Задачи про односторонние функции

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Êàôåäðà àíàëèçà äàííûõ
Êðèïòîãðàôèÿ, îñåíü 2011
Çàäà÷è ïðî îäíîñòîðîííèå ôóíêöèè
Ïóñòü k(n) è l(n) íåêîòîðûå ïîëèíîìû. Ôóíêöèÿ f : {0, 1}k(n) → {0, 1}l(n) íàçûâàåòñÿ ñèëüíî íåîáðàòèìîé, åñëè äëÿ ëþáîãî ïîëèíîìà p è ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ñõåì ïîëèíîìèàëüíîãî ðàçìåðà Cn äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
ñõåìà Cn îáðàòèò ôóíêöèþ f íà ñëó÷àéíîì ñëîâå x äëèíû k(n), ò.å. f (Cn(f (x))) = f (x),
1
.
íå áîëüøå p(n)
Ôóíêöèÿ f : {0, 1}k(n) → {0, 1}l(n) íàçûâàåòñÿ ñëàáî íåîáðàòèìîé, åñëè äëÿ íåêîòîðîãî ïîëèíîìà q è ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõåì ïîëèíîìèàëüíîãî ðàçìåðà Cn äëÿ âñåõ
äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñõåìà Cn îáðàòèò ôóíêöèþ f íà ñëó÷àéíîì
1
ñëîâå x äëèíû n íå áîëüøå 1 − q(n)
.
Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ñèëüíî (ñëàáî) îäíîñòîðîííåé, åñëè îíà âû÷èñëèìà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ è ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìà.
Çàïèøèòå ïðè ïîìîùè êâàíòîðîâ îïðåäåëåíèå òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ
ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìîé.
Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ ñèëüíî íåîáðàòèìàÿ (îäíîñòîðîííÿÿ) ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ
ñëàáî íåîáðàòèìîé (îäíîñòîðîííåé).
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóùåñòâóþò ñëàáî îäíîñòîðîííèå ôóíêöèè, òî P 6= NP.
Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóþò ñëàáî íåîáðàòèìûå ôóíêöèè äëÿ k(n) = l(n) = n.
Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî ïîëèíîìà s(n) è áåñêîíå÷íî ìíîãèõ n ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò
íå áîëüøå s(n) ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé íà ìíîæåñòâå ñëîâ äëèíû k(n). Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà
ôóíêöèÿ f íå ÿâëÿåòñÿ ñëàáî íåîáðàòèìîé.
Ïóñòü f : {0, 1}k(n) → {0, 1}l(n) ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìà (îäíîñòîðîííÿÿ). Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà ñëåäóþùèå ôóíêöèè òàêæå áóäóò ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìûìè (îäíîñòîðîííèìè):
a) g : {0, 1}k(n) → {0, 1}2l(n), îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì g(x) = f (x)f (x);
b) g : {0, 1}2k(n) → {0, 1}2l(n), îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì g(xy) = f (x)f (y);
c) g : {0, 1}2k(n) → {0, 1}k(n)+l(n), îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì g(xy) = f (x)y;
Ïóñòü f : {0, 1}k(n) → {0, 1}l(n) ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìà, m(n) ïîëèíîì, à
g : {0, 1}l(n) → {0, 1}m(n) . Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà ôóíêöèÿ h : {0, 1}k(n) → {0, 1}l(n)+m(n) ,
îïðåäåëÿåìàÿ ïî ïðàâèëó h(x) = f (x)g(f (x)), òàêæå ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìà.
Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóþò ñèëüíî îäíîñòîðîííèå ôóíêöèè f : {0, 1}k(n) → {0, 1}k(n)
è g : {0, 1}k(n) → {0, 1}k(n), òàêèå ÷òî ôóíêöèÿ h : {0, 1}k(n) → {0, 1}2k(n), îïðåäåëÿåìàÿ
ïî ïðàâèëó h(x) = f (x)g(x), íå ÿâëÿåòñÿ ñëàáî îäíîñòîðîííåé.
Ïóñòü f : {0, 1}k(n) → {0, 1}k(n) è g : {0, 1}k(n) → {0, 1}k(n) áèåêòèâíûå ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìûå ôóíêöèè. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè õîòÿ áû îäíà èç íèõ ñèëüíî (ñëàáî)
íåîáðàòèìà, òî è èõ êîìïîçèöèÿ ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìà. Âåðíî ëè ýòî, åñëè îòêàçàòüñÿ îò ïîëèíîìèàëüíîé âû÷èñëèìîñòè?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
1
Çàìåíèì â îïðåäåëåíèè íåîáðàòèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõåì íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ñõåì (ò.å. ñõåì, èìåþùèõ äâå ãðóïïû àðãóìåíòîâ: y = f (x)
äëèíû l(n) è r äëèíû m(n), âåðîÿòíîñòü îáðàùåíèÿ ñ÷èòàåòñÿ ïî ðàâíîìåðíîìó è íåçàâèñèìîìó ðàñïðåäåëåíèþ x è r). Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî íåîáðàòèìûõ ôóíêöèé íå
èçìåíèòñÿ.
Ïóñòü ñóùåñòâóåò îäíîñòîðîííÿÿ ôóíêöèÿ f : {0, 1}k(n) → {0, 1}l(n), ãäå k(n) ñòðîãî âîçðàñòàåò. Ïîêàæèòå, ÷òî å¼ ìîæíî ïðîäîëæèòü äî âñþäó îïðåäåë¼ííîé îäíîñòîðîííåé ôóíêöèè g : {0, 1}∗ → {0, 1}∗. Ñðàáîòàåò ëè òàêîé ñïîñîá: g(x) = f (x00 . . . 0), ãäå
íóëè äîáàâëÿþòñÿ äî ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé äëèíû, íà êîòîðîé îïðåäåëåíà f ?
Ñòàòèñòè÷åñêèì ðàññòîÿíèåì ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè α è β , ïðèíèìàþùèìè çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå A, íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà dist(α, β) = maxB⊂A |α(B) − β(B)|.
(Çà ξ(T ) îáîçíà÷åíà âåðîÿòíîñòü P{ξP∈ T }).
Äîêàæèòå, ÷òî dist(α, β) = 21 a∈A |α(a) − β(a)|.
Âåðîÿòíîñòíûé àëãîðèòì K ãåíåðèðóåò ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó α íà ìíîæåñòâå {0, 1}k(n),
åñëè äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ a âåðîÿòíîcòè òîãî, ÷òî α = a è ÷òî K(1n) = a ðàâíû. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ äîñòóïíîé, åñëè å¼ ìîæåò ñãåíåðèðîâàòü êàêîé-òî ïîëèíîìèàëüíûé âåðîÿòíîñòíûé àëãîðèòì.
Ïóñòü ìíîæåñòâî S ⊂ {0, 1}k(n) ðàçðåøèìî íåêîòîðûì ïîëèíîìèàëüíûì àëãîðèòìîì è ñîäåðæèò íå ìåíåå 2q(n) ýëåìåíòîâ äëÿ íåêîòîðîãî ïîëèíîìà q. Ïîêàæèòå, ÷òî
ñóùåñòâóåò äîñòóïíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàññòîÿíèå îò êîòîðîé äî ðàâíîìåðíîé íà
S ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëî.
Ïóñòü ìíîæåñòâî S ⊂ {0, 1}k(n) ïåðå÷èñëèìî íåêîòîðûì ïîëèíîìèàëüíûì àëãîðèòìîì. (Àëãîðèòì ïî i ∈ [1, 2k(n)] âûäà¼ò i-ûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà èëè ñîîáùàåò, ÷òî
â í¼ì ìåíüøå i ýëåìåíòîâ). Ïîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò äîñòóïíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,
ðàññòîÿíèå îò êîòîðîé äî ðàâíîìåðíîé íà S ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëî.
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà α ñî çíà÷åíèÿìè â {0, 1}k(n) íàçûâàåòñÿ òðóäíîé äëÿ ôóíêöèè
f : {0, 1}k(n) → {0, 1}l(n) , åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõåì Cn ïîëèíîìèàëüíîãî
ðàçìåðà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî f (Cn(f (α))) = f (α), ñòðåìèòñÿ ê íóëþ áûñòðåå ëþáîãî
1
äëÿ íåêîîáðàòíîãî ïîëèíîìà, è íåë¼ãêîé, åñëè ýòà æå âåðîÿòíîñòü ìåíüøå 1 − p(n)
òîðîãî ïîëèíîìà p. Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íî ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìîé, åñëè
íåêîòîðàÿ äîñòóïíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà òðóäíà (íåëåãêà) äëÿ íå¼.
Äîêàæèòå, ÷òî ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî ñèëüíî
(ñëàáî) íåîáðàòèìîé.
Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷àñòè÷íî ñèëüíî íåîáðàòèìàÿ ôóíêöèÿ, íå ÿâëÿþùàÿñÿ ñèëüíî íåîáðàòèìîé.
Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íî ñèëüíî (ñëàáî) îäíîñòîðîííåé, åñëè îíà ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìà è ÷àñòè÷íî ñèëüíî (ñëàáî) íåîáðàòèìà.
Ïóñòü ñóùåñòâóåò ÷àñòè÷íî ñèëüíî îäíîñòîðîííÿÿ ôóíêöèÿ. Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà ñóùåñòâóåò ñèëüíî îäíîñòîðîííÿÿ ôóíêöèÿ.
Ïóñòü ñóùåñòâóåò ÷àñòè÷íî ñëàáî îäíîñòîðîííÿÿ ôóíêöèÿ. Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà
ñóùåñòâóåò ñëàáî îäíîñòîðîííÿÿ ôóíêöèÿ.
Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷àñòè÷íî ñèëüíî íåîáðàòèìàÿ ôóíêöèÿ, íå ÿâëÿþ10.
11.
12.
13.
k(n)
14.
15.
16.
17.
18.
19.
2
ùàÿñÿ ñëàáî íåîáðàòèìîé.
Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ñëàáî íåîáðàòèìàÿ ôóíêöèÿ, íå ÿâëÿþùàÿñÿ ÷àñòè÷íî ñèëüíî íåîáðàòèìîé.
20.
3