О распределении значений результантов целочисленных

To appear in Dokl. Nats. Akad. Nauk Belarusi
Â. Â. Áåðåñíåâè÷, Â. È. Áåðíèê, Ô. Ãåòöå
Î ðàñïðåäåëåíèè çíà÷åíèé ðåçóëüòàíòîâ
öåëî÷èñëåííûõ ïîëèíîìîâ
(Ïðåäñòàâëåíî àêàäåìèêîì Í.À. Èçîáîâûì)
Ïóñòü Q íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî è P ∈ Z[x] îáîçíà÷àåò ïîëèíîì ñ öåëûìè
êîýôôèöèåíòàìè, çàïèñûâàåìûé â âèäå P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 , ãäå an 6= 0,
ñòåïåíè deg P = n è âûñîòû H = H(P ) = max06i6n |ai |. Ðàññìîòðèì êëàññ ïîëèíîìîâ
Pn (Q) = {P ∈ Z[x] : H(P ) 6 Q, deg P = n}.
(1)
Äëÿ êàæäîé ïàðû ïîëèíîìîâ P1 , P2 èç Pn (Q) îáîçíà÷èì ÷åðåç
Y
R = R(P1 , P2 ) = ann (P1 )ann (P2 )
(αi − βj )
(2)
16i,j6n
ðåçóëüòàíò ìíîãî÷ëåíîâ P1 è P2 .  ðàâåíñòâå (2) ÷åðåç αi (1 6 i 6 n) îáîçíà÷åíû
êîðíè P1 (x), ÷åðåç βj (1 6 j 6 n) êîðíè P2 (x), ÷åðåç an (P1 ), an (P2 ) ñòàðøèå
êîýôôèöèåíòû P1 è P2 ñîîòâåòñòâåííî. Î÷åâèäíî, ÷òî ðåçóëüòàíò ðàâåí íóëþ òîãäà
è òîëüêî òîäà, êîãäà ìíîãî÷ëåíû èìåþò îáùèé êîðíü. Ðåçóëüòàíò R ìîæåò áûòü
çàïèñàí êàê îïðåäåëèòåëü, ñîñòàâëåííûé èç êîýôôèöèåíòîâ P1 è P2 , ñì. [1], ïîýòîìó
R ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì.
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ñèìâîëîì Âèíîãðàäîâà ¿.  íåðàâåíñòâå
A ¿ B îí áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî A 6 c(n)B äëÿ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé c(n), çàâèñÿùåé
òîëüêî îò n. Òîãäà, èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå R â âèäå îïðåäåëèòåëÿ, íåòðóäíî
ïîëó÷èòü îöåíêó
1 6 |R(P1 , P2 )| ¿ Q2n ,
(3)
ñïðàâåäëèâóþ äëÿ âñåõ ïàð ìíîãî÷ëåíîâ P1 , P2 ∈ Pn (Q) áåç îáùèõ êîðíåé.
Èíòåðåñ ê âîïðîñó î ðàñïðåäåëåíèè çíà÷åíèé äèñêðèìèíàíòîâ â èíòåðâàëå,
çàäàâàåìîì íåðàâåíñòâàìè (3), èìååò äàâíèå êîðíè â òåðèè òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë. Â
äàííîé ðàáîòå äîêàçûâàåòñÿ îöåíêà ñíèçó äëÿ ÷èñëà ïàð ìíîãî÷ëåíîâ P1 , P2 ∈ Pn (Q),
äëÿ êîòîðûõ îöåíêà |R(P1 , P2 )| ñâåðõó çíà÷èòåëüíî ñèëüíåå (3).
Ò å î ð å ì à . Ïóñòü äàíû öåëûå ÷èñëà n ≥ 2 è m ∈ [0, n − 1]. Òîãäà ñóùåñòâóåò
ïîñòîÿííàÿ c1 , çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò n, òàêàÿ, ÷òî ïðè ëþáîì Q > 1 â êëàññå Pn (Q)
2(n+1)
íàéäåòñÿ íå ìåíåå c1 Q (m+1)(m+2) ïàð íåïðèâîäèìûõ ðàçëè÷íûõ ìíîãî÷ëåíîâ (P1 , P2 ),
äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
1 6 |R(P1 , P2 )| ¿ Q
1
2(n−m−1)
m+2
.
(4)
Èíòåðåñíû ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ ïðè m = 0 è m =
n − 1. Ïðè m = 0 ïîêàçàòåëü ñòåïåíè â (4) ðàâåí n − 1 è ÷èñëî ïàð (P1 , P2 )
îãðàíè÷åíî ñíèçó âåëè÷èíîé c1 Qn+1 . Ïðè m = n − 1 çíà÷åíèå |R| îãðàíè÷åíî ñâåðõó
íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé c(n) çàâèñÿùåé òîëüêî îò n, íî ïðè ýòîì ÷èñëî ïàð (P1 , P2 ) â
2
ðàññìàòðèâàåìîì êëàññå íå ìåíåå c1 Q n .
Ñ õ å ì à ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â à ò å î ð å ì û.  äàëüíåéøåì µA áóäåò îáîçíà÷àòü
ìåðó Ëåáåãà èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà A ⊂ R. Îñíîâíîé è íàèáîëåå òðóäíîé ÷àñòüþ
äîêàçàòåëüñòâà ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå, ïîëó÷åííîå â [3].
Ë å ì ì à. Ïóñòü äàíû öåëûå ÷èñëà n ≥ 2 è m ∈ [0, n − 1]. Òîãäà ñóùåñòâóþò
ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå δ0 = δ0 (n) è c0 = c0 (n) ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.
Äëÿ ëþáîãî èíòåðâàëà I ⊂ J = [− 21 , 12 ] íàéäåòñÿ äîñòàòî÷íî ìàëîå ε > 0, ÷òî äëÿ
ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ ξ0 , ξ1 , . . . , ξn , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì
(
ξi ¿ 1 (0 6 i 6 m − 1),
ξj À 1 (m 6 j 6 n),
(5)
ξ0 < ε,
ξn > ε−1 ,
ξ0 · · · ξn = 1
íàéäåòñÿ èçìåðèìîå ìíîæåñòâî GI ⊂ I ñ ìåðîé
µGI > 34 µI
(6)
òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ GI ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå äâà íåïðèâîäèìûõ
ïîëèíîìà Pi ∈ Z[x], deg Pi = n, i = 1, 2, áåç îáùèõ êîðíåé ñ óñëîâèÿìè
δ0 ξj 6 |P (i) (x)| 6 c0 ξj
(0 6 j 6 n).
(7)
Êîíêðåòèçèðóåì ïðèâåäåííîå óòâåðæäåíèå ïðèìåíèòåëüíî ê ðàññìàòðèâàåìîé
çàäà÷å. Âîçüìåì òî÷êó x1 ∈ GI è ïîñòðîèì äëÿ ýòîé òî÷êè äâà íåïðèâîäèìûõ
ïîëèíîìà P1 è P2 , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ñèñòåìà íåðàâåíñòâ
δ0 Q−v0 6
|Pi (x1 )|
6 c0 Q−v0 ,
(j)
δ0 Q−vj 6 |Pi (x1 )| 6 c0 Q−vj
δ0 Q
6
(j)
|Pi (x1 )|
6 c0 Q
(1 6 j 6 m),
(8)
(m + 1 6 j 6 n),
ãäå Q äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî, v0 + v1 + · · · + vm = n − m è i = 1, 2.
Óïîðÿäî÷èì êîðíè P1 (x) è P2 (x) îòíîñèòåëüíî òî÷êè x1 òàê, ÷òîáû
|x1 − α1 | 6 · · · 6 |x1 − αn |
è
|x1 − β1 | 6 · · · 6 |x1 − βn |.
Ââåäåì äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå, ÷òîáû ïðè 1 6 j 6 m ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
dj = vj−1 − vj , dm+1 = vm + 1
2
(9)
íå óáûâàëà. Äîêàæåì, ÷òî äëÿ êîðíåé αj , 1 6 j 6 m, âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
|x1 − αm+1 | ¿ Q−vm −1 .
(10)
P
Ïðåäïîëàãàÿ P = P1 , çàìåòèì, ÷òî |P 0 (x1 )| |P (x1 )|−1 = | ni=1 (x1 −αi )−1 | ≤ n|x1 −α1 |−1 .
Òàêèì îáðàçîì, ïåðâîå íåðàâåíñòâî â (10) ïðè j = 1 âûòåêàåò èç (8). Îñòàëüíûå
íåðàâåíñòâà (10) äîêàçûâàþòñÿ ïî èíäóêöèè. Ïóñòü 1 < j 6 m + 1. Äèôôåðåíöèðóÿ
âûðàæåíèå P (x) = an (x − α1 ) . . . (x − αn ), çàïèøåì P (j−1) (x1 ) â âèäå
³
´
X
P (j−1) (x1 ) = an (x1 − αj ) · · · · · (x1 − αn ) +
(x1 − αi1 ) · · · (x1 − αin−j ) ,
(11)
|x1 − αj | ¿ Q−vj−1 +vj
(1 6 j 6 m),
j
P
ãäå â
j ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì íàáîðàì ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ èíäåêñîâ
(i1 , . . . , in−j ), ñîäåðæàùèõ õîòÿ áû îäèí èíäåêñ < j . Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî i < j
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
|x1 − αj | < c2 |x1 − αi |
(12)
ïðè íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé c2 = c2 (n), òî òðåáóåìàÿ îöåíêà íà |x1 − αj | âûòåêàåò
èç èíäóêòèâíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ î ñïðàâåäëèâîñòè (10) äëÿ j − 1 è íåâîçðàñòàíèÿ
ïîñëåäîâòåëüíîñòè (9). Åñëè â (12) âûïîëíÿåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî, òî,
âûáèðàÿ ïîñòîÿííóþ c2 äîñòàòî÷íî áîëüøîé, ëåãêî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû â (11)
äîìèíèðîâàë ïåðâûé ÷ëåí, ïðèâîäÿ ê îöåíêå |P (j−1) (x1 )| À |an (x1 − αj ) · · · · · (x1 − αn )|.
Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå, àíàëîãè÷íîå (11) äëÿ P (j) (x1 ) ëåãêî âèäåòü, ÷òî |P (j) (x1 )| ¿
|an (x1 − αj+1 ) · · · · · (x1 − αn )|. Ýòî è ïðåäûäóùåå íåðàâåíòâà ïðèâîäÿò ê îöåíêå
|P (j) (x1 )| À |x1 − αj ||P (j+1) (x1 )|.
Êîìáèíèðóÿ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ñ îöåíêàìè (8) ìû îïÿòü ïîëó÷àåì (10). Òàêèì
îáðàçîì óñòàíàâëèâàåòñÿ ñïðàâåäëèâîñòü (10) ïðè âñåõ j = 1, . . . , m + 1.
Ïðè çàäàííîì v0 âûáåðåì vm , vm−1 , . . . , v1 ïî ñëåäóþùèì ðåêóðåíòíûì ðàâåíñòâàì
v0 = (m + 1)vm + m,
v0 = (k + 1)vk − kvk+1
(1 6 k 6 m − 1).
(13)
Ïåðâîå óñëîâèå â (13) ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó
vm =
(v0 − m)
.
(m + 1)
(14)
Äàëåå, ïîñëåäîâàòåëüíî ðàçðåøàÿ óðàâíåíèÿ (13), ìû ïîëó÷àåì
vm−1 =
2v0 − m + 1
,
m+1
vk =
(m − k + 1)v0 − k
m+1
(1 6 k 6 m − 2).
Èç (14) è (15) ñëåäóåò, ÷òî
vj − vj+1 =
v0 + 1
m+1
3
(0 6 j 6 m),
(15)
ãäå vm+1 = −1. Äàëåå, ðàâåíñòâî v0 +v1 +· · ·+vm = n−m âìåñòå ñ (14) è (15) ïðèâîäÿò
ê
2n − m
v0 =
.
m+2
Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî (10) êîðíè α1 , . . . , αm+1 ìíîãî÷ëåíà P1 (x) íàõîäÿòñÿ â
v0 +1
êðóãå |z − x1 | ¿ Q− m+1 . Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ, ïðèìåíåííûå ê ïîëèíîìó P2 (x),
ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî â ýòîì êðóãå íàõîäÿòñÿ è êîðíè β1 , . . . , βm+1 ïîëèíîìà P2 (x).
Ïîýòîìó ïðîèçâåäåíèå
Y
|αi − βj |
T (m) =
16i,j6m+1
îöåíèâàåòñÿ ñâåðõó ñëåäóþùèì îáðàçîì
T (m) ¿ Q−(m+1)(v0 +1) = c3 Q−
2(n+1)(m+1)
m+2
.
Ýòî íåðàâåíñòâî íåïîñðåäñòâåííî ïðèâîäèò ê òðåáóåìîé îöåíêå ñâåðõó (4) íà
äèñêðèìèíàíò. Ïîñêîëüêó ìíîãî÷ëåíû P1 è P2 íå èìåþò îáùèõ êîðíåé, îöåíêà ñíèçó
â (4) òðèâèàëüíà.
Òàêèì îáðàçîì, â òî÷êå x1 ∈ GJ ìû ïîñòðîèëè äâà ìíîã÷îëåíà, ðåçóëüòàíò
êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó (4). Ìíîãî÷ëåíû P1 (x) è P2 (x) ìîãóò âõîäèòü
ïî ïîñòðîåíèþ â íå áîëåå c(n) ïàð (P1 , Pj ). Îáúåäèíåíèå èíòåðâàëîâ |x − x1 | ¿
−1
Q−(v0 +1)(m+1) , âçÿòîå ïî òàêèì ïàðàì ìîæåò ìåíÿòü òîëüêî ïîñòîÿííóþ â ñèìâîëå
Âèíîãðàäîâà ¿. Âîçüìåì äðóãóþ òî÷êó x2 ∈ GJ âíå ýòîãî îáúåäèíåíèÿ è ïîñòðîèì
íîâóþ ïàðó ìíîãî÷ëåíîâ ñ ðåçóëüòàíòàìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè (4) è ò.ä. ßñíî, ÷òî
2(n+1)
â ðåçóëüòàòå ìû ïîñòîèì íå ìåíåå c(n)Q (m+1)(m+2) ïàð íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ,
ïðè÷åì íèêàêèå äâà ìíîãî÷ëåíà â ýòîì íàáîðå íå áóäóò ñîâïàäàòü. Òåì ñàìûì
çàâåðøàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû.
Beresnevich V.V., Bernik V.I., Gotze F.
Summary
We investigate the distribution of resultants of integral polynomials of degree n and
height bounded by Q. Within this class of polynomials we obtain a sharp and eective
lower bound for the number of pairs of polynomials with their resultant bounded by some
power of Q.
Ëèòåðàòóðà
[1] B.L. Van Der Warden, Algebra, Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1971.
[2] Â.Ã. Ñïðèíäæóê, Ïðîáëåìà Ìàëåðà â ìåòðè÷åñêîé òåîðèè ÷èñåë, Ìèíñê: Íàóêà è
òåõíèêà, 1967. 184 ñ.
[3] V. Beresnevich, V. Bernik, F. Goetze, The distribution of close conjugate algebraic
numbers // Composito Math. 2010 (to appear).
4