30 - Квант

30
ÊÂÀÍT 2001/¹1
I/2
0
ϕ=
E=
D
Eτ
C
A
Eτ
B
I
∞
r
dr
ϕ ∼1/r
E~1/r
I/2
a
a
I
–
+
U
a)
E~1/r
á)
r
ïîâåðõíîñòè â åäèíèöó âðåìåíè çàðÿä,
÷èñëåííî ðàâíûé je ? Ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé (1) è (2) ïîëó÷èì (â âîëüòàõ!)
I
dr .
dA =
(4)
2
2 πr σ
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîâîäà è ìåòàëëè÷åñêèé êàçàí – èäåàëüíûå ïðîâîäíèêè
(íå îêàçûâàþò ñîïðîòèâëåíèÿ òîêó), à
óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü çåìëè ïîñòîÿííà â ïðîñòðàíñòâå. Òîãäà âñÿ ðàáîòà
íà ïóòè îò r = a (ïîâåðõíîñòü êàçàíà)
äî r → ∞ ïîëó÷èòñÿ â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ âûðàæåíèÿ (4):
A=
z
∞
I
2πσ
a
dr
r
2
=
I
2πσa
.
Íî êòî ñîâåðøàåò ýòó ðàáîòó? Êîíå÷íî
æå, èñòî÷íèê íàïðÿæåíèÿ:
A = U.
1
.
2πσa
Âûõîäèò, ÷òî ñóììàðíîå ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå âñåãî ïîëóáåñêîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà ñ çàäàííûì êîýôôèöèåíòîì σ çàâèñèò òîëüêî îò
ðàäèóñà êàçàíà à.
Èòàê, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå
îäíîðîäíîé ýëåêòðîïðîâîäÿùåé ñðåäû ñóùåñòâóåò ðàäèàëüíîå ïîëå ñ íà2
ïðÿæåííîñòüþ E ; 1 r (êàê áû îò
òî÷å÷íîãî çàðÿäà, ïîìåùåííîãî â öåíòðå êàçàíà) è ïîñòîÿííûé òîê ñ ïëîò2
íîñòüþ je ; 1 r ( a ≤ r < ∞). Äâèæåíèå çàðÿäîâ âûçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ
ïîòåíöèàëîâ U = ϕ a – ϕ ∞ . Íî ÷òî
òàêîå ïîòåíöèàë â òî÷êå r? Îí òåñíî
ñâÿçàí ñ ðàáîòîé ïîëÿ ïî ïåðåìåùåíèþ åäèíè÷íîãî çàðÿäà, êîòîðóþ ìû
óæå óïîìèíàëè âûøå:
dϕ = − dA = − Edr .
E=−
dϕ
.
dr
Îòñþäà ëåãêî íàéòè ðàäèàëüíóþ çàâèñèìîñòü ïîòåíöèàëà:
z
z
r
bg
ϕ r − ϕ a = − Edr =
a
= −
r
I
2 πσ
a
dr
r
2
=
(5)
FG 1 − 1 IJ . (6)
H aK
I
2 πσ r
Ïðîâåðèì òàê íàçûâàåìûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ: ïðè r = a ïîëó÷àåì ϕ r =
= ϕ a ; ïðè r → ∞ èìååì ϕ ∞ – ϕ a =
I
=−
= –U. Òàêèì îáðàçîì, ôîðìó2πaσ
ëó (6) ìîæíî çàïèñàòü òàêæå â âèäå
bg
bg
ϕ r − ϕ∞
ϕa − ϕ∞
Ñðàâíèâàÿ ñ (3), ïîëó÷èì
R=
Çíà÷èò,
=
a
r
.
(7)
Ïîíÿòíî òàêæå, çà÷åì âçÿò çíàê «ìèíóñ» â ôîðìóëå (5) – ÷òîáû ðàäèàëüíàÿ çàâèñèìîñòü ïîòåíöèàëà èìåëà âèä
ãîðêè (ñì. ðèñ. á), ïî ñêëîíó êîòîðîé
ïîëîæèòåëüíûå çàðÿäû «ñêàòûâàþòñÿ» â îáëàñòü ìåíüøèõ çíà÷åíèé ϕ
(êàê ñàíêè ñ ëåäÿíîé ãîðû). Êñòàòè,
òåïåðü ëåãêî îáúÿñíèòü, ïî÷åìó îò
óïàâøåãî íà çåìëþ âûñîêîâîëüòíîãî
ïðîâîäà íóæíî óõîäèòü î÷åíü ìåëêèì
øàãîì: âåäü âáëèçè íåãî ïîòåíöèàë
ðåçêî ìåíÿåòñÿ ñ ðàññòîÿíèåì, è ïðè
îáû÷íîì øàãå ìåæäó íîãàìè ìîæåò
âîçíèêíóòü î÷åíü áîëüøàÿ ðàçíîñòü
ïîòåíöèàëî⠖ òàê íàçûâàåìîå øàãîâîå íàïðÿæåíèå.
Îòìåòèì, ÷òî â «íîâûõ» òåðìèíàõ
ñîîòíîøåíèå (2) ïðèìåò âèä
je = −σ
dϕ
dr
.
(8)
Íî ÷òî òâîðèòñÿ íàä çåìëåé? Åñëè
ñ÷èòàòü, ÷òî âîçäóõ íå ïðîâîäèò ýëåê-
òðè÷åñòâî, ò.å. ïîëîæèòü σ = 0, òî â
âîçäóõå íå áóäåò è ýëåêòðè÷åñêîãî
òîêà: je = 0. À ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå?
Ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíûé êîíòóð
ABCD (ñì. ðèñ. à), âåðõíÿÿ ñòîðîíà
êîòîðîãî ðàñïîëîæåíà íàä çåìëåé,
íèæíÿÿ – â çåìëå, à áîêîâûå ñòîðîíû î÷åíü (íó, î÷åíü!) ìàëû. Åñëè
ïðîòàùèòü íåêîòîðûé çàðÿä ïî ýòîìó
(çàìêíóòîìó) êîíòóðó (íàïðèìåð, â
óêàçàííîì ïîðÿäêå ðàñïîëîæåíèÿ
áóêâ), òî ñóììàðíàÿ ðàáîòà îáÿçàíà
ðàâíÿòüñÿ íóëþ – âåäü â ýòîì êîíòóðå íåò íèêàêèõ èñòî÷íèêîâ òîêà, à
ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå ïîòåíöèàëüíî. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè ïîëå ñóùåñòâóåò â çåìëå, òî îíî îáÿçàíî áûòü è
â âîçäóõå îêîëî çåìëè. Áîëåå òîãî,
òàíãåíöèàëüíàÿ (êàñàòåëüíàÿ) ñîñòàâëÿþùàÿ ýòîãî ïîëÿ E τ âíå çåìëè (íàïðàâëåííàÿ âäîëü ñòîðîíû DC) äîëæíà â òî÷íîñòè ðàâíÿòüñÿ òàíãåíöèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ïîëÿ â çåìëå
(íàïðàâëåííîé âäîëü ñòîðîíû ÀÂ).
Çàìåòèì, ÷òî çäåñü íè÷åãî íå ñêàçàíî
î íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ íà ïîâåðõíîñòè çåìëè. Îíà ìîæåò ñóùåñòâîâàòü, ìîæåò
èñïûòûâàòü ñêà÷îê íà ïîâåðõíîñòíûõ
çàðÿäàõ (òàê æå, êàê íîðìàëüíàÿ –
ðàäèàëüíàÿ – ñîñòàâëÿþùàÿ ïîëÿ òåðïèò ðàçðûâ íà çàðÿäàõ, ðàñïîëîæèâøèõñÿ íà ïîâåðõíîñòè êàçàíà). Ïîýòîìó ó ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà âîçäóõ
– çåìëÿ ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ìîãóò áûòü èñêðèâëåíû.
À ÷òî åñëè âçÿòü äâà êàçàíà, ñëîæèòü èõ â âèäå ñôåðû è çàêîïàòü
ïîãëóáæå – òîãäà, ìîæåò áûòü, ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñòàíåò ñîâñåì ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûì? Íó õîòÿ áû â
íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîãî Äâóõêàçàíüÿ, åùå äàëåêî îò ïîâåðõíîñòè?
Íî è òóò âîïðîñ: à ïðîâîä, ïîäâîäÿùèé òîê, – íå íàðóøàåò ëè îí ýòîé
ïðåêðàñíîé ñèììåòðèè? Âîò è ïîäóìàéòå. Ñåêðåò ðàçâèòèÿ íàóêè â òîì
è ñîñòîèò, ÷òî, îòâåòèâ íà îäèí âîïðîñ, îíà ñòàâèò äðóãèå.
Òåïåðü ïîäîéäåì ê êàçàíó ñ äðóãîé
òî÷êè çðåíèÿ. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî
îí íàïîëíåí êèïÿòêîì, òåìïåðàòóðà
êîòîðîãî Ta ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííîé. Òîãäà â îêðóæàþùåé ïî÷âå óñòàíîâèòñÿ ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå
òåìïåðàòóðû, è òåïëîâàÿ ýíåðãèÿ áóäåò ïîñòîÿííî «òå÷ü» îò êàçàíà íà
áåñêîíå÷íîñòü, ãäå òåìïåðàòóðà ðàâíà
T∞ . Èíà÷å ãîâîðÿ, ïîòîê òåïëîâîé
ýíåðãèè ìåæäó êàçàíîì è áåñêîíå÷íîñòüþ îáåñïå÷èâàåòñÿ ðàçíîñòüþ òåìïåðàòóð Ta – T∞ . Çíà÷èò, ïî àíàëîãèè
ñ ýëåêòðè÷åñòâîì, òåìïåðàòóðó ìîæíî íàçâàòü ïîòåíöèàëîì, à ïëîòíîñòü
òåïëîâîãî ïîòîêà jT âûðàçèòü ñîîòíî-