Страницы 53–59
advertisement
Ë ÈÌ ÌÏ ÏÈ ÄÛ Î ËÎ È ÈÀ À ÄÛ #! XVI Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí» Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá (ÌÈÊ) «Ãëþîí» â ðàìêàõ ìåæäóíàðîäíîé ïðîãðàììû «Äåòè. Èíòåëëåêò. Òâîð÷åñòâî» ïðè ó÷àñòèè Óíèâåðñèòåòà ãîðîäà Ðåòèìíî (Ãðåöèÿ), ÌÃÓ èì.Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, Ôîíäà íåêîììåð÷åñêèõ ïðîãðàìì «Äèíàñòèÿ» è ïðè ïîääåðæêå êîìïàíèé «Êèðèëë è Ìåôîäèé», «Ôèçèêîí», «1Ñ», èçäàòåëüñêîãî Äîìà «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ» è æóðíàëà «Êâàíò» ïðîâåë î÷åðåäíóþ òåñò-ðåéòèíãîâóþ îëèìïèàäó «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí». Îëèìïèàäà ïðîõîäèëà ñ 7 ïî 14 îêòÿáðÿ 2007 ãîäà íà îñòðîâå Êðèò (Ãðåöèÿ). Íà îëèìïèàäó ïðèåõàëè ó÷àñòíèêè èç ðàçíûõ ðåãèîíîâ Ðîññèè è èç Íîðâåãèè. Îäàðåííûå øêîëüíèêè, ïðîÿâèâøèå èíòåðåñ ê ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì, ñîðåâíîâàëèñü â êîìàíäíûõ è èíäèâèäóàëüíûõ òóðàõ ïî ìàòåìàòèêå, ôèçèêå, èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé.  îëèìïèàäå òàêæå ó÷àñòâîâàëè øêîëüíèêè, èíòåðåñóþùèåñÿ ýêîëîãèåé è áèîëîãèåé. Àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí-2007» ïî ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì â êîìàíäíîì çà÷åòå ñòàëà ñáîðíàÿ êîìàíäà ãîðîäà Áóãóëüìà (Òàòàðñòàí). Åé áûë âðó÷åí ãëàâíûé ïðèç ñîðåâíîâàíèé Ñóïåðêóáîê. Êîìàíäà áûëà òàêæå ëó÷øåé â òóðàõ ïî ôèçèêå è èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé. Âòîðîå ìåñòî â îáùåì çà÷åòå çàíÿëà êîìàíäà Êëàññè÷åñêîãî ëèöåÿ 1 ïðè ÐÃÓ (Ðîñòîâ-íà-Äîíó). Îíà òàêæå çàíÿëà âòîðîå ìåñòî ïî ôèçèêå è èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé. Íà òðåòüå ìåñòî âûøëà ñáîðíàÿ êîìàíäà ãîðîäà Àëüìåòüåâñêà, êîòîðàÿ òàêæå ñòàëà âòîðîé ïî ìàòåìàòèêå è òðåòüåé ïî èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé.  èíäèâèäóàëüíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû ñòàëà Äàðüÿ Ïóñåâà, ó÷åíèöà 11 êëàññà Êëàññè÷åñêîãî ëèöåÿ 1 ïðè ÐÃÓ. Åé áûëè âðó÷åíû áîëüøàÿ çîëîòàÿ ìåäàëü è ìàëûå çîëîòûå ìåäàëè çà ïåðâûå ìåñòà ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå. Âòîðûì ïðèçåðîì â îáùåì çà÷åòå ñòàë Èãîðü Ìàñêî, ó÷åíèê 11 êëàññà ÔÒË 1 ãîðîäà Ñàðàòîâà, åìó áûëà âðó÷åíà áîëüøàÿ ñåðåáðÿíàÿ ìåäàëü è ìàëàÿ ñåðåáðÿíàÿ ìåäàëü çà âòîðîå ìåñòî ïî ôèçèêå. Áîëüøóþ áðîíçîâóþ ìåäàëü â îáùåì çà÷åòå è ìàëóþ áðîíçîâóþ ìåäàëü çà òðåòüå ìåñòî ïî ìàòåìàòèêå çàâîåâàë Ìèõàèë Ìèõàéëîâ, ïðåäñòàâëÿþùèé ãîðîä Àëüìåòüåâñê. Äèëÿ Çàéíóëëèíà (Áóãóëüìà) ïîëó÷èëà ìàëóþ áðîíçîâóþ ìåäàëü çà òðåòüå ìåñòî ïî ôèçèêå, à Äàðüÿ Êîðîâèíà (ãèìíàçèÿ 1567, Ìîñêâà) áûëà íàãðàæäåíà çà âòîðîå ìåñòî ïî ìàòåìàòèêå ìàëîé ñåðåáðÿíîé ìåäàëüþ. Âñå ïîáåäèòåëè ïîëó÷èëè ðàçëè÷íûå ïîäàðêè è ïðèçû îò îðãàíèçàòîðîâ è ñïîíñîðîâ îëèìïèàäû. Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá «Ãëþîí» ïðèãëàøàåò ðåãèîíàëüíûå öåíòðû, øêîëû, ëèöåè è ãèìíàçèè, ðàáîòàþùèå ñ îäàðåííûìè äåòüìè, ïðèíÿòü ó÷àñòèå â XVII Ìåæäóíàðîäíîé îëèìïèàäå «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí», êîòîðàÿ ïðîéäåò â îêòÿáðå 2008 ãîäà â Ãðåöèè. Çàÿâêè íà ó÷àñòèå ïðèñûëàéòå ïî àäðåñó: 115522 Ìîñêâà, Ïðîëåòàðñêèé ïðîñïåêò, ä.15/6, êîðï.2, ÌÈÊ «Ãëþîí» Òåëåôîí: (495)517-8014, ôàêñ: (495)396-8227 Å-mail:gluon@yandex.ru (ñì.òàêæå ñàéò: http:\\www.gluon.ru) ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð Ìàòåìàòèêà 1. Ìîæåò ëè ïðè êàêîì-íèáóäü íàòóðàëüíîì n ÷èñëî n4 + 2n3 + 2n2 + 1 áûòü ïîëíûì êâàäðàòîì? 2. Íàéäèòå õ + ó, åñëè x + 1 + x2 y + 1 + y2 = 1 . 3. Íà ñòîðîíå À ðîìáà ABCD âî âíåøíþþ ñòîðîíó ïîñòðîèëè ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ÀÌÂ. Íàéäèòå óãîë CMD. 4. ×èñëà x, y è z ïîïàðíî ðàçëè÷íû è îòëè÷íû îò íóëÿ. Êàêèå ðàçëè÷íûå êîìáèíàöèè çíàêîâ ìîãóò áûòü ó ÷èñåë X= y - x x - z , yz Z= Y= z - y y - x , x - z z - y xy xz ? 5. Ïîäðÿä âûïèñàíû öèôðû äåñÿòè÷íûõ çàïèñåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N è 3N. Îáÿçàòåëüíî ëè ñðåäè âûïèñàííûõ öèôð íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà èç öèôð 1, 2, 9? 6. Äàí òðåóãîëüíèê ÀÂÑ. Íà ïðîäîëæåíèÿõ ñòîðîíû ÂÀ çà òî÷êó À, ñòîðîíû ÀÑ çà òî÷êó Ñ è ñòîðîíû Ñ çà òî÷êó  îòëîæåíû îòðåçêè AA1 = ÂÑ, CC1 = À è BB1 = ÀÑ. Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà A1B1C1 , åñëè óãëû À,  è Ñ èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ðàâíû α , β è γ ñîîòâåòñòâåííî. 7. Íà êîíãðåññå ñîáðàëèñü ó÷åíûå, ñðåäè êîòîðûõ åñòü äðóçüÿ. Îêàçàëîñü, ÷òî íèêàêèå äâîå ó÷åíûõ, èìåþùèå íà êîíãðåññå ðàâíîå ÷èñëî äðóçåé, íå èìåþò îáùèõ äðóçåé. Íàéäåòñÿ ëè ñðåäè íèõ ó÷åíûé, ó êîòîðîãî ðîâíî îäèí äðóã? Ôèçèêà 1. Èñêóññòâåííûé ñïóòíèê Çåìëè íàõîäèòñÿ íà êðóãîâîé îðáèòå âûñîòîé h = 200 êì. Âêëþ÷àåòñÿ äâèãàòåëü, è ñêîðîñòü ñïóòíèêà âîçðàñòàåò íà ∆v = 5 êì/ñ.  ðåçóëüòàòå îí óëåòàåò â ìåæïëàíåòíîå ïðîñòðàíñòâî. Íàéäèòå ñêîðîñòü ñïóòíèêà âäàëè îò Çåìëè. Ðàäèóñ Çåìëè 6370 êì, óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ 9,8 ì ñ2 . 2. Èçâåñòíî, ÷òî êîìïðåññîð äîìàøíåãî õîëîäèëüíèêà ïåðèîäè÷åñêè âêëþ÷àåòñÿ è âûêëþ÷àåòñÿ. Îöåíèòå ñîîòíîøåíèå âðåìåí ðàáîòû è ïàóçû êîìïðåññîðà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî åãî ìîùíîñòü ïîðÿäêà Ð = 100 Âò, ÷åðåç ñòåíêè õîëîäèëüíèêà çà ÷àñ ïðîõîäèò êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q = 1 ÌÄæ, òåìïåðàòóðà â ïîìåùåíèè, ãäå ñòîèò õîëîäèëüíèê, t1 = +20 °C , òåìïåðàòóðà âíóòðè õîëîäèëüíèêà t2 = +3 °C . 3. Îöåíèòå, êàêóþ ìîùíîñòü èìååò ñòîâàòòíàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ ëàìïà íàêàëèâàíèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âêëþ÷åíèÿ åå â îñâåòèòåëüíóþ ñåòü íàïðÿæåíèåì 220 Â, åñëè ðàáî÷àÿ òåìïåðàòóðà íèòè íàêàëèâàíèÿ 2700 °Ñ, à òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ âîëüôðàìà, èç êîòîðîãî ñäåëàíà íèòü íàêàëà, 0,004 1/°Ñ. 4.  êàìåðå êîëüöåâîãî óñêîðèòåëÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R äâèæåòñÿ òîíêèé ïó÷îê ýëåêòðîíîâ.  íà÷àëüíûé #" ÊÂÀÍT 2008/¹3 ìîìåíò âðåìåíè çíà÷åíèå ñèëû òîêà I0 , ÷èñëî ÷àñòèö â êàìåðå N. Ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç íåèçìåííóþ îðáèòó ïó÷êà óìåíüøàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ vΦ . Êàêèì ñòàíåò çíà÷åíèå ñèëû òîêà ïîñëå òîãî, êàê ÷àñòèöû ñäåëàþò îäèí îáîðîò? Ðàññìîòðèòå íåðåëÿòèâèñòñêèé ñëó÷àé. 5.  ÷àéíèêå «Òåôàëü» ìîùíîñòüþ Ð = 1 êÂò êèïèò âîäà. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ èç åãî íîñèêà âûðûâàåòñÿ ñòðóÿ ïàðà, 2 åñëè ïëîùàäü îòâåðñòèÿ íîñèêà S = 5 ñì , óäåëüíàÿ òåïëîòà 6 èñïàðåíèÿ âîäû r = 2,26 × 10 Äæ/êã, íîðìàëüíîå àòìîñ5 ôåðíîå äàâëåíèå p0 = 10 Ïà, óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R = 8,31 Äæ ìîëü × Ê ? 6. Ïðè êàêîé ìèíèìàëüíîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ìîæíî ïåðåáðîñèòü êàìåíü ñ óðîâíÿ çåìëè ÷åðåç ïîëóöèëèíäðè÷åñêèé àíãàð âûñîòîé (ðàäèóñîì) R? 7. Ìåòàëëè÷åñêèé øàð ðàäèóñîì R, ïîëíûé çàðÿä êîòîðîãî ðàâåí Q, ðàçðåçàí íà äâå ÷àñòè. Ïëîñêîñòü ðàçðåçà ïðîõîäèò íà ðàññòîÿíèè L îò öåíòðà øàðà (L < R). Ñ êàêîé ñèëîé îòòàëêèâàþòñÿ ýòè ÷àñòè øàðà? Óñòíûé êîìàíäíûé òóð Ìàòåìàòèêà 1.  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1 * * * * * * * 7 (çâåçäî÷êàìè îáîçíà÷åíû ÷èñëà) ñóììà ëþáûõ òðåõ ñîñåäíèõ ÷èñåë ðàâíà 15. Íàéäèòå âòîðîé ÷ëåí ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ò.å. ÷èñëî, îáîçíà÷åííîå ïåðâîé çâåçäî÷êîé). 2. Íà ïëîñêîñòè íàðèñîâàëè 4 ðàâíûõ òðåóãîëüíèêà òàê, ÷òî ëþáûå äâà èç íèõ èìåþò îáùóþ âåðøèíó. Âåðíî ëè, ÷òî âñå òðåóãîëüíèêè èìåþò îáùóþ âåðøèíó? 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà õ, ó è z óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé ì x + y + z = 2, í î xy + xz + yz = 1. Íàéäèòå íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ õ. 4. Êîíôåðåíöèÿ íà÷àëàñü ìåæäó 10 è 11 ÷àñàìè, êîãäà ÷àñîâàÿ è ìèíóòíàÿ ñòðåëêè áûëè íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû, à çàêîí÷èëàñü ìåæäó 16 è 17 ÷àñàìè, êîãäà ñòðåëêè ñîâïàëè. Ñêîëüêî âðåìåíè ïðîäîëæàëàñü êîíôåðåíöèÿ? 5. Ïðÿìîóãîëüíóþ ñòàëüíóþ ïëàñòèíêó ðàçìåðîì 19 ´ 73 ïîëîæèëè íà ëèñò áóìàãè è îáâåëè êàðàíäàøîì. Ïîëüçóÿñü òîëüêî ñàìîé ïëàñòèíêîé è êàðàíäàøîì, íàéäèòå (ïîñòðîéòå) öåíòð ïîëó÷åííîãî ïðÿìîóãîëüíèêà. 6. Êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ëàäåé ìîæíî ïîñòàâèòü íà øàõìàòíóþ äîñêó (ðàçìåðîì 8 ´ 8 êëåòîê) òàê, ÷òîáû âñå áåëûå ïîëÿ îêàçàëèñü ïîä áîåì? 7. Èìåþòñÿ äâà òðåóãîëüíèêà. Èçâåñòíî, ÷òî ñóììà äâóõ ñòîðîí êàæäîãî èç íèõ ðàâíà ñóììå äâóõ êàêèõ-òî ñòîðîí âòîðîãî. Ðàâíû ëè ýòè òðåóãîëüíèêè? 8.  êîìïàíèè èç n ÷åëîâåê êàæäûé èìååò ðîâíî òðåõ çíàêîìûõ. à) Äîêàæèòå, ÷òî n ÷åòíî. á) Âñåãäà ëè ìîæíî ýòó êîìïàíèþ ðàçáèòü íà ïàðû çíàêîìûõ ìåæäó ñîáîé ëþäåé? 9. Ìîæíî ëè ðàçðåçàòü êëåò÷àòûé êâàäðàò ðàçìåðîì 14 ´ 14 íà ïðÿìîóãîëüíèêè 2 ´ 5 è 3 ´ 9 ? 10. Íàéäèòå âèä òðåóãîëüíèêà (ò.å. îñòðîóãîëüíûé îí, ïðÿìîóãîëüíûé èëè òóïîóãîëüíûé), åñëè ïðî åãî ñòîðîíû à, 3 3 3 b è ñ èçâåñòíî, ÷òî a + b = c . Ôèçèêà 1. Áî÷êà îáúåìîì V = 50 ë äîâåðõó çàïîëíÿåòñÿ çàñàëèâàåìûìè íà çèìó îãóðöàìè. Ïëîòíîñòü âåùåñòâà îãóðöîâ ρ1 = 1100 êã ì3 . Ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü îãóðöîâ â êó÷å ρ2 = 660 êã ì 3 . Ñêîëüêî ëèòðîâ ðàññîëà íàäî ïðèãîòîâèòü äëÿ çàëèâêè? 2. Îöåíèòå, êàêîé ãëóáèíû «ÿìà» îáðàçóåòñÿ ïðè çàâèñàíèè âåðòîëåòà íà íåáîëüøîé âûñîòå íàä âîäíîé ïîâåðõíîñòüþ. 3. Êàê èçìåíèòñÿ ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ìàëåíüêèõ äèýëåêòðè÷åñêèõ øàðèêîâ, îäèí èç êîòîðûõ çàðÿæåí, à äðóãîé íåò, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè âîçðàñòåò â n ðàç? 4. Èçâåñòíî, ÷òî â òðîïèêàõ íà áîëüøèõ âûñîòàõ (áîëåå 1015 êì) äóþò ïîñòîÿííûå âåòðû îò ýêâàòîðà ïî íàïðàâëåíèþ ê ïîëþñàì. Ïî÷åìó? 5. Íàéäèòå óãîë îòñêîêà øàðèêà ïðè óãëå ïàäåíèÿ 45° íà èäåàëüíî ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü, åñëè ïðè óäàðå øàðèê òåðÿåò òðåòüþ ÷àñòü ñâîåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. 6. Ê íèæíåìó êîíöó ëåãêîé ïðóæèíû, âåðõíèé êîíåö êîòîðîé çàêðåïëåí, ïîäâåøåíû ñâÿçàííûå íåâåñîìîé íèòüþ ãðóçû: âåðõíèé ìàññîé m1 = 0,4 êã è íèæíèé ìàññîé m2 = = 0,6 êã. Íèòü, ñîåäèíÿþùóþ ãðóçû, ïåðåæèãàþò. Ñ êàêèì óñêîðåíèåì íà÷íåò äâèãàòüñÿ âåðõíèé ãðóç? 7. Äâà ìîëÿ èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà ñíà÷àëà èçîõîðíî îõëàäèëè, à çàòåì èçîáàðíî íàãðåëè äî ïåðâîíà÷àëüíîé òåìïåðàòóðû 400 Ê, óâåëè÷èâ îáúåì ãàçà â òðè ðàçà. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû îòäàë ãàç íà ïåðâîì ó÷àñòêå? 8.  ñîñóäå íà ïîâåðõíîñòè ïðîçðà÷íîé æèäêîñòè ïëàâàåò ëåãêàÿ òîíêàÿ ïëîñêîâûïóêëàÿ ëèíçà, îáðàùåííàÿ âûïóêëîé ñòîðîíîé ââåðõ. Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû â âîçäóõå F. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòè n. Âûñîòà óðîâíÿ æèäêîñòè â ñîñóäå h. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè L íàä ëèíçîé íà åå ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè íóæíî ðàñïîëîæèòü òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà, ÷òîáû åãî èçîáðàæåíèå íàõîäèëîñü íà äíå ñîñóäà? 9. ×åðåç äâà íåïîäâèæíûõ áëîêà, íàõîäÿùèõñÿ íà îäíîé âûñîòå, ïåðåêèíóòà äëèííàÿ ëåãêàÿ íèòü, ê êîíöàì êîòîðîé ïðèêðåïëåíû äâà ãðóçà îäíîé è òîé æå ìàññû (ðèñ.1). Íèòü íà÷èíàþò ìåäëåííî îòòÿãèâàòü âíèç çà òî÷êó, íàõîäÿùóþñÿ ïîñåðåäèíå ìåæäó áëîêàìè. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñèëû F, ïðèêëàäûâàåìîé ê íèòè, îò ñìåùåíèÿ x ýòîé òî÷êè ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 2. Íàéäèòå ïðèáëèçèòåëüíî ìàññó m êàæäîãî èç ãðóçîâ è ðàññòîÿíèå l ìåæäó Ðèñ. 1 áëîêàìè. Ðèñ. 2 10. Íèæíèå êîíöû ëåñòíèöû-ñòðåìÿíêè ìàññîé m = 10 êã ñîåäèíåíû âåðåâêîé. Êàæäàÿ ñòîðîíà ëåñòíèöû ñîñòàâëÿåò ñ ïîëîì óãîë α = 45° . Ñ÷èòàÿ ïîë àáñîëþòíî ãëàäêèì, íàéäèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ âåðåâêè. Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé Ìàòåìàòèêà 1.  2007 ãîäó èñïîëíèëîñü 300 ëåò ñî äíÿ ðîæäåíèÿ âåëèêîãî ìàòåìàòèêà Ëåîíàðäà Ýéëåðà (04.04.1707 07 (18). 09. 1783). Íåò, ïîæàëóé, òàêîé îáëàñòè ìàòåìàòèêè, ãäå ## ÎËÈÌÏÈÀÄÛ Ýéëåð íå äîñòèã áû ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ. Èìåþòñÿ îíè è â òåîðèè ÷èñåë.  ÷àñòíîñòè, îí ââåë â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèþ, íàçâàííóþ âïîñëåäñòâèè åãî èìåíåì ôóíêöèåé Ýéëåðà, ϕ n . ×åðåç ϕ n , ãäå n íàòóðàëüíîå (öåëîå ïîëîæèòåëüíîå) ÷èñëî, îáîçíà÷àþò êîëè÷åñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ ÷èñëîì n è íå ïðåâîñõîäÿùèõ n. Íàïðèìåð, ϕ 5 = 4 òîëüêî ÷èñëà 1, 2, 3, 4 íå èìåþò ñ ÷èñëîì 5 îáùèõ äåëèòåëåé, êðîìå 1, è îäíîâðåìåííî íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 5; ϕ 10 = 4 òîëüêî ÷èñëà 1, 3, 7, 9 íå èìåþò ñ ÷èñëîì 10 îáùèõ äåëèòåëåé, êðîìå 1, è îäíîâðåìåííî íå áîëüøå, ÷åì ÷èñëî 10. Íàøà ïåðâàÿ çàäà÷à ïîñâÿùåíà ýòîé ôóíêöèè. Âûïèøåì â ñòðî÷êó âñå n äðîáåé: n 1 2 3 ; ; ; K; . (* ) n n n n à) Ñêîëüêî ñðåäè äðîáåé ñòðî÷êè ( * ) íåñîêðàòèìûõ? Ïóñòü d1 = 1, d2,K , dk = n âñå äåëèòåëè ÷èñëà n. á) Ïðîâåäåì âñå âîçìîæíûå ñîêðàùåíèÿ â äðîáÿõ ñòðî÷êè ( * ) è âûïèøåì âñå ñîêðàùåííûå äðîáè (êàæäóþ îäèí ðàç) è âñå «ñòàðûå» íåñîêðàòèìûå äðîáè â íîâóþ ñòðî÷êó. Ñêîëüêî â ýòîé íîâîé ñòðî÷êå äðîáåé èìåþò çíàìåíàòåëü di äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé i? â) Äîêàæèòå òîæäåñòâî Ýéëåðà ϕ d1 + ϕ d2 + K + ϕ dk = n . 2.  XYII âåêå â ìàòåìàòèêó âîøëè ðÿäû ñóììû áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ, èãðàþùèå â íàñòîÿùåå âðåìÿ áîëüøóþ ðîëü â íåêîòîðûõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêè è ïðàêòèêè.  òî âðåìÿ ñ íèìè îáðàùàëèñü äîñòàòî÷íî âîëüíî: ñïîêîéíî, êàê îáû÷íûå êîíå÷íûå ñóììû, óìíîæàëè, äåëèëè è ò.ä., ñòðîãàÿ òåîðèÿ ïîÿâèëàñü ëèøü â XYIII XIX âåêàõ. Ïîïðîáóéòå, çíàÿ, ÷òî 1 = 1 + x + x2 + K + x n + K 1 x (êîíå÷íî æå, ýòî õîðîøî âàì çíàêîìàÿ ñóììà áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè), âû÷èñëèòü ñóììó 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + K + nx n -1 + K 3. Àïîëëîíèé Ïåðãñêèé, æèâøèé ïðèìåðíî â 200 160 ã. äî í.ý. äðåâíåãðå÷åñêèé ìàòåìàòèê, îñòàâèë çàìåòíûé ñëåä â ãåîìåòðèè (èìåííî îí ââåë òàêèå ïîíÿòèÿ è òåðìèíû, êàê «ãèïåðáîëà», «ïàðàáîëà», «ýëëèïñ», «ôîêóñ» (êðèâûõ) è ò.ä.).  ÷àñòíîñòè, îí ðàññìàòðèâàë çàäà÷ó î ïîñòðîåíèè ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè îêðóæíîñòè, êàñàþùåéñÿ òðåõ ïðîèçâîëüíûõ äàííûõ îêðóæíîñòåé. Ìû íå ïðåäëàãàåì âàì ðåøàòü ýòó äîâîëüíî òðóäíóþ çàäà÷ó, à äàåì áîëåå ïðîñòóþ. Ïîñòðîéòå ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè îêðóæíîñòü, êàñàþùóþñÿ òðåõ äàííûõ ðàâíûõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ êðóãîâ: à) âíåøíèì îáðàçîì; á) âíóòðåííèì îáðàçîì. 4. Âû, êîíå÷íî, ìíîãî ðàç ñëûøàëè èìÿ âåëèêîãî ó÷åíîãî àíòè÷íîñòè Àðõèìåäà, æèâøåãî ïðèìåðíî â 287 212 ã. äî í.ý. Îí, â ÷àñòíîñòè, âî ìíîãîì ïðåäâîñõèòèë íåêîòîðûå èäåè èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, âû÷èñëÿÿ ïëîùàäè è îáúåìû ðàçíûõ ôèãóð. Ïðåäëàãàåì âàì ðåøèòü ñëåäóþùóþ ñîçâó÷íóþ íåêîòîðûì åãî èññëåäîâàíèÿì çàäà÷ó. Ïóñòü ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè àáñöèññ, ïåðåñåêàåò 2 ïàðàáîëó y = x â òî÷êàõ À è Â, à òî÷êà Î íà÷àëî êîîðäèíàò. ×åðåç ñåðåäèíó Ì îòðåçêà ÎÀ ïðîâåäåì ïàðàëëåëüíî îñè ïàðàáîëû (îñè îðäèíàò) ïðÿìóþ äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïàðàáîëîé â òî÷êå D. Ïóñòü ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀΠðàâíà S. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÌD. 5.  ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà æèë è ðàáîòàë çàìå÷àòåëüíûé íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ï.Ã.Ë.Äèðèõëå (1805 1859). Åìó ïðèíàäëåæàò ìíîãèå êðàñèâûå òåîðåìû.  ÷àñòíîñòè, îí äîêàçàë çíàìåíèòóþ òåîðåìó î òîì, ÷òî âñÿêàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñ îáùèì ÷ëåíîì à + dn, ãäå ïåðâûé ÷ëåí à è ðàçíîñòü ïðîãðåññèè d âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà, ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë. Ìû íå ìîæåì ïðîñèòü âàñ äîêàçàòü ýòó òåîðåìó åå äîêàçàòåëüñòâî ñëèøêîì ñëîæíî. Îäíàêî ìû íàäååìñÿ, ÷òî âû ñìîæåòå äîêàçàòü ñëåäóþùèé ôàêò.  àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè 3, 7, 11, (ñ îáùèì ÷ëåíîì an = 4n + 3 ; ïðè÷åì n = 0, 1, 2, ) áåñêîíå÷íî ìíîãî ïðîñòûõ ÷èñåë. (Êàê âèäèòå, ïåðâûé ÷ëåí è ðàçíîñòü ýòîé ïðîãðåññèè âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà.) Ôèçèêà 1.  1907 ãîäó Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ ïî ôèçèêå áûëà âðó÷åíà «çà ñîçäàíèå ïðåöèçèîííûõ îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ è âûïîëíåíèå ñ èõ ïîìîùüþ ñïåêòðîñêîïè÷åñêèõ è ìåòðîëîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé». Ó÷åíûé, ïîëó÷èâøèé ïðåìèþ, íà÷àë ñâîþ íàó÷íóþ äåÿòåëüíîñòü ñ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðîâåðæåíèÿ òåîðèè ìèðîâîãî ýôèðà (â ñîàâòîðñòâå ñ äðóãèì èçâåñòíûì ó÷åíûì). Ïðàêòè÷åñêè âñþ ñâîþ äàëüíåéøóþ äåÿòåëüíîñòü ýòîò ó÷åíûé ïîñâÿòèë îäíîé îáëàñòè îïòè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ, íåïðåðûâíî ñîâåðøåíñòâóÿ äâà òèïà ïðèáîðîâ, îñíîâàííûõ íà ïðåäñòàâëåíèÿõ âîëíîâîé îïòèêè.  ÷èñëå åãî ðàáîò èññëåäîâàíèå âîçìîæíîñòè ñîçäàíèÿ ýòàëîíà åäèíèöû äëèíû, îïèðàÿñü íà äëèíó âîëíû èçëó÷åíèÿ îäíîãî èç õèìè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ.  1920 ãîäó ñ ïîìîùüþ ðàçðàáîòàííîãî èì ïðèáîðà âïåðâûå áûë èçìåðåí óãëîâîé ðàçìåð çâåçäû. à) Êòî ýòîò ó÷åíûé? á) Êàêîâà èäåÿ ýêñïåðèìåíòà, ïîñòàâëåííîãî äëÿ îáíàðóæåíèÿ íàëè÷èÿ èëè îòñóòñòâèÿ ìèðîâîãî ýôèðà? â)  ðàçðàáîòêó êàêèõ îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ âíåñ âûäàþùèéñÿ âêëàä ýòîò ó÷åíûé? ã) Êàêîé õèìè÷åñêèé ýëåìåíò áûë ïðåäëîæåí ýòèì ó÷åíûì äëÿ ñîçäàíèÿ ýòàëîíà äëèíû? ä) Äëÿ êàêîé çâåçäû áûë âïåðâûå èçìåðåí óãëîâîé ðàçìåð? 2. Ýòîò ó÷åíûé ñòîÿë ó èñòîêîâ ñîâðåìåííîãî åñòåñòâîçíàíèÿ. Îí äàë íàçâàíèå íàóêå ôèçèêå. Åãî ìîæíî ñ÷èòàòü ïåðâûì ôèçèêîì-òåîðåòèêîì. Êàê è áîëüøèíñòâî ó÷åíûõ äðåâíîñòè, îí áûë ó÷åíûì-ýíöèêëîïåäèñòîì. Êàê è ìíîãèå âåëèêèå ó÷åíûå, îí áûë ïåäàãîãîì: ïðåïîäàâàë â ó÷åáíîì çàâåäåíèè, íàçâàíèå êîòîðîãî ñîõðàíèëîñü äî íàøèõ äíåé. Îí áûë âîñïèòàòåëåì âûäàþùåãîñÿ ãîñóäàðñòâåííîãî äåÿòåëÿ. Îí áûë âåëèê äàæå â ñâîèõ çàáëóæäåíèÿõ. à) Êòî ýòîò ó÷åíûé? Êîãäà è â êàêîé ñòðàíå îí ðîäèëñÿ è æèë? á) Ïî÷åìó îí íàçâàë ôèçèêó ôèçèêîé è ïî÷åìó åãî ìîæíî ñ÷èòàòü òåîðåòèêîì? â)  êàêèõ åùå îáëàñòÿõ íàóêè ðàáîòàë ýòîò ó÷åíûé? ã) Êàê íàçûâàëîñü óïîìÿíóòîå ó÷åáíîå çàâåäåíèå è ãäå îíî íàõîäèëîñü? ä) Êòî èç ãîñóäàðñòâåííûõ äåÿòåëåé äðåâíîñòè áûë åãî âîñïèòàííèêîì? å) Êàêèå âçãëÿäû ýòîãî ó÷åíîãî, ñåãîäíÿ ñ÷èòàþùèåñÿ çàáëóæäåíèÿìè, âàì èçâåñòíû? 3. Íåìåöêèé ó÷åíûé è èíæåíåð, ðîäèëñÿ â 1907 ãîäó. Åùå ãèìíàçèñòîì îí çàíÿëñÿ ñîâåðøåííî íîâûì äëÿ òîãî âðåìåíè äåëîì ðàäèîòåõíèêîé. Íå ïîëó÷èâ îôèöèàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ, óæå ñòàë âåäóùèì ñîòðóäíèêîì ôèðìû «Òåëåôóíêåí».  ãîäû, ïðåäøåñòâóþùèå âòîðîé ìèðîâîé âîéíå, óñïåøíî ðàáîòàë íàä ïðîáëåìàìè ýëåêòðîííîãî òåëåâèäåíèÿ è ðàñòðîâîé ýëåêòðîííîé ìèêðîñêîïèè. Îí ñîçäàâàë ýëåêò- #$ ÊÂÀÍT 2008/¹3 ðîííûå óñòðîéñòâà â ðàìêàõ àòîìíûõ ïðîåêòîâ â Ãåðìàíèè â ãîäû âîéíû è â ÑÑÑÐ ïîñëå âîéíû. Âåðíóâøèñü íà ðîäèíó â 1956 ãîäó, ïîëó÷èë îò ïðàâèòåëüñòâà ÃÄÐ ðàçðåøåíèå íà âëàäåíèå íåäâèæèìûì èìóùåñòâîì, ïðèíàäëåæàâøèì åãî ñåìüå. Ñâîèì ïðàâîì îí âîñïîëüçîâàëñÿ â äóõå ëó÷øèõ òðàäèöèé ëþäåé íàóêè: îðãàíèçîâàë â ôàìèëüíîì èìåíèè â Äðåçäåíå íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèé èíñòèòóò.  ñâîåé èññëåäîâàòåëüñêîé ðàáîòå ó÷åíûé ïåðåêëþ÷èë âíèìàíèå íà íîâîå íàïðàâëåíèå ïðèìåíåíèå ýëåêòðîíèêè â ìåäèöèíå è áèîëîãèè. Ñêîí÷àëñÿ â 1997 ãîäó. Íàçîâèòå èìÿ ýòîãî ó÷åíîãî. 4. Âîïðîñ î òîì, êàê óñòðîåíà Âñåëåííàÿ, âîëíîâàë ëþäåé âñåãäà. Ñåãîäíÿøíèå ïðåäñòàâëåíèÿ î åå ñòðîåíèè îñíîâàíû íà òîì, ÷òî ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ôóíäàìåíòàëüíûõ îáúåêòîâ, èç êîòîðûõ ôîðìèðóåòñÿ âñå ìíîãîîáðàçèå óñòðîéñòâà è ñâîéñòâ Âñåëåííîé. Íåêîòîðûå èç ýòèõ îáúåêòîâ íåïëîõî èçó÷åíû, ñóùåñòâîâàíèå äðóãèõ ïîêà óñòàíîâëåíî êîñâåííî, ïî èõ äåéñòâèþ íà èçó÷åííûå îáúåêòû. Íàçîâèòå ýòè ôóíäàìåíòàëüíûå îáúåêòû, èõ ñâîéñòâà è ðîëü âî Âñåëåííîé. Êàêèå ñîâðåìåííûå òåîðèè ñòðîåíèÿ Âñåëåííîé âàì èçâåñòíû? 5.  XVIII âåêå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ÿâëåíèÿ îïèñûâàëèñü íà îñíîâå òåîðèè òåïëîðîäà îñîáîé æèäêîñòè, ïåðåòåêàþùåé èç îäíîãî òåëà â äðóãîå ïðè òåïëîïåðåäà÷å. à) Êàêèå îïûòû ïîñëóæèëè îñíîâàíèåì äëÿ îòêàçà îò òåîðèè òåïëîðîäà? á) Êàêèå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïîíÿòèÿ, ââåäåííûå â ðàìêàõ òåîðèè òåïëîðîäà, ñîõðàíèëèñü â ñîâðåìåííîé ôèçèêå? Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Â.Àëüìèíäåðîâ, À.Åãîðîâ, À.Êðàâöîâ, Â.Êðûøòîï, Æ.Ðàááîò Âñåðîññèéñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå Ïî ðåçóëüòàòàì î÷åðåäíîé Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû ñðåäè ñòóäåíòîâ òåõíè÷åñêèõ âóçîâ, êîòîðàÿ ñîñòîÿëàñü â íîÿáðå 2007 ãîäà, â êîìàíäíîì çà÷åòå ïåðâîå ìåñòî çàíÿëà êîìàíäà Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (ÌÃÒÓ) èì. Í.Ý.Áàóìàíà (133 áàëëà), âòîðîå ìåñòî êîìàíäà Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî àýðîêîñìè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà èì. àêàäåìèêà Ñ.Ï.Êîðîëåâà (95 á.), òðåòüå ìåñòî êîìàíäà Óôèìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî àâèàöèîííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (85 á.).  ëè÷íîì çà÷åòå ïåðâîå ìåñòî çàâîåâàë À.Ïóäîâêèí (ÌÃÒÓ èì. Í.Ý.Áàóìàíà, 48 áàëëîâ), âòîðîå ìåñòî çàâîåâàëà Ä.Êîâàëåâà (ÌÃÒÓ èì. Í.Ý.Áàóìàíà, 46 á.), íà òðåòüåì ìåñòå îêàçàëñÿ Í.Òðîøêèí (Ñàìàðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé àýðîêîñìè÷åñêèé óíèâåðñèòåò èì. àêàäåìèêà Ñ.Ï.Êîðîëåâà, 44 á.). Ñïåöèàëüíûì ïðèçîì æþðè íàãðàæäåí ñòóäåíò Ðîññèéñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà íåôòè è ãàçà èì. È.Ì.Ãóáêèíà Ê.Êîðíèøèí çà îðèãèíàëüíîå ðåøåíèå äâóõ çàäà÷ ýòîé îëèìïèàäû è çà ñòàáèëüíî óñïåøíîå ó÷àñòèå â ãîðîäñêèõ è âñåðîññèéñêèõ òóðàõ ñòóäåí÷åñêèõ îëèìïèàäàõ. ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ 1. Âåëîñèïåäèñò äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v. Ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè êîëåñ ðàâíî l, öåíòð òÿæåñòè âåëîñèïåäèñòà ñ âåëîñèïåäîì íàõîäèòñÿ ïîñðåäèíå ìåæäó êîëåñàìè íà âûñîòå h îò äîðîãè. Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíûé òîðìîçíîé ïóòü, åñëè òîðìîæåíèå âîçìîæíî òîëüêî çàäíèì êîëåñîì. 2. ×åðåç îòâåðñòèå â ïîòîëêå ïðîïóùåíà íåðàñòÿæèìàÿ íèòü, ê êîíöó êîòîðîé ïðèâÿçàí ãðóç ìàññîé m, ðàñêðó÷åííûé â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè äî ñêîðîñòè v è èìåþùèé ðàäèóñ âðàùåíèÿ îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè R. Êàêóþ ðàáîòó íàäî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ìåäëåííî ïîäòÿíóòü ãðóç âäâîå áëèæå ê ïîòîëêó? 3. Ê ïëàíåòå ðàäèóñîì R è óñêîðåíèåì íà ïîâåðõíîñòè g ïîäëåòàåò ñ áîëüøîãî óäàëåíèÿ êîñìè÷åñêèé àïïàðàò ìàññîé Ì ñ äâèãàòåëåì ìàëîé òÿãè Fò = mg , èìåþùèé ñêîðîñòü v. Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíóþ õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ñêîðîñòü, íåîáõîäèìóþ äëÿ ïåðåõîäà àïïàðàòà íà íèçêóþ îðáèòó âîêðóã ïëàíåòû. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü ýòî ñêîðîñòü, êîòîðóþ ïîëó÷èò êîñìè÷åñêèé àïïàðàò â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå ïðè òåõ æå çàòðàòàõ òîïëèâà. 4. Öåïî÷êà ìàññîé m è äëèíîé l ïîäâåøåíà çà âåðõíåå çâåíî, à íèæíèì êàñàåòñÿ ãîðèçîíòàëüíîé ïëàòôîðìû ìàññîé M, óäåðæèâàåìîé ñíèçó â ðàâíîâåñèè ñèñòåìîé ïðóæèí îáùåé æåñòêîñòüþ k. Öåïî÷êó îòïóñòèëè, è â ìîìåíò ñîïðèêîñíîâåíèÿ âåðõíåãî çâåíà ñ ïëàòôîðìîé ïëàòôîðìà îïóñòèëàñü îò òî÷êè ðàâíîâåñèÿ íà âåëè÷èíó b è äîñòèãëà ñêîðîñòè v. Îïðåäåëèòå èìïóëüñ, ïåðåäàííûé öåïî÷êîé ïëàòôîðìå â ïðîöåññå ïàäåíèÿ, è âûäåëèâøååñÿ ïðè ýòîì êîëè÷åñòâî òåïëîòû. 5. Øàð ðàäèóñîì R ìàññîé M, ñòîÿùèé íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, ðàñêðóòèëè îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè äî óãëîâîé ñêîðîñòè ω . Çàòåì ïî øàðó íàíåñëè óäàð, ïåðåäàâøèé åìó èìïóëüñ p = MRω âäîëü ãîðèçîíòàëüíîé ëèíèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð øàðà. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé ïîêàòèòñÿ øàð, åñëè ïðîñêàëüçûâàíèå ìåæäó øàðîì è ïëîñêîñòüþ îòñóòñòâóåò. 6. Öèêëè÷åñêèé ïðîöåññ, ïðîâîäèìûé ñ ãàçîì, ñîñòîèò èç èçîõîðû, èçîáàðû è èçîòåðìû. Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíûé ÊÏÄ öèêëà, åñëè äàâëåíèå ìîæåò ìåíÿòüñÿ îò p1 äî p2 . 7. Äâà òî÷å÷íûõ çàðÿäà Q è Q íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè 3l äðóã îò äðóãà. Ïîñðåäèíå ìåæäó íèìè ïîìåùàþò òåëî, ñîñòîÿùåå èç äâóõ ìåòàëëè÷åñêèõ øàðèêîâ ðàäèóñîì r = l , ñîåäèíåííûõ î÷åíü òîíêèì ìåòàëëè÷åñêèì ñòåðæíåì, ñîâïàäàþùèì ñ ëèíèåé, ñîåäèíÿþùåé çàðÿäû. Îïðåäåëèòå, íà ñêîëüêî èçìåíèòñÿ ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó çàðÿäàìè, åñëè äëèíà ñòåðæíÿ ðàâíà l. 8. Ïåðåìû÷êà ìàññîé m è ñîïðîòèâëåíèåì R ëåæèò íà äâóõ ãîðèçîíòàëüíûõ ïàðàëëåëüíûõ ðåëüñàõ, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî a. Ê ðåëüñàì íà âðåìÿ t ïîäêëþ÷èëè èñòî÷íèê ñ ÝÄÑ - . Êàêîå âåðòèêàëüíî íàïðàâëåííîå ìàãíèòíîå ïîëå B íåîáõîäèìî ñîçäàòü, ÷òîáû ñêîðîñòü ïåðåìû÷êè ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà äîñòèãëà ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ? Ñ÷èòàòü, ÷òî exp(1,26) = 3,52. 9. Íà ïóòè ïëîñêîé ñâåòîâîé âîëíû íàõîäèòñÿ êðóãëîå îòâåðñòèå, â êîòîðîì ïîìåùàåòñÿ ëèøü íåáîëüøàÿ ÷àñòü ïåðâîé çîíû Ôðåíåëÿ äëÿ òî÷êè íàáëþäåíèÿ Ð, èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â êîòîðîé ðàâíà I0 .  îòâåðñòèå ïîìåñòèëè ñïåöèàëüíóþ ëèíçó, ïðè ïðîõîæäåíèè ñâåòà ÷åðåç êîòîðóþ âîëíîâîé ôðîíò ñòàíîâèòñÿ êîíè÷åñêèì. Îïðåäåëèòå èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â òî÷êå íàáëþäåíèÿ Ð, åñëè â ïðèñóòñòâèè ëèíçû â îòâåðñòèè ïîìåùàåòñÿ 5 çîí Ôðåíåëÿ. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ì.ßêîâëåâ, Â.Ãîëóáåâ #% ÈÌ È ÀÀÄÖ ÛÈ ß È Í ÎÔË Î ÐÏÌ Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ Çàî÷íàÿ øêîëà (ÇØ) Ñïåöèàëèçèðîâàííîãî ó÷åáíî-íàó÷íîãî öåíòðà (ÑÓÍÖ) Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (ÍÃÓ) ïðèãëàøàåò øêîëüíèêîâ 711 êëàññîâ è àáèòóðèåíòîâ ðàñøèðèòü è óãëóáèòü ñâîè çíàíèÿ ïî øêîëüíûì ïðåäìåòàì è ïîäãîòîâèòüñÿ ê âñòóïèòåëüíûì ýêçàìåíàì â âûñøèå ó÷åáíûå çàâåäåíèÿ. Êðîìå îòäåëüíûõ ó÷àùèõñÿ, â ÇØ ïðèíèìàþòñÿ ôàêóëüòàòèâíûå ãðóïïû, îðãàíèçîâàííûå â îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ øêîëàõ. Ëó÷øèå ó÷àùèåñÿ ÇØ åæåãîäíî ïðèãëàøàþòñÿ â Ëåòíþþ øêîëó äëÿ ó÷àñòèÿ â êîíêóðñå ÑÓÍÖ ÍÃÓ. Ó÷àùèåñÿ, óñïåøíî âûïîëíèâøèå âñå çàäàíèÿ, ïî îêîí÷àíèè îäèííàäöàòîãî êëàññà ïîëó÷àþò óäîñòîâåðåíèå ÇØ. Çà÷èñëåíèå â Çàî÷íóþ øêîëó ÑÓÍÖ ÍÃÓ ïðîèçâîäèòñÿ êðóãëîãîäè÷íî. ×òîáû òóäà ïîñòóïèòü, íåîáõîäèìî ïðèñëàòü â àäðåñ ÇØ âûïîëíåííîå ïåðâîå çàäàíèå è çàÿâëåíèå î ïðèåìå. Ðàáîòà äîëæíà áûòü âûïîëíåíà â ó÷åíè÷åñêîé òåòðàäè â êëåòêó. Îáÿçàòåëüíî çàïèøèòå êðàòêîå óñëîâèå êàæäîé çàäà÷è. Íîìåðà çàäà÷ äîëæíû ñîâïàäàòü ñ òåìè, êîòîðûå óêàçàíû â çàäàíèè. Ïèøèòå ÷åòêî, ðàçáîð÷èâî, îñòàâëÿÿ ïîëÿ äëÿ çàìå÷àíèé ïðåïîäàâàòåëÿ. Íà îáëîæêå òåòðàäè íóæíî óêàçàòü: 1) Îòäåëåíèå (ìàòåìàòè÷åñêîå èëè ôèçè÷åñêîå) 2) Íîìåð çàäàíèÿ 3) Ôàìèëèþ, èìÿ, îò÷åñòâî 4) Êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü â ñâîåé øêîëå 5) Âàø ïîäðîáíûé äîìàøíèé àäðåñ, ñ óêàçàíèåì èíäåêñà ïî÷òîâîãî îòäåëåíèÿ, òåëåôîíà (ñ êîäîì ãîðîäà), e-mail 6) Àäðåñ Âàøåé øêîëû è òåëåôîí/ôàêñ, (ñ êîäîì ãîðîäà), e-mail 7) Ôàìèëèþ, èìÿ, îò÷åñòâî ïðåïîäàâàòåëåé â Âàøåé øêîëå ïî ìàòåìàòèêå è ïî ôèçèêå Ðàáîòó îòñûëàéòå òîëüêî ïðîñòîé áàíäåðîëüþ.  òåòðàäü âëîæèòå ëèñòîê áóìàãè ðàçìåðîì 6 ´ 10 ñì ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì. Âûïîëíåííîå çàäàíèå è çàÿâëåíèå î ïðèåìå âûñûëàéòå ïî ïî÷òîâîìó àäðåñó: 630090 Íîâîñèáèðñê-90, óë. Ëÿïóíîâà, 3, Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ èëè ïî ýëåêòðîííîé ïî÷òå: distant@sesc.nsu.ru Òåëåôîí: (383) 363-4066 Àäðåñ â èíòåðíåòå: http://zfmsh.nsu.ru Ïåðâîå çàäàíèå Ìàòåìàòè÷åñêîå îòäåëåíèå 7 êëàññ 1. Çà 5 ÷ âñàäíèê ïðîåõàë íà 8 êì ìåíüøå ïîëîâèíû âñåãî ðàññòîÿíèÿ, à çà 7 ÷ îí ïðîåõàë íà 16 êì áîëüøå ïîëîâèíû ýòîãî ðàññòîÿíèÿ. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü âñàäíèêà, åñëè îí åõàë ñ îäíîé è òîé æå ñêîðîñòüþ. 2. Ãóñü, 3 óòêè è 2 êóðèöû èìåþò îáùóþ ìàññó 24 êã, à 2 ãóñÿ, 5 óòîê è 4 êóðèöû èìåþò ìàññó 44 êã. Êàêîâà îáùàÿ ìàññà 1 ãóñÿ, 4 óòîê è 2 êóðèö? 3. Èìåÿ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî äåíåã â êîøåëüêàõ, Êðîêîäèë Ãåíà è ×åáóðàøêà ïîøëè íà áàçàð. Êðîêîäèë Ãåíà ñíà÷àëà èñòðàòèë 20% ñâîèõ äåíåã íà ÿáëîêè, à çàòåì 10% îò îñòàâøèõñÿ ó íåãî äåíåã èñòðàòèë íà êîíôåòû. ×åáóðàøêà æå èñòðàòèë 30% ñâîèõ äåíåã íà àïåëüñèíû. Ó êîãî èç äðóçåé äåíåã â êîøåëüêå îñòàëîñü áîëüøå? 4.Íàéäèòå ðàçíîñòü ìåæäó ñóììîé âñåõ ÷åòíûõ ÷èñåë è ñóììîé âñåõ íå÷åòíûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ 100. 5. Åñëè îò çàäóìàííîãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà îòíÿòü 11 è ïîëó÷èâøååñÿ ÷èñëî ðàçäåëèòü íà 11, òî â îñòàòêå ïîëó÷èòñÿ 4. Åñëè îò òîãî æå çàäóìàííîãî ÷èñëà îòíÿòü 8 è ïîëó÷èâøååñÿ ÷èñëî ðàçäåëèòü íà 8, òî îñòàòîê îò äåëåíèÿ áóäåò 4. Åñëè æå îò çàäóìàííîãî ÷èñëà îòíÿòü 7 è ïîëó÷èâøååñÿ ÷èñëî ðàçäåëèòü íà 7, òî îñòàòîê îïÿòü áóäåò 4. Íàéäèòå çàäóìàííîå ÷èñëî. 6. Êàê ðàçðåçàòü êâàäðàò íà 5 ïðÿìîóãîëüíèêîâ òàê, ÷òîáû íèêàêèå äâà èç íèõ íå èìåëè îáùåé ñòîðîíû? 7. Âîññòàíîâèòå öèôðû â ïðèìåðå íà óìíîæåíèå: 126 ** *** + **** 1*2*6 × Çàïèøèòå ñâîè ðàññóæäåíèÿ. 8 êëàññ 1. Ãîðîäà À è  ðàñïîëîæåíû íà ðåêå íà ðàññòîÿíèè 10 êì äðóã îò äðóãà.  êàêîì ñëó÷àå òåïëîõîäó ïîòðåáóåòñÿ áîëüøå âðåìåíè: ïðîïëûòü îò À äî  è îáðàòíî èëè ïðîïëûòü 20 êì ïî îçåðó? 2. Ñëóæàùèå áàíêà ðåøèëè ðàçëîæèòü ïîðîâíó ïàðòèþ çîëîòûõ ñëèòêîâ ïî ñåéôàì. Ñíà÷àëà â êàæäûé ñåéô ïîëîæèëè ïî 12 ñëèòêîâ, íî ïðè ýòîì îäèí ñëèòîê îñòàëñÿ. Çàòåì èç îäíîãî ñåéôà âûíóëè âñå ñëèòêè, è òîãäà â îñòàâøèåñÿ ñåéôû óäàëîñü ðàçëîæèòü âñå ñëèòêè ïîðîâíó. Ñêîëüêî ñëèòêîâ áûëî â ïàðòèè, åñëè â êàæäûé ñåéô ïîìåùàåòñÿ íå áîëåå 20 ñëèòêîâ çîëîòà? 3. Äàí ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ÀÂÑ. Íà ïðîäîëæåíèè ñòîðîíû ÀÑ çà òî÷êó Ñ âçÿëè òî÷êó Ð, à íà ïðîäîëæåíèè ñòîðîíû ÂÑ çà òî÷êó Ñ òî÷êó K òàê, ÷òî BP = PK. Äîêàæèòå, ÷òî AP = CK. Ä×Ó×Á×Î×Ê ?  ðåáóñå 4. ×åìó ðàâíî çíà÷åíèå äðîáè ß×Ñ×Å×Í×Ü îäèíàêîâûìè áóêâàìè îáîçíà÷åíû îäèíàêîâûå öèôðû, ðàçíûìè ðàçíûå. 5.  òÿæåëóþ äëÿ ñåáÿ ãîäèíó Áàáà ßãà ðåøèëà ðàññòàòüñÿ ñî ñâîåé ñòóïîé è ñ ìåòëîé, âûñòàâèâ èõ íà ðàñïðîäàæó. Ñòóïà äîðîæå ìåòëû íà 25%. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ìåòëà äåøåâëå ñòóïû? 6. Ìàëü÷èø Ïëîõèø õî÷åò êóïèòü âàðåíüå, ïå÷åíüå è êîíôåòû. Åñëè îí êóïèò òîëüêî áî÷êó âàðåíüÿ, òî ó íåãî îñòàíåòñÿ 3 äîëëàðà, åñëè æå òîëüêî êîðçèíó ïå÷åíüÿ, òî îñòàíåòñÿ 4 äîëëàðà, à åñëè òîëüêî êîðîáêó êîíôåò, òî 8 äîëëàðîâ. Õâàòèò ëè ó Ïëîõèøà äåíåã, ÷òîáû êóïèòü áî÷êó âàðåíüÿ è êîðçèíó ïå÷åíüÿ? 7.Ó÷åíèêó íàäî áûëî íàéòè ïðîèçâåäåíèå ÷èñëà 136 íà íåêîòîðîå äâóçíà÷íîå ÷èñëî, â êîòîðîì öèôðà åäèíèö âäâîå áîëüøå öèôðû äåñÿòêîâ. Ïî ðàññåÿííîñòè îí ïîìåíÿë ìåñòàìè öèôðû äâóçíà÷íîãî ÷èñëà, îò÷åãî è ïîëó÷èë ïðîèçâåäåíèå íà 1224 áîëüøå èñòèííîãî. ×åìó ðàâíî èñòèííîå ïðîèçâåäåíèå? 9 êëàññ 1. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 42007 + 22009 + 3 ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíûì. 2 2 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå x + 5y - 4 xy - 6 y + 9 = 0 äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ x è y. 3. Áèññåêòðèñà îäíîãî èç îñòðûõ óãëîâ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà äåëèò êàòåò â îòíîøåíèè 5:3. Íàéäèòå ãèïîòåíóçó ýòîãî òðåóãîëüíèêà, åñëè äëèíà áèññåêòðèñû äðóãîãî îñòðîãî óãëà ðàâíà 10 . 4. Èçâåñòíî, ÷òî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç #& ÊÂÀÍT 2008/¹3 êîðíåé óðàâíåíèÿ 0 x x+3 x + 3 Kx + 3 = 1. 1 20 -90 Äîêàæèòå, ÷òî a < 10 . 5.  îêðóæíîñòü âïèñàíû òðàïåöèÿ, îñíîâàíèåì êîòîðîé ñëóæèò äèàìåòð, è ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû ñòîðîíàì òðàïåöèè. Äîêàæèòå, ÷òî òðàïåöèÿ è òðåóãîëüíèê èìåþò ðàâíûå ïëîùàäè. 6.  íîâîãîäíåì êàðíàâàëå ó÷àñòâóþò 100 ÷åëîâåê. Êàæäûé èç íèõ çíàêîì íå ìåíåå ÷åì ñ 50 èç ïðèñóòñòâóþùèõ. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ó÷àñòíèêîâ êàðíàâàëà íàéäóòñÿ ÷åòûðå ÷åëîâåêà, êîòîðûõ ìîæíî ïîñòàâèòü âîêðóã åëêè òàê, ÷òîáû ëþáûå ñòîÿùèå ðÿäîì ó÷àñòíèêè áûëè çíàêîìû. 10 êëàññ 1. Âû÷èñëèòå ñóììó 22 + 42 + 62 + ... + 20082 - 12 - 32 - 52 - ... - 20072 (êâàäðàòû ÷åòíûõ ÷èñåë áåðóòñÿ ñ ïëþñîì, êâàäðàòû íå÷åòíûõ ñ ìèíóñîì). 2. Åñëè ïåðâûé àâòîìîáèëü ñäåëàåò 4 ðåéñà, à âòîðîé 3 ðåéñà, òî 21 òîííó ãðóçà îíè ïåðåâåçòè íå ñìîãóò. Åñëè æå ïåðâûé ñäåëàåò 7 ðåéñîâ, à âòîðîé 4 ðåéñà, òî îíè ñìîãóò ïåðåâåçòè áîëåå 33 òîíí ãðóçà. Êàêîé èç àâòîìîáèëåé èìååò áóëüøóþ ãðóçîïîäúåìíîñòü? 3. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë a è b âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî 3 4(a + b) ³ 3 a + 3 b . 4. Èç âåðøèí  è Ñ ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ïðîâåäåíû ìåäèàíû BB1 è CC1 . Äîêàæèòå, ÷òî 9 BB12 + CC12 > BC 2 . 8 5. Äàí îñòðûé óãîë è îêðóæíîñòü âíóòðè íåãî. Íàéäèòå íà îêðóæíîñòè òî÷êó, ñóììà ðàññòîÿíèé îò êîòîðîé äî ñòîðîí óãëà áûëà áû: à) íàèìåíüøåé; á) íàèáîëüøåé. 6. Ñðåäè 101 ìîíåòû ðîâíî 50 ôàëüøèâûõ. Ìàññû âñåõ íàñòîÿùèõ ìîíåò îäèíàêîâû, ìàññà êàæäîé ôàëüøèâîé ìîíåòû îòëè÷àåòñÿ îò ìàññû íàñòîÿùåé íà îäèí ãðàìì (â áîëüøóþ èëè ìåíüøóþ ñòîðîíó). Êàê çà îäíî âçâåøèâàíèå íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ ñî ñòðåëêîé, êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò ðàçíîñòü âåñîâ íà ÷àøêàõ, îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííàÿ ìîíåòà ôàëüøèâîé? Íà êàæäóþ ÷àøêó âåñîâ ìîæíî êëàñòü ëþáîå êîëè÷åñòâî ìîíåò. 11 êëàññ 1. Äâà âåëîñèïåäèñòà âûåõàëè îäíîâðåìåííî è åõàëè ñ ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè îäèí èç A â B, äðóãîé èç B â A. Ïåðâûé ðàç îíè âñòðåòèëèñü â 40 êì îò B, ïîñëå ÷åãî êàæäûé äîåõàë äî êîíå÷íîãî ïóíêòà (ïåðâûé äî B, âòîðîé äî A), ðàçâåðíóëñÿ è ïîåõàë îáðàòíî. Âòîðîé ðàç îíè âñòðåòèëèñü â 20 êì îò À ÷åðåç 8 ÷àñîâ ïîñëå èõ ïåðâîé âñòðå÷è. Íàéäèòå ñêîðîñòè âåëîñèïåäèñòîâ è ðàññòîÿíèå îò À äî Â. 2. Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ 1 x - 2 x -1 + x +2 x -1 = . x -1 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå tg x + tg 2 x + tg x tg 2x tg 3 x = tg 3 x + tg 4 x . 4. Íà êàæäîé ñòîðîíå âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà êàê íà äèàìåòðå ïîñòðîåí êðóã. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðå ïîñòðîåííûõ êðóãà ïîëíîñòüþ ïîêðûâàþò âåñü ÷åòûðåõóãîëüíèê. 5. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë ñðåäè ïåðâûõ 2008 ýëåìåíòîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè o cos 1o,cos 10o,cos 100o,...,cos 102007 . 6.  òðåóãîëüíîé ïèðàìèäå ABCD èçâåñòíû äëèíû ðåáåð: AB = 4, CD = 6, AC = AD = BC = BD = 7. Ìåäèàíû ãðàíè BCD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ì. Íàéòè îáúåì ïèðàìèäû MACD. Ôèçè÷åñêîå îòäåëåíèå 9 êëàññ 1. Êîëüöåâàÿ àâòîòðàññà èìååò ôîðìó ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 10 êì è 8 êì. Èç îäíîé òî÷êè òðàññû, ðàñïîëîæåííîé «â âåðøèíå ïðÿìîóãîëüíèêà», ïî áîëüøåé ñòîðîíå â îäíîì íàïðàâëåíèè îäíîâðåìåííî ñòàðòîâàëè äâà àâòîìîáèëÿ: îäèí ñî ñêîðîñòüþ 60 êì/÷, äðóãîé ñî ñêîðîñòüþ 90 êì/÷. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè (ïî ïðÿìîé, à íå ïî òðàññå) îêàæóòñÿ àâòîìîáèëè ÷åðåç 14 ìèí? 2. Ãðóç, íàïîëîâèíó ïîãðóæåííûé â æèäêîñòü, óäåðæèâàåòñÿ ïðèâÿçàííîé ê íåìó ñâåðõó íèòüþ. Îïðåäåëèòå ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà ρ x , èç êîòîðîãî èçãîòîâëåí ãðóç, åñëè ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ, îáúåì ãðóçà V, íàòÿæåíèå íèòè T. 3. Ïåðâîíà÷àëüíî òâåðäûé îáðàçåö, íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà êîòîðîãî t1 = 15 °C , íàãðåâàþò â ñïåöèàëüíîì ñîñóäå. Çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû t îáðàçöà îò âðåìåíè τ ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå 1. Ñèñòåìà îòðåãóëèðîâàíà òàê, ÷òî â îáðàçåö ïîñòóïàåò â êàæäóþ åäèíèöó âðåìåíè îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû. ×åìó ðàâíà óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü òâåðäîãî îáðàçöà? Óäåëü- Ðèñ. 1 íàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ L = = 240000 Äæ/êã, t2 = 90 °C , τ1 = 4 ìèí, τ2 = 8 ìèí. Âðåìÿ îòñ÷èòûâàåòñÿ ñ ìîìåíòà íà÷àëà íàãðåâà. 4.  ãèðëÿíäå ñîñòîÿùåé èç N = 25 ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ëàìïî÷åê (ðèñ.2), ïåðåãîðåëà îäíà èç íèõ. Âî ñêîëüêî ðàç íàäî óâåëè÷èòü âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå R, ÷òîáû ïðè ïðåæíåì íàïðÿæåíèè íàêàë îñòàâøèõñÿ ëàìïî÷åê íå èçìåíèëñÿ? 10 êëàññ Ðèñ. 2 1. Ðåøèòå çàäà÷ó 3 äëÿ 9 êëàññà. 2. Ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè äâèæåòñÿ òåëî ìàññîé m.  ìîìåíò, êîãäà åãî ñêîðîñòü ðàâíÿëàñü v0 , íà íåãî ïîäåéñòâîâàëè ïîñòîÿííîé ãîðèçîíòàëüíîé ñèëîé F0 , íàïðàâëåííîé íàâñòðå÷ó. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè s îò ýòîãî ìåñòà îêàæåòñÿ òåëî, êîãäà åãî ñêîðîñòü ñíîâà áóäåò ðàâíÿòüñÿ v0 ? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ µ . Èçâåñòíî, ÷òî F0 > µmg . 3.  ïîêîÿùåéñÿ âåðòèêàëüíîé çàïàÿííîé òðóáêå íàõîäèòñÿ ìàññèâíûé ïîäâèæíûé ïîðøåíü. Òðóáêó áûñòðî ïåðåâåðíóëè âîêðóã ïîðøíÿ. Íàéäèòå óñêîðåíèå ïîðøíÿ â ïåðâûé ìîìåíò âðåìåíè ïîñëå ïåðåâîðîòà. Òðåíèåì ïîðøíÿ î ñòåíêè òðóáêè ïðåíåáðå÷ü. 4. Êî äíó ñîñóäà ñå÷åíèåì S ïðèâÿçàí ëåãêèé ïóñòîé øàð îáúåìîì V ñ öåíòðîì íà ãëóáèíå h. Øàð ëîïíóë. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ ê ìîìåíòó, êîãäà èç-çà âíóòðåííåãî òðåíèÿ äâèæåíèå æèäêîñòè ïðåêðàòèòñÿ? Ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ , óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g. Ìàññîé îáîëî÷êè øàðà ïðåíåáðå÷ü. 5. Íåáîëüøîå òåëî çàïóñòèëè ñî ñêîðîñòüþ v0 ïî ãîðèçîíòàëüíîìó æåëîáó, ïåðåõîäÿùåìó â ïîëóîêðóæíîñòü ðàäèóñîì R (ðèñ.3). Ïðåíåáðåãàÿ òðåíèåì, íàéäèòå ðàññòîÿíèå ïî ÎÒÂÅÒÛ, Î ÌÀÏÍÈÈÀßÄ, Û Ð Å Ø Å Í È ß ÓË ÊÈ ÀÇ ãîðèçîíòàëè x, íà êîòîðîì îêàæåòñÿ ýòî òåëî ïîñëå îòðûâà îò æåëîáà. Èçâåñòíî, ÷òî v02 > 4 gR . #' ïðîòèâëåíèåì êîòîðîãî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïîêàçûâàåò òîê I = 2 A? 4. Äâà êîíäåíñàòîðà, îäèí åìêîñòüþ Ñ, à äðóãîé åìêîñòüþ 2Ñ, âíà÷àëå áûëè ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèñîåäèíåíû ê èñòî÷íè- 11 êëàññ 1. Ðåøèòå çàäà÷ó 4 äëÿ 10 êëàññà. 2. Èç îäíîé òî÷êè êîëüöåâîé ãîíî÷íîé òðàññû îäíîâðåìåííî, íî â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ ñòàðòóþò äâà ãîíî÷íûõ àâòîìîáèëÿ À è Â. ×åðåç 20 ìèí àâòîìîáèëè ïðîåõàëè ìèìî äðóã äðóãà â íåêîòîðîé òî÷êå Ñ. Íà ñêîëüêî ðàíüøå îêàæåòñÿ íà ìåñòå ñòàðòà àâòîìîáèëü À, åñëè åãî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü íà 25% âûøå ñêîðîñòè àâòîìîáèëÿ Â? 3.  öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 4, ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå U = 9 Â. Ïîñòîÿííîå è ïåðåìåííîå ñîïðîòèâëåíèÿ îäèíàêîâû è ðàâíû R = 12 Îì.  êàêîì îòíîøåíèè äåëèò ïîäâèæíûé êîíòàêò K ïåðåìåííîå ñîïðîòèâëåÐèñ. 4 íèå, åñëè àìïåðìåòð, ñîÐèñ. 3 Ðèñ. 5 êó ñ ïîñòîÿííûì íàïðÿæåíèåì U (ðèñ.5). Ïîñëå ïîëíîé çàðÿäêè èõ îòñîåäèíèëè îò èñòî÷íèêà è ñîåäèíèëè îáêëàäêè ñ îäíîèìåííûìè çàðÿäàìè, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Íà ñêîëüêî óìåíüøèòñÿ ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðîâ ïîñëå òàêîãî ñîåäèíåíèÿ? 5. Òåëî ìàññîé m è çàðÿäîì q óäåðæèâàþò íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Íàä ïîâåðõíîñòüþ íà âûñîòå h çàêðåïëåí çàðÿä q. Ðàññòîÿíèå ïî ãîðèçîíòàëè îò òåëà äî òî÷êè, ðàñïîëîæåííîé ïîä çàðÿäîì, ðàâíî L. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü v0 íåîáõîäèìî ñîîáùèòü òåëó, ÷òîáû îíî ïðîñêî÷èëî òî÷êó, ðàñïîëîæåííóþ ïîä çàêðåïëåííûì çàðÿäîì? ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÐÅØÅÍÈß ÊÌØ Çàäà÷è (ñì. «Êâàíò» ¹2) 1. 7. Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî 135135 = 135 × 1001 = 1 × 3 × 5 × 9 × 7 × 11 × 13 . 2. Cóùåñòâóþò. Âîò ïðèìåð äâóõ ïîäõîäÿùèõ ÷èñåë: 1010010007 è 3000001006 êàæäîå èç íèõ îïèñûâàåò âòîðîå. Êàê ïîäîáðàòü òàêèå ÷èñëà? Íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, ÷òî â êàæäîì òàêîì ÷èñëå ñóììà öèôð ðàâíà 10. Âîçüìåì ëþáîå äåñÿòèçíà÷íîå ÷èñëî ñ òàêîé ñóììîé öèôð è ñîñòàâèì âòîðîå ÷èñëî, ó êîòîðîãî ïåðâàÿ öèôðà ðàâíà êîëè÷åñòâó åäèíèö èñõîäíîãî ÷èñëà, âòîðàÿ êîëè÷åñòâó äâîåê è ò.ä. Ïîòîì òàêèì æå îáðàçîì íà îñíîâå âòîðîãî ÷èñëà ñîñòàâèì òðåòüå, çàòåì ÷åòâåðòîå, ïÿòîå  êîíå÷íîì èòîãå ñ äîâîëüíî áîëüøèìè øàíñàìè ìû îáíàðóæèì óêàçàííóþ ïàðó ÷èñåë.  ÷àñòíîñòè, ê íèì ïðèâîäÿò «ñàìûå íàïðàøèâàþùèåñÿ» èñõîäíûå ÷èñëà 1000000009 èëè 1234000000. Êîíå÷íî, íå èñêëþ÷åíà âîçìîæíîñòü, ÷òî â ïîñòðîåííîé íàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìû íàòêíåìñÿ íà óêàçàííîå â óñëîâèè ÷èñëî 2100010006. ×òî æ, òîãäà ïðèäåòñÿ çàìåíèòü èñõîäíîå ÷èñëî. Íàéòè äðóãèå «çàöèêëèâàíèÿ» èñõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå óäàëîñü, õîòÿ âïîëíå âåðîÿòíî, ÷òî îíè ñóùåñòâóþò. 3. Ðåøåíèå îáåèõ çàäà÷ èñïîëüçóåò íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà. à) Âåðíî âñåãäà. Èëè ê îäíîìó, èëè ê äðóãîìó êîíöó íàèáîëüøåãî ðåáðà ïèðàìèäû ïðèìûêàþò äâà äðóãèõ ðåáðà, èç êîòîðûõ âìåñòå ñ ýòèì íàèáîëüøèì ðåáðîì ìîæíî ñîñòàâèòü òðåóãîëüíèê. á) Ïèðàìèäó ìîæíî ñîñòàâèòü íå âñåãäà. Íàïðèìåð, åñëè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà âûðàæàþòñÿ ÷èñëàìè 1000, 1002, 1004, à äëèíû âñåõ ñòîðîí äðóãîãî ðàâíû 1, òî èç ýòèõ øåñòè îòðåçêîâ ñîñòàâèòü ïèðàìèäó íå óäàñòñÿ: íèêàêèå äâà ðåáðà èç ðàçíûõ òðîåê íå ìîãóò èìåòü îáùèõ êîíöîâ. 4. Íå ñóùåñòâóþò. Î÷åâèäíî, ÷òî z > x, z > y. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ïîëàãàòü x £ y < z . Òîãäà x × 2x + y × 2y £ y × 2y +1 < < y + 1 × 2y +1 £ z × 2z . Ðèñ. 1 5. Îäíà èç âîçìîæíûõ ñõåì äîðîã ïîêàçàíà íà ðèñóíêå 1. Çäåñü äëÿ ëþáûõ òðåõ ïåðåêðåñòêîâ À,  è Ñ (À ïåðåêðåñòîê, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ Íåóëîâèìûé Äæî,  è Ñ ïåðåêðåñòêè, â êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ ïîëèöåéñêèå) ñóùåñòâóåò ÷åòâåðòûé ïåðåêðåñòîê D, ñîñåäíèé ñ À è íå ÿâëÿþùèéñÿ ñîñåäíèì äëÿ ïåðåêðåñòêîâ  è Ñ. Êîíêóðñ «Ìàòåìàòèêà 68» (ñì. «Êâàíò» ¹ 6 çà 2007 ã.) 11. Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî ÷èñëèòåëü êàæäîé äðîáè â óñëîâèè çàäà÷è äåëèòñÿ íà çíàìåíàòåëü. Íàïðèìåð, x + y + z5 - x5 - y5 - z5 äåëèòñÿ íà õ + ó, ïîñêîëüêó x + y + z 5 - z5 äåëèòñÿ íà (x + y + z) z = x + y è x5 + y5 äåëèòñÿ íà x + y. Âîñïîëüçîâàâøèñü òîæäåñòâîì x + y + z5 - z5 - y5 - z5 = = 5 x + y y + z z + x x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx , ïåðåïèøåì ýòî óñëîâèå â âèäå x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx = a 2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ,
