Варианты зачетной работы.

ÂÛÑØÀß ØÊÎËÀ ÝÊÎÍÎÌÈÊÈ
ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè
Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû II
Çà÷åò 24 ìàðòà 2012 ã.
ÂÀÐÈÀÍÒ 1
1.  ïðîñòðàíñòâå äâèæóòñÿ äâå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè ñ ìàññàìè m1 = 2 è m2 = 1.
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èõ âçàèìîäåéñòâèÿ ðàâíà U (r1, r2) = 31 |r1 − r2|2; âíåøíèõ ñèë
íåò. Êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè òî÷åê â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè èìåþò âèä:
r1 (0) = (6, 0, 0), r2 (0) = (0, 0, 3), ṙ1 (0) = (0, 2, 0), ṙ2 (0) = (6, 2, 3).
Íàéäèòå, â êàêîé ìîìåíò âðåìåíè òî÷êè áóäóò íà ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèè äðóã îò
äðóãà. ×åìó ðàâíî ýòî ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå?
2. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû çàäàíà ôîðìóëîé T = 12 (5q̇12 − 8q̇1q̇2 + 5q̇22), à ïîòåíöèàëüíàÿ ôîðìóëîé U = 21 (q12 +q22). Íàéäèòå ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû. Îïèøèòå
âñå ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.
3. Â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè çà âåðøèíó ïîäâåøåíà îäíîðîäíàÿ êâàäðàòíàÿ ïëàñòèíêà
ìàññû 1 ñî ñòîðîíîé 1. Ïóñòü óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 1.
(a) Íàïèøèòå ôóíêöèþ Ëàãðàíæà.
(b) Íàéäèòå ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé ïëàñòèíêè îêîëî åå óñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
4. Ïóñòü ïðÿìàÿ l òàêîâà, ÷òî ìîìåíò èíåðöèè òâåðäîãî òåëà P (íåíóëåâîé ìàññû) îòíîñèòåëüíî íåå ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ l ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð
èíåðöèè òåëà P .
ÂÛÑØÀß ØÊÎËÀ ÝÊÎÍÎÌÈÊÈ
ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè
Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû II
Çà÷åò 24 ìàðòà 2012 ã.
ÂÀÐÈÀÍÒ 2
1.  ïðîñòðàíñòâå äâèæóòñÿ äâå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè ñ ìàññàìè m1 = 3 è m2 = 1.
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èõ âçàèìîäåéñòâèÿ ðàâíà U (r1, r2) = 83 |r1 − r2|2; âíåøíèõ ñèë
íåò. Êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè òî÷åê â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè èìåþò âèä:
r1 (0) = (1, 1, 3), r2 (0) = (1, 0, 0), ṙ1 (0) = (3, 0, 3), ṙ2 (0) = (3, 1, 0).
Íàéäèòå, â êàêîé ìîìåíò âðåìåíè òî÷êè áóäóò íà ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèè äðóã îò
äðóãà. ×åìó ðàâíî ýòî ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå?
2. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû çàäàíà ôîðìóëîé T = 2q̇12−3q̇1q̇2+2q̇22, à ïîòåíöèàëüíàÿ
ôîðìóëîé U = 12 (q12 + q22). Íàéäèòå ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû. Îïèøèòå âñå
ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.
3. Â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè çà ñåðåäèíó ñòîðîíû ïîäâåøåíà îäíîðîäíàÿ êâàäðàòíàÿ
ïëàñòèíêà ìàññû 1 ñî ñòîðîíîé 1. Ïóñòü óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 1.
(a) Íàïèøèòå ôóíêöèþ Ëàãðàíæà äâèæåíèÿ ïëàñòèíêè.
(b) Íàéäèòå ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé ïëàñòèíêè îêîëî åå óñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
4. Ïóñòü ïðÿìàÿ l òàêîâà, ÷òî ìîìåíò èíåðöèè òâåðäîãî òåëà P (íåíóëåâîé ìàññû) îòíîñèòåëüíî íåå ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ l ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð
èíåðöèè òåëà P .