Полугодовой курс Краткое описание курса Программа курса

Ïîëóãîäîâîé êóðñ
Ýëëèïòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà
Êðàòêîå îïèñàíèå êóðñà
Ýëëèïòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè îäèí èç ñàìûõ êðàñèâûõ
è âîñòðåáîâàííûõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè. Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì òàêèõ óðàâíåíèé
ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå Ëàïëàñà ∆u = 0, îïèñûâàþùåå, íàïðèìåð, ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû. Óðàâíåíèå Ëàïëàñà îáñóæäàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè â ëþáîì êóðñå
óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Íàø êóðñ ïîñâÿùåí îáùåìó ýëëèïòè÷åñêîìó
óðàâíåíèþ:
tr(AD2 u) + ⟨b, ∇u⟩ + cu = f.
Òàêèå óðàâíåíèÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïîÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, â òåîðèè äèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ. Êðîìå òîãî, ýëëèïòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ñ íåïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ïîÿâëÿþòñÿ äàæå â çàäà÷àõ, â êîòîðûõ èçíà÷àëüíî ðàññìàòðèâàëîñü óðàâíåíèå
Ëàïëàñà, íî íà ñëîæíîé îáëàñòè.  ýòîì ñëó÷àå äåëàþò çàìåíó ïåðåìåííûõ, îòîáðàæàÿ ñëîæíóþ îáëàñòü â ïðîñòóþ. ßñíî, ÷òî óðàâíåíèå ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâàíèè
ïåðåñòàåò áûòü óðàâíåíèåì Ëàïëàñà. Êðîìå òîãî, èññëåäîâàíèå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé î÷åíü ÷àñòî íà÷èíàåòñÿ ñ ¾çàìîðàæèâàíèÿ¿ êîýôôèöèåíòîâ è ñâåäåíèÿ çàäà÷è ê
ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ. Íàïðèìåð, ïðî ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå ∆u−u3 = f , u|∂Ω = 0
ìîæíî ìíîãîå ñêàçàòü àïðèîðè, ðàññìàòðèâàÿ óðàâíåíèå êàê ëèíåéíîå ∆u − cu = f .
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ íåïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ìíîãèå ôàêòû, î÷åâèäíî âåðíûå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà, óæå ïåðåñòàþò âûïîëíÿòüñÿ,
íàïðèìåð, ïðèíöèï ìàêñèìóìà èëè òåîðåìà Ëèóâèëëÿ. Ïðè èññëåäîâàíèè ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïðèâëåêàþòñÿ èäåè è ìåòîäû àíàëèçà, àëãåáðû, ãåîìåòðèè, òåîðèè
âåðîÿòíîñòåé è äðóãèõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè. ßðêèì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ ïðèíöèï
ìàêñèìóìà À.Ä. Àëåêñàíäðîâà, òåñíî ñâÿçàííûé ñ ãåîìåòðèåé âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé. Òàêèì îáðàçîì, êóðñ áóäåò èíòåðåñåí ñïåöèàëèñòàì ñîâåðøåííî ðàçíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ íàïðàâëåíèé. Êðîìå òîãî, äëÿ ïîíèìàíèÿ êóðñà òðåáóþòñÿ çíàíèÿ ïî
ñòàíäàðòíîé ïðîãðàììå ïåðâûõ äâóõ êóðñîâ ëþáîãî ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà.
Ïðîãðàììà êóðñà
1. Êëàññè÷åñêèé ïðèíöèï ìàêñèìóìà.
2. Îöåíêè Ñ.Í. Áåðíøòåéíà è èõ ñëåäñòâèÿ: íåðàâåíñòâî Õàðíàêà è òåîðåìà Ëèóâèëëÿ.
3. Ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà. Òåîðåìû âëîæåíèÿ. Ïîíÿòèå ñëàáîãî ðåøåíèÿ.
4. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà è ñóùåñòâîâàíèå ñëàáûõ ðåøåíèé çàäà÷è Äèðèõëå.
5. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà Í. Òðóäèíãåðà.
6. Èíòåãðèðóåìîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ðåøåíèé. Ôóíêöèè Ëÿïóíîâà.
7. Ìåòîä èòåðàöèé Þ. Ìîçåðà. Íåðàâåíñòâî Õàðíàêà äëÿ ñëàáûõ ðåøåíèé.
8. Àïðèîðíûå îöåíêè è ïîâûøåíèå ãëàäêîñòè ñëàáîãî ðåøåíèÿ.
9. Ñèëüíûå ðåøåíèÿ. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà À.Ä. Àëåêñàíäðîâà.
1
2
10.
11.
12.
13.
14.
15.
k ãåññèàíû è îáîáùåíèÿ ïðèíöèïà ìàêñèìóìà À.Ä. Àëåêñàíäðîâà.
Îöåíêè Êðûëîâà-Ñàôîíîâà. Íåðàâåíñòâî Õàðíàêà äëÿ ñèëüíûõ ðåøåíèé.
Ïåðåíîðìèðîâàííûå ðåøåíèÿ Ï. Áàóìàí. Îöåíêè ôóíêöèè Ãðèíà.
Lp îöåíêè è ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Äèðèõëå.
Ëåììà Çàðåìáû-Õîïôà-Îëåéíèê. Ãðàíè÷íûå îöåíêè ïðîèçâîäíîé.
Ëåììà Íàäèðàøâèëè. Çàäà÷à Íåéìàíà.
Ëèòåðàòóðà
1. Ãèëáàðã Ä., Òðóäèíãåð Í. Ýëëèïòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà. Íàóêà, Ì., 1989.
2. Êîíäðàòüåâ Â.À., Ëàíäèñ Å.Ì. Êà÷åñòâåííàÿ òåîðèÿ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà. Èòîãè íàóêè è òåõí. Ñåð.
Ñîâðåì. ïðîáë. ìàò. Ôóíäàì. íàïðàâëåíèÿ, 1988, ò. 32, ñ. 99215.
3. Ëàäûæåíñêàÿ Î.À., Óðàëüöåâà Í.Í. Ëèíåéíûå è êâàçèëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà. Íàóêà, Ì., 1973.
4. Ýâàíñ, Ë. Ê. Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè : ïåð. ñ àíãë. Ë. Ê. Ýâàíñ . Íîâîñèáèðñê : Òàìàðà Ðîæêîâñêàÿ, 2003 . 576 ñ. (Óíèâåðñèòåòñêàÿ ñåðèÿ ; Ò. 7).
5. Krylov N.V. Lectures on Elliptic and Parabolic Equations in Sobolev Spaces (Graduate
Studies in Mathematics) 2008.