Лекция 15. Интеграл Лебега и его свойства. 1. Напоминание

Лекция 15. Интеграл Лебега и его свойства.
1. Напоминание.
Простые функции. Интеграл Лебега.
2. Интегрируемость.
Теорема 1 Всякая ограниченная измеримая функция интегрируема.
Доказательство
Лемма 1 Всякая ограниченная измеримая функция является равномерным пределом простых.
Доказательство Разобьем [−N, N ] ⊃ f (E) на равные полуинтервалы длины ε Занумеруем их: σ1 , . . . , σk . Пусть σk = [ak , bk ), Ek = f −1 (σk ). Тогда Ek измеримо. Положим:
fε − Σak Ek .
Тогда
|f − fε | ≤ ε.
Следовательно,
f kε ⇒ f.
¤
Лемма 2 Последовательность f kε фундаментальна в метрике C.
Доказательство В силу неравенства треугольника,
||f kε − f mε ||C ≤
ε
ε
+ .
k m
¤
Лемма 3 Модуль интеграла от простой функции по единичному отрезку не больше
ее модуля.
Следствие 1 Последовательность интегралов фундаментальна, следовательно,
сходится.
Лемма 4 Интеграл измеримой функции не зависит от последовательности простых функций, которые ее равномерно приближают.
1
R
Доказательство fn ⇒ f, gn ⇒ f ⇒ fn − gn ⇒ 0 ⇒ (fn − gn ) → 0.
¤
¤
3. Элементарные свойства интеграла.
R
R
R
Теорема 2 (линейность) E (αf + βg)dµ = α E f dµ + β E gdµ.
Доказательство Следует из линейности интеграла от простых функций, которая
очевидна.
¤
Теорема 3 (аддитивность)
Rb
a
f dµ +
Rc
b
f dµ =
Rc
a
f dµ.
Доказательство Следует из аддитивности интеграла от простых функций, которая
очевидна.
¤
4. Абсолютная непрерывность.
Для любого измеримого множества X ⊂ E,
R
X
f dµ :=
R
E
f χX dµ.
Теорема 4 Пусть f – ограниченная измеримая функция. Тогда для любого ε существует δтакое, что:
Z
µ(X ⊂ E) < δ ⇒
f dµ < ε.
X
Доказательство Для любой простой функции g с носителем на X,
Z
|
gdµ| ≤ µ(X) · max |g|.
X
¤
5. Теорема Лебега об ограниченной сходимости.
Определение 1 Срезкой fN неограниченной функции f называется


f (x), |f (x)| ≤ N
fN (x) = N, f (x) ≥ N


−N, f (x) ≤ N
Определение 2 Неотрицательная функция суммируема, если интегралы от ее срезок ограничены в совокупности.
2
Определение 3 Неограниченная функция суммируема, если ее модуль суммируем.
Определение 4 Интеграл суммируемой функции f определяется как предел:
Z
Z
f dµ = lim
fN dµ.
N →∞
Задача 1 Доказать теоремы 2, 3, 4 для суммируемых функций.
Задача 2 Доказать, что предел в определении 4 можно брать по любой подпоследовательности Nk → ∞, причем результат не зависит от выбора последовательности.
Теорема 5 Пусть последовательность суммируемых функций fn сходится почти
всюду к f , причем существует суммируемая функция g такая, что |fn | ≤ g∀n. Тогда
функция f суммируема, и
Z
Z
fn dµ.
f dµ = lim
n→∞
Доказательство Возьмем N так, что
Z
|g − gN |dµ < ε.
п.в.
Срезки (fn )N −→ fN .
Z
|fn − (fn )N |dµ < ε.
Пользуясь теоремой Егорова, возьмем δ =
ε
N
так, что
(fn )N ⇒ fN
вне множества меры δ. Тогда для достаточно большого n,
¯Z
¯
Z
¯
¯
¯ fN dµ − (fn ) dµ¯ < 2ε.
N
¯
¯
Следовательно,
Следовательно,
R
R
|fN |dµ < gdµ ⇒ f суммируема. Далее,
Z
Z
|f − fN |dµ < |g − gN |dµ < ε.
Z
Z
fn →
f.
¤
3