называется универсальной вычислимой, если она вычис-

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, âåñíà 2015
Íóìåðàöèè âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé
Ôóíêöèÿ U : N × N → N íàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíîé âû÷èñëèìîé, åñëè îíà âû÷èñëèìà è äëÿ ëþáîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè f : N → N íàéä¼òñÿ òàêîå ÷èñëî n, ÷òî ïðè
âñåõ x âûïîëíåíî U (n, x) = f (x). Óíèâåðñàëüíàÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ U : N × N → N
íàçûâàåòñÿ ãëàâíîé, åñëè äëÿ ëþáîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè V : N × N → N íàéä¼òñÿ
âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ s : N → N, òàêàÿ ÷òî U (s(n), x) = V (n, x) ïðè âñåõ n è x.
1. Äîêàæèòå, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ, çàäàþùàÿñÿ óíèâåðñàëüíîé
ìàøèíîé Òüþðèíãà, ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé.
2. Ïóñòü â îïðåäåëåíèè ãëàâíîé óíèâåðñàëüíîé ôóíêöèè ñóùåñòâîâàíèå s òðåáóåòñÿ
íå äëÿ âñåõ ôóíêöèé V , à òîëüêî äëÿ óíèâåðñàëüíûõ. Ïîêàæèòå, ÷òî êëàññ ãëàâíûõ
óíèâåðñàëüíûõ ôóíêöèé íå èçìåíèòñÿ.
3. Ïîêàæèòå, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà ïî íîìåðàì äâóõ ôóíêöèé ìîæíî ïîëó÷èòü íîìåð èõ êîìïîçèöèè.
Åñëè f (x) = U (n, x), òî n íàçûâàåòñÿ íîìåðîì ôóíêöèè f . Îäíà ôóíêöèÿ ìîæåò
èìåòü ìíîãî íîìåðîâ.  ÷àñòíîñòè, ïðè íóìåðàöèè, çàäàííîé óíèâåðñàëüíîé ìàøèíîé, íîìåðà êàæäîé ôóíêöèè ýòî êîäû âñåõ ïðîãðàìì, âû÷èñëÿþùèõ ýòó ôóíêöèþ.
Íóìåðàöèÿ, çàäàâàåìàÿ ãëàâíîé óíèâåðñàëüíîé ôóíêöèåé, òàêæå íàçûâàåòñÿ ãëàâíîé.
Òåîðåìà ÓñïåíñêîãîÐàéñà óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè ãëàâíîé íóìåðàöèè ìíîæåñòâî íîìåðîâ
ôóíêöèé, îáëàäàþùèõ íåêîòîðûì íåòðèâèàëüíûì ñâîéñòâîì A, íå ðàçðåøèìî.
4. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ÓñïåíñêîãîÐàéñà â òåðìèíàõ óíèâåðñàëüíîé ìàøèíû
Òüþðèíãà.
5. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ãëàâíîé íóìåðàöèè ìíîæåñòâî íîìåðîâ íèãäå íå îïðåäåë¼ííîé
ôóíêöèè íå ðàçðåøèìî. ßâëÿåòñÿ ëè îíî ïåðå÷èñëèìûì? Êîïåðå÷èñëèìûì?
6. Ïðèäóìàéòå (íåãëàâíóþ) íóìåðàöèþ, â êîòîðîé íèãäå íå îïðåäåë¼ííàÿ ôóíêöèÿ
èìååò ðîâíî îäèí íîìåð.
7. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ãëàâíîé íóìåðàöèè ìíîæåñòâî íîìåðîâ ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ â íóëå, íå ðàçðåøèìî. ßâëÿåòñÿ ëè îíî ïåðå÷èñëèìûì?
8. Ïðèäóìàéòå (íåãëàâíóþ) íóìåðàöèþ, â êîòîðîé ìíîæåñòâî íîìåðîâ ôóíêöèé,
îïðåäåë¼ííûõ â íóëå, ðàçðåøèìî.
9. ßâëÿåòñÿ ëè ìíîæåñòâî íîìåðîâ âñþäó îïðåäåë¼ííûõ ôóíêöèé ïåðå÷èñëèìûì?
À åãî äîïîëíåíèå? Çàâèñèò ëè ýòî îò ãëàâíîñòè íóìåðàöèè?
10. ßâëÿþòñÿ ëè ïåðå÷èñëèìûìè èëè êîïåðå÷èñëèìûìè ìíîæåñòâà íîìåðîâ ìàøèí
Òüþðèíãà, êîòîðûå:
à) Âñþäó îïðåäåëåíû è ïðèíèìàþò îäíî è òî æå çíà÷åíèå;
á) Ïðèíèìàþò îäíî è òî æå çíà÷åíèå íà ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ;
â) Âû÷èñëÿþò èíúåêòèâíûå ôóíêöèè;
1
ã) Âû÷èñëÿþò ñþðúåêòèâíûå ôóíêöèè;
ä) Íà ëþáîì âõîäå x îñòàíàâëèâàþòñÿ íå áîëåå, ÷åì çà 100x3 + 100 øàãîâ;
å) Íà ëþáîì âõîäå x èñïîëüçóþò íå áîëåå, ÷åì 100x3 + 100 ÿ÷ååê íà ëåíòå?
Òåîðåìà Êëèíè î íåïîäâèæíîé òî÷êå óòâåðæäàåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ãëàâíîé óíèâåðñàëüíîé ôóíêöèè U è äëÿ ëþáîé âñþäó îïðåäåë¼ííîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè h : N → N
íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð n, ÷òî ïðè âñåõ x âûïîëíåíî U (n, x) = U (h(n), x). Èíà÷å ãîâîðÿ,
ïðîãðàììû ïîä íîìåðàìè n è h(n) âû÷èñëÿþòñÿ îäíó è òó æå ôóíêöèþ. Íîìåð n èëè
ôóíêöèþ fn íàçûâàþò íåïîäâèæíîé òî÷êîé ïðåîáðàçîâàíèÿ h.
11.  ýòîé çàäà÷å äà¼òñÿ êîíñòðóêòèâíîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Êëèíè:
à) Ïóñòü f (n) = U (n, n). Ïîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò âñþäó îïðåäåë¼ííàÿ âû÷èñëèìàÿ
ôóíêöèÿ g , òàêàÿ ÷òî åñëè f (n) îïðåäåëåíà, òî f (n) ∼ g(n).
á) Ïóñòü t(x) = h(g(x)). Ïîêàæèòå, ÷òî íåïîäâèæíîé òî÷êîé h áóäåò g(t).
12. Äîêàæèòå, ÷òî åñòü äâå ìàøèíû Òüþðèíãà, íîìåð îäíîé èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ
êâàäðàòîì äðóãîé, âû÷èñëÿþùèå îäíó è òó æå ôóíêöèþ.
13. Ïóñòü fs(n) (x) = fn (x) + 1. Ïî÷åìó òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå òîòàëüíî âû÷èñëèìî?
Êàêàÿ ôóíêöèÿ áóäåò åãî íåïîäâèæíîé òî÷êîé?
14. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ìàøèíà Òüþðèíãà, ïå÷àòàþùàÿ íà ïóñòîé ëåíòå òåêñò
ñâîåé ñîáñòâåííîé ïðîãðàììû.
15. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóþò äâå íåñîâïàäàþùèå ìàøèíû Òüþðèíãà, òàêèå ÷òî
ïåðâàÿ ïå÷àòàåò òåêñò ïðîãðàììû âòîðîé, à âòîðàÿ ïå÷àòàåò òåêñò ïðîãðàììû ïåðâîé.
16. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóþò äâå íåñîâïàäàþùèå ìàøèíû Òüþðèíãà, òàêèå ÷òî
ïåðâàÿ ïå÷àòàåò òåêñò ïðîãðàììû âòîðîé, à âòîðàÿ ïå÷àòàåò òåêñò ïðîãðàììû ïåðâîé
çàäîì íàïåð¼ä.
17. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè f (x) ñóùåñòâóåò ìàøèíà Òüþðèíãà, êîòîðàÿ íà ëþáîì âõîäå x ïå÷àòàåò ñîáñòâåííûé òåêñò è çíà÷åíèå f (x).
18. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî n íàéäóòñÿ n ðàçíûõ ìàøèí Òüþðèíãà, òàêèå ÷òî íà
ëþáîì âõîäå êàæäàÿ ïå÷àòàåò íîìåð ñëåäóþùåé (à ïîñëåäíÿÿ - íîìåð ïåðâîé).
19. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè g íàéä¼òñÿ n, òàêîå ÷òî ïðè
ëþáîì x âûïîëíåíî fn (x) = n + g(x).
2