Формула включений и исключений

Ëèñòîê 3
21.09.2009
Ôîðìóëà âêëþ÷åíèé è èñêëþ÷åíèé
Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå (A∪B)∪C . Åãî ïåðâàÿ ÷àñòü (A∪B) ñîñòîèò èç âñåõ òåõ ýëåìåíòîâ,
êîòîðûå ïðèíàäëåæàò õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ A èëè B . À âñå ìíîæåñòâî (A ∪ B) ∪ C
òîãäà ñîñòîèò èç âñåõ òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ A,
B èëè C . Òàêèìè æå ðàññóæäåíèÿìè ïîëó÷àåì, ÷òî A ∪ (B ∪ C) ñîñòîèò èç òåõ æå ýëåìåíòîâ,
ïîýòîìó (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). Çíà÷èò ïðè ëþáîì èç âîçìîæíûõ ñïîñîáîâ ðàññòàíîâêè
ñêîáîê â âûðàæåíèè A ∪ B ∪ C ðåçóëüòàò áóäåò ïîëó÷àòüñÿ îäèí è òîò æå, à ïîòîìó ìîæíî â
íåì ñêîáêè âîîáùå íå ïèñàòü. Òàêæå è ïðè ëþáîì ñïîñîáå ðàññòàíîâêè ñêîáîê â âûðàæåíèè
A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ìû ïîëó÷èì ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò
õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ A1, A2, . . . , An.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü, ÷òî âíå çàâèñèìîñòè îò ñïîñîáà ðàññòàíîâêè ñêîáîê â âûðàæåíèè A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An, ðåçóëüòàòîì áóäåò ÿâëÿòüñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç
âñåõ òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò îäíîâðåìåííî êàæäîìó èç ìíîæåñòâ A1, A2, . . . , An.
Âñå èçëîæåííîå âûøå ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü â äàëüíåéøåì çàïèñè A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An è
A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An áåç ñêîáîê, íå îïàñàÿñü âîçíèêíîâåíèÿ íåäîðàçóìåíèé.
Òåïåðü ïîñìîòðèì íà âûðàæåíèå (A∩B)∪(A∩C). Ïåðâàÿ åãî ÷àñòü A∩B ñîñòîèò èç îáùèõ
ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâ A è B , âòîðàÿ ÷àñòü A ∩ C èç îáùèõ ýëåìåíòîâ A è C , òîãäà ìíîæåñòâî
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ñîñòîèò èç òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îáùèìè äëÿ A è B èëè äëÿ
A è C , ò.å. ëþáîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) äîëæåí áûòü îáÿçàòåëüíî ýëåìåíòîì
ìíîæåñòâà A è áûòü ýëåìåíòîì õîòÿ áû îäíîãî èç ìíîæåñòâ B èëè C . Íî ýòî ìîæíî çàïèñàòü
â âèäå A ∩ (B ∪ C), îòêóäà è ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Ðàññìîòðèì òåïåðü âûðàæåíèå A ∩ (M1 ∪ M2 ∪ . . . ∪ Mn) = A ∩ (M1 ∪ (M2 ∪ . . . ∪ Mn)). Åñëè
òåïåðü â ýòîì ðàâåíñòâå îáîçíà÷èòü M1 = B, (M2 ∪. . .∪Mn) = C è âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàâåíñòâîì
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), òî ïîëó÷èì A∩(M1 ∪M2 ∪. . .∪Mn ) = (A∩M1 )∪(A∩(M2 ∪. . .∪Mn )).
Òî÷íî òàêæå A ∩ (M2 ∪ . . . ∪ Mn) ìîæíî çàìåíèòü íà (A ∩ M2) ∪ (A ∩ (M3 ∪ . . . ∪ Mn)).  èòîãå
âûðàæåíèå A ∩ (M1 ∪ M2 ∪ . . . ∪ Mn) áóäåò ïðåäñòàâëåíî â âèäå îáúåäèíåíèÿ âûðàæåíèé âèäà
(A ∩ Mi ), ò.å.
A ∩ (M1 ∪ M2 ∪ . . . ∪ Mn ) = (A ∩ M1 ) ∪ (A ∩ M2 ) ∪ . . . ∪ (A ∩ Mn ).
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü è ôîðìóëû
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
A ∪ (M1 ∩ M2 ∩ . . . ∩ Mn ) = (A ∪ M1 ) ∩ (A ∪ M2 ) ∩ . . . ∩ (A ∪ Mn ).
Ýòè ôîðìóëû, ïîçâîëÿþùèå ïðåîáðàçîâûâàòü âûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùèå çíàêè ∪ è ∩, ñòîèò
çàïîìíèòü, ïîñêîëüêó îíè äîâîëüíî ÷àñòî âîçíèêàþò â ñîâåðøåííî ðàçíûõ ìåñòàõ.
Îïðåäåëåíèå 3.1. ×èñëî ýëåìåíòîâ â êîíå÷íîì ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòüþ ìíîæåñòâà A è îáîçíà÷àåòñÿ |A|.
Ïðèìåð 3.1. Åñëè A = {1, 3, 5, 7, 9}, òî |A| = 5.
Ïîïðîáóåì òåïåðü âûðàçèòü êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â îáúåäèíåíèè äâóõ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ,
ò.å. |A ∪ B|. Ìíîæåñòâî A ∪ B ñîñòîèò èç òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò õîòÿ áû îäíîìó
èç ìíîæåñòâ A èëè B , ïîýòîìó âîçíèêàåò æåëàíèå íàïèñàòü, ÷òî |A ∪ B| = |A| + |B|. Îäíàêî
ýòî ðàâåíñòâî áóäåò âåðíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ìíîæåñòâà A è B íå ïåðåñåêàþòñÿ. Åñëè
æå ìíîæåñòâà A è B èìåþò îáùèå ýëåìåíòû, òî ýòè îáùèå ýëåìåíòû áóäóò ïîñ÷èòàíû â ñóììå
|A| + |B| äâàæäû, è êàê ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A, è êàê ýëåìåíòû ìíîæåñòâà B . Êîëè÷åñòâî
Ëèñòîê 3
21.09.2009
ýòèõ ó÷òåííûõ äâàæäû ýëåìåíòîâ ðàâíî êîëè÷åñòâó ýëåìåíòîâ âî ìíîæåñòâå A ∩ B . Ïîýòîìó
âåðíàÿ ôîðìóëà áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Äàííîå ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé âêëþ÷åíèé è èñêëþ÷åíèé äëÿ äâóõ ìíîæåñòâ.
 êëàññå 30 ó÷åíèêîâ, êàæäûé èç íèõ èçó÷àåò àíãëèéñêèé èëè íåìåöêèé ÿçûê.
Èçâåñòíî, ÷òî àíãëèéñêèé èçó÷àåò 27 ÷åëîâåê, à íåìåöêèé èçó÷àåò 6 ÷åëîâåê. Ñêîëüêî ó÷åíèêîâ
â êëàññå èçó÷àþò ñðàçó îáà ÿçûêà?
Ðåøåíèå. Ïóñòü A ìíîæåñòâî ó÷åíèêîâ, êîòîðûå èçó÷àþò àíãëèéñêèé, B ìíîæåñòâî
ó÷åíèêîâ, êîòîðûå èçó÷àþò íåìåöêèé. Òîãäà ñîãëàñíî óñëîâèþ |A| = 27, |B| = 6, |A ∪ B| = 30,
à òðåáóåòñÿ íàéòè |A ∩ B|. Ïî ôîðìóëå âêëþ÷åíèé è èñêëþ÷åíèé èìååì 30 = 27 + 6 − |A ∩ B|,
îòêóäà |A ∩ B| = 3.
Îòâåò: 3 ó÷åíèêà.
Òåïåðü ïîïðîáóåì ïîëó÷èòü ïîäîáíóþ ôîðìóëó äëÿ òðåõ ìíîæåñòâ, ò.å. âûðàçèòü ìîùíîñòü
îáúåäèíåíèÿ òðåõ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ÷åðåç ìîùíîñòè ýòèõ ìíîæåñòâ, à òàêæå ìîùíîñòè èõ
ðàçëè÷íûõ ïåðåñå÷åíèé. Âîñïîëüçîâàâøèñü äëÿ íà÷àëà òîëüêî ÷òî ïîëó÷åííîé ôîðìóëîé äëÿ
äâóõ ìíîæåñòâ, áóäåì èìåòü
Ïðèìåð 3.2.
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B ∪ C| − |A ∩ (B ∪ C)| = |A| + |B| + |C| − |B ∩ C| − |A ∩ (B ∪ C)|.
Åñëè òåïåðü âñïîìíèòü, ÷òî A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) è âíîâü âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé
âêëþ÷åíèé è èñêëþ÷åíèé äëÿ äâóõ ìíîæåñòâ, òî ìîæíî çàïèñàòü
|A∩(B∪C)| = |(A∩B)∪(A∩C)| = |A∩B|+|A∩C|−|(A∩B)∩(A∩C)| = |A∩B|+|A∩C|−|A∩B∩C|.
Ïîäñòàâëÿÿ äàííûé ðåçóëüòàò â ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî ïîëó÷èì èòîãîâóþ ôîðìóëó
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |B ∩ C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|,
êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé âêëþ÷åíèé è èñêëþ÷åíèé äëÿ òðåõ ìíîæåñòâ.
Ôîðìóëû âêëþ÷åíèé è èñêëþ÷åíèé äëÿ äâóõ è äëÿ òðåõ ìíîæåñòâ íåîáõîäèìî çíàòü è
âûïèñûâàòü ñõîäó. Äëÿ çàïîìèíàíèÿ äàííîé ôîðìóëû äëÿ òðåõ ìíîæåñòâ ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî
ìîùíîñòè âñåõ òðåõ ìíîæåñòâ òàì áåðóòñÿ ñî çíàêîì ïëþñ, ìîùíîñòè âñåâîçìîæíûõ ïîïàðíûõ
ïåðåñå÷åíèé ñî çíàêîì ìèíóñ, à ìîùíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ âñåõ òðåõ ìíîæåñòâ âíîâü ñî çíàêîì
ïëþñ.
Ïðèìåð 3.3. Íà ïîëó ïëîùàäüþ 20 ì2 ëåæàò òðè êîâðà. Ïëîùàäü îäíîãî êîâðà 10 ì2 , äðóãîãî 8 ì2, òðåòüåãî 5 ì2. Êàæäûå äâà êîâðà ïåðåêðûâàþòñÿ íà ïëîùàäè 3 ì2. Âñå òðè êîâðà
ïåðåêðûâàþòñÿ íà ïëîùàäè 1 ì2. à) Êàêîâà ïëîùàäü ïîëà, íå ïîêðûòàÿ êîâðàìè? á) Êàêîâà
ïëîùàäü ïîëà, ïîêðûòàÿ ðîâíî îäíèì êîâðîì?
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A, B , C ïåðâûé, âòîðîé è òðåòèé êîâðû, |X| ïëîùàäü ïîëà,
ïîêðûòóþ êîâðîì X , |X ∪ Y | ïëîùàäü ïîëà, ïîêðûòóþ êîâðàìè X è Y . Òîãäà ïî ôîðìóëå
âêëþ÷åíèé è èñêëþ÷åíèé ìîæíî íàéòè ïëîùàäü ïîëà, ïîêðûòóþ âñåìè òðåìÿ êîâðàìè |A ∪
B ∪ C| :
|A∪B ∪C| = |A|+|B|+|C|−|B ∩C|−|A∩B|−|A∩C|+|A∩B ∩C| = 10+8+5−3−3−3+1 = 15.
Çíà÷èò ïëîùàäü ïîëà, íå ïîêðûòàÿ êîâðàìè ðàâíà 20 − 15 = 5 ì2.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïëîùàäè ïîëà, ïîêðûòîãî ðîâíî îäíèì êîâðîì, íàéäåì îòäåëüíî ïëîùàäè,
ïîêðûòûå òîëüêî ïåðâûì, òîëüêî âòîðûì è òîëüêî òðåòèì êîâðàìè, êîòîðûå îáîçíà÷èì SA,
SB è SC ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ ýòîãî âíîâü âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé âêëþ÷åíèÿ è èñêëþ÷åíèÿ:
SA = |A| − |A ∩ B| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| = 10 − 3 − 3 + 1 = 5,
Ëèñòîê 3
21.09.2009
SB = |B| − |A ∩ B| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| = 8 − 3 − 3 + 1 = 3,
SC = |C| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| = 5 − 3 − 3 + 1 = 0.
Çíà÷èò ïëîùàäü ïîëà, ïîêðûòàÿ ðîâíî îäíèì êîâðîì ðàâíà 5 + 3 + 0 = 8 ì2.
Îòâåò: à) 5 ì2; á) 8 ì2.
Çàäà÷è
Çàâèñèò ëè ðåçóëüòàò îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè îò ñïîñîáà ðàññòàíîâêè ñêîáîê â âûðàæåíèè A ∩ B ∪ C ?
Çàäà÷à 3.2(ó). Äîêàæèòå ðàâåíñòâî A∪(M1 ∩M2 ∩. . .∩Mn ) = (A∪M1 )∩(A∪M2 )∩. . .∩(A∪Mn ).
Çàäà÷à 3.3. Îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ A è B ñîäåðæèò 25 ýëåìåíòîâ, à èõ ïåðåñå÷åíèå 10
ýëåìåíòîâ. Ñêîëüêî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå B , åñëè ìíîæåñòâî A ñîäåðæèò 20 ýëåìåíòîâ?
Çàäà÷à 3.4. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, ìåíüøèõ 1000, êîòîðûå
à) äåëÿòñÿ è íà 3, è íà 7; á) äåëÿòñÿ íà 3, íî íå äåëÿòñÿ íà 7; â) äåëÿòñÿ íà 7, íî íå äåëÿòñÿ
íà 3; ã) äåëÿòñÿ íà 3 èëè íà 7; ä) íå äåëÿòñÿ íè íà 3, íè íà 7?
Çàäà÷à 3.5. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, ìåíüøèõ 1000, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íè íà 3, íè íà 5, íè íà 7?
Çàäà÷à 3.6.  øêîëüíîé õèìè÷åñêîé îëèìïèàäå ó÷àñòâîâàë 21 ÷åëîâåê, â ôèçè÷åñêîé 26
÷åëîâåê, â ìàòåìàòè÷åñêîé 29 ÷åëîâåê. 14 øêîëüíèêîâ ïðèíèìàëè ó÷àñòèå è â õèìè÷åñêîé,
è â ìàòåìàòè÷åñêîé, 15 ó÷àùèõñÿ è â ôèçè÷åñêîé, è â ìàòåìàòè÷åñêîé, 8 âî âñåõ òðåõ
îëèìïèàäàõ. Ñêîëüêî øêîëüíèêîâ ó÷àñòâîâàëè õîòÿ áû â îäíîé èç òðåõ îëèìïèàä? Íàéäèòå
âñå âîçìîæíûå îòâåòû.
Çàäà÷à 3.7(ó). Êóá ñî ñòîðîíîé 20 ðàçáèò íà 8000 åäèíè÷íûõ êóáèêîâ, è â êàæäîì êóáèêå
çàïèñàíî ÷èñëî. Èçâåñòíî, ÷òî â êàæäîì ñòîëáèêå èç 20 êóáèêîâ, ïàðàëëåëüíîì ðåáðó êóáà,
ñóììà ÷èñåë ðàâíà 1 (ðàññìàòðèâàþòñÿ ñòîëáèêè âñåõ òðåõ íàïðàâëåíèé).  íåêîòîðîì êóáèêå
çàïèñàíî ÷èñëî 10. ×åðåç ýòîò êóáèê ïðîõîäèò òðè ñëîÿ 1×20×20, ïàðàëëåëüíûõ ãðàíÿì êóáà.
Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷èñåë âíå ýòèõ ñëîåâ.
Çàäà÷à 3.8(ó). Êàæäàÿ ñòîðîíà â òðåóãîëüíèêå ABC ðàçäåëåíà íà 8 ðàâíûõ îòðåçêîâ. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðàçëè÷íûõ òðåóãîëüíèêîâ ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ äåëåíèÿ (òî÷êè A, B , C íå
ìîãóò áûòü âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêîâ), ó êîòîðûõ íè îäíà ñòîðîíà íå ïàðàëëåëüíà íè îäíîé
èç ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ABC ?
Çàäà÷à 3.9. Àíÿ, Áîðÿ è Âàñÿ ðåøèëè âìåñòå 100 çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå. Êàæäûé èç íèõ ðåøèë
60 çàäà÷. Íàçîâåì çàäà÷ó òðóäíîé, åñëè åå ðåøèë òîëüêî îäèí ÷åëîâåê, è ëåãêîé, åñëè åå ðåøèëè
âñå òðîå. Íàñêîëüêî îòëè÷àåòñÿ êîëè÷åñòâî òðóäíûõ çàäà÷ îò êîëè÷åñòâà ëåãêèõ?
Çàäà÷à 3.10. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò öåëûõ ÷èñåë îò 1 äî 1 000 000, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ íè
ïîëíûì êâàäðàòîì, íè ïîëíûì êóáîì, íè ÷åòâåðòîé ñòåïåíüþ?
Çàäà÷à 3.11. Ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè âêëþ÷åíèÿ è èñêëþ÷åíèÿ äëÿ äâóõ è òðåõ ìíîæåñòâ âûâåäèòå ôîðìóëó âêëþ÷åíèé è èñêëþ÷åíèé äëÿ à) ÷åòûðåõ; á) ïÿòè ìíîæåñòâ.
Çàäà÷à 3.12. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ÷èñåë, ìåíüøèõ è âçàèìíî ïðîñòûõ ñî ñëåäóþùèìè ÷èñëàìè:
à) 36 ;
á) 26 · 35 ;
â) 26 · 35 · 54 ;
ã) 26 · 35 · 54 · 73 ?
a
a
Çàäà÷à 3.13. Ïóñòü n = p1 . . . pk ðàçëîæåíèå ÷èñëà íà ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ìíîæèòåëè,
ϕ(n) êîëè÷åñòâî ÷èñåë îò 1 äî n, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n. Äîêàæèòå, ÷òî
Çàäà÷à 3.1(ó).
1
k
1
ϕ(n) = n 1 −
p1
1
1
1−
... 1 −
.
p2
pk
Çàäà÷à 3.14. à) Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ äâóõ ÷èñåë íà
èõ íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ýòèõ ÷èñåë. á) Âåðíî ëè ýòî óòâåðæäåíèå
äëÿ òðåõ ÷èñåë?
Ëèñòîê 3
21.09.2009
c · ÍÎÄ(a, b, c)
Äîêàæèòå ðàâåíñòâî ÍÎÊ(a, b, c) = ÍÎÄ(a,a b)· b ·· ÍÎÄ
.
(a, c) · ÍÎÄ(b, c)
á) Ïðèäóìàéòå ïîäîáíóþ ôîðìóëó, âûðàæàþùóþ íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷åòûðåõ ÷èñåë
÷åðåç íàèáîëüøèå îáùèå äåëèòåëè ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèé ýòèõ ÷èñåë.
Çàäà÷à 3.16(ó). Íà ïðÿìîé âûáðàíî 50 ìíîæåñòâ A1 , A2 , . . . , A50 , êàæäîå èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì 10 ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ îòðåçêîâ. Äîêàæèòå, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ A1, A2, . . . , A50 ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì íå áîëåå 451 ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ îòðåçêîâ
(òî÷êà òàêæå ñ÷èòàåòñÿ îòðåçêîì).
Çàäà÷à 3.17.  õîëëå ïëîùàäüþ 15 ì2 ëåæàò 6 êîâðîâ, ïëîùàäü êàæäîãî èç êîòîðûõ íå ìåíåå
5 ì2. Äîêàæèòå, ÷òî êàêèå-òî äâà êîâðà ïåðåêðûâàþòñÿ ïî ïëîùàäè íå ìåíåå 1 ì2.
Çàäà÷à 3.18.  êâàäðàòå ïëîùàäè 10 ðàñïîëîæåíî 5 ôèãóð ïëîùàäè 6 êàæäàÿ. Äîêàæèòå,
÷òî íàéäóòñÿ
à) äâå ôèãóðû, ïëîùàäü îáùåé ÷àñòè êîòîðûõ íå ìåíüøå 3;
á) òðè ôèãóðû, ïëîùàäü îáùåé ÷àñòè êîòîðûõ íå ìåíüøå 1.
Çàäà÷à 3.19(ó). Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàññåëèòü 15 ãîñòåé â ÷åòûðåõ êîìíàòàõ, åñëè
òðåáóåòñÿ ÷òîáû íè îäíà èç êîìíàò íå îñòàëàñü ïóñòîé?
Çàäà÷à 3.20(ó).  êëàññå 20 ó÷åíèêîâ. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè îíè ìîãóò ïåðåñåñòü òàê, ÷òîáû
íè îäèí íå ñåë íà ñâîå ìåñòî?
Çàäà÷à 3.15(ó).
à)
Êðèòåðèè îöåíîê
¾5¿ ¾4¿ ¾3¿ ¾2¿
14 11 8 6