Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì1641, Ì1646 — Ì1650, Ô1658 —Ô1667 Ì1641.

ðîãî íàõîäèòñÿ âäàëè íà ëèíèè öåíòðîâ ñôåðè÷åñêèõ
ïîâåðõíîñòåé?
À.Î÷êîâ
Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì1641, Ì1646 — Ì1650,
Ô1658 —Ô1667
Ì1641. Åñòü ïîëóáåñêîíå÷íàÿ ïîëîñêà áóìàãè, ðàçäå-
ëåííàÿ íà êëåòî÷êè ñ íîìåðàìè 1, 2, 3, ..., è n êàìíåé.
Íà ïåðâîé êëåòî÷êå êàìåíü ëåæèò âñåãäà. Ðàçðåøàåòñÿ
ïîëîæèòü â êëåòêó êàìåíü èëè óáðàòü êàìåíü èç
êëåòêè, åñëè íà ïðåäûäóùåé êëåòêå ëåæèò êàìåíü. Êàê
äàëåêî îò íà÷àëà ïîëîñêè ìîæíî ïîëîæèòü êàìåíü,
äåéñòâóÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïðàâèëîì? Äîêàæèòå,
íàïðèìåð, ÷òî íà êëåòêó ñ íîìåðîì 2n−1 êàìåíü ïîëîæèòü ìîæíî.
ÊÂÀÍT 1999/¹1
Äîêàæåì, ÷òî íà êëåòêó ñ íîìåðîì 2n−1 êàìåíü ïîëîæèòü
ìîæíî. Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò èíäóêòèâíûì. Èíäóêöèÿ
ïðîâîäèòñÿ ïî ÷èñëó êàìíåé.
Ñëó÷àé n = 1 î÷åâèäåí – íà ïåðâîé êëåòêå êàìåíü ëåæèò
ïî óñëîâèþ.
Ïóñòü ìîæíî ïîëîæèòü êàìåíü íà êëåòêó 2n−1 , èñïîëüçóÿ
n
n êàìíåé. Ïîêàæåì: êàê äîáðàòüñÿ äî êëåòêè 2 , èñïîëüçóÿ íà îäèí êàìåíü áîëüøå. Âñå òðåáóåìûå äëÿ ýòîãî
äåéñòâèÿ ðàçáèâàþòñÿ íà ÷åòûðå ýòàïà.
Ýòàï 1. Áåç èñïîëüçîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî êàìíÿ ïîìåñòèì êàìåíü íà êëåòêó 2n−1 .
Ýòàï 2. Äîïîëíèòåëüíûé êàìåíü ïîìåñòèì íà êëåòêó
2n−1 + 1.
Ýòàï 3. Òåïåðü óáåðåì ñ ïîëîñêè âñå êàìíè, êðîìå ñàìîãî
ïåðâîãî (ëåæàùåãî íà ïåðâîé êëåòêå) è ñàìîãî ïîñëåäíåãî (ëåæàùåãî íà êëåòêå 2n−1 + 1). Ýòî ìîæíî ñäåëàòü,
ïîâòîðÿÿ â îáðàòíîì ïîðÿäêå äåéñòâèÿ, ñîâåðøåííûå íà
ýòàïå 1 (ðàçðåøåííûå äåéñòâèÿ ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïîñòàíîâêè è ñíÿòèÿ êàìíåé).
Ýòàï 4. Òåïåðü çàáóäåì î ïåðâûõ 2n−1 êëåòêàõ ïîëîñêè.
Ïîâòîðèì âñå äåéñòâèÿ ýòàïà 1, ñ÷èòàÿ íà÷àëüíûì êàìåíü, ëåæàùèé íà êëåòêå 2n−1 + 1. Ïðè ýòîì ìû ñòàâèì è
ñíèìàåì êàìíè, îñâîáîäèâøèåñÿ íà ýòàïå 3.
n
Ïîñëåäíèì äåéñòâèåì ýòàïà 4 íà êëåòêó 2n−1 + 2n−1 = 2
êëàäåòñÿ êàìåíü, ÷òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü.
Äàëüøå êëåòêè ñ íîìåðîì 2n−1 êàìåíü ïîëîæèòü íåëüçÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî òàêæå èñïîëüçóåò èíäóêöèþ ïî ÷èñëó
êàìíåé. È â ýòîì ñëó÷àå áàçà èíäóêöèè î÷åâèäíà (ïðè
n = 1 åäèíñòâåííûé êàìåíü îñòàåòñÿ íà ïåðâîé êëåòêå ïî
óñëîâèþ).
Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ âñåõ k < n äîêàçûâàåìîå
óòâåðæäåíèå âåðíî, ò.å. äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëîæèòü êàìåíü
k −1
íà êëåòêó ñ íîìåðîì áîëüøèì 2 , íàì íóæíî èñïîëüçîâàòü áîëåå k êàìíåé.
Ïóñòü N – ìàêñèìàëüíûé íîìåð êëåòêè, íà êîòîðóþ
ìîæíî ïîëîæèòü êàìåíü ïðè èñïîëüçîâàíèè n êàìíåé.
Îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî òðåáóåìûõ äëÿ ýòîãî äåéñòâèé Ò,
ñîñòîÿíèå ïîëîñêè (ïîëîæåíèÿ êàìíåé, ëåæàùèõ íà
íåé) ïîñëå t äåéñòâèé îáîçíà÷èì À(t), íàèáîëüøèé
íîìåð êëåòêè, â êîòîðîé ëåæèò êàìåíü ïîñëå t äåéñòâèé,
îáîçíà÷èì N(t) (â ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ N = N(T)). Èç
ïðàâèë, ïî êîòîðûì êëàäóòñÿ è ñíèìàþòñÿ êàìíè, ñëåäóåò, ÷òî N(t) – 1 ≤ N(t + 1) ≤ N(t) + 1. Ïîýòîìó ñðåäè
÷èñåë N(t) îáÿçàòåëüíî âñòðåòÿòñÿ âñå ÷èñëà îò 1 äî N,
áûòü ìîæåò, íå îäèí ðàç.
n− 2
Ðàçîáüåì ïîëîñêó íà äâå ÷àñòè: êëåòêè îò 1 äî 2
+1
16
îáðàçóþò ëåâóþ ÷àñòü, à êëåòêè ñ íîìåðàìè, áîëüøèìè
n−2
+ 1, îáðàçóþò ïðàâóþ ÷àñòü.
2
Åñëè N ≤ 2 n−2 + 1 (âñå êàìíè â ëåâîé ÷àñòè), òî
ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè äîêàçàíî è äëÿ n êàìíåé.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå íàéäåòñÿ òàêîå t0 , ÷òî âûïîëíåíî
n−2
n− 2
N t0 = 2
+ 1 è N(t) > 2 + 1 ïðè t > t 0 . Äðóãèìè
ñëîâàìè, íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà t 0 , â ïðàâîé ÷àñòè íàõîäèòñÿ
õîòÿ áû îäèí êàìåíü.
Ëåììà. Ïðè t > t 0 â ëåâîé ÷àñòè íàõîäÿòñÿ ïî êðàéíåé
ìåðå äâà êàìíÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Êàìåíü, ñòîÿùèé íà ïåðâîé êëåòêå,
íàõîäèòñÿ â ëåâîé ÷àñòè âñåãäà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â
íåêîòîðûé ìîìåíò t ′ â ëåâîé ÷àñòè íå îñòàëîñü íèêàêèõ
êàìíåé çà èñêëþ÷åíèåì ïåðâîãî. Äëÿ t0 ≤ t ≤ t ′ îáîçíà÷èì ÷åðåç B t ′ − t òàêîå ñîñòîÿíèå ïîëîñêè, êîòîðîå
îòëè÷àåòñÿ îò ñîñòîÿíèÿ A(t) òåì, ÷òî ñíÿòû âñå êàìíè èç
ïðàâîé ÷àñòè (à â ëåâîé ÷àñòè A(t) ñîâïàäàåò ñ B t ′ − t ).
 ñîñòîÿíèè B(0) åñòü ðîâíî îäèí êàìåíü íà ïåðâîé
êëåòêå. Ïåðåõîä îò ñîñòîÿíèÿ B τ ê ñîñòîÿíèþ B τ + 1
ñîâåðøàåòñÿ ðàçðåøåííûì äåéñòâèåì (ïðàâèëà îáðàòèìû
– åñëè ìîæíî ïîñòàâèòü êàìåíü, òî åãî ìîæíî ñëåäóþùèì
äåéñòâèåì ñíÿòü, è íàîáîðîò). Â ñîñòîÿíèè B t ′ − t0 íà
êëåòêå 2 n− 2 + 1 ëåæèò êàìåíü. Â ëþáîì ñîñòîÿíèè B(t),
0 ≤ t ≤ t ′ – t 0 , íà ïîëîñêå ëåæèò íå áîëåå n – 1 êàìíÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, ìîìåíò t 0 áûë âûáðàí òàê, ÷òî â ëþáîé
ìîìåíò ïîñëå íåãî â ïðàâîé ÷àñòè ïîëîñêè åñòü õîòÿ áû
îäèí êàìåíü. Ïðè ïåðåõîäå îò A t ′ − t ê B(t) òåðÿþòñÿ
âñå êàìíè, îêàçàâøèåñÿ â ïðàâîé ÷àñòè. Òàê ÷òî â
ñîñòîÿíèè B(t) ïî êðàéíåé ìåðå íà îäèí êàìåíü ìåíüøå,
÷åì â ñîñòîÿíèè A t ′ − t . Òàêèì îáðàçîì, ñîñòîÿíèÿ B(t)
n−2
îïèñûâàþò ñïîñîá ïîëîæèòü êàìåíü íà 2
+ 1 êëåòêó,
íà÷èíàÿ îò îäíîãî êàìíÿ íà ïåðâîé êëåòêå è èñïîëüçóÿ íå
áîëåå n – 1 êàìíÿ. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ
èíäóêöèè.
Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò ëåììó.
Òåïåðü çàáóäåì î âñåé ëåâîé ÷àñòè ïîëîñêè, êðîìå êëåòêè
n−2
2 + 1. Êàê ñëåäóåò èç äîêàçàííîé ëåììû, îò ìîìåíòà t 0
äî Ò â ïðàâîé ÷àñòè ïîëîñêè èñïîëüçóåòñÿ íå áîëåå n – 2
êàìíåé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç C(t), t 0 ≤ t ≤ T, òàêîå
ñîñòîÿíèå ïîëîñêè, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç A(t) ñäâèãîì
n−2
âëåâî íà 2 è äîáàâëåíèåì êàìíÿ íà ïåðâóþ êëåòêó, åñëè
åãî òàì íåò. Ñîñòîÿíèÿ îò C t0 äî C T îïèñûâàþò ñïîñîá
n−2
ïîëîæèòü êàìåíü íà êëåòêó ñ íîìåðîì N — 2 , íà÷èíàÿ
îò îäíîãî êàìíÿ íà ïåðâîé êëåòêå è èñïîëüçóÿ íå áîëåå
n – 1 êàìíÿ.
n−2
 ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ èíäóêöèè N – 2
≤ 2 n−2 ,
n−1
ïîýòîìó N ≤ 2 . Ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà ìàòåìàòè÷åñêîé
èíäóêöèè çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
Ì.Âÿëûé
? D
?
D
?
>C
> C
?
?
?
D
D
D
D
? D
>C
Ì1646. Ó íåñêîëüêèõ êðåñòüÿí åñòü 128 îâåö. Åñëè ó
êîãî-òî èç íèõ îêàçûâàåòñÿ íå ìåíåå ïîëîâèíû âñåõ
îâåö, îñòàëüíûå ñãîâàðèâàþòñÿ è ðàñêóëà÷èâàþò åãî:
êàæäûé áåðåò ñåáå ñòîëüêî îâåö, ñêîëüêî ó íåãî óæå
åñòü. Åñëè ó äâîèõ ïî 64 îâöû, òî ðàñêóëà÷èâàþò êîãîòî îäíîãî èç íèõ. Ïðîèçîøëî 7 ðàñêóëà÷èâàíèé. Äîêàæèòå, ÷òî â ðåçóëüòàòå âñå îâöû ñîáðàëèñü ó îäíîãî
êðåñòüÿíèíà.
Íà ïðîñòûõ ïðèìåðàõ ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ñèòóàöèÿ 7 ðàñêóëà÷èâàíèé â ïðèíöèïå âîçìîæíà.