rus - Механико-математический факультет

1866
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÁÎÐÍÈÊ
Òîì 0, 0
ÓÄÊ 517.97
Ë. Â. Ëîêóöèåâñêèé
Ãàìèëüòîíîâîñòü ïîòîêà îñîáûõ òðàåêòîðèé
Ïðèíöèï ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà ñâîäèò çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ê èçó÷åíèþ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ÎÄÓ ñ ðàçðûâíîé ïðàâîé ÷àñòüþ.
Îïòèìàëüíûé ñèíòåç ýòî ñîâîêóïíîñòü ðåøåíèé ýòîé ñèñòåìû ñ ôèêñèðîâàííûì êîíå÷íûì (èëè íà÷àëüíûì) óñëîâèåì, îäíîçíà÷íî ïîêðûâàþùèõ íåêîòîðóþ îáëàñòü ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Îïðåäåëÿþùóþ ðîëü ïðè
ïîñòðîåíèè îïòèìàëüíîãî ñèíòåçà èãðàþò îñîáûå òðàåêòîðèè òðàåêòîðèè, èäóùèå âäîëü ïîâåðõíîñòè N ðàçðûâà ïðàâîé ÷àñòè ãàìèëüòîíîâîé
ñèñòåìû ÎÄÓ. Öåëü ðàáîòû äîêàçàòü, ÷òî ñîâîêóïíîñòü îñîáûõ òðàåêòîðèé îáðàçóåò ãàìèëüòîíîâ ïîòîê íà íåêîòîðîì ïîäìíîãîîáðàçèè â N . Â
ðàáîòå â òîì ÷èñëå äîêàçàíî, ÷òî ïîòîê îñîáûõ òðàåêòîðèé â çàäà÷å óïðàâëåíèÿ íàìàãíè÷åííûì âîë÷êîì Ëàãðàíæà â ïåðåìåííîì ìàãíèòíîì ïîëå
ÿâëÿåòñÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìûì ïî Ëèóâèëëþ è âêëþ÷àåòñÿ â ïîòîê íåêîòîðîé ñóïåðèíòåãðèðóåìîé ãëàäêîé ãàìèëüòîíîé ñèñòåìû â îáúåìëþùåì
ïðîñòðàíñòâå.
Áèáëèîãðàôèÿ: 17 íàçâàíèé.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: îñîáûå òðàåêòîðèè, îñîáûå ýêñòðåìàëè, ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû, èíòåãðèðóåìûå è ñóïåðèíòåãðèðóåìûå ñèñòåìû, âîë÷îê
Ëàãðàíæà.
Ÿ 1. Ââåäåíèå
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ïðèíöèï ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà ñâîäèò ðåøåíèå çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ê íàõîæäåíèþ ðåøåíèé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû
ÎÄÓ. Ãàìèëüòîíèàí
H ýòîé ñèñòåìû ÷àñòî ÿâëÿåòñÿ íåãëàäêèì, à ïðàâàÿ ÷àñòü
ñèñòåìû, ñîîòâåòñòâåííî, òåðïèò ðàçðûâ íà íåêîòîðîì ñòðàòèôèöèðîâàííîì
ìíîãîîáðàçèè
N.
Ïóñòü
N1
ñòðàòà
÷òî ïðåäåë ïîëÿ ñêîðîñòåé ñèñòåìû
N êîðàçìåðíîñòè 1. Íåòðóäíî ïîêàçàòü,
ξ ìîæåò èìåòü íà N1 â ñèëó ãàìèëüòîíî-
âîñòè ëèøü òàíãåíöèàëüíûé ñêà÷îê. Áîëüøèíñòâî òðàåêòîðèé ñèñòåìû ïåðåñåêàåò
N1
ñòîðîí îò
òðàíñâåðñàëüíî, îäíàêî, â íåêîòîðûé òî÷êàõ ïðåäåë ïîëÿ
N1
ñòàíîâèòñÿ êàñàòåëüíûì ê
òîðèè ñèñòåìû, öåëèêîì ëåæàùèå â
N1 .
N1 .
ξ
ñ îáåèõ
 ýòîì ñëó÷àå âîçíèêàþò òðàåê-
Èõ ïðèíÿòî íàçûâàòü îñîáûìè.
 îñíîâå èññëåäîâàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ ãëàäêîé ñèñòåìû ÎÄÓ ëåæèò
èçó÷åíèå îñîáûõ òî÷åê è ïðåäåëüíûõ öèêëîâ ñèñòåìû. Àíàëîãè÷íî, îñîáûå òðàåêòîðèè ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ ðàçðûâíîé ïðàâîé ÷àñòüþ, îáû÷íî èãðàþò
êëþ÷åâóþ ðîëü ïðè ïîñòðîåíèè ïîëíîãî ôàçîâîãî ïîðòðåòà.
Âî-ïåðâûõ, èõ
ñðàâíèòåëüíî íåòðóäíî íàõîäèòü ñ ïîìîùüþ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ãàìèëüòîíèàíà ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà. Âî-âòîðûõ, îñîáûå òðàåêòîðèè îïðåäåëÿþò ñòðîåíèå ïîëÿ íåîñîáûõ òðàåêòîðèé â ñâîåé îêðåñòíîñòè.
 îãðîìíîì
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíòû N 11-01-00986-à è N 13-01-00642).
c
Ë. Â. Ëîêóöèåâñêèé,
2013
2
Ë. Â. ËÎÊÓÖÈÅÂÑÊÈÉ
ñïåêòðå çàäà÷ óäàåòñÿ äîêàçàòü òàê íàçûâàåìóþ òåîðåìó î ìàãèñòðàëè, ò.å.
ïîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ îïòèìàëüíàÿ òðàåêòîðèÿ çà êîíå÷íîå âðåìÿ âûõîäèò íà
1
îñîáóþ òðàåêòîðèþ , è äàëåå îïòèìàëüíîå äâèæåíèå ïðîäîëæàåòñÿ âäîëü îñîáîé òðàåêòîðèè (ñì. [1]).
Äîñòàòî÷íî ìíîãî ðàáîò ïîñâÿùåíî èçó÷åíèþ îïòèìàëüíîñòè îñîáûõ òðàåêòîðèé.
Èçâåñòíû êàê íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ (ñì.
[2, 3, 4]) òàê è äîñòàòî÷íûå
óñëîâèÿ (ñì. [5]) âòîðîãî ïîðÿäêà. Íàèáîëåå óïîòðåáèìóþ ôîðìó ýòè óñëîâèÿ
ïðèíèìàþò â çàäà÷àõ ñóáðèìàíîâîé ãåîìåòðèè (ñì. [6]).
Äàííàÿ ðàáîòà, îäíàêî, ïîñâÿùåíà íå èññëåäîâàíèþ ñâîéñòâ îäíîé îòäåëüíî
âçÿòîé îñîáîé òðàåêòîðèè, íî èçó÷åíèþ ïîòîêà âñåõ îñîáûõ òðàåêòîðèé ñèñòåìû â öåëîì. Äîêàçàíà òåîðåìà î òîì, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ îñîáûõ òðàåêòîðèé
îáðàçóåò ñèìïëåêòè÷åñêîå ïîäìíîãîîáðàçèå
ìèëüòîíîâûì îòíîñèòåëüíî îãðàíè÷åíèÿ
H
S , à èõ ïîòîê íà S ÿâëÿåòñÿ ãàS .  êà÷åñòâå ïðèëîæåíèÿ ýòîé
íà
òåîðåìû ⠟6 äîêàçàíî, ÷òî ïîòîê îñîáûõ òðàåêòîðèé â çàäà÷å îïòèìàëüíîãî
óïðàâëåíèÿ âîë÷êîì Ëàãðàíæà â ïåðåìåííîì ìàãíèòíîì ïîëå ÿâëÿåòñÿ âïîëíå
èíòåãðèðóåìûì ïî Ëèóâèëëþ íà
S
è âêëþ÷àåòñÿ â ïîòîê íåêîòîðîé ñóïåðèí-
òåãðèðóåìîé ãëàäêîé ãàìèëüòîíîé ñèñòåìû â îáúåìëþùåì ïðîñòðàíñòâå.
Ñ ïîíÿòèåì îñîáîé òðàåêòîðèè òåñíî ñâÿçàíî ïîíÿòèå ïîðÿäêà, õàðàêòåðèçóþùåãî, â êàêîì-òî ñìûñëå, ñòåïåíü âûðîæäåíèÿ ñèñòåìû. Åñòü äâà êëàññè÷åñêèõ îïðåäåëåíèÿ îïðåäåëåíèå ëîêàëüíîãî ïîðÿäêà òðàåêòîðèè (local order)
è îïðåäåëåíèå ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà ñèñòåìû (intrinsic order, ñì. [7]). Ïåðâîå
îïðåäåëåíèå äàåò õîðîøèå èíñòðóìåíòû äëÿ èññëåäîâàíèÿ îïòèìàëüíîñòè îäíîé îòäåëüíîé îñîáîé òðàåêòîðèè, è ðàáîòàåò â áîëüøèíñòâå êîíêðåòíûõ çàäà÷.
Âòîðîå îïðåäåëåíèå, íàïðîòèâ ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ íå ðàáî÷èì, íî óæ åñëè åãî
ìîæíî ïðèìåíèòü â êàêîé-òî çàäà÷å, òî îíî ïîçâîëÿåò íå òîëüêî ñôîðìóëèðîâàòü íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè îñîáîé òðàåêòîðèè
óäîáíûì îáðàçîì â òåðìèíàõ ñêîáîê Ïóàññîíà, íî è äàåò âîçìîæíîñòü èññëåäîâàòü ïîâåäåíèå íåîñîáûõ òðàåêòîðèé â îêðåñòíîñòè îñîáîé òðàåêòîðèè. Íàïðèìåð, õîðîøî èçâåñòíà òåîðåìà î íåâîçìîæíîñòè ðåãóëÿðíîãî ñîïðÿæåíèÿ
íåîñîáîé òðàåêòîðèè ñ îñîáîé òðàåêòîðèåé ÷åòíîãî ïîðÿäêà (ñì. [8]), âåðíàÿ â
òåðìèíàõ ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà, è, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíàÿ â òåðìèíàõ ëîêàëüíîãî ïîðÿäêà (ñì. [7]).
 ñòàòüå ïðåäëîæåíî íîâîå, íàèáîëåå åñòåñòâåííîå íà âçãëÿä àâòîðà, îïðåäåëåíèå ïîðÿäêà îñîáîé òðàåêòîðèè. Îíî íå òðåáóåò (îáû÷íî íåóäîáíîãî) äèôôåðåíöèðîâàíèÿ óïðàâëÿþùåãî ïàðàìåòðà (â îòëè÷èå îò ëîêàëüíîãî ïîðÿäêà)
è íå òðåáóåò êîììóòèðîâàíèÿ ñåðèè ãàìèëüòîíèàíîâ (â îòëè÷èå îò ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà).
Ïðè ýòîì îíî ñî÷åòàåò â ñåáå äîñòîèíñòâà îáîèõ êëàññè÷åñêèõ
îïðåäåëåíèé. À èìåííî, íîâîå îïðåäåëåíèå, âî-ïåðâûõ, ïîçâîëÿåò èçó÷àòü îïòèìàëüíîñòü îñîáîé òðàåêòîðèè è ïîâåäåíèå íåîñîáûõ òðàåêòîðèé â åå îêðåñòíîñòè, èñïîëüçóÿ ãàìèëüòîíîâ ôîðìàëèçì è àëãåáðû Ëè ñêîáîê Ïóàññîíà (êàê
è îïðåäåëåíèå ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà), à, âî-âòîðûõ, îíî ðàáîòàåò â áîëüøèíñòâå
êîíêðåòíûõ çàäà÷ (êàê è îïðåäåëåíèå ëîêàëüíîãî ïðÿäêà). Òåîðåìà î ãàìèëüòîíîâîñòè îñîáîãî ïîòîêà äîêàçàíà â òåðìèíàõ íîâîãî îïðåäåëåíèÿ ïîðÿäêà,
1 Åäèíñòâåííîñòü
ðåøåíèÿ òåðÿåòñÿ â îêðåñòíîñòè îñîáûõ òðàåêòîðèé, ñì. Ÿ2.
3
ÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÎÑÒÜ ÏÎÒÎÊÀ ÎÑÎÁÛÕ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ
õîòÿ âåðíà è â áîëåå îãðàíè÷èòåëüíîì ñëó÷àå ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà.  òåðìèíàõ íîâîãî îïðåäåëåíèÿ òàêæå äîêàçàíà òåîðåìà î ñîïðÿæåíèè, îáîáùàþùàÿ
êëàññè÷åñêóþ òåîðåìó î ñîïðÿæåíèè.
Ÿ 2. Ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû ñ íåãëàäêèì ãàìèëüòîíèàíîì
M 2n-ìåðíîå ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå ñ ñèìïëåêòè÷åñêîé
ω ∈ Λ2 (M). ×åðåç iω îáîçíà÷èì êàíîíè÷åñêèé èçîìîðôèçì iω :
∗
T M → T M, èíäóöèðîâàííûé ôîðìîé3 ω . Â ñòàòüå èññëåäóþòñÿ ñèñòåìû
Ïóñòü
ôîðìîé
2
ñ êóñî÷íî-ãëàäêèìè ãàìèëüòîíèàíàìè. Ñèñòåìà ÎÄÓ, îïðåäåëÿåìûõ êóñî÷íîãëàäêèì ãàìèëüòîíèàíîì, èìååò ðàçðûâíóþ ïðàâóþ ÷àñòü. Ïîýòîìó ìû íà÷íåì
ñ îáùåïðèíÿòîãî îïðåäåëåíèÿ òðàåêòîðèè òàêîé ñèñòåìû, êîòîðîå ñîâïàäàåò â
òî÷êàõ ãëàäêîñòè ãàìèëüòîíèàíà ñ êëàññè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì äëÿ ãëàäêèõ
ñèñòåì ÎÄÓ.
Ïóñòü
H
íåïðåðûâíûé, êóñî÷íî-ãëàäêèé ãàìèëüòîíèàí, ñ ìíîæåñòâîì
òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîé ïðîèçâîäíîé (ò.å.
ìíîæåñòâî òî÷åê íåãëàäêîñòè
ðàçèåì
M,
N
H ∈ C ∞ (M \ N )
è
H ∈ C 0 (M)),
N
ãäå
ÿâëÿåòñÿ ñòðàòèôèöèðîâàííûì ïîäìíîãîîá-
íå ñîäåðæàùåå ñòðàòîâ ïîëíîé ðàçìåðíîñòè
2n.
x(t) ÿâëÿåòñÿ òðàåêH, åñëè äëÿ ïî÷òè âñåõ t âûïîëíåíî äèô∗
ôåðåíöèàëüíîå âêëþ÷åíèå ẋ(t) ∈ iω K(x(t)), ãäå K(x0 ) ⊆ Tx M íàèìåíüøåå
0
âûïóêëîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå âñå ïðåäåëüíûå òî÷êè dH(x) ïðè
x → x0 .
Îïðåäåëåíèå 1. Àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ òðàåêòîðèÿ
òîðèåé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì
Òàêîå îïðåäåëåíèå ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå òðàåêòîðèè (ïîäðîáíåå ïðî
ñèñòåìû ÎÄÓ ñ ðàçðûâíîé ïðàâîé ÷àñòüþ ñì.
[9]).
Åäèíñòâåííîñòü îäíàêî
òåðÿåòñÿ. ×àñòî âñòðå÷àþòñÿ ñëó÷àè, êîãäà ñóùåñòâóþò òðàåêòîðèè, öåëèêîì
N . Ïðè÷åì â êàæäóþ òî÷êó òàêîé òðàåêòîðèè âõîäÿò òðàåêòîðèè
íå ëåæàùèå â N (è âûõîäÿò èç íåå). ×òîáû íàãëÿäíî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü ýòîò
ëåæàùèå â
ôåíîìåí ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêèé
H = − 12 q 2 + |p| (ñì ðèñ. 1) êóñî÷íî-ãëàäêèé ãàìèëüòîíèàí ñ ïîâåðõíîñòüþ íåãëàäêîñòè p = 0. Òðàåêòî2
ðèÿ ìîæåò âîéòè â íà÷àëî êîîðäèíàò ïî îäíîé èç âåòâåé p = −q sign q , ïðîÏðèìåð 1. Ïóñòü
M = R2 , x = (q, p)
è
ñòîÿòü â íà÷àëå êîîðäèíàò ëþáîå âðåìÿ (â òîì ÷èñëå áåñêîíå÷íîå) è âûéòè ïî
îäíîé èç âåòâåé
íî.
p = q 2 sign q .
Âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ ðåøåíèå åäèíñòâåí-
Ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíà òðàåêòîðèÿ
N = {(q, p) : p = 0}
ïðè âñåõ
q(t) = p(t) = 0,
êîòîðàÿ îñòàåòñÿ â
t.
Îïðåäåëåíèå 2. Òðàåêòîðèþ
x(t), t ∈ (t0 , t1 ), áóäåì íàçûâàòü
x(t) ∈ N ïðè t ∈ (t0 , t1 ).
îñîáîé, åñëè
îíà ëåæèò íà ìíîæåñòâå òî÷åê ðàçðûâà
2 Òî åñòü ω(x) íåâûðîæäåííàÿ êîñîñèììåòðè÷åñêàÿ ôîðìà íà êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå
Tx M.  êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (q, p) ôîðìà ω ïðèíèìàåò âèä ω = dp ∧ dq .
3  êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (q, p) èçîìîðôèçì i ïðèíèìàåò âèä i : dH 7→ (H 0 , −H 0 ) =
ω
ω
p
q
sgrad H
4
Ë. Â. ËÎÊÓÖÈÅÂÑÊÈÉ
Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ïîâåäåíèå îñîáûõ
òðàåêòîðèé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû íà ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà
H êîðàçìåðíîñòè 1. ÏðåäV òî÷êè x0 ∈ N
ïîëîæèì, ÷òî â îêðåñòíîñòè
ìíîæåñòâî
N
ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ãèïåðïîâåðõ-
V íà äâå îáëàñòè Ω1 è
Ω2 . Ïóñòü H|Ωi = Hi , i = 1, 2, è Hi ãëàäêî
ïðîäîëæàþòñÿ â îêðåñòíîñòü Ωi . Òîãäà ãàìèëüòîíèàí H â îêðåñòíîñòè x0 çàäàåòñÿ îäíîñòüþ, ðàçáèâàþùåé
íèì èç äâóõ ñîîòíîøåíèé
H = max(H1 , H2 ),
èëè
Ðèñ. 1.
Ôàçîâûé
ïîðòðåò ïîòîêà èç
ïðèìåðà 1
H = min(H1 , H2 ).
Ïî äðóãîìó ìîæíî çàïèñàòü òàê:
H = H + Gu
1
1
2 (H1 + H2 ), G = 2 (H1 − H2 ), à u = 1 â Ω1 è u = −1 â Ω2 (èëè
4
íàîáîðîò) . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî dG(x0 ) 6= 0 ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû N áûëî
ãäå
H =
ãëàäêèì ìíîãîîáðàçèåì â îêðåñòíîñòè
x0 ∈ N .
Ÿ 3. Ïîðÿäîê îñîáîé òðàåêòîðèè
Ñ ïîíÿòèåì îñîáîé òðàåêòîðèè òåñíî ñâÿçàíî ïîíÿòèå åå ïîðÿäêà, êîòîðûé, â êàêîì-òî ñìûñëå, îïðåäåëÿåò ñòåïåíü âûðîæäåíèÿ ñèñòåìû â îêðåñòíîñòè îñîáîé òðàåêòîðèè. Ñóùåñòâóåò äâà íåñîâïàäàþùèõ êëàññè÷åñêèõ îïðåäåëåíèÿ ïîðÿäêà: òàê íàçûâàåìûé ëîêàëüíûé ïîðÿäîê òðàåêòîðèè è ãëîáàëüíûé (intrinsic) ïîðÿäîê ñèñòåìû (ñì.
∂
∂u
d
dt
k−1
∂ H
∂u
ïðè
[7]).
Íàïîìíèì èõ.
Îáîçíà÷èì
5
Ak =
k > 1.
x(t) íåêîòîðàÿ îñîáàÿ òðàåêòîðèÿ è k1 ïåðâûé
Ak íå îáðàùàåòñÿ â 0 íà îñîáîé òðàåêòîðèè x(t). Ïî òåîðåìå
Êýëëè-Êîïïà-Ìîéåðà (ñì. [2]) k1 äîëæíî áûòü ÷åòíî èëè áåñêîíå÷íî. ×èñëî
hloc = k1 /2 íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíûì ïîðÿäêîì îñîáîé òðàåêòîðèè x(t).
Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü
íîìåð, ïðè êîòîðîì
Îïðåäåëåíèå 4. Ïóñòü
k2
ïåðâûé íîìåð, ïðè êîòîðîì
òîæäåñòâåííî íóëåâîé ôóíêöèåé â
íî áûòü ÷åòíî èëè áåñêîíå÷íî.
ïîðÿäêîì ñèñòåìû
H = H + Gu
V.
×èñëî
â
Ak
íå ÿâëÿåòñÿ
Ïî òåîðåìå Ðîááèíñ (ñì. [10])
hglob = k2 /2
k2
äîëæ-
íàçûâàåòñÿ ãëîáàëüíûì
V.
4 Âñþäó â ýòîé ðàáîòå u ∈ [−1; 1]. Îáùèé ñëó÷àé u ∈ [a, b] íåìåäëåííî ñâîäèòñÿ ê u ∈ [−1; 1]
î÷åâèäíîé àôôèííîé çàìåíîé.
5 Ïîäîáíàÿ ôîðìà çàïèñè äîñòàòî÷íî íåóäîáíà, òàê êàê ìîæåò áûòü íåâåðíî èñòîëêîâàíà.
Ýòó çàïèñü ñëåäóåò ïîíèìàòü òàê: ñèâìîë
∂
H îáîçíà÷àåò
∂u
∂
ñèìâîë ∂u
îçíà÷àåò
G;
d
dt
k
G ÿâëÿåòñÿ ôîðìàëüíîé
ôóíêöèåé îò x, u, u̇, ü è ò.ä. Ëåâûé
ôîðìàëüíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå
ïî u. Â äàííîé ñòàòüå àâòîð íàìåðåííî ñòàðàåòñÿ èçáåãàòü ïîäîáíîé ôîðìû çàïèñè è íå
èñïîëüçóåò åå íè ôîðìóëèðîâêàõ íè â äîêàçàòåëüñòâàõ, âî èçáåæàíèå ïóòàíèöû.
5
ÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÎÑÒÜ ÏÎÒÎÊÀ ÎÑÎÁÛÕ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ
Ãëîáàëüíûé ïîðÿäîê âñåãäà ìåíüøå èëè ðàâåí ëîêàëüíîãî ïîðÿäêà.
Èñ-
ïîëüçîâàíèå ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà ñèñòåìû ïîçâîëÿåò âûïèñûâàòü íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ è îòûñêèâàòü îñîáûå òðàåêòîðèè â òåðìèíàõ ñêîáîê Ïóàññîíà,
÷òî î÷åíü óäîáíî è ïðè êîíêðåòíîì ñ÷åòå è ïðè òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ.
Òî÷íåå, åñëè ñèñòåìà èìååò ãëîáàëüíûé ïîðÿäîê
h = hglob < ∞,
òî íà ëþáîé
òðàåêòîðèè âûïîëíåíî
k
d
G = (ad H)k G,
dt 2h
d
G = (ad H)2h G + {G, (ad H)2h−1 G}u,
dt
ïðè
k < 2h;
ïðè
k = 2h.
(3.1)
{H, G} = (ad H)G îáîçíà÷åíà ñêîáêà Ïóàññîíà6 ôóíêöèé H
2h−1
è G: {H, G} = ω(iω dH, iω dG). Òàêèì îáðàçîì, A2h = {G, (ad H)
G}. Åñëè
ïðè ýòîì A2h 6= 0 íà îñîáîé òðàåêòîðèè (ò.å. åå ëîêàëüíûé ïîðÿäîê ñîâïàäàåò ñ
ãëîáàëüíûì, hloc = hglob ), òî ôîðìóëû (3.1) ïîçâîëÿþò ëåãêî íàõîäèòü óïðàâÇäåñü è äàëåå ÷åðåç
ëåíèå íà îñîáîé òðàåêòîðèè. Áîëåå òîãî, ñ èõ ïîìîùüþ ìîæåò áûòü äîêàçàíà
òåîðåìà î ñîïðÿæåíèè: åñëè
h = hglob
÷åòíî,
2|h,
è íà îñîáîé òðàåêòîðèè âû-
ïîëíåíî óñèëåííîå îáîáùåííîå óñëîâèå Ëåæàíäðà-Êëåáøà
(−1)h A2h < 0,
òî â
òî÷êå ñòûêîâêè ýòîé îñîáîé òðàåêòîðèè ñ ëþáîé íåîñîáîé óïðàâëåíèå íà ïîñëåäíåé îáÿçàíî èìåòü ðàçðûâ âòîðîãî ðîäà (ñì. [8]). Îñîáûå òðàåêòîðèè, íà
êîòîðûõ
A2h = 0
(òàêèå òðàåêòîðèè ïðèíÿòî íàçûâàòü àíîðìàëüíûìè), íåâîç-
ìîæíî èññëåäîâàòü ñ ïîìîùüþ îïðåäåëåíèÿ ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà.
Ëîêàëüíûé ïîðÿäîê íàïðîòèâ íå ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü Ãàìèëüòîíîâ ôîðìàëèçì. Îäíàêî, â áîëüøîì êîëè÷åñòâå çàäà÷, ëîêàëüíûé ïîðÿäîê ëþáîé îñîáîé òðàåêòîðèè ñòðîãî áîëüøå ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà ñèñòåìû (â òàêèõ ñëó÷àÿõ
ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îïðåäåëåíèå ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà âûðîæäàåòñÿ).
Â
ýòîì ñëó÷àå â ïîíÿòèè ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà ìàëî ñìûñëà âñå îñîáûå òðàåêòîðèè àíîðìàëüíû è èõ íåâîçìîæíî íàéòè, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (3.1). Òàêæå
â ýòîì ñëó÷àå íå ðàáîòàåò òåîðåìà î ñîïðÿæåíèè (ñì. [7]). Èñïîëüçîâàòü îïðåäåëåíèå ëîêàëüíîãî ïîðÿäêà äëÿ îòûñêàíèÿ îñîáûõ òðàåêòîðèé â ýòèõ ñëó÷àÿõ
òîæå íå î÷åíü óäîáíî, òàê êàê
öèåé îò
u, u̇, ü
Ak
ïðè
k > 2hglob
ñòàíîâèòñÿ ôîðìàëüíîé ôóíê-
è ò.ä. Â çàùèòó îïðåäåëåíèÿ ëîêàëüíîãî ïîðÿäêà ñêàæåì, ÷òî
îáîáùåííîå óñëîâèå Ëåæàíäðà-Êëåáøà (ñì. [2]) ôîðìóëèðóåòñÿ î÷åíü ïðîñòî
7
äàæå äëÿ àíîðìàëüíûõ îñîáûõ òðàåêòîðèé :
(−1)
hloc
A2hloc = (−1)
hloc
∂
∂u
d
dt
2hloc −1
∂
H60
∂u
 ýòîé ñòàòüå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ìîäèôèöèðîâàííîå îïðåäåëåíèå ïîðÿäêà, ñî÷åòàþùåå â ñåáå êà÷åñòâà îáîèõ ñòàíäàðòíûõ îïðåäåëåíèé, è áóäåì íàçûâàòü åãî íàòóðàëüíûì ïîðÿäêîì âî èçáåæàíèå ïóòàíèöû. Âî-ïåðâûõ, íîâîå
îïðåäåëåíèå ïîðÿäêà ïîçâîëÿåò áåç òðóäà èñïîëüçîâàòü Ãàìèëüòîíîâ ôîðìàëèçì, à âî-âòîðûõ, â áîëüøèíñòâå êîíêðåòíûõ ïðèìåðîâ, â êîòîðûõ ëîêàëüíûé
6  êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (q, p) ñêîáêà Ïóàññîíà èìååò âèä {H, G} = H 0 G0 − H 0 G0 .
p q
q p
×àñòî ñêîáêó Ïóàññîíà îïðåäåëÿþò ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì.  ðàáîòå ñäåëàí èìåííî
òàêîé âûáîð çíàêîâ, òàê êàê îí ïîçâîëÿåò èçáåæàòü áîëüøîãî êîëè÷åñòâà íåíóæíûõ (−1)k .
7 Íåðàâåíñòâî ñôîðìóëèðîâàíî äëÿ ïðèíöèïà ìàêñèìóìà, ò.å. äëÿ ñëó÷àÿ u = sign G. Åñëè
æå u = − sign G, òî çíàê â íåðàâåíñòâå íåîáõîäèìî îáðàòèòü.
6
Ë. Â. ËÎÊÓÖÈÅÂÑÊÈÉ
ïîðÿäîê òðàåêòîðèé áîëüøå ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà ñèñòåìû, íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì ëîêàëüíîìó ïîðÿäêó, è âñå íåóäîáñòâà ñâÿçàííûå ñ
âû÷èñëåíèÿìè â òåðìèíàõ ëîêàëüíîãî ïîðÿäêà èñ÷åçàþò.  ðåçóëüòàòå óäàåòñÿ
ïîëó÷èòü âàæíóþ íîâóþ òåîðåìó î ãàìèëüòîíîâîñòè ïîòîêà îñîáûõ òðàåêòîðèè. Òåîðåìà î íåâîçìîæíîñòè ðåãóëÿðíîãî ñîïðÿæåíèÿ íåîñîáîé òðàåêòîðèè
è îñîáîé òðàåêòîðèåé â ñèñòåìå ÷åòíîãî ïîðÿäêà îñòàåòñÿ âåðíîé ïðè çàìåíå
ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà íà íàòóðàëüíûé.
Îïðåäåëåíèå 5. Ïóñòü
ëÿþòñÿ ñêîáêè
(ad H)m G
Sk
ïðè
îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî òî÷åê
V , â êîòîðûõ îáíó-
m = 0, 1, . . . , k − 1:
Sk = x ∈ V : G(x) = (ad H)G(x) = . . . = (ad H)k−1 G(x) = 0 .
Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ñ êóñî÷íî-ãëàäêèì ãàìèëüòîíè-
H = H + Gu èìååò â V íàòóðàëüíûé
k = 1, . . . , h − 1 âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ
àíîì
ïîðÿäîê
G, (ad H)2k−1 G = 0
íà
h ∈ N,
åñëè äëÿ âñåõ
S2k
(3.2)
8
à òàêæå
G, (ad H)2h−1 G =
6 0
â ëþáîé òî÷êå èç
Åñëè æå ðàâåíñòâà (3.2) âûïîëíåíû äëÿ âñåõ
ñèñòåìû ðàâåí
k ∈ N,
S2h .
òî íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê
∞.
Ëåãêî óáåäèòñÿ, ÷òî
ëîêàëüíûé ïîðÿäîê
> íàòóðàëüíûé
ïîðÿäîê
Ïðàâîå íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî, òàê êàê
1.
â
> ãëîáàëüíûé
ïîðÿäîê.
{G, (ad H)k G} ≡ 0, åñëè k 6 2hglob −
A2hglob 6= 0 â V (ò.å. àíîðìàëüíûõ îñîáûõ òðàåêòîðèé
h = hglob = hloc . Îäíàêî ïîäîáíóþ ñèòóàöèþ ìîæíî íàçâàòü
Áîëåå òîãî, åñëè
V
íåò), òî
âåçåíèåì. Ëåâîå íåðàâåíñòâî áóäåò äîêàçàíî â äàëüíåéøåì è áóäåò ïîêàçàíî,
÷òî åñëè ñèñòåìà èìååò íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê
ëþáîé îñîáîé òðàåêòîðèè â
V
òîæå ðàâåí
h
h
â
V,
òî ëîêàëüíûé ïîðÿäîê
(ñì. çàìå÷àíèå 5).
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîÿñíèòü äàííîå îïðåäåëåíèå è ïðîäåìîíñòðèðîâàòü ðàçíèöó ìåæäó ðàçëè÷íûìè îïðåäåëåíèÿìè ïîðÿäêîâ ïðîâåäåì ïîäðîáíîå èññëåäî9
âàíèå ìîäèôèöèðîâàííîé çàäà÷è Ôóëëåðà .
8 Åñëè
â êàêèõ-òî òî÷êàõ èç S2h (íî íå âî âñåõ) ñêîáêà G, (ad H)2h−1 G îáíóëÿåòñÿ (îáî0 ), òî â V íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê íå îïðåäåëåí. Íî
çíà÷èì ìíîæåñòâî òàêèõ òî÷åê ÷åðåç S2h
0 ñèñòåìà èìååò íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê ðàâíûé h. Â ñèòóàöèè îáùåãî ïîëîæåíèÿ
â V \ S2h
0 = dim S
0
dim S2h
2h − 1. Íà ìíîæåñòâå S2h âîîáùå ãîâîðÿ ìîãóò ëåæàòü àíîðìàëüíûå îñîáûå
òðàåêòîðèè, ëîêàëüíûé ïîðÿäîê êîòîðûõ áîëüøå h.
9 Ïîäðîáíåå ïðî çàäà÷ó Ôóëëåðà, è âîîáùå ïðî îñîáûå ýêñòðåìàëè âòîðîãî ãëîáàëüíîãî
ïîðÿäêà, ñì. [11].
7
ÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÎÑÒÜ ÏÎÒÎÊÀ ÎÑÎÁÛÕ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ
Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè èíòåãðàëà
Z
T
x2 dt → min
0
ñ íåêîòîðûìè íà÷àëüíûìè è êîíå÷íûìè óñëîâèÿìè, êîòîðûå íåñóùåñòâåííû
10
äëÿ äàëüíåéøåãî, è ïðè îãðàíè÷åíèè íà âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ
|ẍ| 6 |1 + x|.
 êëàññè÷åñêîé çàäà÷å Ôóëëåðà, ïðåäûäóùåå óñëîâèå íåìíîãî äðóãîå:
1.
Ïîýòîìó ïðè
x
è
ẋ
|ẍ| 6
áëèçêèõ ê íà÷àëó êîîðäèíàò, ýòà çàäà÷à (â êàêîì-òî
ñìûñëå) íå ñèëüíî îòëè÷àåòñÿ îò çàäà÷è Ôóëëåðà. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðèíöèïîì
ìàêñèìóìà Ïîíðÿãèíà: ïóñòü
ê
q1 , q2 .
Òîãäà
q1 = x, q2 = ẋ, à p1 , p2 ñîïðÿæåííûå ïåðåìåííûå
11
1
H = − q12 + p1 q2 + p2 (1 + q1 )u
2
è óïðàâëåíèå
u
âûáèðàåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò çíàêà ïðîèçâåäåíèÿ
p2 (1 + q1 ).
Ïîëó÷àåì
1
H = − q12 + p1 q2 ;
2
è
G = p2 (1 + q1 ).
G. Ïîýòîìó ìíîæåñòâî
p2 (1 + q1 ) = 0 è íå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ìíîãîîáðàçèåì.
Òðàåêòîðèÿ ÿâëÿåòñÿ îñîáîé, åñëè íà íåé îáíóëÿåòñÿ
S1
îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì
Ïðÿìûå âû÷èñëåíèÿ äàþò
0=
d
G = {H, G} + {G, G}u = {H, G} = p2 q2 − p1 (1 + q1 ).
dt
è
d
{H, G} = {H, {H, G}} + {G, {H, G}}u
dt
Ïîñêîëüêó A2 = {G, {H, G}} = 2p2 (1 + q1 ) 6≡ 0, òî ñèñòåìà èìååò ïåðâûé ãëîáàëüíûé ïîðÿäîê â ëþáîé îòêðûòîé îáëàñòè V , hglob = 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
ïîñêîëüêó ñêîáêà {G, {H, G}} = 2G îáíóëÿåòñÿ íà ëþáîé îñîáîé òðàåêòîðèè,
òî ëîêàëüíûé ïîðÿäîê ëþáîé îñîáîé òðàåêòîðèè íå ìåíüøå äâóõ, hloc > 2. Òî
0=
åñòü îïðåäåëåíèå ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà â ýòîé çàäà÷å âûðîæäàåòñÿ. Îïðåäåëåíèå íàòóðàëüíîãî ïîðÿäêà íàïðîòèâ ðàáîòàåò: ïîñêîëüêó
{G, {H, G}}|S2 = 0,
òî íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê ñèñòåìû òîæå, êàê è ëîêàëüíûé ïîðÿäîê, íå ìåíüøå
äâóõ,
h > 2.
Íàéäåì îñîáûå òðàåêòîðèè, èõ ëîêàëüíûå ïîðÿäêè è íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê
ñèñòåìû â èõ îêðåñòíîñòè. Èòàê,

(ad H)2 G = −q1 (1 + q1 ) − 2p1 q2 ; {G, (ad H)2 G} = 2{H, G};


 (ad H)3 G = −q (1 + 4q );
{G, (ad H)3 G} = −(1 + q1 )(1 + 4q1 );
2
1
4
2
(ad H) G = −4q2 ;
{G, (ad H)4 G} = −4q2 (1 + q1 ).


 (ad H)k G ≡ {G, (ad H)k G} ≡ 0 ïðè k > 5
10 Êàê
îáû÷íî, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî x ∈ C 1 è ẋ ∈ AC .
ñ÷èòàòü, ÷òî λ0 = − 12 .
11 Áóäåò
8
Ë. Â. ËÎÊÓÖÈÅÂÑÊÈÉ
Ïîñêîëüêó
{G, (ad H)G}|S2 = 0
è
{G, (ad H)2 G}|S3 = 0,
òî íà ëþáîé îñîáîé
òðàåêòîðèè âûïîëíåíî
 d
G



dt 2



 d
G
dt 3
d

G


dt 

4

 d
G
dt
= (ad H)G,
= (ad H)2 G,
= (ad H)3 G,
= (ad H)4 G + {G, (ad H)3 G}u,
Äàëüíåéøèå âû÷èñëåíèå çàâèñÿò îò òîãî, îáíóëèëàñü ëè ñêîáêà
{G, (ad H)3 G}.
Ñóùåñòâóåò äâå âîçìîæíîñòè, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, â îêðåñòíîñòè êàêîé îñîáîé òðàåêòîðèè ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà. Ðàçîáüåì
S11 = p2 = 0, q1 6= −1 ,
S12 = q1 = −1, p2 6= 0
S1
è
íà 3 ìíîæåñòâà
S10 = p2 = 0, q1 = −1
è èçó÷èì ïî îòäåëüíîñòè ïîâåäåíèå ñèñòåìû â ìàëûõ îêðåñòíîñòÿõ
j
îáðàçèé S1 , j = 1, 2. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
1
 îáëàñòè V
èìååì,
j
V ∩
S10
Vj
ìíîãî-
= ∅, j = 1, 2.
S11 = p2 = 0, q1 6=−1 , S21 = S11 ∩ p1 = 0 ,
S31 = S21 ∩ q1 = 0 ,
S41 = S31 ∩ q2 = 0 .
{G, (ad H)3 G}|S41 6= 0. Ïîýòîìó íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî åäèí1
ñòâåííàÿ îñîáàÿ òðàåêòîðèÿ q1 = q2 = p1 = p2 = u = 0 â V
èìååò ëîêàëüíûé
1
ïîðÿäîê 2. Áîëåå òîãî, íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê ñèñòåìû â V
òîæå ðàâåí 2 è
Ñ äðóãîé ñòîðîíû
ñîâïàäàåò ñ ëîêàëüíûì.
V2
S22 = S12 ∩ {q2 = 0},
à ïðè k > 3,
=
Âñå îñîáûå òðàåêòîðèè îáðàçóþò äâóìåðíóþ ïîâåðõíîñòü {q1 =
−1, q2 = 0}, à p1 , p2 ëþáûå. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè q1 = −1 è q2 = 0, òî
q̇1 ≡ q̇2 ≡ 0, ïîýòîìó íèêàêîå óïðàâëåíèå íå ìîæåò ñäâèíóòü ñèñòåìó èç ýòîé
òî÷êè. Ëîêàëüíûé ïîðÿäîê êàæäîé îñîáîé òðàåêòîðèè â V2 ðàâåí ∞. Ïîñêîëük−1
êó {G, (ad H)
G}|Sk2 = 0 ïðè âñåõ k , òî íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê ñèñòåìû â V 2
ñîâïàäàåò ñ ëîêàëüíûì ïîðÿäêîì ëþáîé îñîáîé òðàåêòîðèè è òîæå ðàâåí ∞.
 îáëàñòü
Sk2
ñèòóàöèÿ ñëåäóþùàÿ:
S22 .
hglob â
1. Îäíàêî (i) åñòü îäíà îñîáàÿ òðàåêòîðèÿ
âòîðîãî ëîêàëüíîãî ïîðÿäêà, hloc = 2, è â åå îêðåñòíîñòè ñèñòåìà èìååò âòîðîé
2
íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê, h = 2; è (ii) åñòü äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü S2 îñîáûõ
2
òðàåêòîðèé áåñêîíå÷íîãî ëîêàëüíîãî ïîðÿäêà, hloc = ∞, è â îêðåñòíîñòè S2
ñèñòåìà òîæå èìååò áåñêîíå÷íûé íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê, h = ∞.
Òàêèì îáðàçîì, â ïðèâåäåííîì âûøå ïðèìåðå, ãëîáàëüíûé ïîðÿäîê
ëþáîé îòêðûòîé îáëàñòè ðàâåí
Ÿ 4. Ãàìèëüòîíîâîñòü ïîòîêà îñîáûõ òðàåêòîðèé
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî óïðàâëåíèå íà îñîáîé òðàåêòîðèè ñ ïîìîùüþ îïèñàííîé âûøå ïðîöåäóðû ïîñëåäîâàòåëüíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
íàéäåíî ëèøü íà ÷åòíîì øàãå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
2h.
G
ìîæåò áûòü
Ïîýòîìó â ñèòóàöèè
îáùåãî ïîëîæåíèÿ âñå îñîáûå òðàåêòîðèè îáðàçóþò ÷åòíîìåðíîå ìíîãîîáðàçèå
9
ÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÎÑÒÜ ÏÎÒÎÊÀ ÎÑÎÁÛÕ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ
S
êîðàçìåðíîñòè
2h
â
M. Ñàìî ìíîãîîáðàçèå M ñèìïëåêòè÷íî, èìååò ÷åòíóþ
dim S òîæå ÷åòíî. Èñòèííàÿ ïðè÷èíà òîãî, ÷òî ìíîãî-
ðàçìåðíîñòü, è, çíà÷èò,
îáðàçèå
S
âñåãäà èìååò ÷åòíóþ ðàçìåðíîñòü, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, îíî ÿâëÿåòñÿ
ñèìïëåêòè÷åñêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì â
M.
Áîëåå òîãî ïîòîê îñîáûõ òðàåêòîðèé
íà íåì ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâûì ñ ãëàäêèì ãàìèëüòîíèàíîì
H|S = H|S .
Íèæåñëåäóþùàÿ òåîðåìà î ãàìèëüòîíîâîñòè îñîáîãî ïîòîêà áóäåò ñôîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà â òåðìèíàõ íàòóðàëüíîãî ïîðÿäêà, îäíàêî îñòàíåòñÿ âåðíîé åñëè çàìåíèòü â åå ôîðìóëèðîêå íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê íà ãëîáàëüíûé è íå
ðàññìàòðèâàòü àíîðìàëüíûå òðàåêòîðèè (òîãäà, ïðàâäà, ïðèìåíèìîñòü òåîðåìû ñèëüíî óïàäåò). Èòàê,
Òåîðåìà 1 î ãàìèëüòîíîâîñòè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà H = H + Gu èìååò â V íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê h 6= ∞, è äèôôåðåíöèàëû
dG, d(ad H)G, . . . , d(ad H)2h−2 G ëèíåéíî íåçàâèñèìû â V . Òîãäà âñå îñîáûå
òðàåêòîðèè ñèñòåìû ëåæàò â ìíîæåñòâå S2h ∩ {x : |us (x)| 6 1}, ãäå
(ad H)2h G
.
us (x) = − G, (ad H)2h−1 G
Áîëåå òîãî,
(i) Ìíîæåñòâî S2h (åñëè íå ïóñòî) ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ñèìïëåêòè÷åñêèì
ìíîãîîáðàçèåì ñ ñèìïëåêòè÷åñêîé ôîðìîé ω|S2h .
(ii) Ïîäìíîãîîáðàçèå S = S2h ∩{x : |us (x)| < 1} òàêæå ñèìïëåêòè÷íî, è ÷åðåç
ëþáóþ åãî òî÷êó ïðîõîäèò è ïðè òîì åäèíñòâåííàÿ îñîáàÿ òðàåêòîðèÿ;
(iii) Ëþáàÿ îñîáàÿ òðàåêòîðèÿ íà S ÿâëÿåòñÿ òðàåêòîðèåé ãëàäêîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû íà S ñ ãàìèëüòîíèàíîì H|S = H|S , ò.å. ïîòîê îñîáûõ
òðàåêòîðèé íà S ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâûì ñ ãàìèëüòîíèàíîì H|S =
H|S íà S .
e = H(x)+G(x)us (x) â îáúåìëåùåì ïðî(iv) Ïîòîê ãëàäêîãî ãàìèëüòîíèàíà H
ñòðàíñòâå V ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíûì ê S è åãî òðàåêòîðèè íà S ñîâïàäàþò ñ îñîáûìè.
Ìû áóäåì íàçûâàòü
S
îñîáûì ìíîãîîáðàçèåì.
ìíîãîîáðàçèåì îñîáûõ òðàåêòîðèé, èëè ïðîñòî Òåîðåìà 1 ñôîðìóëèðîâàíà â ëîêàëüíûõ òåðìèíàõ â
H = H + Gu èìååò
M = Ω1 t Ω2 t N ),
òî ìíîãîîáðàçèå S îïðåäåëåíî ãëîáàëüíî íà N (äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü V = M).
îêðåñòíîñòè
V,
îäíàêî åñëè ñèñòåìà ñ ãàìèëüòîíèàíîì
íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê
h
íà âñåì ïðîñòðàíñòâå
M
(òî åñòü
 äàëüíåéøåì (è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1 è ïðè êîíêðåòíûõ âû÷èñëåíèÿõ â ïðèìåðàõ) îêàçûâàåòñÿ î÷åíü ïîëåçíûì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ïóñòü F ïðîèçâîëüíàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ â V è k < 2h. Òîãäà çíà÷åíèÿ ñêîáêè {H, F } â òî÷êàõ ìíîæåñòâà Sk+1 çàâèñÿò òîëüêî îò
çíà÷åíèé F â òî÷êàõ Sk è íå çàâèñÿò îò ïðîäîëæåíèÿ F â V \ Sk
Ëåììà 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó
k−1
d(ad H)
äèôôåðåíöèàëû
G ëèíåéíî íåçàâèñèìû â V ,
òî
Sk
dG,
gk = (ad H)k−1 G
...
,
ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ìíîãîîáðàçèåì.
g1 = G, g2 = (ad H)G,
g1 , . . . , gk äî ïîëíîé ñèñòåìû
Ââåäåì â åãî îêðåñòíîñòè ëîêàëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò:
...,
d(ad H)G,
è äîïîëíèì êîîðäèíàòû
10
Ë. Â. ËÎÊÓÖÈÅÂÑÊÈÉ
ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò êîîðäèíàòàìè
F (x) = F (g1 , . . . , gk , y1 , . . . , y2n−k )
y1 , . . . , y2n−k ,
ãäå
2n = dim M.
Òîãäà
è
{H, F } = Fg01 {H, G}+Fg02 {H, (ad H)G}+. . .+Fg0k {H, (ad H)k−1 G}+
X
Fy0 j {H, yj }.
j
k ñëàãàåìûõ îáíóëÿþòñÿ íà Sk+1 ïî îïðåäåëåíèþ, à ïîñëåäíèå (2n−k) â
ëþáîé òî÷êå ìíîãîîáðàçèÿ Sk çàâèñÿò òîëüêî îò çíà÷åíèé F íà Sk , òàê êàê ïðè
g1 = . . . = gk = 0 ïåðåìåííûå yj ÿâëÿþòñÿ ëîêàëüíûìè êîîðäèíàòàìè íà Sk . Ïåðâûå
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1 íàì åùå ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäå-
{(ad H)m G, (ad H)l G} îáíóëèëèñü ïðè m
m
l
è l ëåæàùèõ íà äèàãîíàëè m + l = k , òî ñêîáêè {(ad H) G, (ad H) G} íà äèàãîíàëè m + l = k + 1 ñîâïàäàþò ïî ìîäóëþ è ÷åðåäóþò çíàêè. Òî÷íåå, âûïîëíåíî
íèå: åñëè äëÿ íåêîòîðîãî
k
âñå ñêîáêè
ñëåäóþùåå
Ñëåäñòâèå 1.
ïîëíåíî
Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî k < 2h − 1 â êàæäîé òî÷êå Sk+1 âû-
{(ad H)m G, (ad H)l G} = 0 ïðè âñåõ m + l = k; m, l > 0,
òî â êàæäîé òî÷êå Sk+2 âûïîëíåíî
{(ad H)m G, (ad H)l G} = (−1)m {G, (ad H)k+1 G} ïðè âñåõ m + l = k + 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
(m+1)+l = k +1, è m, l > 0.
Ñîãëàñíî òîæäåñòâó
ßêîáè èìååì
{(ad H)m+1 G, (ad H)l G} = {H, {(ad H)m G, (ad H)l G}}−{(ad H)m G, (ad H)l+1 G}
Ïåðâîå ñëàãàåìîå îáíóëÿåòñÿ â òî÷êàõ
Ñëåäñòâèå 2.
Sk+2
ñîãëàñíî ëåììå 1.
Åñëè ñèñòåìà èìååò íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê h, òî
{(ad H)m G, (ad H)l G} = 0
â òî÷êàõ Sk+1 ïðè k = m + l < 2h − 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì óòâåðæäåíèå èíäóêöèåé ïî
0
èìååì
m=l=0
è
{G, G} ≡ 0
Ïóñòü òåïåðü óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ íåêîòîðîãî
(ïî ñëåäñòâèþ 1) â ëþáîé òî÷êå
k = m+l.
Ïðè
k=
ââèäó àíòèñèììåòðè÷íîñòè ñêîáêè Ïóàññîíà.
Sk+2
íà äèàãîíàëè
{(ad H)m G, (ad H)l G} ñîâïàäàþò ïî ìîäóëþ.
k > 1, k < 2h − 2. Òîãäà
m + l = k + 1 âñå ýëåìåíòû
Îñòàëîñü íàéòè íà ýòîé äèàãîíàëè
õîòÿ áû îäèí íóëåâîé ýëåìåíò.
{G, (ad H)k+1 G} = 0 â òî÷êàõ Sk+2 ïî îïðåäåëåíèþ
íàòóðàëüíîãî ïîðÿäêà. Åñëè æå k + 1 ÷åòíî, k + 1 = 2r , òî íà äèàãîíàëè
m + l = k + 1 îáíóëÿåòñÿ ýëåìåíò {(ad H)r G, (ad H)r G}. Åñëè
k+1
íå÷åòíî, òî
ÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÎÑÒÜ ÏÎÒÎÊÀ ÎÑÎÁÛÕ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ
11
 ñëåäñòâèè 2 õîðîøî âèäíî, ïî÷åìó óïðàâëåíèå â ïåðâûé ðàç ÿâíî ìîæåò
d k G. Ýòî
dt
{(ad H)r G, (ad H)r G} ≡
âîçíèêíóòü òîëüêî òîëüêî íà ÷åòíîì øàãå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
åñòü ñëåäñòâèå àíòèñèììåòðè÷íîñòè ñêîáêè Ïóàññîíà:
0.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1. Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ëþáàÿ îñîáàÿ òðàåê-
S2h ∩ {x : |u(x)| 6 1}. Ïóñòü x(t), t ∈ (t0 , t1 ), x(t) ëåæèò â Sk ïðè k 6 2h.
Åñëè k = 1, òî î÷åâèäíî G(x(t)) ≡ 0 ïî îïðåäåëåíèþ îñîáîé òðàåêòîðèè (çíà÷èò x(t) ∈ S1 ). Ïóñòü òåïåðü x(t) ëåæèò â Sk äëÿ íåêîòîðîãî k 6 2h − 1,
k−1
ò.å. (ad H)
G(x(t)) ≡ 0. Òîãäà â ëþáîé òî÷êå äèôôåðåíöèðóåìîñòè x(t) äëÿ
íåêîòîðîãî v ∈ [−1; 1] âûïîëíÿåòñÿ
òîðèÿ â
V
ëåæèò â ìíîæåñòâå
îñîáàÿ òðàåêòîðèÿ.
0=
Äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òî
d
(ad H)k−1 G(x(t)) = (ad H)k G|x(t) + v{G, (ad H)k−1 G}|x(t)
dt
Íî x(t) ∈ Sk ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, à ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå îáíóëÿåòñÿ íà
Sk ïî ñëåäñòâèþ 2. Ïîýòîìó (ad H)k G(x(t)) = 0 â òî÷êàõ äèôôåðåíöèðóåìîñòè
x(t). Ñëåäîâàòåëüíî, (ad H)k G(x(t)) = 0 ïðè âñåõ t ∈ (t0 , t1 ), òàê êàê òðàåêòîðèÿ x(t) àáñîëþòíî íåïðåðûâíà è ìíîæåñòâî òî÷åê åå äèôôåðåíöèðóåìîñòè
âñþäó ïëîòíî íà (t0 , t1 ). Ïîëó÷àåì x(t) ∈ Sk+1 .
Òàêèì îáðàçîì, ïðè k = 2h ïîëó÷àåì x(t) ∈ S2h . Ïîýòîìó â ëþáîé òî÷êå
2h
äèôôåðåíöèðóåìîñòè x(t) äëÿ íåêîòîðîãî v ∈ [−1; 1] âûïîëíåíî (ad H) G +
2h−1
s
{G, (ad H)
G}v = 0. Íåìåäëåííî íàõîäèì: v = u (x(t)) è ëåæèò íà îòðåçs
êå [−1; 1] â òî÷êàõ äèôôåðåíöèðóåìîñòè x(t), è, ñëåäîâàòåëüíî, |u (x(t))| 6 1
âñþäó, ÷òî è òðåáîâàëîñü.
Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî
S2h
ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ñèìïëåêòè÷åñêèì
ïîäìíîãîîáðàçèåì (åñëè íå ïóñòî), â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî äèôôåðåíöèàëû ôóíê-
(ad H)k G, k = 0, . . . , 2h − 1,
S2h (èõ íåçàFk = (ad H)k G.
Ìíîæåñòâî S2h ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ìíîãîîáðàçèåì â V êîðàçìåðíîñòè 2h â ñèëó
ïðåäïîëîæåíèÿ î ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè äèôôåðåíöèàëîâ dFk .
Ïîêàæåì, ÷òî îãðàíè÷åíèå ñèìïëåêòè÷åñêîé ôîðìû ω íà S2h ÿâëÿåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêîé ôîðìîé. Ôîðìà ω|S2h çàìêíóòà â ñèëó çàìêíóòîñòè ω . Ïîêàæåì
íåâûðîæäåííîñòü ω|S2h . Êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî Tx S2h îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäó-
öèé
âèñèìîñòü áóäåò äîêàçàíà íèæå).
ëèíåéíî íåçàâèñèìû â òî÷êàõ
Îáîçíà÷èì äëÿ êðàòêîñòè
þùèì ñâîéñòâîì:
ξ ∈ Tx S2h ⇔
∂
Fk (x) = 0
∂ξ
ïðè
k 6 2h − 1.
0 = dFk (ξ) = ω(ξ, iω dFk ). Ïîýòîìó ïîäïðîñòðàíñòâî Tx S2h ⊆
ω ÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì ê ïîäïðîñòðàíñòâó L ⊆ Tx M
ïîðîæäåííîìó âåêòîðàìè iω dFk (x). Íåâûðîæäåííîñòü ω íà Tx S2h ðàâíîñèëüíà
íåâûðîæäåííîñòè ω íà L, êàê íà äîïîëíèòåëüíûõ ïîäïðîñòðàíñòâàõ. Ìàòðèöà
ôîðìû ω â îãðàíè÷åíèè íà L â áàçèñå iω dFk (x) èìååò âèä
Èëè ïî-äðóãîìó
Tx M
îòíîñèòåëüíî
2h−1 2h−1
F(x) = ω(iω dFk , iω dFl )|x
= {Fk , Fl }|x
k,l=0
k,l=0
12
Ë. Â. ËÎÊÓÖÈÅÂÑÊÈÉ
Òàêèì îáðàçîì, îñòàëîñü ïîêàçàòü íåâûðîæäåííîñòü ìàòðèöû
Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 2 â ìàòðèöå
x ∈ S2h ,
ïðè
F(x)
F
â òî÷êàõ
à íà ñàìîé ïîáî÷íîé äèàãîíàëè (ïî ñëåäñòâèþ 1) ïðè
ÿò ýëåìåíòû âèäà
±{G, (ad H)2h−1 G}
S2h .
âûøå ïîáî÷íîé äèàãîíàëè ñòîÿò íóëè
ãäå çíàêè
â çàâèñèìîñòè îò ÷åòíîñòè íîìåðà ñòðîêè.
±
x ∈ S2h
ñòî-
÷åðåäóþòñÿ è âûáèðàþòñÿ
Ïîñêîëüêó ïî îïðåäåëåíèþ íàòó-
{G, (ad H)2h−1 G} =
6 0 â òî÷êàõ S2h , ìû íåìåäëåííî ïîëó÷àåì
íåâûðîæäåííîñòü ω íà S2h .
 òîì ÷èñëå, ïîñêîëüêó ìàòðèöà F(x) èìååò ïîëíûé ðàíã, òî âåêòîðà dFk |x
∗
ëèíåéíî íåçàâèñèìû, â ñèëó òîãî, ÷òî iω |x èçîìîðôèçì Tx M è Tx M. Òàêèì
îáðàçîì, äîêàçàíî, ÷òî S2h ãëàäêîå ñèìïëåêòè÷åñêîå ïîäìíîãîîáðàçèå M.
s
Ìíîæåñòâî {x : u (x) ∈ (−1; 1)} ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì. Ïîýòîìó S = S2h ∩ {x :
s
u (x) ∈ (−1; 1)} òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ñèìïëåêòè÷åñêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì
(åñëè íå ïóñòî) ñ ôîðìîé ω|S . Ïóíêò (i) äîêàçàí.
Ëþáàÿ îñîáàÿ òðàåêòîðèÿ â S èìååò â ëþáîé ñâîåé òî÷êå äèôôåðåíöèðós
åìîñòè x ∈ S ñêîðîñòü ξ(x) = iω dH(x) + u (x)iω dG(x) ∈ Tx S . Òî åñòü íà S
îïðåäåëåíî ãëàäêîå êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå ξ(x). Ïîýòîìó ïî òåîðåìå Êîðàëüíîãî ïîðÿäêà
øè î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ ãëàäêîé ïðàâîé ÷àñòüþ,
S ïðîõîäèò íå áîëåå îäíîé îñîáîé òðàåêòîðèè. Áîëåå òîãî,
x(t) íà S ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ẋ = ξ(x) î÷åâèäíî ÿâëÿåòñÿ
÷åðåç êàæäóþ òî÷êó
ëþáàÿ òðàåêòîðèÿ
îñîáîé. Ïóíêò (ii) äîêàçàí. Òàê æå äîêàçàíî, ÷òî ëþáàÿ îñîáàÿ òðàåêòîðèÿ íà
S
ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ãëàäêîé.
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ïîòîê íà
H,
S,
îïðåäåëÿåìûé ãëàäêèì ãàìèëüòîíèàíîì
ñîñòîèò èç îñîáûõ òðàåêòîðèé, ÷òî, âî-ïåðâûõ, äîêàæåò ãàìèëüòîíîâîñòü
ïîòîêà îñîáûõ òðàåêòîðèé, à, âî-âòîðûõ, ïðèâåäåò ê äîêàçàòåëüñòâó ïóíêòà
(iv).
Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ïîòîê
H
íà
S
âîñïîëüçóåìñÿ ñîîáðàæåíèÿìè, àíàëî-
ãè÷íûìè òåì, ÷òî ïîëüçîâàëñÿ Ìîçåð ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïîëíîé èíòåãðèðóåìîñòè ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà íà
n-ìåðíîì
ýëëèïñîèäå (ñì. [12]). Ðàññìîòðèì
ãàìèëüòîíèàí
e=H+
H
2h−1
X
µk Fk ,
k=0
ãäå
µk
ïîêà íåèçâåñòíûå ãëàäêèå ôóíêöèè. Î÷åâèäíî, ÷òî
e S = H|S ,
H|
ïîýòîìó
µk
e
òàê, ÷òîáû ïîòîê ãàìèëüòîíèàíà H â îáúåìëåùåì ïðîñòðàíñòâå V áûë êàñàk
e íà V â òî÷êàõ S íå èçìåíèòñÿ ïðè
òåëüíûì ê S . Ïðè òàêîì âûáîðå µ ïîòîê H
e
e Fl } = 0 â òî÷êàõ ìíîãîîáîãðàíè÷åíèè H íà S . Èòàê, íåîáõîäèìî, ÷òîáû {H,
ðàçèÿ S ïðè l 6 2h − 1. Ïî ïðàâèëó Ëåéáíèöà
ïîòîêè îïðåäåëÿåìûå èìè íà
S
ñîâïàäàþò. Âûáåðåì íåèçâåñòíûå ôóíêöèè
e Fl } = Fl+1 +
{H,
X
{Fk , Fl }µk
â òî÷êàõ
k
è, çíà÷èò,
2h−1
−1
(µk )2h−1
(Fl+1 )l=0
k=0 = −F
S,
13
ÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÎÑÒÜ ÏÎÒÎÊÀ ÎÑÎÁÛÕ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ
Âåêòîð
(Fl+1 )2h−1
l=0
â òî÷êàõ
S
èìååò âñå íóëåâûå êîîðäèíàòû êðîìå, âîçìîæ-
F ñòîÿò íóëè íàä ïîáî÷íîé äèàãîíàëüþ,
F −1 ñòîÿò íóëè ïîä ïîáî÷íîé äèàãîíàëüþ. Ïîýòîìó µ1 = . . . = µ2h−1 = 0
S , à µ0 íàõîäèòñÿ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ:
íî, ïîñëåäíåé. Ïîñêîëüêó â ìàòðèöå
òî â
íà
(ad H)2h G
= us
µ0 = − G, (ad H)2h−1 G
S ñîâïàäàåò ñ ïîòîêîì
e
H(x)
= H(x) + us (x)G(x). Ïîòîê îñîáûõ òðàåêòîðèé íà
G(x)us (x)
â
V
òàê êàê
ãàìèëüòîíèàíà
H(x) +
Ñëåäñòâèå 3. Î÷åâèäíîå ñëåäñòâèå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî H åñòü ïåðâûé èíòåãðàë ïîòîêà îñîáûõ òðàåêòîðèé (ýòîò ôàêò, êîíå÷íî, íåòðóäíî
ïîëó÷èòü è ïðÿìûì ñ÷åòîì).
Çàìå÷àíèå 1. Åñëè ñóùåñòâóþò
V,
êîììóòèðóþùèõ íà
íà
S
S
H, G
ñ
n − h íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé H1 , ...,Hn−h
â
è äðóã ñ äðóãîì, òî ïîòîê îñîáûõ òðàåêòîðèé
ÿâëÿåòñÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìûì ïî Ëèóâèëëþ. Áîëåå òîãî, îí âêëþ÷à-
òåãðèðóåìûì (ñì. [13]) íà
Hn−h+2 = (ad H)G,
...,
S
Hn+h
ñ
Çàìå÷àíèå 2. Åñëè äîáàâèòü ê
|us (x)| = 1, òî
s
ôåðåíöèàë u (x) â ýòèõ
óñëîâèå
e
H
â V , êîòîðûé ÷àñòî áûâàåò ñóïåðèín + h èíòåãðàëàìè H1 , ..., Hn−h , Hn−h+1 = G,
= (ad H)2h−1 G
åòñÿ â ïîòîê ãëàäêîãî ãàìèëüòîíèàíà
S
òî÷êè èç
S2h ,
â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ
ïîëó÷èòñÿ ìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì (åñëè òîëüêî äèôòî÷êàõ ëèíåéíî íåçàâèñèì ñ äèôôåðåíöèàëàìè
dFk ),
ñîäåðæàùåå âñå îñîáûå òðàåêòîðèè.
Çàìå÷àíèå 3. Åñëè
îñîáûõ òðàåêòîðèé
íà
S
S
H
è
G
áåñêîíå÷íî ãëàäêèå ôóíêöèè, òî ìíîãîîáðàçèå
áåñêîíå÷íî ãëàäêî, è, áîëåå òîãî, âñå îñîáûå òðàåêòîðèè
áåñêîíå÷íî ãëàäêèå. Åñëè æå
òðàåêòîðèè íà
S
H, G ∈ C k (V ),
áóäóò èìåòü ãëàäêîñòü íå ìåíüøå
ãäå k > 2h,
k − 2h.
òî
S
è îñîáûå
Ÿ 5. Òåîðåìà î ñîïðÿæåíèè
Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, â îêðåñòíîñòè ìíîãîîáðàçèÿ îñîáûõ òðàåêòîðèé
S
òåðÿåòñÿ åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû
ðàçðûâíîé ïðàâîé ÷àñòüþ.
H = H + Gu
ñ
À èìåííî, èç êàæäîé òî÷êè îñîáîé òðàåêòîðèè
ìîãóò âûõîäèòü íåîñîáûå, è îáðàòíî, â êàæäóþ òî÷êó îñîáîé òðàåêòîðèè ìîãóò
âõîäèòü íåîñîáûå.
Òèïè÷íîå ïîâåäåíèå íåîñîáûõ òðàåêòîðèé â îêðåñòíîñòè
îñîáîé òðàåêòîðèè â ñèñòåìå ïåðâîãî íàòóðàëüíîãî (èëè ÷òî òîæå ãëîáàëüíîãî)
ïîðÿäêà îïèñàíî â ïðèìåðå 1.  êàæäóþ òî÷êó îñîáîé òðàåêòîðèè ïðèõîäÿò
äâå íåîñîáûå òðàåêòîðèè è âûõîäÿò òîæå äâå.  ñëó÷àå áîëüøåãî ãëîáàëüíîãî
ïîðÿäêà, â ëþáóþ òî÷êó îñîáîé òðàåêòîðèè ìîæåò âõîäèòü (èëè âûõîäèòü)
êîíòèíóàëüíîå ñåìåéñòâî íåîñîáûõ (ñì. ïðèìåð Ôóëëåðà [11])
Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè ðåãóëÿðíîãî ñîïðÿæåíèÿ (â òîì èëè èíîì ñìûñëå) íåîñîáîé òðàåêòîðèè ñ îñîáîé îáû÷íî äîêàçûâàþòñÿ â òåðìèíàõ ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà. Íàïðèìåð, åñëè ñèñòåìà èìååò ÷åòíûé ãëîáàëüíûé ïîðÿäîê, òî
ïðè ñîïðÿæåíèè íåîñîáîé òðàåêòîðèè ñ îñîáîé (íå àíîðìàëüíîé) óïðàâëåíèå
îáÿçàíî èìåòü ðàçðûâ âòîðîãî ðîäà. Ïðè ýòîì (ñì. [7]) çàìåíèòü ãëîáàëüíûé
14
Ë. Â. ËÎÊÓÖÈÅÂÑÊÈÉ
ïîðÿäîê íà ëîêàëüíûé â ôîðìóëèðîâêå íåëüçÿ ñóùåñòâóåò êîíòð ïðèìåð (ñì.
ïðèìåð 4).
 ýòîì ïàðàãðàôå ìû äîêàæåì (êàê îáîáùåíèå êëàññè÷åñêîé) òåîðåìó î
íåâîçìîæíîñòè ðåãóëÿðíîãî ñîïðÿæåíèÿ íåîñîáîé òðàåêòîðèè ñ îñîáîé òðàåêòîðèåé ÷åòíîãî ïîðÿäêà â òåðìèíàõ íàòóðàëüíîãî ïðÿäêà. Òàêèì îáðàçîì, íàëè÷èå ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà íå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì
î ñîïðÿæåíèè. Äîñòàòî÷íî íàëè÷èå ëèøü íàòóðàëüíîãî ïîðÿäêà.
 äîêàçàòåëüñòâå áóäåò èñïîëüçîâàíà òåõíèêà íèñïàäàþùèõ ñèñòåì ñêîáîê
Ïóàññîíà, óæå ïîêàçàâøàÿ ñâîþ ýôôåêòèâíîñòü â ðÿäå äðóãèõ çàäà÷ (ñì., íàïðèìåð, [14]). Ýòà òåõíèêà ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî èññëåäîâàòü ïîâåäåíèå íåîñîáûõ òðàåêòîðèé â îêðåñòíîñòè îñîáîãî ìíîãîîáðàçèÿ, äàæå êîãäà îïðåäåëåíèå
ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà âûðîæäàåòñÿ.
Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
åñëè
G < 0,
u = 1,
åñëè
G>0
è
u = −1
ò.å. âûïîëíåí ïðèíöèï ìàêñèìóìà.
Òåîðåìà 2 î ñîïðÿæåíèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåãëàäêàÿ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà H = H + Gu èìååò â V ÷åòíûé íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê h 6= ∞,
è äèôôåðåíöèàëû dG, d(ad H)G, ..., d(ad H)2h−2 G ëèíåéíî íåçàâèñèìû â V .
Ðàññìîòðèì x∗ (t), u∗ (t) îñîáóþ òðàåêòîðèþ ïðè t ∈ (t1 , t2 ), íà êîòîðîé
u∗ (t) ∈ (−1; 1) è âûïîëíåíî óñèëåííîå óñëîâèå Ëåæàíäðà-Êëåáøà12 :
{G, (ad H)2h−1 G}(x∗ (t)) < 0
Òîãäà, åñëè íåîñîáàÿ òðàåêòîðèÿ x
e(t), u
e(t) îïðåäåëåíà ïðè t > τ (èëè t 6 τ )
è ñîïðÿãàåòñÿ â òî÷êå τ ∈ (t1 , t2 ) ñ îñîáîé òðàåêòîðèåé, x
e(τ ) = x∗ (τ ), òî
óïðàâëåíèå u
e(t) èìååò ðàçðûâ âîòîðîãî ðîäà ïðè t → τ + 0 (ñîîòâåòñòâåííî
t → τ − 0).
Îïèøåì ïîäðîáíî ñòðóêòóðó íèñïàäàþùåé ñèñòåìû ñêîáîê Ïóàññîíà. Âûïèøåì íàáîð äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, âäîëü ïðîèçâîëüíîé òðàåêòîðèè
ñèñòåìû, è óïîðÿäî÷èì èõ ïî ñòðîêàì. Ïåðâûå äâå ñòðîêè ñèñòåìû ñîäåðæàò ïî
îäíîìó óðàâíåíèþ (áóäåì ïåðåä óðàâíåíèÿìè, ñòîÿùèìè â
ñèìâîë
k -îé ñòðîêå, ñòàâèòü
ekd):
e1d
e2d
d G = {H, G};
dt
d {H, G} = {H, {H, G}} + {G, {H, G}}u.
dt
Òðåòüÿ ñòðîêà ñîäåðæèò äâà óðàâíåíèÿ.
e3d
e3d
d {H{H, G}} = {H{H, {H, G}}} + {G, {H{H, G}}}u;
dt
d {G{H, G}} = {H{G, {H, G}}} + {G, {G{H, G}}}u.
dt
 îáùåì ñëó÷àå â
m-îé
ñòðîêå,
emd
m > 2,
âûïèñàíû óðàâíåíèÿ âèäà
d
Km = {H, Km } + {G, Km }u,
dt
12 Òîò ôàêò, ÷òî îáîáùåííîå óñëîâèå Ëåæàíäðà-Êëåáøà ôîðìóëèðóåòñÿ â òåðìèíàõ íàòóðàëüíîãî ïîðÿäêà èìåííî â òàêîì âèäå, äîêàçàí â çàìå÷àíèè 5.
15
ÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÎÑÒÜ ÏÎÒÎÊÀ ÎÑÎÁÛÕ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ
Km = {Km , {Km−1 , . . . {K2 , K1 } . . .}}, K1 = G, K2 = H , à îñòàëüíûå ñèìâîKj ìîãóò îáîçíà÷àòü êàê H òàê è G (ò.å. âñåãî 2m−2 óðàâíåíèé). Óðàâíåíèÿ
â (m + 1)-îé ñòðîêå ïîëó÷àþòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî t ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé â m-îé ñòðîêå. Ò.å. íàïðèìåð
ãäå
ëû
em + 1d
d
{H, Km } = {H, {H, Km }} + {G, {H, Km }}u,
dt
em + 1d
d
{G, Km } = {H, {G, Km }} + {G, {G, Km }}u.
dt
è
Íèñïàäàþùàÿ ñèñòåìà âûïèñûâàåòñÿ âïëîòü äî ñòðîêè ñ íîìåðîì
2h,
ãäå
h
íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê ñèñòåìû.
m-îé ñòðîêå âûïèñàíû óðàâíåíèÿ íà ïðîèçâîäíóþ ïî âðåm-îãî ïîðÿäêà, à ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ óðàâíåíèé åñòü àôôèííûå
óïðàâëåíèþ u ôóíêöèè, ãäå êîýôôèöèåíòàìè âûñòóïàþò ñêîáè (m + 1)-îãî
Òàêèì îáðàçîì â
ìåíè îò ñêîáîê
ïî
ïîðÿäêà.
Ãëàâíûìè ñêîáêàìè íèñïàäàþùåé ñèñòåìû ìû áóäåì íàçûâàòü ñêîáêè
(ad H)G, . . ., (ad H)2h−1 G.
íàçûâàòü íå ãëàâíûìè.
Îñòàëüíûå ñêîáêè ïîðÿäêà íå áîëüøå
2h
G,
ìû áóäåì
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2 îñíîâàíî íà òîì, ÷òî ïðè
âûõîäå íà îñîáóþ òðàåêòîðèþ (èëè ïðè ñõîäå ñ íåå) â ëþáîé ñòðîêå ñ íîìåðîì
m
íå ãëàâíûå ñêîáêè èìåþò áîëüøèé ïîðÿäîê ìàëîñòè ïî
t − τ,
÷åì ãëàâíûå
ñêîáêè, è ïîòîìó íå âëèÿþò íà ïðèíöèïèàëüíîå ïîâåäåíèå ñèñòåìû. Ýòîò ôàêò
ñëåäóåò èç äâóõ ñëåäóþùèõ ëåìì.
Ïåðâàÿ ëåììà àíàëîãè÷íà ëåììå 1 ñ çàìåíîé
H
íà
Gâ
óñëîâèè è
Sk+1
íà
Sk
â óòâåðæäåíèè ëåììû:
Ëåììà 2. Ïóñòü F ïðîèçâîëüíàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ â V è k < 2h. Òîãäà
çíà÷åíèÿ ñêîáêè {G, F } â òî÷êàõ ìíîæåñòâà Sk çàâèñÿò òîëüêî îò çíà÷åíèé
F â òî÷êàõ Sk è íå çàâèñÿò îò ïðîäîëæåíèÿ F â V \ Sk
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî ïðîâåñòè àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëü-
ñòâó ëåììû 1: äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè
F
èìååì
{G, F } = Fg01 {G, G}+Fg02 {G, (ad H)G}+. . .+Fg0k {G, (ad H)k−1 G}+
X
Fy0 j {G, yj }.
j
Ïåðâûå
k
ñëàãàåìûõ îáíóëÿþòñÿ íà
ñëàãàåìûõ çàâèñÿò òîëüêî îò çíà÷åíèé
è â ëåììå 1.
Sk ïî ñëåäñòâèþ 2,
F íà Sk ïî òåì æå
à ïîñëåäíèå
2n − k
ñîîáðàæåíèÿì, ÷òî
Âòîðàÿ ëåììà óòâåðæäàåò, ÷òî ïî÷òè âñå ñêîáêè, ó÷àñòâóþùèå â íèñïàäàþùåé ñèñòåìå ñêîáîê Ïóàññîíà, îáíóëÿþòñÿ íà îñîáîì ìíîãîîáðàçèè
S.
Ëåììà 3. Ïóñòü Km = {Km , {Km−1 , . . . {K2 , K1 } . . .}}, ãäå ïðè êàæäîì j
ñèìâîë Kj îáîçíà÷àåò H ëèáî G. Òîãäà (i) åñëè m 6 2h, òî Km = 0 íà S2h ;
è (ii) åñëè m = 2h + 1 è K2h+1 íå åñòü íè (ad H)2h G íè {G, (ad H)2h−1 G}, òî
òàêæå K2h+1 = 0 íà S2h .
16
Ë. Â. ËÎÊÓÖÈÅÂÑÊÈÉ
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïàðû
K1 , K2
åñòü 4 âàðèàíòà:
HH , GG, HG
è
GH .
Ïåðâûå äâà âàðèàíòà òîæäåñòâåííî îáíóëÿþòñÿ, ïîñëåäíèå äâà ñîâïàäàþò ñ
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî K1 = G è K2 = H . Òîãäà K2 =
{K2 , K1 } = 0 íà S2 ïî îïðåäåëåíèþ S2 .
Åñëè K3 = H , òî K3 = {K3 , {K2 , K1 }} = 0 íà S3 ïî ëåììå 1. Åñëè æå K3 = G,
òî K3 = 0 íà S2 ïî ëåììå 2. Íî S3 ⊆ S2 . Ïîýòîìó â ëþáîì ñëó÷àå K3 = 0 íà S3 .
Ýòîò ïðîöåññ ìîæíî ïðîäîëæàòü ïî èíäóêöèè ïîêà ïîðÿäîê ñêîáêè ìåíüøå 2h.
òî÷íîñòüþ äî çíàêà.
Ïîñëåäíèé øàã â èíäóêöèè äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå (i).
m = 2h + 1. Â ðàññìîòðåííîì âûøå èíäóêòèâm = 2h ñäåëàòü íåëüçÿ: èç óñëîâèÿ K2h = 0 íà S2h ñ
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé
íîì ïðîöåññå øàã ïðè
ïîìîùüþ ëåìì 1 è 2 íåëüçÿ ïîëó÷èòü ïóíêò (ii). Ïîêàæåì, ÷òî, íà ñàìîì äåëå,
K2h = 0 íà S2h−1 . Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó K2h+1 íå åñòü íè (ad H)2h G íè
{G, (ad H)2h−1 G}, òî äëÿ íåêîòîðîãî íîìåðà j , 3 6 j 6 2h, ñèìâîë Kj åñòü G.
Ïîýòîìó èç Kj−1 = 0 íà Sj−1 ñëåäóåò ïî ëåììå 2, ÷òî Kj = 0 òîæå íà Sj−1 , à
íå íà Sj . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî
τ = 0,
ïðè ìàëûõ
è íåîñîáàÿ òðàåêòîðèÿ ñõîäèò ñ îñîáîé, ò.å.
t > 0.
x
e(t), u
e(t)
îïðåäåëåíû
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðîâåäåì îò ïðîòèâíîãî: ïðåäïî-
u
e(t) èìååò ïðåäåë ïðè t → +0. Ïîñêîëüêó òðàåêòîðèÿ
u
e(t) = ±1 ïðè ëþáîì t. Ïóñòü limt→+0 u
e(t) = 1 (ñëó÷àé −1
àíàëîãè÷åí). Òîãäà u
e(t) = 1 ïðè ìàëûõ t > 0, è, ñëåäîâàòåëüíî G(e
x(t)) > 0, è
òðàåêòîðèÿ x
e(t) ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ïðè ìàëûõ t > 0.
Ïðèäåì ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ G(e
x(t)) > 0. Äîêàæåì îáðàòíîé èíäóêöèåé ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè Km ãëàâíàÿ ñêîáêà â íèñïàäàþùåé ñèñòåìå ñêîáîê
Ïóàññîíà, òî Km (e
x(t)) 6 −cm t2h−m+1 äëÿ íåêîòîðîãî cm > 0 ïðè ìàëûõ t > 0,
à åñëè Km íå ãëàâíàÿ ñêîáêà, òî |Km (e
x(t))| 6 bm t2h−m+2 , òî åñòü èìååò áîëüøèé ïîðÿäîê ìàëîñòè ïî t → +0. Ïðè m = 1 ïîëó÷èì ïðîòèâîðå÷èå, òàê êàê
0 < G(e
x(t)) 6 −c1 t2h < 0.
Ïî ëåììå 3 ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ëþáîé ñêîáêè Km èç íèñïàäàþùåé ñèñòåìû
äëèíû m 6 2h âûïîëíåíî
ëîæèì, ÷òî óïðàâëåíèå
x
e(t)
íåîñîáà, òî
Km =
Z t
0
{H, Km }(e
x(s)) + u
e(s){G, Km }(e
x(s)) ds.
Äîêàæåì òåïåðü áàçó îáðàòíîé èíäóêöèè.
(5.1)
Ðàññìîòðèì ïîñëåäíþþ ñòðî÷-
K2h íå ãëàâíàÿ ñêîáêà, òî ïîäûíòåãðàëüíîå
îáíóëÿåòñÿ ïðè t = 0, òàê êàê x
e(0) = x∗ (0) ∈ S2h . Ñëåäîâàt > 0 äëÿ íåêîòîðîãî b2h > 0 âûïîëíåíî
êó íèñïàäàþùåé ñèñòåìû. Åñëè
âûðàæåíèå â (5.1)
òåëüíî ïðè ìàëûõ
|K2h (e
x(t))| 6 b2h t2 ,
åñëè
Ðàññìîòðèì ïîäðîáíî ãëàâíóþ ñêîáêó
K2h
íå ãëàâíàÿ ñêîáêà.
(ad H)2h−1 G
â ïîñëåäíåé ñòðîêå. Ïîêà-
t = 0 îòðèöàòåëüíî.
u
e(0) = 1 íà u∗ (0) < 1 òî ïîëó÷èòñÿ 0 ïî
2h−1
òåîðåìå 1, à {G, (ad H)
G}(e
x(0)) < 0 ïî óñëîâèþ òåîðåìû. Ïîýòîìó ïðè
ìàëûõ t > 0 äëÿ íåêîòîðîãî c2h > 0 âûïîëíåíî
æåì äëÿ íåå, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â (5.1) ïðè
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè â íåì çàìåíèòü
(ad H)2h−1 G(e
x(t)) 6 −c2h t < 0.
17
ÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÎÑÒÜ ÏÎÒÎÊÀ ÎÑÎÁÛÕ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ
Øàã îáðàòíîé èíäóêöèè î÷åíü ïîõîæ íà áàçó. Ïóñòü
m < 2h.
Åñëè
Km
íå ãëàâíàÿ ñêîáêà, òî ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â (5.1) ñîäåðæèò òîëüêî íå
ãëàâíûå ñêîáêè. Ïîýòîìó èç ðåçóëüòàòà äëÿ ñòðî÷êè
bm > 0
íåêîòîðîãî
ïðè ìàëûõ
|Km (e
x(t))| 6 bm t2h−m+2 ,
Äëÿ ãëàâíîé ñêîáêè
m+1
ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ
t>0
(ad H)m−1 G
åñëè
Km
íå ãëàâíàÿ ñêîáêà.
ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå: ïåðâîå ïîäûíòåãðàëü-
íîå ñëàãàåìîå â (5.1) ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé ñêîáêîé â ñòðîêå ñ íîìåðîì
âòîðîå íå ãëàâíîé è ìàæîðèðóåòñÿ ïåðâûì ïðè ìàëûõ
ìàëûõ
t > 0.
(m + 1),
à
Ïîýòîìó ïðè
t>0
(ad H)m−1 G(e
x(t)) 6 −cm t2h−m+1 < 0,
÷òî è òðåáîâàëîñü.
Çàìå÷àíèå 4. Óñëîâèå
|u∗ (t)| < 1
â òåîðåìå 2 ñóùåñòâåííî. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî òåîðåìà 2 çàïðåùàåò ðåãóëÿðíîå ñîïðÿæåíèå â òî÷êàõ ìíîãîîáðàçèÿ îñîáûõ
òðàåêòîðèé
S,
íî íè÷åãî íå óòâåðæäàåò ïðî ñîïðÿæåíèå íà åãî ãðàíèöå
∂S .
Ïðèìåð 3. Â ðàññìîòðåííîì âûøå ïðèìåðå 2 â îêðåñòíîñòè îñîáîé òðàåê-
òîðèè
q1 = q2 = p1 = p2 = 0
13
ïîýòîìó
ñèñòåìà èìååò âòîðîé íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê,
ïî äîêàçàííîé òåîðåìå 2 ðåãóëÿðíîå ñîïðÿæåíèå ñ íåîñîáîé òðàåê-
òîðèåé íåâîçìîæíî. Îäíàêî ýòîò ôàêò íå ñëåäóåò èç êëàññè÷åñêîé òåîðåìû î
ñîïðÿæåíèè, òàê êàê ãëîáàëüíûé ïîðÿäîê ñèñòåìû ðàâåí 1 â ëþáîé îòêðûòîé
îáëàñòè. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî îïðåäåëåíèå ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà âûðîæäàåòñÿ
â ýòîì ïðèìåðå, òàê êàê ëîêàëüíûé ïîðÿäîê ëþáîé îñîáîé òðàåêòîðèè áîëüøå
èëè ðàâåí
2-ì,
è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå òðàåêòîðèè àíîðìàëüíû.
Òàêèì îáðàçîì, íåâîçìîæíîñòü ðåãóëÿðíîãî ñîïðÿæåíèÿ íà ñàìîì äåëå îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòíîñòüþ íàòóðàëüíîãî ïîðÿäêà, à íå ãëîáàëüíîãî. ×åòíîñòü ëîêàëüíîãî ïîðÿäêà íàïðîòèâ íå ïðåïÿòñòâóåò ðåãóëÿðíîìó ñîïðÿæåíèþ. Ýòî õîðîøî
âèäíî èç ïðèìåðà Ëüþèñà, êîòîðûé èçíà÷àëüíî è ïîñëóæèë òîë÷êîì äëÿ ââåäåíèÿ äâóõ ðàçíûõ îïðåäåëåíèé ïîðÿäêà ãëîáàëüíîãî è ëîêàëüíîãî. Ðàçáåðåì
åãî ñ òî÷êè çðåíèÿ íàòóðàëüíîãî ïîðÿäêà.
Ïðèìåð 4 Ëüþèñ, 1980, [7]. Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ìèíèìèçàöèè èíòå-
ãðàëà:
Z
∞
q1 −
0
1
2
2
dt → min
ïðè óñëîâèè, ÷òî
q̇1 = uq2 ;
q̇2 = u − q1 ;
u ∈ [−1; 1].
Ñîãëàñíî ïðèíöèïó ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà
2
1
− p2 q1 + (p2 + q2 p1 )u,
H = − q1 −
2
13 Îáîáùåííîå óñëîâèå Ëåæàíäðà-Êëåáøà âûïîëíåíî, òàê êàê {G, (ad H)3 G} = −1 â íà÷àëå êîîðäèíàò.
18
Ë. Â. ËÎÊÓÖÈÅÂÑÊÈÉ
1
2,
ÿâëÿåòñÿ îñîáîé, è
Êàê ïîêàçàë Ëüþèñ, òðàåêòîðèÿ
q2 = p1 = p2 = u = 0
q1 =
åå ëîêàëüíûé ïîðÿäîê ðàâåí äâóì. Îáîáùåííîå óñëîâèå Ëåæàíäðà-Êëåáøà (â òåðìèíàõ
ëîêàëüíîãî ïîðÿäêà) âûïîëíåíî, íî ïðè ýòîì
ñóùåñòâóþò íåîñîáûå òðàåêòîðèè, ñîïðÿãàþùèåñÿ ñ íåé ðåãóëÿðíî. Ýòî íå ïðîòèâîðå÷èò
êëàññè÷åñêîé òåîðåìå î ñîïðÿæåíèè, òàê êàê
ãëîáàëüíûé ïîðÿäîê â ñèñòåìå ðàâåí 1, à îñîáàÿ òðàåêòîðèÿ àíîðìàëüíà.
Ñ òî÷êè çðåíèå íàòóðàëüíîãî ïîðÿäêà ñèòóàöèÿ óñòðîåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Ðèñ. 2.
Ïðîåêöèÿ
ìíîæåñòâà S20 íà
ïëîñêîñòü (q1 , q2 ).
{H, G} = 2q1 q2 −q1 p1 +q2 p2 −q2
G = p2 +q2 p1 ;
x∗ = ( 12 , 0, 0, 0)
Ïîýòîìó â îêðåñòíîñòè òî÷êè
èìååì
S1 = p2 = −q2 p1
q2 (2q1 − 1)
S2 = S1 ∩ p1 =
q1 + q22
è
Ïåðåìåííûå q1 è q2 ÿâëÿþòñÿ ëîêàëüíûìè êîîðäèíàòàìè íà S2 â îêðåñòíîñòè
x∗ , òî åñòü q1 è q2 íà S2 ìîãóò áûòü ëþáûìè èç îêðåñòíîñòè òî÷êè ( 12 , 0), à p1
è p2 ïî íèì îäíîçíà÷íî íàõîäÿòñÿ. Íàéäåì íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê ñèñòåìû â
∗
îêðåñòíîñòè x :
{G, (ad H)G}|S2 =
Ïîýòîìó ñêîáêà
{G, (ad H)G}
q22 + q1 +
1
2
2
2
+ 3 q22 − q1 + 12 − 1
2(q1 + q22 )
.
îáíóëÿåòñÿ íå âî âñåõ òî÷êàõ ìíîãîîáðàçèÿ
S2 ,
íà ëèøü à ïîâåðõíîñòè
S20
= S2 ∩
q22
1 2
1 2
2
+ q1 +
+ 3 q2 − q1 +
=1
2
2
q22
íà
q2 ,
Òåïåðü, ÷òîáû ïîñòðîèòü
S20
íåîáõîäèìî ê ìíîæåñòâó
Åñëè â ôîðìóëàõ (5.2) çàìåíèòü
ýëëèïñ
L.
ïðèìåíèòü ïðåîáðàçîâàíèå
íîñòè òðàåêòîðèè
ïîðÿäîê
S2
áåç
S20
x∗ ∈ S20
q2 7→
√
q2
òî íà ïëîñêîñòè
(5.2)
(q1 , q2 ) ïîëó÷èòñÿ
L ∩ {q2 > 0}
(ñì. ðèñ. 2). Òàêèì îáðàçîì, â îêðåñò-
íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê íåîïðåäåëåí, à íàòóðàëüíûé
ðàâåí 1 (êàê è ãëîáàëüíûé) è íå ïðåïÿòñòâóåò ðåãóëÿðíîìó
ñîïðÿæåíèþ íåîñîáûõ òðàåêòîðèé ñ
Çàìå÷àíèå 5. Åñëè ñèñòåìà â
V
x∗ .
èìååò íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê
íûé ïîðÿäîê ëþáîé îñîáîé òðàåêòîðèè â
V
ñîâïàäàåò ñ
h
h,
òî ëîêàëü-
(õîòÿ ãëîáàëüíûé
ïîðÿäîê ìîæåò áûòü ìåíüøå). Äåéñòâèòåëüíî, âû÷èñëèì â ñòàðûõ îáîçíà÷åíèÿõ
d k ∂ H
dt ∂u
êàê ôîðìàëüíûé ìíîãî÷ëåí îò
u, u̇, ü, . . ..
H èG
ìîíîìàõ áóäóò ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ñêîáîê îò
Êîýôôèöèåíòàìè ïðè
äëèíû
k.
Ïîýòîìó ïî
19
ÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÎÑÒÜ ÏÎÒÎÊÀ ÎÑÎÁÛÕ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ
ëåììå 3 åñëè
k < 2h,
òî
ëåììå ïîëó÷àåì:
∂
∂u
d
dt
∂
∂u
2h
d
dt
k
∂ H = 0.
∂u
Åñëè æå
k = 2h,
∂
H = {G, (ad H)2h−1 G} =
6 0
∂u
íà
òî ïî òîé æå
S
Áîëåå òîãî, êàê ýëåìåíòàðíîå ñëåäñòâèå, ïîëó÷àåì îáîáùåííîå íåðàâåíñòâî
Ëåæàíäðà-Êëåáøà äëÿ íàòóðàëüíîãî ïîðÿäêà, âûòåêàþùåå èç åãî àíàëîãà äëÿ
ëîêàëüíîãî ïîðÿäêà:
(−1)h {G, (ad H)2h−1 G} 6 0
Íåðàâåíñòâî ñôîðìóëèðîâàíî äëÿ ïðèíöèïà ìàêñèìóìà, ò.å. äëÿ ñëó÷àÿ
sign G.
Åñëè æå
u = − sign G,
u=
òî çíàê â íåðàâåíñòâå íàäî îáðàòèòü. Ýòà ôîðìà
õîðîøî èçâåñòíà â ñëó÷àå, êîãäà
h ãëîáàëüíûé ïîðÿäîê.
Çäåñü æå îíà äîêàçà-
íà äëÿ áîëåå îáùåãî îïðåäåëåíèÿ íàòóðàëüíîãî ïîðÿäêà, è ðàáîòàåò âî ìíîãèõ
ñëó÷àÿõ íåñîâïàäàíèÿ ëîêàëüíîãî è ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêîâ.
Ÿ 6. Ïðèìåðû èç êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè
 ýòîì ïàðàãðàôå áóäóò ðàññìîòðåíû äâà ïðèìåðà.
Ïåðâûé ïðèìåð îá
óïðàâëåíèè ïåðåâåðíóòûì ìàÿòíèêîì. Îí äîñòàòî÷íî ïðîñò è ïðèâåäåí çäåñü,
÷òîáû ïðîèëëþñòðèðîâàòü èñïîëüçóåìóþ òåõíèêó íà ïðîñòûõ âû÷èñëåíèÿõ.
Âòîðîé ïðèìåð îá óïðàâëåíèè íàìàãíè÷åííûì âîë÷êîì Ëàãðàíæà, ïîìåùåííûì â ïåðåìåííîå ìàãíèòíîå ïîëå. Ïîëó÷èòü ÿâíûå ôîðìóëû â ýòîì ïðèìåðå
áåç èñïîëüçîâàíèÿ ïðåäëàãàåìîé òåõíèêè ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíûì.  îáîèõ ñëó÷àÿõ áóäåò äîêàçàíî, ÷òî ïîòîê îñîáûõ òðàåêòîðèé ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìûì ïî Ëèóèâëëþ, è áóäóò âûïèñàíû ïîëíûå íàáîðû ïåðâûõ
èíòåãðàëîâ â èíâîëþöèè.
Ïðèìåð 5. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïåðåâåðíóòûì ìà-
òåìàòè÷åñêèì ìàÿòíèêîì íà òåëåæêå (ñì. ðèñ. 3). Òåëåæêà äâèãàåòñÿ â îäíîìåðíîì íàïðàâëåíèè ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé. Ìàÿòíèê çàêðåïëåí íà øàð-
x ïîëîæåíèå òåëåæêè, α óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà îò
u ∈ [−1, 1] ñèëà, òî, ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ âòîðîãî è âûñøåãî
íèðå. Òîãäà, åñëè
âåðòèêàëè, à
ïîðÿäêîâ, ïîëó÷àåì
ẍ = u;
α̈ = α + u
Çàäà÷à ìèíèìèçèðîâàòü ñðåäíå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå òåëåæêè îò íà÷àëà
êîîðäèíàò (ñ òåìè èëè èíûìè óñëîâèÿìè íà ïîëîæåíèå è ñêîðîñòè òåëåæêè è
ìàÿòíèêà â íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé ìîìåíòû âðåìåíè):
1
2
Z
0
T
x2 (t) dt → inf
20
Ë. Â. ËÎÊÓÖÈÅÂÑÊÈÉ
Ïðèìåíèì ïðèíöèï ìàêñèìóìà Ïîíòðÿ-
q1 = x, q2 = ẋ, q3 = α è q4 = α̇,
pi , i = 1, . . . , 4, ñîïðÿæåííûå ê íèì ïåðåìåííûå. Òîãäà (ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî λ0 6= 0)
ãèíà: ïóñòü
à
1
H = − q12 + p1 q2 + p2 u + p3 q4 + p4 (q3 + u)
2
H = − 12 q12 +p1 q2 +p3 q4 +
G = p2 + p4 è u = sign G. Ïðÿìûå âû-
Ðèñ. 3.
Ìåõàíè÷åñêàÿ
ñèñòåìà ïåðåâåðíóòîãî
ìàÿòíèêà.
Òàêèì îáðàçîì,
p4 q3 ,
÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ñèñòåìà èìååò
âòîðîé íàòóðàëüíûé (è ãëîáàëüíûé) ïîðÿ-
äîê (êàê ÷àñòî ýòî áûâàåò â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ ìåõàíè÷åñêèìè ñèñòåìàìè):
{G, (ad H)3 G} ≡ −1
{G, (ad H)G} ≡ 0,
Ìíîãîîáðàçèå îñîáûõ òðàåêòîðèé
S
÷åòûðåõ-ìåðíî è îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøå-
íèÿìè

G




 (ad H)G
(ad H)2 G


(ad H)3 G


 s
u
Âûáåðåì
q3 , q4 , p3 , p4
= p2 + p4 = 0;
= −p1 − p3 = 0;
= −q1 + p4 = 0;
= −q2 − p3 = 0;
= p4 ∈ (−1, 1).
â êà÷åñòâå êîîðäèíàò íà
ω|S = dp2 ∧ d(q3 − p4 ) + dp4 ∧ d(q4 + p3 )
 êà÷åñòâå êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò íà
q4 + p3 , P1 = p3
è
P2 = p4 .
S
è
S.
Òîãäà
1
H|S = p23 − p24 + p3 q4 + p4 q3
2
ìîæíî âûáðàòü
Q1 = q3 − p4 , Q2 =
Òîãäà
ω|S = dP1 ∧ dQ1 + dP2 ∧ dQ2
è
H|S =
1 2
P + P1 Q2 + P2 Q1
2 2
2
2
Äàííàÿ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà èìååò î÷åâèäíûé ïåðâûé èíòåãðàë P1 − P2 =
2
2
p3 − p4 íåçàâèñèìûé ñ H|S (ò.å. ÿâëÿåòñÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìîé) è, áîëåå òîãî,
èíòåãðèðóåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ:

 P1 = −Aet + Be−t ; P2 = Aet + Be−t ;
Q = 12 Atet − 12 Bte−t + (C − 14 A)et + (D − 14 B)e−t ;
 1
Q2 = 12 Atet + 12 Bte−t + (C + 14 A)et − (D + 41 B)e−t ;
ãäå
A, B , C
è
D
ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
Ïîñêîëüêó íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê ñèñòåìû ðàâåí
2 è {G, (ad H)3 G} < 0, òî ïî
òåîðåìå 2 íåîñîáûå òðàåêòîðèè íå ìîãóò ñîïðÿãàòüñÿ ñ îñîáûìè ðåãóëÿðíî
14
.
Äîáàâèì åùå, ÷òî ñîãëàñíî òåîðåìå Çåëèêèíà-Áîðèñîâà î ðàññëîåíèè (ñì. [11])
14 Çà
èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, òî÷åê íà ãðàíèöå S , â êîòîðûõ îñîáîå óïðàâëåíèå u = ±1.
21
ÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÎÑÒÜ ÏÎÒÎÊÀ ÎÑÎÁÛÕ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ
äëÿ ñèñòåì ñ îñîáûìè òðàåêòîðèÿìè âòîðîãî ãëîáàëüíîãî ïîðÿäêà, â îêðåñòíîñòè îñîáîãî ìíîãîîáðàçèÿ
S
E+
è
Êàæäûé ñëîé
F
èìåþòñÿ äâà ðàññëîåíèÿ
ñëîÿìè, ãîìåîìîðôíûì äìóìåðíîìó äèñêó.
E−
ñ áàçîé
ðàññëîåíèÿ
S è
E+
ñîòêàí èç îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà îïòèìàëüíûõ òðàåêòîðèé, êàæäàÿ
èç êîòîðûõ âûõîäèò íà îñîáîå ìíîãîîáðàçèå
S
â òî÷êå
F ∩S , ñîâåðøàÿ ïðè ýòîì
ñ÷åòíîå ÷èñëî ïåðåêëþ÷åíèé óïðàâëåíèÿ (ò.å. ñ÷åòíîå ÷èñëî ðàç ïåðåñåêàÿ ïîâåðõíîñòü
S1 ).
Ðàññëîåíèå
òðàåêòîðèè ñõîäÿò ñ
S
E−
óñòðîåíî àíàëîãè÷íî, ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî
ïî ñëîÿì
E−.
Ïîòîê ãëàäêîãî ãàìèëüòîíèàíà
e = H(x) + G(x)us (x) = H + Gp2 = − 1 q12 + p1 q2 + p22 + p3 q4 + p4 q3 + p2 p4 .
H
2
M îáëàäàåò íà S 6-þ
e è F6 = p2 − p2 , è,
F5 = H
3
4
â
ïåðâûìè èíòåãðàëàìè
F4 = (ad H)3 G,
ñóïåðèíòåãðèðóåìûì íà S .
F1 = G,
ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ
...,
Ïðåæäå ÷åì, ïåðåõîäèòü ê ñëåäóþùåìó ïðèìåðó, îòìåòèì, ÷òî ëåììû 1 è
2 îêàçûâàþòñÿ î÷åíü ïîëåçíûìè è ìîãóò ñèëüíî ñîêðàòèòü âû÷èñëåíèÿ, â òîò
ìîìåíò, êîãäà ñëîæíîñòü ôîðìàëüíûõ âûêëàäîê ïåðåõîäèò âñå ðàçóìíûå ïðåäåëû.
Äåéñòâèòåëüíî, ïîñòðîåíèå îñîáîãî ìíîãîîáðàçèÿ íàïðÿìóþ ñâÿçàíî ñ
ïîñëåäîâàòåëüíûì âû÷èñëåíèåì
íå÷åòíûõ
k.
(ad H)k G
ïðè
{G, (ad H)k G} ïðè
âû÷èñëåíèÿ íà k -îì øàãå ñ
k = 1, 2, . . .
Ëåììû 1 è 2 ïîçâîëÿþò ïðîèçâîäèòü
è
òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ, âû÷èñëåííûõ íà ïðåäûäóùèõ øàãàõ.
Ïðèìåð 6. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ âðàùåíèåì òâåð-
äîãî òåëà â ïåðåìåííîì ìàãíèòíîì ïîëå.
Ïóñòü îñåñèììåòðè÷íîå íàìàãíè-
÷åííîå òâåðäîå òåëî (âîë÷îê Ëàãðàíæà) çàêðåïëåíî â òî÷êå íà îñè ñèììåòðèè
è ïîìåùåíî âíóòðü èíäóêöèîííîé ìàãíèòíîé êàòóøêè (â íåâåñîìîñòè). Ìàãíèòíîå ïîëå êàòóøêè ïðèáëèæåííî áóäåì ñ÷èòàòü â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè
ïîñòîÿííûì:
h(t)e,
ãäå
e ∈ R3
åäèíè÷íûé âåêòîð, à
h(t) ∈ R
íàïðÿæåí-
íîñòü ïîëÿ, è ïðåíåáðåæåì ýôôåêòîì Áàðíåòòà. Âû÷èñëåíèÿ áóäåì ïðîâîäèòü
â ñèñòåìå êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ òåëîì. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
ìàòðèöó, îáðàòíóþ ê òåíçîðó èíåðöèè, ÷åðåç
N ∈ R3
m ∈ R3
J = diag(J1 , J1 , J2 )
ìîìåíò òåëà, à ÷åðåç
ïîñòîÿííûé ìàãíèòíûé ìîìåíò òåëà. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âåêòîð
ëåæèò íà îñè ñèììåòðèè è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì
ò.å.
JN = J2 N . Òîãäà, åñëè u(t) ∈ [−u0 , u0 ] íàïðÿæåíèå
t, à R åå âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå, òî
N
J,
íà êàòóøêå â ìîìåíò
âðåìåíè

 ṁ
ė

ḣ
ãäå
[·, ·]
=
=
=
[m, Jm] + h[e, N ];
[e, Jm];
−Rh + u;
(6.1)
îáîçíà÷àåò âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå.
Ñèñòåìà (6.1) ïî÷òè
ñîâïàäàþò ñ ñèñòåìîé óðàâíåíèé âðàùåíèÿ âîë÷êà
Ëàãðàíæà â îäíîðîäíîì ñèëîâîì ïîëå òÿæåñòè (ñì. [15]). Ñóùåñòâåííàÿ ðàçíèöà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ìîäóëü ñèëû ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì.
22
Ë. Â. ËÎÊÓÖÈÅÂÑÊÈÉ
λ > 0,
t 7→ λ1 t, m 7→ λm, h 7→ λ2 h, u 7→ λ3 u, R 7→ λR, ïîýòîìó ìû ìîæåì
1
ñ÷èòàòü, ÷òî R = 1; (ii) h 7→ λh, N 7→ N , u 7→ λu, ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
λ
1
u0 = 1; è (iii) e 7→ λe, N 7→ λ N , ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü, N = (0, 0, 1), à âåêòîð
e ìîæåò èìåòü âîîáùå ãîâîðÿ íå åäèíè÷íóþ äëèíó. Òàêèì îáðàçîì, ôàçîâîå
7
ïðîñòðàíñòâî M = {m, e, h} ñåìèìåðíî: M = R \ {e = 0}.
Òðåáóåòñÿ, óïðàâëÿÿ íàïðÿæåíèåì íà êàòóøêå u ∈ [−1, 1], ïåðåâåñòè ñèñòåìó
Ñèñòåìà (6.1) íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ñëåäóþùèõ çàìåíàõ êîîðäèíàò: ïóñòü
òîãäà (i)
èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå çà ìèíèìàëüíîå âðåìÿ:
T → inf .
(6.2)
Íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ñîñòîÿíèÿ ìîãóò áûòü ëèáî ôèêñèðîâàííûìè, ëèáî ëåæàùèìè íà íåêîòîðûõ òåðìèíàëüíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ ýòî íåñóùåñòâåííî äëÿ
äàëüíåéøåãî.
Ñèñòåìà (6.1) îáëàäàåò ñëåäóþùèìè î÷åâèäíûìè ïåðâûìè èíòåãðàëàìè
m, N = const; ìàãíèòíîãî ïîëÿ:
m, e =
1. Ïðîåêöèÿ âåêòîðà ìîìåíòà íà îñü ñèììåòðèè:
2. Ïðîåêöèÿ âåêòîðà ìîìåíòà íà íàïðàâëåíèå
const;
3. Ãåîìåòðè÷åñêèé èíòåãðàë:
Äëèíà âåêòîðà ìîìåíòà
m
e, e = const.
è àíàëîã ýíåðãèè
òàê êàê íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ïóñòü
p, q , r
h
h ∈ R.
íå ñîõðàíÿþòñÿ â ñèñòåìå,
ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì.
m, e è h ñîîòâåòñòâåííî (êîîðäèM = T ∗ M ). Òî åñòü p ∈ R3 , q ∈ R3
ïåðåìåííûå, ñîïðÿæåííûå ê
íàòû â ñëîå íà êîêàñàòåëüíîì ðàññëîåíèè
è
E
Ñîãëàñíî ïðèíöèïó ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà, îïòèìàëüíûå òðàåêòî-
ðèè äîëæíû áûòü òðàåêòîðèÿìè ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ ðàçðûâíîé ïðàâîé
÷àñòüþ:
ãäå
·, ·
H = p, [m, Jm] + h p, [e, N ] + q, [e, Jm] − rh + ru = H + Gu,
îáîçíà÷àåòñÿ ñïàðèâàíèå âåêòîðà è êîâåêòîðà (ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäå-
íèå), à ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ôîðìà èìååò âèä
ω = dp ∧ dm + dq ∧ de + dr ∧ dh.
Òàêèì
îáðàçîì,

 ṗ
q̇

ṙ
= [p, Jm] − J[p, m] − J[q, e];
= h[p,
N ] + [q,
Jm];
= − p, [e, N ] + r;
Íàéäåì îñîáîå ìíîãîîáðàçèå
S
S
è äîêàæåì, ÷òî ïîòîê îñîáûõ òðàåêòîðèé íà
ÿâëÿåòñÿ âïîëíå èíòåãðèðóåì ïî Ëèóâèëëþ.  ýòîé çàäà÷å ìîæíî áûëî áû
âîñïîëüçîâàòüñÿ Ïóàññîíîâîé/áèãàìèëüòîíîâîé ñòðóêòóðîé ñèñòåìû (6.1) ïðè
ïîñòîÿííîì
h
(ñì. [16]) èëè LA-ïàðîé (ñì. [17]), íî ïðÿìûå âû÷èñëåíèÿ ïðåä-
ïî÷òèòåëüíåå äëÿ òîãî, ÷òîáû ÿâíî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü ðàçâèòóþ òåõíèêó.
Êàê îáû÷íî, áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç
Èòàê,
G = r,
çíà÷èò,
S1 = {x : r = 0},
x
òî÷êó
M,
ò.å.
x = (m, e, h, p, q, r).
è
(ad H)G = − p, [e, N ] + G.
Ïîñêîëüêó ñëàãàåìîå
G
îáíóëèëîñü íà ïðåäûäóùåì øàãå, ò.å.
òî îíî íå ìîæåò ïîâëèÿòü íà äàëüíåéøèå âû÷èñëåíèÿ.
G = 0
íà
S1 ,
Äåéñòâèòåëüíî, ïðè
23
ÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÎÑÒÜ ÏÎÒÎÊÀ ÎÑÎÁÛÕ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ
âû÷èñëåíèè
âêëàäà, ò.ê.
(ad H)2 G è {G, (ad H)G} íà S2 ýòî ñëàãàåìîå íå äàåò íèêàêîãî
è (ad H)G è {G, G} îáíóëÿþòñÿ íà S2 . Àíàëîãè÷íî, ýòî ñëàãàåìîå
íå âíåñåò íèêàêîãî âêëàäà â äàëüíåéøåì. Äðóãèìè ñëîâàìè, ïî ëåììàì 1 è 2,
äëÿ âñåõ ïîñëåäóþùèõ âû÷èñëåíèé íàì, âîîáùå ãîâîðÿ, äîñòàòî÷íî çíàòü, ÷òî
íà S
(ad H)G == 1 − p, [e, N ] .
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
{G, (ad H)G} ≡ 0,
òî åñòü íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê íå ìåíüøå
2-õ, è
n o
S2 = S1 ∩ x : p, [e, N ] = 0 .
Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî
ëþáîãî âåêòîðà
x
N
âûïîëíåíî
(ad H)2 G = J1
ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû
J[x, N ] = [Jx, N ] = J1 [x, N ].
J:
äëÿ
Ïîëó÷àåì
íà S
[e, m], [p, N ] + [e, N ], [q, e] + (ad H)G == 2
íà S2
== J1 [e, m], [p, N ] + [e, N ], [q, e] ,
{G, (ad H)2 G} ≡ 0. Íà ñàìîì äåëå, äîñòàòî÷íî òîãî, ÷òî {G, (ad H)2 G} = 0
íà S3 , ÷òî ñëåäóåò áåç âû÷èñëåíèé èç ñëåäñòâèÿ 2 èëè èç ëåììû 3. Èòàê,
n o
S3 = S2 ∩ x : [e, m], [p, N ] + [e, N ], [q, e] = 0
è
Íà ÷åòâåðòîì øàãå ïðÿìàÿ âûêëàäêà äàåò:
(ad H)3 G =J12 m, e m, [p, N ] + m, e e, [q, N ] + 2 e, N e, [m, q] +
+J1 2h e, N − J1 m, m
(ad H)G − G + (ad H)2 G,
(6.3)
è, ñëåäîâàòåëüíî,
n o
S4 = S3 ∩ x : m, e m, [p, N ] + m, e e, [q, N ] + 2 e, N e, [m, q] = 0
Áîëåå òîãî,
{G, (ad H)3 G} = 2J1 e, N (ad H)G − G
Òàêèì îáðàçîì, ñêîáêà
åòñÿ íà
S4 .
{G, (ad H)3 G}
íå îáíóëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, íî îáíóëÿ-
Ïîýòîìó ëîêàëüíûé ïîðÿäîê ëþáîé îñîáîé òðàåêòîðèè íå ìåíüøå
3-õ, à ãëîáàëüíûé ïîðÿäîê ñèñòåìû âûðîæäàåòñÿ è ðàâåí 2-ì.
Íàòóðàëüíûé
ïîðÿäîê íàîáîðîò íå âûðîæäàåòñÿ è íå ìåíüøå 3-õ.
Ïîñëåäíèå äâà ñëàãàåìûõ â (6.3) ìîæíî îòáðîñèòü ïî ëåììàì 1 è 2. Äî ýòîãî
ìîìåíòà ìû òàùèëè çà ñîáîé âñå ëèøíèå ñëàãàåìûå, ÷òîáû ïðîäåìîíñòðèðîâàòü, êàêèì îáðàçîì ðàáîòàþò ëåììû 1 è 2, è ïîêàçàòü, ïî÷åìó ýòè ñëàãàåìûå
íå âëèÿþò íà ôèíàëüíûé ðåçóëüòàò. Îäíàêî, ñ ýòîãî ìîìåíòà ôîðìóëû ñòàíîâÿòñÿ ñëèøêîì òÿæåëîâåñíûå. Èòàê, íàì äîñòàòî÷íî òîãî, ÷òî
24
Ë. Â. ËÎÊÓÖÈÅÂÑÊÈÉ
íà S
(ad H)3 G == 3 J12
m, e m, [p, N ] + m, e e, [q, N ] + 2 e, N e, [m, q]
Ïîýòîìó
íà S
íà S
(ad H)4 G == 4 2J13 e, [m, N ] e, [m, q] + 2J1 h (ad H)2 G − (ad H)G == 4
íà S4
== 2J13 e, [m, N ] e, [m, q] ,
è
n o
S5 = S4 ∩ x : e, [m, N ] e, [m, q] = 0 .
Ñêîáêà
{G, (ad H 4 )G} = 0
Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè
(6.4)
íà S5 ïî ñëåäñòâèþ 2 èëè ïî ëåììå
(ad H)5 G âû÷èñëèì îòäåëüíî
3.
íà S
{H, e, [m, q] } = J11 h (ad H)2 G − (ad H)G == 5 0;
{H, e, [m, N ] } = J1 [e, m], [m, N ] − h [e, N ], [e, N ] .
Ïîýòîìó ïî ïðàâèëó Ëåéáíèöà
íà S
(ad H)5 G == 5 2J13 e, [m, q] J1 [e, m], [m, N ] − h [e, N ], [e, N ]
Òàêèì îáðàçîì,
íà S
{G, (ad H)5 G} == 5 −2J13 e, [m, q] [e, N ], [e, N ] ,
è, ñëåäîâàòåëüíî, íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê ñèñòåìû ðàâåí 3-ì íà îòêðûòîì âñþäó
ïëîòíîì ìíîæåñòâå
M0 = M ∩ {x : [e, N ] 6= 0, e, [m, q] 6= 0}
Îáîáùåííîå óñëîâèå Ëåæàíäðà-Êëåáøà â ýòîé çàäà÷å èìååò âèä
e, [m, q] < 0
íà îñîáûõ òðàåêòîðèÿõ.
Îïèøåì òåïåðü íàèáîëåå ïðîñòûì îáðàçîì ìíîæåñòâî
÷òî
r = 0, à ïåðåìåííàÿ p3
S6 .
Ðàññìîòðèì òðè óðàâíåíèÿ
S6 .
Âíà÷àëå, çàìåòèì,
âîîáùå íå âõîäèò ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ
(ad H)k G = 0
ïðè
k = 1, 2, 3:

 E1 = e, [p, N ] = 0;
E = [e, m],
[p, N ] + [e,
N ], [q,
e] = 0  2 E3 = m, e m, [p, N ] + m, e e, [q, N ] + 2 e, N e, [m, q] = 0
Ïîñêîëüêó
m 6= 0
íà
M0 ,
òî
p1
è
p2
îäíîçíà÷íî âûðàæàþòñÿ èç ïåðâûõ äâóõ
óðàâíåíèé. Òðåòüå óðàâíåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
25
ÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÎÑÒÜ ÏÎÒÎÊÀ ÎÑÎÁÛÕ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ
m, e [m, e], [m, N ] E1 + m, e e, [m, N ] E2 − m, [e, [e, N ]] E3 =
2 E
D
= − q, [e, m] m, N, N e, e + e, N e − 2 e, N e, e N
|
{z
}
γ
Ïîýòîìó, íà
è
[e, N ].
S6
èç (6.4) è (6.5) ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ìîìåíò
Ïîýòîìó ìîìåíò
m
m
(6.5)
ïåðïåíäèêóëÿðåí
γ
ïàðàëëåëåí èõ âåêòîðíîìó ïðîèçâåäåíèþ. Íî
[γ, [e, N ]] = [e, N ], [e, N ]
e, N e + e, e N .
Ñëåäîâàòåëüíî
e, N e + e, e N , ãäå 0 6= ρ ∈ R.
(6.6)
Äàëåå, åñëè m, [e, [e, N ]] 6= 0, òî ñîãëàñíî (6.5) óðàâíåíèå E3 = 0 ìîæíî
çàìåíèòü óñëîâèåì m ⊥ γ , è ïîýòîìó óñëîâèÿ (6.4) è E3 = 0 ðàâíîñèëüíû
óñëîâèþ (6.6). Åñëè æå m ⊥ [e, [e, N ]], òî m k [e, N ], [e, [e, N ]] , òî åñòü m k e.
0
Ïîýòîìó èç (6.6) ïîëó÷àåì, ÷òî e k N (ò.ê. m 6= 0), íî [e, N ] 6= 0 íà M . Çíà÷èò,
ïàðà óñëîâèé (6.4) è E3 = 0 â ëþáîì ñëó÷àå ðàâíîñèëüíà óñëîâèþ (6.6).
m=ρ
Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì:
Íà M0 ñèñòåìà èìååò òðåòèé íîðìàëüíûé ïîðÿäîê, è ìíîæåñòâî S6 îïèñûâàåòñÿ òàê: p3 è q ëþáûå, r = 0, p1 è p2 íàõîäÿòñÿ îäíîçíà÷íî
èç ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (ad H)G = (ad H)2 G = 0 (ò.å. E1 = E2 = 0), âåêòîðû
m è e óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (6.6), à h íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ (ad H)5 G = 0,
ò.å.
Ëåììà 4.
h = ρ2 J1 e, e e, N .
(6.7)
Ñëåäñòâèå 4. Ìíîæåñòâî S6 ïî òåîðåìå 1 ÿâëÿåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèì
ïîäìíîãîîáðàçèåì M0 ðàçìåðíîñòè 8 ñ ëîêàëüíûìè êîîðäèíàòàìè e, ρ, q è
p3 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, óñëîâèå (6.6) äàåò äâà óðàâíåíèÿ, äèô-
m = 0 ëèáî
e, N e + e, e N = 0. Íî ïåðâûé âåêòîð íå ðàâåí 0 íà M0 , à âòîðîé îòëè÷åí
îò 0 âñåãäà, òàê êàê e 6= 0.
Êîðàçìåðíîñòü S6 â äâà ðàçà áîëüøå íàòóðàëüíîãî ïîðÿäêà, à dim M = 14,
ïîýòîìó dim S6 = 8. ôåðåíöèàëû êîòîðûõ ëèíåéíî çàâèñèìû òîëüêî â òî÷êàõ, ãäå ëèáî
Ëåììà 5. Íà ëþáîé îñîáîé òðàåêòîðèè äëèíû âåêòîðîâ e è m, à òàêæå
ïîïàðíûå óãëû ìåæäó e, m è N ïîñòîÿííû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöà Ãðàììà âåêòîðîâ e,
m è N ïîñòîÿííà.
Î÷åâèäíî, ÷òî ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ N, N , e, e , m, e
è m, N
ïîñòîÿííû íà ëþáîé òðàåêòîðèè. Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî e, N è
m, m ïîñòîÿííû íà îñîáûõ òðàåêòîðèÿõ:
d e, N dt d m, m
dt
=
=
[e, Jm], N = −J1 m, [e, N ]
2 m, [m, Jm] + 2us m, [e, N ]
íà S6
== 0
íà S6
== 0 26
Ë. Â. ËÎÊÓÖÈÅÂÑÊÈÉ
5. Íà ëþáîé îñîáîé òðàåêòîðèè ρ = const, h = const è E =
Ñëåäñòâèå
m, Jm = const.
Íà ëþáîé îñîáîé òðàåêòîðèè us = h.
Ñëåäñòâèå 6.
Íàéäåííîå óïðàâëåíèå
us (x)
íà îñîáûõ òðàåêòîðèÿõ ñîãëàñóåòñÿ ñ òåîðåìîé
1. Äåéñòâèòåëüíî,
íà S
(ad H)6 G == 6 2J14 e, [m, q] [e, m], [m, N ] .
Ïî òåîðåìå 1 ïîëó÷àåì
us (x) = −
[e, m], [m, N ] íà S6
(ad H)6
íà S6
==
J
== h
1
{G, (ad H)5 G}
[e, N ], [e, N ]
Ìíîãîîáðàçèå îñîáûõ òðàåêòîðèé
ïîäìíîãîîáðàçèå
S = S6 ∩ {x : |h| < 1}
ñèìïëåêòè÷åñêîå
S6 .
Äâèæåíèå ïî ëþáîé îñîáîé òðàåêòîðèè íà M0 â çàäà÷å (6.1,6.2)
îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ âîë÷êîì Ëàãðàíæà â ïåðåìåííîì ìàãíèòíîì ïîëå
óñòðîåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Òåîðåìà 3.
(i) Âåêòîð ìîìåíòà èìïóëüñà m, ìàãíèòíûé ìîìåíò òåëà N è íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ e âî âðåìÿ äâèæåíèÿ ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè è
îáðàçóþò äðóã ñ äðóãîì ïîñòîÿííûå óãëû.
(ii) Âåêòîð ìîìåíòà m âî âðåìÿ äâèæåíèÿ èìååò ïîñòîÿííóþ äëèíó è ïàðàëëåëåí ñóììå âåêòîðà ìàãíèòíîãî ìîìåíòà N è åãî ïðîåêöèè íà íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ e.
(iii) Âåêòîðû m è e âðàùàþòñÿ âîêðóã N ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ
e, N
Ω = e, e + (J2 − J1 ) N, N
(iv) Óïðàâëåíèå u âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ
h âíóòðè êàòóøêè áûëà ïîñòîÿííîé: u = hR ∈ (−u0 , u0 ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå è âòîðîå óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû åñòü ïðÿìîå ñëåä-
ñòâèå ëåìì 4 è 5. ×åòâåðòîå ñëåäñòâèÿ 6.
Íàéäåì óãëîâóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ
e
ñîâïàäåò ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ âðàùåíèÿ
ïîëó÷àåì, ÷òî
N . Ïî ïóíêòó (i) òåîðåìû îíà
m âîêðóã N . Âû÷èñëèì d e. Èç (6.6)
dt
âîêðóã
e, N
N
Jm == ρ J1 e, N e + e, e N + (J2 − J1 ) N, N
íà S6
Ïîýòîìó, ñîãëàñíî (6.1),
e, N d íà S6 [e, N ] e ==
e, e + (J2 − J1 ) dt
N, N
(6.8)
27
ÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÎÑÒÜ ÏÎÒÎÊÀ ÎÑÎÁÛÕ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ
Òàêèì îáðàçîì ïðè äâèæåíèè ïî îñîáîé òðàåêòîðèè âîë÷îê ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ âîêðóã âåêòîðà íàïðàâëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Ïðåöåññèÿ è íóòàöèÿ îòñóòñòâóþò, à ñóììà ìàãíèòíîãî ìîìåíòà è åãî ïðîåêöèè
íà íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ïàðàëëåëüíà âåêòîðó
ìîìåíòà âðàùåíèÿ òåëà.
Òåîðåìà 3 îïèñûâàåò ïðîåêöèþ îñîáûõ òðàåêòîðèé íà ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî
M = {m, e, h}.
 ðàñøèðåííîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå
M = T ∗M
èìååì:
Ëåììà 6. Ãàìèëüòîíîâ ïîòîê îñîáûõ òðàåêòîðèé íà S îáëàäàåò 4-ìû
íåçàâèñèìûìè ïåðâûìè èíòåãðàëàìè â èíâîëþöèè: F1 = e, e , F2 = m, e ,
íà S e íà S íà S
F3 = m,
N èF4 = H == H == H == q, [e, Jm] . Ïåðâûå èíòåãðàëû h , ρ
è E = m, Jm ÷åðåç íèõ âûðàæàþòñÿ.
F1 , F2 è F3 ÿâëÿþòñÿ ïåðâûìè èíòåãðàëàìè
H ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì ïîòîêà îñîáûõ òðàåêòîðèé ïî ñëåäñòâèþ 3. Ïîñêîëüêó p ⊥ [e, N ], à [m, Jm] k [e, N ] íà S ,
òî H|S = H|S = H|S = q, [e, Jm] .
Èíòåãðàëû F1 , F2 è F3 íåçàâèñèìû íà S , òàê êàê (ó÷èòûâàÿ, ÷òî íà S âûïîëÄîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèè
èñõîäíîé ñèñòåìû. Ãàìèëüòîíèàí
íåíî (6.6)) îäíîçíà÷íî çàäàþò äëèíû è ðàñïîëîæåíèå äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà
q è òîæå íåçàâèñèì îò
F1 , F2 è F3 ïî ôîðìóëå
(6.6), à h ïî ôîðìóëå (6.7). Ïîñêîëüêó íà S âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (6.8), òî E
íà S òàê æå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò F1 , F2 è F3 . âåêòîðîâ
e, m
è
N.
Èíòåãðàë
ïåðâûõ òðåõ. Ôóíêöèÿ
ρ
F4
ñîäåðæèò ïåðåìåííóþ
îäíîçíà÷íî íàõîäèòñÿ ÷åðåç
Òàêèì îáðàçîì, ïî òåîðåìå 1 ïîòîê îñîáûõ òðàåêòîðèé â çàäà÷å (6.1,6.2)
îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ âîë÷êîì Ëàãðàíæà â ïåðåìåííîì ìàãíèòíîì ïîëå
ÿâëÿåòñÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìûì ïî Ëèóâèëëþ. Áîëåå òîãî, ïî òîé æå òåîðåìå
e = H(x) + G(x)u(x), êîòîðûé
H
(êàê áûëî îòìå÷åíî â çàìå÷àíèè 1) îáëàäàåò íà S äîïîëíèòåëüíî åùå 6-þ ïåð5
âûìè èíòåãðàëàìè: F5 = G, F6 = (ad H)G, ..., F10 = (ad H) G. Ìàòðèöà
10
e ÿâëÿåòñÿ
({Fi , Fj })i,j=1 èìååò ðàíã 6 è ïîòîìó, ñèñòåìà ñ ãàìèëüòîíèàíîì H
15
ñóïåðèíòåãðèðóåìîé
íà S .
åãî ìîæíî âêëþ÷èòü â ïîòîê ãàìèëüòîíèàíà
Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ ïðèçíàòåëüíîñòü Ì.È. Çåëèêèíó çà íåîöåíèìóþ
ïîìîùü è ïîääåðæêó â ðàáîòå, à òàêæå Å.Â. Òðîèöêîìó çà îäèí íåáîëüøîé, íî
íåâåðîÿòíî ïîëåçíûé ñîâåò.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Ì.È. Çåëèêèí, Â.Ô. Áîðèñîâ. Îñîáûå îïòèìàëüíûå ðåæèìû â çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêè, íîìåð 11, Ñîâðåìåííàÿ ìàòåìàòèêà è åå ïðèëîæåíèÿ.
Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå. Àêàäåìèÿ Íàóê Ãðóçèè, Èíñòèòóò Êèáåðíåòèêè, Òáèëèñè, 2003.
[2] H.J. Kelley, R.E. Kopp, H.G. Moyer. Singular extremals. Topics in Optimization,
Academic Press, New York, pages 63101, 1967.
[3] A.J. Krener. The high order maximal principle and its application to singular
extremals. SIAM J. Control and Optimization, 15(2):256293, 1977.
15 Îòìåòèì, ÷òî âíå S ýòà ñèñòåìà òåðÿåò ïåðâûå èíòåãðàëû F , ..., F , íî ýòî íå èìååò
5
10
çíà÷åíèÿ, òàê êàê âñå îñîáûå òðàåêòîðèè ëåæàò íà S .
28
Ë. Â. ËÎÊÓÖÈÅÂÑÊÈÉ
[4] À.À. Àãðà÷åâ, Ð.Â. Ãàìêðåëèäçå. Ïðèíöèï îïòèìàëüíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ
çàäà÷è áûñòðîäåéñòâèÿ. Ìàòåì. ñá., 100(142)(4(8)):610643, 1976.
[5] À.Â. Äìèòðóê. Êâàäðàòè÷íûå óñëîâèÿ ïîíòðÿãèíñêîãî ìèíèìóìà â çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ëèíåéíîé ïî óïðàâëåíèþ. I. Òåîðåìà î ðàñøèôðîâêå. Èçâ.
ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì., 50(2):284312, 1986.
[6] À. Â. Äìèòðóê. Êâàäðàòè÷íûå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ìèíèìàëüíîñòè àíîðìàëüíûõ ñóáðèìàíîâûõ ãåîäåçè÷åñêèõ. Èòîãè íàóêè è òåõí. Ñåð. Ñîâðåì. ìàò. è åå
ïðèë. Òåìàò. îáç., Òðóäû ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè, ïîñâÿùåííîé 90-ëåòèþ
ñî äíÿ ðîæäåíèÿ Ë. Ñ. Ïîíòðÿãèíà (Ìîñêâà, 31 àâãóñòà 6 ñåíòÿáðÿ 1998 ã.).
Òîì 4. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, 589, Ì., 1999. ÂÈÍÈÒÈ.
[7] R.M. Lewis. Defenitions of order and junction condition in singular control problems.
SIAM J. Control and Optimization, 18(1):2132, 1980.
[8] J.P. McDannel, W.F. Powers. Necessary conditions for joining optimal singular and
non-singular subarcs. SIAM J. Control and Optimization, 9:161173, 1971.
[9] À.Ô. Ôèëèïïîâ. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ðàçðûâíîé ïðàâîé ÷àñòüþ. Íàóêà, Ì., 1985.
[10] H.M. Robbins. A generalized legendre-clebsch condition for the singular cases of
optimal control. IBM J. Res. Develop., 11:361372, JULY 1967.
[11] M.I. Zelikin, V.F. Borisov. Theory of Chattering Control with Applications to
Astronautics, Robotics, Economics, and Engineering. Birkhauser, Boston, 1994.
[12] Þ. Ìîçåð. Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû è ñïåêòðàëüíàÿ òåîðèÿ.
Èæåâñêàÿ ðåñïóáëèêàíñêàÿ òèïîãðàôèÿ, Èæåâñê, 1999.
[13] À.Ñ. Ìèùåíêî, À.Ò. Ôîìåíêî. Îáîáùåííûé ìåòîä Ëèóâèëëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ
ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì. Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèë., 12(2):4656, 1978.
[14] R. Hildebrand, L.V. Lokutsievskiy, M.I. Zelikin. Generic fractal structure of nite
parts of trajectories of piecewise smooth hamiltonian systems. Russian Journal of
Mathematical Physics, 20(1):2532, 2013.
[15] Â.È. Àðíîëüä. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Åäèòîðèàë
ÓÐÑÑ, Ìîñêâà, 1989.
[16] À.Â. Áîðèñîâ, È.Ñ. Ìàìàåâ. Ñîâðåìåííûå ìåòîäû òåîðèè èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì. Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, Ìîñêâà-Èæåâñê, 2003.
[17] À.Ã. Ðåéìàí, Ì.À. Ñåìåíîâ-Òÿí-Øàíñêèé. Èíòåãðèðóåìûå ñèñòåìû. Èíñòèòóò
êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, Ìîñêâà-Èæåâñê, 2003.
Ë. Â. Ëîêóöèåâñêèé (L. V. Lokutsievskiy)
Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò Ìîñêîâñêîãî
Ãîñóäàðñòâåííîãî Óíèâåðñèòåòà èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà
E-mail : lion.lokut@gmail.com
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ
20.05.2013