Çàäà÷è ïî ãðóïïàì è àëãåáðàì Ëè  5. Ïðåäñòàâëåíèÿ óíèòàðíîé ãðóïïû.

Çàäà÷è ïî ãðóïïàì è àëãåáðàì Ëè 5. Ïðåäñòàâëåíèÿ óíèòàðíîé
ãðóïïû.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè 10 ïî äàííîìó ëèñòêó
1.
80%
ïóíêòîâ çàäà÷. Äåäëàéí 3 äåêàáðÿ.
Äîêàæèòå, ÷òî âñå íåïðèâîäèìûå êîìïëåêñíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àáåëåâîé ãðóïïû îäíîìåðíû.
2. à) Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå êîìïëåêñíîå ïðåäñòàâëåíèå îêðóæíîñòè S 1 = {z ∈ C | |z| = 1} ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé
k
ñóììîé îäíîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé âèäà z 7→ z , ãäå k ∈ Z . á) Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå êîìïëåêñíîå ïðåäñòàâ-
n -ìåðíîãî
ëåíèå ïðåäñòàâëåíèÿ
òîðà
T = (S 1 )×n
ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé îäíîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé
k1
k
âèäà (z1 , . . . , zn ) 7→ z1 ·. . .·znn , ãäå ki ∈ Z . Òàêèì îáðàçîì, íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ
n
ìåðóþòñÿ ðåøåòêîé Z (íàçûâàåìîé ðåøåòêîé õàðàêòåðîâ äàííîãî òîðà).
Cn è îïðåäåëèì
T ⊂ Un êàê ïîäãðóïïó óíèòàðíûõ ìàòðèö, äèàãîíàëüíûõ â ýòîì áàçèñå (ýòî, î÷åâèäíî, n -ìåðíûé òîð).
n
Ñèììåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà Sn , ïåðåñòàâëÿþùàÿ áàçèñíûå ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâà C , ñîäåðæèòñÿ â G =
Un .
G = Un
 äàëüíåéøåì
Ïóñòü
δ1 , . . . , δn
íûìè ýëåìåíòàìè
óíèòàðíàÿ ãðóïïà ïðîñòðàíñòâà
T
Çàôèêñèðóåì áàçèñ â
Zn . Äëÿ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû t ∈ T ñ äèàãîíàëü(λ1 , . . . , λn ) = λ1 δ1 + . . . + λn δn ∈ Zn ïîëîæèì tλ := tλ1 1 · . . . · tλnn .
ñòàíäàðòíûé áàçèñ â ðåøåòêå
t1 , . . . , t n
è ýëåìåíòà
3. à) Äîêàæèòå, ÷òî íîðìàëèçàòîð òîðà T
åò íà òîðå
Cn .
n -ìåðíîãî òîðà íó-
â ãðóïïå
G
åñòü
T ·Sn .  ÷àñòíîñòè, ïîäãðóïïà Sn ⊂ G
ñîïðÿæåíèÿìè (ïåðåñòàâëÿÿ äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû).
G
áîãî êëàññà ñîïðÿæåííîñòè â ãðóïïå
ñ òîðîì
õàðàêòåð ëþáîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû
G
T
á)
Äîêàæèòå, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ëþ-
åñòü îðáèòà ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì íàçûâàòü õàðàêòåðîì ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû
4.
Ïóñòü
V
Sn . â) Äîêàæèòå, ÷òî
T . ã) Äîêàæèt1 , . . . , tn .
îäíîçíà÷íî çàäàåòñÿ ñâîèì îãðàíè÷åíèåì íà òîð
òå, ÷òî ýòî îãðàíè÷åíèå ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì ïîëèíîìîì Ëîðàíà îò êîîðäèíàò
ñêóþ ôóíêöèþ íà òîðå
äåéñòâó-
G
ñîîòâåòñòâóþùóþ ñèììåòðè÷å-
T.
Un . à) Äîêàæèòå, ÷òî âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî V åñòü
V (ν) , ãäå V (ν) := {v ∈ V | t(v) = tν v ∀ t ∈ T } . á) Ïîêàæèòå, ÷òî õàðàêòåð
ν∈Zn ∑
V ðàâåí
tν dim V (ν) .
êîìïëåêñíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû
ïðÿìàÿ ñóììà
ïðåäñòàâëåíèÿ
V =
⊕
ν∈Zn
5. Ïóñòü V = Cn
íèÿ íåïðèâîäèìû, è âû÷èñëèòå èõ õàðàêòåðû:
6.
G = Un . Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåà) V ; á) V ∗ ; â) Λk V ; ã) S k V ; ä) Λk V ∗ ; å) S k V ∗ .
òàâòîëîãè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû
C = {λ = (λ1 , . . . ,∑
λn ) ∈ Zn | λi ≥ λi+1 , i = 1, 2, . . . , n − 1} . Ïóñòü λ, µ ∈ C . Áóäåì ãîâîðèòü,
λ ≤ µ , åñëè µ = λ +
kij (δi − δj ) äëÿ íåêîòîðûõ öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ kij . Äîêàæèòå, ÷òî
Ïóñòü
÷òî
îòíîøåíèå
≤
1≤i<j≤n
çàäàåò ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå
∑
7. Ïóñòü λ ∈ C . Îïðåäåëèì mλ :=
tµ
C.
ìîíîìèàëüíûå ñèììåòðè÷åñêèå ôóíêöèè íà òîðå
µ∈Sn λ
λ
ìà âñåõ ìîíîìîâ, ïîëó÷àþùèõñÿ èç t ïåðåñòàíîâêîé ñîìíîæèòåëåé, ïî îäíîìó ðàçó).
öèè
mλ
îáðàçóþò áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ñèììåòðè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ Ëîðàíà íà òîðå
ðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ
(Λn V )⊗λn
n−1
⊗
(Λk V )⊗(λk −λk+1 )
èìååò âèä
mλ +
k=1
ëà (åñëè
λn < 0 ,
òî ïî îïðåäåëåíèþ
∑
T
(ò.å. ñóì-
à) Äîêàæèòå, ÷òî ôóíê-
T . á) Äîêàæèòå, ÷òî õà-
kµ mµ , ãäå kµ
íåêîòîðûå öåëûå ÷èñ-
µ<λ
(Λn V )⊗λn := (Λn V ∗ )⊗−λn ). â)
Äîêàæèòå, ÷òî õàðàêòåðû ïðåäñòàâ-
ëåíèé èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà îáðàçóþò áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ñèììåòðè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ Ëîðàíà.
æèòå, ÷òî äëÿ êàæäîãî
êîå, ÷òî õàðàêòåð
Vλ
λ∈C
ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå
èìååò âèä
mλ +
∑
kµ mµ . ä)
8.
G
èçîìîðôíî êàêîìó-íèáóäü
ãðóïïû
G
òà-
Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå
µ<λ
ãðóïïû
Vλ
ã) Äîêà-
Vλ .
Îïèøèòå âñå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû
U2
è íàéäèòå èõ õàðàêòåðû.