Íелинейные уравнения с частными производными

Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè
Ëåêòîð äîö. Ðîçàíîâà Îëüãà Ñåðãååâíà
8 ñåìåñòð, âåñíà 2012
Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Óðàâíåíèå õàðàêòåðèñòèê.
•
Ëèíåéíûå è êâàçèëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Óðàâíåíèÿ
õàðàêòåðèñòèê è òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè.
Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ
•
Êâàçèëèíåéíûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. Íàõîæäåíèå ðåøåíèÿ ç. ñ. â íåÿâíîì âèäå.
•
Óñëîâèå Ãþãîíèî (Ðèìàíà-Ðàíêèíà-Ãþãîíèî). Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ
óñëîâèÿ Ãþãîíèî.
•
Îáîáùåííûå ðåøåíèÿ â ñìûñëå èíòåãðàëüíîãî òîæäåñòâà.
•
Ïðîáëåìà íååäèíñòâåííîñòè îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ. Óñëîâèÿ äîïóñòèìîñòè ðàçðûâà: óñëîâèå Ëàêñà, Å-óñëîâèå Îëåéíèê, ýíòðîïèéíîå íåðàâåíñòâî.
•
Ìåòîä èñ÷åçàþùåé âÿçêîñòè.
•
Äîïóñòèìûå ðåøåíèÿ. Åäèíñòâåííîñòü äîïóñòèìîãî ðåøåíèÿ.
•
Ïðåäñòàâëåíèå äîïóñòèìîãî ðåøåíèÿ. Àñèìïòîòèêà äîïóñòèìûõ ðåøåíèé ïðè
t→∞
â íîðìå
C
è
L1 (N -âîëíû).
Ãèïåðáîëè÷åñêèå ñèñòåìû. Çàäà÷à î ðàñïàäå ðåøåíèÿ.
•
Ãèïåðáîëè÷åñêèå ñèñòåìû çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ.
k -ðàçðûâû, âîëíû ðàçðåæåíèÿ,
êîíòàêòíûå ðàçðûâû.
•
Çàäà÷à Ðèìàíà î ðàñïàäå ðàçðûâà. Èíâàðèàíòû Ðèìàíà.
•
Óðàâíåíèå ãàçîâîé äèíàìèêè.
•
Ýíòðîïèéíûå óñëîâèÿ äîïóñòèìîñòè ðàçðûâà äëÿ ñèñòåì.
•
ßâëåíèÿ, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêàòü, åñëè ñèñòåìà íå ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ãèïåðáîëè÷åñêîé. Íåêëàññè÷åñêèå ðàçðûâû.
1
Ðåãóëÿðèçàöèè çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ.
•
Ðàçëè÷íûå ðåãóëÿðèçàöèè çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ.
•
Óðàâíåíèå Êîðòåâåãà - äå Âðèçà è ñîëèòîíû.
Íåìíîãî î íåëèíåéíûõ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ.
•
Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Îñîáåííîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëîâûõ âîëí.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] À.Þ. Ãîðèöêèé, Ñ.Í. Êðóæêîâ, Ã.À. ×å÷êèí, Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîä-
íûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà (ó÷åáíîå ïîñîáèå), èçä. ÖÏÈ ïðè ìåõìàòå, 1999
[2] Ë. Ýâàíñ, Óð×Ïû
[3] Ï. Ëàêñ, Ãèïåðáîëè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ,
ÐÕÄ, 2010. (Ãëàâà 11)
2