Вычислимые функции, разрешимые и перечислимые множества

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, âåñíà 2011
Âû÷èñëèìûå ôóíêöèè; ðàçðåøèìûå è ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà
×àñòè÷íî îïðåäåë¼ííàÿ ôóíêöèÿ f : N → N íàçûâàåòñÿ âû÷èñëèìîé, åñëè íàéä¼òñÿ
àëãîðèòì, êîòîðûé ïðåîáðàçóåò x â f (x), åñëè f (x) îïðåäåëåíî, è íå îñòàíàâëèâàåòñÿ
íà âõîäå x â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî.
Äîêàæèòå, ÷òî íå âñå ôóíêöèè âû÷èñëèìû.
Äîêàæèòå, ÷òî êîìïîçèöèÿ âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé âû÷èñëèìà.
Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ ñ êîíå÷íîé îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ âû÷èñëèìà.
Âåðíî ëè, ÷òî îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ê ëþáîé âñþäó îïðåäåë¼ííîé èíúåêöèè âû÷èñëèìà? À ê èíúåêöèè, îïðåäåë¼ííîé âñþäó, êðîìå îäíîé òî÷êè?
Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò áèåêòèâíîå âû÷èñëèìîå â îáå ñòîðîíû êîäèðîâàíèå
ïàð, ò.å. òàêàÿ âû÷èñëèìàÿ áèåêöèÿ h : N × N → N, ÷òî âû÷èñëèìû ôóíêöèè l : N → N
è r : N → N, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî l(h(x, y)) = x è r(h(x, y)) = y.
Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå äâà îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:
a) Ôóíêöèÿ F : N × N → N âû÷èñëèìà, åñëè ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, êîòîðûé ïðåîáðàçóåò ïàðó âõîäîâ n è m â F (n, m), åñëè F (n, m) îïðåäåëåíî, è íå îñòàíàâàëèâàþùèéñÿ íà ïàðå (n, m) â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
b) Ôóíêöèÿ F : N × N → N âû÷èñëèìà, åñëè âû÷èñëèìà ôóíêöèÿ G : N → N, îïðåäåë¼ííàÿ ôîðìóëîé G(x) = F (l(x), r(x)), ãäå l è r îáðàòíûå ôóíêöèè ê âû÷èñëèìîìó êîäèðîâàíèþ ïàð.
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè F : N × N → N âû÷èñëèìà, òî ïðè ëþáîì n ôóíêöèÿ Fn(x) =
F (n, x) âû÷èñëèìà.
Ìíîæåñòâî A ⊂ N íàçûâàåòñÿ ðàçðåøèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ðàñïîçíàþùèé ïî ïðîèçâîëüíîìó íàòóðàëüíîìó n, âåðíî ëè, ÷òî n ∈ A.
Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âû÷èñëèìà åãî
õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(
1, n ∈ A;
χA (n) =
0, n ∈
6 A.
Äîêàæèòå, ÷òî íå âñå ìíîæåñòâà ðàçðåøèìû. Ìîæåò ëè ïîäìíîæåñòâî ðàçðåøèìîãî ìíîæåñòâà áûòü íåðàçðåøèìûì?
Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå äâà îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:
a) Ìíîæåñòâî B ⊂ N × N ðàçðåøèìî, åñëè ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ðàñïîçíàþùèé ïî
ïðîèçâîëüíîé ïàðå íàòóðàëüíûõ n è m, âåðíî ëè, ÷òî (n, m) ∈ B .
9.
10.
1
b) Ìíîæåñòâî B ⊂ N × N ðàçðåøèìî, åñëè ðàçðåøèìî ìíîæåñòâî {h(n, m) | (n, m) ∈
B}, ãäå h áèåêòèâíîå âû÷èñëèìîå â îáå ñòîðîíû êîäèðîâàíèå ïàð.
Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå, ðàçíîñòü è ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ðàçðåøèìûõ ìíîæåñòâ ðàçðåøèìû.
Ìîæåò ëè îáúåäèíåíèå äâóõ íåðàçðåøèìûõ ìíîæåñòâ áûòü ðàçðåøèìûì?
Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðàçðåøèìî.
Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ëèáî ïóñòî, ëèáî ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé íåêîòîðîé âñþäó îïðåäåë¼ííîé íåóáûâàþùåé
âû÷èñëèìîé ôóíêöèè.
Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà ðàçðåøèìûõ ìíîæåñòâ ðàçðåøèìà. (Ñóììîé ìíîæåñòâ A
è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A + B = {x + y | x ∈ A, y ∈ B}).
Ìîæåò ëè áûòü òàê, ÷òî A ∪ B , B ∪ C è C ∪ A ðàçðåøèìû, à A ∪ B ∪ C íå
ðàçðåøèìî?
Ìíîæåñòâî A ⊂ N íàçûâàåòñÿ ïåðå÷èñëèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ïåðå÷èñëÿþùèé âñå åãî ýëåìåíòû â êàêîì-òî ïîðÿäêå.
Ôîðìàëèçóéòå ýòî îïðåäåëåíèå â òåðìèíàõ ìàøèí Òüþðèíãà.
Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî A ïåðå÷èñëèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíî
îäíî èç ñâîéñòâ:
a) Âû÷èñëèìà ïîëóõàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà A:
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
(
1,
n ∈ A;
îïðåäåëåíà, n 6∈ A;
íå
b) A ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ âû÷èñëèìîé ôóíêöèè;
c) A ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ çíà÷åíèé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè;
d) A ïóñòî èëè ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ çíà÷åíèé âñþäó îïðåäåë¼ííîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè;
e) A ïåðå÷èñëÿåòñÿ àëãîðèòìîì, ïå÷àòàþùèì êàæäîå ÷èñëî ïî îäíîìó ðàçó;
f) A ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèé ðàçðåøèìîãî ïîäìíîæåñòâà N × N íà ïåðâóþ êîîðäèíàòó.
Äîêàæèòå, ÷òî íå âñå ìíîæåñòâà ïåðå÷èñëèìû. Ìîæåò ëè ïîäìíîæåñòâî ïåðå÷èñëèìîãî ìíîæåñòâà áûòü íåïåðå÷èñëèìûì?
Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå, ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå è ñóììà ïåðå÷èñëèìûõ ìíîæåñòâ ïåðå÷èñëèìû.
(Òåîðåìà Ïîñòà) Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî A ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà è A, è Ā ïåðå÷èñëèìû.
Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ f âû÷èñëèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà å¼ ãðàôèê Γf =
{(x, y) | y = f (x)} ïåðå÷èñëèì. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïåðå÷èñëèìîãî ìíîæåñòâà
ïàð U íàéä¼òñÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ f , òàêàÿ ÷òî Γf ⊂ U , à îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ f
ñîâïàäàåò ñ ïðîåêöèåé U íà ïåðâóþ êîîðäèíàòó.
Äîêàæèòå, ÷òî îáðàç è ïðîîáðàç ïåðå÷èñëèìîãî ìíîæåñòâà îòíîñèòåëüíî âû÷èñëèìîé ôóíêöèè ïåðå÷èñëèìû.
Ïóñòü X è Y ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå
ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà X 0 è Y 0, ÷òî X 0 ⊂ X , Y 0 ⊂ Y , X 0 ∩ Y 0 = ∅ è X 0 ∪ Y 0 = X ∪ Y .
χ̄A (n) =
19.
20.
21.
22.
23.
24.
2