Òóðíèð þíûõ ìàòåìàòèêîâ èì. Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî. 2014 ãîä 5 êëàññ. Ðåøåíèÿ çàäà÷. Ó÷èòåëüíèöà ïðîâåðÿëà äîìàøíåå çàäàíèå. Îíà âûçûâàëà ê äîñêå ïî ñïèñêó ÷åðåç îäíîãî, íà÷èíàÿ ñ ïåðâîãî ÷åëîâåêà ïî àëôàâèòó. Äåâÿòûì ê äîñêå âûøåë Âàñÿ. Îí îòâå÷àë òàê ïëîõî, ÷òî ó÷èòåëüíèöà ðàññåðäèëàñü è ïîñëå íåãî âûçûâàëà ïî ñïèñêó óæå âñåõ îñòàâøèõñÿ 8 ÷åëîâåê. Ñêîëüêî ÷åëîâåê â êëàññå? Ðåøåíèå. Äî Âàñè ïî ñïèñêó âûøëî 8 ÷åëîâåê, è åùå 8 áûëî ïðîïóùåíî. Çíà÷èò, Âàñÿ 17-é â ñïèñêå. Ïîñëå íåãî åùå 8 ÷åëîâåê, ïîýòîìó âñåãî â êëàññå 25 ó÷åíèêîâ. 2. Áàáóøêà íàïåêëà ïèðîæêîâ äëÿ âíóêîâ, ñîñ÷èòàëà è äóìàåò: ¾Ïî ñêîëüêî æå ïèðîæêîâ äàòü êàæäîìó âíóêó? Åñëè äàòü êàæäîìó ïî ïÿòü ïèðîæêîâ, òî ó ìåíÿ íå õâàòèò òðåõ ïèðîæêîâ, à åñëè äàòü êàæäîìó ïî ÷åòûðå, òî ó ìåíÿ îñòàíóòñÿ òðè ïèðîæêà¿. Ñêîëüêî âíóêîâ áûëî ó áàáóøêè? Îòâåò. 6. Ðåøåíèå 1 (óðàâíåíèå). Ïóñòü ó áàáóøêè x âíóêîâ, òîãäà 1. 5x − 3 = 4x + 3 ⇒ x = 6. Ðåøåíèå 2 (áåç óðàâíåíèé). Ðàçäàäèì êàæäîìó âíóêó ïî ÷åòûðå ïèðîæêà. Òîãäà åùå 3 ïèðîæêà îñòàíåòñÿ â çàïàñå. Ðàçäàäèì èõ òðîèì âíóêàì. Òåïåðü ÷òîáû êàæäûé âíóê ïîëó÷èë ïî 5 ïèðîæêîâ, íàì íå õâàòàåò åùå òðåõ ïèðîæêîâ, çíà÷èò, åùå òðè âíóêà îñòàëîñü áåç ïÿòîãî ïèðîæêà. Ïîýòîìó âñåãî âíóêîâ 3 + 3 = 6. 3. Ðàçäåëèòå ïîëîñêó íà 4 îäèíàêîâûå (ñîâïàäàþùèå ïî ôîðìå) ÷àñòè òàê, ÷òîáû âñå ÷àñòè èìåëè îäíó è òó æå ñóììó âõîäÿùèõ â íèõ ÷èñåë. 1 9 16 7 12 5 4 3 8 15 10 2 13 6 11 14 Ðåøåíèå: Ñì. ðèñóíîê. Ñóììà ÷èñåë â êàæäîé ÷àñòè äîëæíà áûòü ðàâíà (1 + 9 + 16 + 7+12+5+4+3+8+15+10+2+13+6+11+14)/4 = 34. Êàðëñîí îòêðûë øêîëó, è 1 ñåíòÿáðÿ âî âñåõ òðåõ ïåðâûõ êëàññàõ áûëî ïî òðè óðîêà: Êóðîùåíèå, Íèçâåäåíèå è Äóðàêàâàëÿíèå. Îäèí è òîò æå ïðåäìåò â äâóõ êëàññàõ îäíîâðåìåííî èäòè íå ìîæåò. Êóðîùåíèå â 1Á áûëî ïåðâûì óðîêîì. Ó÷èòåëü Äóðàêàâàëÿíèÿ ïîõâàëèë ó÷åíèêîâ 1Á: ¾Ó âàñ ïîëó÷àåòñÿ åùå ëó÷øå, ÷åì ó 1À¿. Íèçâåäåíèå íà âòîðîì óðîêå áûëî íå â 1À.  êàêîì êëàññå âàëÿëè äóðàêà íà ïîñëåäíåì óðîêå? Ñâîé îòâåò îáîñíóéòå. Îòâåò. 1Á. Ðåøåíèå. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî Äóðàêàâàëÿíèå â 1Á áûëî ëèáî íà âòîðîì, ëèáî íà òðåòüåì óðîêå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíî áûëî íà âòîðîì óðîêå.  1À îíî áûëî ðàíüøå, òî åñòü íà ïåðâîì óðîêå. Òàê êàê Íèçâåäåíèå íà âòîðîì óðîêå áûëî íå â 1À, òî â 1À îíî áûëî íà òðåòüåì óðîêå. Òàê êàê â 1Á ïåðâûì óðîêîì áûëî Êóðîùåíèå, òî Íèçâåäåíèå òàì òîæå ìîãëî áûòü òîëüêî òðåòüèì óðîêîì. Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, Äóðàêàâàëÿíèå áûëî íà òðåòüåì óðîêå â 1Á. 5. Ìîæíî ëè ñ ïîìîùüþ äâóõ âçâåøèâàíèé íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ áåç ãèðü îïðåäåëèòü õîòÿ áû îäíó íàñòîÿùóþ ìîíåòó èç 5 îäèíàêîâûõ ïî âíåøíåìó âèäó ìîíåò, åñëè èçâåñòíî, ÷òî 4. 1 ñðåäè ýòèõ ìîíåò 3 íàñòîÿùèõ è 2 ôàëüøèâûõ, îäíà èç êîòîðûõ ëåã÷å, à äðóãàÿ òÿæåëåå íàñòîÿùèõ ìîíåò? Ðåøåíèå. Ìîæíî. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ìû ïîëîæèì íà êàæäóþ ÷àøó âåñîâ ïî ìîíåòå, è âåñû ïîêàæóò ðàâåíñòâî, òî îáå ýòè ìîíåòû íàñòîÿùèå. Ïåðâûì âçâåøèâàíèåì ïîëîæèì íà âåñû ïåðâóþ è âòîðóþ ìîíåòû. Åñëè îíè ðàâíû, òî ìû íàøëè äâå íàñòîÿùèõ ìîíåòû. Åñëè íå ðàâíû, óáåðåì èõ è ïîëîæèì òðåòüþ è ÷åòâåðòóþ. Åñëè îíè ðàâíû, òî ìû íàøëè íàñòîÿùóþ. Åñëè îíè òîæå íå ðàâíû, òî â êàæäîì èç âçâåøèâàíèé ó÷àñòâîâàëà ôàëüøèâàÿ ìîíåòà. Ñëåäîâàòåëüíî, îñòàâøàÿñÿ ïÿòàÿ íàñòîÿùàÿ. 2 Òóðíèð þíûõ ìàòåìàòèêîâ èì. Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî. 2014 ãîä 6 êëàññ. Ðåøåíèÿ çàäà÷. Áóðóíäóêè ×èï è Äåéë äîëæíû çàïàñòè îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî îðåõîâ íà çèìó. Ïîñëå òîãî êàê ×èï ïðèíåñ 425 îðåõîâ, à Äåéë 368 îðåõîâ, ×èïó îñòàëîñü çàïàñòè îðåõîâ â ÷åòûðå ðàçà ìåíüøå, ÷åì Äåéëó. Ñêîëüêî îðåõîâ äîëæåí çàïàñòè êàæäûé èç íèõ? Îòâåò. 444. Ðåøåíèå 1 (óðàâíåíèå). Ïóñòü ×èïó îñòàëîñü çàïàñòè x îðåõîâ, òîãäà Äåéëó îñòàëîñü çàïàñòè 4x îðåõîâ. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå 425 + x = 368 + 4x, îòêóäà 3x = 57, x = 19. Çíà÷èò, îíè äîëæíû çàïàñòè ïî 425 + 19 = 444 îðåõîâ. Ðåøåíèå 2 (áåç óðàâíåíèé). ×òîáû ñðàâíÿòüñÿ ñ ×èïîì, Äåéë äîëæåí çàïàñòè óòðîåííîå êîëè÷åñòâî îðåõîâ, êîòîðîå îñòàëîñü çàïàñòè ×èïó. Ðàçíèöà ìåæäó íèìè 425−368 = 57, ïîýòîìó ×èïó îñòàëîñü íàéòè 19 îðåõîâ. 2. Èç øåñòè êîñòÿøåê äîìèíî, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå, ñëîæèòå ïðÿìîóãîëüíèê 3 × 4 òàê, ÷òîáû âî âñåõ òðåõ ñòðî÷êàõ òî÷åê áûëî ïîðîâíó è âî âñåõ ÷åòûðåõ ñòîëáöàõ òî÷åê áûëî òîæå ïîðîâíó. 1. Îäèí èç âîçìîæíûõ îòâåòîâ ïîêàçàí íà ðèñóíêå. Âñåãî òî÷åê 12, çíà÷èò, â êàæäîé ñòðî÷êå áóäåò ïî 4, à â êàæäîì ñòîëáèêå ïî 3. Ïóñòóþ äîìèíîøêó è äîìèíîøêó ñ ÷åòûðüìÿ òî÷êàìè íåëüçÿ ñòàâèòü âåðòèêàëüíî, èíà÷å â ñîîòâåòñòâóþùåì ñòîëáèêå íèêàê íå ïîëó÷èòñÿ òðåõ òî÷åê. Ïîýòîìó èõ åñòåñòâåííî ðàñïîëîæèòü ãîðèçîíòàëüíî â îäíîé ñòðî÷êå. Ïîñëå ýòîãî íóæíûé ïðèìåð óæå äîâîëüíî ïðîñòî íàðèñîâàòü. Îò äåòåé íå òðåáóåòñÿ ïîÿñíÿòü, êàê îíè ïðèäóìàëè ïðèìåð, äîñòàòî÷íî ïðèâåñòè åãî! Ðåøåíèå. 3. Èçâåñòíî, ÷òî (a − b + 2014), (b − c + 2014) è (c − a + 2014) òðè ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñëà (èìåííî â òàêîì ïîðÿäêå). Íàéäèòå ýòè ÷èñëà. Îòâåò. 2013, 2014, 2015. Ðåøåíèå 1. Îáîçíà÷èì ýòè ÷èñëà êàê n − 1, n è n + 1. Òîãäà èõ ñóììà ðàâíà 3n, òî åñòü óòðîåííîìó âòîðîìó ÷èñëó. Òàê êàê (a − b + 2014) + (b − c + 2014) + (c − a + 2014) = 6042, òî n = 2014. Çíà÷èò, n − 1 = 2013, n + 1 = 2015. Ðåøåíèå 2. ×òîáû ýòè òðè ÷èñëà áûëè ïîñëåäîâàòåëüíûìè, äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ b − c = a − b + 1, c − a = b − c + 1. 3 Ýòè óðàâíåíèÿ ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå a + c + 1 = 2b, a + b + 1 = 2c. Âûðàçèì a èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ: a = 2b−c−1 è ïîäñòàâèì âî âòîðîå. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå 2b − c − 1 + b + 1 = 2c, îòêóäà b = c. Ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäíåå ÷èñëî ðàâíî 2014. 4. Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ïðîèçâåäåíèå öèôð êîòîðîãî ðàâíî 1890. Ñâîé îòâåò ïîÿñíèòå. Îòâåò. 5679. Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî â íàèìåíüøåì ÷èñëå íå äîëæíà âñòðå÷àòüñÿ åäèíèöà, èíà÷å åå ìîæíî âû÷åðêíóòü. Òàê êàê 1890 = 2·33 ·5·7, òî ïÿòåðêà è ñåìåðêà âñòðåòÿòñÿ îáÿçàòåëüíî. Êðîìå òîãî, 2 · 33 = 54, òàê ÷òî êðîìå ïÿòåðêè è ñåìåðêè åñòü åùå ìèíèìóì äâå öèôðû. ×èñëî 54 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ öèôð åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì: 54 = 6 · 9. Çíà÷èò, íàèìåíüøåå âîçìîæíîå ÷èñëî äîëæíî áûòü ñîñòàâëåíî èç öèôð 5, 6, 7, 9 è ýòî ÷èñëî 5679. 5. 15 ëæåöîâ è ðûöàðåé ñèäÿò çà êðóãëûì ñòîëîì (ñðåäè ñèäÿùèõ åñòü êàê ðûöàðè, òàê è ëæåöû). Íà âîïðîñ: ¾Ñêîëüêî ëæåöîâ ðÿäîì ñ òîáîé?¿ âñå îòâåòèëè: ¾Îäèí¿. Ñêîëüêî ëæåöîâ ìîæåò ñèäåòü çà ñòîëîì? Îòâåò. 5. Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîãî ðûöàðÿ. Îí ãîâîðèò ïðàâäó, ïîýòîìó ñ îäíîé ñòîðîíû îò íåãî ðûöàðü, à ñ äðóãîé ëæåö. Ïóñòü îíè ñèäÿò òàê: P1P2Ë1. Ñëåâà îò P1 îáÿçàòåëüíî äîëæåí ñèäåòü ëæåö (èíà÷å P1 ñîâðåò), à ñïðàâà îò Ë1 äîëæåí ñèäåòü ðûöàðü (èíà÷å Ë1 ñêàæåò ïðàâäó). Ïîëó÷àåì òàêóþ öåïî÷êó: Ë2P1P2Ë1Ð3. Òåïåðü ñëåâà îò Ë2 äîëæåí ñèäåòü ðûöàðü, à ñïðàâà îò Ð3 òîæå ðûöàðü. Çàìåòèì, ÷òî ðûöàðè è ëæåöû ïîâòîðÿþòñÿ òðîéêàìè: . . . ËÐÐ | ËÐÐ. . . Ïîñêîëüêó îáùåå êîëè÷åñòâî ðûöàðåé è ëæåöîâ äåëèòñÿ íà 3, â êîíöå öåïî÷êè íå âîçíèêíåò ïðîòèâîðå÷èÿ. Âñåãî áóäåò 10 ðûöàðåé è 5 ëæåöîâ. (Ëèáî æå ïðîñòî äîñòðîèì öåïî÷êó ïî êðóãó, ïîêà â íåé íå îêàæåòñÿ 15 ÷åëîâåê.) 4 Òóðíèð þíûõ ìàòåìàòèêîâ èì. Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî. 2014 ãîä 7 êëàññ. Ðåøåíèÿ çàäà÷. Áóðóíäóêè ×èï è Äåéë äîëæíû çàïàñòè îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî îðåõîâ íà çèìó. Ïîñëå òîãî êàê ×èï ïðèíåñ 1995 îðåõîâ, à Äåéë 1938 îðåõîâ, ×èïó îñòàëîñü çàïàñòè îðåõîâ â ÷åòûðå ðàçà ìåíüøå, ÷åì Äåéëó. Ñêîëüêî îðåõîâ äîëæåí çàïàñòè êàæäûé èç íèõ? Îòâåò. 2014. Ðåøåíèå 1 (óðàâíåíèå). Ïóñòü ×èïó îñòàëîñü çàïàñòè x îðåõîâ, òîãäà Äåéëó îñòàëîñü çàïàñòè 4x îðåõîâ. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå 1995+x = 1938+4x, îòêóäà 3x = 57, x = 19. Çíà÷èò, îíè äîëæíû çàïàñòè ïî 1995 + 19 = 2014 îðåõîâ. Ðåøåíèå 2 (áåç óðàâíåíèé). ×òîáû ñðàâíÿòüñÿ ñ ×èïîì, Äåéë äîëæåí çàïàñòè óòðîåííîå êîëè÷åñòâî îðåõîâ, êîòîðîå îñòàëîñü çàïàñòè ×èïó. Ðàçíèöà ìåæäó íèìè 1995 − 1938 = 57, ïîýòîìó ×èïó îñòàëîñü íàéòè 19 îðåõîâ. 2. Ðàññòàâüòå âñå ÷èñëà îò 1 äî 9 â òàáëèöå 3 × 3 òàê, ÷òîáû ñóììà ÷èñåë â ëþáûõ äâóõ ñîñåäíèõ ïî ñòîðîíå êëåòêàõ áûëà ðàâíà 8, 9, 10 èëè 11. 9 2 6 Ðåøåíèå. Íàïðèìåð 1 7 4 8 3 5 6 èëè 7 îáÿçàòåëüíî äîëæíà áûòü â öåíòðå. 3. Äâà îäèíàêîâûõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà èç áóìàãè óäàëîñü ïîëîæèòü îäèí íà äðóãîé òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå (ïðè ýòîì âåðøèíà ïðÿìîãî óãëà îäíîãî ïîïàëà íà ñòîðîíó äðóãîãî). Äîêàæèòå, ÷òî çàøòðèõîâàííûé òðåóãîëüíèê ðàâíîñòîðîííèé. 1. Ðåøåíèå.  òðåóãîëüíèêå ABC óãëû A è C ðàâíû (êàê ñîîòâåòñòâóþùèå óãëû ðàâíûõ áóìàæíûõ òðåóãîëüíèêîâ); çíà÷èò, åãî ñòîðîíû AB è BC ðàâíû. Íî è åãî ñòîðîíû AB è AC ðàâíû (êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîðîíû ðàâíûõ áóìàæíûõ òðåóãîëüíèêîâ); çíà÷èò, òðåóãîëüíèê ABC ðàâíîñòîðîííèé. 4. Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ïðîèçâåäåíèå öèôð êîòîðîãî ðàâíî 1080. Ñâîé îòâåò ïîÿñíèòå. Îòâåò. 3589. Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî â íàèìåíüøåì ÷èñëå íå äîëæíà âñòðå÷àòüñÿ åäèíèöà, èíà÷å åå ìîæíî âû÷åðêíóòü. Òàê êàê 1080 = 23 · 33 · 5, òî ïÿòåðêà âñòðåòèòñÿ îáÿçàòåëüíî. Êðîìå òîãî, 23 · 33 > 100, òàê ÷òî êðîìå ïÿòåðêè åñòü åùå ìèíèìóì òðè öèôðû. 1) Ïóñòü íàèìåíüøàÿ èç íèõ äâîéêà. Òîãäà îñòàåòñÿ 22 · 33 = 4 · 27 > 100, è â ÷èñëå áóäåò ìèíèìóì 5 öèôð. 2) Ïóñòü íàèìåíüøàÿ èç íèõ òðîéêà. Òîãäà îñòàåòñÿ 23 · 32 = 72 = 8 · 9. Çíà÷èò, 5 ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî, íà÷èíàþùååñÿ ñ òðîéêè, ïîëó÷èòü ìîæíî 3589. ßñíî, ÷òî îíî íàèìåíüøåå, ñîñòàâëåííîå èç öèôð 3, 5, 8, 9. 3) Åñëè íàèìåíüøàÿ öèôðà áîëüøå òðåõ, òî â ëþáîì ñëó÷àå ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî áîëüøå 3589. 5. 30 ëæåöîâ è ðûöàðåé ñèäÿò çà êðóãëûì ñòîëîì (ñðåäè ñèäÿùèõ åñòü êàê ðûöàðè, òàê è ëæåöû). Íà âîïðîñ: ¾Ñêîëüêî ëæåöîâ ðÿäîì ñ òîáîé?¿ âñå îòâåòèëè: ¾Îäèí¿. Ñêîëüêî ëæåöîâ ìîæåò ñèäåòü çà ñòîëîì? Îòâåò. 10. Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîãî ðûöàðÿ. Îí ãîâîðèò ïðàâäó, ïîýòîìó ñ îäíîé ñòîðîíû îò íåãî ðûöàðü, à ñ äðóãîé ëæåö. Ïóñòü îíè ñèäÿò òàê: P1P2Ë1. Ñëåâà îò P1 îáÿçàòåëüíî äîëæåí ñèäåòü ëæåö (èíà÷å P1 ñîâðåò), à ñïðàâà îò Ë1 äîëæåí ñèäåòü ðûöàðü (èíà÷å Ë1 ñêàæåò ïðàâäó). Ïîëó÷àåì òàêóþ öåïî÷êó: Ë2P1P2Ë1Ð3. Òåïåðü ñëåâà îò Ë2 äîëæåí ñèäåòü ðûöàðü, à ñïðàâà îò Ð3 òîæå ðûöàðü. Çàìåòèì, ÷òî ðûöàðè è ëæåöû ïîâòîðÿþòñÿ òðîéêàìè: . . . ËÐÐ | ËÐÐ. . . Ïîñêîëüêó îáùåå êîëè÷åñòâî ðûöàðåé è ëæåöîâ äåëèòñÿ íà 3, â êîíöå öåïî÷êè íå âîçíèêíåò ïðîòèâîðå÷èÿ. Âñåãî áóäåò 20 ðûöàðåé è 10 ëæåöîâ. 6