðåéäåò â C, à ïðè
äâóõ ñëåäóþùèõ îñòàíåòñÿ íà ìåñòå. Çíà÷èò, âòîðàÿ èñêîìàÿ
òî÷êà – îñíîâàíèå âûñîòû, îïóùåííîé èç òî÷êè C.
Îòâåò: èñêîìûì ìíîæåñòâîì òî÷åê áóäåò ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç îñíîâàíèÿ âûñîò, îïóùåííûõ èç âåðøèí A è C
òðåóãîëüíèêà ABC.
Ñëó÷àé, êîãäà ýòè îñíîâàíèÿ âûñîò ñîâïàäàþò (à ýòî
ïðîèñõîäèò, åñëè òðåóãîëüíèê ABC ïðÿìîóãîëüíûé ñ ïðÿìûì óãëîì B), ñëåäóåò ðàçîáðàòü îòäåëüíî. Îñòàâëÿåì ýòî
÷èòàòåëÿì â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.
37-48.p65
41
Â
"
«ÊÂÀÍÒÅ»
Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ
äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
1 (äëÿ òåõ, êòî çíàêîì ñ ïîíÿòèåì ãðóïïû). Äîêàæèòå, ÷òî
ìíîæåñòâî äâèæåíèé îáðàçóåò ãðóïïó îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè
êîìïîçèöèè. Îáðàçóåò ëè ãðóïïó ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé? À ìíîæåñòâî íåñîáñòâåííûõ äâèæåíèé?
2. Äîêàæèòå (áåç èñïîëüçîâàíèÿ òåîðåìû Øàëÿ), ÷òî ëþáîå
äâèæåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå êîìïîçèöèè íå áîëåå òðåõ
îñåâûõ ñèììåòðèé.
3. Ïîëó÷èòå äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Øàëÿ ñ ïîìîùüþ
çàäà÷è 2.
4. Ñêîëüçÿùàÿ ñèììåòðèÿ çàäàåòñÿ ïàðîé (îñü ñèììåòðèè,
âåêòîð ïåðåíîñà). Äîêàæèòå, ÷òî ñêîëüçÿùèå ñèììåòðèè, çàäàâàåìûå ðàçíûìè ïàðàìè, ðàçëè÷íû.
5. Çàâåðøèòå ðåøåíèå çàäà÷è 3, ðàññìîòðåâ ñëó÷àé ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ ïðÿìûì óãëîì B.
6. Îáðàçàìè ñêîëüêèõ òî÷åê çàäàåòñÿ äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà?
7. Ïîïûòàéòåñü äàòü îïðåäåëåíèÿ îðèåíòàöèè, à òàêæå ñîáñòâåííîãî è íåñîáñòâåííîãî äâèæåíèé â ïðîñòðàíñòâå. Îáðàçàìè
ñêîëüêèõ òî÷åê çàäàåòñÿ ñîáñòâåííîå äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà?
8. Êàêîå äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé äâóõ öåíòðàëüíûõ
ñèììåòðèé ñ ðàçëè÷íûìè öåíòðàìè?
9. Ïóñòü 0 < α , β , γ < 180°, α + β + γ = 180°. Äîêàæèòå, ÷òî
êîìïîçèöèÿ òðåõ ïîâîðîòîâ íà óãëû 2 α , 2 β , 2γ îòíîñèòåëüíî
òî÷åê A, B, C ñîîòâåòñòâåííî ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà óãëû òðåóãîëüíèêà ABC
ðàâíû α , β è γ ñîîòâåòñòâåííî. (Ïîâîðîòû îñóùåñòâëÿþòñÿ
ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, à òðåóãîëüíèê ABC îòðèöàòåëüíî
îðèåíòèðîâàí.)
10. Íà ïëîñêîñòè íàðèñîâàí ìíîãîóãîëüíèê ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì ñòîðîí. Òî÷êó M îòðàæàþò ïîñëåäîâàòåëüíî îòíîñèòåëüíî
ñåðåäèí ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà, â ðåçóëüòàòå
÷åãî ïîëó÷àåòñÿ òî÷êà M1 . Äîêàæèòå, ÷òî ñåðåäèíà îòðåçêà
MM1 ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé ìíîãîóãîëüíèêà.
11. Íà ïëîñêîñòè áûë íàðèñîâàí ìíîãîóãîëüíèê ñ íå÷åòíûì
êîëè÷åñòâîì ñòîðîí. Çàòåì â íåì îòìåòèëè ñåðåäèíû ñòîðîí, à
ñàì ìíîãîóãîëüíèê ñòåðëè. Âîññòàíîâèòå ìíîãîóãîëüíèê ïî
îòìå÷åííûì òî÷êàì ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè.
12. Äàí òðåóãîëüíèê ABC. Ïîñòðîéòå òî÷êè K, L è M òàê,
÷òîáû òðåóãîëüíèêè AKM, BLK è CLM áûëè ðàâíîñòîðîííèìè.
13. Äàí ïðîèçâîëüíûé òðåóãîëüíèê. Íà äâóõ åãî ñòîðîíàõ
íàðóæó ïîñòðîåíû ðàâíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè. Ïóñòü M è N
– âåðøèíû ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ, íå ñîâïàäàþùèå ñ âåðøèíàìè
èñõîäíîãî. Íà òðåòüåé ñòîðîíå òàêæå ïîñòðîèëè ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê, íî òåïåðü – âî âíóòðåííþþ ñòîðîíó. Ïóñòü O
– åãî öåíòð. Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà MNO.
14. Àðõåîëîãè íàøëè ñòàðèííûé ñâèòîê, â êîòîðîì áûëî
íàïèñàíî: «Âñòàíü îêîëî áåðåçû, è äîéäè îò íåå, íå ñâîðà÷èâàÿ,
äî êîëîäöà, à ó êîëîäöà ïîâåðíè ïîä ïðÿìûì óãëîì íàëåâî è
ïðîéäè òàêîå æå ðàññòîÿíèå. Â òîì ìåñòå, ãäå òû îêàçàëñÿ, âáåé
êîëûøåê â çåìëþ. Òåïåðü îïÿòü âñòàíü ó áåðåçû, è äîéäè îò íåå,
íå ñâîðà÷èâàÿ, äî äóáà, ïîâåðíè ïîä ïðÿìûì óãëîì íàïðàâî è
ïðîéäè òàêîå æå ðàññòîÿíèå. Âáåé âòîðîé êîëûøåê â çåìëþ.
Ïîñåðåäèíå ìåæäó êîëûøêàìè çàðûò êëàä». Îêàçàëîñü, ÷òî
êîëîäåö è äóá ïî-ïðåæíåìó íà ìåñòå, íî áåðåçû óæå íåò. Ñìîãóò
ëè àðõåîëîãè íàéòè êëàä?
15. Íà ñòîðîíàõ ïðîèçâîëüíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà âî âíåøíþþ ñòîðîíó ïîñòðîåíû êâàäðàòû. Äîêàæèòå, ÷òî ó ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè â öåíòðàõ ýòèõ êâàäðàòîâ äèàãîíàëè
ïåðïåíäèêóëÿðíû è ðàâíû.
29.07.09, 18:02
"
ÊÂÀÍT 2009/¹4
Çàãàäî÷íûå
êðóãè è
äâèæåíèÿ
ïëîñêîñòè
Ñ.ÄÎÐÈ×ÅÍÊÎ, Ñ.ØÀØÊÎÂ, À.ØÅÍÜ
Î
Á ÝÒÎÌ ËÞÁÎÏÛÒÍÎÌ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÅ ÍÀÌ ÐÀÑÑÊÀ-
çàë Æàê Ìàçîéå, ïðîôåññîð Âûñøåé íîðìàëüíîé øêîëû â Ëèîíå (Ôðàíöèÿ). Ñäåëàéòå äâå êîïèè ðèñóíêà 1
(ñëó÷àéíî ðàñïîëîæåííûå ÷åðíûå ïÿòíûøêè) íà òîíêîé
áóìàãå, ëó÷øå ñ óâåëè÷åíèåì. Íàëîæèòå èõ äðóã íà äðóãà,
ãëÿäÿ íà ïðîñâåò (ìîæíî ïðèëîæèòü ê îêíó). Åñëè ñîâìåñòèòü òî÷íî – ïîëó÷èòñÿ èñõîäíàÿ êàðòèíêà. Íî åñëè íåìíîãî
Ðèñ. 2
Ðèñ. 1
ïîâåðíóòü îäèí ëèñò îòíîñèòåëüíî äðóãîãî, êàðòèíêà èçìåíèòñÿ (ðèñ. 2).
Åùå ïðîùå ýòî óâèäåòü, åñëè îäíó èç êàðòèíîê íàïå÷àòàòü
íà ïðîçðà÷íîé ïëåíêå è íàêëàäûâàòü íà âòîðóþ.
Íà ðèñóíêå 2 ÿâíî âèäíû îêðóæíîñòè. Îòêóäà îíè âîçíèêàþò, åñëè èçíà÷àëüíî íè÷åãî ïîõîæåãî íå áûëî?
37-48.p65
42
Îäíî èç âîçìîæíûõ îáúÿñíåíèé òàêîå. Âòîðàÿ êàðòèíêà
ñëåãêà ïîâåðíóòà îòíîñèòåëüíî ïåðâîé. Îêîëî öåíòðà ïîâîðîòà ðàçíèöà íåâåëèêà, è êàðòèíêè ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò
(ýòîò ó÷àñòîê õîðîøî âèäåí). ×óòü äàëüøå îò öåíòðà ïÿòíûøêè óæå íå ñîâïàäàþò, íî íàêëàäûâàþòñÿ äðóã íà äðóãà,
îáðàçóÿ ìàëåíüêèå «äóãè» (êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 3). Ýòè «äóãè» è ÿâëÿþòñÿ ÷àñòÿìè îêðóæíîñòåé, êîòîðûå ìû
âèäèì.
Ïî ýòîé òåîðèè, îêðóæíîñòè äîëæíû
áûòü âèäíû íà òàêîì ðàññòîÿíèè îò
öåíòðà, ãäå ïÿòíûøêè åùå íàêëàäûâàÐèñ. 3
þòñÿ. Ìîæíî îöåíèòü ýòî ðàññòîÿíèå
êàê d α , ãäå d – ðàçìåð îäíîãî ïÿòíûøêà, à α – óãîë
ïîâîðîòà â ðàäèàíàõ.
Êîãäà ïÿòíûøêè ðàçúåçæàþòñÿ äàëüøå, îêðóæíîñòè ïîñòåïåííî äîëæíû ïåðåñòàòü áûòü çàìåòíû. Îäíàêî ìû âèäèì
îêðóæíîñòè è ñóùåñòâåííî áîëüøåãî ðàäèóñà. Ïî÷åìó? Âîçìîæíî, ÷åðíûå ïÿòíûøêè, ñëó÷àéíî ðàçáðîñàííûå ïî ëèñòó,
îáðàçóþò èíîãäà ïÿòíà áîëüøåãî ðàçìåðà, ïîâîðîò êîòîðûõ
ìû è çàìå÷àåì. Èëè ìû ïî èíåðöèè âèäèì îêðóæíîñòè òàì,
ãäå èõ óæå íåò. (Â ñàìîì äåëå, åñëè çàêðûòü íèæíþþ
ïîëîâèíó ðèñóíêà 2, ðàçãëÿäåòü îêðóæíîñòè â âåðõíåé
ïîëîâèíå áóäåò òðóäíåå.)
Íî ïðîäîëæèì íàøè ýêñïåðèìåíòû. Ñäâèíåì íåìíîãî
îäíó êàðòèíêó îòíîñèòåëüíî äðóãîé â êàêóþ-íèáóäü ñòîðîíó. Êàê íè óäèâèòåëüíî, îêðóæíîñòè ñíîâà áóäóò âèäíû,
õîòÿ èõ öåíòð ñäâèíåòñÿ (ïðè÷åì â äðóãóþ ñòîðîíó). ×òî æå
ýòî çíà÷èò?
29.07.09, 18:02
ØÊÎËÀ
Â
"!
«ÊÂÀÍÒÅ»
Òàê ïðîÿâëÿåòñÿ çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî äâèæåíèé ïëîñêîñòè: ñäåëàâ ïîñëåäîâàòåëüíî ïîâîðîò è ñäâèã, ìû â èòîãå
ñíîâà ïîëó÷èì ïîâîðîò. Äðóãèìè ñëîâàìè, êîãäà ìû ñíà÷àëà
ïîâåðíóëè îäíó êàðòèíêó, à çàòåì ñäâèíóëè åå îòíîñèòåëüíî
äðóãîé, ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò òî÷íî òàêîé æå, êàê åñëè áû
ìû ïðîñòî ïîâåðíóëè ïåðâóþ êàðòèíêó âîêðóã äðóãîé òî÷êè.
Îäíî èç äîêàçàòåëüñòâ ýòîãî ôàêòà ìîæíî ïðî÷èòàòü,
íàïðèìåð, â ñòàòüå Ñ.Äîðè÷åíêî «Êîìïëåêñíûå ÷èñëà» â
«Êâàíòå» ¹ 5 çà 2008 ãîä. Êñòàòè, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî
Ðèñ. 4
Ðèñ. 5
öåíòð îêðóæíîñòåé ñìåùàåòñÿ ïðèìåðíî ïåðïåíäèêóëÿðíî
íàïðàâëåíèþ ñäâèãà: ýòî óæå ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ó íàñ ìàëûé
óãîë ïîâîðîòà. Ôîðìóëà, ïðèâåäåííàÿ â êîíöå ðàçäåëà
«Çàäà÷à î íåïîäâèæíîé òî÷êå è ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòè»
óïîìÿíóòîé ñòàòüè, ïîçâîëÿåò ýòî ïîíÿòü.
Äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî èìååòñÿ â ñòàòüå Â.Áóãàåíêî «Òåîðåìà Øàëÿ è äâèæåíèÿ ïëîñêîñòè» â ýòîì íîìåðå æóðíàëà.
Òàì ðàññêàçàíî î êëàññèôèêàöèè äâèæåíèé ïëîñêîñòè è î
ðåøåíèè çàäà÷ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Øàëÿ.
Åñëè âû óìååòå ðàáîòàòü ñ ðèñóíêàìè íà êîìïüþòåðå,
ýêñïåðèìåíò ìîæíî ïðîâåñòè è áåç áóìàãè. Ïðè ýòîì ìîæíî
ñäåëàòü è áîëåå ñëîæíûå âåùè – ïîïðîáóéòå ðàçîáðàòüñÿ,
íàïðèìåð, êàê ïîëó÷èëèñü ðèñóíêè 4 è 5 (ãäå âèäíû ýëëèïñû
è ñïèðàëè).
Ïî÷åìó óãëåðîäíûå íàíîòðóáêè ïðî÷íåå ñòàëè?
Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè îäíó îäíîñòåííóþ íàíîòðóáêó âëîæèòü â äðóãóþ íåñêîëüêî áîëüøåãî äèàìåòðà, òî ïðî÷íîñòü
òàêîé äâóõñòåííîé íàíîòðóáêè áóäåò ïî÷òè â äâà ðàçà
áîëüøå, ÷åì ó îäíîñòåííîé. Ïîýòîìó ó ìíîãîñòåííûõ íàíîòðóáîê ïðî÷íîñòü â íåñêîëüêî ðàç âûøå.
Ó êîíñòðóêöèé èç íàíîòðóáîê áîëüøîå áóäóùåå. Èõ óæå
ñåé÷àñ èñïîëüçóþò íà ïðàêòèêå, íàïðèìåð äëÿ óêðåïëåíèÿ
òåííèñíûõ ðàêåòîê.  ïëàíàõ – äåëàòü èç íàíîòðóáîê òðîñû
äëÿ êîñìè÷åñêèõ ëèôòîâ, ÷òîáû ñíàáæàòü âñåì íåîáõîäèìûì êîñìè÷åñêèå ñòàíöèè íà ãåîñòàöèîíàðíûõ îðáèòàõ.
(Íà÷àëî ñì. íà ñ. 7)
Èäåàëüíàÿ íàíîòðóáêà íå èìååò íèêàêèõ äåôåêòîâ è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíó ìîëåêóëó, â êîòîðîé àòîìû óãëåðîäà
ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé äîâîëüíî ïðî÷íûìè êîâàëåíòíûìè
ñâÿçÿìè. Ñòàëü – ýòî ïîëèêðèñòàëë, ñîäåðæàùèé ìíîæåñòâî
âíóòðåííèõ äåôåêòîâ, òàêèõ êàê ãðàíèöû è ìèêðîòðåùèíû.
Ïðè ðàñòÿæåíèè îáðàçöà èç ñòàëè îäèí èç òàêèõ äåôåêòîâ
ïðåâðàùàåòñÿ â òðåùèíó, è îáðàçåö ðàçðóøàåòñÿ. Íàëè÷èå
ìíîæåñòâà äåôåêòîâ ó ìåòàëëè÷åñêîãî îáðàçöà îáúÿñíÿåò
ïëàñòè÷íîñòü ìåòàëëà.  òî æå âðåìÿ, íàíîòðóáêà íå îáëàäàåò ïëàñòè÷íîñòüþ.
37-48.p65
43
Ê.Áîãäàíîâ
29.07.09, 18:02
""
ÊÂÀÍT 2009/¹4
ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß «ÊÂÀÍÒÀ»
Îïûòû ñ
êîìïàêò-äèñêîì
îòêóäà
∆ = d (sin ϕ − sin i ) .
Ïðè èíòåðôåðåíöèè ìàêñèìóì èíòåíñèâíîñòè ñâåòà (ìàêñèìóì îñâåùåííîñòè) íàáëþäàåòñÿ â òîì ñëó÷àå, åñëè ðàçíîñòü
Í.ÐÎÑÒÎÂÖÅÂ, À.ÑÅÄÎÂ
Ï
ÐÈ ÂÇÃËßÄÅ ÍÀ ÊÎÌÏÀÊÒ-ÄÈÑÊ (ÈËÈ ÍÀ DVD-
äèñê), îñâåùåííûé ñîëíå÷íûì èëè ýëåêòðè÷åñêèì ñâåòîì, îáðàùàþò íà ñåáÿ âíèìàíèå êðàñèâûå, îêðàøåííûå â
ðàäóæíûå öâåòà ñåêòîðû íà åãî ïîâåðõíîñòè. Êàêîâà ïðèðîäà èõ âîçíèêíîâåíèÿ?
Íåìíîãî òåîðèè. Äëÿ òîãî ÷òîáû îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ, ïîçíàêîìèìñÿ âíà÷àëå ñ îòðàæàòåëüíûìè äèôðàêöèîííûìè ðåøåòêàìè, êîòîðûå ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ òî÷íîãî èçìåðåíèÿ äëèí âîëí ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé. Èçãîòàâëèâàþò òàêèå ðåøåòêè ïóòåì íàíåñåíèÿ ðàâíîîòñòîÿùèõ ðèñîê íà
ïîâåðõíîñòü õîðîøî îòðàæàþùåé ìåòàëëè÷åñêîé ïëåíêè,
ïîêðûâàþùåé ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíó. Íà ðèñóíêå 1 èçîáðàæåí ó÷àñòîê òàêîé ðåøåòêè è
ïðîôèëü åå ñå÷åíèÿ
ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ðèñêàì. Âèäíî, ÷òî ìåæäó ñîñåäíèìè ðèñêàìè íàõîäÿòñÿ
ïîëîñêè íåäåôîðìèðîâàííîãî ìåòàëëà – íà
íèæíåì ðèñóíêå èì ñîîòâåòñòâóþò âûñòóïû.
Ðàññòîÿíèå d ìåæäó
äâóìÿ ñîñåäíèìè çåðêàëüíûìè ïîëîñêàìè
íàçûâàþò ïîñòîÿííîé
Ðèñ. 1
ðåøåòêè.
Ïóñòü íà ðåøåòêó ïîä óãëîì i ïàäàåò ïàðàëëåëüíûé
ïó÷îê ëó÷åé. Òîãäà, ñîãëàñíî ïðèíöèïó Ãþéãåíñà, îò êàæäîé òî÷êè êàæäîãî âûñòóïà ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âòîðè÷íûå
âîëíû. Ïðè÷åì ëó÷è îò êàæäîãî âûñòóïà èäóò íå òîëüêî
ïîä óãëîì i¢ = i , êàê ýòî ñëåäóåò èç çàêîíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè, íî è ïî âñåì äðóãèì íàïðàâëåíèÿì. Ãîâîðÿò,
÷òî ëó÷è äèôðàãèðóþò (îò ëàò. diffractus – ðàçëîìàííûé).
Óñòàíîâèì íà ïóòè âòîðè÷íûõ âîëí, äèôðàãèðóþùèõ ïîä
íåêîòîðûì óãëîì ϕ , ñîáèðàþùóþ ëèíçó. Îíà ñîáåðåò èõ â
ãëàâíîì ôîêóñå, ãäå ïðè íàëîæåíèè âîëíû áóäóò èíòåðôåðèðîâàòü. Ðåçóëüòàò èíòåðôåðåíöèè çàâèñèò îò ðàçíîñòè
õîäà âîëí ∆ , èäóùèõ îò äâóõ ñîñåäíèõ âûñòóïîâ. Íàéäåì
åå.
Äîïóñòèì, ÷òî íà ðåøåòêó ïîä óãëîì i ïàäàåò ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû λ . Âûáåðåì ïàäàþùèå ëó÷è
1 è 2 è ñîîòâåòñòâóþùèå èì äèôðàãèðóþùèå ïîä óãëîì ϕ
ëó÷è 1′ è 2′ (ðèñ.2). Èç òî÷êè  ïðîâåäåì îòðåçîê BC ⊥ AC ,
à èç òî÷êè À – îòðåçîê AD ⊥ BD . Õîä ëó÷åé 1 è 2 äî AD è
õîä ëó÷åé 1′ è 2′ îò ÂÑ äî âñòðå÷è â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè
ñîáèðàþùåé ëèíçû îäèíàêîâû, ñëåäîâàòåëüíî, ðàçíîñòü
õîäà èíòåðôåðèðóþùèõ âîëí ðàâíà ∆ = AC − BD . Èç òðåóãîëüíèêîâ ÀÑ è ADB ïîëó÷àåì AC = d sin ϕ è BD = d sin i ,
37-48.p65
44
Ðèñ. 2
õîäà êðàòíà äëèíå âîëíû:
∆ = kλ , ãäå k = 0, 1, 2, …
Èç ñîîòíîøåíèé äëÿ ∆ ïîëó÷àåì, ÷òî ìàêñèìóì îñâåùåííîñòè ó÷àñòêà ðåøåòêè â îêðåñòíîñòè âûñòóïîâ À è  íàáëþäàåòñÿ, êîãäà
d (sin ϕ − sin i ) = kλ .
(1)
Åñëè óãîë ïàäåíèÿ i = 0, ò.å. ñâåò ïàäàåò ïî íîðìàëè ê
ðåøåòêå, òî óñëîâèå ìàêñèìóìà ïðèíèìàåò âèä
d sin ϕ = kλ .
(2)
Ïîñìîòðèòå òåïåðü íà ðèñóíîê 3, íà êîòîðîì ïðèâåäåíî
óâåëè÷åííîå èçîáðàæåíèå ó÷àñòêà ïîâåðõíîñòè êîìïàêò-
Ðèñ. 3
äèñêà. Èíôîðìàöèÿ íà íåì çàïèñàíà òî÷êàìè è ÷åðòî÷êàìè.
Âèäíî, ÷òî ìåæäó ñòðîêàìè èíôîðìàöèè, êàê è â îòðàæàòåëüíîé ðåøåòêå, íàõîäÿòñÿ ðàâíîîòñòîÿùèå ïîëîñêè íåäåôîðìèðîâàííîé ïëåíêè ìåòàëëà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè îñâåùåíèè äèñêà ìàêñèìàëüíî îñâåùåííûìè áóäóò òå ó÷àñòêè,
äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ìàêñèìóìà (1).
Ïîïðîáóåì îáúÿñíèòü è âîçíèêíîâåíèå öâåòíûõ ñåêòîðîâ
íà ïîâåðõíîñòè êîìïàêò-äèñêà. Ðàññìîòðèì õîä ëó÷åé îò
òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ñâåòà S â ãëàç íàáëþäàòåëÿ (ðèñ.4).
Èñòî÷íèê îñâåùàåò äèñê áåëûì ñâåòîì ñ äëèíàìè âîëí îò
λ = 0,4 ìêì (ôèîëåòîâûé ñâåò) äî λ = 0,76 ìêì (êðàñíûé
ñâåò). Âîëíû äèôðàãèðóþò îò ó÷àñòêîâ À è  äèñêà, ðàññå÷åííîãî âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòüþ âäîëü åãî ðàäèóñà. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ãëàçà ñâîäèò ëó÷è íà ñåò÷àòêå, ãäå îíè
èíòåðôåðèðóþò. Èç ðèñóíêà 4 âèäíî, ÷òî ïðè ïåðåìåùåíèè
îò ó÷àñòêà À ê ó÷àñòêó  óãîë äèôðàêöèè ϕ óìåíüøàåòñÿ, à
óãîë ïàäåíèÿ i ðàñòåò. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçíîñòü õîäà âîëí ∆
óáûâàåò. Åñëè, íàïðèìåð, ðàçíîñòü õîäà âîëí 1 è 2, ïîïàäà-
29.07.09, 18:02
ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß
Ðèñ. 4
þùèõ â ãëàç îò ó÷àñòêà À, ðàâíà ∆ = 0,76 ìêì , à ðàçíîñòü
õîäà âîëí 3 è 4, ïðèøåäøèõ â ãëàç îò ó÷àñòêà Â, ñîñòàâëÿåò
∆ = 0,4 ìêì , òî ó÷àñòîê äèñêà À áóäåò êàçàòüñÿ êðàñíûì, à
ó÷àñòîê  – ôèîëåòîâûì. Ìåæäó ó÷àñòêàìè À è  äèñê áóäåò
îêðàøåí â äðóãèå öâåòà ðàäóãè.
À òåïåðü – ñîáñòâåííî îïûòû.
Îïðåäåëåíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñòðîêàìè çàïèñàííîé
èíôîðìàöèè. Ñõåìà óñòàíîâêè äëÿ ïðîâåäåíèÿ èçìåðåíèé
ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå 5, ãäå 1 – ãåëèé-íåîíîâûé ëàçåð èëè
ëàçåðíàÿ óêàçêà, 2 – ìèëëèìåòðîâàÿ ëèíåéêà, â ñåðåäèíå
êîòîðîé ïðîñâåðëåíî îòâåðñòèå äèàìåòðîì 2 ìì,
3 – êîìïàêò-äèñê.
Ëèíåéêó è äèñê óñòàíàâëèâàþò ïåðïåíäèêóëÿðíî ëó÷ó òàê, ÷òîáû
îí ïðîõîäèë ÷åðåç îòâåðñòèå â ëèíåéêå è ïîïàäàë íà äèñê ó åãî êðàÿ.
Ïðè ïðàâèëüíîé óñòàíîâêå íà ëèíåéêå ïîÿâëÿþòñÿ 5 êðàñíûõ ïÿòíûøåê – 5 äèôðàêöèîíÐèñ. 5
íûõ ìàêñèìóìîâ: öåíòðàëüíûé íóëåâîé ìàêñèìóì è ïî äâà áîêîâûõ ìàêñèìóìà ïî
îáå ñòîðîíû îò íåãî. (Åñëè âçÿòü DVD-äèñê, òî ìàêñèìóìîâ
áóäåò 3.) Íåáîëüøèì ïîâîðîòîì è íàæèìîì äèñêà äîáèâàþòñÿ òàêîãî ïîëîæåíèÿ, ïðè êîòîðîì öåíòðàëüíûé ìàêñèìóì
ïîïàäàåò â îòâåðñòèå ëèíåéêè, â ýòîì ñëó÷àå óãîë ïàäåíèÿ
i = 0. Èç ñîîòíîøåíèÿ (2) ïîëó÷àåì, ÷òî èñêîìîå ðàññòîÿíèå
ìåæäó ñòðîêàìè çàïèñè èíôîðìàöèè ðàâíî
kλ
d=
.
sin ϕ
Èç ðèñóíêà 5 íàõîäèì
l
sin ϕ =
.
2
l + L2
Òîãäà îêîí÷àòåëüíî
kλ l 2 + L2
d=
,
l
ïðè÷åì äëÿ ñïåêòðà ïåðâîãî ïîðÿäêà k = 1, äëÿ ñïåêòðà
âòîðîãî ïîðÿäêà k = 2.
Îïðåäåëåíèå ãðàíèö âèäèìîãî ñîëíå÷íîãî ñïåêòðà. Äëÿ
ïðîâåäåíèÿ ýòîãî îïûòà íà ëèñò ïëîòíîãî êàðòîíà íàêëåèâàþò ëèñò êëåò÷àòîé èëè ìèëëèìåòðîâîé áóìàãè. Øèëîì èëè
òîëñòîé èãëîé ïðîêàëûâàþò îòâåðñòèå äèàìåòðîì 1–2 ìì.
Êàðòîí ñ îòâåðñòèåì è äèñê çàæèìàþò ìåæäó êðàÿìè êíèãè
è åå êàðòîííûìè îáëîæêàìè (ðèñ.6). Äëÿ îïûòà äîñòàòî÷íî
âçÿòü êíèãó òîëùèíîé 40–50 ìì. Âìåñòî êíèãè ìîæíî
âîñïîëüçîâàòüñÿ äåðåâÿííûì áðóñêîì òàêîé æå èëè áîëüøåé
òîëùèíû.
 ñîëíå÷íûé äåíü ýòó óñòàíîâêó ðàñïîëàãàþò òàê, ÷òîáû
ëó÷, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç îòâåðñòèå â êàðòîíå, ïîïàäàë íà êðàé
äèñêà. Òîãäà íà êëåò÷àòîé áóìàãå âîçíèêàåò áåëûé êðóæîê –
37-48.p65
45
«ÊÂÀÍÒÀ»
"#
ñïåêòð íóëåâîãî ïîðÿäêà, à ïî îáå ñòîðîíû îò íåãî ïîÿâëÿþòñÿ ðàäóæíûå ïîëîñêè – ñïåêòðû ïåðâîãî ïîðÿäêà. Íåáîëüøèì ïîâîðîòîì è íàêëîíîì êíèãè äîáèâàþòñÿ òàêîãî ïîëîæåíèÿ, êîãäà ñïåêòð íóëåâîãî ïîðÿäêà ñîâïàäàåò ñ îòâåðñòèåì. Çàìå÷àþò ðàññòîÿíèÿ îò îòâåðñòèÿ äî ôèîëåòîâîãî êðàÿ
ñïåêòðà lô è äî êðàñíîãî êðàÿ ñïåêòðà lêð . Ïðè ðàññìîòðåííîì ðàñïîëîæåíèè i = 0 è k = 1. Ïîýòîìó, ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (2) è ðèñóíêó 6,
l
λ = d sin ϕ = d
,
2
l + L2
ãäå d – ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè (â ñîâðåìåííûõ êîìïàêò-äèñêàõ
d ≈ 1,6 ìêì , â DVD-äèñêàõ d ≈ 0,8 ìêì ), l – ðàññòîÿíèå îò
îòâåðñòèÿ äî êðàÿ ñïåêòðà ïåðâîãî ïîðÿäêà, L – òîëùèíà
êíèãè èëè áðóñêà.
Íàáëþäåíèå ëèíåé÷àòûõ ñïåêòðîâ ðòóòè è îáðàùåííîé
ëèíèè íàòðèÿ. Äëÿ íàáëþäåíèÿ ëèíåé÷àòûõ ñïåêòðîâ ïðîùå
âñåãî âîñïîëüçîâàòüñÿ èçëó÷åíèåì äóãîâûõ ðòóòíûõ ëàìï,
ïðèìåíÿåìûõ äëÿ îñâåùåíèÿ óëèö è ïëîùàäåé. Â êîëáå
òàêîé ëàìïû íàõîäèòñÿ èëè êàïåëüêà ðòóòè (ëàìïà «õîëîäíîãî» ñâåòà), èëè êàïåëüêà ðàñòâîðà íàòðèÿ â ðòóòè (ëàìïà
«òåïëîãî» ñâåòà). Ïðè äóãîâîì ðàçðÿäå â êîëáå ëàìïû
êàïåëüêà ïðåâðàùàåòñÿ
â ïàðû Hg è Na, àòîìû
êîòîðûõ èçëó÷àþò ñâåò,
èìåþùèé ëèíåé÷àòûé
ñïåêòð.
Ðàñïîëîæèâ äèñê ïåðïåíäèêóëÿðíî âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè, â
êîòîðîé ëåæàò ëàìïà è
ãëàç, è ïðèëîæèâ âåðõíèé êðàé äèñêà ê ùåêå,
÷óòü íèæå ãëàçà, âðàùàþò äèñê âîêðóã åãî ãîðèçîíòàëüíîãî äèàìåòðà è Ðèñ. 6
íàõîäÿò çåðêàëüíîå
èçîáðàæåíèå ëàìïû. Ïðè äàëüíåéøåì ïîâîðîòå äèñêà ïî
÷àñîâîé ñòðåëêå ïîÿâëÿåòñÿ ñíà÷àëà ëèíåé÷àòûé ñïåêòð
ïåðâîãî ïîðÿäêà â âèäå ÷åðòî÷åê – ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé –
ðàçëè÷íîãî öâåòà, à çàòåì – è ñïåêòð âòîðîãî ïîðÿäêà.
Ñïåêòð ðòóòíî-íàòðèåâîé ëàìïû îáëàäàåò óäèâèòåëüíîé
îñîáåííîñòüþ, íà êîòîðóþ íåëüçÿ íå îáðàòèòü âíèìàíèå.
Êðîìå óêàçàííûõ öâåòíûõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé, ïðèíàäëåæàùèõ àòîìàì ðòóòè, â æåëòîé ÷àñòè ñïåêòðà íàáëþäàåòñÿ
òàêæå ÷åðíàÿ ëèíèÿ. Îíà íàõîäèòñÿ êàê ðàç â òîì ìåñòå, ãäå
äîëæíà áûòü æåëòàÿ ëèíèÿ íàòðèÿ, ïîýòîìó åå íàçûâàþò
îáðàùåííîé ëèíèåé íàòðèÿ. Ïðè÷èíà åå âîçíèêíîâåíèÿ
òàêîâà. Ïîíÿòíî, ÷òî òåìïåðàòóðà ïàðîâ Na â öåíòðàëüíîé
÷àñòè êîëáû çíà÷èòåëüíî âûøå òåìïåðàòóðû ñëîÿ, ïðèëåãàþùåãî ê ñòåíêàì êîëáû. Âñëåäñòâèå ýòîãî ïðè ïðîõîæäåíèè
èçëó÷åíèÿ îò öåíòðàëüíûõ ñëîåâ ÷åðåç «õîëîäíûé» ïðèñòåííûé ñëîé æåëòûé ñâåò ñ äëèíîé âîëíû λ 0 = 0,589 ìêì
õîðîøî ïîãëîùàåòñÿ, à ñâåò ñ äëèíàìè âîëí áîëüøå èëè
ìåíüøå λ 0 ïîãëîùåíèÿ íå èñïûòûâàåò. Òàêèì îáðàçîì,
ëèíèÿ ñ äëèíîé âîëíû λ 0 êàæåòñÿ ÷åðíîé ïî êîíòðàñòó ñ
ñîñåäíèìè ó÷àñòêàìè ñïåêòðà.
Òàêîâà æå ïðè÷èíà âîçíèêíîâåíèÿ è òåìíûõ ëèíèé Ôðàóíãîôåðà â ñïåêòðå Ñîëíöà. Îíè âîçíèêàþò ïðè ïðîõîæäåíèè ñâåòà îò ôîòîñôåðû ñ òåìïåðàòóðîé Ò ≈ 6000 Ê ÷åðåç
àòìîñôåðó Ñîëíöà ñ ãîðàçäî ìåíüøåé òåìïåðàòóðîé.
29.07.09, 18:02
"$
ÍT
009/¹4
Ì À Ò Å Ì À ÊÒÂÈÀ ×
ÅÑ2Ê
ÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
Ìîäóëü ñóììû
è ñóììà ìîäóëåé
ÈÒÀÒÅËÈ «ÊÂÀÍÒÀ» ÍÀÂÅÐÍßÊÀ ÂÑÒÐÅ×ÀËÈÑÜ Ñ ÏÎ×-
òè î÷åâèäíûì è î÷åíü âàæíûì íåðàâåíñòâîì:
a+b ≤ a + b ,
(1)
ñïðàâåäëèâûì ïðè ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ a è b. Î åãî
ñëåäñòâèÿõ, ïðèìåíåíèÿõ è îáîáùåíèÿõ ìû è ïîãîâîðèì.
Äîêàçàòü íåðàâåíñòâî (1) ìîæíî, ðàññìàòðèâàÿ ðàçëè÷íûå
êîìáèíàöèè çíàêîâ ÷èñåë a è b. Ìû ïîñòóïèì èíà÷å.
2
2
Çàïèøåì ðàâíîñèëüíîå íåðàâåíñòâî a + b ≤ ( a + b ) .
Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè è âûïîëíÿÿ íåîáõîäèìûå óïðîùåíèÿ,
ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó ab ≤ a ⋅ b . Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî
î÷åâèäíî, èáî x ≥ x ïðè ëþáîì çíà÷åíèè õ.
Î÷åâèäíî, ÷òî ðàâåíñòâî â íåðàâåíñòâå (1) äîñòèãàåòñÿ,
åñëè è òîëüêî åñëè ab ≥ 0 . Èíîãäà, äîïóñêàÿ íåêîòîðóþ
âîëüíîñòü ðå÷è, ãîâîðÿò, ÷òî a è b èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè.
Åñëè ÷èñëà a è b èìåþò ðàçíûå çíàêè, òî ïðè ab < 0 èìååò
ìåñòî ñòðîãîå íåðàâåíñòâî a + b < a + b .
Áóäóùèì ñòóäåíòàì ïîëåçíî çíàòü, ÷òî íåðàâåíñòâî (1)
ñòàíåò îäíèì èç îñíîâíûõ ïðè èçó÷åíèè êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.
Íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ
Çàìåíèâ â íåðàâåíñòâå (1) b íà –b, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
a−b ≤ a + b .
)(
)
Óïðàæíåíèå 3. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñëàõ
õ è ó, åñëè èçâåñòíî, ÷òî x + y > 1 + xy ?
Çàäà÷à 2 (LIX Ìîñêîâñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà).
Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà õ, ó, z óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
À.ÅÃÎÐÎÂ
×
(
íåðàâåíñòâî 1 − x2 1 − y2 > 0 , î÷åâèäíî ñïðàâåäëèâîå ïðè
èìåþùèõñÿ îãðàíè÷åíèÿõ íà õ è ó.
Ïîïóòíî çàìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâî èç óñëîâèÿ çàäà÷è 1
ñïðàâåäëèâî è äëÿ ëþáûõ õ, ó, äëÿ êîòîðûõ |x| > 1 è |y| >1.
( 1′ )
Ðàâåíñòâî â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå äîñòèãàåòñÿ ïðè ab ≤ 0 .
Ñïðàâåäëèâû òàêæå íåðàâåíñòâà
a − b ≤ a+b ,
(2)
a − b ≤ a−b .
( 2′ )
Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâà (2) è ( 2′ ) è âûÿñíèòå,
ïðè êàêèõ a è b îíè îáðàùàþòñÿ â ðàâåíñòâà.
Íåðàâåíñòâî (1) ïî èíäóêöèè îáîáùàåòñÿ íà ëþáîå êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ:
a1 + a2 + … + an ≤ a1 + a2 + … + an
(3)
ïðè ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ a1, a2,… , an , è ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ ëèøü òîãäà, êîãäà aia j ≥ 0 ïðè i ≠ j , i, j = 1, 2,...,n.
Óïðàæíåíèå 2. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî (3).
x ≤ y − z, y ≤ z − x, z ≤ x − y .
(∗ )
Äîêàæèòå, ÷òî îäíî èç ÷èñåë õ, ó, z ðàâíî ñóììå äâóõ
îñòàëüíûõ.
Ðåøåíèå. Åñëè õîòÿ áû â îäíîì èç íåðàâåíñòâ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî, ò.å., íàïðèìåð, |x| = |y – z|, òî ëèáî y = x + z,
ëèáî z = x + y.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî âñå íåðàâåíñòâà ( ∗ ) ñòðîãèå.
2
2
2
Òîãäà x2 < ( y − z ) , y2 < ( z − x ) , z2 < ( x − y ) , èëè
( x − y + z )( x + y − z ) < 0,

( y − z + x )( y + z − x ) < 0,

( z − x + y )( z + x − y ) < 0,
( ∗∗ )
ò.å. ëåâûå ÷àñòè íåðàâåíñòâ ( ∗∗ ) îòðèöàòåëüíûå. Îäíàêî,
ïåðåìíîæèâ èõ, ïîëó÷èì
( x + y − z )2 ( x + z − y )2 ( y + z − x )2 .
Ýòî ÷èñëî ïîëîæèòåëüíî. Ïîýòîìó ñèñòåìà ( ∗∗ ) íåñîâìåñòíà, òàê êàê ïðîèçâåäåíèå òðåõ îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë îáÿçàíî
áûòü îòðèöàòåëüíûì.
Ñëåäóþùàÿ çàäà÷à ïðåäëàãàëàñü íà LVIII Ìîñêîâñêîé
ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå.
Çàäà÷à 3. Äîêàæèòå, ÷òî
x + y + z ≤ x+y−z + x+z−y + y+z−x .
Ðåøåíèå. Èç íåðàâåíñòâà (1) ñëåäóåò, ÷òî
x+y−z + x+z−y ≥ x+y−z+x+z−y =2x .
Àíàëîãè÷íî,
x+y−z + y+z−x ≥2y ,
x+z−y + y+z−x ≥2z .
Ñêëàäûâàåì ïîëó÷åííûå íåðàâåíñòâà, è çàäà÷à ðåøåíà.
Óïðàæíåíèå 4. Ïðè êàêèõ x, y è z íåðàâåíñòâî çàäà÷è 3
îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî?
Çàäà÷à 4. Äàíû ÷èñëà a1, a2,… , an . Èçâåñòíî, ÷òî ñóììà
ëþáûõ äâóõ èç ýòèõ ÷èñåë ïî ìîäóëþ íå áîëüøå äâóõ.
Äîêàæèòå, ÷òî a1 + … + an ≤ n .
Ðåøåíèå. Çàïèøåì ìîäóëü óäâîåííîé ñóììû äàííûõ
÷èñåë è âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì (3):
2a1 + 2a2 + 2a3 + … + 2an =
Òåïåðü ïîñìîòðèì, êàê «ðàáîòàþò» äîêàçàííûå íåðàâåíñòâà.
= a1 + a2 + a2 + a3 + … + an −1 + an + an + a1 ≤
Íåñêîëüêî çàäà÷
îòêóäà è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå çàäà÷è.
Ðåøèì åùå çàäà÷ó, ïðåäëàãàâøóþñÿ äåñÿòèêëàññíèêàì â
1974 ãîäó íà Âñåñîþçíîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå.
Çàäà÷à 5. Ïðè êàêèõ äåéñòâèòåëüíûõ à, b, ñ ðàâåíñòâî
Íà÷íåì ñ çàäà÷è, â ðåøåíèè êîòîðîé èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä
äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâà (1).
Çàäà÷à 1 (XV Ìîñêîâñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà).
Äîêàæèòå, ÷òî
x−y
<1
1 − xy
ïðè ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ õ è ó òàêèõ, ÷òî |x| < 1, |y| < 1.
Ðåøåíèå. Çàïèøåì ðàâíîñèëüíîå íåðàâåíñòâî x − y <
< 1 − xy è âîçâåäåì åãî â êâàäðàò: ( x − y )2 < (1 − xy )2 .
Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè, ïîëó÷èì ïîñëå ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé
37-48.p65
46
≤ a1 + a2 + a2 + a3 + … + an + a1 ≤ 2n ,
ax + by + cz + bx + cy + az + cx + ay + bz = x + y + z
âåðíî äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ õ, ó, z?
Ðåøåíèå. Ïîäñòàâëÿÿ â óñëîâèå x = y = z = 1, çàòåì x =
= y = 0, z = 1, è x = 1, y = –1, z = 0, ïîëó÷èì ñèñòåìó
a + b + c = 1 , a + b + c = 1 , a − b + b − c + c − a = 2 . Èç
ïåðâûõ äâóõ ðàâåíñòâ ñëåäóåò, ÷òî ab ≥ 0 , bc ≥ 0 , ac ≥ 0 .
29.07.09, 18:02
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
Òåïåðü çàïèøåì íåðàâåíñòâà
a−b ≤ a + b, b−c ≤ b + c, c−a ≤ a + c.
z1 + z2 ≤ z1 + z2 ñëåäóåò òàêîå íåðàâåíñòâî äëÿ ëþáûõ
äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b, ñ è d:
(a + c )2 + (b + d )2
Ñëîæèâ èõ, ïîëó÷àåì
a − b + b − c + c − a ≤ 2( a + b + c ) = 2 .
Ðàâåíñòâî â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå âîçìîæíî ëèøü òîãäà,
êîãäà âî âñåõ òðåõ ïðåäûäóùèõ íåðàâåíñòâàõ – òîæå ðàâåíñòâà, ÷òî âîçìîæíî ëèøü ïðè ab ≤ 0, bc ≤ 0, ac ≤ 0 . Èç ðàíåå
ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî ab = bc = ac = 0, òàê ÷òî äâà èç ÷èñåë
à, b, ñ çàâåäîìî ðàâíû 0. Ïîäñòàíîâêà â ïåðâîå ðàâåíñòâî
äàåò, ÷òî òðåòüå ÷èñëî ðàâíî ïî ìîäóëþ 1.
Îòâåò: äâà èç ÷èñåë à, b, ñ – íóëè, à òðåòüå ±1 .
Ñëåäóþùàÿ çàäà÷à âçÿòà èç «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
Çàäà÷à 6 (Ì722).  òî÷êàõ A1, A2,… , An , ðàñïîëîæåííûõ
íà îêðóæíîñòè, ðàññòàâëÿþòñÿ â íåêîòîðîì ïîðÿäêå ÷èñëà
1, 2, …, n. Êàêîå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ìîæåò èìåòü ñóììà
n ìîäóëåé ðàçíîñòåé ñîñåäíèõ ÷èñåë?
Ðåøåíèå. Ïóñòü ÷èñëî 1 íàõîäèòñÿ
â òî÷êå A1 , à ÷èñëî n – â òî÷êå Ak
(ðèñ. 1). Ïóñòü òàêæå íà äóãå A1 Ak
ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè ñòîÿò ÷èñëà
a1, a2,… , an − k , à íà äóãå A1 Ak ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå – ÷èñëà b1, b2,… , bk −2 .
Ñóììà ìîäóëåé ïîïàðíûõ ðàçíîñòåé ñîñåäíèõ ÷èñåë ðàâíà
Ðèñ. 1
b1 − 1 + b2 − b1 + … + bk −2 − n +
+ a1 − 1 + a2 − a1 + … + an −k − n ≥
≥ b1 − 1 + b2 − b1 + b3 − b2 + …
… + bk −2 − n + a1 − 1 + a2 − a1 + … + an −k − n = 2 (n − 1) .
Èòàê, ñóììà ìîäóëåé ïîïàðíûõ ðàçíîñòåé íå ìåíüøå 2n – 2.
Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî åñëè íà êàæäîé èç äóã ïåðåñòàâèòü
÷èñëà b1,… , bk − 2 è a1,… , an − k â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ (ïðè
äâèæåíèè â ñîîòâåòñòâóþùåì íàïðàâëåíèè), òî ïîëó÷åííàÿ
ñóììà áóäåò â òî÷íîñòè ðàâíà 2n – 2.
Óïðàæíåíèå 5. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ñïîñîáîâ ðàññòàíîâêè
÷èñåë 1, 2, …, n â òî÷êàõ A1, A2,…, An , äëÿ êîòîðûõ ñóììà
ìîäóëåé ïîïàðíûõ ðàçíîñòåé ðàâíà 2n – 2?
Âåêòîðû è êîìïëåêñíûå ÷èñëà
Íåðàâåíñòâî (1) ñïðàâåäëèâî è äëÿ âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè
èëè â ïðîñòðàíñòâå. Äîêàæåì ýòî. Ïóñòü a è b – äâà
íåíóëåâûõ âåêòîðà. Îòëîæèì èõ îò íåêîòîðîé òî÷êè Î.
Åñëè âåêòîðû íå êîëëèíåàðíû (ðèñ.2,à), èõ ñóììà èçîáðàæàåòñÿ äèàãîíàëüþ ïàðàëëåëîãðàììà, è òîãäà â ñèëó íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà | a + b | < | a | + | b | .
Åñëè a è b êîëëèíåàðíû è îäèíàêîâî íàïðàâëåíû (ðèñ.2,á),
òî | a + b | = | a | + | b | , à åñëè èõ íàïðàâëåíèÿ ïðîòèâîïîëîæíû (ðèñ.2,â), òî | a + b | = | a | − | b | < | a | + | b | .
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âåêòîðîâ íåðàâåíñòâî (1) ñïðàâåäëèâî
è îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî ëèøü òîãäà, êîãäà îäèí èç íèõ
ðàâåí íóëþ ëèáî êîãäà îíè îäèíàêîâî íàïðàâëåíû.
Äëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 = a + bi è z2 = c + di íåðàâåíñòâî (1) òàêæå ñïðàâåäëèâî, èáî êîìïëåêñíûå ÷èñëà ìîæíî
îòîæäåñòâèòü ñ âåêòîðàìè íà ïëîñêîñòè. Èç íåðàâåíñòâà
"%
ÊÐÓÆÎÊ
≤ a 2 + b 2 + c2 + d2 .
Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî íåðàâåíñòâà ( 1′ ), (2), ( 2′ ) è (3)
ñïðàâåäëèâû è äëÿ âåêòîðîâ, è äëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
Óïðàæíåíèå 6. Óáåäèòåñü â ýòîì.
Ïðè ýòîì èç íåðàâåíñòâà (3) äëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
z1 = a1 + ib1, … , zn = an + ibn ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
(a1 + … + an )2 + (b1 + … + bn )2
≤
a12 + b12 + … + an2 + bn2
äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ a1,… , an ; b1,… , bn .
Óïðàæíåíèå 7. Îñòàåòñÿ ëè ñïðàâåäëèâûì íåðàâåíñòâî çàäà÷è 1 ïðè êîìïëåêñíûõ õ è ó?
Çàäà÷à 7. Èç òî÷êè Î ïëîñêîñòè ïðîâåäåíî íåñêîëüêî
âåêòîðîâ, ñóììà äëèí êîòîðûõ ðàâíà 4. Äîêàæèòå, ÷òî
ìîæíî âûáðàòü íåñêîëüêî âåêòîðîâ òàê, ÷òî äëèíà èõ
ñóììû áîëüøå 1.
Ðåøåíèå. Ââåäåì òàêóþ ïðÿìîóãîëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò õÎó, ÷òî íè îäèí èç äàííûõ âåêòîðîâ a1, a 2,… , a n íå
ëåæèò íà îñÿõ êîîðäèíàò (ðèñ.3). Ïðè ýòîì âåêòîðû ðàçîáüþòñÿ íà 4 ãðóïïû – â êàæäîì êâàäðàíòå êîîðäèíàòíîé
ïëîñêîñòè – ñâîÿ ãðóïïà.
Ïî óñëîâèþ ∑ ai = 4 . Ïóñòü ai = ( xi, yi ) . Òîãäà ai =
i=1
= xi2 + yi2 . Â ñèëó âûáîðà ñèñòåìû êîîðäèíàò xi2 + yi2 <
< xi + yi (äîêàæèòå ýòî íåðàâåíñòâî!). Ïîýòîìó 4 =
=
n
n
n
i =1
i =1
i =1
∑ ai < ∑ xi + ∑ yi
. Îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî ñóììà äëèí ïðîåêöèé
âåêòîðîâ íà îäèí èç ëó÷åé, ëåæàùèõ íà êîîðäèíàòíûõ îñÿõ, áîëüøå 1. Íî òîãäà è äëèíà ñóììû
âåêòîðîâ, ëåæàùèõ â ñîîòâåòñòâóþùåé ïîëóïëîñêîñòè, áóäåò áîëüøå 1, ïîñêîëüêó ïðè ýòîì ñóììà Ðèñ. 3
ïðîåêöèé âåêòîðîâ íà ñîîòâåòñòâóþùèé ëó÷ ðàâíà ïðîåêöèè
èõ ñóììû. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîäóëü ñóììû ýòèõ âåêòîðîâ
áîëüøå 1.
Åùå îäíî íåðàâåíñòâî
Ó÷àñòíèêàì X Âñåñîþçíîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäû
áûëà ïðåäëîæåíà çàìå÷àòåëüíàÿ çàäà÷à.
Çàäà÷à 8. Íà ïëîñêîñòè äàíû âåêòîðû =, >, ? è @, ñóììà
êîòîðûõ ðàâíà . Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî
|=| + |>| + |?| + |@| ≥ |= + @| + |> + @| + |? + @|.
(4)
Ïðåæäå ÷åì äîêàçûâàòü ýòî íåðàâåíñòâî, ñäåëàåì íåñêîëüêî çàìå÷àíèé.
Ïóñòü a, b, c – ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû íà ïëîñêîñòè.
Ïîäñòàâëÿÿ â (4) d = –a – b – c, ïîëó÷àåì äëÿ âåêòîðîâ a,
b, c íåðàâåíñòâî
a + b + b + c + c + a ≤ a + b + c + a + b + c . ( 4′ )
Ñíà÷àëà ìû äîêàæåì íåðàâåíñòâî ( 4′ ), à ñëåäîâàòåëüíî è
(4), äëÿ ÷èñåë.
Çàäà÷à 9. Äîêàæèòå, ÷òî íåðàâåíñòâî
a+b + b+c + c+a ≤ a + b + c + a+b+c
ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ à, b è ñ.
Ðåøåíèå. Íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî, åñëè âñå ÷èñëà à, b, ñ
Ðèñ. 2
37-48.p65
47
29.07.09, 18:02
"&
ÊÂÀÍT 2009/¹4
íåîòðèöàòåëüíû (íåïîëîæèòåëüíû), à òàêæå åñëè îäíî èõ
íèõ ðàâíî 0 (íåðàâåíñòâî òîãäà îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî).
Åñëè äëÿ òðîéêè à, b, ñ íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ, òî îíî
ñïðàâåäëèâî è äëÿ òðîéêè –à, –b, –c. Ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî a > 0, b > 0, c < 0. Ïîäåëèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè íà à
c
b
è âûïîëíèì çàìåíó x = > 0 , y = < 0 .
a
a
Çàäà÷à òåïåðü ñâîäèòñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó íåðàâåíñòâà
1+ x + x + y + 1+ y ≤ 1+ x + y + 1+ x + y
ïðè x > 0, y < 0, ò.å. íåðàâåíñòâà
x + y + 1 + y ≤ y + 1 + x + y , ãäå x > 0, y < 0.
Ïðè y ≥ −1 ïîëó÷àåì ïîñëå óïðîùåíèé íåðàâåíñòâî
x + y ≤ x − y = x + y , à ýòî – íåðàâåíñòâî (1).
Åñëè y < –1, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó 1 + x + y ≥ x + y − 1
ñïðàâåäëèâîìó â ñèëó íåðàâåíñòâà (2).
Òåì ñàìûì íåðàâåíñòâî ( 4′ ) äîêàçàíî.
Íà äîêàçàííîå íàìè íåðàâåíñòâî (4) äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë îïèðàåòñÿ ýôôåêòíîå è îñíîâàííîå íà ãëóáîêèõ èäåÿõ
äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâà (4) äëÿ âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè
è â ïðîñòðàíñòâå. Îíî èçëîæåíî â ñòàòüå Þ.Èîíèíà è
À.Ïëîòêèíà «Ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè» (ñì. «Êâàíò» ¹7
çà 1977 ã., ñ. 26).
Òåïåðü ðåøèì çàäà÷ó 8. Îíà îêàçàëàñü îäíîé èç ñàìûõ
òðóäíûõ çàäà÷ X Âñåñîþçíîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäû.
Äåëî â òîì, ÷òî äëÿ âåêòîðîâ íåò ïðîöåäóðû «cíÿòèÿ» çíàêîâ
ìîäóëÿ, êîòîðîé ìû ïîëüçîâàëèñü, ðåøàÿ çàäà÷ó 9. Çíà÷èò,
íóæíî èñêàòü ãåîìåòðè÷åñêîå ðåøåíèå.
Ðåøåíèå çàäà÷è 8. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâî
(4) ñèììåòðè÷íî, ò.å. ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ëþáûõ ïåðåñòàíîâêàõ
âåêòîðîâ a, b, c è d. Ýòî ñëåäóåò èç âèäà íåðàâåíñòâà è òîãî,
÷òî a + b + c + d = 0. Ïîýòîìó
äîñòàòî÷íî äîêàçàòü åãî äëÿ ëþáîé
÷åòâåðêè âåêòîðîâ, ïîëó÷åííîé ïåðåñòàíîâêîé èç äàííîé. Êðîìå òîãî,
íåðàâåíñòâî (4) î÷åâèäíî, åñëè ñóììà êàêèõ-òî äâóõ èç âåêòîðîâ ðàâíà
0. Èòàê, â äàëüíåéøåì ñ÷èòàåì, ÷òî
íè îäèí èç âåêòîðîâ è íè îäíà èç
ñóìì äâóõ èç íèõ íå ðàâíû 0.
Ïîñëåäîâàòåëüíî
âåê
îòêëàäûâàÿ
CD
=c,
AB
=
a
òîðû
,
,
BC
=
b
DA = d (ðèñ.4), ïîëó÷èì ïî ïðàâèÐèñ. 4
ëó ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ çàìêíóòóþ
ëîìàíóþ ëèíèþ ÀÂÑDA (a + b + c + d = 0).
Åñëè ýòà ëîìàíàÿ îêàæåòñÿ ñàìîïåðåñåêàþùåéñÿ, âñå ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî.  ñàìîì äåëå, ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà, AC ≤ AE + EC, BD ≤ BE + ED . Çíà÷èò, AC + BD ≤
≤ AE + ED + BE + EC = AB + DC . Äàëåå: CA = c + d ,
DB = d + a , ò.å. CA = c + d , BD = a + d , AB = a , CD = c .
Ïîýòîìó a + d + c + d ≤ a + c . Êðîìå òîãî, b + d ≤ b + d .
Ñêëàäûâàÿ ïîñëåäíèå äâà íåðàâåíñòâà, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì òðåáóåìîå: a + d + b + d + c + d ≤ a + b + c + d .
Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî äàííûå âåêòîðû ìîæíî ïåðåñòàâèòü
òàê, ÷òî ïîëó÷èòñÿ ñàìîïåðåñåêàþùàÿñÿ ëîìàíàÿ (ïðåæäå
÷åì ÷èòàòü äàëüøå, ïîäóìàéòå, êàê ýòî ñäåëàòü).
Èòàê, ïóñòü ñíà÷àëà ÷åòûðåõóãîëüíèê ÀÂÑD – íåâûïóêëûé èëè «âûðîæäàþùèéñÿ»
(ðèñ.5,à,á). Îòëîæèì îò òî÷êè
DA′ = a. Ëó÷[DA′ ïåðåñå÷åò îòðåçîê ÂÑ (ïî÷åìó?),
D
âåêòîð
A′B = d , à ëîìàíàÿ A′BCDA′ ñòàíåò ñàìîïåðåñåêàþùåéñÿ.
Åñëè æå ABCD âûïóêëûé
(ðèñ.6), îòëîæèì îò òî÷êè Ñ
âåêòîð CD′ = d . Òîãäà D′A = c , è ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD′
37-48.p65
48
Ðèñ. 5
îêàæåòñÿ ëèáî íåâûïóêëûì,
ëèáî ñàìîïåðåñåêàþùèìñÿ,
ò.å. âñå ñâåäåòñÿ ê îäíîìó èç
äâóõ óæå ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àåâ. Òåì ñàìûì íåðàâåíñòâî
(4) äîêàçàíî.
 òðåõìåðíîì ñëó÷àå óòâåðæäåíèå çàäà÷è 8 òàêæå ñïðàâåäëèâî, íî ïðèâåäåííîå äî- Ðèñ. 6
êàçàòåëüñòâî óæå íå ïðîõîäèò. (Áûëî áû èíòåðåñíî íàéòè
ýëåìåíòàðíîå äîêàçàòåëüñòâî, ïîñêîëüêó äîêàçàòåëüñòâî
Þ.Èîíèíà è À.Ïëîòêèíà íåýëåìåíòàðíî.)
Óïðàæíåíèÿ
 çàêëþ÷åíèå ïðåäëàãàåì âàì ðåøèòü íåñêîëüêî çàäà÷. Íåêîòîðûå èç íèõ ìîãóò ïîêàçàòüñÿ äàëåêèìè îò òåìû ñòàòüè. Îäíàêî
òàêîå âïå÷àòëåíèå îáìàí÷èâî.
Íà÷íåì ñ êîíêóðñíûõ è áëèçêèõ ê íèì ïî ñîäåðæàíèþ çàäà÷.
Çàäà÷è 8 á, â, 9, 11 â ðàçíûå ãîäû ïðåäëàãàëèñü íà âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíàõ â ÌÃÓ.
8. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ
à) x2 − 3x + 1 + 2x2 − x − 1 = 3x2 − 4 x ;
á) x − 1 + x + 1 + x − 2 + x + 2 + … + x − 100 + x + 100 = 200 x ;
â) tg x tg2x tg3x + tg x + tg2x = tg3x ïðè x ∈ (0; π] .
9. Ðåøèòå íåðàâåíñòâà
à) 1 − x2 − x2 − 3x + 2 ≥ 3 x − 1 ; á)
â) 2 sin x + 2 cos x + tg x + ctg x +
1 − sin 2x + sin x ≤ cos x ;
1
1
+
≤2.
sin x cos x
10. Íàéäèòå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè
à) y = x − 3 + x + x + 3 + x + 5 ;
á) y = x2 + 3x + 1 + x2 − 1 + 3x − 2 .
Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ õ äîñòèãàþòñÿ íàèìåíüøèå çíà÷åíèÿ?
11. Ïðè êàêèõ õ è ó âûðàæåíèå 2x − y − 1 + x + y + y äîñòèãàåò íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ? ×åìó ðàâíî ýòî çíà÷åíèå?
È, íàêîíåö, åùå íåñêîëüêî íåêîíêóðñíûõ çàäà÷.
12. Ïóñòü a1, a2,…, an – ïðîèçâîëüíàÿ ïåðåñòàíîâêà ÷èñåë 1,
2, …, n. Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå ñóììû
a1 − 1 + a2 − 2 + … + an − n .
13. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè à – êîðåíü ìíîãî÷ëåíà
f ( x ) = an x n + an −1x n −1 + … + a0 , ãäå an ≠ 0 , òî a < 1 + max
1≤ j ≤ n
14. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî
a
b
c
a+b+c
+
+
≥
1+ b 1+ c 1+ a 1+ a + b + c
aj
an
.
,
ãäå à, b, ñ – ïðîèçâîëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Ïîïðîáóéòå
îáîáùèòü ýòî íåðàâåíñòâî íà áîëüøåå êîëè÷åñòâî ÷èñåë (âîçìîæíû ðàçëè÷íûå îáîáùåíèÿ!).
15. Ïî îêðóæíîñòè ðàññòàâëåíû n ãèðåê ñ ðàçëè÷íûìè ìàññàìè, à íà äóãàõ ìåæäó êàæäûìè äâóìÿ ñîñåäíèìè ãèðüêàìè
ïîìåùàåòñÿ øàðèê. Ìàññà êàæäîãî øàðèêà ðàâíà ðàçíîñòè ìàññ
ñîñåäíèõ ñ íèì ãèðåê (èç áîëüøåé ìàññû âû÷èòàåòñÿ ìåíüøàÿ).
Ìîæíî ëè ðàçëîæèòü øàðèêè íà äâå ÷àøêè âåñîâ òàê, ÷òîáû
íàñòóïèëî ðàâíîâåñèå?
29.07.09, 18:02
Ë ÈÌ
ÌÏ
ÏÈ
ÄÛ
Î ËÎ È
ÈÀ À
ÄÛ
XXX Òóðíèð ãîðîäîâ
Çàäà÷è âåñåííåãî òóðà
"'
ÁÀÇÎÂÛÉ ÂÀÐÈÀÍÒ
íèÿ ìåäèàí ïðîòèâîïîëîæíîé ãðàíè. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðå
ïîëó÷åííûå ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
Ñ.Ìàðêåëîâ
8–9 êëàññû
ÑËÎÆÍÛÉ ÂÀÐÈÀÍÒ 2
1 (3)1. Â âûïóêëîì 2009-óãîëüíèêå ïðîâåäåíû âñå äèàãîíàëè. Ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåò 2009-óãîëüíèê, íî íå ïðîõîäèò
÷åðåç åãî âåðøèíû. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåò ÷åòíîå
÷èñëî äèàãîíàëåé.
Ã.Ãàëüïåðèí
8–9 êëàññû
2 (4). Ñì. çàäà÷ó Ì2131 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
3 (4). Âîëîäÿ õî÷åò ñäåëàòü íàáîð êóáèêîâ îäíîãî ðàçìåðà
è íàïèñàòü íà êàæäîé ãðàíè êàæäîãî êóáèêà ïî îäíîé öèôðå
òàê, ÷òîáû ìîæíî áûëî èç ýòèõ êóáèêîâ âûëîæèòü ëþáîå 30çíà÷íîå ÷èñëî. Êàêîãî íàèìåíüøåãî êîëè÷åñòâà êóáèêîâ åìó
äëÿ ýòîãî õâàòèò? (Öèôðû 6 è 9 ïðè ïåðåâîðà÷èâàíèè íå
ïðåâðàùàþòñÿ äðóã â äðóãà.)
Â.Çàìÿòèí
4 (4). Íàòóðàëüíîå ÷èñëî óâåëè÷èëè íà 10% è ñíîâà
ïîëó÷èëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ìîãëà ëè ïðè ýòîì ñóììà
öèôð óìåíüøèòüñÿ ðîâíî íà 10%?
À.Øàïîâàëîâ
5 (5). Â ðîìáå ABCD óãîë À ðàâåí 120°. Íà ñòîðîíàõ BC
è CD âçÿòû òî÷êè M è N òàê, ÷òî óãîë NAM ðàâåí 30°.
Äîêàæèòå, ÷òî öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà NAM, ëåæèò íà äèàãîíàëè ðîìáà.
Ð.Æåíîäàðîâ
10–11 êëàññû
1 (3). Ñì. çàäà÷ó Ì2131 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
2 (4). Ñì. çàäà÷ó Ì2132 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
3. Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n îáîçíà÷èì ÷åðåç
O ( n) åãî íàèáîëüøèé íå÷åòíûé äåëèòåëü. Äàíû ïðîèçâîëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà x1 = à è x2 = b. Ïîñòðîèì áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ïî ïðàâèëó:
xn = O ( xn -1 + xn - 2 ) , ãäå n = 3, 4, ...
à) (2) Äîêàæèòå, ÷òî, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìåñòà, âñå
÷èñëà â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóäóò ðàâíû îäíîìó è òîìó æå
÷èñëó.
á) (2) Êàê íàéòè ýòî ÷èñëî, çíàÿ ÷èñëà a è b?
Ã.Ãàëüïåðèí
4 (4). Â ðÿä âûïèñàíû íåñêîëüêî íóëåé è åäèíèö. Ðàññìîòðèì ïàðû öèôð â ýòîì ðÿäó (íå òîëüêî ñîñåäíèõ), ãäå ëåâàÿ
öèôðà ðàâíà 1, à ïðàâàÿ 0. Ïóñòü ñðåäè ýòèõ ïàð ðîâíî M
òàêèõ, ÷òî ìåæäó åäèíèöåé è íóëåì ýòîé ïàðû ñòîèò ÷åòíîå
÷èñëî öèôð (âîçìîæíî, íè îäíîé), è ðîâíî N òàêèõ, ÷òî
ìåæäó åäèíèöåé è íóëåì ýòîé ïàðû ñòîèò íå÷åòíîå ÷èñëî
öèôð. Äîêàæèòå, ÷òî M ≥ N .
Â.ßñèíñêèé
5 (4). Âíóòðè íåêîòîðîãî òåòðàýäðà âçÿëè ïðîèçâîëüíóþ
òî÷êó X. ×åðåç êàæäóþ âåðøèíó òåòðàýäðà ïðîâåëè ïðÿìóþ,
ïàðàëëåëüíóþ îòðåçêó, ñîåäèíÿþùåìó X ñ òî÷êîé ïåðåñå÷å1 Çäåñü è äàëåå â ñêîáêàõ ïîñëå íîìåðà êàæäîé çàäà÷è óêàçàíî
ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî áàëëîâ, ïðèñóæäàâøèõñÿ çà åå ðåøåíèå.
49-58.p65
49
1 (3). Âàñÿ è Ïåòÿ èãðàþò â ñëåäóþùóþ èãðó. Íà äîñêå
íàïèñàíû äâà ÷èñëà: 1/2009 è 1/2008. Íà êàæäîì õîäó Âàñÿ
íàçûâàåò ëþáîå ÷èñëî x, à Ïåòÿ óâåëè÷èâàåò îäíî èç ÷èñåë
íà äîñêå (êàêîå çàõî÷åò) íà x. Âàñÿ âûèãðûâàåò, åñëè â
êàêîé-òî ìîìåíò îäíî èç ÷èñåë íà äîñêå ñòàíåò ðàâíûì 1.
Ñìîæåò ëè Âàñÿ âûèãðàòü, êàê áû íè äåéñòâîâàë Ïåòÿ?
Ä.Áàðàíîâ
2. à) (2) Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ ìíîãîóãîëüíèê, êîòîðûé
ìîæíî ðàçäåëèòü îòðåçêîì íà äâå ðàâíûå ÷àñòè òàê, ÷òî ýòîò
îòðåçîê ðàçäåëèò îäíó èç ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà ïîïîëàì, à
äðóãóþ – â îòíîøåíèè 1 : 2.
á) (3) Íàéäåòñÿ ëè âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê ñ òàêèì
ñâîéñòâîì?
Ñ.Ìàðêåëîâ
3 (5). Â êàæäîé êëåòêå êâàäðàòà 101 ¥ 101 , êðîìå öåíòðàëüíîé, ñòîèò îäèí èç äâóõ çíàêîâ: «ïîâîðîò» èëè «ïðÿìî».
Øàõìàòíàÿ ôèãóðà «ìàøèíà» ìîæåò âúåõàòü èçâíå â ëþáóþ
êëåòêó íà ãðàíèöå êâàäðàòà (ïîä ïðÿìûì óãëîì ê ãðàíèöå).
Åñëè ìàøèíà ïîïàäàåò â êëåòêó ñî çíàêîì «ïðÿìî», òî îíà
ïðîäîëæàåò åõàòü â òîì æå íàïðàâëåíèè, ÷òî è åõàëà. Åñëè
ïîïàäàåò â êëåòêó ñî çíàêîì «ïîâîðîò», òî ïîâîðà÷èâàåò íà
90° â ëþáóþ ñòîðîíó ïî ñâîåìó âûáîðó. Öåíòðàëüíóþ êëåòêó
êâàäðàòà çàíèìàåò äîì. Ìîæíî ëè òàê ðàññòàâèòü çíàêè,
÷òîáû ìàøèíà íå ìîãëà ïîïàñòü â äîì?
À.×åáîòàð¸â
4 (5). Äàíà áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçëè÷íûõ
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Èçâåñòíî, ÷òî êàæäûé ÷ëåí ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (êðîìå ïåðâîãî) – ëèáî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå, ëèáî ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå äâóõ ñîñåäíèõ ñ íèì
÷ëåíîâ. Îáÿçàòåëüíî ëè âñå ÷ëåíû ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè,
íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî, – òîëüêî ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå
ëèáî òîëüêî ñðåäíèå ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîèõ ñîñåäåé?
À.Ïåðåïå÷êî
5 (6). Ñì. çàäà÷ó Ì2133 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
6 (7). Óãîë B ïðè âåðøèíå ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà
ABC ðàâåí 120° (ðèñ.1) Èç âåðøèíû B âûïóñòèëè âíóòðü
òðåóãîëüíèêà äâà ëó÷à
ïîä óãëîì 60° äðóã ê
äðóãó, êîòîðûå, îòðàçèâøèñü îò îñíîâàíèÿ AC
(ïî çàêîíó «óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ»), ïîïàëè íà áîêî- Ðèñ. 1
âûå ñòîðîíû.  ðåçóëü2  Òóðíèðå ãîðîäîâ ñëîæíûé âàðèàíò âåñåííåãî òóðà íàçíà÷àåòñÿ íà òîò æå äåíü, êîãäà ïðîõîäèò Ìîñêîâñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà, ïîýòîìó â Ìîñêâå âåñåííèé òóð òóðíèðà (ñëîæíûé âàðèàíò) íå ïðîâîäèòñÿ. Òàêàÿ ñèñòåìà ñëîæèëàñü ïîòîìó,
÷òî ñàì Òóðíèð ãîðîäîâ çàìûøëÿëñÿ êàê ðàñïðîñòðàíåíèå Ìîñêîâñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäû ïî äðóãèì ãîðîäàì. Ïîñêîëüêó îáà ñîðåâíîâàíèÿ ïðîõîäÿò â îäèí äåíü, æþðè èìåþò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü íåêîòîðûå çàäà÷è è äëÿ òóðíèðà, è äëÿ
îëèìïèàäû.
29.07.09, 18:08
#
ÊÂÀÍT 2009/¹4
òàòå èñõîäíûé òðåóãîëüíèê ðàçäåëèëñÿ íà 5 ìåíüøèõ òðåóãîëüíèêîâ. Ðàññìîòðèì òå òðè èç íèõ, êîòîðûå ïðèìûêàþò ê
ñòîðîíå AC. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü ñðåäíåãî òðåóãîëüíèêà
ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé êðàéíèõ òðåóãîëüíèêîâ.
Â.Ïðîèçâîëîâ
7 (9). Ñì. çàäà÷ó Ì2136 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
10–11 êëàññû
1 (4). Ïðÿìîóãîëüíèê ðàçáèëè íà íåñêîëüêî ìåíüøèõ
ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ìîãëî ëè îêàçàòüñÿ, ÷òî äëÿ êàæäîé ïàðû
ïîëó÷åííûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé èõ
öåíòðû, ïåðåñåêàåò åùå êàêîé-íèáóäü ïðÿìîóãîëüíèê?
Ì.Ìóðàøêèí
2 (4). Ñì. çàäà÷ó 4 äëÿ 8–9 êëàññîâ.
3 (6). Íà êàæäîé êëåòêå äîñêè 10 ¥ 10 ñòîèò ôèøêà.
Ðàçðåøàåòñÿ âûáðàòü äèàãîíàëü, íà êîòîðîé ñòîèò ÷åòíîå
÷èñëî ôèøåê, è ñíÿòü ñ íåå ëþáóþ ôèøêó. Êàêîå íàèáîëüøåå
÷èñëî ôèøåê ìîæíî óáðàòü ñ äîñêè òàêèìè îïåðàöèÿìè?
Ì.Ìóðàøêèí
4 (6). Ñì. çàäà÷ó Ì2134 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
5 (8). Ñì. çàäà÷ó Ì2136 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
6 (9). Äàíî öåëîå ÷èñëî n > 1. Äâîå ïî î÷åðåäè îòìå÷àþò
òî÷êè íà îêðóæíîñòè: ïåðâûé – êðàñíûì öâåòîì, âòîðîé –
ñèíèì. Êîãäà îòìå÷åíî ïî n òî÷åê êàæäîãî öâåòà, èãðà
çàêàí÷èâàåòñÿ. Çàòåì êàæäûé èãðîê íàõîäèò íà îêðóæíîñòè
äóãó íàèáîëüøåé äëèíû ñ êîíöàìè ñâîåãî öâåòà, íà êîòîðîé
áîëüøå íåò îòìå÷åííûõ òî÷åê. Ó êîãî äëèíà äóãè áîëüøå –
òîò âûèãðàë (â ñëó÷àå ðàâåíñòâà äëèí äóã, à òàêæå ïðè
îòñóòñòâèè òàêèõ äóã ó îáîèõ èãðîêî⠖ íè÷üÿ). Êòî èç
èãðàþùèõ ìîæåò âñåãäà âûèãðûâàòü, êàê áû íè èãðàë
ïðîòèâíèê?
À.Øàïîâàëîâ
7 (9). Ñì. çàäà÷ó Ì2138 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
ÓÑÒÍÛÉ ÒÓÐ ÄËß 11 ÊËÀÑÑÀ
1. Íà äîñêå íàïèñàíû ÷èñëà 1, 2, …, 100. Ðàçðåøàåòñÿ
ñòåðåòü äâà ÷èñëà è íàïèñàòü âìåñòî íèõ èõ ñóììó èëè èõ
ïðîèçâåäåíèå. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ìîæåò îñòàòüñÿ íà
äîñêå ïîñëå 99 òàêèõ îïåðàöèé?
È.Áîãäàíîâ
2. Õðîìàÿ ëàäüÿ îáîøëà ÷àñòü øàõìàòíîé äîñêè, íà÷àâ
ñâîé ïóòü íà êëåòêå d4 (ðèñ.
2). Èçâåñòíî, ÷òî íè íà êàêîé
êëåòêå îíà íå áûëà äâàæäû,
ïîñåòèëà âñå ÷åòûðå óãëà äîñêè, ïðè÷åì íà êëåòêó a1 îíà
ïîïàëà ñ êëåòêè a2, íà êëåòêó
a8 îíà ïîïàëà ñ êëåòêè a7 è íà
êëåòêó h8 îíà ïîïàëà ñ êëåòêè
h7. Ñ êàêîé êëåòêè îíà ïîïàëà
íà êëåòêó h1? (Õðîìàÿ ëàäüÿ
õîäèò ïî âåðòèêàëè è ãîðèçîíòàëè íà 1 êëåòêó).
À.Òîëïûãî
Ðèñ. 2
3. Äàíû n öâåòîâ ñ íîìåðàìè îò 1 äî n. Äëÿ êàæäîãî k îò
1 äî n ïóñòü fk ( n) îáîçíà÷àåò êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ îêðàñèòü
íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî n â ïåðâûå k öâåòîâ (êàæäûé èç
ýòèõ öâåòîâ äîëæåí ïðèñóòñòâîâàòü). Äîêàæèòå, ÷òî
f1 ( n ) - f2 ( n ) + f3 ( n ) - f4 ( n ) + f5 ( n ) - f6 ( n ) + … = 1 .
(Ðàñêðàñêè, îòëè÷àþùèåñÿ ïåðåñòàíîâêîé öâåòîâ, ñ÷èòàþòñÿ ðàçíûìè. Íàïðèìåð, f1 (2) = 1 è f2 (2) = 2 .)
Ì.Áåðøòåéí, Ã.Ìåðçîí
4. Ñôåðà êàñàåòñÿ âñåõ ðåáåð òåòðàýäðà ABCD, êðîìå
ðåáðà CD. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ñôåðà, êîòîðàÿ êàñàåòñÿ âñåõ ðåáåð ýòîãî òåòðàýäðà, êðîìå ðåáðà AB.
Â.Ïðîèçâîëîâ
5. Äàí ìíîãî÷ëåí P ( x ) ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n íàéäåòñÿ
Ê 1ˆ 1
òàêîå íàòóðàëüíîå k, ÷òî P Á ˜ = . Äîêàæèòå, ÷òî íàéäóòñÿ
Ë n¯ k
òàêèå ÷èñëà c è m, ÷òî P ( x ) = cx m .
Ñ.Ñïèðèäîíîâ
6. Äâóì ðàçóìíûì ìóðàâüÿì çàðàíåå îáúÿâèëè, ÷òî èõ
íî÷üþ âûñàäÿò îäíîâðåìåííî â äâå âåðøèíû íàõîäÿùåãîñÿ
â íåâåñîìîñòè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 1 ¥ 1 ¥ 2 ì .
Ìóðàâüè ïîëçàþò òîëüêî ïî ðåáðàì, èõ ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü 1 ì/ìèí. Ìîãóò ëè îíè äîãîâîðèòüñÿ äåéñòâîâàòü òàê,
÷òîáû ãàðàíòèðîâàííî âñòðåòèòüñÿ ðàíåå ÷åì ÷åðåç 9 ìèíóò
ïîñëå âûñàäêè? (Ìóðàâåé çíàåò, ñêîëüêî îí ïðîïîëç.)
À.Øàïîâàëîâ
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèë Ñ.Äîðè÷åíêî
Èçáðàííûå çàäà÷è LXXII
Ìîñêîâñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé
îëèìïèàäû
1. Ó 2009 ãîäà åñòü òàêîå ñâîéñòâî: ìåíÿÿ ìåñòàìè öèôðû
÷èñëà 2009, íåëüçÿ ïîëó÷èòü ìåíüøåå ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî
(ñ íóëÿ ÷èñëà íå íà÷èíàþòñÿ).  êàêîì ãîäó ýòî ñâîéñòâî
âïåðâûå ïîâòîðèòñÿ ñíîâà? (6)
È.Ðàñêèíà
 ñêîáêàõ ïîñëå òåêñòà êàæäîé çàäà÷è óêàçàí êëàññ, â êîòîðîì
îíà ïðåäëàãàëàñü.
49-58.p65
50
2. Ðàçðåæüòå ôèãóðó íà ðèñóíêå 1 íà 8 îäèíàêîâûõ ÷àñòåé.
(6)
Ôîëüêëîð
3. Â ïàðêå ðîñëè ëèïû è êëåíû. Êëåíîâ ñðåäè íèõ áûëî 60%.
Âåñíîé â ïàðêå ïîñàäèëè ëèïû,
ïîñëå ÷åãî êëåíîâ ñòàëî 20%. À
îñåíüþ ïîñàäèëè êëåíû, è êëå-
29.07.09, 18:08
Ðèñ. 1
#
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
íîâ ñòàëî ñíîâà 60%. Âî ñêîëüêî
ðàç óâåëè÷èëîñü êîëè÷åñòâî äåðåâüåâ â ïàðêå çà ãîä? (6)
Ä.Øíîëü
4. Ëþáîçíàòåëüíûé òóðèñò õî÷åò ïðîãóëÿòüñÿ ïî óëèöàì Ñòàðîãî ãîðîäà îò âîêçàëà (òî÷êà A
íà ïëàíå; ðèñ.2) äî ñâîåãî îòåëÿ
(òî÷êà B). Òóðèñò õî÷åò, ÷òîáû
åãî ìàðøðóò áûë êàê ìîæíî äëèíÐèñ. 2
íåå, íî äâàæäû îêàçûâàòüñÿ íà
îäíîì è òîì æå ïåðåêðåñòêå åìó íåèíòåðåñíî, è îí òàê íå
äåëàåò. Íàðèñóéòå íà ïëàíå ñàìûé äëèííûé âîçìîæíûé
ìàðøðóò è äîêàæèòå, ÷òî áîëåå äëèííîãî íåò. (6)
È.ßùåíêî
5. Ïåòÿ è Âàñÿ æèâóò â ñîñåäíèõ äîìàõ (ñì. ïëàí íà ðèñ.
3). Âàñÿ æèâåò â ÷åòâåðòîì ïîäúåçäå. Èçâåñòíî, ÷òî Ïåòå,
÷òîáû äîáåæàòü äî Âàñè êðàò÷àéøèì ïóòåì (íå îáÿçàòåëüíî
èäóùèì ïî ñòîðîíàì
êëåòîê), áåçðàçëè÷íî, ñ
êàêîé ñòîðîíû îáåãàòü
ñâîé äîì. Îïðåäåëèòå,
â êàêîì ïîäúåçäå æèâåò
Ïåòÿ. (7)
À.Õà÷àòóðÿí
6. Ó ïîäâîäíîãî öàðÿ
ñëóæàò îñüìèíîãè ñ øåñòüþ, ñåìüþ èëè âîñåìüþ íîãàìè. Òå, ó êîãî
Ðèñ. 3
7 íîã, âñåãäà ëãóò, à ó
êîãî 6 èëè 8 íîã, âñåãäà ãîâîðÿò ïðàâäó. Âñòðåòèëèñü
÷åòûðå îñüìèíîãà. Ñèíèé ñêàçàë: «Âìåñòå ó íàñ 28 íîã»,
çåëåíûé: «Âìåñòå ó íàñ 27 íîã», æåëòûé: «Âìåñòå ó íàñ 26
íîã», êðàñíûé: «Âìåñòå ó íàñ 25 íîã». Ó êîãî ñêîëüêî íîã?
(7)
Ä.Øíîëü
7. Ñêóïîé ðûöàðü õðàíèò çîëîòûå ìîíåòû â 77 ñóíäóêàõ.
Îäíàæäû, ïåðåñ÷èòûâàÿ èõ, îí çàìåòèë, ÷òî åñëè îòêðûòü
ëþáûå äâà ñóíäóêà, òî ìîæíî ðàçëîæèòü ëåæàùèå â íèõ
ìîíåòû ïîðîâíó ïî ýòèì äâóì ñóíäóêàì. Ïîòîì îí çàìåòèë,
÷òî åñëè îòêðûòü ëþáûå 3, èëè ëþáûå 4, ..., èëè ëþáûå 76
ñóíäóêîâ, òî òîæå ìîæíî òàê ïåðåëîæèòü ëåæàùèå â íèõ
ìîíåòû, ÷òî âî âñåõ îòêðûòûõ ñóíäóêàõ ñòàíåò ïîðîâíó
ìîíåò. Òóò åìó ïî÷óäèëñÿ ñòóê â äâåðü, è ñòàðûé ñêðÿãà íå
óñïåë ïðîâåðèòü, ìîæíî ëè ðàçëîæèòü âñå ìîíåòû ïîðîâíó
ïî âñåì 77 ñóíäóêàì. Ìîæíî ëè, íå çàãëÿäûâàÿ â ñóíäóêè,
äàòü òî÷íûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ? (7)
È.Ðàñêèíà
8. Íà÷åðòèòå äâà ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè â óçëàõ
ñåòêè, èç êîòîðûõ ìîæíî ñëîæèòü à) êàê òðåóãîëüíèê, òàê è
ïÿòèóãîëüíèê; á) è òðåóãîëüíèê, è ÷åòûðåõóãîëüíèê, è
ïÿòèóãîëüíèê. Ïîêàæèòå, êàê ýòî ìîæíî ñäåëàòü. (7)
Ä.Øíîëü
9. Íà äîñêå íàïèñàíî:
 ýòîì ïðåäëîæåíèè ...% öèôð äåëÿòñÿ íà 2, ...% öèôð
äåëÿòñÿ íà 3, à ...% öèôð äåëÿòñÿ è íà 2, è íà 3.
Âñòàâüòå âìåñòî ìíîãîòî÷èé êàêèå-íèáóäü öåëûå ÷èñëà
òàê, ÷òîáû íàïèñàííîå íà äîñêå óòâåðæäåíèå ñòàëî âåðíûì.
(8)
À.Øàïîâàëîâ
10. Íà ãèïîòåíóçå AB ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC
âûáðàíà òî÷êà K, äëÿ êîòîðîé CK = BC. Îòðåçîê CK
49-58.p65
51
ïåðåñåêàåò áèññåêòðèñó AL â åå ñåðåäèíå. Íàéäèòå óãëû
òðåóãîëüíèêà ABC. (8)
È.Áîãäàíîâ
11. Èçâåñòíî, ÷òî êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ ax2 + bx + c = 0
è bx2 + cx + a = 0 (a, b è c – îòëè÷íûå îò íóëÿ ÷èñëà) èìåþò
îáùèé êîðåíü. Íàéäèòå åãî. (8)
Â.Êëåïöûí
12. Äâå òî÷êè íà ïëîñêîñòè íåñëîæíî ñîåäèíèòü òðåìÿ
ëîìàíûìè òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü äâà ðàâíûõ ìíîãîóãîëüíèêà (íàïðèìåð, êàê íà ðèñ.4). Ñîåäèíèòå äâå òî÷êè ÷åòûðüìÿ ëîìàíûìè òàê, ÷òîáû âñå òðè ïîëó÷èâøèõñÿ ìíîãîóãîëüíèêà áûëè
ðàâíû. (Ëîìàíûå íåñàìîïåðåñåêàþùèåñÿ è íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, êðîìå êîíöîâ.) (8)
Ñ.Ìàðêåëîâ
13. Äâîå èãðàþùèõ ïî î÷åðåäè Ðèñ. 4
ïèøóò – êàæäûé íà ñâîåé ïîëîâèíå äîñêè – ïî îäíîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó (ïîâòîðåíèÿ
ðàçðåøàþòñÿ) òàê, ÷òîáû ñóììà âñåõ ÷èñåë íà äîñêå íå
ïðåâîñõîäèëà 10000. Ïîñëå òîãî, êàê ñóììà âñåõ ÷èñåë íà
äîñêå ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé 10000, èãðà çàêàí÷èâàåòñÿ ïîäñ÷åòîì ñóììû âñåõ öèôð íà êàæäîé ïîëîâèíå. Âûèãðûâàåò òîò,
íà ÷üåé ïîëîâèíå ñóììà öèôð ìåíüøå (ïðè ðàâíûõ ñóììàõ
– íè÷üÿ). Ìîæåò ëè êòî-íèáóäü èç èãðîêîâ âûèãðàòü, êàê áû
íè èãðàë ïðîòèâíèê? (8)
À.Øàïîâàëîâ
k
14. Ïîñëå óðîêà íà äîñêå îñòàëñÿ ãðàôèê ôóíêöèè y =
x
è ïÿòü ïðÿìûõ, ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìîé y = kx ( k π 0 ).
Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå àáñöèññ âñåõ äåñÿòè òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ. (9)
À.Áëèíêîâ
15. Íà êîëüöî ñâîáîäíî íàíèçàíî 2009 áóñèíîê. Çà îäèí
õîä ëþáóþ áóñèíêó ìîæíî ïåðåäâèíóòü òàê, ÷òîáû îíà
îêàçàëàñü ðîâíî ïîñåðåäèíå ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè. Ñóùåñòâóþò ëè òàêèå èçíà÷àëüíàÿ ðàññòàíîâêà áóñèíîê è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü õîäîâ, ïðè êîòîðûõ êàêàÿ-òî áóñèíêà ïðîéäåò
õîòÿ áû îäèí ïîëíûé êðóã? (10)
È.Øàíèí
16. Ñòîðîíû BC è AC òðåóãîëüíèêà ABC êàñàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âíåâïèñàííûõ îêðóæíîñòåé â òî÷êàõ A1 , B1 .
Ïóñòü A2 , B2 – îðòîöåíòðû òðåóãîëüíèêîâ CAA1 è CBB1 .
Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ A2 B2 ïåðïåíäèêóëÿðíà áèññåêòðèñå
óãëà C. (10)
À.Çàñëàâñêèé
17. Íà ïëîñêîñòè äàíû îñè êîîðäèíàò ñ îäèíàêîâûì, íî íå
îáîçíà÷åííûì ìàñøòàáîì è ãðàôèê ôóíêöèè
y = sin x , x Œ (0; α) .
Êàê ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè ïîñòðîèòü êàñàòåëüíóþ
ê ýòîìó ãðàôèêó â çàäàííîé åãî òî÷êå, åñëè:
Ê πˆ
Êπ ˆ
à) α Œ Á ; π˜ ; á) α Œ Á 0; ˜ ? (11)
Ë 2¯
Ë2 ¯
À.Ãàëî÷êèí
18. ×åðåç êàæäóþ âåðøèíó ÷åòûðåõóãîëüíèêà ïðîâåäåíà
ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè. Òðè èç ýòèõ ïðÿìûõ îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî êàæäàÿ
èç íèõ äåëèò ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà íà äâå ðàâíîâåëèêèå ÷àñòè.
29.07.09, 18:08
#
ÊÂÀÍT 2009/¹4
a) Äîêàæèòå, ÷òî è ÷åòâåðòàÿ ïðÿìàÿ îáëàäàåò òåì æå
ñâîéñòâîì.
á) Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîãóò ïðèíèìàòü óãëû ýòîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, åñëè îäèí èç íèõ ðàâåí 72°? (11)
À.Êàíóííèêîâ
19. Äëÿ êàæäîãî ïðîñòîãî p íàéäèòå íàèáîëüøóþ íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü ÷èñëà p!, íà êîòîðóþ äåëèòñÿ ÷èñëî ( p2 )!.
(11)
À.Êàíóííèêîâ
20. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè ñòà «äâóçíà÷íûõ»
÷èñåë 00, 01, ..., 99 íà äâå ãðóïïû íåêîòîðûå ÷èñëà õîòÿ áû
îäíîé ãðóïïû ìîæíî çàïèñàòü â ðÿä òàê, ÷òîáû ëþáûå äâà
ñîñåäíèõ ÷èñëà ýòîãî ðÿäà îòëè÷àëèñü äðóã îò äðóãà íà 1, 10
èëè 11, è õîòÿ áû â îäíîì èç äâóõ ðàçðÿäîâ (åäèíèö èëè
äåñÿòêîâ) âñòðå÷àëèñü âñå 10 ðàçëè÷íûõ öèôð. (11)
Î.Êîñóõèí
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèë Ñ.Äîðè÷åíêî
Èçáðàííûå çàäà÷è
Ìîñêîâñêîé ôèçè÷åñêîé
îëèìïèàäû
ÏÅÐÂÛÉ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐ
7 êëàññ
1. Äâà äðóãà Åãîð è Ïåòÿ óñòðîèëè ãîíêè íà âåëîñèïåäàõ
âîêðóã êâàðòàëà â äà÷íîì ïîñåëêå (ðèñ.1). Ñòàðòîâàâ îäíîâðåìåííî èç òî÷êè  â ðàçíûå
ñòîðîíû, Åãîð âäîëü óëèöû
ÂÀ, Ïåòÿ âäîëü óëèö ÂÑ è
ÑÀ, äðóçüÿ âñòðåòèëèñü ÷åðåç
4 ìèíóòû â òî÷êå À è ïðîäîëæèëè ãîíêè ñ ïîñòîÿííûìè
ïî ìîäóëþ ñêîðîñòÿìè, îáúåçæàÿ êâàðòàë ðàç çà ðàçîì â
ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. ×åðåç êàêîå ìèíèìàëüíîå âðåìÿ ïîñëå ïåðâîé âñòðå÷è îíè ñíîâà îêàæóòñÿ âìåñòå
â òî÷êå À?
Ì.Ñåìåíîâ
2. Â ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé
íà ðèñóíêå 2, ìàññà ñàìîãî ïðàâîãî ãðóçà ðàâíà m4 = 1 êã , à ìàññû
âñåõ áëîêîâ îäèíàêîâû
è ðàâíû m0 = 300 ã .
Ñèñòåìà óðàâíîâåøåíà
è íåïîäâèæíà. Íàéäèòå
ìàññû ãðóçîâ m1 , m2 è
m3 . Ìàññîé òðîñà è òðåíèåì â áëîêàõ ïðåíåáðå÷ü.
Ì.Ðîìàøêà
Ðèñ. 1
Ðèñ. 2
3. Ïÿòèäåñÿòèìåòðîâûé áàññåéí øèðèíîé
20 ì èìååò ïðîôèëü
äíà, ïîêàçàííûé íà
ðèñóíêå 3: ÷åðåç êàæäûå 12,5 ì ãëóáèíà áàññåéíà óâåëè÷èâàåòñÿ íà
1 ì. Ïóñòîé áàññåéí
íà÷èíàþò çàïîëíÿòü
âîäîé, íàëèâàÿ åå ñî
Ðèñ. 3
49-58.p65
52
ñêîðîñòüþ 1000 ëèòðîâ â ìèíóòó. Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè âûñîòû h óðîâíÿ âîäû íàä ñàìîé ãëóáîêîé ÷àñòüþ äíà
áàññåéíà îò âðåìåíè t è îïðåäåëèòå, ÷åðåç êàêîå âðåìÿ
áàññåéí çàïîëíèòñÿ âîäîé äîâåðõó.
Ì.Ñåìåíîâ
4. Ó øêîëüíèêà Àíäðåÿ åñòü ñòåêëÿííàÿ ïðîáèðêà ìàññîé M = 80 ã è
âìåñòèìîñòüþ V = 60 ìë. Îí îïóñòèë ïðîáèðêó â öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ñ âîäîé è ïîñòåïåííî íàñûïàë íà
äíî ïðîáèðêè ïåñîê äî òåõ ïîð, ïîêà
îíà íå ïîãðóçèëàñü â âîäó ïî ãîðëûøêî (ðèñ.4). Çàòåì Àíäðåé èçìåðèë
ìàññó ïåñêà, íàõîäèâøåãîñÿ â ïðîáèðêå â ýòîò ìîìåíò, è îíà îêàçàëàñü
ðàâíîé m = 12 ã. Âíóòðåííèé ðàäèóñ ñîñóäà, â êîòîðûé îïóùåíà ïðî- Ðèñ. 4
áèðêà, ðàâåí R = 5 ñì. Ïëîòíîñòü
âîäû ρâ = 1 ã ñì3 . Îïðåäåëèòå ïî ýòèì äàííûì ïëîòíîñòü
ñòåêëà ïðîáèðêè è âû÷èñëèòå, íà ñêîëüêî ïîäíÿëñÿ óðîâåíü
âîäû â ñîñóäå â ðåçóëüòàòå ïîãðóæåíèÿ ïðîáèðêè â âîäó.
Ì.Ðîìàøêà
8 êëàññ
1. Òàê íàçûâàåìûé «êèòàéñêèé âîðîò» ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâà öèëèíäðè÷åñêèõ âàëà ðàäèóñàìè r è R, íàñàæåííûõ íà îáùóþ îñü, çàêðåïëåííóþ
ãîðèçîíòàëüíî (ðèñ.5; âèä ñáîêó).
Íà âàëû â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ íàìîòàíà âåðåâêà, íà êîòîðîé âèñèò ïîäâèæíûé áëîê òàêîãî ðàäèóñà, ÷òî ñâîáîäíûå ó÷àñòêè
âåðåâêè ïðàêòè÷åñêè âåðòèêàëüíû.
Ê îñè áëîêà ïðèêðåïëåí ãðóç ìàññîé m. Âîðîò ñíàáæåí ðó÷êîé, êîíåö êîòîðîé íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè 2R îò îñè âîðîòà. 1) Âîðîò âðàùàþò çà ðó÷êó òàê, ÷òî îí äåëàåò n
îáîðîòîâ â ñåêóíäó. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ïðè ýòîì äâèæåòñÿ ãðóç, åñëè
âåðåâêà íèãäå íå ïðîñêàëüçûâàåò?
2) Êàêóþ ñèëó íåîáõîäèìî ïðèêëàÐèñ. 5
äûâàòü ê êîíöó ðó÷êè âîðîòà äëÿ
29.07.09, 18:08
#!
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
òîãî, ÷òîáû ðàâíîìåðíî ïîäíèìàòü ãðóç, åñëè âåðåâêà è
áëîê î÷åíü ëåãêèå, à òðåíèÿ íåò?
À.ßêóòà
2. Íàðèñóéòå ñõåìó, ñîñòîÿùóþ èç áàòàðåéêè, äâóõ ïåðåêëþ÷àòåëåé è òðåõ ëàìïî÷åê (ðèñ.6) è èìåþùóþ ïðè ðàçëè÷íûõ ïîëîæåíèÿõ ïåðåêëþ÷àòåëåé ñëåäóþùèå ðåæèìû ðàáîòû: 1) ãîðèò ïåðâàÿ ëàìïà; 2)
ãîðèò âòîðàÿ ëàìïà; 3) ãîðèò
òðåòüÿ ëàìïà; 4) ãîðÿò âñå òðè
ëàìïû.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå
êàæäàÿ èç ëàìï äîëæíà ãîðåòü òàê æå ÿðêî, êàê è òîãäà,
êîãäà îíà ãîðèò îäíà.
Ðèñ. 6
Ä.Õàðàáàäçå
9 êëàññ
1. Ðåçèñòîðû ñîïðîòèâëåíèÿìè R1 = 10 Îì,
R2 = 20 Îì, R3 = 40 Îì è R4 = 80 Îì ïðèïàÿíû ê
êëåììàì A, B, C, D è E òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 7.
Èìååòñÿ èñòî÷íèê òîêà ñ ÝÄÑ - = 12  è âíóòðåííèì
ñîïðîòèâëåíèåì r = 5 Îì, à òàêæå ìíîãî ñîåäèíèòåëüíûõ
ïðîâîäîâ ìàëîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, êîòîðûå
ìîæíî ïîäêëþ÷àòü ê
èñòî÷íèêó è ê ëþáîé
Ðèñ. 7
èç êëåìì. Êàê íóæíî
ñîåäèíèòü èñòî÷íèê è ðåçèñòîðû, ÷òîáû îáùàÿ òåïëîâàÿ
ìîùíîñòü, âûäåëÿþùàÿñÿ íà ðåçèñòîðàõ, áûëà ìàêñèìàëüíîé? ×åìó ðàâíà ýòà ìîùíîñòü?
Ì.Ðîìàøêà
2. Ïàëêà, ñòîÿùàÿ âåðòèêàëüíî íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîùàäêå, îñâåùàåìîé ñîëíå÷íûì ñâåòîì, èìååò âûñîòó
h = 1,2 ì è îòáðàñûâàåò òåíü äëèíîé L = 0,9 ì. Ïàëêó
íà÷èíàþò ìåäëåííî íàêëîíÿòü â íàïðàâëåíèè îòáðàñûâàåìîé åþ òåíè òàê, ÷òî åå íèæíèé êîíåö íå ñäâèãàåòñÿ ñ ìåñòà.
Äëèíà òåíè ïðè ýòîì äî îïðåäåëåííîãî ìîìåíòà óâåëè÷èâàåòñÿ, à ïîòîì íà÷èíàåò óìåíüøàòüñÿ. ×åìó áûëà ðàâíà
ìàêñèìàëüíàÿ äëèíà òåíè îò ïàëêè?
Ì.Ðîìàøêà
10 êëàññ
1. Àâòîìîáèëü ñ çàäíèìè âåäóùèìè êîëåñàìè âúåçæàåò
ââåðõ ïî ïðÿìîëèíåéíîìó ó÷àñòêó äîðîãè, îáðàçóþùåìó ñ
ãîðèçîíòîì óãîë α , è îñòàíàâëèâàåòñÿ. ×åðåç íåêîòîðîå
âðåìÿ ïîñëå ýòîãî âîäèòåëü ðåçêî íàæèìàåò íà ãàç è îäíîâðåìåííî îòïóñêàåò òîðìîç. Ñ êàêèì ìàêñèìàëüíûì óñêîðåíèåì ìîæåò íà÷àòü äâèãàòüñÿ àâòîìîáèëü, åñëè êîýôôèöèåíò
òðåíèÿ åãî êîëåñ î äîðîãó µ , à ìîùíîñòü äâèãàòåëÿ äîñòàòî÷íî âåëèêà? Öåíòð òÿæåñòè àâòîìîáèëÿ íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè h îò äîðîãè ïîñåðåäèíå ìåæäó êîëåñàìè, ðàññòîÿíèå
ìåæäó îñÿìè ïåðåäíèõ è çàäíèõ êîëåñ 2L.
Â.Ïîãîæåâ
2.  öèëèíäðè÷åñêèé ñòàêàí îáúåìîì V = 200 ìë è
ñå÷åíèåì S = 20 ñì2 , ñòîÿùèé íà ñòîëå è íàõîäÿùèéñÿ ïðè
êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå tê = 20 ∞C , ïîëîæèëè êóñîê ëüäà
ìàññîé m = 100 ã ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0 ∞C è íàêðûëè
ñòàêàí ïëîòíî ïðèëåãàþùåé êðûøêîé. Îöåíèòå ñèëó, êîòîðàÿ ïîòðåáóåòñÿ, ÷òîáû îòîðâàòü êðûøêó îò ñòàêàíà ñðàçó
ïîñëå òîãî, êàê ëåä ðàñòàåò. Ñ÷èòàéòå, ÷òî òåïëî ïîñòóïàåò â
ñòàêàí òîëüêî ñíèçó, êðûøêó îòðûâàþò ñðàçó ïî âñåìó
ïåðèìåòðó, àòìîñôåðíîå äàâëåíèå pa = 105 Ïà , ïëîòíîñòü
ëüäà ρë = 900 êã ì3 , ïëîòíîñòü âîäû ρâ = 1000 êã ì3 .
Þ.Ñòàðîêóðîâ
49-58.p65
53
3. Ïÿòü ñòîðîí ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà îáðàçîâàíû
îäèíàêîâûìè äèýëåêòðè÷åñêèìè ðàâíîìåðíî çàðÿæåííûìè
ïàëî÷êàìè. Ïðè ýòîì â òî÷êå Î, íàõîäÿùåéñÿ â öåíòðå
øåñòèóãîëüíèêà, ïîòåíöèàë äàííîé ñèñòåìû çàðÿäîâ
ðàâåí
ϕ0 , à íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ðàâíà E0 . Êàêèìè ñòàíóò
ïîòåíöèàë ϕ è íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ E â òî÷êå Î, åñëè óáðàòü îäíó èç çàðÿæåííûõ ïàëî÷åê?
Þ.Ñòàðîêóðîâ, Ì.Ñåìåíîâ
11 êëàññ
1. Îäèí öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ðàäèóñîì R1 óäåðæèâàþò
âíóòðè äðóãîãî ñîñóäà ðàäèóñîì R2 òàê, êàê ïîêàçàíî íà
ðèñóíêå 8. Â äíå ìàëîãî
ñîñóäà åñòü îòâåðñòèå ñî
âòóëêîé, â êîòîðîå âñòàâëåí äåðåâÿííûé öèëèíäð
ðàäèóñîì r è âûñîòîé
h = 21 ñì; îí ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ îòíîñèòåëüíî
âòóëêè áåç òðåíèÿ òîëüêî
ïî âåðòèêàëè. Â ìàëûé
ñîñóä íàëèòà âîäà äî óðîâíÿ a = 30 ñì, à â áîëüøîé íàëèòî ìàñëî, è ïðè Ðèñ. 8
ýòîì öèëèíäð ïîêîèòñÿ.
Ïëîòíîñòü âîäû ρâ = 1000 êã ì3 , ïëîòíîñòü ìàñëà
ρì = 790 êã ì3 , ïëîòíîñòü öèëèíäðà ρ = 600 êã ì3 . Êàêàÿ
÷àñòü îáúåìà öèëèíäðà íàõîäèòñÿ â âîäå, à êàêàÿ – â ìàñëå?
Ïðè êàêîì ñîîòíîøåíèè ìåæäó ρâ , ρì , r, R1 è R2 ðàâíîâåñèå öèëèíäðà áóäåò óñòîé÷èâûì, ò.å. ïðè åãî ñìåùåíèè
ââåðõ èëè âíèç áóäóò âîçíèêàòü ñèëû, ñòðåìÿùèåñÿ âåðíóòü
åãî îáðàòíî ê ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ?
Ì.Ðîìàøêà
2. Òðè ïðèëåãàþùèå äðóã ê äðóãó ãðàíè êóáèêà çàðÿæåíû
ðàâíîìåðíî ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà + σ , à
îñòàëüíûå ãðàíè – ñ ïëîòíîñòüþ çàðÿäà - σ . Íàéäèòå
íàïðÿæåííîñòü E ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â öåíòðå êóáèêà.
Ñ.Êðîòîâ
ÂÒÎÐÎÉ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐ
8 êëàññ
1. Íà ñòîëå ñòîèò öèëèíäðè÷åñêèé ñòàêàí ñ âîäîé.  åãî
ñåðåäèíó íà÷èíàþò ìåäëåííî íàñûïàòü ìåëêèå ñòåêëÿííûå
øàðèêè. Ïðîöåññ íàñûïàíèÿ ïðîäîëæàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà
íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî øàðèêîâ íå âûñûïåòñÿ èç ñòàêàíà.
Íàðèñóéòå è ïîÿñíèòå, íå ïðîâîäÿ äåòàëüíûõ ðàñ÷åòîâ,
ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñóììàðíîé ñèëû F äàâëåíèÿ íà äíî
ñòàêàíà îò âåñà p óæå íàñûïàííûõ øàðèêîâ, åñëè âåñ âîäû,
çàïîëíÿâøåé ñòàêàí âíà÷àëå ïðèìåðíî íà 3/4 âûñîòû, áûë
ðàâåí P, ïëîòíîñòü ñòåêëà ïðèáëèçèòåëüíî â 2,5 ðàçà áîëüøå
ïëîòíîñòè âîäû, à òðåíèåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Ì.Ñåìåíîâ
2. Â òðåõ êàëîðèìåòðàõ íàõîäèòñÿ ïî M = 20 ã âîäû
îäíîé è òîé æå òåìïåðàòóðû. Â êàëîðèìåòðû ïîãðóæàþò
ëüäèíêè, òàêæå èìåþùèå îäèíàêîâûå òåìïåðàòóðû (íî äðóãèå): â ïåðâûé – ëüäèíêó ìàññîé m1 = 10 ã, âî âòîðîé –
ìàññîé m2 = 20 ã, â òðåòèé – ìàññîé m3 = 40 ã. Êîãäà â
êàëîðèìåòðàõ óñòàíîâèëîñü ðàâíîâåñèå, îêàçàëîñü, ÷òî ìàññà ïåðâîé ëüäèíêè ñòàëà m1¢ = 9 ã, à ìàññà âòîðîé ëüäèíêè
îñòàëàñü ïðåæíåé. Êàêîé ñòàëà ìàññà òðåòüåé ëüäèíêè?
Î.Øâåäîâ
9 êëàññ
1. Òåëî äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé â îäíîì íàïðàâëåíèè. Â
êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè âû÷èñëÿåòñÿ ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü
29.07.09, 18:08
#"
ÊÂÀÍT 2009/¹4
äâèæåíèÿ òåëà çà âðåìÿ
îò íà÷àëüíîãî äî òåêóùåãî ìîìåíòà. Íà ðèñóíêå 9 ïðèâåäåí ãðàôèê çàâèñèìîñòè âû÷èñëåííîé òàêèì îáðàçîì
ñðåäíåé ñêîðîñòè òåëà
vñð îò âðåìåíè t. Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè ìãíîâåííîé ñêîðîñòè òåëà îò âðåìåíè.
Ì.Ðîìàøêà
Ðèñ. 9
2. Â ñèñòåìå, ïîêàçàííîé íà ðèñóíêå 10, íåïîäâèæíûé
áëîê ïðèêðåïëåí ê ïîòîëêó êîìíàòû, à âñå ãðóçû óäåðæèâàþò íåïîäâèæíûìè òàê, ÷òîáû îòðåçêè ëåãêîé íåðàñòÿæèìîé
íèòè, íå ëåæàùèå íà áëîêàõ, áûëè âåðòèêàëüíûìè. Ãðóçû
ìàññàìè m2 è m3 ïîäâåøåíû ê îñÿì áëîêîâ íà æåñòêèõ
ëåãêèõ ñòåðæíÿõ. Âñå áëîêè ëåãêèå è
ìîãóò âðàùàòüñÿ âîêðóã ñâîèõ îñåé áåç
òðåíèÿ. Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå ãðóçà
ìàññîé m2 ïîñëå îäíîâðåìåííîãî îòïóñêàíèÿ âñåõ ãðóçîâ.
Â.Ïîãîæåâ
3. Â øèðîêîì ñîñóäå ãëóáèíîé 2H
íàõîäèòñÿ æèäêîñòü, ïëîòíîñòü ρ êîòîðîé çàâèñèò îò ãëóáèíû x òàê, êàê
ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 11 (âåëè÷èíà ρ0
Ðèñ. 10
Ðèñ. 11
èçâåñòíà). Â ñîñóä àêêóðàòíî îïóñêàþò ïëîñêóþ øàéáó
âûñîòîé h < H è ïëîòíîñòüþ ρ1 . Íàéäèòå, íà êàêóþ ãëóáèíó áóäåò ïîãðóæåíî íèæíåå îñíîâàíèå øàéáû ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ åå ðàâíîâåñèÿ. Ñ÷èòàòü, ÷òî îñíîâàíèÿ øàéáû âñå
âðåìÿ îñòàþòñÿ ãîðèçîíòàëüíûìè, à ñëîè æèäêîñòè ïðè
ïîãðóæåíèè øàéáû íå ïåðåìåøèâàþòñÿ.
Å.ßêóòà
10 êëàññ
1. Êàïèòàí êîðàáëÿ çàìåòèë ñòðîãî íà ñåâåðå áåðåãîâîé
ìàÿê è ïðèêàçàë äåðæàòü êóðñ íà íåãî. Â ýòîò ìîìåíò
ðàññòîÿíèå äî áåðåãà ñîñòàâëÿëî s = 30 êì. Êîðàáëü äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî âîäû ñî ñêîðîñòüþ v = 15 êì/÷ è â êàæäûé
ìîìåíò âðåìåíè äåðæèò êóðñ íà ìàÿê. Ýêèïàæ íå çíàåò î
ïðèñóòñòâèè â ìîðå çàïàäíîãî òå÷åíèÿ, ñêîðîñòü êîòîðîãî âî
âñåõ òî÷êàõ îäèíàêîâà è ðàâíà u = 5 êì/÷. Çà êàêîå âðåìÿ
êîðàáëü äîïëûâåò äî ìàÿêà? Çà êàêîå âðåìÿ îí äîïëûë áû
äî ìàÿêà, äâèãàÿñü ïî êðàò÷àéøåé òðàåêòîðèè?
Ì.Ðîìàøêà
2. Íà ðèñóíêå 12 èçîáðàæåí ãðàôèê öèêëè÷åñêîãî ðàâíîâåñíîãî ïðîöåññà, ïðîâîäèìîãî íàä îäíèì ìîëåì èäåàëüíîãî
îäíîàòîìíîãî ãàçà. Ïî ãîðèçîíòàëè îòëîæåíà ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ ãàçîì ñ ìîìåíòà íà÷àëà ïðîöåññà, ïî âåðòèêàëè
îòëîæåíî êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîå ãàçîì. Èçîáðàçèòå ãðàôèê ïðîöåññà â (pV)-êîîðäèíàòàõ è îïðåäåëèòå îòíî-
49-58.p65
54
øåíèå ìàêñèìàëüíîé
òåìïåðàòóðû ãàçà ê åãî
ìèíèìàëüíîé òåìïåðàòóðå.
Î.Øâåäîâ
3. Òîíêîå ïðîâîëî÷íîå êîëüöî ðàçîðâàëîñü,
êîãäà íàíåñåííûé íà
íåãî çàðÿä ïðåâûñèë q1 .
Êàêîé çàðÿä ìîæíî íàíåñòè íà âòîðîå êîëüöî,
ðàäèóñ êîòîðîãî â n ðàç
Ðèñ. 12
áîëüøå, à ïðî÷íîñòü
ïðîâîëîêè íà ðàçðûâ â k ðàç âûøå, ÷òîáû âòîðîå êîëüöî íå
ðàçîðâàëîñü?
Â.Ïîãîæåâ
11 êëàññ
1. Òîíêèé äèñê êàòèòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè áåç
ñêîëüæåíèÿ, îïèðàÿñü â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ïî äèàìåòðó ñâîåãî îñíîâàíèÿ íà ãëàäêóþ áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðÿìîãî êðóãîâîãî êîíóñà, ñòîÿùåãî íà
ýòîé ïëîñêîñòè. Óãîë ïðè âåðøèíå êîíóñà 2α , ðàäèóñ îñíîâàíèÿ
êîíóñà ðàâåí ðàäèóñó äèñêà
(ðèñ.13). Îïðåäåëèòå ñêîðîñòè
êðàéíèõ òî÷åê ãîðèçîíòàëüíîãî äèàìåòðà äèñêà, åñëè åãî öåíòð äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v. Åñòü ëè íà
äèñêå òî÷êè, äâèæóùèåñÿ ñ áîëüøåé ñêîðîñòüþ, ÷åì êðàéíèå òî÷êè ãîðèçîíòàëüíîãî äèàìåòðà?
Ñ.Êðîòîâ
2. Èç òîíêîé æåñòêîé ïðîâîëî- Ðèñ. 13
êè èçãîòîâèëè êîëüöî ðàäèóñîì
R, êîòîðîå çàêðåïèëè òàê, ÷òîáû åãî ïëîñêîñòü áûëà ãîðèçîíòàëüíîé. Íà êîëüöî íàíåñëè çàðÿä Q. Íà îñè êîëüöà íà
âûñîòå h íàä íèì óäåðæèâàþò ìàëåíüêèé øàðèê ìàññîé m,
èìåþùèé îäíîèìåííûé ñ êîëüöîì çàðÿä q. Êàêóþ ïî ìîäóëþ
ñêîðîñòü íàäî ñîîáùèòü øàðèêó, òîëêíóâ åãî ââåðõ, ÷òîáû
îí, äâèãàÿñü ïî âåðòèêàëè, ïðîëåòåë â äàëüíåéøåì ñêâîçü
êîëüöî?
Â.Ïîãîæåâ
3. Íà ãëàäêîì ñòîëå ñòîèò êîðîáêà ìàññîé m. Íà äíå
êîðîáêè íàõîäÿòñÿ äâà áðóñêà, ìàññà êàæäîãî èç êîòîðûõ
òàêæå ðàâíà m. Òðåíèÿ â ñèñòåìå íåò. Ëåâûé áðóñîê ñîåäèíåí
ñî ñòåíêîé êîðîáêè ëåãêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïðóæèíîé æåñòêîñòüþ k. Ïðàâîìó áðóñêó ñîîáùèëè ñêîðîñòü v0 â íàïðàâëåíèè ëåâîãî áðóñêà. Ïðè ñòîëêíîâåíèè áðóñêè ñëèïàþòñÿ è
äâèæóòñÿ äàëüøå êàê îäíî öåëîå. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ
ñêîðîñòü êîðîáêè è ìàêñèìàëüíîå ñæàòèå ïðóæèíû ïðè
äàëüíåéøåì äâèæåíèè.
Ì.Ðîìàøêà
4. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç ñîáèðàþùåé ëèíçû ñ
ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F è çåðêàëüíîãî øàðèêà ðàäèóñîì R,
öåíòð êîòîðîãî íàõîäèòñÿ íà ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ëèíçû
íà ðàññòîÿíèè l îò íåå. Îïðåäåëèòå ðàññòîÿíèå d îò ëèíçû äî
òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ñâåòà, ðàñïîëîæåííîãî íà îïòè÷åñêîé
îñè ñèñòåìû, åñëè èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà â äàííîé ñèñòåìå
ñîâïàäàåò ñ ñàìèì èñòî÷íèêîì.
Þ.Ñòàðîêóðîâ
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè
Ì.Ñåìåíîâ, Î.Øâåäîâ, À.ßêóòà
29.07.09, 18:08
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
XIII Ìåæäóíàðîäíûé òóðíèð
«Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà»
Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá «Ãëþîí» âíîâü ñîáèðàë
îäàðåííûõ øêîëüíèêîâ è òàëàíòëèâûõ ñòóäåíòîâ íà ñâîé
òóðíèð «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà». Öåëü òóðíèðà – ïîääåðæêà òàëàíòëèâîé ìîëîäåæè, ïðîÿâèâøåé èíòåðåñ ê ôóíäàìåíòàëüíîé íàóêå è íîâûì èíôîðìàöèîííûì òåõíîëîãèÿì.
Çàäà÷à îðãàíèçàòîðîâ òóðíèðà – ñîçäàíèå âðåìåííûõ òâîð÷åñêèõ êîëëåêòèâîâ äëÿ ðåøåíèÿ ñîâðåìåííûõ íàó÷íûõ
ïðîáëåì.  òàêèå êîëëåêòèâû âõîäÿò øêîëüíèêè, ó÷èòåëÿ,
ñòóäåíòû, àñïèðàíòû, ó÷åíûå. Òðàäèöèîííî, òóðíèð ïðîâîäèòñÿ â äâà òóðà – çàî÷íûé è î÷íûé.
Çàî÷íûé òóð XIII Òóðíèðà «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» íà÷àëñÿ
â ñåíòÿáðå 2008 ãîäà ðàññûëêîé çàäàíèÿ ïî çàÿâêàì â ëèöåè,
øêîëû è ãèìíàçèè. (Çàäàíèå çàî÷íîãî òóðà áûëî îïóáëèêîâàíî òàêæå â æóðíàëå «Êâàíò» ¹4 çà 2008 ãîä, ÷òî çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èëî ÷èñëî êîìàíä-ó÷àñòíèö òóðíèðà.) Øåñòü
ëó÷øèõ êîìàíä áûëè ïðèãëàøåíû íà ôèíàë – î÷íûé òóð
ñîðåâíîâàíèé.
Î÷íûé òóð XIII Òóðíèðà áûë ïðîâåäåí ñ 1 ïî 8 ôåâðàëÿ 2009
ãîäà â ãîðîäå Ïðîòâèíî íà áàçå Èíñòèòóòà ôèçèêè âûñîêèõ
ýíåðãèé ïðè ó÷àñòèè è ïîääåðæêå ÌÃÓ èì. Ì.Â.Ëîìîíîñîâà,
ôîíäà «Äèíàñòèÿ», êîìïàíèé «Êèðèëë è Ìåôîäèé», «Ôèçèêîí», «1Ñ», æóðíàëîâ «Êâàíò» è «Ôèçèêà â øêîëå» è
Èçäàòåëüñêîãî äîìà «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ». Îðãêîìèòåò òóðíèðà âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü âñåì íàçâàííûì îðãàíèçàöèÿì
çà ïîìîùü â ïðîâåäåíèè òóðíèðà è ïîääåðæêó îäàðåííûõ
øêîëüíèêîâ è òàëàíòëèâûõ ñòóäåíòîâ.
Ïî èòîãàì äâóõ òóðîâ àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì XIII Òóðíèðà ñòàëà êîìàíäà Ìåäèêî-òåõíè÷åñêîãî ëèöåÿ ãîðîäà Ñàìàðû, ïîëó÷èâøàÿ ïåðåõîäÿùèé ïðèç «Õðóñòàëüíûé ãëîáóñ» è
äèïëîì I ñòåïåíè. Äèïëîìîì I ñòåïåíè è ïàìÿòíûìè çíàêàìè
áûëà íàãðàæäåíà òàêæå êîìàíäà ëèöåÿ 1511 ïðè Ìîñêîâñêîì
èíæåíåðíî-ôèçè÷åñêîì èíñòèòóòå. Äèïëîìû II ñòåïåíè ïîëó÷èëè êîìàíäû Êëàññè÷åñêîãî ëèöåÿ 1 ãîðîäà Ðîñòîâ-íà-Äîíó
è ÔÌË 1580 ïðè Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì òåõíè÷åñêîì
óíèâåðñèòåòå èì. Í.Ý.Áàóìàíà, à äèïëîìû III ñòåïåíè –
êîìàíäû Ñàìàðñêîãî ìåæäóíàðîäíîãî àýðîêîñìè÷åñêîãî
ëèöåÿ è ëèöåÿ 51 ãîðîäà Òîëüÿòòè. Ó÷àñòíèêàì ñîðåâíîâàíèé
áûëî âðó÷åíî ìíîæåñòâî ïðèçîâ îò ñïîíñîðîâ è îðãàíèçàòîðîâ òóðíèðà.
 ðàìêàõ òóðíèðà áûë ïðîâåäåí êîíêóðñ êîìïüþòåðíîãî
òâîð÷åñòâà, à òàêæå êîíêóðñ «Âèðòóàëüíàÿ ôèçè÷åñêàÿ ëàáîðàòîðèÿ» (ðàçðàáîòàííûé êîìïàíèåé «Ôèçèêîí»).
Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá (ÌÈÊ) «Ãëþîí» ïðèãëàøàåò ðåãèîíàëüíûå öåíòðû, ãèìíàçèè è øêîëû, ðàáîòàþùèå
ñ îäàðåííûìè äåòüìè, ïðèíÿòü ó÷àñòèå â XIV Òóðíèðå
«Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» â ÿíâàðå–ôåâðàëå 2010 ãîäà.
Çàÿâêè íà ó÷àñòèå ïðèñûëàéòå ïî àäðåñó: 115522 Ìîñêâà,
Ïðîëåòàðñêèé ïð., ä.15/2, ÌÈÊ «Ãëþîí»
Òåëåôîí: (495)517-8014, ôàêñ: (495)396-8227
Å-mail: gluon@yandex.ru
Ñàéò äëÿ èíôîðìàöèè: www. gluon.ru
Íèæå ïðèâîäèòñÿ çàî÷íîå çàäàíèå XIV Òóðíèðà «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà».
ÇÀÎ×ÍÛÉ ÒÓÐ «ÏËÀÍÅÒÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ»
Ïðîöåññ îáðàçîâàíèÿ ïëàíåòíûõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç
öåíòðàëüíûõ â àñòðîôèçèêå. Ïî ñîâðåìåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì, ïëàíåòíàÿ ñèñòåìà âîêðóã çâåçäû ôîðìèðóåòñÿ èç ãàçî-
49-58.p65
55
##
Êîìàíäà-ïîáåäèòåëüíèöà XIII Òóðíèðà «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà»
ïûëåâîãî îáëàêà. Ñëîæíûå ìåõàíè÷åñêèå è òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïðîöåññû, îáóñëîâëåííûå äåéñòâèåì ãðàâèòàöèîííûõ
ñèë, ñîóäàðåíèÿìè ìåæäó ñîáîé ïûëåâûõ ÷àñòèö è îáðàçóþùèõñÿ èç íèõ òåë, à òàêæå âçàèìîäåéñòâèåì òåë è ïûëè ñ
ãàçîì, ïðèâîäÿò ê îáðàçîâàíèþ áîëüøèõ è ìàëûõ ïëàíåò è
èõ ðàçìåùåíèþ íà ñòàöèîíàðíûõ îðáèòàõ. Òàê æå ìîãóò
îáðàçîâàòüñÿ ñïóòíèêè ïëàíåò, ïûëåâûå êîëüöåâûå ñêîïëåíèÿ è äðóãèå êîìïîíåíòû çâåçäíî-ïëàíåòíîé ñèñòåìû.
Ðàññìîòðèì ôîðìèðîâàíèå ïëàíåòíîé ñèñòåìû èç îáëàêà
ìàëûõ îäèíàêîâûõ øàðîîáðàçíûõ òåë ðàäèóñîì r = 1 ì,
íàõîäÿùèõñÿ â ïîëå òÿãîòåíèÿ öåíòðàëüíîãî øàðîîáðàçíîãî
òåëà ðàäèóñîì R = 103 ì . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äâèæåíèå òåë
ïðîèñõîäèò â îäíîé ïëîñêîñòè, ïëîòíîñòè ìàëûõ è áîëüøîãî
òåë îäèíàêîâû è ðàâíû ρ = 5500 êã ì 3 , ðàäèóñ ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè L = 109 ì . Ïåðâîíà÷àëüíîå ðàñïîëîæåíèå
ìàëûõ òåë – ðàâíîìåðíîå ïî ïëîñêîñòè, èõ êîíöåíòðàöèÿ
−4
−2
ðàâíà n = 10 ì . Îáëàêî ìàëûõ òåë â íà÷àëüíûé ìîìåíò
âðåìåíè âðàùàåòñÿ êàê åäèíîå òåëî ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ
ω = 4 ⋅ 10−8 ðàä ñ .
Ìàëûå òåëà âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé è ñ öåíòðàëüíûì ìàññèâíûì òåëîì ãðàâèòàöèîííûìè ñèëàìè. Ïîñêîëüêó
òåëà ñôåðè÷åñêèå, äëÿ ðàñ÷åòà ñèë ïðèòÿæåíèÿ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèåì
mm
F = G 12 2 ,
l
ãäå G – ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ, m1 è m2 – ìàññû
âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë, l – ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè
ýòèõ òåë. Â ïðîöåññå äâèæåíèÿ òåëà ìîãóò èñïûòûâàòü
ïîïàðíûå óïðóãèå è íåóïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ. Ïðè óïðóãèõ
ñòîëêíîâåíèÿõ ñîõðàíÿþòñÿ ñóììàðíûé èìïóëüñ è ñóììàðíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë, ïðè
íåóïðóãèõ – òîëüêî ñóììàðíûé èìïóëüñ, à ñàìè òåëà «ñëèïàþòñÿ» â åäèíîå öåëîå.  íàøåé çàäà÷å áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
ïðè íåóïðóãèõ ñîóäàðåíèÿõ ñôåðè÷åñêèõ òåë îáðàçóþòñÿ
òàêæå ñôåðè÷åñêèå òåëà.
Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ñôåðè÷åñêèõ òåë â ìîìåíò
ñîóäàðåíèÿ ïîêàçàíî íà ðèñóíêå, ãäå v10 è v20 – ñêîðîñòè òåë
29.07.09, 18:08
#$
ÊÂÀÍT 2009/¹4
äî ñîóäàðåíèÿ, v1 è v2 – ïîñëå ñîóäàðåíèÿ. Íàïðàâëåíèå
íà÷àëüíîé ñêîðîñòè âòîðîãî òåëà îòíîñèòåëüíî íàïðàâëåíèÿ
íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ïåðâîãî òåëà õàðàêòåðèçóåòñÿ óãëîì α ,
à íàïðàâëåíèÿ êîíå÷íûõ ñêîðîñòåé òåë îòíîñèòåëüíî íà÷àëüíûõ – óãëàìè β1 è β2 . Ðàññòîÿíèå b ìåæäó íàïðàâëåíèåì
ñêîðîñòè ïåðâîãî òåëà è öåíòðîì âòîðîãî òåëà â ìîìåíò
ñîóäàðåíèÿ íàçûâàåòñÿ ïðèöåëüíûì ïàðàìåòðîì.
Òðàåêòîðèþ j-é äâèæóùåéñÿ ÷àñòèöû ìîæíî ðàññ÷èòàòü,
âîñïîëüçîâàâøèñü óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ
N
d2r
m 2 = ∑ Fi ,
dt
i =1,i ≠ j
ãäå r – ðàäèóñ-âåêòîð ÷àñòè
öû, N – ÷èñëî òåë â ñèñòåìå, Fi
– ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ðàññìàòðèâàåìóþ ÷àñòèöó ñî ñòîðîíû i-ãî òåëà, ïðè÷åì èíäåêñ
«i» îòíîñèòñÿ êî âñåì îñòàëüíûì òåëàì ñèñòåìû. ×èñëåííîå
ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà –
ýòî ñëîæíàÿ ïðîöåäóðà, îäíàêî ìîæíî îäíî óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà ñâåñòè ê äâóì óðàâíåíèÿì ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Çàïèøåì ýòè óðàâíåíèÿ äëÿ îäíîé èç ïðîåêöèé:
mv′x =
∑ Fix ,
x′ = vx ,
ãäå v – ñêîðîñòü ÷àñòèöû, x – êîîðäèíàòà ÷àñòèöû. Êîíå÷íî-
ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé ïðîùå, ÷åì äëÿ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Íàïðèìåð,
êîíå÷íî-ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ñêîðîñòè ïî âðåìåíè
âû÷èñëÿåòñÿ êàê v′ = (v − v0 ) ∆t , ãäå v0 – ñêîðîñòü ÷àñòèöû
â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t0 , v – ñêîðîñòü ÷àñòèöû ÷åðåç
ìàëûé èíòåðâàë âðåìåíè ∆t . Äëÿ êîîðäèíàòû êîíå÷íîðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ñòðîèòñÿ àíàëîãè÷íî.
Çàäàíèå
1. Èññëåäóéòå, ôîðìèðóþòñÿ ëè êîëüöåîáðàçíûå ñêîïëåíèÿ ìåëêèõ ÷àñòèö â ñëó÷àå, êîãäà â ñèñòåìå âñå ñîóäàðåíèÿ
ìåëêèõ ÷àñòèö ñ öåíòðàëüíûì ìàññèâíûì òåëîì è äðóã ñ
äðóãîì àáñîëþòíî óïðóãèå.
2. Èññëåäóéòå, ôîðìèðóþòñÿ ëè ñòàöèîíàðíûå îðáèòû
îáðàçîâàâøèõñÿ êðóïíûõ ÷àñòèö-ïëàíåò â ñëó÷àå, êîãäà â
ñèñòåìå ñóùåñòâóþò òîëüêî íåóïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ.
3. Èññëåäóéòå, ôîðìèðóþòñÿ ëè ñòàöèîíàðíûå îðáèòû
îáðàçîâàâøèõñÿ êðóïíûõ ÷àñòèö-ïëàíåò â ñëó÷àå, êîãäà â
ñèñòåìå ñóùåñòâóþò êàê óïðóãèå, òàê è íåóïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ. Íåóïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ ïðîèñõîäÿò ìåæäó ìåëêèìè
÷àñòèöàìè, ìåëêèìè ÷àñòèöàìè è òåëàìè, îáðàçóþùèìèñÿ èç
íèõ, à òàêæå ìåæäó îáðàçóþùèìèñÿ òåëàìè, åñëè â ìîìåíò
ñîóäàðåíèÿ ïðèöåëüíûé ïàðàìåòð b íå ïðåâîñõîäèò òðåòè
ðàäèóñà ìåíüøåãî òåëà è óãîë α ìåæäó ñêîðîñòÿìè äî
ñîóäàðåíèÿ ìåíüøå 45°. Îñòàëüíûå ñîóäàðåíèÿ – àáñîëþòíî
óïðóãèå.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè
Â.Àëüìèíäåðîâ, À.Êðàâöîâ
Âñåðîññèéñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ
îëèìïèàäà ïî ôèçèêå
Ñ 12 ïî 14 íîÿáðÿ 2008 ãîäà â Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì òåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå (ÌÃÒÓ) èì. Í.Ý.Áàóìàíà ïðîõîäèëà î÷åðåäíàÿ âñåðîññèéñêàÿ ôèçè÷åñêàÿ îëèìïèàäà
ñðåäè ñòóäåíòîâ òåõíè÷åñêèõ âóçîâ.
Ïî ðåçóëüòàòàì îëèìïèàäû, â êîìàíäíîì çà÷åòå ïåðâîå
ìåñòî çàíÿëà êîìàíäà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÏáÃÏÓ), íàáðàâøàÿ
151 áàëë, âòîðîå ìåñòî çàíÿëà êîìàíäà ÌÃÒÓ èì. Í.Ý.Áàóìàíà
(109 áàëëîâ), òðåòüå ìåñòî – êîìàíäà Áàëòèéñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (ÁÃÒÓ) «Âîåíìåõ»
èì. Ä.Ô.Óñòèíîâà (101 áàëë).
 ëè÷íîì çà÷åòå ïåðâîå ìåñòî çàâîåâàë ßðîñëàâ Áåëüòþêîâ (ÑÏáÃÏÓ), âòîðîå ìåñòî çàâîåâàë Ïàâåë Ìîñòîâûõ
(ÁÃÒÓ), òðåòüå ìåñòî – Ìàêñèì Ïåñòðåìåíêî (ÑÏáÃÏÓ).
ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
1. Òðè æóêà íàõîäÿòñÿ â âåðøèíàõ ðàâíîáåäðåííîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ñ êàòåòîì à. Ïåðâûé æóê
ïîëçåò âäîëü ãèïîòåíóçû èç òî÷êè À ê òî÷êå Â, âòîðîé æóê
ñ òàêîé æå ñêîðîñòüþ ïîëçåò èç òî÷êè  ïåðïåíäèêóëÿðíî
ñòîðîíå À â ñòîðîíó òî÷êè Ñ. Îïðåäåëèòå, ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ïîëçåò òðåòèé æóê è êàêîé ïóòü îí ïðåîäîëååò äî
âñòðå÷è, åñëè îí äâèæåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî òðåóãîëüíèê,
ñîåäèíÿþùèé æóêîâ, âñå âðåìÿ ïîäîáåí èñõîäíîìó.
2. Îðáèòàëüíàÿ îêîëîçåìíàÿ ñòàíöèÿ ìàññîé m íàõîäèòñÿ
íà íèçêîé êðóãîâîé îðáèòå. Îïðåäåëèòå, íà êàêîé óãîë
ïîâåðíåòñÿ ïëîñêîñòü îðáèòû, åñëè âêëþ÷èòü äâèãàòåëü,
49-58.p65
56
ñèëà òÿãè êîòîðîãî ïåðïåíäèêóëÿðíà ñêîðîñòè è ðàâíà mg,
íà âðåìÿ, ðàâíîå 1 4 2 ïåðèîäà îáðàùåíèÿ ñòàíöèè âîêðóã
Çåìëè, òàêèì îáðàçîì, ÷òî ñêîðîñòü ñòàíöèè íå èçìåíÿåòñÿ.
3. Ãâîçäü äèàìåòðîì d âáèò â äîñêó íà ãëóáèíó l. Ñèëà
òðåíèÿ ìåæäó ãâîçäåì è äîñêîé ïðîïîðöèîíàëüíà äëèíå
çàáèòîé ÷àñòè ãâîçäÿ, åå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ðàâíî f = kl.
Îïðåäåëèòå ðàáîòó ïî âûòÿãèâàíèþ ãâîçäÿ èç äîñêè êëåùàìè, åñëè ñèëà, ïðèëîæåííàÿ ê äîñêå ñî ñòîðîíû ãâîçäÿ,
îãðàíè÷åíà âåëè÷èíîé F < f.
4. Íåâåñîìûé öèëèíäð ðàäèóñîì R ëåæèò íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè è íåïîäâèæíî çàêðåïëåí íà íåé. Íà öèëèíäð ïîëîæèëè äîñêó äëèíîé l = 2 3 R òàêèì îáðàçîì, ÷òî
åå öåíòð òÿæåñòè ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé êàñàíèÿ äîñêè ñ öèëèíäðîì. Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå äîñêè, åñëè ìåæäó äîñêîé,
öèëèíäðîì è ïîâåðõíîñòüþ îòñóòñòâóåò òðåíèå.
5. Àêñèàëüíî ñèììåòðè÷íûé ñîñóä âûñîòîé H è ìàêñèìàëüíûì äèàìåòðîì D äîâåðõó íàïîëíåí âîäîé è ïëîòíî
çàêðûò êðûøêîé. Ñîñóä âðàùàåòñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè
ñèììåòðèè òàêèì îáðàçîì, ÷òî äàâëåíèå âîäû íà ñòåíêè
ñîñóäà âî âñåõ òî÷êàõ îäèíàêîâî. Îïðåäåëèòå îáúåì âîäû â
ñîñóäå.
6. Òåïëîâàÿ ìàøèíà ðàáîòàåò ñ îäíèì ìîëåì îäíîàòîìíîãî
ãàçà ïî öèêëó, ñîñòîÿùåìó èç äâóõ èçîõîð è äâóõ àäèàáàò.
Òåìïåðàòóðà íàãðåâàòåëÿ T1 , òåìïåðàòóðà îõëàäèòåëÿ T2 .
Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíóþ ðàáîòó, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü
âûïîëíåíà â äàííîì öèêëå.
7. Â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ âåðòèêàëüíî îðèåíòè-
(
)
29.07.09, 18:08
#%
ÎÍ
ËÔ
ÈÌ
ÏÌ
ÈÀÖ
ÄÈ
Ûß
È
ÎÐ
ðîâàííûì âåêòîðîì èíäóêöèè B íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé
ïëîñêîñòè ëåæèò òåëî ìàññîé m è çàðÿäîì q íà ðàññòîÿíèè
R îò îòâåðñòèÿ â ïëîñêîñòè. Ê òåëó ïðèâÿçàíà íèòü, ïðîïóùåííàÿ ÷åðåç ýòî îòâåðñòèå, ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè ïðîïîðöèîíàëüíà ðàññòîÿíèþ ìåæäó òåëîì è îòâåðñòèåì è â íà÷àëüíûé ìîìåíò ðàâíà F. Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå
ìåæäó òåëîì è îòâåðñòèåì â ïðîöåññå äàëüíåéøåãî äâèæåíèÿ.
8. Ïëîñêàÿ ñòîÿ÷àÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà íàõîäèòñÿ
ìåæäó äâóìÿ ïðîâîäÿùèìè ïàðàëëåëüíûìè ïëàñòèíàìè,
ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî äëèíå âîëíû λ . Îïðåäåëèòå òî÷êè, â êîòîðûõ ñðåäíåå çíà÷åíèå îáúåìíîé ïëîòíîñòè
ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âîëíû ìàêñèìàëüíî.
9. Ïëîñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà ñ äëèíîé âîëíû λ , ïðîéäÿ
÷åðåç çîííóþ ïëàñòèíêó, ñîçäàåò â òî÷êå íàáëþäåíèÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà I0 . Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ èíòåíñèâíîñòü
ñâåòà, åñëè íà çîííóþ ïëàñòèíêó íàêëàäûâàåòñÿ ôàçîâàÿ
ïëàñòèíêà, ñîçäàííàÿ äëÿ òîé æå òî÷êè íàáëþäåíèÿ ïðè
äëèíå âîëíû, ðàâíîé λ 2 ?
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ì.ßêîâëåâ, Â.Ãîëóáåâ
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß
Èçáðàííûå çàäà÷è ñîáåñåäîâàíèé
â 9 ìàòåìàòè÷åñêèé êëàññ 57 øêîëû
Êàæäóþ âåñíó Ìîñêîâñêàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ Ïÿòüäåñÿò
ñåäüìàÿ øêîëà ïðîâîäèò ñîáåñåäîâàíèÿ äëÿ øêîëüíèêîâ,
ïîñòóïàþùèõ â 8 è 9 ìàòåìàòè÷åñêèå êëàññû. Íà òàêèõ
ñîáåñåäîâàíèÿõ ïðåäëàãàþòñÿ çàäà÷è, êàæäûé ãîä íîâûå (íå
âñå èç íèõ, ðàçóìååòñÿ, ïðèäóìàíû ñïåöèàëüíî äëÿ ñîáåñåäîâàíèé, íî ïåäàãîãè ñòðåìÿòñÿ ê òîìó, ÷òîáû âîïèþùå èçâåñòíûìè ýòè çàäà÷è íå áûëè). Íåêîòîðûå èç íèõ î÷åíü
ïðîñòû, íåêîòîðûå âåñüìà ñëîæíû.
Ìû ïðèâîäèì èçáðàííûå çàäà÷è äëÿ ïîñòóïàþùèõ â 9
êëàññ îäíîãî èç òàêèõ ñîáåñåäîâàíèé
ïðîøëûõ ëåò.
1. Ïðÿìîóãîëüíèê ñëîæåí èç ïÿòè
îäèíàêîâûõ ïàðêåòíûõ ïëèòîê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 1. Íàéäèòå îòíîøåíèå åãî ñòîðîí.
Ðèñ. 1
2. Òðè êîëîêîëà íà÷èíàþò áèòü îäíîâðåìåííî. Èíòåðâàëû ìåæäó óäàðàìè ñîñòàâëÿþò 4 ñåêóíäû,
5/3 ñåêóíäû è 2,4 ñåêóíäû ñîîòâåòñòâåííî. Ñîâïàâøèå ïî
âðåìåíè óäàðû âîñïðèíèìàþòñÿ êàê îäèí. Ñêîëüêî óäàðîâ
áóäåò óñëûøàíî çà ìèíóòó (ñ÷èòàÿ ïåðâûé è ïîñëåäíèé)?
3. Óêàæèòå âñå öåëûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè äåëåíèè
íà êîòîðûå ÷èñëà 3213, 3361 è 3583 äàþò îäèíàêîâûå
îñòàòêè.
4. Äâà êàðàíäàøà – îäèí øåñòèãðàííûé, à âòîðîé ñ
êâàäðàòíûì ñå÷åíèåì – ïîëîæèëè íà äëèííûé ïèñüìåííûé
ñòîë. Îêàçàëîñü, ÷òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ïðîòèâîïîëîæíûìè
ãðàíÿìè ó íèõ ðàâíû (ðèñ.2). Ïåðåêàòûâàÿ ÷åðåç ðåáðà,
êàæäûé èç íèõ ïðîêàòèëè îò îäíîãî êðàÿ ñòîëà äî äðóãîãî.
Ðèñ. 2
Ðàññìîòðèì òðàåêòîðèþ êàêîé-íèáóäü òî÷êè íà îñè (ãðèôåëå) êàðàíäàøà. à) Äëÿ êàêîãî èç êàðàíäàøåé äëèíà ýòîé
òðàåêòîðèè áîëüøå? á) Âî ñêîëüêî (ïðèìåðíî) ðàç?
5. Òðè ëûæíèêà áåãóò ñ ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè. ×åðåç
êàæäûé êèëîìåòð ñòîÿò ñóäüè è îòìå÷àþò, êîãäà ìèìî íèõ
ïðîáåãàþò. Ïåðâûé ñóäüÿ îòìåòèë ìîìåíòû 12:01, 12:03,
12:07. Âòîðîé ñóäüÿ (÷åðåç êèëîìåòð) îòìåòèë 12:08, 12:10,
12:11, òðåòèé (åùå ÷åðåç êèëîìåòð) îòìåòèë 12:13, 12:15,
12:19. Êàêèå ìîìåíòû îòìåòèë ÷åòâåðòûé ñóäüÿ (åùå ÷åðåç
êèëîìåòð)? Óêàæèòå âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû.
49-58.p65
57
6. Â âûïóêëîì øåñòèóãîëüíèêå ABCDEF âñå âíóòðåííèå
óãëû ðàâíû. Èçâåñòíî, ÷òî AB = 2, CD = 5, DE = 7, EF = 1.
Íàéäèòå BC è AF.
7. Íàéäèòå âñå x, äëÿ êîòîðûõ
Èx˘ Èx˘ Èx˘
ÍÎ 2 ˙˚ + ÍÎ 5 ˙˚ + ÍÎ 6 ˙˚ = 2007 .
(Çäåñü êâàäðàòíûìè ñêîáêàìè îáîçíà÷åíà öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà, ò.å íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå äàííîãî;
íàïðèìåð, [6/5] = 1.)
8. Íà ñòîëå ëåæàëè 30 ìîíåò ðåøêàìè ââåðõ. Âèòÿ ïîäîøåë
ê ñòîëó è ïåðåâåðíóë 25 ìîíåò. Ïîñëå ýòîãî Ñàøà ïîäîøåë
ê ñòîëó è ïåðåâåðíóë 24 ìîíåòû (ïðè ýòîì îí ìîã ïåðåâîðà÷èâàòü êàê òå, ÷òî ïåðåâîðà÷èâàë Âèòÿ, òàê è äðóãèå). Êàêèì
ìîæåò áûòü ÷èñëî ìîíåò, îêàçàâøèõñÿ ïîñëå ýòîãî ðåøêîé
ââåðõ? Óêàæèòå âñå âàðèàíòû.
9. à) Íàðèñóéòå, ãäå ìîæåò íàõîäèòüñÿ öåíòð êðóãà ðàäèóñà 1, åñëè èçâåñòíî, ÷òî êðóã ïåðåñåêàåòñÿ (èìååò õîòÿ áû
îäíó îáùóþ òî÷êó) ñ ãðàíèöåé ïðÿìîóãîëüíèêà 3 ¥ 4 .
á) Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îáðàçîâàííîé öåíòðàìè òàêèõ
êðóãîâ.
10. à) Êàê ðàçìåñòèòü ãèðè ìàññàìè 101 ã, 201 ã, 301 ã,
401 ã, 501 ã è 601 ã íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ òàê, ÷òîáû ðàçíèöà
ìàññ íà ÷àøêàõ áûëà íàèìåíüøåé âîçìîæíîé? Îáîñíóéòå
âàø îòâåò. á) Òîò æå âîïðîñ, åñëè äîáàâèòü åùå ãèðþ â
701 ã.
11. Äâà ëûæíèêà ñòàðòîâàëè ñ èíòåðâàëîì â äâå ìèíóòû.
Âòîðîé ëûæíèê äîãíàë ïåðâîãî ó îòìåòêè 1 êì (ñ÷èòàÿ îò
òî÷êè ñòàðòà). Äîéäÿ äî îòìåòêè 5 êì, âòîðîé ëûæíèê
ïîâåðíóë îáðàòíî è ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ âñòðåòèëñÿ ñ
ïåðâûì ëûæíèêîì. Ýòà âñòðå÷à ïðîèçîøëà ÷åðåç 20 ìèíóò
ïîñëå ñòàðòà ïåðâîãî ëûæíèêà. Íàéäèòå ñêîðîñòü ïåðâîãî
ëûæíèêà. (Ñêîðîñòè ëûæíèêîâ ïîñòîÿííû.)
12. Äëÿ âûáîðà ïîáåäèòåëÿ 768 ó÷àñòíèêîâ ëîòåðåè áûëè
ðàññòàâëåíû ïî êðóãó. Ñíà÷àëà èç êðóãà âûøåë È.È.Èâàíîâ, çàòåì âûøåë ÷åëîâåê, êîòîðûé ñòîÿë ÷åðåç îäíîãî îò
Èâàíîâà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå è ò.ä. – êàæäûé ðàç âûõîäèë
ñòîÿùèé ÷åðåç îäíîãî ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå îò âûâåäåííîãî
ïåðåä ýòèì. Òàê äåëàëè, ïîêà íå îñòàëñÿ îäèí ÷åëîâåê – åãî
îáúÿâèëè ïîáåäèòåëåì. Ãäå îí ñòîÿë ñíà÷àëà (ñ÷èòàÿ îò
Èâàíîâà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå)?
13. Âàñÿ óáåäèë ó÷èòåëüíèöó ïîâûñèòü åìó îöåíêó çà
èòîãîâóþ êîíòðîëüíóþ â ïåðâîé ÷åòâåðòè ñ äâîéêè íà òðîéêó, è åãî ñðåäíèé áàëë çà ïåðâóþ ÷åòâåðòü óâåëè÷èëñÿ íà a.
Ïîñëå òîãî, êàê îí ïðîäåëàë òî æå ñàìîå âî âòîðîé ÷åòâåðòè,
åãî ñðåäíèé áàëë çà âòîðóþ ÷åòâåðòü óâåëè÷èëñÿ íà b. Íà
ñêîëüêî óâåëè÷èëñÿ â ðåçóëüòàòå åãî ñðåäíèé áàëë çà ïåðâîå
ïîëóãîäèå? (Ñðåäíèé áàëë – ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå îöåíîê.)
29.07.09, 18:08
#&
ÊÂÀÍT 2009/¹4
14.  ñòðî÷êó âûïèñàíû åäèíèöû,
äâîéêè è òðîéêè, ïðè÷åì åñòü ðîâíî
17 åäèíèö, çà êîòîðûìè ñëåäóþò
äâîéêè, è ðîâíî 23 äâîéêè, çà êîòîðûìè ñëåäóþò åäèíèöû. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî òðîåê ìîæåò áûòü â
ýòîé ñòðî÷êå?
15. Íà êëåò÷àòîé áóìàãå íàðèñî2
âàëè ãðàôèê ôóíêöèè y = x + cx +
+ d (ðèñ. 3). Íàéäèòå c è d ñ
àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ íå áîëåå 1.
16. Òðè êîëîäöà – âåðøèíû ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé 20. Íàðèñóéòå âñå òî÷êè, äëÿ
êîòîðûõ à) ðàññòîÿíèå äî áëèæàéøåãî êîëîäöà ðàâíî 11; á) ðàññòîÿíèå äî ñàìîãî äàëåêîãî êîëîäöà ðàâíî 20.
Ðèñ. 3
17. Ïåøåõîä èäåò âäîëü øîññå ñ
ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Êàæäûå 6 ìèíóò îí âèäèò ïîïóòíûé
àâòîáóñ, à êàæäûå 3 ìèíóòû – âñòðå÷íûé. Èçâåñòíî, ÷òî
àâòîáóñû åäóò â îáå ñòîðîíû ñ îäíîé è òîé æå ñêîðîñòüþ è
îòïðàâëÿþòñÿ ñ êîíå÷íûõ ïóíêòîâ ÷åðåç îäèíàêîâûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè. ×åìó ðàâíû ýòè ïðîìåæóòêè?
18.  êëåò÷àòîì êâàäðàòå 100 ¥ 100 íóæíî çàêðàñèòü
íåñêîëüêî êëåòîê òàê, ÷òîáû â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì
ñòîëáöå áûëî íå áîëåå äâóõ çàêðàøåííûõ êëåòîê.
à) Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî êëåòîê ìîæíî çàêðàñèòü?
á) Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî êëåòîê ìîæíî çàêðàñèòü òàê,
÷òîáû íè îäíîé íåëüçÿ áûëî äîáàâèòü ïî èìåþùèìñÿ ïðàâèëàì?
19. Ñêîëüêî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ìîæåò èìåòü îêðóæíîñòü ñ
ãðàíèöåé òðåóãîëüíèêà?
20. Êàêîé óãîë îáðàçóþò ÷àñîâàÿ è ìèíóòíàÿ ñòðåëêè ÷àñîâ
â 7 ÷àñîâ 38 ìèíóò?
21. Ðàçðåæüòå êâàäðàò íà òðè ÷àñòè, èç êîòîðûõ ìîæíî
ñëîæèòü íåðàâíîáåäðåííûé íåïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê.
22.  áóòûëêå áûëî íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî äåâÿòèïðîöåíòíîãî ðàñòâîðà óêñóñà. Òóäà äîáàâèëè ñòàêàí âîäû, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ðàñòâîð ñòàë øåñòèïðîöåíòíûì. Êàêèì áóäåò
ïðîöåíòíîå ñîäåðæàíèå óêñóñà, êîãäà
äîáàâÿò åùå ñòàêàí âîäû?
23. Îñü îò äåòñêîé ìàøèíêè (äèàìåòð
ëåâîãî êîëåñà 20 ìì, ïðàâîãî – 21 ìì,
ðàññòîÿíèå ìåæäó êîëåñàìè 90 ìì;
ðèñ.4) ïîêàòèëè ïî ðîâíîìó ïîëó. ÏîÐèñ. 4
ñêîëüêó êîëåñà ðàçíûå, îñü çàâîðà÷èâàåò ïî êðóãó; ïðè ýòîì êîëåñà îñòàâëÿþò
íà ïîëó ñëåäû, ÿâëÿþùèåñÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè îêðóæíîñòÿìè. Íàéäèòå ðàäèóñû ýòèõ îêðóæíîñòåé.
24.  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1, 10, 101, 10110, … êàæäîå
ñëåäóþùåå ÷èñëî ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî ïî òàêîìó
ïðàâèëó: 0 çàìåíÿþò íà 1, à 1 – íà 10. Ìîãóò ëè â îäíîì èç
÷èñåë â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîÿâèòüñÿ òðè åäèíèöû
ïîäðÿä?
25. Ðàññìîòðèì ïåðâîå ÷èñëî â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç
ïðåäûäóùåé çàäà÷è, â êîòîðîì íå ìåíüøå òûñÿ÷è öèôð.
Êàêèå öèôðû ñòîÿò â ýòîì
÷èñëå íà 998-ì, 999-ì è
1000-ì îò íà÷àëà ìåñòàõ?
26.  ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ABC (BC – îñíîâàíèå) ïðîâåäåíà áèññåêòðèñà BD (ðèñ.5). Ïðÿìàÿ, ïðîÐèñ. 5
õîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó D ïåð-
49-58.p65
58
ïåíäèêóëÿðíî BD, ïåðåñåêàåò îñíîâàíèå BC â òî÷êå K.
Äîêàæèòå, ÷òî BK = 2CD.
27. Äîêàæèòå, ÷òî íè îäíó èç ñòåïåíåé äâîéêè 1, 2, 4,
8,... íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû íåñêîëüêèõ (áîëåå
îäíîãî) ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
28. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå ÷èñëî, íå ÿâëÿþùååñÿ ñòåïåíüþ
äâîéêè, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû íåñêîëüêèõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
29. Ìîæíî ëè ïîìåñòèòü ïðÿìîóãîëüíèê 3 ¥ 8 âíóòðü
ïðÿìîóãîëüíèêà 5 ¥ 6 ?
30. Åñòü ïî îäíîìó ëèòðó ïÿòèïðîöåíòíîãî, ñåìèïðîöåíòíîãî è äåñÿòèïðîöåíòíîãî ðàñòâîðà óêñóñà. Êàêîå ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî âîñüìèïðîöåíòíîãî ðàñòâîðà ìîæíî
ïîëó÷èòü, ñìåøèâàÿ ýòè ðàñòâîðû?
31. Öåëîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì è íå îêàí÷èâàåòñÿ íóëåì. Åñëè çà÷åðêíóòü äâå åãî ïîñëåäíèå öèôðû,
òîæå ïîëó÷àåòñÿ òî÷íûé êâàäðàò. Íàéäèòå íàèáîëüøåå òàêîå ÷èñëî.
32. Âíóòðè ðàâíîñòîðîííåãî
òðåóãîëüíèêà ABC âçÿòà òî÷êà
M (ðèñ.6). Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî âïèñàòü â òðåóãîëüíèê ABC
òðåóãîëüíèê A¢B ¢C ¢ , ñòîðîíû
êîòîðîãî ðàâíû MA, MB è MC.
33. Âàñÿ íàïèñàë íà äîñêå
100 ðàçëè÷íûõ öåëûõ ïîëîæè- Ðèñ. 6
òåëüíûõ ÷èñåë, à Ïåòÿ íàøåë
èõ âñåâîçìîæíûå ïîïàðíûå ñóììû (âêëþ÷àÿ ñóììó êàæäîãî
÷èñëà ñ ñîáîé). Ñðåäè ïîëó÷åííûõ ñóìì îêàçàëîñü ðîâíî 199
ðàçëè÷íûõ ÷èñåë. Êàêèå ÷èñëà áûëè âûïèñàíû Âàñåé, åñëè
èçâåñòíî, ÷òî ñðåäè íèõ áûëè ÷èñëà 1 è 3, íî íå áûëî ÷èñëà
2?
34. Â òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíû âûñîòû AA1 è CC1 ,
ïðè÷åì èõ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ H ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà
(ðèñ.7). Èçâåñòíî, ÷òî
AH = HA1 , CH = 2HC1 . Íàéäèòå –B .
35.  ñòðî÷êó âûïèñàíû
100 ÷èñåë. Äîêàæèòå, ÷òî ëèáî
ìîæíî ðàñêðàñèòü èõ â ÷åòûðå öâåòà òàê, ÷òîáû ÷èñëà
êàæäîãî öâåòà âîçðàñòàëè ñëåâà íàïðàâî, ëèáî ñðåäè íèõ
ìîæíî âûáðàòü ïÿòü ÷èñåë, Ðèñ. 7
êîòîðûå óáûâàþò ñëåâà íàïðàâî (íàèáîëüøåå ëåâåå âñåõ, ñëåäóþùåå ïî âåëè÷èíå
ïðàâåå åãî è ò.ä.).
36. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî äèàãîíàëåé âûïóêëîãî
239-óãîëüíèêà ìîæíî âûáðàòü, åñëè òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ëþáûå
äâå èç âûáðàííûõ äèàãîíàëåé èìåëè îáùóþ òî÷êó (âîçìîæíî, âåðøèíó)?
37. Íà ïëîñêîñòè íàðèñîâàíû íåñêîëüêî
òî÷åê, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ñîåäèíåíû îòðåçêàìè. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî ðàñêðàñèòü
òî÷êè â äâà öâåòà òàê, ÷òîáû íå ìåíåå ïîëîâèíû îòðåçêîâ èìåëè ðàçíîöâåòíûå êîíöû.
38. Øåñòèóãîëüíèê ðàçðåçàí íà äâà øåñòèóãîëüíèêà òîé æå ôîðìû, íî ïðîïîðöèîíàëüíî ìåíüøèõ (ðèñ.8). Äëèíà åãî âåðõíåé ñòîÐèñ. 8
ðîíû ðàâíà 1. Íàéäèòå äëèíû îñòàëüíûõ
ñòîðîí.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè
Ð.Ãîðäèí, Â.Äîöåíêî, À.Øåíü, Ê.Øðàìîâ
29.07.09, 18:08
 Å,Ò ÛÓ, ÊÓ À
ÊÀ
ß ,ß Ð
È ßÅ Í È ß
Î Ò Â Å ÎÒÒÛ
ÇÇÀÀ ÍÍÈÈ
,ÅØ
Ð ÅÅÍØ
ÊÌØ
ÇÀÄÀ×È
(ñì. «Êâàíò» ¹ 3)
1. 7 ïåíüêîâ.
2. Íèòêà ïàêåòèêà çàêðó÷åíà ïðè èçãîòîâëåíèè, òàê ÷òî íåìíîãî âðàùàòüñÿ áóäåò äàæå ñóõîé ïàêåòèê. Íî ïàêåòèê î÷åíü
ëåãêèé, è íèòü íå ìîæåò ðàñêðóòèòüñÿ ïîëíîñòüþ. Ïîñëå íàìîêàíèÿ ïàêåòèê ñòàíîâèòñÿ òÿæåëåå, íèòü íàòÿãèâàåòñÿ
ñèëüíåå è ðàñêðó÷èâàåòñÿ äàëüøå.
3. Ïðè ïåðâîì âçâåøèâàíèè ïîëîæèì íà êàæäóþ ÷àøó âåñîâ
ïî äâå áðîíçîâûõ è ïî îäíîé ñåðåáðÿíîé ìåäàëè.
Åñëè âåñû â ðàâíîâåñèè, òî ýòè øåñòü ìåäàëåé íàñòîÿùèå, à
ôàëüøèâàÿ íàõîäèòñÿ ñðåäè îñòàâøèõñÿ: áðîíçîâîé, ñåðåáðÿíîé è çîëîòîé. ×òîáû íàéòè åå, íà îäíó ÷àøó âåñîâ ïîëîæèì
íàñòîÿùóþ áðîíçîâóþ è åùå íå ïðîâåðåííóþ ñåðåáðÿíóþ ìåäàëè, à íà äðóãóþ – íå ïðîâåðåííóþ áðîíçîâóþ è íàñòîÿùóþ
ñåðåáðÿíóþ. Åñëè âåñû ñíîâà â ðàâíîâåñèè, òî ïîíÿòíî, ÷òî
ôàëüøèâàÿ ìåäàëü – çîëîòàÿ. Åñëè æå îäíà ÷àøêà ëåã÷å äðóãîé, òî íà íåé ëåæàò íàñòîÿùàÿ è ôàëüøèâàÿ ìåäàëè, è ïîñëåäíÿÿ îïðåäåëåíà.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ïðè ïåðâîì âçâåøèâàíèè îäíà
÷àøà îêàçàëàñü ëåã÷å äðóãîé. Òîãäà ôàëüøèâàÿ ìîíåòà ëåæèò
íà ÷àøå, êîòîðàÿ ëåã÷å. Âçâåñèì äâå áðîíçîâûå ìåäàëè ñ ýòîé
÷àøè: åñëè îíè îäíîãî âåñà, òî ôàëüøèâàÿ ìåäàëü – ñåðåáðÿíàÿ, åñëè îíè ðàçíîãî âåñà, òî áîëåå ëåãêàÿ ôàëüøèâàÿ.
4. Çà 8 âå÷åðîâ.
ßñíî, ÷òî èç äâóõ õîááèòîâ õîòÿ áû îäèí ïîáûâàåò â ãîñòÿõ ó
äðóãîãî, åñëè îíè íå áóäóò âåñòè ñåáÿ îäèíàêîâî, ò.å. ñèäåòü
äîìà â îäíè è òå æå âå÷åðà è ãóëÿòü â îäíè è òå æå âå÷åðà.
Åñëè âñåãî n âå÷åðîâ, òî èìååòñÿ 2n âàðèàíòîâ ïîâåäåíèÿ (â
êàæäûé èç n âå÷åðîâ íóæíî âûáðàòü èç äâóõ âîçìîæíîñòåé: ãóëÿòü èëè íå ãóëÿòü). Çíà÷èò, òðåáóåòñÿ íàéòè íàèìåíüøåå n, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíèòñÿ íåðàâåíñòâî 2n > 250.
5. BC = 6, AF = 10.
Ñóììà óãëîâ øåñòèóãîëüíèêà ðàâíà 720°. Òàê êàê âñå óãëû
øåñòèóãîëüíèêà ABCDEF îäèíàêîâû, êàæäûé èç íèõ ðàâåí
120°. Çíà÷èò, ñìåæíûå ñ íèìè óãëû ðàâíû ïî 60°. Ïóñòü ïðÿìûå AF è BC ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå K, ïðÿìûå BC è DE – â
òî÷êå L, ïðÿìûå DE è AF – â òî÷êå M. Òîãäà òðåóãîëüíèêè
KAB, CLD, FEM è KLM – ðàâíîñòîðîííèå. Îòñþäà ïîëó÷àåì 2 + BC + 5 = 5 + 7 + 1 = 1 + AF + 2 è íàõîäèì BC è AF.
ÊÎÍÊÓÐÑ «ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 6–8»
(ñì. «Êâàíò» ¹1 çà 2009 ã.)
16. Íåò, íåëüçÿ. Ïóñòü ìû ïðèäóìàëè òàêóþ ðàçìåòêó. Ïîñ÷èòàåì, ñêîëüêî êëåòîê îòìå÷åíû. Âñåãî íà êóáèêå åñòü
3 ◊ 3 = 9 êîëåö, íà êàæäîì êîëüöå îòìå÷åíû 5 êëåòîê, à ÷åðåç
êàæäóþ êëåòêó ïðîõîäÿò ðîâíî äâà êîëüöà. Çíà÷èò, âñåãî îòìå÷åíî 9 · 5 2 – íåöåëîå ÷èñëî êëåòîê. Ïðîòèâîðå÷èå.
17. Íåò, íå ìîæåò. Ïóñòü Ö – ïëîùàäü öåíòðàëüíîé ÷àñòè, ×
– ñóììà ïëîùàäåé «÷åòûðåõóãîëüíûõ» ÷àñòåé, Ò – ñóììà
ïëîùàäåé «òðåóãîëüíûõ» ÷àñòåé, êðîìå öåíòðàëüíîé, Ï –
ïëîùàäü âñåãî ïàðêà. Åñëè áû îïèñàííàÿ ñèòóàöèÿ áûëà âîçìîæíà, òî ñóììà âñåõ «÷åòûðåõóãîëüíûõ» ÷àñòåé áûëà áû
áîëüøå ñóììû âñåõ ïðèëåãàþùèõ ê ñòîðîíàì ïàðêà «òðåóãîëüíûõ» ÷àñòåé, ò.å. × > Ò.
Èç äâóõ ðàâíûõ ïî ïëîùàäè ïîëîâèíîê, íà êîòîðûå öâåòíàÿ
ëèíèÿ ðàçáèâàåò áîëüøîé òðåóãîëüíèê, ðîâíî îäíà âñåãäà ñîäåðæèò öåíòðàëüíóþ ÷àñòü. Ñóììà ïëîùàäåé òàêèõ ïîëîâèíîê ðàâíà 1,5Ï = 3Ö + 2× + Ò. À ñóììà ïëîùàäåé îñòàâøèõñÿ ïîëîâèíîê ðàâíà 1,5Ï = 2Ò + ×. Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòè, ïîëó÷èì Ò = × + 3Ö > ×. Ïðîòèâîðå÷èå.
18. Äà, ìîæíî. Êàæäàÿ «ëåñåíêà» ñîñòîèò èç øåñòè êâàäðà-
59-64.p65
59
#'
òîâ. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî íàó÷èòüñÿ ñîñòàâëÿòü êâàäðàò. Èç
äâóõ «ëåñåíîê» ñêëàäûâàåì ïðÿìîóãîëüíèê 3 × 4, à èç äâåíàäöàòè òàêèõ ïðÿìîóãîëüíèêî⠖ êâàäðàò.
19. Ïðîíóìåðóåì âñå áóòûëêè îò 1 äî 1000 è íàïèøåì íà
êàæäîé åå íîìåð â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ; äëÿ íîìåðîâ,
ìåíüøèõ 512, äîïèøåì ñëåâà íóëè òàê, ÷òîáû âñåãî íà êàæäîé áóòûëêå áûëè íàïèñàíû äåñÿòü öèôð. Òàêæå ïðèñâîèì
êàæäîé ìûøè íîìåð îò 1 äî 10 è äàäèì k-é ìûøè ñìåñü âèíà
èç òåõ áóòûëîê, íà êîòîðûõ k-ÿ öèôðà – åäèíèöà. Êîãäà
ïðîéäóò äåñÿòü ìèíóò, âûïèøåì äåñÿòü öèôð – åäèíèöó íà
k-ì ìåñòå, åñëè k-ÿ ìûøü èçìåíèëà öâåò, èíà÷å – íîëü. Ïîëó÷åííàÿ äâîè÷íàÿ çàïèñü áóäåò íîìåðîì èñïîð÷åííîé áóòûëêè.
20. Ðàçäåëèì äàííîå ðàâåíñòâî íà ab è ïåðåïèøåì åãî â âèäå
1 1
1
. Òàêèì îáðàçîì, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü íåðàâåí+ = 3a b
ab
1
≥ 2 . Îíî ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó ab ≥ 1 , ïîýòîñòâî 3 ab
ìó áóäåì äîêàçûâàòü åãî. Ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ÷èñåë a è
b íå ìåíüøå èõ ñðåäíåãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ab , êîòîðîå ìû
îáîçíà÷èì t. Òîãäà èç ðàâåíñòâà a + b + 1 = 3ab ïîëó÷àåì,
÷òî 2t + 1 £ 3t2 . Çíà÷èò, 0 £ 3t2 - 2t - 1 = (t - 1) ( 3t + 1) . Ïîñêîëüêó t > 0, ïðîèçâåäåíèå íåîòðèöàòåëüíî, êîãäà îáà ìíîæèòåëÿ íåîòðèöàòåëüíû, ò.å. êîãäà t ≥ 1 , îòêóäà ab = t2 ≥ 1 .
XXX ÒÓÐÍÈÐ ÃÎÐÎÄÎÂ
ÇÀÄÀ×È ÂÅÑÅÍÍÅÃÎ ÒÓÐÀ
Áàçîâûé âàðèàíò
8–9 êëàññû
1. Ïóñòü ñ îäíîé ñòîðîíû îò ïðîâåäåííîé ïðÿìîé íàõîäèòñÿ k
âåðøèí 2009-óãîëüíèêà. Òîãäà ñ äðóãîé ñòîðîíû îò íåå íàõîäÿòñÿ 2009 – k âåðøèí. Ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåò â òî÷íîñòè òå äèàãîíàëè, êîòîðûå ñîåäèíÿþò âåðøèíû, íàõîäÿùèåñÿ ïî ðàçíûå
ñòîðîíû îò íåå. Âìåñòå ñ äâóìÿ ïåðåñå÷åííûìè íàøåé ïðÿìîé
ñòîðîíàìè 2009-óãîëüíèêà (êîòîðûå íà ÷åòíîñòü íå âëèÿþò)
òàêèõ äèàãîíàëåé áóäåò k(2009 – k). Ïîñêîëüêó îäèí èç ýòèõ
ñîìíîæèòåëåé îáÿçàòåëüíî ÷åòåí, ÷åòíî è èõ ïðîèçâåäåíèå.
3. 50.
Ïîíÿòíî, ÷òî íàäî èìåòü íå ìåíüøå ÷åì ïî 30 åäèíèö, 30 äâîåê, …, 30 äåâÿòîê è íå ìåíüøå 29 íóëåé. Ïîñêîëüêó ó êóáèêà
6 ãðàíåé, è 30 ⋅ 9 + 29 = 299 > 49 ⋅ 6 , íåëüçÿ îáîéòèñü ìåíüøå
÷åì 50 êóáèêàìè. Ïîêàæåì, ÷òî 50 êóáèêîâ õâàòèò. Ðàñïîëîæèì â ðÿä 50 êóáèêîâ è íà÷íåì ïîñëåäîâàòåëüíî çàïîëíÿòü
èõ ãðàíè (ñíà÷àëà – ó ïåðâîãî êóáèêà, ïîòîì – ó âòîðîãî, è
ò.ä.) ÷èñëàìè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, … (èìåííî â
òàêîì ïîðÿäêå). Â ðåçóëüòàòå êàæäàÿ öèôðà áóäåò íàïèñàíà
íà ãðàíÿõ 30 ðàçíûõ êóáèêîâ, è ìû ñìîæåì ñîñòàâèòü ëþáîå
30-çíà÷íîå ÷èñëî, ïîñëåäîâàòåëüíî âûáèðàÿ êóáèêè ñ íóæíûìè öèôðàìè.
4. Äà, ìîãëà. Íàïðèìåð, ãîäèòñÿ ÷èñëî
988888888890.
5. Ïóñòü O – öåíòð
îïèñàííîé îêðóæíîñòè
òðåóãîëüíèêà NAM
(ðèñ.1). Ïîñêîëüêó
óãîë NAM âïèñàí â ýòó
Ðèñ. 1
îêðóæíîñòü è ðàâåí 30°,
ñîîòâåòñòâóþùèé åìó öåíòðàëüíûé óãîë NOM ðàâåí 60°. Òîãäà ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê MON – ðàâíîñòîðîííèé, à
÷åòûðåõóãîëüíèê MCNO âïèñàí â îêðóæíîñòü (â íåì ñóììà
ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ C è O ðàâíà 180°). Íî óãëû MCO è
MNO îïèðàþòñÿ íà îäíó è òó æå äóãó ýòîé îêðóæíîñòè, îòêóäà ∠MCO = ∠MNO = 60° , ò.å. CO – áèññåêòðèñà óãëà C
ðîìáà, è çíà÷èò, O ëåæèò íà äèàãîíàëè AC.
29.07.09, 18:13
$
ÊÂÀÍT 2009/¹4
10–11 êëàññû
3. à) Ïî ïîñòðîåíèþ xn ïðè n ≥ 3 íå÷åòíî. Ïîýòîìó ïðè
n ≥ 5 ñóììà xn −1 + xn −2 ÷åòíà, îòêóäà
xn = O ( xn −1 + xn −2 ) ≤ ( xn −1 + xn −2 ) 2 ≤ max {xn −1, xn − 2 } ,
ïðè÷åì ðàâåíñòâî âîçìîæíî òîëüêî ïðè xn −1 = xn − 2 . Íî â ïîñëåäíåì ñëó÷àå xn = xn −1 = xn − 2 , è äàëåå âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóäóò òàêèìè æå, êàê ýòè òðè. Äîïóñòèì,
xn < max {xn −1, xn − 2 } ïðè âñåõ n ≥ 5 . Òîãäà max {xn, xn +1} <
< max {max {xn −1, xn −2 },max {xn, xn −1}} = max {xn −1, xn − 2 } ïðè
âñåõ n ≥ 5 . Íî âåëè÷èíà max {xn, xn +1} , ïðèíèìàþùàÿ íàòóðàëüíûå çíà÷åíèÿ, íå ìîæåò áåñêîíå÷íî óáûâàòü.
á) Ýòî ÷èñëî O (ÍÎÄ ( a, b )) .
4. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ñòåðåòü ïàðó èäóùèõ ïîäðÿä åäèíèö,
ðàçíîñòü M – N íå èçìåíèòñÿ: ÷åòíîñòü ðàññòîÿíèé îò ýòèõ
åäèíèö äî êàæäîãî èç íóëåé âñåãäà áóäåò ðàçëè÷íîé, è ïîòîìó ñòèðàíèå äâóõ åäèíèö óìåíüøèò M è N íà îäíî è òî æå
÷èñëî. Àíàëîãè÷íî, íå ìåíÿåò ðàçíîñòè M – N ñòèðàíèå ïàðû
èäóùèõ ïîäðÿä íóëåé. Áóäåì ñòèðàòü òàêèå ïàðû, ïîêà ýòî
âîçìîæíî. Â èòîãå ëèáî öèôð íå îñòàíåòñÿ ñîâñåì (è òîãäà
M – N = 0, ÷òî íàñ óñòðàèâàåò), ëèáî îñòàíóòñÿ ÷åðåäóþùèåñÿ íóëè è åäèíèöû. Íî â ýòîì ñëó÷àå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ
åäèíèöåé è íóëåì – ÷åòíîå ÷èñëî çíàêîâ, ò.å. M > N = 0.
5. Êàê èçâåñòíî, îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå âåðøèíû òåòðàýäðà ñ
òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí ïðîòèâîëåæàùèõ ãðàíåé, ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå (îáîçíà÷èì åå S) è äåëÿòñÿ åþ â îòíîøåíèè 3 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû. Ïðîäîëæèì îòðåçîê XS íà
ðàññòîÿíèå SY = 3XS çà òî÷êó S. Òîãäà òðåóãîëüíèêè SAY è
SA1X , ãäå A1 – òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí ãðàíè BCD, ãîìîòåòè÷íû ñ öåíòðîì S è êîýôôèöèåíòîì –3. Ñëåäîâàòåëüíî,
AY è XA1 ïàðàëëåëüíû. Òàêèì îáðàçîì, âñå îïèñàííûå â óñëîâèè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Y.
Ñëîæíûé âàðèàíò
8–9 êëàññû
1. Äà, ñìîæåò. Âàñå äîñòàòî÷íî íàçûâàòü âñå âðåìÿ îäíî è òî
æå ÷èñëî: 1 (2008 ⋅ 2009 ) .
2. à) Ïðèìåðû òàêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ïðèâåäåíû íà ðèñóíêàõ 2 è 3.
Ðèñ. 3
Ðèñ. 2
á) Äà. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü òðàïåöèÿ ñ îòíîøåíèåì îñíîâàíèé 1:2, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 4. Îíà ïîëó÷àåòñÿ
ðàçðåçàíèåì êâàäðàòà ïî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî
öåíòð.
3. Íåò, íåëüçÿ.
Äîñòàòî÷íî äëÿ ëþáîé ðàññòàíîâêè
çíàêîâ äîêàçàòü, ÷òî, âûåçæàÿ èç
äîìà, ìàøèíà ìîæåò âûåõàòü çà ãðàíèöó êâàäðàòà (ïîäóìàéòå, ïî÷åìó).
Ïóñòü ìàøèíà âûåçæàåò èç öåíòðàëüíîé êëåòêè íà ñåâåð. Â êàæäîé
ñëåäóþùåé êëåòêå îíà ñìîæåò åõàòü
íà ñåâåð èëè íà çàïàä, íèêîãäà íå
Ðèñ. 4
äâèãàÿñü íà þã è íà âîñòîê. Òîãäà
íå ïîçäíåå ÷åì ÷åðåç 101 øàã îíà çàâåäîìî âûéäåò çà ãðàíèöû êâàäðàòà.
4. Íåò, íå îáÿçàòåëüíî.
Ïðèìåð – ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, …
..., k2, k (k + 1) , (k + 1)2 , (k + 1)(k + 2 ) , (k + 2 )2 , …
6. Îòðàçèì òî÷êó B îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé AC; ïóñòü ïðè ýòîì
îòðàæåíèè îíà ïåðåõîäèò â òî÷êó B1 (ðèñ.5). Ïðîäëèì BP è
59-64.p65
60
BQ äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ
AB1 è CB1 â òî÷êàõ
M1 è N1 . Òîãäà òðåóãîëüíèêè AMP è
AM1P , à òàêæå CNQ
è CN1Q ðàâíû, è
ñóììà ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ AM1P ,
CN1Q è ïÿòèóãîëüíè- Ðèñ. 5
êà M1PQN1B1 ðàâíà
ïîëîâèíå ïëîùàäè ðîìáà ABCB1 . Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî
∠M1BB1 + ∠B1BN1 = 60° = ∠B1BN1 + ∠N1BC , à ñòàëî áûòü,
òðåóãîëüíèêè M1BB1 è N1BC ðàâíû ïî ñòîðîíå ( BB1 = BC )
è äâóì ïðèëåæàùèì ê íåé óãëàì. Ïîñêîëüêó ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà B1BC ðàâíà ïîëîâèíå ïëîùàäè ðîìáà ABCB1 , òî
è ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà M1BN1B1 ðàâíà ïîëîâèíå ïëîùàäè ðîìáà ABCB1 . Ñòàëî áûòü,
SAM1P + SM1PQN1B1 + SCN1Q = SPQB + SM1PQN1B1 ,
ïîýòîìó ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà PQB ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé
òðåóãîëüíèêîâ AM1P è CN1Q , à çíà÷èò, è ñóììå ïëîùàäåé
òðåóãîëüíèêîâ AMP è CNQ.
10–11 êëàññû
1. Íåò.
Ïóñòü äâà ïðÿìîóãîëüíèêà èìåþò ñîïðèêàñàþùèåñÿ ñòîðîíû
(ñêàæåì, âåðòèêàëüíûå). Ðàññìîòðèì ïðîåêöèè öåíòðîâ íà
ïðÿìóþ l, ñîäåðæàùóþ ýòè ñòîðîíû. Åñëè îáå ïðîåêöèè ëåæàò íà
îáùåì ó÷àñòêå ñîïðèêàñàþùèõñÿ
ñòîðîí, òî îòðåçîê I, ñîåäèíÿþùèé öåíòðû ïðÿìîóãîëüíèêîâ, íå
âûõîäèò çà ãðàíèöû îáúåäèíåíèÿ
ýòèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ (ïîñêîëüêó
òîãäà òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêà I
c ïðÿìîé l, ðàñïîëîæåííàÿ ìåæäó
ïðîåêöèÿìè, òîæå ëåæèò íà ýòîì
Ðèñ. 6
ó÷àñòêå; ðèñ.6,à).
Îñòàëîñü íàéòè òàêèå äâà ñîïðèêàñàþùèõñÿ ïðÿìîóãîëüíèêà.
Ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíèê A â ëåâîì âåðõíåì óãëó. Ïóñòü B
è C – ñîñåäíèå ñ íèì ïðÿìîóãîëüíèêè, ïðè÷åì B ñîäåðæèò
ñåðåäèíó ïðàâîé ñòîðîíû A, à C ñîäåðæèò ñåðåäèíó íèæíåé
ñòîðîíû A. Òàê êàê B è C íå ïåðåêðûâàþòñÿ, òî íå ìîæåò îäíîâðåìåííî íèæíÿÿ ñòîðîíà B ðàñïîëàãàòüñÿ íèæå íèæíåé
ñòîðîíû A, è ïðàâàÿ ñòîðîíà C ðàñïîëàãàòüñÿ ïðàâåå ïðàâîé
ñòîðîíû A. Ïóñòü, íàïðèìåð, íèæíÿÿ ñòîðîíà B ðàñïîëîæåíà
íå íèæå íèæíåé ñòîðîíû A
(ðèñ. 6,á). Òîãäà A è B –
èñêîìûå ïðÿìîóãîëüíèêè.
3. 90. Óêàçàíèå. ×èñëî äèàãîíàëåé, íà êîòîðûõ ñòîèò
ïî íå÷åòíîìó ÷èñëó ôèøåê,
íå ìîæåò óìåíüøèòüñÿ.
Ïðèìåð, êîãäà ìîæíî ñíÿòü
90 ôèøåê, ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 7 (â êàæäîé êëåòêå
ïîñòàâëåí íîìåð øàãà, íà
êîòîðîì ñíèìàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôèøêà).
6. Âòîðîé èãðîê âñåãäà ìîÐèñ. 7
æåò îáåñïå÷èòü ñåáå ïîáåäó.
Óêàçàíèå. Íàðèñóåì âïèñàííûé â äàííóþ îêðóæíîñòü ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê, îäíà èç âåðøèí êîòîðîãî – òî÷êà, îòìå÷åííàÿ ïåðâûì èãðîêîì íà ïåðâîì õîäó. Ïîêà íå âñå âåðøèíû
ýòîãî n-óãîëüíèêà îòìå÷åíû, âòîðîé èãðîê äîëæåí ñòàâèòü ñèíèå òî÷êè â åãî âåðøèíû. Êîãäà âñå âåðøèíû ýòîãî n-óãîëüíèêà áóäóò îòìå÷åíû, îêðóæíîñòü ðàçîáüåòñÿ íà n äóã. Íàçî-
29.07.09, 18:14
ÎÒÂÅÒÛ,
ÓÊÀÇÀÍÈß,
âåì äóãó êðàñíîé, åñëè îáà åå êîíöà êðàñíûå. Äàëåå âòîðîé
èãðîê äîëæåí îòìåòèòü õîòÿ áû ïî îäíîé òî÷êå âíóòðè êàæäîé èç êðàñíûõ äóã. Ïîñëåäíèì õîäîì îí ñìîæåò âûèãðàòü.
Óñòíûé òóð äëÿ 11 êëàññà
3
100! .
2
2. Ïóñòü ëàäüÿ ïîïàëà íà êëåòêó h1 ñ êëåòêè h2. Ïîñìîòðèì,
â êàêîì ïîðÿäêå îáõîäÿòñÿ óãëû äîñêè. Ïðîòèâîïîëîæíûå
óãëû äîñêè íå ìîãóò èäòè ïîäðÿä â ìàðøðóòå ëàäüè – òîãäà
ñîåäèíÿþùèé èõ ïóòü îòäåëÿåò îäèí èç äâóõ äðóãèõ ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ, è â ýòîò óãîë ëàäüÿ ïîïàñòü íå ìîæåò. Çíà÷èò, óãëû îáõîäÿòñÿ ëèáî ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, ëèáî ïî
÷àñîâîé ñòðåëêå. Ñëó÷àè àíàëîãè÷íû, ðàçáåðåì ïåðâûé. Äîñòàòî÷íî ðàçîáðàòü âàðèàíòû, êîãäà ïåðâûé óãîë â ïóòè ëåâûé. Åñëè ïåðâûì ïðîõîäèòñÿ ëåâûé âåðõíèé óãîë, òî ïóòü,
ñîåäèíÿþùèé ïåðâûå òðè óãëà, îòðåçàåò ïîñëåäíèé óãîë – ëàäüÿ íå ìîæåò â íåãî ïîïàñòü. Åñëè ïåðâûì ïðîõîäèòñÿ ëåâûé
íèæíèé óãîë, òî óæå ïðîéäÿ ñëåäóþùèé óãîë, ìû îêàçûâàåìñÿ îòðåçàííûìè îò îñòàëüíûõ óãëîâ. Çíà÷èò, íà êëåòêó h1 ëàäüÿ ìîãëà ïîïàñòü òîëüêî ñ êëåòêè g1.
3. Îáîçíà÷èì ñóììó f1 ( n ) + f3 ( n ) + … ÷åðåç O ( n ) , à ñóììó
1.
f2 ( n ) + f4 ( n ) + … ÷åðåç E (n ) . Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî n, ÷òî
O (n ) − E (n ) = 1 . Äëÿ n = 1 ýòî ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî.
Ïóñòü îíî âåðíî äëÿ íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà öâåòîâ n. Çàìåòèì, ÷òî fk (n + 1) = kfk ( n ) + kfk −1 ( n ) ïðè 1 < k < n + 1, ïîñêîëüêó äîáàâèâ ÷èñëî n + 1, ìû ìîæåì ïîêðàñèòü åãî â îäèí
èç èìåþùèõñÿ k öâåòîâ, åñëè îñòàëüíûå ÷èñëà óæå ðàñêðàøåíû â k öâåòîâ, ëèáî, åñëè îñòàëüíûå ÷èñëà ðàñêðàøåíû â k –
1 öâåò, ïîêðàñèòü åãî â îñòàâøèéñÿ èç k ïåðâûõ öâåòîâ. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî fn +1 ( n + 1) = ( n + 1) fn ( n ) è f1 ( n + 1) = f1 (n ) .
Òîãäà
O ( n + 1) = f1 ( n ) + 3 ( f3 ( n ) + f2 ( n ) ) + 5 ( f5 ( n ) + f4 ( n )) + … ,
E (n + 1) = 2 ( f2 ( n ) + f1 ( n )) + 4 ( f4 ( n ) + f3 ( n )) + …
Âû÷èòàÿ îäíî âûðàæåíèå èç äðóãîãî è ïðîèçâîäÿ ñîêðàùåíèÿ, ïîëó÷èì, ÷òî O ( n + 1) − E ( n + 1) = E ( n ) − O ( n ) , îòêóäà
ñëåäóåò óòâåðæäåíèå çàäà÷è äëÿ n + 1 öâåòîâ.
Äëÿ çíàòîêîâ. Êàê íè óäèâèòåëüíî, ó ýòîé çàäà÷è èìååòñÿ è
ãåîìåòðè÷åñêîå ðåøåíèå. Äåëî â òîì, ÷òî ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå: äëÿ ôèêñèðîâàííîãî n ÷èñëà fk (n ) ñóòü êîëè÷åñòâà
(n − k ) -ìåðíûõ ãðàíåé ó íåêîòîðîãî (n − 1) -ìåðíîãî ìíîãîãðàííèêà – ïåðìóòàýäðà. Òàêîé ìíîãîãðàííèê ìîæíî ïîëó÷èòü, âçÿâ â n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå âûïóêëóþ îáîëî÷êó n! òî÷åê, êîîðäèíàòû êîòîðûõ – ÷èñëà îò 1 äî n â êàêîì-ëèáî ïîðÿäêå. Íàïðèìåð, äëÿ n = 2 ïåðìóòàýäð – ïðîñòî îòðåçîê íà
ïëîñêîñòè (ñ êîíöàìè (1; 2 ) è (2; 1) ), äëÿ n = 3 ïåðìóòàýäð –
øåñòèóãîëüíèê â ïðîñòðàíñòâå (âñå øåñòü òî÷åê, ïîëó÷åííûå
èç (1; 2; 3 ) ïåðåñòàíîâêàìè êîîðäèíàò, âêëþ÷àÿ ñàìó ýòó òî÷êó, ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè x + y + z = 6). Êîëè÷åñòâî âåðøèí ïåðìóòàýäðà ðàâíî n!, ò.å. ñîâïàäàåò ñ fn ( n ) . (Óêàçàíèå. Ïîïðîáóéòå äëÿ íà÷àëà ïîñòðîèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå
ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ðåáðàìè ïåðìóòàýäðà è ðàñêðàñêàìè ìíîæåñòâà {1,…,n} â n – 1 öâåò.)
Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèâåäåííûì âûøå óòâåðæäåíèåì, äëÿ
ðåøåíèÿ çàäà÷è äîñòàòî÷íî áóäåò äîêàçàòü, ÷òî çíàêîïåðåìåííàÿ ñóììà êîëè÷åñòâ k-ìåðíûõ ãðàíåé (n − 1) -ìåðíîãî ïåðìóòàýäðà (ãäå k ìåíÿåòñÿ îò 0 äî n – 1) ðàâíà 1. Ýòî ãàðàíòèðóåò ôîðìóëà Ýéëåðà: òàêàÿ ñóììà ðàâíà 1 âîîáùå äëÿ ëþáîãî
âûïóêëîãî (ìíîãîìåðíîãî) ìíîãîãðàííèêà. Íàïðèìåð, äëÿ
òðåõìåðíûõ ìíîãîãðàííèêîâ ôîðìóëà Ýéëåðà ïðåâðàùàåòñÿ â
èçâåñòíîå ðàâåíñòâî, êîòîðîå íå ðàç îáñóæäàëîñü íà ñòðàíèöàõ «Êâàíòà»: V – E + F – 1 = 1, ãäå V, E è F – ÷èñëà âåðøèí, ðåáåð è ãðàíåé ìíîãîãðàííèêà, à ñëàãàåìîå «–1» ñîîò-
59-64.p65
61
$
ÐÅØÅÍÈß
âåòñòâóåò åãî âíóòðåííîñòè. Ðàâåíñòâî êîëè÷åñòâ âåðøèí è
ðåáåð ìíîãîóãîëüíèêà – òîæå ÷àñòíûé ñëó÷àé ýòî ôîðìóëû.
4. Ëåììà. Ñóùåñòâóåò ñôåðà, êàñàþùàÿñÿ âñåõ ðåáåð òåòðàýäðà, áûòü ìîæåò, êðîìå CD, åñëè è òîëüêî åñëè AC +
+ BD = AD + BC.
Ïóñòü èñêîìàÿ ñôåðà ñóùåñòâóåò. Òîãäà âïèñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêîâ ABC è ABD êàñàþòñÿ â òî÷êå êàñàíèÿ äàííîé ñôåðû ñ ðåáðîì AB. Íàîáîðîò, åñëè âïèñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêîâ ABC è ABD èìåþò îáùóþ òî÷êó (à çíà÷èò,
êàñàþòñÿ), òî ñîäåðæàùàÿ èõ ñôåðà – èñêîìàÿ. Ïóñòü M1 è
M2 – òî÷êè êàñàíèÿ âïèñàííûõ îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêîâ
ABC è ABD ñ ðåáðîì AB. Ïî ôîðìóëå äëÿ äëèí îòðåçêîâ, íà
êîòîðûå ðàçáèâàþòñÿ ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà òî÷êàìè êàñàíèÿ
AB + AC − BC
è AM2 =
âïèñàííîé îêðóæíîñòè, AM1 =
2
AB + AD − BD
. Êàñàíèå âïèñàííûõ îêðóæíîñòåé ýêâèâà=
2
ëåíòíî òîìó, ÷òî AM1 = AM2 , à ýòî ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó
AC + BD = AD + BC.
Âåðíåìñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è. Òàê êàê ñóùåñòâóåò ñôåðà, êàñàþùàÿñÿ âñåõ ðåáåð òåòðàýäðà, êðîìå CD, òî ïî ëåììå AC +
+ BD = AD + BC. È ïî òîé æå ëåììå, ïðèìåíåííîé ê ðåáðó
AB, ïîëó÷àåì èñêîìóþ ñôåðó. Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ñôåðà íå êàñàåòñÿ âñåõ ðåáåð òåòðàýäðà. Ïðåäïîëîæèì
ïðîòèâíîå. Òîãäà îíà áû ïåðåñåêàëà ïëîñêîñòè ABC è ABD
ïî âïèñàííûì îêðóæíîñòÿì ñîîòâåòñòâóþùèõ òðåóãîëüíèêîâ,
ò.å. èìåëà áû äâå îáùèå îêðóæíîñòè ñî ñôåðîé, äàííîé â óñëîâèè, à çíà÷èò, ñîâïàäàëà áû ñ íåé.
5. Ïóñòü P ( x ) = am xm + … + a1x + a0 . Ïðèâåäÿ äðîáè
am,…, a1, a0 ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ t, çàïèøåì P ( x ) â âèäå
1
bm xm + … + b1x + b0 , ãäå ÷èñëà t, bm, … , b0 – öåëûå.
t
Âîçüìåì x ðàâíûì äîñòàòî÷íî áîëüøîìó ïðîñòîìó ÷èñëó p.
Òîãäà
(
)
 1  b + pbm −1 + … + pmb0
P  = m
.
t ⋅ pm
 p
Åñëè p > bm , òî ÷èñëèòåëü ïîëó÷åííîé äðîáè âçàèìíî ïðîñò
ñ pm . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ bm −1,…, b0 îòëè÷åí îò íóëÿ è p äîñòàòî÷íî âåëèêî,
bm + pbm −1 + … + pmb0 > t , îòêóäà ÷èñëèòåëü íàøåé äðîáè íå
ìîæåò ïîëíîñòüþ ñîêðàòèòüñÿ ñî çíàìåíàòåëåì, è çíà÷èò, ÷èñ1
1
ëî P   íå èìååò âèäà
, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Ïîk
 p
ýòîìó bm −1 = … = b0 = 0 , è óòâåðæäåíèå çàäà÷è äîêàçàíî.
6. Ó ïàðàëëåëåïèïåäà åñòü äâå êâàäðàòíûå ãðàíè ñî ñòîðîíîé
1 ì – íàçîâåì èõ ìàëûìè. Çà ïåðâûå òðè ìèíóòû êàæäûé ìóðàâåé íàõîäèò ìàëóþ ãðàíü: îí èäåò ïî ðåáðó äî êîíöà, ïîòîì ïî äðóãîìó – è òîãäà îí çíàåò, êàêèå ðåáðà îáðàçóþò ìàëóþ ãðàíü. Äàëåå âòîðîé áåãàåò ïî ñâîåé ìàëîé ãðàíè ïðîòèâ
÷àñîâîé ñòðåëêè, à ïåðâûé ñ íà÷àëà 4-é ïî êîíåö 5-é ìèíóòû
îáõîäèò äâà ðåáðà ñâîåé ìàëîé ãðàíè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.
Ëèáî îí âñòðåòèò âòîðîãî, ëèáî çàòåì çà 2 ìèíóòû ïåðåéäåò
íà äðóãóþ ìàëóþ ãðàíü, è òàì, èäÿ ñíîâà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå,
íå ïîçäíåå ÷åì ÷åðåç 1,5 ìèíóòû âñòðåòèò âòîðîãî. Èòîãî áóäåò ïîòðà÷åíî ìàêñèìóì 8,5 ìèíóò.
ÈÇÁÐÀÍÍÛÅ ÇÀÄÀ×È LXXII ÌÎÑÊÎÂÑÊÎÉ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
1. Â 2022 ãîäó.
2. Ïðèìåðû òàêèõ ðàçðåçàíèé
ïðèâåäåíû íà ðèñóíêå 8.
3. Â øåñòü ðàç.
4. Îäèí èç âîçìîæíûõ ìàðøðóòîâ òóðèñòà èçîáðàæåí íà
29.07.09, 18:14
Ðèñ. 8
$
ÊÂÀÍT 2009/¹4
ðèñóíêå 9. Äîêàæèòå, ÷òî áîëåå
äëèííûé ìàðøðóò íåâîçìîæåí.
5. Â øåñòîì ïîäúåçäå.
6. Ó çåëåíîãî îñüìèíîãà 6 íîã, à ó
îñòàëüíûõ ïî 7 íîã.
7. Äà, âñå ìîíåòû ìîæíî ðàçëîæèòü
ïîðîâíó ïî âñåì ñóíäóêàì. Óêàçàíèå:
äîêàæèòå, ÷òî îáùåå ÷èñëî ìîíåò äåëèòñÿ íà 7 è äåëèòñÿ íà 11.
Ðèñ. 9
8. Îäèí èç âîçìîæíûõ ïðèìåðîâ ïîêàçàí íà ðèñóíêå 10.
9. Ïðèìåð: «Â ýòîì ïðåäëîæåíèè 70% öèôð äåëÿòñÿ íà 2,
60% öèôð äåëÿòñÿ íà 3, à 40% öèôð äåëÿòñÿ è íà 2, è íà 3».
10. –A = 36∞ , –B = 54∞ .
Îáîçíà÷èì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêîâ CK è AL çà O
(ðèñ.11). Çàìåòèì, ÷òî CO – ìåäèàíà ê ãèïîòåíóçå ïðÿìîó-
Ðèñ. 10
ãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ACL. Çíà÷èò, AO = OC = OL, à –OCA =
= –OAC = –OAK (ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âåðíî, òàê êàê AO – áèññåêòðèñà). Îáîçíà÷èì ýòîò óãîë çà
α . Òîãäà –A = 2α .Íàéäåì –B .
Òàê êàê òðåóãîëüíèê CBK ðàâíîáåäðåííûé, ýòîò óãîë ðàâåí âíåøÐèñ. 11
íåìó óãëó CKB òðåóãîëüíèêà CKA,
ò.å. –B = –ACK + –KAC = 3α . Íàêîíåö, èç òîãî, ÷òî –B +
+ –A = 90∞ , ïîëó÷àåì, ÷òî 2α + 3α = 90∞ . Çíà÷èò, α = 18∞ .
11. 1.
Äîìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà x è âû÷òåì èç íåãî âòîðîå.
Îáùèé êîðåíü èñõîäíûõ óðàâíåíèé áóäåò è êîðíåì ïîëó÷èâøåãîñÿ óðàâíåíèÿ
(ax
3
) (
)
(
)
+ bx2 + cx - bx2 + cx + a = 0 ¤ a x 3 - 1 = 0 .
Íî ó ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ òîëüêî îäèí êîðåíü – à èìåííî, 1.
12. Îäèí èç âîçìîæíûõ ïðèìåðîâ èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 12.
 íåì âåðõíèå äâà ìíîãîóãîëüíèêà ñîâìåùàþòñÿ ïîâîðîòîì
îòíîñèòåëüíî òî÷êè A,
íèæíèå äâà – ñèììåòðèåé
îòíîñèòåëüíî òî÷êè O.
Èíòåðåñíî, ÷òî ìíîãîóãîëüíèêàìè òàêîãî âèäà
ìîæíî çàìîñòèòü ïëîñêîñòü, ïðè÷åì íåïåðèîäèÐèñ. 12
÷åñêèì îáðàçîì (ñì. íàïðèìåð, îáëîæêó «Êâàíòà» ¹2 çà 1980 ã.).
13. Âòîðîé èãðîê ìîæåò âûèãðàòü. Óêàçàíèå. Ìîæíî ñ÷èòàòü,
÷òî îáà èãðîêà ïèøóò òîëüêî ÷èñëà 1, 10, 100, 1000 èëè
10000 (ïîäóìàéòå, ïî÷åìó). Äîêàæèòå, ÷òî, îòâå÷àÿ íà ÷èñëà
10 è 1000 ÷èñëîì 1, à íà ÷èñëà 100 è 1 ÷èñëîì 10, âòîðîé èãðîê äîáüåòñÿ óñïåõà.
59-64.p65
62
14. –1.
15. Íåò, íå ñóùåñòâóåò.
Ïóñòü ïðè êàêîì-òî íà÷àëüíîì ðàñïîëîæåíèè áóñèíîê íàøëàñü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü õîäîâ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîé êàêàÿ-òî áóñèíêà ïðîøëà ïîëíûé êðóã ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè
èëè áîëüøå. Îáîçíà÷èì íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ýòîé áóñèíêè
O. Òîãäà ïîëîæåíèÿ áóñèíîê îïðåäåëÿþòñÿ óãëîì îò òî÷êè O
ñ òî÷íîñòüþ äî 2π , ïðè÷åì óãëû ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå áóäåì
ñ÷èòàòü ñî çíàêîì «–», à óãëû ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè ñî çíàêîì «+». Çàíóìåðóåì áóñèíêè ïî ïîðÿäêó. Îáîçíà÷èì çà αi
óãîë äî i-é áóñèíêè. Òîãäà âíà÷àëå èìååì
-2π < α1 < α2 < ... < α2009 = 0 . Çàìåòèì, ÷òî ïåðåìåùåíèþ i-é
αi -1 + αi +1
áóñèíêè ñîîòâåòñòâóåò çàìåíà αi íà
ïðè i = 2, …
2
α2 + α2009 - 2π
,
..., 2008, äëÿ ïåðâîé áóñèíêè èìååì çàìåíó
2
α1 + α2008 + 2π
äëÿ 2009-é èìååì
. Òî, ÷òî áóñèíêà ïðîøëà
2
ïîëíûé êðóã èëè áîëåå, îçíà÷àåò, ÷òî α 2009 ñòàë ≥ 2π . Íî
2πi
âíà÷àëå âåðíî, ÷òî αi <
, è ïðè âûøåóêàçàííûõ ïðåîá2009
ðàçîâàíèÿõ ýòî ñâîéñòâî ñîõðàíÿåòñÿ, ïîýòîìó α2009 âñåãäà
ìåíüøå 2π . Ïðîòèâîðå÷èå.
16. Îïóñòèì èç B è A1 âûñîòû íà AC â òî÷êè B3 è B4 ñîîòâåòñòâåííî, àíàëîãè÷íî ïîñòðîèì òî÷êè A3 è A4 (ñäåëàéòå
ðèñóíîê). Çàìåòèì, ÷òî AB1 = BA1 = p - c , ãäå p – ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ABC. Òàêèì îáðàçîì, A3 A4 = B3 B4 =
= ( p - c) cos γ . Îòðåçêè A3 A4 è B3 B4 ÿâëÿþòñÿ ïðîåêöèÿìè
îòðåçêà A2 B2 íà ïðÿìûå AC è BC, íî ýòè îòðåçêè ðàâíû, ïîýòîìó îòðåçîê A2 B2 ñ íèìè ñîñòàâëÿåò ðàâíûå óãëû. Çíà÷èò,
îí ëèáî ïåðïåíäèêóëÿðåí áèññåêòðèñå óãëà C, ëèáî ïàðàëëåëåí åé. Îáîçíà÷èì îðòîöåíòð òðåóãîëüíèêà ABC çà H. Çàìåòèì, ÷òî òàê êàê B1 ëåæèò íà îòðåçêå AC, òî A4 ëåæèò íà
îòðåçêå A3C , à çíà÷èò, B2 ëåæèò íà ëó÷å HB3 . Àíàëîãè÷íî,
A2 ëåæèò íà ëó÷å HA3 . Çíà÷èò, áèññåêòðèñà óãëà A3 HB3 ïåðåñåêàåò îòðåçîê A2 B2 . Íî ýòà áèññåêòðèñà ïàðàëëåëüíà áèññåêòðèñå óãëà ACB (òàê êàê â ÷åòûðåõóãîëüíèêå HA3CB3
óãëû A3 è B3 ïðÿìûå). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì, ÷òî A2 B2
íå ïàðàëëåëåí áèññåêòðèñå óãëà C, çíà÷èò, îí åé ïåðïåíäèêóëÿðåí.
17. Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = sin x, ãäå x ∈ (0; α ) ,
ïðîâåäåííàÿ â çàäàííîé åãî òî÷êå ( x0;sin x0 ) , èìååò óãëîâîé
êîýôôèöèåíò cos x0 , è äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ ïðè ïîìîùè öèðêóëÿ è ëèíåéêè äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü îòðåçîê äëèíû 1. Äåéñòâèòåëüíî, èìåÿ îòðåçêè 1 è sin x0 , ìîæíî ïîñòðîèòü îòðåçîê cos x0 (ïðè ïîìîùè òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî êðóãà), à çíà÷èò, è óãîë, òàíãåíñ êîòîðîãî ðàâåí cos x0 . Ïîêàæåì, êàê ïîñòðîèòü îòðåçîê äëèíû 1 (ò.å. âîññòàíîâèòü ìàñøòàá).
Êπ ˆ
à) Èç òî÷êè B = (a; sin a), ãäå a Œ Á ; α˜ , ëåæàùåé íà ãðàË2 ¯
ôèêå ôóíêöèè, îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿð íà îñü Oy (ðèñ. 13).
Òàê êàê sin (π – a)= sin a, òî ýòîò ïåðïåíäèêóëÿð ïåðåñå÷åò
ãðàôèê ôóíêöèè y = sin x â òî÷êå A = ( π - a;sin a ) . ×åðåç ñåðåäèíó îòðåçêà AB ïðîâåäåì ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ îñè
Êπ ˆ
Ox. Îíà ïåðåñå÷åò ãðàôèê â òî÷êå Á ;1˜ . Îòðåçîê ýòîé
Ë2 ¯
ïðÿìîé îò îñè Ox äî ãðàôèêà ôóíêöèè y = sin x èìååò äëèíó 1.
Ðèñ. 14
Ðèñ. 13
29.07.09, 18:14
ÎÒÂÅÒÛ,
ÓÊÀÇÀÍÈß,
á) Ïóñòü a è b – ïðîèçâîëüíûå òî÷êè íà îñè Ox, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ 0 < b < a < α . Ïîñòðîèì îòðåçîê AB äëèíû
sin a + sin b. ×åðåç òî÷êó B ïðîâåäåì ëó÷ l, ïåðïåíäèêóëÿðíûé îòðåçêó AB. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå A è ðàäèóñîì
a+b
2 sin
ïåðåñåêàåò ëó÷ l â òî÷êå C (ðèñ. 14). Òàê êàê
2
a-b
a+b
a-b
, òî –CAB =
. Íà îòsin a + sin b = 2 sin
cos
2
2
2
a-b
. ×åðåç
ðåçêå BC îòìåòèì òî÷êó D òàêóþ, ÷òî BD = sin
2
òî÷êó D ïðîâåäåì ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ îòðåçêó AB. Ýòà
ïðÿìàÿ ïåðåñå÷åò îòðåçîê AC â òî÷êå E. Äëèíà îòðåçêà AE
a - b BD
=
ðàâíà 1, òàê êàê sin –CAB = sin
.
AE
2
18. Ïóñòü ABCD – äàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê, O – öåíòð
âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè, ïðÿìûå AO, CO – äâå èç òðåõ
ïðÿìûõ, äàííûõ â óñëîâèè.
à) Åñëè òî÷êà O ëåæèò íà ïðÿìîé AC, òî ýòà ïðÿìàÿ ÿâëÿåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD, ïîýòîìó ïðÿìûå
BO è DO îäíîâðåìåííî îáëàäàþò
óêàçàííûì ñâîéñòâîì. Ðàññìîòðèì
ñëó÷àé, êîãäà ïðÿìûå AO è CO íå
ñîâïàäàþò è ïåðåñåêàþò ãðàíèöó ÷åòûðåõóãîëüíèêà â òî÷êàõ P è Q ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 15). Èç óñëîâèÿ
ñëåäóåò, ÷òî òðåóãîëüíèêè AOQ è
COP ðàâíîâåëèêè, à òàê êàê èõ âûÐèñ. 15
ñîòû, îïóùåííûå èç âåðøèíû O,
ðàâíû, òî AQ = CP. Êðîìå òîãî, –AOQ = –COP , ïîýòîìó
AO ◊ OQ = CO ◊ OP è, ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ,
AO2 + OQ2 - 2 AO ◊ OQ cos –AOQ = AO2 =
= CP 2 = CO2 + OP 2 - 2CO ◊ OP cos –COP ,
îòêóäà AO + OQ = CO + OP. Ïîýòîìó ëèáî AO = OP è
OQ = CO, ëèáî AO = OC è OQ = OP (ïî òåîðåìå, îáðàòíîé
òåîðåìå Âèåòà) è òðåóãîëüíèêè AOQ è COP ðàâíû. Ïåðâûé
ñëó÷àé íåâîçìîæåí (èíà÷å AD CD , ÷òî íåâåðíî). Âî âòîðîì
ñëó÷àå ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî
ïðÿìîé BD (äîêàæèòå), îòêóäà ïðÿìûå BO è DO ñîâïàäàþò.
á) 72∞ , 108∞ , 72∞ , 108∞ èëè 72∞ , 72∞ , 72∞ , 144∞ .
19. p + 1.
n
Åñëè p2 ! êðàòíî ( p !) , n Œ N , òî n £ p + 1 , òàê êàê p âõîäèò â ðàçëîæåíèå ÷èñëà p! íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè â ñòåïåíè 1
n
(à çíà÷èò, â ðàçëîæåíèå ÷èñëà ( p !) – â ñòåïåíè n), à â ðàç-
( )
( )
( )
ëîæåíèå ÷èñëà p2 ! – â ñòåïåíè p + 1. Äîêàæåì, ÷òî p2 !
p +1
äåëèòñÿ íà ( p !) . Çàïèøåì p2 ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ â âèäå
òàáëèöû p ¥ p . Äâå òàêèå òàáëèöû íàçîâåì ýêâèâàëåíòíûìè,
åñëè îäíà ïîëó÷àåòñÿ èç äðóãîé íåêîòîðûìè ïåðåñòàíîâêàìè
ýëåìåíòîâ âíóòðè ñòðîê, à òàêæå íåêîòîðîé ïåðåñòàíîâêîé ñàìèõ ñòðîê (âñåãî p + 1 ïåðåñòàíîâêà p îáúåêòîâ). Âñåãî òàáëèö p2 ! , è îíè ðàçáèâàþòñÿ íà êëàññû ýêâèâàëåíòíûõ ïî
( )
( p !)p +1 òàáëèö â êàæäîì êëàññå, ïîýòîìó
( p !)p +1 .
(p )!
2
äåëèòñÿ íà
20. Óêàçàíèå. Ðàñïîëîæèì âñå «äâóçíà÷íûå» ÷èñëà âíóòðè
êëåòîê ðåøåòêè ñïåöèàëüíîãî âèäà, êàê óêàçàíî íà ðèñóíêå
16. Òîãäà ëþáûå äâà ÷èñëà, ðàñïîëîæåííûå â ñîñåäíèõ (ãðàíè÷àùèõ ïî îòðåçêó) êâàäðàòàõ, áóäóò îòëè÷àòüñÿ äðóã îò
äðóãà íà 1, 10 èëè 11. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè
$!
ÐÅØÅÍÈß
÷èñåë íà äâå ãðóïïû íàéäåòñÿ ïóòü, èäóùèé ïî ñîñåäíèì
êëåòêàì, ïðîõîäÿùèé òîëüêî ïî ÷èñëàì îäíîé ãðóïïû è ñîåäèíÿþùèé ëèáî ëåâûé è ïðàâûé, ëèáî âåðõíèé è íèæíèé
êðàÿ ðåøåòêè.
ÈÇÁÐÀÍÍÛÅ ÇÀÄÀ×È ÌÎÑÊÎÂÑÊÎÉ
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÎÉ ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
Ïåðâûé òåîðåòè÷åñêèé òóð
7 êëàññ
1. tmin = 48 ìèí .
2. m1 = m2 = m3 = 2m4 - m0 = 1,7 êã .
Ðèñ. 18
Ðèñ. 17
3. Ñì. ðèñ.17; t = 41 ÷ 40 ìèí.
ρâ M
M+m
= 2,5 ã ñì3 ; ∆h =
ª 1,17 ñì .
4. ρñò =
M + m - ρ âV
ρâ πR2
8 êëàññ
mg ( R - r )
1. 1) v = nπ ( R - r ) ; 2) F =
. 2. Ñì. ðèñ.18.
4R
9 êëàññ
1. Nmax ª 7,19 Âò , ïðè ýòîì âñå ðåçèñòîðû ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî.
2. Lmax =
h2 + L2 = 1,5 ì .
10 êëàññ
Ê µL cos α
ˆ
- sin α˜ ïðè óñëîâèè L > µh .
1. amax = g Á
Ë 2L - µh
¯
Ê
ρ T ρ V - mˆ
ª 32 H .
2. F = pa S Á1 - â 0 ë
ρë Tê ρâV - m ˜¯
Ë
3. ϕ = 0,8 ϕ0 ïðè óäàëåíèè ëþáîé ïàëî÷êè, à Å = 0, E0 ,
3E0 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêóþ ïàëî÷êó óäàëèòü.
11 êëàññ
1.  âîäå íàõîäèòñÿ ÷àñòü îáúåìà öèëèíäðà
ρ -ρ
10
11
a
=
n= - ì
, à â ìàñëå – ÷àñòü 1 - n =
. Ðàâíîâå21
21
h ρ â - ρì
R2 - R2 + r 2
R2 - r 2
> ρâ 1 2 .
ñèå áóäåò óñòîé÷èâûì, åñëè ρì 2 2 1 2
R2 - R1
R1
2. Âåêòîð íàïðÿæåííîñòè íàïðàâëåí ïî ïðîñòðàíñòâåííîé äèàãîíàëè êóáèêà îò åãî ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîãî «óãëà» è
σ
.
ðàâåí E =
3 ε0
Âòîðîé òåîðåòè÷åñêèé
òóð
8 êëàññ
1. Ñì. ðèñ.19.
2. m3¢ = m3 +
+
Ðèñ. 16
59-64.p65
63
m3 - m2
(m1 - m1¢ ) = 42 ã .
m2 - m1
29.07.09, 18:14
Ðèñ. 19
$"
ÊÂÀÍT 2009/¹4
9 êëàññ
mgx +
1. Ñì. ðèñ.20.
qQ
4πε0 R2 + x2
3. vmax =
= mg
R2 + 2x12
.
x1
m
2
v0 , xmax = v0
.
3
6k
4. Ïðè l < F ðåøåíèé íåò; ïðè F £ l < R + F èìååòñÿ îäíî
Fl
ðåøåíèå: d =
; ïðè l ≥ R + F èìåþòñÿ äâà ðåøåíèÿ:
l-F
F (l - R )
Fl
è d2 =
.
d1 =
l-R-F
l-F
Ðèñ. 20
2. Óñêîðåíèå íàïðàâëåíî âíèç è ðàâíî
3m m + 4m1m2 + m2m3
> g.
a2 = g 1 3
m1m3 + 4m1m2 + m2m3
3. x =
ρ1h
ïðè ρ1 < ρ0 ; h £ x £ H ïðè ρ1 = ρ0 ;
ρ0
Êρ
ˆ
h ˆ
Ê
x = H + 2hH Á 1 - 1˜ ïðè ρ0 < ρ1 £ ρ2 = ρ0 Á1 +
˜ ;
Ë
2H ¯
Ë ρ0
¯
x=
ρ1H h
h ˆ
Ê
+
ïðè ρ2 < ρ1 < ρ3 = ρ0 Á 2 ˜;
Ë
2
ρ0
2H ¯
õ = 2Í ïðè ρ1 > ρ3 .
ÂÑÅÐÎÑÑÈÉÑÊÀß ÑÒÓÄÅÍ×ÅÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ
ÏÎ ÔÈÇÈÊÅ
1.Ñêîðîñòü è ïóòü òðåòüåãî æóêà ðàâíû íóëþ.
2. β = 60° .
4. a = g
3. A =
k2l 3 F 2
+
.
3F
6k
πHD2
3
. 5. V =
.
4
8
2



3
T 
1
RT1  1 − 2  . 7. rmin = R  1 −
.
2
2

2
T1 
1 + q B R (2mF ) 


8. Ñðåäíÿÿ îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ïîñòîÿííà.
9. Èíòåíñèâíîñòü ñâåòà óìåíüøèòñÿ âäâîå.
6. Amax =
10 êëàññ
1. t1 =
t2 =
vs
v2 - u 2
s
v2 - u 2
= 2,25 ÷ ;
2. Ñì. ðèñ.21;
Ðèñ. 21
3. q2 £ q1n k .
Tmax
= 2.
Tmin
11 êëàññ
1. Ìãíîâåííûå ñêîðîñòè êðàéíèõ òî÷åê ãîðèçîíòàëüíîãî äèàìåòðà äèñêà ðàâíû v1 = v
3 - sin α
, íàêëîíåíû ê ýòîìó äèà1 - sin α
2
è ëåæàò â ïëîñêîñòè,
1 - sin α
ïåðïåíäèêóëÿðíîé ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ äèñêà. Ýòà îñü
ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó êàñàíèÿ äèñêà ñ ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ è òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ âåðòèêàëüíîé îñè êîíóñà ñ ãëàâíîé îñüþ ñèììåòðèè äèñêà, ïåðïåíäèêóëÿðíîé åãî ïëîñêîñòè.
 âåðõíåé ïîëîâèíå äèñêà åñòü öåëàÿ îáëàñòü òî÷åê, äâèæóùèõñÿ ñ áîëüøåé ñêîðîñòüþ.  ÷àñòíîñòè, ýòî âñå òî÷êè âåðõíåé ïîëîâèíû îáîäà äèñêà.
ìåòðó ïîä óãëîì β = arctg
ˆ
qQ Ê
1
1
Á
˜ ïðè
2. vmin = 2g ( x1 - h) +
2πε0 m ÁË R2 + x2
R2 + h2 ˜¯
1
qQ
3 3
>
mg è x1 £ h £ x2 , vmin = 0 ïðè
2
4πε0 R2
qQ
3 3
qQ
3 3
£
mg äëÿ âñåõ h è ïðè
>
mg äëÿ
2
2
4πε0 R2
4πε0 R2
h < x1 è h > x2 ; çäåñü x1 – ìåíüøèé èç êîðíåé óðàâíåíèÿ
x
(R
2
59-64.p65
+x
2 32
)
=
4πε0 mg
è x2 – áîëüøèé èç êîðíåé óðàâíåíèÿ
qQ
64
©
ª 2,12 ÷ .
ÍÎÌÅÐ ÏÎÄÃÎÒÎÂÈËÈ
C.À.Äîðè÷åíêî, À.À.Åãîðîâ, Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ,
À.Þ.Êîòîâà, Â.À.Òèõîìèðîâà, À.È.×åðíîóöàí
ÍÎÌÅÐ ÎÔÎÐÌÈËÈ
Ä.Í.Ãðèøóêîâà, Â.Â.Âëàñîâ, À.Å.Ïàöõâåðèÿ,
Ì.Â.Ñóìíèíà
ÕÓÄÎÆÅÑÒÂÅÍÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
Å.Â.Ìîðîçîâà
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÀß ÃÐÓÏÏÀ
Å.À.Ìèò÷åíêî, Ë.Â.Êàëèíè÷åâà
Æóðíàë «Êâàíò» çàðåãèñòðèðîâàí â Êîìèòåòå ÐÔ
ïî ïå÷àòè. Ðåã. ñâ-âî ¹0110473
Àäðåñ ðåäàêöèè:
119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò»
Òåë.: 930-56-48
Å-mail: admin@kvant.info, math@kvant.info,
phys@kvant.info
Ñàéò: kvant.info
Îòïå÷àòàíî â ÎÀÎ îðäåíà Òðóäîâîãî Êðàñíîãî Çíàìåíè
«×åõîâñêèé ïîëèãðàôè÷åñêèé êîìáèíàò»
142300 ã.×åõîâ Ìîñêîâñêîé îáëàñòè,
Ñàéò: www.chpk.ru E-mail: marketing@chpk.ru
Ôàêñ: 8(49672) 6-25-36, ôàêñ: 8(499) 270-73-00
Îòäåë ïðîäàæ óñëóã ìíîãîêàíàëüíûé: 8(499) 270-73-59
29.07.09, 18:14
2-3.P65
1
29.07.2009, 11:35
1-4.p65
1
28.07.2009, 17:40