Преломление света

40
ÊÂÀÍT 2003/¹4
íàõîäèòüñÿ ïîñåðåäèíå äóãè ÀÅÂ, ò.å. â òî÷êå Ñ, ïðè ýòîì
α =β.
Òåïåðü èññëåäóåì õàðàêòåð ýêñòðåìóìà. Âîçüìåì âòîðóþ
ïðîèçâîäíóþ îò èñêîìîé äëèíû ïî óãëó:
d2l AEB
dϕ2
(
)
= 2R − cos 45o − sin 45o = −2 2 R < 0 .
ϕ=45
o
Îòðèöàòåëüíûé çíàê âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïîêàçûâàåò íàëè÷èå ìàêñèìóìà – ñâåò âûáèðàåò íàèäëèííåéøóþ èç âîçìîæíûõ òðàåêòîðèé:
lACB > lAEB .
Ïðèìåð 3. Äîêàæåì, ÷òî ïðè îòðàæåíèè îò âîãíóòîé
ýëëèïñîèäíîé ïîâåðõíîñòè âûïîëíÿåòñÿ çàêîí îòðàæåíèÿ
α = β ïðè ïåðåõîäå ñâåòà èç ôîêóñà À ýëëèïñà ê ôîêóñó Â (ðèñ.
5; òî÷êà Ñ ìîæåò áûòü âûáðàíà ïðîèçâîëüíî, ÑN – ïåðïåíäèêóëÿð ê êàñàòåëüíîé â
òî÷êå îòðàæåíèÿ; çàñC
C¢
ëîíêà D èñêëþ÷àåò ïðÿα
β
ìîå ïîïàäàíèå ñâåòà èç
À â Â). Ðåàëèçóåòñÿ ëè
A
N
B
óñëîâèå ýêñòðåìóìà â
D
ýòîì ñëó÷àå?
Îïóñòèì èç òî÷êè À
ïåðïåíäèêóëÿð íà êàñàÐèñ. 5
òåëüíóþ è ïðîäîëæèì
åãî íà ðàññòîÿíèå LA′ = AL (ðèñ.6). Ñîåäèíèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ýëëèïñà Å ñ òî÷êîé A′ . Òðåóãîëüíèê ÀLÅ ðàâåí
òðåóãîëüíèêó A′LE (êàê äâà ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà
ñ ðàâíûìè êàòåòàìè),
A¢
îòñþäà
α = α′
è
A′E = AE . Òîãäà
lA′EB = lAEB = 2a ,
L
ãäå à – áîëüøàÿ ïîëóîñü ýëëèïñà. Ëîìàíàÿ
α¢
E
ëèíèÿ ÀÅÂ, ñîåäèíÿE¢
α
K þùàÿ òî÷êè À è  ÷åγ δ β C
ðåç òî÷êó êàñàíèÿ Å,
ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé
M
K
N
A
B
ëèíèåé, ò.å. lAEB <
< lAE′B , ïîýòîìó òàêæå ëèíèÿ A′EB ÿâëÿÐèñ. 6
åòñÿ êðàò÷àéøåé, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè A′
è Â. À òàêîé ëèíèåé ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ. Íà îñíîâå òåîðåìû î
íàêðåñò ëåæàùèõ óãëàõ ïîëó÷àåì α′ = β , íî α′ = α , îòñþäà
α = β , à òàêæå
γ=δ
– óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ.
Ïîñêîëüêó óñëîâèå ýëëèïñà r1 + r2 = AE + EB = 2a = const
âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ åãî òî÷åê, òî
lAEB = lACB = const ,
çíà÷èò, â äàííîì ñëó÷àå íå ñóùåñòâóåò ýêñòðåìóìà.
Ïîäâåäåì íåêîòîðûé èòîã. Âî âñåõ òðåõ ïðèìåðàõ îáùèì
òðåáîâàíèåì äëÿ âûïîëíåíèÿ çàêîíà îòðàæåíèÿ ñâåòà ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé äëèíû òðàåêòîðèè
ëó÷à ïî îòêëîíåíèþ îò èñòèííîé òðàåêòîðèè â òó èëè èíóþ
ñòîðîíó. Ýòî îòêëîíåíèå ìîæåò áûòü âûðàæåíî óãëîì ïîâîðîòà (ïðèìåð 2) èëè ñìåùåíèåì òî÷êè ïàäåíèÿ ëó÷à âäîëü
îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè (ïðèìåðû 1 è 3). Óñëîâèå ýòî
íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì ñòàöèîíàðíîñòè. Ïðè ýòîì ìîæåò áûòü
èëè ìèíèìóì, èëè ìàêñèìóì, èëè íå áûòü íè òîãî íè äðóãîãî.
Ïðåëîìëåíèå ñâåòà
Ïðèìåð 4. à) Äîêàæåì, ÷òî âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ
ñâåòà ÷åðåç ïëîñêóþ ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ñðåä èç òî÷êè À
(â ñðåäå, ãäå ñêîðîñòü ñâåòà v1 ) â òî÷êó  (ãäå åãî ñêîðîñòü
v2 ) ìèíèìàëüíî íà òàêîé òðàåêòîðèè ÀÑÂ (ðèñ.7), äëÿ
sin α v1
êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ïðåëîìëåíèÿ sin β = v = const .
2
á) Âûâåäåì çàêîí ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà, èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî
âðåìÿ åãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìåæäó ôèêñèðîâàííûìè òî÷êàìè À è
A
A
v
α
C¢
M
v β
B
Ðèñ. 7
N
C
v C
v
α
β
B
Ðèñ. 8
 ïðè ïðåëîìëåíèè íà ïëîñêîé ãðàíèöå ðàçäåëà áóäåò
ìèíèìàëüíûì.
à) Ïîñòðîèì êðóã ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà (ðèñ.8). Èçîáðàçèì åãî äèàìåòð ÌN, ðàçäåëÿþùèé äâå ñðåäû: ñâåðõó
íàõîäèòñÿ îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíàÿ ñðåäà, ñíèçó – áîëåå
ïëîòíàÿ ( v1 > v2 ). Îòìåòèì íàøè òî÷êè À è  è ïðîâåäåì äâå
ëîìàíûå: ÷åðåç öåíòð Ñ êðóãà, ïðè ýòîì α è β – óãëû
ïàäåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà – ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
sin α v1
=
= const ,
sin β v2
è ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó C′ . Íàäî äîêàçàòü, ÷òî âðåìÿ
ïðîõîæäåíèÿ ñâåòîì
A
ïóòè ÀÑÂ ìåíüøå âðåìåíè ïðîõîæäåíèÿ ïóòè
l
AC′B . Ïðåäîñòàâëÿåì
h
α v
÷èòàòåëÿì ñäåëàòü ýòî
C¢
C
ñàìîñòîÿòåëüíî.
N
M
x
á) Ïóñòü òî÷êà Ñ ÿâl
ëÿåòñÿ ïîäâèæíîé òî÷h
v β
êîé, ïðè äâèæåíèè êîd
òîðîé âäîëü ïëîñêîé
B
ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ
Ðèñ. 9
ñðåä ìåíÿåòñÿ âðåìÿ ïåðåõîäà èç òî÷êè À â òî÷êó  (ðèñ.9). Èç ðèñóíêà íàõîäèì
tACB = tAC + tCB =
AC CB
+
=
v1
v2
x 2 + h12
+
v1
(d − x )2 + h22
v2
.
Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóìà (ñòàöèîíàðíîñòè) çàïèøåì
â âèäå
dt
=0,
dx
îòêóäà ïîëó÷èì
x
d−x
−
=0,
2
2
2
v1 x + h1
v2 ( d − x ) + h22
èëè
x
d−x
−
=0.
v1l1
v2l2
Òàê êàê
x
d−x
= sin β ,
= sin α è
l1
l2