Симметрической разностью множеств A и B называется

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Îñíîâû êîìáèíàòîðèêè è òåîðèè ÷èñåë, îñåíü 2012
Çàäà÷è ïðî îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
Ìíîæåñòâîì íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíûé íàáîð êàêèõ-òî îáúåêòîâ. Åñòü äâà ñòàíäàðòíûõ ñïîñîáà çàïèñè ìíîæåñòâ: ïåðå÷èñëåíèåì ýëåìåíòîâ (A = {1, 8, 14, 345}, N =
{0, 1, 2, 3, 4, . . . }) èëè óêàçàíèåì êàêîãî-òî ñâîéñòâà (ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë ýòî
{x ∈ N | x äåëèòñÿ íàöåëî òîëüêî íà ñåáÿ è íà åäèíèöó}). Ïóñòûì ìíîæåñòâîì ∅ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà.
Ñêîëüêî ýëåìåíòîâ âî ìíîæåñòâàõ ∅, {∅}, {∅, {∅}}?
Åñëè îáúåêò x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A, òî ïèøóò x ∈ A. Åñëè ëþáîé ýëåìåíò
A ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà B , òî A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B ,
ïèøóò A ⊂ B . Äâà ìíîæåñòâà ñîâïàäàþò (A = B ), åñëè îíè ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå
ýëåìåíòîâ.
Ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ A, B è C âûïîëíåíî:
a) A ⊂ A;
b) åñëè A ⊂ B è B ⊂ A, òî A = B ;
c) åñëè A ⊂ B è B ⊂ C , òî A ⊂ C ;
d) ∅ ⊂ A.
Ìîæåò ëè áûòü òàê, ÷òî îäíîâðåìåííî A ∈ B è A ⊂ B ?
Ïðî êàæäîå èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé äîêàæèòå, ÷òî îíî âñåãäà âåðíî, íèêîãäà
íå âåðíî èëè ìîæåò áûòü êàê âåðíûì, òàê è íåâåðíûì:
a) åñëè a ∈ B è B ∈ C , òî a ∈ C ;
b) åñëè a ∈ B è B ⊂ C , òî a ∈ C ;
c) åñëè a ⊂ B è B ∈ C , òî a ∈ C .
Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A∪B = {x | x ∈ A èëè x ∈ B}.
Ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A ∩ B = {x | x ∈ A è x ∈ B}.
Ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A \ B = {x | x ∈ A è x 6∈ B}.
Ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A4B = {x | x ∈
A è x 6∈ B, èëè x ∈ B è x 6∈ A}. Åñëè çàäàíî íåêîòîðîå ìíîæåñòâî U (óíèâåðñóì ),
êîòîðîìó çàâåäîìî ïðèíàäëåæàò âñå ðàññìàòðèâàåìûå ýëåìåíòû, òî äîïîëíåíèåì ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A = U \ A.
Äîêàæèòå, ÷òî:
a) A ∪ B = B ∪ A;
b) A ∩ B = B ∩ A;
c) A4B = B4A;
d) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
e) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
f) (A4B)4C = A4(B4C);
g) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);
h) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
1.
2.
3.
4.
5.
1
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
(A ∪ B) = A ∩ B ;
(A ∩ B) = A ∪ B ;
A4B = (A ∪ B) \ (A ∩ B);
A \ (A \ B) = A ∩ B ;
(A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C);
A ∩ (B4C) = (A ∩ B)4(A ∩ C);
A ∪ B = A4B4(A ∩ B);
Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íà ìíîæåñòâà A, B , C è D íàéä¼òñÿ ìíîæåñòâî X , óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì? ×åìó ìîæåò ðàâíÿòüñÿ X â òàêîì ñëó÷àå?
a) A ∩ X = B è A ∪ X = C ;
b) A ∩ X = B è A \ X = C ;
c) A ∩ X = B è X \ C = B ;
d) A ∩ X = B è C ∪ X = D;
e) A \ X = B è X \ C = D.
Êîðòåæåì äëèíû 0 íàçûâàåòñÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî. Åñëè T = (a1, . . . , an) êîðòåæ
äëèíû n, òî (a, a1, . . . , an) = {a, {a, T }} åñòü êîðòåæ n + 1. Êîðòåæ äëèíû 2 íàçûâàåòñÿ
óïîðÿäî÷åííîé ïàðîé.
Íàïèøèòå, ÷òî òàêîå óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà (a, b).
Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ
ïàð A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}. Äåêàðòîâîé ñòåïåíüþ An ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ
ìíîæåñòâî êîðòåæåé äëèíû n ýëåìåíòîâ A.
Ïóñòü â ìíîæåñòâå A åñòü k ýëåìåíòîâ, à â ìíîæåñòâå B m. Ñêîëüêî ýëåìåíòîâ
â ìíîæåñòâàõ A × B , An?
×òî òàêîå A0? A1?
Ïóñòü S 1 îêðóæíîñòü, D2 êðóã. ×òî òàêîå [a, b] × [c, d], [a, b] × S 1, [a, b] × D2,
S 1 × S 1 , S1 × D2 ?
Åñëè n1 6 n2 6 · · · 6 nk , à T1 = (a1, . . . , an ), T2 = (an +1, . . . , an ), . . . , Tk =
(an +1 , . . . , an ) êîðòåæè, òî åñòåñòâåííûì îáðàçîì îòîæäåñòâèì êîðòåæè (T1 , . . . , Tk )
è (a1, . . . , an ). Îòîæäåñòâèì òàêæå êîðòåæ (a) è ýëåìåíò a.
Äîêàæèòå, ÷òî ïðè òàêîì îòîæäåñòâëåíèè:
a) A × (B × C) = (A × B) × C ;
b) An = A × A × · · · × A (n ðàç);
c) An × Ak = An+k ;
d) (An)k = Ank .
Äîêàæèòå, ÷òî:
a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C);
b) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C);
c) (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D).
Êîãäà âûïîëíåíî (A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (B × D)?
6.
7.
8.
9.
10.
1
k−1
k
k
11.
12.
13.
2
1
2