42. Несколько задач на закон сохранения механической энергии

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Íåñêîëüêî
çàäà÷ íà çàêîí
ñîõðàíåíèÿ
ìåõàíè÷åñêîé
ýíåðãèè
À.×ÅÐÍÎÓÖÀÍ
Â
øíóð è ðåøàþò çàäà÷ó òàê, êàê áóäòî ãðóç âèñèò íà ïðóæèíå.
Îäíàêî øíóð, â îòëè÷èå îò ïðóæèíû, ðàáîòàåò òîëüêî íà
ðàñòÿæåíèå. Åñëè øíóð íå ðàñòÿãèâàòü, à «ñæèìàòü» (ñáëèæàòü åãî êîíöû), òî îí òåðÿåò ôîðìó, èçãèáàåòñÿ, íå îêàçûâàÿ íèêàêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ.
Äàâàéòå è ìû íà÷íåì ðåøåíèå ñî ñëó÷àÿ ãðóçà íà ïðóæèíå
è ïîñìîòðèì, íå äàñò ëè íàì ñàì îòâåò (êàê ýòî ÷àñòî áûâàåò)
êàêóþ-íèáóäü ïîäñêàçêó, «ñèãíàë» î òîì, ÷òî ÷òî-òî íå â
ïîðÿäêå. Çàîäíî ïîãîâîðèì î âàæíîì ìåòîäè÷åñêîì ïðèåìå,
ïîìîãàþùåì ñóùåñòâåííî óïðîùàòü ðåøåíèå çàäà÷ ñ âåðòèêàëüíûìè ïðóæèíàìè.
Çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñèñòåìû, îòñ÷èòûâàÿ
ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ òÿãîòåíèÿ îò íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ
ãðóçà (ðèñ.1):
2
k ( x0 - h)
kx02 mv02
+
= mgh +
.
2
2
2
Çäåñü h – èñêîìàÿ âûñîòà, à x0 – íà÷àëüíîå ðàñòÿæåíèå
ïðóæèíû (øíóðà), êîòîðîå íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ âèñÿùåãî ãðóçà:
kx0 - mg = 0 .
ÝÒÎÉ ÑÒÀÒÜÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÛ ÇÀÄÀ×È, ÊÎÒÎÐÛÅ ÏÐÅÄ-
ëàãàëèñü â ïîñëåäíèå ãîäû íà ïèñüìåííûõ âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíàõ ïî ôèçèêå â ÐÃÓ íåôòè è ãàçà èì. È.Ì.Ãóáêèíà. Ýòè çàäà÷è áûëè îòîáðàíû ïî ñëåäóþùèì êðèòåðèÿì.
Âî-ïåðâûõ, ïðè èõ ðåøåíèè èñïîëüçóþòñÿ ïîäõîäû è ìåòîäû, ïðèìåíåíèå êîòîðûõ òðåáóåò õîðîøåãî ïîíèìàíèÿ ôèçè÷åñêîé ñóùíîñòè çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñëîæíûì
äëÿ ìíîãèõ àáèòóðèåíòîâ. Âî-âòîðûõ, ïðåèìóùåñòâî îòäàâàëîñü çàäà÷àì, ñîäåðæàùèì êðàñèâóþ ôèçè÷åñêóþ «èçþìèíêó» èëè ïîäâîõ, ÷òî âûäåëÿåò èõ â ðÿäó àíàëîãè÷íûõ çàäà÷.
 òî æå âðåìÿ, óðîâåíü ñëîæíîñòè ïðåäëàãàåìûõ çàäà÷
âïîëíå «àáèòóðèåíòñêèé» (õîòÿ è èç âåðõíåãî ýøåëîíà), îíè
íå ïðåòåíäóþò íà âûñîêîå çâàíèå «îëèìïèàäíûõ».
Íàäååìñÿ, ÷òî ýòà ñòàòüÿ ïîçâîëèò âàì ãëóáæå ïîçíàêîìèòüñÿ ñ òàêîé âàæíîé è íåòðèâèàëüíîé òåìîé, êàê çàêîí
ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè.
 ïåðâîé ãðóïïå èç ÷åòûðåõ çàäà÷ âíèìàíèå êîíöåíòðèðóåòñÿ íà àíàëèçå âîçìîæíûõ ñëó÷àåâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçëè÷íûì ñîîòíîøåíèÿì ìåæäó èñõîäíûìè äàííûìè. Íåóìåíèå
óâèäåòü ñêðûòûå â óñëîâèè çàäà÷è âîçìîæíîñòè ìîæåò
ïðèâåñòè ê îøèáî÷íûì ðåçóëüòàòàì.
Çàäà÷à 1. Ãðóç ìàññîé m = 1,6 êã ïîäâåøåí ê ïîòîëêó
íà óïðóãîì ðåçèíîâîì øíóðå æåñòêîñòüþ k = 250 Í/ì.
Ãðóçó ðåçêèì òîë÷êîì ñîîáùàþò íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v0 =
= 1 ì/ñ, íàïðàâëåííóþ âåðòèêàëüíî ââåðõ. Íà êàêóþ
ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó ( îòñ÷èòûâàÿ îò íà÷àëüíîé òî÷êè)
ïîäíèìåòñÿ ãðóç?
Íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùàÿñÿ îøèáêà ñîñòîèò â òîì, ÷òî
àáèòóðèåíòû íå îáðàùàþò âíèìàíèÿ íà ñëîâà ïðî ðåçèíîâûé
Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè â çàêîíå ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è ïîäñòàâëÿÿ
x0 , ïðèõîäèì ê ñîâñåì êîðîòêîìó óðàâíåíèþ
mv02 kh2
=
.
2
2
Çàìåòèì, ÷òî óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè g âîîáùå íå âîøëî
â êîíå÷íîå óðàâíåíèå, êàê áóäòî ïîëå òÿæåñòè îòñóòñòâóåò.
 ÷åì ïðè÷èíà? Çäåñü ïðîÿâèëîñü ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ãðóçà
íà ïðóæèíå: åñëè îòñ÷èòûâàòü îáùóþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ äëÿ ðàâíîäåéñòâóþùåé ñèëû òÿæåñòè è ñèëû óïðóãîñòè
îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, òî îíà ïðèíèìàåò âèä Eï = ky2 2 ,
ãäå y = x - x0 – ñìåùåíèå èç ýòîãî ïîëîæåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèëà â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ðàâíà
íóëþ, à ïðè ñìåùåíèè ãðóçà íà y âîçíèêàåò ñèëà Fy = -ky ,
ðàâíàÿ èçìåíåíèþ ñèëû óïðóãîñòè (ñèëà òÿæåñòè íå ìåíÿåòñÿ). Ïîñêîëüêó ñàìà ðàâíîäåéñòâóþùàÿ òàêàÿ æå, êàê ñèëà
óïðóãîñòè, òî è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äëÿ íåå òàêàÿ æå, êàê
äëÿ ÷èñòîé ñèëû óïðóãîñòè. Ýòî ñâîéñòâî ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ
ìîë÷à, áåç âñÿêèõ ïîÿñíåíèé, íàïðèìåð – ïðè ðàññìîòðåíèè
âåðòèêàëüíûõ êîëåáàíèé ãðóçà íà ïðóæèíå.
Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå äàííûå â ïîñëåäíåå óðàâíåíèå,
íàõîäèì èñêîìóþ âûñîòó:
m
h = v0
= 80 ìì .
k
Âåðíåìñÿ ê çàäà÷å ñî øíóðîì. Êàçàëîñü áû, ïîëó÷åííûé
îòâåò êàê â îáùåì âèäå, òàê è â ÷èñëîâîì âûðàæåíèè íè÷åì
íå ïîìîãàåò íàì çàìåòèòü äîïóùåííóþ îøèáêó. Îäíàêî
áóäåì âíèìàòåëüíû è, çàïîäîçðèâ ïîäâîõ, ïðîâåðèì, îñòàåòñÿ ëè øíóð â ðàñòÿíóòîì ñîñòîÿíèè äî ñàìîãî âåðõíåãî
ïîëîæåíèÿ ãðóçà. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì íà÷àëüíîå ðàñòÿæåíèå øíóðà x0 è ñðàâíèì åãî ñ h:
x0 =
mg
= 64 ìì < h = 80 ìì .
k
Âèäèì, ÷òî ãðóç ïðè ïîäúåìå ïðîõîäèò òî÷êó, ïîñëå êîòîðîé
øíóð òåðÿåò ñâîè óïðóãèå êà÷åñòâà, èçãèáàåòñÿ, è ñèëà
óïðóãîñòè èñ÷åçàåò. Óñëîâèå èñ÷åçíîâåíèÿ ñèëû óïðóãîñòè
èìååò âèä
v0
Ðèñ. 1
m mg
m
>
, èëè v0 > g
.
k
k
k
 òàêîì ñëó÷àå çàäà÷ó íàäî ðåøàòü çàíîâî.
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
Óïðîùàþùèé ïîäõîä ñ îáúåäèíåíèåì ñèëû òÿæåñòè è
ñèëû óïðóãîñòè áîëüøå íå äåéñòâóåò (íà íåêîòîðîì ýòàïå
äâèæåíèÿ ñèëà óïðóãîñòè èñ÷åçàåò), è çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè íàäî çàïèñàòü òàê:
mv02 kx02
+
= mgh ,
2
2
îòêóäà (ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà x0 = mg k ) ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíûé îòâåò:
v2 mg
h= 0 +
= 82 ìì .
2g 2k
Çàäà÷à 2. Ãðóç ïîäâåøåí ê ïîòîëêó íà óïðóãîì ðåçèíîâîì
øíóðå. Íà ãðóç äâàæäû ïîäåéñòâîâàëè ïîñòîÿííîé ñèëîé,
íàïðàâëåííîé âåðòèêàëüíî ââåðõ è ðàâíîé â ïåðâîì ñëó÷àå
F1 = 3mg 4 , à âî âòîðîì ñëó÷àå F2 = mg 4 . Âî ñêîëüêî ðàç
ìàêñèìàëüíàÿ âûñîòà ïîäúåìà ãðóçà (îòñ÷èòàííàÿ îò
íà÷àëüíîé òî÷êè) â ïåðâîì ñëó÷àå áîëüøå, ÷åì âî âòîðîì?
Ðåøèì çàäà÷ó ñíà÷àëà â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ñèëà óïðóãîñòè äåéñòâóåò âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ, ò.å. êàê áû ìûñëåííî
çàìåíèì øíóð ïðóæèíîé. Çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ (òî÷íåå – èçìåíåíèÿ) ýíåðãèè, èñïîëüçóÿ ñîêðàùåííóþ çàïèñü
äëÿ ïîëíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèñòåìû(ñì. çàäà÷ó 1):
Fh =
kh2
-0,
2
îòêóäà íàéäåì èñêîìóþ âûñîòó:
h=
2F
.
k
 ðàìêàõ ñäåëàííîãî ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîøåíèå âûñîò â
îáñóæäàåìûõ äâóõ ñëó÷àÿõ ðàâíÿëîñü áû îòíîøåíèþ âíåøíèõ ñèë:
h1
F
= 1 = 3.
h2 F2
Îäíàêî, íàó÷åííûå ãîðüêèì îïûòîì, ìû äîëæíû ïðîâåðèòü, îñòàåòñÿ ëè øíóð ðàñòÿíóòûì äî äîñòèæåíèÿ ãðóçîì
ìàêñèìàëüíîé âûñîòû. Äëÿ ýòîãî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå h < x0 , ò.å.
2F mg
mg
<
, èëè F <
.
k
k
2
Ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âòîðîãî ñëó÷àÿ, ïîýòîìó
h2 =
2F2
.
k
Äëÿ ïåðâîãî æå ñëó÷àÿ
(ðèñ.2) çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè íàäî íàïèñàòü
çàíîâî (ïîñêîëüêó ñèëà
óïðóãîñòè íà âåðõíåì ó÷àñòêå äâèæåíèÿ íå äåéñòâóåò, ïîòåíöèàëüíûå ýíåðãèè ñèëû òÿæåñòè è ñèëû
óïðóãîñòè íàäî ïèñàòü
ðàçäåëüíî):
Ðèñ. 2
Fh
1 1 = mgh1 -
kx02
.
2
Ïîäñòàâëÿÿ x0 = mg k , ïîëó÷èì
2
h1 =
(mg)
.
2k (mg - F1 )
"
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Òîãäà îêîí÷àòåëüíî
2
h1
(mg)
=
= 4.
h2 4F2 (mg - F1 )
Çàäà÷à 3. Îäíîðîäíûé ñòåðæåíü äëèíîé l = 2 ì, äâèãàÿñü
âäîëü ñâîåé äëèíû ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè,
íà÷èíàåò ïåðåñåêàòü ãðàíèöó, çà êîòîðîé ïîâåðõíîñòü
ñòàíîâèòñÿ øåðîõîâàòîé ñ êîýôôèöèåíòîì òðåíèÿ µ =
= 0,2. Êàêîå ðàññòîÿíèå s ïðîåäåò ñòåðæåíü ñ ýòîãî ìîìåíòà äî îñòàíîâêè, åñëè åãî íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü v0 = 3 ì/ñ?
Çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè (òåîðåìó î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè) â âèäå
Aòð = 0 -
mv02
.
2
Âû÷èñëèì ðàáîòó ñèëû òðåíèÿ Aòð â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî
ñèëà òðåíèÿ â ïðîöåññå äâèæåíèÿ âñå âðåìÿ âîçðàñòàåò, ò.å.
÷òî ñòåðæåíü îñòàíîâèòñÿ äî òîãî, êàê öåëèêîì
ïåðåñå÷åò ãðàíèöó.  òîò
ìîìåíò, êîãäà ñòåðæåíü
ïðîåõàë ðàññòîÿíèå x Ðèñ. 3
(ðèñ.3), ñèëà òðåíèÿ,
äåéñòâóþùàÿ íà êóñîê ñòåðæíÿ äëèíîé x < l , ðàâíà
x
Fòð = µmg .
l
Ïîñêîëüêó ñèëà òðåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ ôóíêöèþ ïðîéäåííîãî ðàññòîÿíèÿ, åå ðàáîòó ìîæíî âû÷èñëèòü
ïî ôîðìóëå
s
0 + µmg
2
Fòð1 + Fòð2
l s = - µmgs .
Aòð = s=2
2
2l
Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ïîëó÷àåì
µmgs 2
mv02
=,
2l
2
îòêóäà
l
s = v0
= 3 ì.
µg
Ê ñîæàëåíèþ, ìíîãèå àáèòóðèåíòû íà ýòîì çàêàí÷èâàþò
ðåøåíèå çàäà÷è, íå çàìåòèâ, ÷òî ïîëó÷åííûé îòâåò íå èìååò
ñìûñëà, ïîñêîëüêó ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå ïîëó÷èëîñü áîëüøå äëèíû ñòåðæíÿ, à ðàáîòà ñèëû òðåíèÿ âû÷èñëÿëàñü â
ïðîòèâîïîëîæíîì ïðåäïîëîæåíèè. Ïðàâèëüíîå âûðàæåíèå
äëÿ ðàáîòû ñèëû òðåíèÿ â ñëó÷àå s > l èìååò âèä
Aòð = -
0 + µmg
l - µmg ( s - l ) .
2
Òîãäà èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïîëó÷àåì
s=
l
v2
+ 0 = 3,25 ì .
2 2µg
Êîíå÷íî, ìîæíî ïîñòóïèòü ïî-äðóãîìó. Åñëè ñðàçó óâèäåòü, ÷òî âîçìîæíû ðàçíûå ñëó÷àè, òî íà÷àòü ðåøåíèå ìîæíî
ñ âûÿñíåíèÿ òîãî, êàêîé ñëó÷àé ðåàëèçóåòñÿ. Íàïðèìåð,
íàéòè ìèíèìàëüíóþ ñêîðîñòü v1 , ïðè êîòîðîé ñòåðæåíü
ïîëíîñòüþ çàåäåò íà øåðîõîâàòóþ ïîâåðõíîñòü:
0 + µmg
mv12
0l , =2
2
îòêóäà
v1 = µgl = 2 ì ñ .
Ïîñêîëüêó v0 > v1 , òî ÿñíî, ÷òî çàäíèé êîíåö ñòåðæíÿ
îáÿçàòåëüíî ïåðåñå÷åò ãðàíèöó.
"
ÊÂÀÍT 2007/¹1
Çàäà÷à 4.  øàð ìàññîé m2 = 480 ã ïîïàäàåò ïóëÿ
ìàññîé m1 = 20 ã, ëåòÿùàÿ ñî ñêîðîñòüþ v1 = 100 ì/ñ ïî
ëèíèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð øàðà. Ñ÷èòàÿ, ÷òî ñèëà
ñîïðîòèâëåíèÿ äâèæåíèþ ïóëè â ìàòåðèàëå øàðà ïîñòîÿííà è ðàâíà Fc = 1650 Í, íàéäèòå êîíå÷íóþ ñêîðîñòü øàðà.
Äèàìåòð øàðà d = 5 ñì.
Çàïèøåì äëÿ äàííîãî óäàðà çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà
è ýíåðãèè, ñ ó÷åòîì ïåðåõîäà ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè âî
âíóòðåííþþ çà ñ÷åò ðàáîòû ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ:
m1v1 = m1u1 + m2u2 ,
m1v12 m1u12 m2v22
=
+
+Q,
2
2
2
Q = Fc d .
Èñêëþ÷àÿ èç ýòèõ óðàâíåíèé êîíå÷íóþ ñêîðîñòü ïóëè
m
u1 = v1 - 2 u2 ,
m1
ïîëó÷èì äëÿ êîíå÷íîé ñêîðîñòè øàðà u2 êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
æ
m2 ö 2
2Fcd
çè1 + m ÷ø u2 - 2v1u2 + m = 0 .
1
2
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ
u2 =
v1 ± v12 - 2Fcd (m1 + m2 ) (m1m2 )
1 + m2 m1
äàåò äâà ïîëîæèòåëüíûõ îòâåòà: 2,5 ì/ñ è 5,5 ì/ñ. Êàêîé
èç íèõ âûáðàòü?
Ìíîãèå øêîëüíèêè ïðèâûêëè, ÷òî îäèí èç îòâåòîâ îáû÷íî
ïîëó÷àåòñÿ îòðèöàòåëüíûì, è çàðàíåå îòáðàñûâàþò ðåøåíèå
ñ ìèíóñîì ïåðåä êâàäðàòíûì êîðíåì. Äðóãèå íå çíàþò, ÷òî
äåëàòü ñ äâóìÿ ïîëîæèòåëüíûìè êîðíÿìè, è âûáèðàþò
íàèáîëüøèé (è ïîëó÷àþò íåâåðíûé îòâåò!). Íà ñàìîì äåëå,
íàäî âû÷èñëèòü ñêîðîñòü ïóëè â êàæäîì èç ñëó÷àåâ (èñïîëüçóÿ íàïèñàííóþ âûøå ôîðìóëó, âûðàæàþùóþ u1 ÷åðåç u2 ):
áðóñêà. Íàéäèòå ìèíèìàëüíóþ ñêîðîñòü ýòîãî áðóñêà â
ïðîöåññå äàëüíåéøåãî äâèæåíèÿ.
Çàïèøåì çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ýíåðãèè ñèñòåìû
(ðèñ.4):
m1v1 = m1u1 + m2u2 ,
m1v12 m1u12 m2u22 kx2
,
=
+
+
2
2
2
2
ãäå õ – äåôîðìàöèÿ ïðóæèíû. Ãëàâíîå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è
– ïîíÿòü, ÷åì èíòåðåñóþùèé íàñ ìîìåíò, êîãäà ñêîðîñòü
áðóñêà ìàññîé m1 ìèíèìàëüíà, îòëè÷àåòñÿ îò âñåõ îñòàëüíûõ ìîìåíòîâ äâèæåíèÿ. Äëÿ ýòîãî íàäî ðàññìîòðåòü äåéñòâóþùèå íà ïåðâûé áðóñîê ñèëû.
Êàê òîëüêî áðóñîê ìàññîé m1 ïðèäåò â äâèæåíèå, ïðóæèíà
íà÷íåò ñæèìàòüñÿ, è íà íåãî áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà óïðóãîñòè, íàïðàâëåííàÿ íàâñòðå÷ó äâèæåíèþ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
ñêîðîñòü ýòîãî áðóñêà íå ìåíÿåò íàïðàâëåíèÿ, ò.å. ÷òî u1 âñå
âðåìÿ ïîëîæèòåëüíà (ïîçæå íàì ïðèäåòñÿ ïðîâåðèòü ýòî
ïðåäïîëîæåíèå). Òîãäà ñêîðîñòü u1 áóäåò óìåíüøàòüñÿ ïî
ìîäóëþ äî òåõ ïîð, ïîêà íà áðóñîê äåéñòâóåò ñæàòàÿ ïðóæèíà. Êîãäà ïðóæèíà ïåðåéäåò â ðàñòÿíóòîå ñîñòîÿíèå, ñèëà
óïðóãîñòè áóäåò íàïðàâëåíà ïî äâèæåíèþ, è ñêîðîñòü áðóñêà
íà÷íåò âîçðàñòàòü. Ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ñîîòâåòñòâóåò
òîìó ìîìåíòó, êîãäà ïðóæèíà ñíîâà (êàê äî íà÷àëà äâèæåíèÿ) ïðèäåò â íåäåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå, ò.å. êîãäà x =
= 0. Â ýòîò æå ìîìåíò ñêîðîñòü âòîðîãî áðóñêà áóäåò
ìàêñèìàëüíîé.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé â ýòîò ìîìåíò
m v2 m u 2 m u 2
m1v1 = m1u1 + m2u2 , 1 1 = 1 1 + 2 2
2
2
2
ñîâïàäàåò ñ ñèñòåìîé óðàâíåíèé äëÿ öåíòðàëüíîãî óïðóãîãî
óäàðà (ò.å. ïðóæèíà êàê áû îñóùåñòâëÿåò ðàñòÿíóòûé ïî
âðåìåíè óïðóãèé óäàð). Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è õîðîøî èçâåñòíî, ìû ïðèâåäåì åãî áåç âûâîäà:
u1 =
m1 - m2
2m1
v1 = 6 ì ñ , u2 =
v1 = 16 ì ñ .
m1 + m2
m1 + m2
Âèäíî, ÷òî åñëè âûáðàòü âåðõíèå çíàêè â ôîðìóëàõ äëÿ u2
è u1 (ïëþñ äëÿ øàðà è ìèíóñ äëÿ ïóëè), òî ñêîðîñòü ïóëè
ïîëó÷èòñÿ ìåíüøå, ÷åì ñêîðîñòü øàðà: u1 < u2 (â äàííîì
êîíêðåòíîì ñëó÷àå u1 îòðèöàòåëüíà è ðàâíà u1 = -32 ì ñ ).
Çíà÷èò, ïóëÿ â ýòîì ñëó÷àå îêàçûâàåòñÿ ñ òîé æå ñòîðîíû îò
øàðà, ñ êîòîðîé îíà ïîäëåòàëà. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò îòñêîêó
ïóëè ïðè óäàðå íàçàä ñ ïîòåðåé ýíåðãèè Q (ñì. äàëåå
óïðàæíåíèå 4). Íàîáîðîò, åñëè âçÿòü íèæíèå çíàêè (ìèíóñ
äëÿ øàðà è ïëþñ äëÿ ïóëè), òî ñêîðîñòü ïóëè îêàçûâàåòñÿ
áîëüøå, ÷åì ñêîðîñòü øàðà (â äàííîì ñëó÷àå u1 = 40 ì ñ ),
÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñèòóàöèè, êîãäà ïóëÿ ïðîáèâàåò øàð
íàñêâîçü è âûëåòàåò ñ äðóãîé ñòîðîíû. Çíà÷èò, ïðàâèëüíûé
îòâåò äëÿ ñêîðîñòè øàðà ñîîòâåòñòâóåò ìåíüøåìó êîðíþ:
u2 = 2,5 ì ñ .
Åñëè ñêîðîñòü u2 âñåãäà ïîëîæèòåëüíà, ò.å. ïîëó÷åí ïðàâèëüíûé îòâåò äëÿ ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè âòîðîãî áðóñêà
ïðè ëþáîì ñîîòíîøåíèè ìàññ, òî ñêîðîñòü u1 îñòàåòñÿ
ïîëîæèòåëüíîé òîëüêî ïðè óñëîâèè m1 ³ m2 . Åñëè m1 < m2 ,
òî â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ñêîðîñòü ïåðâîãî áðóñêà ìåíÿåò
çíàê, è îòâåò äëÿ ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòè òàêîé: u1 = 0 .
Îòìåòèì èíòåðåñíîå îòëè÷èå ýòîé çàäà÷è îò öåíòðàëüíîãî
óïðóãîãî óäàðà, íàïðèìåð, äâóõ øàðîâ. Øàðû ïîñëå óäàðà
ïåðåñòàþò âçàèìîäåéñòâîâàòü è ðàçëåòàþòñÿ. Â íàøåì æå
ñëó÷àå ïðóæèíà, ñîåäèíÿþùàÿ áðóñêè, ïîñëå ðàññìîòðåííîãî ìîìåíòà ðàñòÿãèâàåòñÿ, ïåðâûé áðóñîê íà÷èíàåò òîðìîçèòüñÿ, âòîðîé – ðàçãîíÿòüñÿ. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ñêîðîñòü ïåðâîãî áðóñêà äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ u¢1 ,
à ñêîðîñòü âòîðîãî – ìèíèìàëüíîãî u¢2 . Ïðóæèíà â ýòîò
ìîìåíò îïÿòü íå äåôîðìèðîâàíà, ò.å. ýòè ñêîðîñòè ïîä÷èíÿþòñÿ òîé æå ñàìîé ñèñòåìå óðàâíåíèé. Ïîñêîëüêó ñêîðîñòè
äîëæíû îòëè÷àòüñÿ îò íàéäåííûõ, îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé
âòîðîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû, êîòîðîå â çàäà÷å î öåíòðàëüíîì óïðóãîì óäàðå îòáðàñûâàþò: u1¢ = v1 , u2¢ = 0 .
 ñëåäóþùåé çàäà÷å óïîð äåëàåòñÿ íà âûáîð ïðàâèëüíîãî
óñëîâèÿ, îïðåäåëÿþùåãî êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû.
Çàäà÷à 5. Íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ëåæàò
äâà áðóñêà ìàññàìè m1 = 400 ã è m2 = 100 ã, ñîåäèíåííûå
íåäåôîðìèðîâàííîé
ïðóæèíîé. Ïåðâîìó
áðóñêó ñîîáùàþò ñêîðîñòü v1 = 10 ì/ñ â
íàïðàâëåíèè âòîðîãî
Ðèñ. 4
Ïîñëåäíèå äâå çàäà÷è ñâÿçàíû ñ äâèæåíèåì ïî îêðóæíîñòè. Ïåðâàÿ èç íèõ èëëþñòðèðóåò, êàê ìîæíî îïèñàòü
äâèæåíèå ìîäåëüíîãî òâåðäîãî òåëà, ñîñòîÿùåãî èç òî÷å÷íûõ
ìàññ, çàêðåïëåííûõ íà íåâåñîìîì ñòåðæíå. Âòîðàÿ ïîêàçûâàåò, êàê èñïîëüçîâàòü äâèæóùèåñÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà â çàäà÷àõ íà çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ïðè äâèæåíèè ïî îêðóæíîñòè.
Çàäà÷à 6. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü, íà êîíöàõ êîòîðîãî
çàêðåïëåíû äâà ãðóçà ìàññîé m = 0,5 êã êàæäûé, ìîæåò
ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè. Îñü äåëèò
u1 = v1 −
v1 m (m2 m1 ) v12 − 2Fc d (m1 + m2 ) (m1m2 )
m2
u2 =
.
m1
1 + m2 m1
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
ñòåðæåíü â îòíîøåíèè 1:3. Ñòåðæåíü
ïðèâîäÿò â ãîðèçîíòàëüíîå ïîëîæåíèå
è îòïóñêàþò. Ñ êàêîé ñèëîé îí äåéñòâóåò íà îñü â âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè?
Åñëè â âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè ñèëà
íàòÿæåíèÿ íèæíåé
Ðèñ. 5
÷àñòè ñòåðæíÿ T1 , à
âåðõíåé T2 , òî äåéñòâóþùàÿ íà îñü ñèëà ðàâíà (ðèñ.5)
F = T1 - T2 .
Ñèëû íàòÿæåíèÿ ñòåðæíåé íàéäåì èç âûðàæåíèé âòîðîãî
çàêîíà Íüþòîíà äëÿ ãðóçîâ:
T1 - mg = mω2 × 0,75l,
T2 + mg = mω2 × 0,25l,
ãäå l – äëèíà ñòåðæíÿ. Îòìåòèì, ÷òî íàïèñàííûå ôîðìóëû
ãîäÿòñÿ è â òîì ñëó÷àå, êîãäà âåðõíÿÿ ÷àñòü ñòåðæíÿ íàõîäèòñÿ â ñæàòîì ñîñòîÿíèè ( T2 < 0 ). Óãëîâóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ
ω íàéäåì èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñèñòåìû (óðîâåíü
îòñ÷åòà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðèìåì â òî÷êå ïîäâåñà):
2
2
m (0,25lω)
m (0,75lω)
0 = mg × 0,25l - mg × 0,75l +
,
+
2
2
îòêóäà
g
ω2 = 1,6 .
l
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
F = T1 - T2 = 2mg + 0,5mω2l = 2,8mg = 14 H .
Çàäà÷à 7. Äåìîíñòðàöèîííàÿ óñòàíîâêà ñîñòîèò èç íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ïëàâíî ïåðåõîäÿùåé â «ìåðòâóþ ïåòëþ» ðàäèóñîì R (ðèñ.6).
Óñòàíîâêà çàêðåïëåíà íà
òåëåæêå, ñòîÿùåé íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè.
Ãðóç ìàññîé m1 = 0,2 êã
ñúåçæàåò ñ âûñîòû h = 3R,
îòñ÷èòàííîé îò íèæíåé
òî÷êè ïåòëè. ×åìó ðàâíà
ñèëà äàâëåíèÿ ãðóçà íà ïîâåðõíîñòü â âåðõíåé òî÷êå
Ðèñ. 6
ïåòëè? Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. Ìàññà óñòàíîâêè âìåñòå ñ òåëåæêîé m2 â 4 ðàçà
áîëüøå ìàññû ãðóçà.
×òîáû íàéòè ñèëó äàâëåíèÿ (òî÷íåå, íîðìàëüíóþ ñèëó
ðåàêöèè N), íàäî çàïèñàòü âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ
âåðõíåé òî÷êè ïåòëè. Íî òóò âîçíèêàåò ïðîáëåìà: â ñèñòåìå
îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ çåìëåé, òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ ãðóçà
îòëè÷íà îò îêðóæíîñòè, ïîñêîëüêó òåëåæêà ñ óñòàíîâêîé
äâèæóòñÿ ñ ïåðåìåííîé ñêîðîñòüþ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ðàäèóñ
êðèâèçíû òðàåêòîðèè ãðóçà ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò R. Âûõîä
ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû çàïèñàòü âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â
ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ òåëåæêîé, ãäå äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R. Îäíàêî åñòü âîçðàæåíèå:
òåëåæêà ïîä äåéñòâèåì ñèëû äàâëåíèÿ ãðóçà äâèæåòñÿ ñ
óñêîðåíèåì, à çíà÷èò, ñâÿçàííàÿ ñ íåé ñèñòåìà îòñ÷åòà íå
ÿâëÿåòñÿ èíåðöèàëüíîé. Ýòî âîçðàæåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ
âñåõ ìîìåíòîâ äâèæåíèÿ, êðîìå òåõ, êîãäà ãðóç ïðîõîäèò
íèæíþþ è âåðõíþþ òî÷êè ïåòëè.  ýòè ìîìåíòû ñèëà
äàâëåíèÿ íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî è óñêîðåíèå òåëåæêè
"!
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
ðàâíî íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî, ñèëû èíåðöèè, êîòîðûå äåéñòâóþò âñå îñòàëüíîå âðåìÿ, îáðàùàþòñÿ â íîëü.
Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ âåðõíåé òî÷êè ïåòëè:
m v2
m1g + N = 1 îòí .
R
Çäåñü vîòí – ñêîðîñòü ãðóçà îòíîñèòåëüíî òåëåæêè, ðàâíàÿ
vîòí = v1 - v2 ,
ãäå v1 è v2 – ïðîåêöèè ñêîðîñòåé ãðóçà è òåëåæêè íà
ãîðèçîíòàëüíóþ îñü. Ýòè ñêîðîñòè ìû íàéäåì èç çàêîíîâ
ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ýíåðãèè:
m v2 m v2
0 = m1v1 + m2v2 , m1gh = 1 1 + 2 2 + m1g × 2R,
2
2
îòêóäà
2m2
8
v12 =
g (h - 2R) = gR ,
5
m1 + m2
è
m
m + m2
5
vîòí = v1 - v2 = v1 + 1 v1 = 1
v1 = v1 .
4
m2
m2
Ïîäñòàâëÿÿ vîòí âî âòîðîé çàêîí Íüþòîíà, ïîëó÷èì
m v2
25 m1v12
3
- m1g = m1g = 3 H .
N = 1 îòí - m1g =
R
16 2
2
Óïðàæíåíèÿ
1. Ãðóç ìàññîé 5 êã ïîäâåøåí ê ïîòîëêó íà óïðóãîì ðåçèíîâîì øíóðå æåñòêîñòüþ 500 Í/ì. Ãðóçó äâàæäû ñîîáùàþò
íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü, íàïðàâëåííóþ âåðòèêàëüíî ââåðõ.  ïåðâîì ñëó÷àå ýòà ñêîðîñòü ðàâíà 0,5 ì/ñ, âî âòîðîì – 2 ì/ñ. Âî
ñêîëüêî ðàç ìàêñèìàëüíàÿ âûñîòà ïîäúåìà ãðóçà (îòñ÷èòàííàÿ
îò íà÷àëüíîé òî÷êè) âî âòîðîì ñëó÷àå áîëüøå, ÷åì â ïåðâîì?
2. Ãðóç ìàññîé 2 êã ïîäâåøåí ê ïîòîëêó íà óïðóãîì ðåçèíîâîì øíóðå. Íà ãðóç äâàæäû ïîäåéñòâîâàëè ïîñòîÿííîé ñèëîé
15 Í, íàïðàâëåííîé â ïåðâîì ñëó÷àå âåðòèêàëüíî ââåðõ, à âî
âòîðîì ñëó÷àå – âåðòèêàëüíî âíèç. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ
ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå ãðóçîì äî îñòàíîâêè, âî âòîðîì ñëó÷àå
ìåíüøå, ÷åì â ïåðâîì?
3. Îäíîðîäíûé ñòåðæåíü äëèíîé 2 ì, äâèãàÿñü âäîëü ñâîåé
äëèíû ïî øåðîõîâàòîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè, íà÷èíàåò
ïåðåñåêàòü ãðàíèöó, çà êîòîðîé ïîâåðõíîñòü ñòàíîâèòñÿ ãëàäêîé. Ñêîðîñòü ñòåðæíÿ â ýòîò ìîìåíò ðàâíà 1,6 ì/ñ. Êàêîå
ðàññòîÿíèå (â ñì) ïðîåäåò ñòåðæåíü îò ýòîãî ìîìåíòà äî
îñòàíîâêè, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ î øåðîõîâàòóþ ïîâåðõíîñòü ðàâåí 0,2?
4. Â øàð ìàññîé 480 ã ïîïàäàåò ïóëÿ ìàññîé 20 ã, ëåòÿùàÿ
ñî ñêîðîñòüþ 100 ì/ñ ïî ëèíèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð øàðà.
Ïîñëå óäàðà ïóëÿ îòñêàêèâàåò íàçàä, ïðè ýòîì ïðè óäàðå
âûäåëÿåòñÿ 90 Äæ òåïëà. Íàéäèòå êîíå÷íóþ ñêîðîñòü øàðà.
5. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü, íà êîíöå êîòîðîãî çàêðåïëåí ãðóç
ìàññîé 3 êã, à â ñåðåäèíå – ãðóç ìàññîé 4 êã, ìîæåò ñâîáîäíî
âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî
ñâîáîäíûé êîíåö. Ñòåðæåíü ïðèâîäÿò â âåðõíåå ïîëîæåíèå è
îòïóñêàþò. Ñ êàêîé ñèëîé îí áóäåò äåéñòâîâàòü íà îñü â ìîìåíò
ïðîõîæäåíèÿ íèæíåãî ïîëîæåíèÿ?
6. Äâà áðóñêà ìàññàìè 0,5 êã è 1 êã, ëåæàùèå íà ãëàäêîì
ïîëó, ñîåäèíåíû ïðóæèíîé æåñòêîñòüþ 900 Í/ì. Âíà÷àëå
ïåðâûé áðóñîê óïèðàåòñÿ â ñòåíó, ïðóæèíà íå äåôîðìèðîâàíà è
ðàñïîëîæåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ñòåíå. Âòîðîé áðóñîê ïåðåìåùàþò íà 10 ñì â ñòîðîíó ïåðâîãî è îòïóñêàþò. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü ïåðâîãî áðóñêà â ïðîöåññå äàëüíåéøåãî äâèæåíèÿ.
7. Áðóñîê ñòîèò íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Íà
áðóñêå çàêðåïëåí øòàòèâ, ê êîòîðîìó íà ëåãêîé íèòè ïîäâåøåí
ãðóç ìàññîé 0,1 êã. Ìàññà áðóñêà âìåñòå ñî øòàòèâîì ðàâíà
ìàññå ãðóçà. Âíà÷àëå íèòü ñ ãðóçîì óäåðæèâàþò â ãîðèçîíòàëüíîì ïîëîæåíèè, çàòåì îòïóñêàþò. Íàéäèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè
â ìîìåíò, êîãäà ãðóç íàõîäèòñÿ â íèæíåé òî÷êå.