Графики функций, содержащих модули

Министерство образования и Молодёжной политики Чувашской Республики
ГОУ «Чувашский республиканский институт образования» Минобразования Чувашии
Программа элективного курса по теме:
«Графики функций, содержащих модуль»
Выполнила: учитель математики
МОУ «СОШ № 61 г. Чебоксары»
Ильина Ольга Александровна
Чебоксары 2011
Содержание
1. Пояснительная записка
2 . Тематическое планирование учебного материала
3 . Ход занятий: с 1 по 7
4 . Контрольная работа
5 . Список литературы
Пояснительная записка
Математика уже давно стала основным аппаратом физики и техники. Последние годы
математические методы все настойчивее проникают в различные науки. Современная
жизнь требует от человека гибкости и скорости нахождения решений, основанных на
рациональности. Данный элективный курс предназначен для учащихся 9-х классов,
желающих повысить уровень своих математических умений, а также усвоить
дополнительные сведения при построении графиков, выражения которых содержат знак
абсолютной величины. Этот курс направлен на расширение знаний учащихся, повышение
уровня математической подготовки через решение большого класса задач. Понятие
абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в
области действительных, так и в области комплексных чисел. Это понятие широко
применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах
высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории
приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной
погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора
и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины
числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная
функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на
математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ. Стоит отметить,
что навыки в решении уравнений, неравенств, содержащих модуль, и построение
графиков элементарных функций, содержащих модуль, необходимы ученику, желающему
не только успешно выступать на математических олимпиадах, но и хорошо подготовиться
к поступлению в высшие учебные заведения. Материал данного курса содержит
«нестандартные» методы, которые позволяют более эффективно решать широкий класс
заданий, содержащих модуль. Наряду с основной задачей обучения математики –
обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических
знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к
предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на
профессии, существенным образом связанные с математикой, выбору профиля
дальнейшего обучения. Практика решения таких задач полезна для развития и укрепления
способности к самостоятельному логическому мышлению, для обогащения
математической и графической культуры и может быть использована для графического
решения уравнений и неравенств с модулем.
Программа содержит темы творческих работ и список литературы по предложенным
темам. В процессе изучения данного курса предполагается использование различных
методов активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм
организации их самостоятельной работы.
Результатом освоения программы курса является представление школьниками творческих
индивидуальных и групповых работ на итоговом занятии.
Цели обучения:
- обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме
«Абсолютная величина»; обретение практических навыков выполнения заданий с
модулем; повышение уровня математической подготовки школьников.
- создание условий для обоснованного выбора профиля обучения в старшей школе
через оценку собственных возможностей в усвоении математического материала, при
построении графиков с модулем;
- оказание помощи учащимся в поиске и приобретении индивидуального стиля и
темпа учебной деятельности, раскрытии индивидуальных, познавательных процессов и
интересов.
Задачи курса:
- вооружить учащихся системой знаний по теме «Абсолютная величина»;
- сформировать навыки применения данных знаний при решении разнообразных задач
различной сложности;
- подготовить учащихся к ЕГЭ;
- сформировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах;
- сформировать навыки работы со справочной литературой, с компьютером;
- сформировать умения и навыки исследовательской работы;
- способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся;
- способствовать формированию познавательного интереса к математике.
- научить учащихся преобразовывать выражения, содержащие модуль;
- научить учащихся решать уравнения и неравенства, содержащие модуль;
- научить строить графики, содержащие модуль;
- помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного
их использования;
- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы
Требования к уровню усвоения учебного материала
В результате изучения программы элективного курса « Модуль. Графики функций с
модулем» учащиеся получают возможность знать и понимать:
определение абсолютной величины действительного числа;
основные операции и свойства абсолютной величины;
правила построения графиков уравнений (в т.ч. функций), содержащих знак абсолютной
величины;
алгоритмы решения уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.
Уметь:
применять определение, свойства абсолютной величины действительного числа к
решению конкретных задач;
читать и строить графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак
абсолютной величины;
решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств,
содержащих
переменную под знаком модуля.
Возможные критерии оценок.
Оценка « отлично» - учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение,
сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению, учащийся освоил
теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении
конкретных задач, в работе над индивидуальными домашними заданиями учащийся
продемонстрировал умение работать самостоятельно.
Оценка « хорошо» - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что
может справиться со стандартными заданиями, выполняет домашние задания прилежно,
наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об
интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.
Оценка « удовлетворительно» - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса,
что позволило ему достаточно успешно выполнять простые задания.
Содержание курса
1. Введение (1 ч).
Цели и задачи элективного курса. Вопросы, рассматриваемые в курсе и его структура.
Знакомство с литературой, темами творческих работ. Требования, предъявляемые к
участникам курса. Аукцион «Что я знаю об абсолютной величине?».
2. Абсолютная величина действительного числа а (3 ч).
Абсолютная величина действительного числа а. Модули противоположных чисел.
Геометрическая интерпретация понятия модуля а. Модуль суммы и модуль разности
конечного числа действительных чисел. Модуль разности модулей двух чисел. Модуль
произведения и модуль частного. Операции над абсолютными величинами. Упрощение
выражений, содержащих переменную под знаком модуля. Применение свойств модуля
при решении олимпиадных задач.
3. Графики уравнений (в т.ч. функций), аналитическое выражение которых
содержит знак абсолютной величины (5 ч).
Применение компьютерной программы «Advanced Grapher» при построении графиков
функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Правила и алгоритмы
построения графиков уравнений, аналитическое выражение которых содержит знак
модуля. Графики уравнений
Графики некоторых простейших функций, заданных явно и неявно, аналитическое
выражение которых содержит знак модуля. Графики уравнений (в т.ч. функций),
аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины в олимпиадных
заданиях.
4. Уравнения, содержащие абсолютные величины (7 ч).
Основные методы решения уравнений с модулем. Раскрытие модуля по определению,
переход от исходного уравнения к равносильной системе, возведение в квадрат обеих
частей уравнения, метод интервалов, графический метод, использование свойств
абсолютной величины. Уравнения вида
Метод замены переменных при решении уравнений, содержащих абсолютные величины.
Метод интервалов при решении уравнений, содержащих абсолютные величины.
Уравнения вида
Способ последовательного раскрытия модуля при решении уравнений, содержащих
«модуль в модуле». Графическое решение уравнений, содержащих абсолютные величины.
Использование свойств абсолютной величины при решении уравнений. Уравнения с
параметрами, содержащие абсолютные величины. Защита решенных олимпиадных
заданий.
5. Другие вопросы, при решении которых используется понятие абсолютной
величины .
Итоговое занятие (1 ч).
Учебно-тематический план
№ Название
п / разделов и тем
п
Количество часов
Форма
всег теори практик проведения
о
и
и
1. Введение
1
0,5
0,5
2. Абсолютная величина
действительного числа а
3
1
2
2.1 Абсолютная величина
. действительного числа а.
Основные теоремы
0,5
0,5
2.2 Операции над абсолютными
. величинами
0,5
2.3 Упрощение выражений,
. содержащих переменную под
знаком модуля
1
2.4 Применение свойств модуля
. при решении олимпиадных
задач
1
0,5
Образовательн
ый
продукт
аукцион знаний анкета, записи
лекция
опорный
конспект
0,5
тренинг
распечатка
с применением решений
ПК
0,5
практикум
решенные
задания
1
семинарпрактикум
реферат,
решенные
задания
3. Графики уравнений,
аналитическое выражение
которых содержит знак
абсолютной величины
5
5
3.1 Применение компьютерной
1
. программы «Advanced
Grapher» при построении
графиков функций,
аналитическое выражение
которых содержит знак модуля
1
исследовательс распечатка
кая работа
построенных
с применением графиков
ПК
3.2 Правила и алгоритмы
. построения графиков (в т.ч.
функций), аналитическое
выражение которых содержит
знак модуля
1
1
семинарпрактикум
памятка с
правилами и
алгоритмами
построений
3.3 Графики уравнений
.
1
1
тренинг
выполненные
построения
3.4 Графики некоторых
1
. простейших функций,
заданных явно и неявно,
аналитическое выражение
которых содержит знак модуля
1
мастерская
рефераты,
опорный
конспект,
выполненные
построения
3.5 Графики уравнений,
. аналитическое выражение
которых содержит знак
абсолютной величины в
олимпиадных заданиях
1
1
практикум,
защита
решений
опорный
конспект,
выполненные
построения
4. Уравнения, содержащие
абсолютные величины
7
1
4.1 Основные методы решения
. уравнений с модулем
1
1
лекция
конспект,
алгоритмы
решений
4.2 Уравнения вида
.
1
практикум
решенные
задания
6
1
4.3 Метод интервалов при
. решении уравнений,
содержащих абсолютные
величины. Уравнения вида
1
1
семинарпрактикум
4.4 Графическое решение
. уравнений, содержащих
абсолютные величины
1
1
тренинг
распечатка
с применением решений
ПК
4.5 Использование свойств
. абсолютной величины при
решении уравнений
1
1
семинарпрактикум
опорный
конспект,
решенные
задания
4.6 Уравнения с параметрами,
содержащие абсолютные
величины
1
1
семинарпрактикум
опорный
конспект,
решенные
задания
4.7 Защита решенных
. олимпиадных заданий
1
1
защита
решений
решенные
задания
Другие вопросы, при решении 1
которых используется понятие
абсолютной величины
Контрольная работа
1
семинарпрактикум
реферат,
опорный
конспект,
решенные
задания
5
Итого:
17
реферат,
памятка,
опорный
конспект,
решенные
задания
3,5 13,5
Темы творческих работ
Применение модуля в механике и векторной алгебре.
Модуль в определении предела.
Погрешности.
Проект памятки правил и алгоритмов построения графиков уравнений (в т.ч. функций),
аналитическое выражение которых содержит знак модуля.
Изготовление игры «Математическое лото» по теме «Графики уравнений, аналитическое
выражение которых содержит знак модуля».
Проект опорных сигналов по способам решения уравнений и неравенств с модулем.
Простейшие функции, заданные явно и неявно, аналитическое выражение которых
содержит знак модуля, и их графики.
Ход занятий по теме построение графиков функций, содержащих знак
модуля.
Занятие . Вводное занятие
Цель: установление владения базовыми умениями в области построения графиков
элементарных функций.
Ход занятия
1. Вводная беседа
На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами не
только в математике, но и в других сферах деятельности. С помощью графиков наиболее
естественно отражаются функциональные зависимости одних величин от других.
Преобразование графиков, построение графиков кусочных функций, а особенно графиков,
содержащих переменную под знаком модуля, позволяют передать красоту математики.
С помощью таблицы повторим графики основных функций, изученных вами.
Проверка базовых знаний осуществляется за счет тестирования.
Занятие . График функции
Цель: научиться строить график функции
.
Ход занятия
I. Беседа
Определение: Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется
неотрицательное число.
Нетрудно показать, что функция
В самом деле, так как
, то
является четной.
.
Следовательно, график этой функции симметричен относительно оси ОУ. Отсюда
следует, что достаточно построить график функции у = f (х) для х > 0, а затем достроить
его левую часть, симметричную правой относительно оси ОУ.
Давайте запишем алгоритм построения такого графика.
Алгоритм:
1. Построить график функции у = f (х), для х > 0.
2. Достроить симметричный ему относительно оси ОУ.
Примеры.
1) Построить график функции
а) Строим график функции у = х для х > 0
б) Строим для x < 0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ.
(Рисунок 2)
Рисунок 2
2)
, здесь
а) Для х > 0 строим график функции
.
.
Известно, что это парабола, ветви которой направлены вверх. Ось ОУ она пересекает в
точке (0; –3). Ось ОХ пересекает в точках (–2; 0) и (6; 0), что следует из уравнения
. Вершина параболы находится в точке (2; –4).
б) Достраиваем для x < 0 часть графика (левую половину), симметричную построенной
(правой части) относительно оси ОУ. (Рисунок 3)
Рисунок 3
II. Практическая часть
Задание: из предложенного списка функций выбрать по желанию и построить графики
двух:
а)
;
б)
в)
;
;
г)
д)
;
.
Решение см. Рисунок 4.
Рисунок 4
Занятие . График функции
Цель: научиться строить график функции
.
Ход занятия
I. Беседа
Под абсолютной величиной функции f (х) (т. е. под записью
функцию вида:
принято понимать
.
Отсюда вытекает практическое правило построения графика функции.
Алгоритм:
1. Строим график функции у = f (х).
2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т. е. где f (х) <0,
строим кривые, симметричные построенным относительно оси ОХ.
Пример.
Построить график функции
.
а) Строим график функции у = х - 2.
б) График нижней полуплоскости преобразовываем вверх симметрично оси ОХ. (Рисунок
5) Ломаная АBC является графиком данной функции.
Рисунок 5
II. Практическая часть
Задание: из предложенного списка функций выбрать по желанию и построить графики
двух:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
д)
;
.
Решение см. Рисунок 6.
Рисунок 6
Занятие . График функции
Цель: научиться строить график функции
.
Ход занятия
I. Лекция
Так как функция совмещает двойное применение модуля, то график данной функции
может быть построен в следующем порядке.
Алгоритм:
1. Строим график функции у = f (х), для х ≥ 0.
2. Строим график функции y= f (–х), для х < 0 (или строим кривую графика,
симметричную построенной относительно оси ОУ, так как данная функция четная).
3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на
верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.
Пример.
Построить график функции
. Рисунок 7
Рисунок 7
II. Практическая часть
Задание: из предложенного списка функций выбрать по желанию и построить графики
двух:
а)
б)
;
;
в)
г)
д)
;
;
.
Решение см. Рисунок 8.
Рисунок 8
Занятие . График функции
где
Цель: научиться строить графики функции вида
где
.
Ход занятия
I. Беседа
По определению абсолютной величины будем иметь:
, где
.
Следовательно, данная функция является двузначной, а график ее будет симметричен
относительно оси ОХ.
Областью определения данной функции являются промежутки значений аргумента х, на
которых функция у = f (х) неотрицательна.
Алгоритм:
1. Установить область определения функции из условия:
.
2. На промежутках определения функции построить график функции у = f (х).
3. Построить кривые, симметричные построенному графику относительно оси ОХ.
Примеры.1. Построить график функции
а) Область определения:
или
.
.
б) Для
строим график функции
.
в) Строим кривую, симметричную построенной, относительно оси ОХ. (Рисунок 9)
Рисунок 9
2. Построить график функции
.
а) Область определения:
или
и
.
б) По определению абсолютной величины, у - 2 = ± (х2 – 1), или у = 2 ± (х2 – 1), или
. (Рисунок 10)
Рисунок 10
II. Практическая часть
Задание: из предложенного списка функций выбрать по желанию и построить графики
двух:
а)
;
б)
;
в)
г)
д)
;
;
.
Решение см. Рисунок 11.
Рисунок 11
Занятие . График функции
.
Цель: научиться строить графики функции вида
.
Ход занятия
I. Беседа
Алгоритм построения графика данной функции:
1. Строим график функции
.
2. Строим график функции
. Он будет представлять собой кривую,
симметричную графику функции
относительно оси ОХ.
Примеры.
1. Построить график функции
1. Строим график функции
.
.
2. Достраиваем график функции
. (Рисунок 12)
Рисунок 12
2. Построить график функции
1. Строим график функции
2. Достраиваем график функции
.
.
. (Рисунок 13)
Рисунок 13
II. Практическая часть
Задание: из предложенного списка функций выбрать по желанию и построить графики
двух:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
д)
;
.
Решение см. рис14.
Рисунок 14.
Занятие . Графики некоторых простейших функций, заданных явно.
Цель: научиться строить графики функций, заданных явно; создание ситуации успеха в
процессе оценки и самооценки знаний по темам курса.
Ход занятия
I. Беседа
Построим график функции
.
По определению абсолютной величины функции
.
Строим прямые на двух участках. (Рисунок 15)
Рисунок 15
Примеры.
1) Построим график функции
.
а) Строим график функции у = 2х – 4 для х ≥2.
б) Проводим ось симметрии: х = 2.
в) Достраиваем график: проводим прямую, симметричную первой относительно оси
симметрии. (Рисунок 16)
Рисунок 16
Рассмотрим другой порядок построения· графиков подобных функций, который будет
более удобным и общим для построения графиков в дальнейшем.
2) Построить график функции
а) Из условий
3.
.
и
находим абсциссы точек перелома графика: хl = 1 и х2 =
Следовательно, данную функцию следует рассматривать на трех промежутках:
3] и
, и на них по частям строить график.
б) На
На (1; 3]
На
т.е.
.
.
,
(Рисунок 17)
, (1;
Рисунок 17
II. Практическая часть
Задание: из предложенного списка функций выбрать по желанию и построить графики
двух:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
д)
е)
;
;
.
Решение см. Рисунок 18.
Рисунок 18
III. Презентация учащимися собственных графиков, созданных для портфолио
IV. Проверка построенных графиков через программу Advanced Grapher
Контрольная работа.
Вариант 1
1) Постройте график линейной функции
а) у=|2|x-3|+4|; б) y=|2|x-3|-4|.
2) Постройте графики следующих функций:
х 2
х 2
3
х2
а) у 
; б) у 
; в) у 
;г) у 
.
х 2
х 2
х2
х 2
3) Постройте график функции:
а) у=х2-4х+3; б) у=х2-4|x|+3; в) у=|х2-4х+3|; г) у=|х2-4|x|+3|.
4) Постройте график функции у=2х|x|+х2-6х и найдите: а) область определения и
множество значений; б) промежутки монотонности; в) точки пересечения с осями
координат; г) промежутки знакопостоянства функции.
5). Пусть данная функция ƒ(х)= 
4
. Постройте график функций а) |ƒ(x-1)+2|; б) ƒ(|x|)-3.
х
Литература для учеников
1. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М., 1978.
2. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. Графики функций: Справочник. Киев,
1981.
3. Ершов Л.В., Райхмист Р.Б. Построение графиков функций: Книга для учителя. М.,
1994.
4. Егерев В.К., Радунский Б.А., Тальский Д.А. Методика построения графиков
функций. М., 1967.
5. Крейнин Я.Л. Функции, пределы, уравнения и неравенства с параметрами. М.,
1995.
6. Сивашинский И.Х. Элементарные функции и графики. М., 1965.
7. Шилов Г.Е. Как строить графики? М., 1982.
Литература для учителя
1. И.И. Гайдуков. Абсолютная величина. М.: Просвещение, 1968.
2. Фальке Л.Я. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе. М.: Илекса;
Ставрополь: Сервисшкола, 2002.
3. М.Е. Козина. Математика 8-9 классы. Выпуск 2. Сборник элективных курсов.
Волгоград: Учитель, 2007
4. А.В. Коркуев, Л.Д. Арестова. Построение графиков некоторых функций.
Журнал «Математика в школе», №3-1995г.