17. Машины Тьюринга

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, âåñíà 2015
Ñåìèíàð 17: ìàøèíû Òüþðèíãà
Ìàøèíîé Òüþðèíãà íàçûâàåòñÿ êîðòåæ hΣ, Γ, Q, q1 , q0 , δi, ãäå Σ, Γ è Q ñóòü êîíå÷íûå íåïóñòûå ìíîæåñòâà, ïðè÷¼ì Σ ⊂ Γ è Γ ∩ Q = ∅, q0, q1 ∈ Q, q0 6= q1, à
δ : (Q \ {q0 }) × Γ → Q × Γ × {L, N, R}. Σ íàçûâàåòñÿ âõîäíûì àëôàâèòîì, Γ ëåíòî÷íûì àëôàâèòîì, Q ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé, à q1 è q0 íà÷àëüíûì è çàâåðøàþùèì
ñîñòîÿíèÿìè ñîîòâåòñòâåííî. Ôóíêöèþ ïåðåõîäà δ çàïèñûâàþò â ôîðìå ñïèñêà êîìàíä
âèäà qiaj → qr asD. (Òàê êàê ýòî ôóíêöèÿ, îïðåäåë¼ííàÿ íà (Q \ {q0}) × Γ, äëÿ êàæäîé
ïàðû èç íåçàâåðøàþùåãî ñîñòîÿíèÿ è ñèìâîëà ëåíòî÷íîãî àëôàâèòà åñòü ðîâíî îäíà
êîìàíäà). Ñðåäè ýëåìåíòîâ Γ âûäåëÿþò ñïåöèàëüíûé ñèìâîë # (áëàíê, ïðîáåë, ïóñòîé
ñèìâîë, îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå êàê _, , ), íå âõîäÿùèé â ìíîæåñòâî Σ.
Åñëè K êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî ÷åðåç K ∗ îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýëåìåíòîâ èç ýòîãî ìíîæåñòâà (ñëîâ â àëôàâèòå K ). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç íóëÿ ýëåìåíòîâ îáîçíà÷àåòñÿ ε (èëè Λ) è íàçûâàåòñÿ ïóñòûì ñëîâîì. Íà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ êîíêàòåíàöèè (ïðèïèñûâàíèÿ), îáîçíà÷àåìàÿ ñèìâîëîì ·. ×àñòî ýòîò ñèìâîë îïóñêàåòñÿ, çàïèñü AB îçíà÷àåò êîíêàòåíàöèþ ñëîâ
A è B . Ïîä çàïèñüþ An ïîíèìàåòñÿ êîíêàòåíàöèÿ n ýêçåìïëÿðîâ ñëîâà A.
◦
×åìó ðàâíÿåòñÿ A0? A1?
Êîíôèãóðàöèåé ìàøèíû Òüþðèíãà íàçûâàåòñÿ ñëîâî âèäà AqaB , ãäå A, B ∈ Γ∗ ,
a ∈ Γ, à q ∈ Q.
◦
 êàêîì àëôàâèòå çàïèñûâàåòñÿ êîíôèãóðàöèÿ?
◦
Ïîêàæèòå, ÷òî ïî êîíôèãóðàöèè ìîæíî îäíîçíà÷íî âîññòàíîâèòü A, q. a è B .
Âû÷èñëåíèåì íà ìàøèíå Òüþðèíãà íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîíôèãóðàöèé
c1 , . . . , ck , â êîòîðîé ëþáûå äâå ñîñåäíèå êîíôèãóðàöèè cl è cl+1 ñîîòíîñÿòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
ˆ åñëè cl = Aqi aj B è â ïðîãðàììå âñòðå÷àåòñÿ êîìàíäà qi aj → qr as N , òî cl+1 =
Aqr as B ;
ˆ åñëè cl = Aqi aj B è â ïðîãðàììå âñòðå÷àåòñÿ êîìàíäà qi aj → qr as R, òî cl+1 =
Aas qr B (åñëè B = ε, òî cl+1 = Aas qr #);
ˆ åñëè cl = Aaqi aj B è â ïðîãðàììå âñòðå÷àåòñÿ êîìàíäà qi aj → qr as L, òî cl+1 =
Aqr aas B (åñëè cl = qi aj B , òî cl+1 = qr #as B ).
◦
Ïîêàæèòå, ÷òî âû÷èñëåíèå ìîæíî ïîëíîñòüþ âîññòàíîâèòü, çíàÿ íà÷àëüíóþ êîíôèãóðàöèþ è ÷èñëî øàãîâ. Ïîêàæèòå, ÷òî âû÷èñëåíèå ìîæåò ñîäåðæàòü íå áîëåå îäíîé
êîíôèãóðàöèè, ñîäåðæàùåé q0.
Íåôîðìàëüíî ðàáîòà ìàøèíû Òüþðèíãà îïèñûâàåòñÿ òàê: èìååòñÿ áåñêîíå÷íàÿ ëåíòà, ðàçáèòàÿ íà ÿ÷åéêè.  êàæäîé ÿ÷åéêå çàïèñàí ñèìâîë èç Γ. Ó ìàøèíû èìååòñÿ
êàðåòêà, â êàæäûé ìîìåíò óêàçûâàþùàÿ ðîâíî íà îäíó ÿ÷åéêó. Çà îäèí òàêò ìàøèíà
ñ÷èòûâàåò ñèìâîë ñ ÿ÷åéêè, íà êîòîðóþ óêàçûâàåò, è â çàâèñèìîñòè îò âíóòðåííåãî ñîñòîÿíèÿ ïåðåõîäèò â íîâîå ñîñòîÿíèå, çàìåíÿåò ñîäåðæèìîå ÿ÷åéêè è ñäâèãàåòñÿ âëåâî,
âïðàâî èëè îñòà¼òñÿ íà ìåñòå. Êîíôèãóðàöèÿ AqaB îçíà÷àåò, ÷òî ìàøèíà íàõîäèòñÿ
1 .
2 .
3 .
4 .
1
â ñîñòîÿíèè q, óêàçûâàåò íà ÿ÷åéêó ñ ñèìâîëîì a, ñëåâà îò ýòîé ÿ÷åéêè çàïèñàíî A,
ñïðàâà B . à âñå îñòàëüíûå ÿ÷åéêè çàïîëíåíû #.
Ìàøèíà âû÷èñëÿåò (÷àñòè÷íî îïðåäåë¼ííóþ) ôóíêöèþ f : Σ∗ → Σ∗, åñëè:
a) Äëÿ âñåõ x, íà êîòîðûõ f îïðåäåëåíà, ñóùåñòâóåò âû÷èñëåíèå íà ýòîé ìàøèíå,
íà÷èíàþùååñÿ ñ êîíôèãóðàöèè q1x è çàêàí÷èâàþùååñÿ êîíôèãóðàöèåé q0f (x);
b) Äëÿ âñåõ x, íà êîòîðûõ f íå îïðåäåëåíà, íå ñóùåñòâóåò âû÷èñëåíèÿ íà ýòîé ìàøèíå, íà÷èíàþùåãîñÿ ñ êîíôèãóðàöèè q1x è çàêàí÷èâàþùåãîñÿ êîíôèãóðàöèåé,
ñîäåðæàùåé q0.
◦
Ïîêàæèòå, ÷òî âòîðîå óñëîâèå ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó: Ñóùåñòâóåò ñêîëü
óãîäíî äëèííîå âû÷èñëåíèå, íà÷èíàþùååñÿ ñ q1x .
Ïóñòü Σ = {0, 1}. Îïèøèòå ìàøèíû, âû÷èñëÿþùèå ôóíêöèè: f (x) = x, f (x) = 0,
íèãäå íå îïðåäåë¼ííóþ.
Ïóñòü Σ = {1}. Îïèøèòå ìàøèíû, âû÷èñëÿþùèå ôóíêöèè: f (1n) = 1n+1, f (1n) =
1n−1 , f (1n ) = 12n , f (1n ) = 1n .
Ïóñòü Σ = {0, 1}. Îïèøèòå ìàøèíû, âû÷èñëÿþùèå ôóíêöèè: f (x) = xx, f (x) =
xx̄, ãäå x̄ ñëîâî, ïîëó÷åííîå èç x ïðåâðàùåíèåì íóëåé â åäèíèöû è íàîáîðîò, f (x) =
xxR , ãäå xR ñëîâî x, çàïèñàííîå çàäîì íàïåð¼ä.
Ïóñòü Σ = {0, 1}. Îïèøèòå ìàøèíû, âû÷èñëÿþùèå ôóíêöèè: f (x) = 2x, f (x) =
x + 1, f (x) = x − 1, ãäå x ïîíèìàåòñÿ êàê äâîè÷íàÿ çàïèñü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà.
Ìàøèíà âû÷èñëÿåò (÷àñòè÷íî îïðåäåë¼ííóþ) ôóíêöèþ f : Σ∗ × Σ∗ → Σ∗, åñëè:
a) Äëÿ âñåõ ïàð (x, y), íà êîòîðûõ f îïðåäåëåíà, ñóùåñòâóåò âû÷èñëåíèå íà ýòîé
ìàøèíå, íà÷èíàþùååñÿ ñ êîíôèãóðàöèè q1x#y è çàêàí÷èâàþùååñÿ êîíôèãóðàöèåé
q0 f (x, y);
b) Äëÿ âñåõ ïàð (x, y), íà êîòîðûõ f íå îïðåäåëåíà, íå ñóùåñòâóåò âû÷èñëåíèÿ íà
ýòîé ìàøèíå, íà÷èíàþùåãîñÿ ñ êîíôèãóðàöèè q1x#y è çàêàí÷èâàþùåãîñÿ êîíôèãóðàöèåé, ñîäåðæàùåé q0.
Ïóñòü Σ = {0, 1}. Îïèøèòå ìàøèíû, âû÷èñëÿþùèå ôóíêöèè f (x, y) = x + y,
f (x, y) = x − y , ãäå x è y ïîíèìàþòñÿ êàê äâîè÷íûå çàïèñè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Îïèøèòå ìàøèíó, âû÷èñëÿþùóþ f (x, y) = xy (óìíîæåíèå ÷èñåë â äâîè÷íîé
çàïèñè).
Òàêæå ðàññìàòðèâàþò ðàñïîçíàþùèå (ðàçðåøàþùèå) ìàøèíû, ó êîòîðûõ âìåñòî
îäíîãî çàâåðøàþùåãî ñîñòîÿíèÿ q0 åñòü äâà: ïðèíèìàþùåå qa è îòâåðãàþùåå qr .
◦
Äàéòå ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå òàêîé ìàøèíû êàê êîðòåæà.
Ðàñïîçíàþùàÿ ìàøèíà ðàçðåøàåò ìíîæåñòâî A ⊂ Σ∗, åñëè:
a) Äëÿ âñåõ x, ëåæàùèõ â A, ñóùåñòâóåò âû÷èñëåíèå íà ýòîé ìàøèíå, íà÷èíàþùååñÿ
ñ êîíôèãóðàöèè q1x è çàêàí÷èâàþùååñÿ êîíôèãóðàöèåé, ñîäåðæàùåé qa;
b) Äëÿ âñåõ x, íå ëåæàùèõ â A, ñóùåñòâóåò âû÷èñëåíèå íà ýòîé ìàøèíå, íà÷èíàþùååñÿ ñ êîíôèãóðàöèè q1x è çàêàí÷èâàþùååñÿ êîíôèãóðàöèåé, ñîäåðæàùåé qr .
5 .
6.
7.
2
8.
9.
10.
11.
12 .
2
Ïóñòü Σ = {1}. Îïèøèòå ìàøèíû, ðàñïîçíàþùèå ìíîæåñòâà: {1}, {1n | n...2},
{1n | n ∈ N}.
Ïóñòü Σ = {0, 1}. Îïèøèòå ìàøèíû, ðàñïîçíàþùèå ìíîæåñòâà: {0}, 0∗ = {0n |
n ∈ N}, 0∗ 1∗ = {0n 1m | n, m ∈ N}, {0n 1n | n ∈ N}.
Ïóñòü Σ = {0, 1}. Îïèøèòå ìàøèíó, ðàñïîçíàþùóþ ìíîæåñòâî ïàëèíäðîìîâ,
ò.å. {x | x = xR}.
∗
Íàçîâ¼ì âðåìåíåì ðàáîòû ìàøèíû ìàêñèìàëüíóþ äëèíó âû÷èñëåíèÿ íà âõîäàõ
äëèíû n. Äîêàæèòå, ÷òî íèêàêàÿ ìàøèíà, ðàñïîçíàþùàÿ ìíîæåñòâî ïàëèíäðîìîâ, íå
ìîæåò ðàáîòàòü çà âðåìÿ o(n2).
Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ âû÷èñëèìîé, åñëè å¼ âû÷èñëÿåò êàêàÿ-òî ìàøèíà Òüþðèíãà.
Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé íå èçìåíèòñÿ, åñëè çàïðåòèòü
ìàøèíå ñòîÿòü íà ìåñòå (ò.å. îãðàíè÷èòüñÿ ìàøèíàìè ñ ôóíêöèÿìè ïåðåõîäà âèäà
δ : (Q \ {q0 }) × Σ → Q × Σ × {L, R}).
Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé íå èçìåíèòñÿ, åñëè îãðàíè÷èòü
ëåíòó ñ îäíîé ñòîðîíû. (Òåõíè÷åñêè ìîæíî äîáàâèòü ñëåâà ñïåöñèìâîë B, êîòîðûé
íåëüçÿ ñòèðàòü è ñ êîòîðîãî íåëüçÿ äâèãàòüñÿ âëåâî).
Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé íå èçìåíèòñÿ, åñëè ðàçðåøèòü
ìàøèíå ðàáîòàòü íà íåñêîëüêèõ ëåíòàõ. (Íà êàæäîé ëåíòå ñâîÿ êàðåòêà, ñïîñîáíàÿ
äâèãàòüñÿ íåçàâèñèìî îò äðóãèõ. Ôîðìàëèçóéòå òàêóþ ìàøèíó ñàìîñòîÿòåëüíî).
Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé íå èçìåíèòñÿ, åñëè ìàøèíà
ðàáîòàåò íå íà ëåíòå, à íà êëåò÷àòîé ïëîñêîñòè. (Êàðåòêà îäíà, íî ìîæåò äâèãàòüñÿ â
ëþáîì èç ÷åòûð¼õ íàïðàâëåíèé).
Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé íå èçìåíèòñÿ, åñëè ðàçðåøèòü
ìàøèíå ïðîèçâîëüíûå ñäâèãè (ò.å. ôóíêöèÿ ïåðåõîäà èìååò âèä δ : (Q \ {q0}) × Σ →
Q × Σ × Z).
∗
Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé íå èçìåíèòñÿ, åñëè ðàçðåøèòü
ìàøèíå ïðîèçâîëüíûé äîñòóï (random access). Ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå òàêîå: ó ìàøèíû åñòü äâå ëåíòû: àäðåñíàÿ è ðàáî÷àÿ, ñïåöèàëüíîå ñîñòîÿíèå qaccess, à òàêæå äâà
ñïåöñèìâîëà W è R â ëåíòî÷íîì àëôàâèòå. Åñëè ìàøèíà îêàçûâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè qaccess
â êîíôèãóðàöèè bin(i)qaccessWσ íà àäðåñíîé ëåíòå (bin(i) äâîè÷íàÿ çàïèñü ÷èñëà i), òî
ñèìâîë σ çàïèñûâàåòñÿ â ÿ÷åéêó ñ íîìåðîì i íà ðàáî÷åé ëåíòå. Åñëè ìàøèíà îêàçûâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè qaccess â êîíôèãóðàöèè bin(i)qaccessR íà àäðåñíîé ëåíòå, òî â ñëåäóþùóþ
çà ñîäåðæàùåé R ÿ÷åéêó çàïèñûâàåòñÿ ñèìâîë èç ÿ÷åéêè ñ íîìåðîì i íà ðàáî÷åé ëåíòå.
Ïóñòü ìàøèíå çàïðåùåíî ñòèðàòü ñèìâîëû (êðîìå #). Êàê ñëåäóåò îïðåäåëèòü
âû÷èñëåíèå ôóíêöèè íà òàêîé ìàøèíå, ÷òîáû ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé íå èçìåíèëîñü?
Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé óìåíüøèòñÿ, åñëè çàïðåòèòü
ìàøèíå ñäâèãàòüñÿ âëåâî. (Óêàçàíèå: òàêàÿ ìàøèíà íå ìîæåò ðàñïîçíàòü ÿçûê {0n1n |
b ∈ N}).
Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè ðàçðåøèòü ìàøèíå èìåòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé,
òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ ñòàíåò âû÷èñëèìîé.
13.
2
14.
15.
16 .
17.
18.
19.
20.
21.
22 .
23.
24.
25.
3