Распознавание свойств вычислимых функций

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, âåñíà 2012
Ñâîéñòâà âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé
Ôóíêöèÿ U : N × N → N íàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíîé âû÷èñëèìîé, åñëè îíà âû÷èñëèìà è äëÿ ëþáîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè f : N → N íàéä¼òñÿ òàêîå ÷èñëî n, ÷òî ïðè
âñåõ x âûïîëíåíî U (n, x) = f (x). Óíèâåðñàëüíàÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ U : N × N → N
íàçûâàåòñÿ ãëàâíîé, åñëè äëÿ ëþáîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè V : N × N → N íàéä¼òñÿ
âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ s : N → N, òàêàÿ ÷òî U (s(n), x) = V (n, x) ïðè âñåõ n è x.
1. Äîêàæèòå, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ, çàäàþùàÿñÿ óíèâåðñàëüíîé
ìàøèíîé Òüþðèíãà, ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé.
Åñëè f (x) = U (n, x), òî n íàçûâàåòñÿ íîìåðîì ôóíêöèè f . Îäíà ôóíêöèÿ ìîæåò
èìåòü ìíîãî íîìåðîâ.  ÷àñòíîñòè, ïðè íóìåðàöèè, çàäàííîé óíèâåðñàëüíîé ìàøèíîé, íîìåðà êàæäîé ôóíêöèè ýòî êîäû âñåõ ïðîãðàìì, âû÷èñëÿþùèõ ýòó ôóíêöèþ.
Íóìåðàöèÿ, çàäàâàåìàÿ ãëàâíîé óíèâåðñàëüíîé ôóíêöèåé, òàêæå íàçûâàåòñÿ ãëàâíîé.
Òåîðåìà ÓñïåíñêîãîÐàéñà óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè ãëàâíîé íóìåðàöèè ìíîæåñòâî íîìåðîâ
ôóíêöèé, îáëàäàþùèõ íåêîòîðûì íåòðèâèàëüíûì ñâîéñòâîì A, íå ðàçðåøèìî.
2. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ÓñïåíñêîãîÐàéñà â òåðìèíàõ óíèâåðñàëüíîé ìàøèíû
Òüþðèíãà.
3. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ãëàâíîé íóìåðàöèè ìíîæåñòâî íîìåðîâ íèãäå íå îïðåäåë¼ííîé
ôóíêöèè íå ðàçðåøèìî. ßâëÿåòñÿ ëè îíî ïåðå÷èñëèìûì?
4. Ïðèäóìàéòå (íåãëàâíóþ) íóìåðàöèþ, â êîòîðîé íèãäå íå îïðåäåë¼ííàÿ ôóíêöèÿ
èìååò ðîâíî îäèí íîìåð.
5. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ãëàâíîé íóìåðàöèè ìíîæåñòâî íîìåðîâ ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ â íóëå, íå ðàçðåøèìî. ßâëÿåòñÿ ëè îíî ïåðå÷èñëèìûì?
6. Ïðèäóìàéòå (íåãëàâíóþ) íóìåðàöèþ, â êîòîðîé ìíîæåñòâî íîìåðîâ ôóíêöèé,
îïðåäåë¼ííûõ â íóëå, ðàçðåøèìî.
7. ßâëÿåòñÿ ëè ìíîæåñòâî íîìåðîâ âñþäó îïðåäåë¼ííûõ ôóíêöèé ïåðå÷èñëèìûì?
À åãî äîïîëíåíèå? Çàâèñèò ëè ýòî îò ãëàâíîñòè íóìåðàöèè?
8. ßâëÿþòñÿ ëè ïåðå÷èñëèìûìè èëè êîïåðå÷èñëèìûìè ìíîæåñòâà íîìåðîâ ìàøèí
Òüþðèíãà, êîòîðûå:
a) Âñþäó îïðåäåëåíû è ïðèíèìàþò îäíî è òî æå çíà÷åíèå;
b) Ïðèíèìàþò îäíî è òî æå çíà÷åíèå íà ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ;
c) Âû÷èñëÿþò èíúåêòèâíûå ôóíêöèè;
d) Âû÷èñëÿþò ñþðúåêòèâíûå ôóíêöèè;
e) Íà ëþáîì âõîäå x îñòàíàâëèâàþòñÿ íå áîëåå, ÷åì çà 100x3 + 100 øàãîâ;
f) Íà ëþáîì âõîäå x èñïîëüçóþò íå áîëåå, ÷åì 100x3 + 100 ÿ÷ååê íà ëåíòå?
1