Гилимшина Венера Фидарисовна СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ

Ôîíä ïîääåðæêè ðîññèéñêîé ìàòåìàòèêè èì. Ëåîíàðäà
Ýéëåðà ÔÎÍÄ ÝÉËÅÐÀ
Êîíêóðñ ìîëîäûõ ìàòåìàòèêîâ 2008
Íîìèíàöèÿ: Àñïèðàíòû
Ãèëèìøèíà Âåíåðà Ôèäàðèñîâíà
ÑÒÀÁÈËÈÇÀÖÈß ÐÅØÅÍÈÉ ÍÅÐÀÂÍÎÌÅÐÍÎ
ÏÀÐÀÁÎËÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß Â
ÍÅÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÉ ÎÁËÀÑÒÈ
1
Ââåäåíèå
Ïóñòü Ω íåîãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà Rn , n ≥ 2, x ∈ Rn .
Ðàññìîòðèì â öèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòè D = {t > 0 } × Ω ëèíåéíîå ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà:
ut =
n
X
(aij (t, x)uxi )xj +
i,j=1
n
X
(1)
(bi uxi + (ci u)xi ) − d(x)u.
i=1
Íà èçìåðèìûå ñèììåòðè÷íûå êîýôôèöèåíòû aij = aji íàêëàäûâàåòñÿ óñëîâèå ïàðàáîëè÷íîñòè: ñóùåñòâóþò ïîëîæèòåëüíûå íåïðåðûâíàÿ â Ω ôóíêöèÿ
s(x) è ÷èñëî Γ òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî âåêòîðà y ∈ Rn è ïî÷òè âñåõ (t, x) ∈ D
ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà:
2
s(x)|y| ≤
n
X
(2)
aij (t, x)yi yj ≤ s(x)Γ|y|2 .
i,j=1
Íà èçìåðèìûå ìëàäøèå êîýôôèöèåíòû íàëîæåíî îãðàíè÷åíèå â âèäå
íåðàâåíñòâà
n
X
(3)
(bi (t, x) − ci (t, x))2 ≤ s(x)d(x).
i=1
Íà ãðàíèöå îáëàñòè ∂Ω çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ ïåðâîãî è òðåòüåãî òèïà:
u(t, x)
= 0;
x∈Γ1
∂u
∂N
+
n
X
ni ci u i=1
Çäåñü Γ1 , Γ2 ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà òàêèå, ÷òî Γ1 ∪ Γ2
∂u
Γ1 6= ∅; ∂N
=
n
P
(4)
= 0.
x∈Γ2
= ∂Ω è
aij uxi nj . Ïîñêîëüêó ìû áóäåì èìåòü äåëî ñ îáîáùåííûì
i,j=1
ðåøåíèåì çàäà÷è (1), (4) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì
u(0, x) = ϕ(x) ∈ L2 (Ω),
(5)
òî âîïðîñû î òîì, êàê ïîíèìàòü êîìïîíåíòû íîðìàëüíîãî âåêòîðà ê îáëàñòè
ñ ïðîèçâîëüíîé ãðàíèöåé â óñëîâèè (4) ìîæíî îñòàâèòü áåç îòâåòà.
2
Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), (4), (5) îò ãåîìåòðèè íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω.
Ïåðâûå èññëåäîâàíèÿ çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ðåøåíèÿ ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà îò ãåîìåòðèè
íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè áûëè âûïîëíåíû À.Ê.Ãóùèíûì â ðàáîòàõ [3, 4]. Äëÿ
øèðîêîãî êëàññà îáëàñòåé â íèõ äëÿ ðåøåíèÿ âòîðîé ñìåøàííîé çàäà÷è óñòàíîâëåíà îöåíêà
kϕkL1 (Ω)
√ ,
v( t)
|u(t, y)| ≤
y ∈ Ω,
ãäå v(r) = mes{y ∈ Ω : |y| < r}. Äîêàçàíà òàêæå òî÷íîñòü ýòîé îöåíêè. Áîëåå
ïîëíûå èññëåäîâàíèÿ çàâèñèìîñòè ïîâåäåíèÿ ïðè áîëüøîì çíà÷åíèè âðåìåíè ðåøåíèÿ âòîðîé ñìåøàííîé çàäà÷è îò ãåîìåòðèè îáëàñòè è îò íà÷àëüíîé
ôóíêöèè âûïîëíåíû À.Â.Ëåæíåâûì â [12]. Â.È.Óøàêîâ [19] ïîëó÷èë ðåçóëüòàòû, áëèçêèå ê ðåçóëüòàòàì À.Ê.Ãóùèíà, äëÿ òðåòüåé ñìåøàííîé çàäà÷è â
íåöèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòè. Ðàíåå â ðàáîòå [17] Ô.Õ.Ìóêìèíîâûì áûëà äîêàçàíà îöåíêà ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ðåøåíèÿ ïåðâîé ñìåøàííîé çàäà÷è â ñëó÷àå
ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà è äîêàçàíà åå òî÷íîñòü â êëàññå
íåîãðàíè÷åííûõ ìîíîòîííî ðàñøèðÿþùèõñÿ îáëàñòåé âðàùåíèÿ. Îêàçûâàåòñÿ, â øèðîêîì êëàññå îáëàñòåé òàêîé õàðàêòåðèñòèêîé ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ
ôóíêöèÿ λ(r) [17] (áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà÷àëî êîîðäèíàò ïðèíàäëåæèò Ω ):
ïðè êàæäîì r
> 0 ÷èñëî λ(r) åñòü ïåðâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå çàäà÷è
Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà −4 â Ωr = {x ∈ Ω : |x| < r},
R
λ(r) =
inf
◦
v∈W 12 (Ωr )
|∇v|2 dx
Ωr
R
|v|2 dx
,
v ∈ C0∞ (Ωr ).
Ωr
À èìåííî, â ðàáîòå [17] äîêàçàíî, ÷òî ôóíêöèÿ Ãðèíà çàäà÷è (23),(5) ñ êðàåâûì óñëîâèåì Äèðèõëå äëÿ âñåõ R > 0, y ∈ ΩR è t > 2R/
p
3
λ(2R) óäîâëåòâî-
ðÿåò îöåíêå
−n/2
max G(t, x, y) ≤ Ct
x∈Ω
r(t)2
exp −k
t
,
t = r/
p
(6)
λ(r),
c ïîëîæèòåëüíûìè ïîñòîÿííûìè C è k, çàâèñÿùèìè òîëüêî îò n è ïîñòîÿííîé
ïàðàáîëè÷íîñòè.
 ðàáîòå [2] ïîëó÷åíû òî÷íûå îöåíêè ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ðåøåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîãî è øåñòîãî ïîðÿäêà ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè
Ðèêêüå íà áîêîâîé ãðàíèöå íåîãðàíè÷åííîé öèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòè.  ðàáîòàõ [8], [18] äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âûñîêîãî ïîðÿäêà ïîëó÷åíà
îöåíêà ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ðåøåíèÿ.
Áîëåå ïîëíûé îáçîð ðåçóëüòàòîâ, ïðèìûêàþùèõ ê òåìå íàñòîÿùåé ðàáîòû, ìîæíî íàéòè â [2, 8].
Îáû÷íî â êà÷åñòâå ãåîìåòðè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêè, îïðåäåëÿþùåé ïîâåäåíèÿ ðåøåíèé ýëëèïòè÷åñêèõ èëè ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé âûáèðàåòñÿ
ïåðâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ(r) çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â
îãðàíè÷åííîì êóñêå îáëàñòè {y ∈ Ω : |y| < r} èëè µ(r) äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà íà ïîâåðõíîñòè {y ∈ Ω : |y| = r}. Íî êàê óêàçûâàëîñü â ðàáîòå [7]
îáå ýòè õàðàêòåðèñòèêè îêàçûâàþòñÿ íåóäîâëåòâîðèòåëüíûìè, åñëè ãðàíèöà
îáëàñòè íåðåãóëÿðíà.
Ïîýòîìó â íàñòîÿùåé ðàáîòå èñïîëüçóåòñÿ èíàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà îáëàñòè, ê îïèñàíèþ êîòîðîé ìû ïðèñòóïàåì.
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî íåîãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü èìååò p âåòâåé, óõîäÿùèõ íà áåñêîíå÷íîñòü, è ïðåäñòàâëåíà â âèäå îáúåäèíåíèÿ Ω =
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âëîæåííûõ Ω
∞
S
ΩN
N =0
N
⊂Ω
N +1
îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé, óäîâëå-
+1
òâîðÿþùèõ ñëåäóþùèì òðåáîâàíèÿì. Äîïîëíåíèÿ ΩN
= ΩN +1 \ ΩN ðàñN
+1
ïàäàþòñÿ íà êîíå÷íîå ÷èñëî ïîäîáëàñòåé ωiN , i = 1, ..., p : ΩN
=
N
Ïåðåñå÷åíèå (∂Ω )
N
T
p
S
i=1
ωiN .
Ω ðàñïàäàåòñÿ íà êîíå÷íîå ÷èñëî ãèïåðïîâåðõíîñòåé
4
SiN , i = 1, ...p.
N
N
N
Îïðåäåëèì âåêòîðû tN = (tN
1 , ..., tp ) è ôóíêöèè λ1 , ..., λp ôîðìóëàìè
N +1
N
tN
)è
i = dist(Si , Si
λN
i
Z
= inf{
Z
∞
n
k(x, g)dxg ∈ C0 (R \Γ1 ),
g 2 dx = 1},
ωiN
(7)
ωiN
ãäå k(x, g) = s(x)|∇g|2 + d(x)g 2 . Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî
θ > 0 òàêîå, ÷òî ïðè âñåõ N ≥ 0 âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
N 2
N
s(x) ≤ θλN
i (ti ) , i = 1, ..., p, x ∈ ωi .
Îïèñàííîå âûøå ïðåäñòàâëåíèå Ω =
∞
S
(8)
ΩN ïðè âûïîëíåíèè íåðà-
N =0
âåíñòâ (8) áóäåì íàçûâàòü λðàçáèåíèåì îáëàñòè, ñîîòâåòñòâóþùèì çàäà÷å (1), (4), (5). ( äàëüíåéøåì ïðîñòî λðàçáèåíèåì). Íàøå ïîíÿòèå λ
ðàçáèåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ λ-ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ââåäåííîãî Ë.Ì.Êîæåâíèêîâîé äëÿ îáëàñòè, èìåþùåé îäíó âåòâü, óõîäÿùóþ íà
áåñêîíå÷íîñòü ½âäîëü îñè 0x1“ , íà ñëó÷àé ìíîãèõ âåòâåé, äîñòàòî÷íî ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì óõîäÿùèõ íà áåñêîíå÷íîñòü.  ðàáîòå [8] îáëàñòè
(9)
ΩN = {x ∈ Ω|x1 < zN }
îïðåäåëÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ÷èñåë {zj }∞
j=0 , è ïðèâåäåíî ïðîñòîå óñëîâèå, íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷èñåë
òàêîé, ÷òî âûïîëíåíî òðåáîâàíèå (8) ( â ñëó÷àå ðàâíîìåðíî ïàðàáîëè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ áåç ìëàäøèõ ÷ëåíîâ, s ≡ 1). Óñëîâèå òàêîâî: äëÿ ëþáîãî r1 > 0
íàéäåòñÿ r2 > r1 òàêîå, ÷òî
Z
inf{
2
|∇g| dxg ∈ C0∞ (Ω),
Ω(r2 )\Ω(r1 )
Z
Ω(r2 )\Ω(r1 )
5
g 2 dx = 1} > 0,
(10)
ãäå Ω(r) = {x ∈ Ω | x1 < r}.
Ðàäè íåêîòîðûõ óïðîùåíèé, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
Z
0
λ = inf{
Z
∞
n
k(x, g)dxg ∈ C0 (R \Γ1 ),
g 2 dx = 1} > δ > 0.
Ω0
(11)
Ω0
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äîñòàòî÷íûì äëÿ ýòîãî ÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, óñëîâèå
Γ1 ∩ ∂Ω0 6= ∅ (ïåðåñå÷åíèå ½íåíóëåâîé ìåðû“ .) Áîëåå ïðîñòîå óñëîâèå, êàê
ïîëîæèòåëüíîñòü ôóíêöèè d, òàêæå äîñòàòî÷íî äëÿ íåðàâåíñòâà (11).
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ èìååò îãðàíè÷åííûé íîñèòåëü.
Ýòî òðåáîâàíèå ñóùåñòâåííî. Èíà÷å, êàê ïîêàçàíî â ðàáîòå [15], äëÿ ðàñøèðÿþùèõñÿ îáëàñòåé íåëüçÿ ïîëó÷èòü îöåíêó ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1)-(5) áîëåå ñèëüíóþ, ÷åì îöåíêà Íýøà [22] äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè:
n
u(t, x) = O(t− 4 ), ϕ ∈ L2 (Rn ) . Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòü, ìîæíî ñ÷èòàòü,
÷òî suppϕ ⊂ Ω0 (ïðè íåîáõîäèìîñòè, ìîæíî ñäâèíóòü íóìåðàöèþ îáëàñòåé
ΩN = ΩN +k ).
Ïîòðåáóåì, ÷òîáû äëÿ âåêòîðà c = {ci } ïðè âñåõ N = 0, 1, ... è µ òàêîì,
÷òî 2µ2 θeµ = 1, áûëè âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ
∂dist(x, SiN ) µs
−
≤ N,
∂c
ti
x ∈ ωiN , ,
(12)
i = 1, p.
Ýòî íóæíî, ÷òîáû ìëàäøèå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ (1) íå ñèëüíî èñêàæàëè óáûâàíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è, îïðåäåëÿåìîå ñòàðøèìè ïðîèçâîäíûìè. .
Îïðåäåëèì ôóíêöèþ N (t), t > 0, ðàâåíñòâîì N (t) = max{N |N ≤
λ(N )t}, λ(N ) = min{λ0 , λνi | i = 1, ...p, ν = 0, 1, ...N − 1}. ßñíî, ÷òî N (t)
íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü äëÿ îáëàñòè Ω ñóùåñòâóåò λðàçáèåíèå Ω =
∞
S
ΩN ,
N =0
óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì (8) è (11). Ïóñòü êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò (2), (3), (12) è íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ èìååò îãðàíè÷åííûé íîñèòåëü suppϕ ⊂ Ω0 . Òîãäà íàéäóòñÿ ÷èñëà χ > 0, M, òàêèå, ÷òî ðåøåíèå
6
u(t, x) çàäà÷è (1), (4), (5) ïðè t ≥ 0 è x ∈ Ω óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå
(13)
ku(t)kL2 (Ω) ≤ M exp(−χN (t))kϕkL2 (Ω) .
Çàìå÷àíèå.  ñëó÷àå ðàâíîìåðíî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà Íýøà èç (13) ïîëó÷àåì îöåíêó
n
|u(t, x)| ≤ M t− 4 kϕkL2 (Ω) exp(−χN (t/2)).
Êîíå÷íî, îöåíêà òåîðåìû ñóùåñòâåííûì îáðàçîì çàâèñèò îò ïðåäñòàâëåíèÿ Ω =
∞
S
ΩN .  ðàáîòå [8] äëÿ ñëó÷àÿ îáëàñòè Ω ñ îäíîé âåòâüþ ïðè
N =0
êðàåâûõ óñëîâèÿõ ïåðâîãî ðîäà ïîêàçàíî, ÷òî ½íàèëó÷øàÿ“ îöåíêà (13) ïîëó÷àåòñÿ ïðè ìèíèìàëüíî âîçìîæíûõ ðàññòîÿíèÿõ tN , ïðè êîòîðûõ åùå íå
íàðóøàåòñÿ óñëîâèå (8) ñ ôèêñèðîâàííûì θ.  ñëó÷àå ñî÷åòàþùèõñÿ êðàåâûõ
óñëîâèé (4) îïèñàíèå îïòèìàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ Ω =
∞
S
ΩN äëÿ ïîëó÷å-
N =0
íèÿ ½íàèëó÷øåé“ îöåíêè (13) çàòðóäíèòåëüíî, ïîñêîëüêó îíî ñóùåñòâåííûì
îáðàçîì çàâèñèò îò ½÷åðåäîâàíèÿ“ íà ãðàíèöå óñëîâèé ïåðâîãî è òðåòüåãî òèïà, êîòîðîå ìîæåò áûòü íå ðåãóëÿðíûì. Òåì íå ìåíåå, ìû ïðèâîäèì øèðîêèé
êëàññ îáëàñòåé è ðàñïðåäåëåíèé êðàåâûõ óñëîâèé, äëÿ êîòîðûõ îöåíêà (13)
òî÷íà ïî ïîðÿäêó ñòðåìëåíèÿ ê íóëþ.
Ðàññìîòðèì îáëàñòü âðàùåíèÿ
Ωf = {x ∈ Rn , x = (x1 , x0 ) |x0 | < f (x1 ), x1 > 0},
(14)
ñ ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé f (x1 ). Ñëåäóÿ [9], îïðåäåëèì Πïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{zN } èíäóêòèâíûì ðàâåíñòâîì, íà÷èíàÿ ñ ïðîèçâîëüíîãî z0 > 0 :
zN = sup{t| inf f ≥ t − zN −1 }, N = 1, ∞.
[zN −1 ,t)
Äëÿ îáëàñòåé âèäà Ωf ðàçáèåíèå Ω =
òåëüíîñòüþ ÷èñåë {zN }, Ω
∞
S
N =0
N
(15)
ΩN îïðåäåëÿåòñÿ ïîñëåäîâà-
= {x ∈ Ω | x1 < zN }. Ïðè ýòîì p = 1 è íèæíèé
7
èíäåêñ âåëè÷èí λN
i ìîæåò áûòü îïóùåí. Óñëîâèå (7) ïðèíèìàåò âèä
s(x) ≤ θλN (zN +1 − zN )2 , x ∈ ω N .
(70 )
Íèæå ïðèâîäÿòñÿ óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ Πïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿåò λðàçáèåíèå.
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü ñóùåñòâîâàíèå ïîñòîÿííîé w òàêîé, ÷òî
(16)
sup{f (z)|z ∈ [t − f (t), t + f (t)]} ≤ wf (t), t ≥ z0 .
Òîãäà (ñì. Ÿ2) ïðè íåêîòîðîì c > 1 ñïðàâåäëèâû îöåíêè
ZzN
dt
≤N ≤c
f (t)
z0
ZzN
dt
, N ≥ 0.
f (t)
(17)
z0
Ýòî íåðàâåíñòâî ïîçâîëÿåò çàìåíèòü ôóíêöèþ N (t) íà
r(t)
R
z0
äåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
Zr
dτ
f (τ ) ,
ãäå r(t) îïðå-
dτ
t
=
.
f (τ ) δ(r)
(18)
z0
Ôóíêöèÿ δ(r) îïðåäåëÿåòñÿ â òî÷êàõ zN ðàâåíñòâîì δ(zN ) = max 42j /s(zj , 0)
j=0,N −1
è ëèíåéíî èíòåðïîëèðóåòñÿ â îñòàâøèõñÿ èíòåðâàëàõ.
Ïðèìåð 1. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ îáëàñòè âèäà
e f = {x ∈ Rn | x1 > 0} \ ∪∞
Ω
i=1 S(i),
S(i) = {x ∈ Rn | x1 = i, |x0 | ≥ f (i)}, f (r) ≥ 2, ñ íåðåãóëÿðíîé ãðàíèöåé
áóäåì èñïîëüçîâàòü Πïîñëåäîâàòåëüíîñòü, îïðåäåëåííóþ ôîðìóëîé (15). Â
ýòîì ñëó÷àå íà ãðàíèöå ìû áóäåì çàäàâàòü îäíîðîäíûå óñëîâèÿ Äèðèõëå,
e f . Òîãäà ïðè s(x) ≡ 1 ⠟2 äîêàçàíî, ÷òî Πïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ò.å. Γ1 = ∂ Ω
îïðåäåëÿåò λðàçáèåíèå. Ïîýòîìó èç òåîðåìû 1 è (18) ñëåäóåò îöåíêà (ñì. Ÿ1)
Zz
ku(t)kL2 (Ω) ≤ M exp(−χ1
z0
8
dτ
).
f (τ )
(19)
Ïðèìåð 2. Ïóñòü ìíîæåñòâî Γ1 íà ãðàíèöå îáëàñòè Ωf ðàñïðåäåëåíî äîñòàòî÷íî ðåãóëÿðíî. À èìåííî, ïðåäïîëàãàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë D, δ è δ1 òàêèõ, ÷òî ïðè âñåõ b > a ≥ D, b − a ≥ min{f (a), f (b)}/2
âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà
mes P rΓ1 ∩ [a, b] ≥ δ(b − a),
(20)
ãäå "ñóùåñòâåííàÿ" ïðîåêöèÿ P rΓ1 îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
P rΓ1 = {t|mes n−2 Γ1 ∩ {x1 = t} ≥ δ1 f n−2 (t)}.
(21)
Òîãäà ïðè s(x) ≡ 1 ôîðìóëà (9) îïðåäåëÿåò λðàçáèåíèå îáëàñòè Ωf (ñì. Ÿ2).
Òà æå Πïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïðåäåëÿåò λðàçáèåíèå è â ñëó÷àå íåðàâíîìåðíî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, åñëè ïðè íåêîòîðîì C > 0 âûïîëíåíî óñëîâèå
ëîêàëüíîé ðàâíîìåðíîñòè
s(x) ≤ Cs(y),
x, y ∈ Ω1f,r , r > z0 ,
(22)
ãäå
Ωαf,r = {(x1 , x0 ) max(z0 , r − f (r)) < x1 < r + f (r), |x0 | < αf (x1 )}.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ñëó÷àå íåðàâíîìåðíî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
ïîâåäåíèå ôóíêöèè s(x) âíîñèò ñóùåñòâåííûé âêëàä â ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ
çàäà÷è (1), (4), (5). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè âçÿòü, íàïðèìåð, s(x) ≡ s(x1 ) =
f 2 (x1 ), òî ïðè ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè f áóäåì èìåòü δ(r) ∼ 1 è
ôóíêöèÿ r(t) îïðåäåëÿåòñÿ èç ðàâåíñòâà
Zr
dτ
= t,
f (τ )
z0
à îöåíêà (19) îáðåòàåò âèä
ku(t)kL2 (Ω) ≤ M exp(−χ1 t).
9
Åñëè æå s(x) ≡ 1 è f (r) =
√
r, òî δ(r) ∼ r è èç ðàâåíñòâà
Zr
dτ
t
√ =
r
r
z0
íàõîäèì r(t) ∼ t2/3 è îöåíêà (19) ïðèíèìàåò âèä
ku(t)kL2 (Ω) ≤ M exp(−χ1 t1/3 ).
 ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè äëÿ îáëàñòåé âðàùåíèÿ âèäà Ωf óñòàíîâëåíà
îöåíêà ñíèçó äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ áåç ìëàäøèõ ÷ëåíîâ
ut =
n
X
(23)
(aij (t, x)uxi )xj .
i,j=1
Òåîðåìà 2. Ïóñòü îáëàñòü Ω ñîäåðæèò îáëàñòü Ωf ⊂ Ω îïðåäåëåííóþ
ôóíêöèåé f, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ (16), è ôóíêöèÿ s(x) óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ
s(x) ≤ Cs(y),
1/2
x, y ∈ Ωf,r .
(24)
Åñëè íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ íåîòðèöàòåëüíà è ϕ 6≡ 0, òî íàéäóòñÿ ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà K, α òàêèå, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ (23), (4), (5) ïðè t ≥ 0 ñïðàâåäëèâà îöåíêà ñíèçó
ku(t)k2 ≥ αexp(−KN (t)),
(25)
ãäå ôóíêöèÿ N (t) ñòðîèòñÿ ïî Πïîñëåäîâàòåëüíîñòè {zN }∞
N =0 .
Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà 2 âûäåëÿåò óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ îöåíêà (13)
äëÿ óðàâíåíèÿ (23) â ñëó÷àå îáëàñòåé âðàùåíèÿ òî÷íà ïî ïîðÿäêó ñòðåìëåíèÿ
ðåøåíèÿ ê íóëþ. Ïîêàæåì, ÷òî îöåíêè (13) òî÷íû, â ÷àñòíîñòè, â ïðèâåäåííûõ âûøå ïðèìåðàõ 1, 2.
10
1
Ñóùåñòâîâàíèå è ñâîéñòâà îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ.
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: Dab = (a, b) × Ω, DT = D0T , D = D0∞ ,
Z
(u, w)DT =
(∇u, ∇w)S,DT =
uwdxdt,
n Z
X
s(x)uxα wxα dxdt.
α=1 T
D
DT
×åðåç kukDT áóäåì îáîçíà÷àòü íîðìó â L2 (DT ). Íà ìíîæåñòâå ñóæåíèé
íà DT ôóíêöèé èç C0∞ (Rn+1 \(0, T ) × Γ1 ) îïðåäåëèì íîðìû
kuk2H 0,1 (DT ) = kuk2DT + k∇uk2S,DT ; kuk2H 1,1 (DT ) = kuk2H 0,1 (DT ) + kut k2DT .
◦
Ñîîòâåòñòâóþùèå ïîïîëíåíèÿ ýòîãî ìíîæåñòâà îáîçíà÷èì H
◦
H
1,1
0,1
(DT ; Γ1 ) è
(DT ; Γ1 ).
Îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è (1), (4), (5) â DT áóäåì íàçûâàòü ôóíê◦
öèþ u(t, x) ∈ H
Z
DT
(DT ; Γ1 ), óäîâëåòâîðÿþùóþ èíòåãðàëüíîìó òîæäåñòâó:
!
n
n
X
X
−uvt +
aij (t, x)uxi vxj +
(ci uvxi − bi uxi v) + duv dxdt =
0,1
i,j=1
i=1
Z
=
ϕ(x)v(0, x)dx,
Ω
◦
äëÿ ëþáîé ôóíêöèè v(t, x) ∈ H
1,1
(26)
(DT ; Γ1 ) òàêîé, ÷òî v(T, x) = 0.
Ôóíêöèÿ u(t, x) ðåøåíèå çàäà÷è (1), (4), (5) â D, åñëè ïðè âñåõ T > 0
îíà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (1), (4), (5) â DT .
Îáîáùåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (1), (4), (5) â DT ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
Ñóùåñòâîâàíèå äîêàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Ãàëåðêèíà [11, c.181-186]. Åäèíñòâåííîñòü íèæå áóäåò âûâåäåíà èç ñëåäóþùåãî ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîîòíîøåíèÿ.
Óòâåðæäåíèå 1. Îáîáùåííîå ðåøåíèå u(t, x) çàäà÷è (1), (4), (5) â D íåïðåðûâíî ïî t â íîðìå ïðîñòðàíñòâà L2 (Ω) è ïðè âñåõ t ≥ 0 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
Z
Z
2
u (t, x)dx =
Ω
Ω
11
ϕ2 (x)dx−
Zt Z
−2
∇uA(τ, x)∇u −
0
n
X
!
(bi − ci )uuxi + du2 dxdτ.
(27)
i=1
Ω
Ñëó÷àé íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè íå òðåáóåò ñóùåñòâåííûõ èçìåíåíèé â
äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèÿ 1, ïðèâåäåííîì â [11] äëÿ îãðàíè÷åííîé îáëàñòè
Ω è ðàâíîìåðíî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ.
Ïîëüçóÿñü íåðàâåíñòâàìè (2), (3) èç (27) íåòðóäíî âûâåñòè ñîîòíîøåíèå
Z
u2 (t, x)dx +
Zt Z
k(x, u)dxdτ ≤
0
Ω
Z
Ω
ϕ2 (x)dx.
(28)
Ω
Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò åäèíñòâåííîñòü îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è
(1), (4), (5).
Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ðàâåíñòâî (27) ïî t, ïðè ïî÷òè âñåõ t > 0 óñòàíàâëèâàåì îöåíêó
d
dt
Z
u2 (t, x)dx ≤ −
Ω
Z
k(x, u)dx.
(29)
Ω
Îòìåòèì, ÷òî èç (7) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
λN
i
Z
g 2 dx ≤
ωiN
Z
(|∇g|2 s(x) + d(x)g 2 )dx.
(30)
ωiN
Èç îïðåäåëåíèÿ λ(N ) èìååì òàêæå íåðàâåíñòâî
Z
λ(N )
v 2 dx ≤
ΩN
Z
k(x, v)dx,
v ∈ C0∞ (Rn \Γ1 ), t > 0.
(31)
ΩN
Íèæå ìû âûâåäåì òåîðåìó 1 èç ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.
Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü äëÿ îáëàñòè Ω ñóùåñòâóåò λðàçáèåíèå Ω =
∞
S
ΩN , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì (8) è (11). Òîãäà íàéäåòñÿ ÷èñëî µ > 0
N =0
òàêîå, ÷òî îáîáùåííîå ðåøåíèå u(t, x) çàäà÷è (1), (4), (5) â D ïðè âñåõ t > 0
óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå
Z
u2 (t, x)dx ≤
Ω\ΩN
12
1 −µN
e
kϕk2 .
µ
(32)
e f , ñïðàÇàìå÷àíèå.  ñëó÷àå îáëàñòè âðàùåíèÿ Ωf , à òàêæå îáëàñòè Ω
âåäëèâà òàêæå îöåíêà
Z
eµ
2
u (t, x)dx ≤
exp(−µ
µ
Zz
dr
)kϕk2 ,
f (r)
z0
Ω\Ω(z)
âûòåêàþùàÿ èç (32) è (18).
Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì â Ω ëèïøèöåâó ôóíêöèþ ξ(x), óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì
ξ(x) = 0 ïðè x ∈ Ω0 ,
ξ(x) = 1 ïðè x ∈ Ω\ΩN ,
ξ(x) = exp(−µ(N − 1)) min(1, dist(Si0 , x)/t0i ) ïðè x ∈ ωi0 ,
ξ(x) = exp(−µ(N − ν − min(1, dist(Siν , x)/tνi ))) ïðè
x ∈ ωiν , ν = 1, N − 1; i = 1, p.
Íåòðóäíî óñòàíîâèòü ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ
|∇ξ| ≤ exp(−µ(N − 1))/t0i , ïðè x ∈ ωi0 , i = 1, p,
(33)
|∇ξ| ≤ µξ/tνi ïðè x ∈ ωiν , ν = 1, N − 1; i = 1, p.
(34)
max
ξ(x) = eµ min
ξ(x), ν = 1, N − 1.
ν+1
ν+1
Ων
Ων
max
ξ(x) = exp(−µ(N − 1)).
1
Ω
(35)
(36)
×åðåç vh (t, x) áóäåì îáîçíà÷àòü îñðåäíåíèå Ñòåêëîâà ôóíêöèè v(t, x):
1
vh (t, x) =
h
t+h
Z
v(τ, x)dτ.
t
 èíòåãðàëüíîì òîæäåñòâå (26) ïîëîæèì v = ω−h , h ≤ δ , ãäå ω(τ, x) ∈
◦
H
0,1
(Dt ) è ïðîäîëæåíà íóëåì âíå èíòåðâàëà (0, t) ⊂ (0, T − δ). Â ðåçóëüòàòå
íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:
Z
((uh )τ ω +
Dt
n
X
(aij uxi )h ωxj +
i,j=1
13
n
X
+
((ci u)h ωxi − (bi uxi )h ω) + (du)h ω)dxdτ = 0.
i=1
Ïîäñòàâèì â íåãî ω = uh (τ, x)ξ(x):
1
2
+
n
X
τ =t
Z
Ω
u2h ξ n
X
Z
dx +
Dt
τ =0
(aij uxi )h (uh ξ)xj +
i,j=1
!
((ci u)h (uh ξ)xi − (bi uxi )h (uh ξ)) + (du)h (uh ξ) dxdτ = 0.
i=1
◦
Èç ïðèíàäëåæíîñòè ôóíêöèè u ïðîñòðàíñòâó H 0,1 (DT , Γ1 ) ïî ëåììå èç [11,
ñ.101] ñëåäóåò, ÷òî å¼ îñðåäíåíèå Ñòåêëîâà uh ñõîäèòñÿ ïðè h → 0 ê ñàìîé
◦
ôóíêöèè ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà H 0,1 (DT −δ , Γ1 ). Ïåðåéäÿ â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè h → 0, ïîëó÷èì:
1
2
n
X
Z
Dt
aij uxi (uξ)xj +
i,j=1
n
X
Z
Ω
τ =t
u2 ξ dx+
τ =0
!
((ci u)(uξ)xi − (bi uxi )(uξ)) + du2 ξ
dxdτ = 0.
i=1
Äàëåå, èñïîëüçóÿ óñëîâèå ïàðàáîëè÷íîñòè, óñòàíàâëèâàåì, ÷òî:
1
2
Z
Ω
τ =t
Z
2 u ξ dx + (s(x)ξ|∇u|2 + d(x)u2 ξ)dxdτ ≤
τ =0
Dt
Z Z
Γs(x)|u∇u||∇ξ|dxdτ +
Dt
∂ξ
ξ|c − b||u∇u| − u2
dxdτ.
∂c
(37)
Dt
Èñïîëüçóÿ (33), (34), îöåíèì ïðàâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà:
Z tZ
Z
s|u∇u∇ξ|dxdτ =
s|u∇u||∇ξ|dxdτ +
0
Dt
≤
p
X
i=1

Zt Z


0 ωi0
N
−1 Z t
X
ν=1
Ω10
eµ
s|u∇u| µN 0 dxdτ +
e ti
14
Zt N
−1 Z
X
0
ν=1 ω ν
i
0
Z
s|u∇u||∇ξ|dxdτ
Ων+1
ν

s|u∇u|
µξ

dxdτ  .
ν
ti
(38)
Óñòàíîâèì ñîîòíîøåíèÿ
Z
ωiν
√
s(x)|u∇u|
dx
≤
θ
tνi
Z
k(x, u)dx, ν = 0, N − 1; i = 1, p.
(39)
ωiν
Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèÿìè (8):
Z
ωiν
s(x)|u∇u|
dx ≤
tνi
Z
≤
Âûáðàâ ε =
√
Z
εs(x)|∇u|2
dx +
2
ωiν
Z
ωiν
εs(x)|∇u|2
dx +
2
ωiν
Z
s(x)u2
dx ≤
2(tνi )2 ε
θu2 λνi
dx.
2ε
ωiν
θ, ïîëüçóÿñü (30), ïîëó÷àåì (39). Ââèäó (35), èç (39) ñëåäóåò
òàêæå íåðàâåíñòâî
Z
ωiν
Î÷åâèäíû ðàâåíñòâà
√
ξs|u∇u|
µ
dx
≤
e
θ
tνi
∂ξ
∂c
=
Z
ξ|k(x, u)|2 dx.
0
(39)
ωiν
µξ ∂
ν
tνi ∂c dist(Si , x),
x ∈ ωiν , ν = 1, N − 1. Ïîëüçóÿñü
óñëîâèÿìè (12), äåéñòâóÿ êàê ïðè âûâîäå (39)0 çàïèøåì íåðàâåíñòâà
Z
−
u
2 ∂ξ
∂c
dx ≤ µ
ωiν
2
Z
ωiν
s(x)u2 ξ
dx ≤ θµ2 eµ
ν
2
(ti )
Z
ξk(x, u)dx.
(40)
ωiν
∂ξ
1
∂
= 0 exp(−µ(N − 1) dist(Si0 , x), x ∈ ωi0 ,
∂c ti
∂c
i = 1, p. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó, óñòàíàâëèâàåì ñîîòíîøåíèå
Z
Z
∂ξ
− u2 dx ≤ θµe−µ(N −1) k(x, u)dx.
∂c
Ïðè ν = 0 èìååì ðàâåíñòâà
ωi0
ωi0
0
Ïîñêîëüêó ξϕ ≡ 0, òî ïîëüçóÿñü (38), (39), (39) è ïîñëåäíèì, íåòðóäíî ïðèâåñòè (37) ê âèäó
1
2
Z
Ω
1
ξu2 (t, x)dx +
2
Zt Z
0
15
Ω
ξ|k(x, u)|2 dxdτ ≤
eµ
≤ θµ[ µN
e
Zt Z
k(x, u)dxdτ + µ
N
−1
X
eµ
i=1
0 Ω10
Zt Z
ξ|k(x, u)|2 dxdτ ].
0 Ωi+1
i
Áëàãîäàðÿ âûáîðó ÷èñëà µ, ïîëó÷àåì
1
2
Z
e−µN
ξu2 (t, x) ≤
2µ
Zt Z
k(x, u)dxdτ.
0 Ω10
Ω
Ïðèìåíèâ ê îöåíêå ïðàâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíèå (28), íàõîäèì, ÷òî
1
2
Z
e−µN
ξu (t, x)dx ≤
kϕk2 .
2µ
2
Ω
Îòñþäà, ïîñêîëüêó ξ = 1 ïðè x ∈ Ω\ΩN , ïîëó÷àåì (32).
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1. Ïóñòü N (t0 ) ≥ 2. Òîãäà äëÿ ëþáîãî t ≥ t0
âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî N (t) ≥ 2. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå t ≥ t0 è N ≥ 2.
Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 2, ïîëó÷èì
Z
2
Z
u (τ, x)dx ≤
Ω
u2 (τ, x)dx + µ−1 e−µN kϕk2 .
ΩN
Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå ε(N ) = µ−1 e−µN kϕk2 , áóäåì èìåòü
Z
u2 (τ, x)dx − ε(N ) ≤
Ω
Z
u2 (τ, x)dx.
ΩN
Ñîåäèíÿÿ (29) ñ (31) è ïðåäûäóùèì íåðàâåíñòâîì, ïîëó÷èì
dE(τ )
≤ −λ(N ) (E(τ ) − ε(N )) , τ > 0.
dτ
Îòñþäà
E(τ ) ≤ ε(N ) + E(0)e−τ λ(N ) , τ > 0.
Âçÿâ τ = t è çàìåòèâ, ÷òî E(0) = kϕk2 , áóäåì èìåòü ïðè âñåõ N ≥ 2
E(t) ≤ µ−1 e−µN kϕk2 + e−tλ(N ) kϕk2 .
16
(41)
Ïîëàãàÿ N = N (t) è ñ÷èòàÿ µ ≤ 1, óñòàíàâëèâàåì íåðàâåíñòâî
E(t) ≤ (µ−1 + 1) exp(−µN (t))kϕk2 ,
ñîâïàäàþùåå ñ îöåíêîé òåîðåìû.
Çàìåòèì, ÷òî èç íåðàâåíñòâà (8) ñëåäóåò, ÷òî
s(zj , 0)
1
=
.
2
4j
δ(zN )
j=0,N −1
λ(N ) = min λj ≥ min
j=0,N −1
Ïîýòîìó èç (41) è (18) ñëåäóåò îöåíêà
−1
−µ
E(t) ≤ (µ e
zRN
z0
dτ
f (τ )
− δ(zt
+e
N)
)kϕk2 .
(42)
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîñëåäíÿÿ îöåíêà îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé è ïðè çàìåíå zN
íà ëþáîå z ≥ z0 , íî âîçìîæíî, ñ äðóãèì êîýôôèöèåíòîì â ïîêàçàòåëå. Ïîýòîìó èç (42) ñëåäóåò (19).
2
Ñóùåñòâîâàíèå λðàçáèåíèÿ.
Ïóñòü Ωf îáëàñòü âðàùåíèÿ è {zN } Πïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ìû ïî-
êàæåì, ÷òî ôîðìóëà (9) îïðåäåëÿåò ðàçáèåíèå îáëàñòè, ñíà÷àëà äëÿ ðàâíîìåðíî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè ðàçíûõ òèïîâ, à
çàòåì äëÿ óðàâíåíèÿ, âûðîæäàþùåãîñÿ íà ãðàíèöå îáëàñòè, â ñëó÷àå êðàåâîãî óñëîâèÿ Äèðèõëå.
Îöåíèì êîëåáàíèå ôóíêöèè f íà îòðåçêå [zN , zN +1 ]. Ïóñòü tN òî÷êà ìèíèìóìà ôóíêöèè f (t) íà îòðåçêå [zN , zN +1 ]. Ñóùåñòâîâàíèå òî÷êè ìèíèìóìà
ñëåäóåò èç çàìêíóòîñòè íàäãðàôèêà ôóíêöèè f . Î÷åâèäíî èç îïðåäåëåíèÿ
(15) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {zN }, ÷òî
f (tN ) ≤ zN +1 − zN ,
ïðè ýòîì íåðàâåíñòâî âîçìîæíî ëèøü ïðè tN = zN +1 . Ïîêàæåì, ÷òî
17
(43)
zN +1 − zN ≤ f (t) ≤ w2 f (tN ), t ∈ [zN , zN +1 ).
(44)
Ëåâîå íåðàâåíñòâî ñðàçó ñëåäóåò èç (15). Ïóñòü t∗ ∈ (zN , zN +1 ) òî÷êà èç
ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè tN . Èç (16) ëåãêî ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî
εN > 0, ÷òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
f (t) ≤ wf (t∗ ), t ∈ [zN − εN , zN +1 + εN ].
(45)
Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî f (t∗ ) ≤ wf (tN ). Íåðàâåíñòâà (17) ïðè c = ω 2 ÿâëÿþòñÿ
ïðîñòûì ñëåäñòâèåì (43),(44).
Ïîêàæåì åùå, ÷òî äëÿ Πïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå
1
zN +2 − zN +1
≤
≤ ω,
ω
zN +1 − zN
ω ≥ 1,
N = 0, ∞
(46)
ñ ω = ω 2 . Ïðè ïîìîùè (43),(44),(45) óñòàíîâèì íåðàâåíñòâà
zN +1 − zN
f (tN )
1
≥
≥ 2,
zN − zN −1
f (zN − εN ) ω
zN +1 − zN
f (zN + εN −1 )
≤
≤ ω2,
zN − zN −1
f (tN −1 )
äîêàçûâàþùèå (46).
Äîêàæåì, òåïåðü, ÷òî Πïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîñòðîåííàÿ ïî ôîðìóëå
e f , åñëè f (r) ≥ 2. Èç
(15) ÿâëÿåòñÿ λïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ äëÿ îáëàñòè Ω
(43),(44) ñëåäóåò, ÷òî
min f (i) ≤ ω 2 (zj+1 − zj ). Â òàêîé ñèòóàöèè â ðàáîòå
i∈[zj ,zj+1 ]
[6] äîêàçàíî íåðàâåíñòâî
Z
2
4
2
Z
g dx ≤ (3 + 4ω )(zj+1 − zj )
z
|∇g|2 dx,
z
e f )zj+1
(Ω
j
e f )zj+1
(Ω
j
êîòîðîå ïðè s ≡ 1 è θ = 3 + 4ω 4 îáåñïå÷èâàåò ñïðàâåäëèâîñòü (8).
Óñòàíîâèì äâà âñïîìîãàòåëüíûõ íåðàâåíñòâà.
18
Ïóñòü E ⊂ [a, b] èçìåðèìîå ïîäìíîæåñòâî è v ∈ C 1 [a, b]. Òîãäà
Zb
2(b − a)
v 2 (t)dt ≤
mes E
Z
a
v 2 (t)dt + 4(b − a)2
Zb
2
v 0 (t)dt.
(47)
a
E
Äåéñòâèòåëüíî, èç ôîðìóëû Íüþòîíà-Ëåéáíèöà ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî
v 2 (t) − v 2 (s) ≤
Zb
2|vv 0 |dτ,
t, s ∈ (a, b).
a
Ïðîèíòåãðèðóåì ýòî ñíà÷àëà ïî s ∈ E , çàòåì ïî t ∈ [a, b]. Ïîëó÷èì
Zb
mes E
v 2 (t)dt ≤ (b − a)
a
Z
v 2 (s)ds + (b − a)mes E
Zb
a
E
Ïðèìåíèâ íåðàâåíñòâî 2|vv 0 | ≤
v2
2(b−a)
2|vv 0 |ds.
+ 2v 0 2 (b − a), âûâîäèì (47).
Ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî äëÿ øàðà Bρ è åãî èçìåðèìîãî ïîäìíîæåñòâà E
ÿâëÿåòñÿ ìíîãîìåðíûì àíàëîãîì (47) äëÿ ôóíêöèè v ∈ C 1 (Bρ ) :
Z
mes Bρ
v (x)dx ≤
mes E
2
Bρ
Z
2 mes
2
Bρ
v (x)dx + C(n)ρ
mes 2 E
2
E
Z
|∇v|2 dx.
(48)
Bρ
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðè ïðîèçâîëüíûõ x, y ∈ Bρ çàïèøåì ñîîòíîøåíèå
|x−y|
Z
u(y) − u(x) =
y−x
∂u(x + rω)
dr, ω =
,
∂r
|y − x|
0
ãäå (r, ω) ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû ñ öåíòðîì â òî÷êå x. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç
χ(r, ω) õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ øàðà Bρ , çàïèøåì íåðàâåíñòâî
Z2ρ
|u(x)| ≤ |u(y)| +
χ|∇u(x + rω)|dr.
0
Ïðîèíòåãðèðóåì åãî ïî y ∈ E
Z
|u(x)|mes E ≤
Z2ρ
Z
|u(y)|dy +
E
dy
E
19
χ|∇u(x + rω)|dr
0
è îöåíèì ñâåðõó ïðàâóþ ÷àñòü ñëåäóþùèì îáðàçîì
Z2ρ
Z
Z2ρ
χ|∇u(x + rω)|dr ≤
dy
0
E
τ n−1 dτ
0
Z2ρ
=
τ
n−1
dω
dτ
χ|∇u(x + rω)|dr =
0
S1
(2ρ)n
|∇u(ξ)|dξ
=
rn−1
n
Z
0
Z2ρ
Z
Z
|∇u(ξ)|dξ
.
|x − ξ|n−1
Bρ
Bρ
Ïîëó÷èâøååñÿ íåðàâåíñòâî
(2ρ)n
|u(y)|dy +
n
Z
|u(x)|mes E ≤
E
Z
|∇u(ξ)|dξ
|x − ξ|n−1
Bρ
ïðîèíòåãðèðóåì ïî x ∈ Bρ :
Z
Z
|u(x)|dx ≤ mes Bρ
mes E
Bρ
(2ρ)n
|u(y)|dy +
n
E
Z
Z
|∇u(ξ)|dξ
Bρ
dx
.
|x − ξ|n−1
Bρ
Î÷åâèäíî, ÷òî
n
Z
(2ρ)
dx
≤ 2ρmes B2ρ .
|x − ξ|n−1
Bρ
Ïîýòîìó

Z
mes Bρ 
|u(x)|dx ≤

mes E

Z
(2ρ)n
|u(y)|dy +
ρ
n
E
Bρ
Z

|∇u(ξ)|dξ  .
Bρ
Ïîëîæèâ òåïåðü u = v 2 è ïðèìåíèâ íåðàâåíñòâî |∇u| = 2|v∇v| ≤ εv 2 +
ε−1 |∇v|2 , ïîëó÷èì (48).
Ïåðåéäåì ê îöåíêå âåëè÷èíû λN
1 ñíèçó. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî äëÿ ìíîæåñòâ P r(N ) = P rΓ1 ∩ [zN , zN +1 ] ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
mes P r(N ) ≥ δ(zN +1 − zN )/2, N = 0, ∞.
(49)
Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, tN < (zN +1 + zN )/2. Òîãäà zN +1 − tN ≥ (zN +1 −
zN )/2 ≥ f (tN )/2. Ïîýòîìó èç (20) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
mes [tN , zN +1 ] ∩ P rΓ1 ≥ δ(zN +1 − tN ),
20
äîêàçûâàþùåå (49). Ïðè tN ≥ (zN +1 +zN )/2 (49) óñòàíàâëèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå t ∈ P r(N ). Çàïèøåì ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî â
öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ äëÿ ôóíêöèè v ∈ C0∞ (Rn \Γ1 )
Zf (t)
Zf (t)
rn−2 v 2 (t, r, ω)dr ≤ λ−1 f 2 (t)
rn−2 vr2 (t, r, ω)dr.
0
(50)
0
Çäåñü ω òàêàÿ "óãëîâàÿ" êîîðäèíàòà, ÷òî (t, f (t), ω) ∈ Γ1 . Ìíîæåñòâî òàêèõ
ω îáîçíà÷èì ÷åðåç Et0 . Î÷åâèäíî, ÷òî â êà÷åñòâå λ ìîæíî âçÿòü ïåðâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà â åäèíè÷íîì øàðå ðàçìåðíîñòè n − 1
ñ óñëîâèåì Äèðèõëå íà ãðàíèöå. ×åðåç Et îáîçíà÷èì ñëåäóþùåå ìíîæåñòâî
Et = {(t, r, ω)|0 < r < f (t), ω ∈ Et0 }.
Ïîëîæèì òàêæå St = {(t, x0 )| |x0 | < f (t)}. Èíòåãðèðóÿ (50) ïî ω ∈ Et0 , óñòàíàâëèâàåì íåðàâåíñòâî
Z
v 2 (t, x0 )dx0 ≤ λ−1 f 2 (t)
Et
Z
vr2 (t, x0 )dx0 .
(51)
Et
Ïîëüçóÿñü (21) íàõîäèì, ÷òî
mes St
mes Et
≤
σn−2
δ1 ,
ãäå σn−2 ïëîùàäü åäèíè÷íîé
ñôåðû. Íåðàâåíñòâî (48) äëÿ St è Et çàïèøåòñÿ â âèäå
Z
σn−2
v 2 (t, x0 )dx0 ≤ 2
δ1
St
Z
Et
σ2
v 2 (t, x0 )dx0 + C(n)f 2 (t) n−2
δ12
Z
|∇v(t, x0 )|2 dx0
St
Ñîåäèíÿÿ ýòî ñ (51) óñòàíàâëèâàåì, ÷òî
Z
St
C1 (n)
v 2 (t, x0 )dx0 ≤ f 2 (t) 2
δ1
Z
|∇v(t, x0 )|2 dx0
(52)
St
Çàïèøåì òåïåðü íåðàâåíñòâî (47) â âèäå
zZN +1
2(zN +1 − zN )
v 2 (t, x0 )dt ≤
mes P r(N )
zN
Z
v 2 (t, x0 )dt + 4(zN +1 − zN )2
zZN +1
vt2 (t, x0 )dt.
zN
P r(N )
21
Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå ïî x0 ∈ B(N ) = {|x0 | < f (tN )}, ó÷èòûâàÿ (49) è ïðèìåíÿÿ (52),(44), íåòðóäíî óñòàíîâèòü, ÷òî
Z
C1 (n)w4 f 2 (tN )
v (x)dx ≤
δδ12
2
[zN ,zN +1 ]×B(N )
Z
2
2
Z
|∇v| dx+4(zN +1 −zN )
ω1N
vt2 dx (53)
ω1N
ft = {(t, x0 ) ∈ St |x0 ∈ B(N )}
Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî (48) íà ýòîò ðàç äëÿ St è E
è ó÷òåì (44):
Z
2
0
0
Z
v (t, x )dx ≤ F
St
0
2
0
2
4 2
Z
v (t, x )dx + C(n)F w f (tN )
|∇v(t, x0 )|2 dx0 .
St
ft
E
Çäåñü â êà÷åñòâå F ìîæíî âçÿòü F = w2n−2 . Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî t è
ïðèìåíåíèÿ íåðàâåíñòâà (53) áóäåì èìåòü
Z
2
v dx ≤
ω1N
F
C1 (n)f (tN )w ( 2 + F 2 ) + 4(zN +1 − zN )2
δδ1
2
4
Z
|∇v|2 dx.
ω1N
Ââèäó íåðàâåíñòâà (43), îòñþäà ñëåäóåò îöåíêà
1 ≤ θ(zN +1 − zN )2 λN
1 .
Ïîñêîëüêó î÷åâèäíî, ÷òî zN +1 − zN = dist(S N , S N +1 ), òî ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî äîêàçûâàåò, ÷òî ΩN äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ λðàçáèåíèåì ïðè s = 1.
Ïîñêîëüêó èç (44) ñëåäóåò âêëþ÷åíèå [zN , zN +1 ] ⊂ [zN , zN + f (zN )], òî ΩN
îñòàíåòñÿ λðàçáèåíèåì è ïðè s, óäîâëåòâîðÿþùåì óñëîâèþ (22).
3
Îöåíêà ñíèçó.
Íàïîìíèì íåðàâåíñòâî Ãàðíàêà, óñòàíîâëåííîå Þ.Ìîçåðîì â [21] äëÿ
ðàâíîìåðíî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
uτ =
n
X
(e
aij (τ, x)uxi )xj .
i,j=1
22
Ñôîðìóëèðóåì åãî â óäîáíîì äëÿ íàñ âèäå: äëÿ íåîòðèöàòåëüíîãî â öèëèíäðå
Q = (0, 9ρ2 ] × B(2ρ, w) ⊂ Rn+1 ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
b min u(τ, x),
max
u(τ, x) ≤ H
−
+
Q
Q
b ≥ 1 çàâèñèò òîëüêî îò n è êîíñòàíò ïàðàáîëè÷íîñòè
â êîòîðîì ïîñòîÿííàÿ H
óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà.
 íàøåì ñëó÷àå êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (23) âìåñòî ðàâíîìåðíîé ïàðàáîëè÷íîñòè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (2). Åñëè ïðè ýòîì äëÿ ëþáûõ òî÷åê
x, y â øàðå B(2ρ, w) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (24), òî íåðàâåíñòâî Ãàðíàêà ñîõðàíÿåòñÿ, ïðàâäà, â íåñêîëüêî èçìåíåííîì âèäå. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëîæèì
m = inf s(x). Òîãäà, ïîäåëèâ óðàâíåíèå (23) íà m è ñäåëàâ çàìåíó τ = mt,
B(2ρ,w)
ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ e
aαβ = aαβ /m.
2
|y| ≤
n
X
e
aαβ (x)yα yβ ≤ CΓ|y|2 .
α,β=1
Îòìåòèì, ÷òî ïðè ïåðåõîäå îò τ ê t ïðèâåäåííûå âûøå öèëèíäðû èçìåíÿþòñÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîì
9ρ2
Qm = (0,
] × B(ρ, w),
m
ρ2 2ρ2
−
] × B(ρ, w),
Qm = [ ,
m m
8ρ2 9ρ2
Q+
=
[
,
] × B(ρ, w).
m
m m
Ëåììà 3. Ïóñòü Π = {(x1 , x0 ) ∈ Rn | 0 < x1 < 1, |x0 | < h}öèëèíäð,
M = Π ∪ B(2ρ; (ρ, 0)) ∪ B(2ρ; (1 − ρ, 0)), ρ < h/4. Ïóñòü äëÿ òî÷åê x, y
èç M âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (24). Òîãäà íàéäóòñÿ ÷èñëà T ≥ δ 2 , H > 0
b = (0, ∞) × M ðåøåíèå u(t, x) óðàâíåíèÿ
òàêèå, ÷òî íåîòðèöàòåëüíîå â D
(23) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
T ρ2
u(t, (0, 0)) ≤ Hu(t +
, (1, 0)),
m
23
ρ2
t> ,
m
(54)
ãäå m = inf s(x), sup s(x) ≤ Cm. Íåðàâåíñòâî (54) ñîõðàíÿåòñÿ òàêæå ïðè
M
M
ãîìîòåòèÿõ è òðàíñëÿöèÿõ ìíîæåñòâà M.
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó óñëîâèÿ ëåììû, öèëèíäð Qm ñ w = (ρ, 0)
b . Ïîëîæèì t0 =
ëåæèò â D
ρ2
m,
t1 =
8ρ2
m +t0 ,
v0 = (0, 0), v1 = (2ρ, 0). Î÷åâèäíî,
+
÷òî (t0 , v0 ) ∈ Q−
m è (t1 , v1 ) ∈ Qm . Òîãäà, ïî íåðàâåíñòâó Ãàðíàêà, èìååì:
b min u(t, x) ≤ Hu(t
b 1 , v1 ).
u(t0 , v0 ) ≤ max
u(t, x) ≤ H
−
+
Qm
Qm
Äàëåå ñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êàñàþùèõñÿ øàðîâ B(ρi , wi ) ñ ðàäèóñàìè
ρi ≤ ρ, ïåðâûì è ïîñëåäíèì èç êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, øàðû
B(ρ; (ρ, 0)) è B(ρ; (1 − ρ, 0)). Ïðè ïåðåõîäå ê î÷åðåäíîìó öèëèíäðó ïðîèñõîäèò ïîäúåì ïî âðåìåíè íà âåëè÷èíó
P
8ρ2
m .
Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî îáùèé ïîäúåì
8ρ2 /m < δ −2 ρ2 /m, òî, íàäñòàâëÿÿ íåêîòîðûå öèëèíäðû äðóã íà äðóãîì
áåç ñäâèãà âïðàâî, äîáèâàåìñÿ âûïîëíåíèÿ ïðîòèâîïîëîæíîãî íåðàâåíñòâà.
Ëåììà äîêàçàíà.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2. Ïîëîæèì ρ =
h
ω,
mj+1 =
inf
Qj ∪Qj+1
s(x),
Qj = {x = (x1 , x0 ) ∈ Rn | x1 ∈ [zj , zj+1 ), |x0 | < h(zj+1 − zj )}, ρj = ρ(zj+1 −
zj ), vj = (zj , 0), t0 =
ρ20
m0 ,
tj+1 = tj +
T ρ2
mj+1 ,
j = 0, ∞.
Óñòàíîâèì ñîîòíîøåíèÿ
(ρj )2
tj ≥
,
mj
Äåéñòâèòåëüíî, ïî ëåììå 3, T ≥ ω 2 è ïî óñëîâèþ (46)
tj+1
(55)
j = 0, ∞.
ρj+1
ρj
≤ ω, ïîýòîìó
δ −2 ρ2j
T ρ2j
(ρj+1 )2
≥
≥
.
= tj +
mj+1
mj+1
mj+1
Ïîëüçóÿñü (55) è óñëîâèÿìè òåîðåìû, óñòàíàâëèâàåì ïðèìåíèìîñòü
íåðàâåíñòâà ëåììû 3 äëÿ ïàð (tj , vj ), (tj+1 , vj+1 ), j = 0, ∞. Èìååì íåðàâåíñòâà
u(tj , vj ) ≤ Hu(tj+1 , vj+1 ).
24
(56)
Çàôèêñèðóåì íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî t > t0 è ïîëîæèì N =
N (t).Ïóñòü λ(N ) = λr ïðè íåêîòîðîì r ≥ 0. Äàëåå ïîëîæèì
8ρ2r
tj = tr +
(j − r),
mr+1
ρj = ρr ,
vj = vr ,
j = r + 1, ∞.
Î÷åâèäíî, äëÿ ïàð (tj , vj ), (tj+1 , vj+1 ), j = r, ∞, âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
(56). Îáîçíà÷èì ÷åðåç p ïåðâûé íîìåð, íà÷èíàÿ ñ p ≥ r + 1, äëÿ êîòîðîãî
tp ≥ t. Òîãäà, ïî íåðàâåíñòâó Ãàðíàêà è (56),
min
(x,y)∈B(ρr ,vr )
u(tp , x) ≥ H −p u(t0 , z0 , 0).
(57)
Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
tmr+1
p = r + (p − r) ≤ N + 1 +
8ρ2r
≤N +1+
ts(x)
,
8ρ2 (zr+1 − zr )2
(58)
ãäå x ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èç Ωr+2
r . Ïîëüçóÿñü íåðàâåíñòâîì (8) è îïðåäåëåíèåì ôóíêöèè N (t), âûâîäèì îöåíêó
p≤N +1+
tθλr
θ(N + 1)
θ
≤
N
+
1
+
≤
(N
(t)
+
1)(1
+
).
8ρ2
8ρ2
8ρ2
(59)
Èç óòâåðæäåíèÿ 1 âûòåêàåò ìîíîòîííîå íåâîçðàñòàíèå ôóíêöèè E(t) ≡
ku(t)k, t ≥ 0. Îòñþäà çàêëþ÷àåì ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùèõ íåðàâåíñòâ
Z
Z
2
u (t, x)dx ≥ u2 (tp , x)dx ≥
Ω
Z
Ω
u2 (tp , x)dx ≥ C1
≥
min
x∈B(ρr ,vr )
u2 (tp , x)ρnr .
B(ρr ,vr )
Ïðè ïîìîùè (57), (59), äëÿ âñåõ t > t0 ïîëó÷àåì
ku(t)k2 ≥ C1 ρ2r u2 (t0 , z0 , 0)H −p = C2 ρ2r u2 exp(−K(N (t) + 1)),
ãäå K = (1 +
θ
8ρ2 )lnH.
Ïîñêîëüêó
ρ2r
ρ2
ρ2
= ρ (zr+1 − zr ) ≥ r ≥ , òî
θλ
θλ
2
ku(t)k2 ≥ αe−KN (t) .
25
2
Íåðàâåíñòâî (25) òåîðåìû äîêàçàíî.
Ïðèìåíÿÿ ê ñîîòíîøåíèÿì (58) îïðåäåëåíèå δ(r) è (18), ïîëó÷èì
Zzr
p≤
dτ
t
+1+ 2
.
f (τ )
8ρ δ(zr )
z0
Äàëåå, ïîëüçóÿñü ïîñëåäíèì íåðàâåíñòâîì, óñòàíàâëèâàåì
2
ku(t)k ≥
C1 ρ2r u2 (t0 , z0 , 0)H −p
=
Rzr dτ
2 2
C2 ρr u exp(−( f (τ )
z0
+1+
t
8ρ2 δ(zr ) )).
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì îöåíêó
Zz
ku(t)kL2 (Ω) ≥ m exp(−χ1
dτ
).
f (τ )
(60)
z0
Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ ïðèçíàòåëüíîñòü è áëàãîäàðíîñòü íàó÷íîìó
ðóêîâîäèòåëþ ïðîôåññîðó Ô.Õ.Ìóêìèíîâó çà öåííûå ñîâåòû, ïîñòîÿííîå
âíèìàíèå ê ðàáîòå è ïîääåðæêó.
26
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Àêóëîâ Â.Ô., Øèøêîâ À.Å. //Ìàò. ñá. 1991. Ò.182. 8. Ñ. 12001210.
[2] Áèêêóëîâ È.Ì., Ìóêìèíîâ Ô.Õ. Î ñòàáèëèçàöèè íîðìû ðåøåíèÿ îäíîé
ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé 4-ãî è 6-ãî ïîðÿäêîâ â
íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè // Ìàòåì. ñá. 2004. Ò.195. 3. Ñ. 115142.
[3] Ãóùèí À.Ê. Îá îöåíêàõ ðåøåíèé êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà // Òðóäû ìàòåì. èí-òà ÀÍ ÑÑÑÐ èì. Â.À.
Ñòåêëîâà. 1973. Ò.126. Ñ. 545.
[4] Ãóùèí À.Ê. Ñòàáèëèçàöèÿ ðåøåíèé âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà // Ìàòåì. ñá. 1976. Ò. 101(143). Ñ.
459499.
[5] Ãóùèí À.Ê. Î âíóòðåííåé ãëàäêîñòè ðåøåíèé ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé
âòîðîãî ïîðÿäêà // Ñèá. ìàò. æóðí. 2005. Ò. 46. 5. Ñ. 1036-1052
[6] Ãèëèìøèíà Â.Ô., Êóëüñàðèíà Í.À. Òî÷íàÿ îöåíêà ñêîðîñòè óáûâàíèÿ
ðåøåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ïðè t → ∞. //
Èçâ.âóçîâ 2007. Ò. 4(539). Ñ. 35-44.
[7] Êîæåâíèêîâà Ë.Ì., Ìóêìèíîâ Ô.Õ. Îöåíêè ñêîðîñòè ñòàáèëèçàöèè ïðè
t → ∞ ðåøåíèÿ ïåðâîé ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ êâàçèëèíåéíîé ñèñòåìû
ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà // Ìàòåì. ñá. 2000. Ò. 191.
2. Ñ. 91131.
[8] Êîæåâíèêîâà Ë.Ì. Ñòàáèëèçàöèÿ ðåøåíèÿ ïåðâîé ñìåøàííîé çàäà÷è
äëÿ ýâîëþöèîííîãî êâàçèýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ // Ìàòåì. ñá. 2005.
7. Ñ. 67-100.
27
[9] Êîæåâíèêîâà Ë.Ì. Këàññû åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèé ïåðâîé ñìåøàííîé
çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ ut = Au c êâàçèýëëèïòè÷åñêèì îïåðàòîðîì A â
íåîãðàíè÷åííûõ îáëàñòÿõ // Ìàò. ñá. 2007. Ò.198. 1. C. 59-102.
[10] Êîíäðàòüåâ Â.À., Ýéäåëüìàí Ñ.Ä. Î ñâîéñòâàõ ðåøåíèé ëèíåéíûõ ýâîëþöèîííûõ ñèñòåì ñ ýëëèïòè÷åñêîé ïðîñòðàíñòâåííîé ÷àñòüþ. // Ìàòåì.
ñá. 1970. Ò. 81(123). Ñ. 398-429.
[11] Ëàäûæåíñêàÿ Î.À., Ñîëîííèêîâ Â.À., Óðàëüöåâà Í.Í. Ëèíåéíûå è êâàçèëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà. Ì.: Íàóêà, 1967. 736 ñ.
[12] Ëåæíåâ À.Â. Î ïîâåäåíèè ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ âðåìåíè íåîòðèöàòåëüíûõ ðåøåíèé âòðîé ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ // Ìàòåì. ñá. 1986. Ò.129. 2. Ñ. 186200.
[13] Ìèõàéëîâ Â. Ï. Î ñóùåñòâîâàíèè ãðàíè÷íîãî çíà÷åíèÿ ó áèãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé // Ìàò. ñá. 2004. Ò.195. 12. Ñ. 81-94
[14] Ìèõàéëîâ Â. Ï. Î ñóùåñòâîâàíèè ãðàíè÷íîãî çíà÷åíèÿ ó ïîëèãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè //Ñèá. ìàò. æóðí. 2005. Ò.46. 5. C. 1125-1137
[15] Ìóêìèíîâ Ô.Õ. Ñòàáèëèçàöèÿ ðåøåíèé ïåðâîé ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ
ñèñòåìû óðàâíåíèé Íàâüå-Ñòîêñà: Äèñ. äîêò. ôèç.-ìàòåì. íàóê. Ì.: ÌÈÐÀÍ, 1994. 225 ñ.
[16] Ìóêìèíîâ Ô.Õ. Îá óáûâàíèè íîðìû ðåøåíèÿ ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ
ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âûñîêîãî ïîðÿäêà // Äèôôåðåíö. óðàâíåíèÿ.
1987. Ò. 23. 10. Ñ. 11721180.
[17] Ìóêìèíîâ Ô.Õ. Ñòàáèëèçàöèÿ ðåøåíèé ïåðâîé ñìåøàííîé çàäà÷è
äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà // Ìàòåì. ñá. 1980.
Ò.111(153). 4. Ñ. 503521.
28
[18] Òåäååâ À.Ô. Ñòàáèëèçàöèÿ ðåøåíèé ïåðâîé ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ êâàçèëèíåéíîãî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âûñîêîãî ïîðÿäêà // Äèôôåðåíö.
óðàâåíèÿ. 1989. T. 25. 3. Ñ. 491498.
[19] Óøàêîâ Â.È. Ñòàáèëèçàöèÿ ðåøåíèé òðåòüåé ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ â íåöèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòè // Ìàòåì. cá.
1980. Ò.111(153). Ñ. 95115.
[20] Õèñàìóòäèíîâà Í.À. Ñòàáèëèçàöèÿ ðåøåíèÿ äâóìåðíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé Íàâüå-Ñòîêñà â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè ñ íåñêîëüêèìè âûõîäàìè
íà áåñêîíå÷íîñòü // Ìàòåì. ñá. 2003. Ò.194. 3. Ñ. 83114.
[21] Moser J.A. Harnack inequality for parabolic dierential eqnarrays // Comm.
Pure Appl. Math. 1964. V. 17. 1. P. 101134.
[22] Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic eqnarrays//Amer. J.
Math. - 1958. - V.80. - P. 931-953.
[23] Õàðäè Ã.Ã., Ëèòòëüâóä Äæ.Å., Ïîëèà Ã. Íåðàâåíñòâà . Ì.: Èçäàòåëüñòâî èíîñòðàííîé ëèòåðàòóðû, 1948. 456 ñ.
29