1 Размещения n предметов по k ящикам, перестанов

 ëåêöèè èñïîëüçîâàëèñü ìàòåðèàëû èç êíèãè È.À. Ëàâðîâà ¾Ìàòåìàòè÷åñêàÿ
ëîãèêà¿ è èç ñáîðíèêà Ò.Â. Àíäðååâîé ¾Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ñîöèîëîãîâ¿.
1
Ðàçìåùåíèÿ
n
ïðåäìåòîâ ïî
k
ÿùèêàì, ïåðåñòàíîâ-
êè.
Ïåðåéäåì òåïåðü ê îñíîâíîé ÷àñòè ëåêöèè. Ñåãîäíÿ íà÷èíàåì ãîâîðèòü î êîìáèíàòîðèêå. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, öåíòðàëüíîé çàäà÷åé êîìáèíàòîðèêè ìîæíî ñ÷èòàòü çàäà÷ó
ðàçìåùåíèÿ îáúåêòîâ â ñîîòâåòñòâèè ñî ñïåöèàëüíûìè ïðàâèëàìè è íàõîæäåíèÿ ÷èñëà
ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü.
Ïðàâèëî ñóììû. Åñëè ìíîæåñòâî A ñîäåðæèò n ýëåìåíòîâ (òî åñòü âûáðàòü îäèí
ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà A ìîæíî n ñïîñîáàìè), à ìíîæåñòâî B m ýëåìåíòîâ (òî åñòü
âûáðàòü îäèí ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà B ìîæíî m ñïîñîáàìè), è íóæíî âûáðàòü îäèí
ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà A ∪ B, ïðè ýòîì ìíîæåñòâà A è B íå ñîäåðæàò îáùèõ ýëåìåíòîâ
(A ∩ B = ∅), òî òàêîé âûáîð ìîæíî îñóùåñòâèòü n + m ñïîñîáàìè.
Ïðèìåð 2. Â ãðóïïå 6 þíîøåé è 15 äåâóøåê, íóæíî âûáðàòü ñòàðîñòó èç ãðóïïû.
Òîãäà ñóùåñòâóåò 6+15=21 ñïîñîá âûáðàòü ñòàðîñòó.
Ïðàâèëî ïðîèçâåäåíèÿ. Åñëè ìíîæåñòâî A ñîäåðæèò n ýëåìåíòîâ (òî åñòü âûáðàòü îäèí ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà A ìîæíî n ñïîñîáàìè), à ìíîæåñòâî B m ýëåìåíòîâ
(òî åñòü âûáðàòü îäèí ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà B ìîæíî m ñïîñîáàìè), è íóæíî âûáðàòü
îäèí ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà A è îäèí ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà B, òî òàêîé âûáîð ìîæíî
îñóùåñòâèòü n · m ñïîñîáàìè.
Ïðèìåð 3a. Â ãðóïïå 6 þíîøåé è 15 äåâóøåê, íóæíî âûáðàòü ïàðó ¾þíîøà è
äåâóøêà¿ ñðåäè ïðèñóòñòâóþùèõ. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü 6 · 15 = 90 ñïîñîáàìè.
Ïðèìåð 3b.  ñòîëîâîé èìååòñÿ ÷àé, êîôå, êîìïîò, âîäà è 7 âèäîâ âûïå÷êè. Ñòóäåíòêà ñîáèðàåòñÿ ïåðåêóñèòü êàêèì-íèáóäü íàïèòêîì ñ áóëî÷êîé. Îíà ìîæåò âûáðàòü
ïåðåêóñ 4 · 7 = 28 ñïîñîáàìè.
Çàìå÷àíèå.  ñîâåòàõ ¾êàê âñå âðåìÿ îäåâàòüñÿ ïî-ðàçíîìó ïðè íåáîëüøîì ãàðäåðîáå¿ ýòî ïðàâèëî èñïîëüçóåòñÿ ïîñòîÿííî (è êàæäûé ðàç âûäàåòñÿ çà íåîáûêíîâåííîå
îòêðûòèå). Íàïðèìåð, åñëè ó äåâóøêè èìååòñÿ 3 ïàðû áðþê, 2 þáêè è 4 êîôòî÷êè, òî
ó íåe èìååòñÿ (3 + 2) · 4 = 20 âàðèàíòîâ êîìïëåêòîâ. À åñëè ê ýòîìó äîáàâèòü ïàðó
æàêåòîâ, òî ÷èñëî âàðèàíòîâ óòðàèâàåòñÿ (ìîæíî ïîéòè â îäíîì èç æàêåòîâ èëè áåç
íåãî).
Ôàêòîðèàë. Ôàêòîðèàëîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèå âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n. Îáîçíà÷àåòñÿ n!. Äëÿ óäîáñòâà ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî 0! = 1. Äëÿ
ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî n! = n(n − 1)!.
Íåóïîðÿäî÷åííûå ðàçìåùåíèÿ ïðåäìåòîâ ïî ÿùèêàì.
Ïðèìåð 4a. Ïóñòü ó íàñ èìåþòñÿ 20 ðàçëè÷íûõ êàðàíäàøåé è 7 ÿùèêîâ (ðàçëè÷íûõ). Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàçëîæèòü êàðàíäàøè ïî ÿùèêàì? Ïåðâûé êàðàíäàø ìîæíî ïîëîæèòü â ëþáîé èç ñåìè ÿùèêîâ, âòîðîé òîæå â ëþáîé èç ñåìè ÿùèêîâ.
È òàê êàæäûé êàðàíäàø ìîæíî ïîëîæèòü â ëþáîé èç ñåìè ÿùèêîâ. Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì, ÷òî âñåãî èìååòñÿ
7| · .{z
. . · 7} = 720 = 79 792 266 297 612 001 ≈ 8 · 1016
20 ðàç
ñïîñîáîâ ðàçìåñòèòü 20 êàðàíäàøåé ïî 7 ÿùèêàì.
1
Îáîáùèì ýòîò ïðèìåð. Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ n ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòîâ è k ÿùèêîâ. Òîãäà êàæäûé ïðåäìåò ìîæíî ïîëîæèòü â ëþáîé èç k ÿùèêîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷àåì,
÷òî âñåãî èìååòñÿ
k
. . · k} = k n
| · .{z
n ðàç
ñïîñîáîâ ðàçìåñòèòü n ïðåäìåòîâ ïî k ÿùèêàì.
Ïðèìåð 4b. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîñ÷èòàòü, ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ñïîñîáîâ
ðàñêðàñèòü 15 ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòîâ â 10 öâåòîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó êàæäûé
ïðåäìåò ìîæíî ðàñêðàñèòü â ëþáîé èç k öâåòîâ, òî âñåãî ñóùåñòâóåò
. . · 10} = 1015
|10 · .{z
15 ðàç
ñïîñîáîâ ðàñêðàñèòü 15 ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòîâ â 10 öâåòîâ.
Ðàçìåùåíèå ïðåäìåòîâ ïî ÿùèêàì ïðè óñëîâèè, ÷òî êàæäûé ÿùèê ñîäåðæèò ðîâíî îäèí ïðåäìåò.
Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ 10 ðàçëè÷íûõ íîâîãîäíèõ ïîäàðêîâ è 15 ðàçëè÷íûõ ïîäàðî÷íûõ ïàêåòîâ. Ëþáîé ïîäàðîê ìîæíî ïîëîæèòü â ëþáîé ïàêåò. Ñêîëüêî
ñóùåñòâóåò ñïîñîáîâ óïàêîâàòü ïîäàðêè? Êàê è â ïðåäûäóùèõ çàäà÷àõ, ïåðâûé ïîäàðîê ìîæíî ïîëîæèòü â ëþáîé èç 15 ïàêåòîâ. Äëÿ âòîðîãî ïîäàðêà îñòàíåòñÿ íà âûáîð 14 ïàêåòîâ. Äëÿ òðåòüåãî 13, äëÿ ïîñëåäíåãî 6. Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò
15 · 14 · 13 · . . . · 6 = 10 897 286 400 ≈ 1010 ñïîñîáîâ óïàêîâàòü ïîäàðêè. Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå ôàêòîðèàëà, ýòî çíà÷åíèå ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ïðèìåð 5a.
15 · 14 · 13 · . . . · 6 =
15!
15 · 14 · 13 · . . . · 6 · 5 · 4 · . . . · 1
=
.
5 · 4 · ... · 1
5!
Àíàëîãè÷íîå ñîîòíîøåíèå ïîëó÷èì äëÿ n ïîäàðêîâ è k ïàêåòèêîâ. Ïåðâûé ïîäàðîê
ìîæíî óïàêîâàòü â ëþáîé èç k ïàêåòîâ, âòîðîé â ëþáîé èç îñòàâøèõñÿ k − 1 ïàêåòîâ,
òðåòèé â îäèí èç îñòàâøèõñÿ k − 2 ïàêåòîâ,. . . , ïîñëåäíèé â ëþáîé èç îñòàâøèõñÿ
k − n + 1 ïàêåòîâ. Ïîýòîìó âñåãî áóäåò
k · (k − 1) · (k − 2) · . . . · (k − n + 1) =
k · (k − 1) · (k − 2) · . . . · (k − n + 1) · (k − n) · (k − n − 1) · . . . · 1
k!
=
=
(k − n) · (k − n − 1) · . . . · 1
(k − n)!
ñïîñîáîâ óïàêîâàòü ïîäàðêè.
Ïðèìåð 5b. Â ãîñòèíèöå 15 îäíîìåñòíûõ íîìåðîâ. Ñêîëüêî ñïîñîáîâ ñóùåñòâóåò
ðàññåëèòü 5 ïîñòîÿëüöåâ ïî ýòèì íîìåðàì (êàæäûé ïîñòîÿëåö ñîáèðàåòñÿ æèòü â îòäåëüíîì îäíîìåñòíîì íîìåðå). Ïåðâîãî ïîñòîÿëüöà ìîæíî ïîñåëèòü â îäíó èç 15 êîìíàò,
âòîðîãî â îäíó èç 14, òðåòüåãî â îäíó èç 13, ÷åòâåðòîãî â îäíó èç 12, ïÿòîãî â îäíó èç 11. Ïîýòîìó âñåãî ñóùåñòâóåò 15 · 14 · 13 · 12 · 11 = 360 360 ñïîñîáîâ ðàññåëèòü
5 ïîñòîÿëüöåâ â 15 îäíîìåñòíûõ íîìåðîâ.
Ïåðåñòàíîâêè.
Ïðèìåð 6a. Íà êàðòî÷êàõ íàïèñàíû ÷èñëà îò 1 äî 7. Ïîñìîòðèì, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûëîæèòü ýòè êàðòî÷êè â ðÿä. Íà ïåðâîå ìåñòî ìîæíî ïîìåñòèòü îäíó èç ñåìè êàðòî÷åê. Íà âòîðîå îäíó èç øåñòè,. . . , íà ïðåäïîñëåäíåå îäíó èç
äâóõ, íà ïîñëåäíåå îäíó îñòàâøóþñÿ êàðòî÷êó. Òàêèì îáðàçîì, âñåãî ñóùåñòâóåò
7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 7! = 5040 ñïîñîáîâ âûëîæèòü 7 êàðòî÷åê â ðÿä.
2
Îáîáùèì ýòîò ïðèìåð. Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ n ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòîâ. Ñêîëüêèìè
ñïîñîáàìè ìîæíî èõ óïîðÿäî÷èòü (ïðîíóìåðîâàòü)? Íà ïåðâîå ìåñòî ìîæíî ïîìåñòèòü
ëþáîé èç n ïðåäìåòîâ, íà âòîðîå ëþáîé èç îñòàâøèõñÿ n − 1 ïðåäìåòîâ,. . . , íà k -å
ìåñòî ìîæíî ïîìåñòèòü ëþáîé èç îñòàâøèõñÿ n − k + 1 ïðåäìåòîâ,. . . , íà ïîñëåäíåå îäèí îñòàâøèéñÿ ïðåäìåò. À çíà÷èò, âñåãî ñóùåñòâóåò n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 = n!
ñïîñîáîâ óïîðÿäî÷èòü n ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòîâ.
Ïðèìåð 6b. Çàíÿòèå ó âàñ çàêîí÷èëîñü ÷óòü ðàíüøå è íèêîãî áîëüøå â ñòîëîâîé
íåò (8 þíîøåé, 14 äåâóøåê). Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè âû ìîæåòå âûñòðîèòüñÿ â î÷åðåäü?
 ñîîòâåòñòâèè ñ ðàññóæäåíèÿìè, àíàëîãè÷íûìè ïðåäûäóùèì, ïîëó÷àåì
22! = 1 124 000 727 777 607 680 000 ≈ 1021
ñïîñîáîâ.
À åñëè íà ïåðâîå ìåñòî ïðîïóñòèì îäíó èç äåâóøåê? Òîãäà ïåðâûé ÷åëîâåê ìîæåò áûòü âûáðàí 14 ñïîñîáàìè, âòîðîé 21 ñïîñîáîì, òðåòèé 20 ñïîñîáàìè,. . . ,
ïðåäïîñëåäíèì ìîæåò áûòü îäèí èç äâóõ, à â êîíåö âñòàåò îñòàâøèéñÿ. Ïîëó÷àåì
Ïðèìåð 6c.
14 · 21 · 20 · 19 · . . . · 2 · 1 = 14 · 21! ≈ 7 · 1020 .
Ìîëîäûå ëþäè ðåøèëè ïðîïóñòèòü âñåõ äåâóøåê âïåðåä. Òîãäà î÷åðåäü
ðàñïàäàåòñÿ íà äâå ÷àñòè. Ñíà÷àëà óïîðÿäî÷èâàåì âñåõ äåâóøåê 14! ñïîñîáàìè, à ïîòîì
âñåõ þíîøåé 8! ñïîñîáàìè. Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî ïðîèçâåäåíèÿ ïîëó÷àåì, ÷òî âûñòðîèòü
ñóùåñòâóåò
Ïðèìåð 6d.
14! · 8! = 87 178 291 200 · 40 320 = 3 515 028 701 000 000approx3.5 · 1015
ñïîñîáîâ âûñòðîèòüñÿ â î÷åðåäü òàêèì îáðàçîì.
Óïîðÿäî÷åííîå ðàçìåùåíèå n ïðåäìåòîâ ïî k ÿùèêàì.
Ïðèìåð 7a. Ïîñ÷èòàåì òåïåðü ñïîñîáû ïîñòàâèòü íàøó ãðóïïó èç 22 ÷åëîâåê äðóãèì ñïîáîì. Òåïåðü áóäåì âûáèðàòü íå ñëåäóþùåãî ÷åëîâåêà, êîòîðîãî ñòàâèì â î÷åðåäü,
à ìåñòî â î÷åðåäè äëÿ ñëåäóþùåãî ÷åëîâåêà, à ëþäè ïóñòü ó íàñ êàê-òî óæå çàíóìåðîâàíû. Ïåðâîãî ÷åëîâåêà ìîæåì ïîñòàâèòü ê êàññå è âñå. Âòîðîãî ëèáî ïåðåä ïåðâûì,
ëèáî ïîñëå. Òðåòüåãî ê êàññå, ìåæäó äâóìÿ ïðåäûäóùèìè èëè â êîíåö. Ïðè ýòîì
êàæäûé ñëåäóþùèé ÷åëîâåê äåëèò ¾ñâîé êóñî÷åê î÷åðåäè¿ íà äâå ÷àñòè. Ïîýòîìó k ãî ÷åëîâåêà ìîæíî ïîñòàâèòü íà k ìåñò. Ñëåäîâàòåëüíî, è ïðè òàêîì ñïîñîáå ïîäñ÷åòà
âàðèàíòîâ èìååì 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n = n!.
Ïðèìåð 7b. Ïóñòü â ñòîëîâîé îòêðûëàñü âòîðàÿ è òðåòüÿ êàññû. Òåïåðü ïåðâîãî
÷åëîâåêà ìîæåì ïîñòàâèòü â îäíó èç 3 êàññ òðè ñïîñîáà. Âòîðîãî ëèáî â îäíó èç
äâóõ ïóñòûõ êàññ, ëèáî â êàññó, ãäå ñòîèò ïåðâûé, ïðè÷åì äâóìÿ ñïîñîáàìè: äî èëè
ïîñëå íåãî. Òàêæå êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, êàæäûé ÷åëîâåê äåëèò ¾ñâîé êóñî÷åê
î÷åðåäè¿ íà äâå ÷àñòè. À çíà÷èò, äëÿ êàæäîãî ñëåäóþùåãî ÷åëîâåêà ñóùåñòâóåò íà
îäèí âàðèàíò ïîñòàíîâêè áîëüøå, ÷åì äëÿ ïðåäûäóùåãî.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî
ñóùåñòâóåò
3 · 4 · 5 · . . . · 22 · 23 · 24 =
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · . . . · 22 · 23 · 24
=
1·2
24!
=
= 620 448 401 733 239 439 360 000 ≈ 6 · 1023
2!
3
ñïîñîáîâ ïîñòàâèòü 22 ÷åëîâåêà â 3 êàññû.
Îáîáùèì ýòîò ïðèìåð. Òåïåðü ìû õîòèì ïîñòàâèòü n ÷åëîâåê â k êàññ. Ïåðâîãî
÷åëîâåêà ìîæåì ïîñòàâèòü â ëþáóþ èç k êàññ. Òàêæå êàê è â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ,
Òàêæå êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, êàæäûé ÷åëîâåê äåëèò ¾ñâîé êóñî÷åê î÷åðåäè¿
íà äâå ÷àñòè. À çíà÷èò, äëÿ êàæäîãî ñëåäóþùåãî ÷åëîâåêà ñóùåñòâóåò íà îäèí âàðèàíò
ïîñòàíîâêè áîëüøå, ÷åì äëÿ ïðåäûäóùåãî.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî ñóùåñòâóåò
k(k + 1)(k + 2) · . . . · (n + k − 1) =
(n + k − 1)!
1 · 2 · . . . · (k − 1)k(k + 1)(k + 2) · . . . · (n + k − 1)
=
=
1 · 2 · . . . · (k − 1)
(k − 1)!
ñïîñîáîâ ïîñòàâèòü n ÷åëîâåê â k î÷åðåäåé.
Ïðèìåð 7c. Ïîñ÷èòàåì, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàññòàâèòü 7 êíèã íà 3 ïîëêàõ.
 äàííîì ñëó÷àå íàì ïîðÿäîê âàæåí, ïîýòîìó çàäà÷à ïîõîæà íà ðàññòàíîâêó ëþäåé â
î÷åðåäè.  òàêîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì
3 · 4 · ... · 8 · 9 =
9!
= 181 440
2
ñïîñîáîâ ðàññòàâèòü 7 êíèã íà 3 ïîëêàõ.
Ïðèìåð 8. Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ 15 ðàçëè÷íûõ äåðåâÿííûõ èãðóøåê. Ñêîëüêèìè
ñïîñîáàìè ìîæåì èõ ðàñêðàñèòü â 5 öâåòîâ (êàæäóþ èãðóøêó êðàñèì ðîâíî â îäèí
öâåò)?
Ïåðâóþ èãðóøêó ìîæåì ïîêðàñèòü â îäèí èç 5 öâåòîâ, âòîðóþ òîæå â îäèí èç
ïÿòè öâåòîâ, è òàê êàæäóþ èç 15 èãðóøåê ìîæåì ïîêðàñèòü â îäèí èç 5 öâåòîâ. Âñåãî
ïîëó÷àåì
5| · 5 ·{z. . . · 5} = 515 = 30 517 578 125 ≈ 3 · 1010 .
15
Íà ïîëêå ñòîèò 15 ðàçëè÷íûõ êíèæåê, à â ñóìêó ïîìåùàþòñÿ òîëüêî 3.
Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âçÿòü 3 êíèæêè ñ ïîëêè (â ñóìêó)?
Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî ðàñïîëîæåíèå (ïîðÿäîê) êíèæåê â ñóìêå âàæåí. Òîãäà
ïåðâóþ êíèæêó ìû ìîæåì âçÿòü îäíó èç 15, âòîðóþ îäíó èç 14, òðåòüþ îäíó èç
îñòàâøèõñÿ 13. Òî åñòü âñåãî 15 · 14 · 13 ñïîñîáîâ. Ïóñòü ìû âçÿëè êíèæêè A, B, C. Åñëè
îíè ó íàñ ëåæàò â ñóìêå ¾êó÷åé¿, òî óïîðÿäî÷èòü ìû èõ ìîæåì 3! = 6 ñïîñîáàìè. Çíà÷èò, êàæäîìó áåñïîðÿäî÷íîìó íàáîðó èç 3 êíèæåê ñîîòâåòñòâóåò 6 óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ðàçíûì íåóïîðÿäî÷åííûì íàáîðàì ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå
óïîðÿäî÷åííûå íàáîðû. ×èñëî óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ ìû çíàåì, ïîýòîìó ïîëó÷àåì,
÷òî ÷èñëî ¾êó÷åê¿ ðàâíî
15 · 14 · 13
= 455.
1·2·3
Îáîáùèì ýòó çàäà÷ó. Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ n ïðåäìåòîâ, íàì íóæíî âûáðàòü k èç íèõ.
n!
Åñëè áû áûë âàæåí ïîðÿäîê ïðåäìåòîâ (íàïðèìåð, êíèãè íà ïîëêå), òî áûëî áû
(n − k)!
ñïîñîáîâ ñäåëàòü âûáîð. Ïîñêîëüêó k ïðåäìåòîâ ìîæíî óïîðÿäî÷èòü k! ñïîñîáàìè, òî
êàæäîé íåóïîðÿäî÷åííîé âûáîðêå èç k ïðåäìåòîâ ñîîòâåòñòâóåò k! óïîðÿäî÷åííûõ íàn!
áîðîâ. À çíà÷èò, ñóùåñòâóåò
ñïîñîáîâ âûáðàòü k ýëåìåíòîâ èç n.
k!(n − k)!
Ïðèìåð 9.
4
Ñóùåñòâóåò äâà ñòàíäàðòíûõ îáîçíà÷åíèÿ ýòîãî ÷èñëà:
n!
n
k
= Cn =
.
k
k!(n − k)!
k ðàçëè÷íûì ÿùèêàì. Ðàçáèåíèå íàòóðàëün ïðåäìåòîâ â k öâåòîâ.
Ïðèìåð 10.  ïðîøëûé ðàç áûëà îçâó÷åíà (íî íå ðåøåíà) ñëåäóþùàÿ çàäà÷à. ß
áåðó 10 ìàðêåðîâ. Îíè ìîãóò áûòü êðàñíûìè, ñèíèìè, ÷åðíûìè è çåëåíûìè. Ñêîëüêî
ñïîñîáîâ âçÿòü íàáîð èç 10 ìàðêåðîâ ñóùåñòâóåò? Âñå ìàðêåðû îäíîãî öâåòà îäèíàêîâûå.
Ðàçìåùåíèå
n
ïðåäìåòîâ ïî
íîãî ÷èñëà. Ðàñêðàñêà
Áîëüøèíñòâî ïðåäëîæåíèé ñâîäèëîñü ê òîìó, ÷òî ïîñ÷èòàòü ¾êàê áóäòî âñå ìàðêåðû ðàçíûå¿, à ïîòîì êàê-òî ïîïûòàòüñÿ ó÷åñòü, ÷òî ìàðêåðû îäíîãî öâåòà îäèíàêîâûå. Ýòî áûëî áû íåñëîæíî ñäåëàòü, åñëè áû êîëè÷åñòâî ìàðêåðîâ êàæäîãî öâåòà
áûëî áû ôèêñèðîâàííûì (íî òîãäà ïðîïàëà áû ñàìà çàäà÷à).
Äàâàéòå âîçüìåì 10 ìàðêåðîâ è ðàçëîæèì ïî 4 ¾ÿùèêàì ñ êðàñêîé¿. Ó íàñ ïîëó÷èòñÿ
ïðèìåðíî ñëåäóþùåå:
| |{z}
ooo | |{z}
oo | |{z}
oo | |{z}
ooo |
ê
ñ
÷
ç
èëè òàê:
o |
| ooooo
| {z } | |{z}
| {z } | |{z} | oooo
ê
ñ
÷
ç
èëè äàæå òàê (âñå-òàêè ÷åðíûé öâåò ìàðêåðà íà ëåêöèè ïðåäïî÷òèòåëåí):
| |{z} | |{z} | oooooooooo
|
{z
} | |{z} |.
ñ
ê
ç
÷
 ëþáîì ñëó÷àå ó íàñ èìååòñÿ 10 ìàðêåðîâ è 3 ¾ðàçäåëèòåëÿ ïî öâåòàì¿ (êðàéíèå
âåðòèêàëüíûå ïàëî÷êè ïîëîæåíèÿ íå ìåíÿþò), êîòîðûå ìû è ðàñïîëàãàåì íà 13 ïîñëåäîâàòåëüíûõ ìåñòàõ. À çíà÷èò, íàì íàäî âûáðàòü èç 13 ìåñò 3 äëÿ ¾ðàçäåëèòåëåé¿, à
îñòàëüíûå çàïîëíèòü ¾ìàðêåðàìè-êðóæî÷êàìè¿ åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì. Ñäåëàòü ýòî
3
ìîæíî C13
= 13·12·11
= 286 ñïîñîáàìè.
3·2
Îáîáùèì ýòîò ïðèìåð. Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ n ïðåäìåòîâ êîòîðûå ìû õîòèì ðàçëîæèòü ïî k ÿùèêàì (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ðàñêðàñèòü â k öâåòîâ). Òîãäà îïÿòü æå, íàì n
ïðåäìåòîâ è k − 1 ðàçäåëèòåëü íàäî óïîðÿäî÷èòü íà n + k − 1 ìåñòå. Âûáðàòü ìåñòà äëÿ
k−1
¾ðàçäåëèòåëåé¿ ìîæíî Cn+k−1
ñïîñîáàìè. Íà îñòàëüíûå n ìåñò n îäèíàêîâûõ ïðåäìåk−1
òîâ ðàçìåùàþòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò Cn+k−1
ñïîñîáîâ
ðàçëîæèòü n ïðåäìåòîâ ïî k ÿùèêàì.
Îáîáùèì íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû. Ïóñòü ó íàñ åñòü âûáîðêà èç n ýëåìåíòîâ ïî k.
Òîãäà ÷èñëî ñïîñîáîâ ñ÷èòàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, óïîðÿäî÷åííàÿ ëè âûáîðêà è åñòü ëè ïîâòîðåíèÿ.
óïîðÿäî÷åííûå
íåóïîðÿäî÷åííûå
ñ ïîâòîðåíèÿìè
ïåðåñòàíîâêà (ðàçìåùåíèå)
ñ ïîâòîðåíèÿìè nk
ñî÷åòàíèÿ ñ
k
ïîâòîðåíèÿìè Cn+k−1
5
áåç ïîâòîðåíèé
ïåðåñòàíîâêà (ðàçìåùåíèå)
n!
áåç ïîâòîðåíèé (n−k)!
ñî÷åòàíèÿ áåç
n!
ïîâòîðåíèé Cnk = (n−k)!k!