МА Лекция 06. Определенные интегралы, зависящие от

Тема курса лекций:
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
Лекция 6. Определенные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость
по параметру. Свойства интегралов.
Определенные интегралы, зависящие от параметра.
f  x , y  задана на замкнутом прямоугольнике
Определение. Пусть функция
P=[a , b ; c , d ]=[a , b]×[c , d ]={ x , y: a≤x≤b , c≤ y ≤d } (т.о. Р – компакт). Будем
f  x , y  – параметрическим
y параметром, функцию
называть переменную
y ∈[c , d ] существует
x . Если для любого
семейством функций аргумента
b
I  y=∫ f  x , y dx , то будем говорить о рассмотрении определенного интеграла,
a
зависящего от параметра.
Равномерная сходимость семейства функций по параметру.
f  x , y  сходится по
Определение. Будем говорить, что семейство функций
параметру, если f  x , y  g  x  при y  y 0 и любом фиксированном x .
Определение. Будем говорить, что семейство функций f  x , y  g  x  сходится
равномерно по параметру относительно x , если
∀ 0 ∃ ∀ y : 0∣y− y 0∣ , ∀ x⇒ ∣ f  x , y −g  x∣ .
В теории функциональных рядов была установлена теорема о непрерывности предела
функциональной последовательности: если последовательность непрерывных функций
S n  x сходится равномерно к функции g  x , то эта функция непрерывна.
Лемма 1. Если функция f  x , y  непрерывна по аргументу x , семейство функций
y  y 0 равномерно относительно
f  x , y  g  x  при
g  x
x , то функция
непрерывна.
y n  y 0, y n≠ y 0 и
Доказательство. Выберем некоторую последовательность
S

x=
f

x
,
y

обозначим
. Тогда при всех аргументах x и достаточно больших
n
n
∀

∃ : ∀ y : 0∣y n − y 0∣ ⇒∣S n  x −g  x∣ . Итак,
n
номеров
имеем:
g  x –
последовательность
непрерывных
функций S n  x  g  x равномерно,
непрерывная.
Лемма 2. Если функция f  x , y  непрерывна на прямоугольнике Р, то семейство
f  x , y  f  x , y 0  при y  y 0 равномерно относительно x .
Доказательство. По теореме Кантора непрерывная на компакте функция является
равномерно непрерывной на нем. Поскольку имеет место утверждение, что
∀ 0 ∃  : ∀ x , y : 0∣x−x 0∣ , ⇒∣ f  x , y − f  x 0, y 0 ∣ , то, положив в нем
0∣y− y 0∣
x 0= x (это можно сделать, только сославшись на равномерную непрерывность), получим
утверждение леммы. Кроме этого, известно, что лемма остается верной для любого компакта
P , не только для прямоугольника.


Свойства определенных интегралов, зависящих от параметра.
1. Предельный переход. Пусть семейство функций
b
f  x , y  g  x  при
∫ f  x , y dx , ∫ g  x dx
существуют определенные интегралы
y  y0 ,
b
a
.
a
b
b
lim ∫ f  x , y  dx=∫ g  x dx , то говорят, что возможен
Определение. Если предел
y  y0 a
a
переход к пределу под знаком интеграла.
Теорема 1. Если выполняются условия леммы 1, то существуют оба интеграла
b
b
∫ f  x , y  dx , ∫ g  x  dx
a
и возможен переход к пределу под знаком интеграла.
a
f  x , y  , g  x по аргументу
x
Доказательство. Из непрерывности функций
следует существование определенных интегралов. В силу равномерной сходимости
семейства функций, имеем, что

∀ 0 ∃ : ∀ y : ∣y− y0∣  , ∀ x ⇒ ∣ f  x , y−g  x ∣
.
2b−a 
Но тогда для разности интегралов справедлива оценка:

∣
b
b
∣
b
∫ fdx−∫ gdx ≤∫∣ f −g∣dx≤b−a
a
a
a



=  .
2 b−a 2
b
I  y=∫ f  x , y  dx .
2. Непрерывность. Напомним, что
a
Теорема 2. Если функция f  x , y  непрерывна на прямоугольнике Р, то интеграл
I  y непрерывен на отрезке [c , d ] .
y 0 указанного отрезка
Доказательство. Для произвольной фиксированной точки
примем g  x= f  x , y 0  . По лемме 2, семейство функций f  x , y  g  x  при y  y 0
равномерно относительно x . Из непрерывности функции следует ее непрерывность по
b
x . Согласно теореме 1,
переменной
I  y ∫ gdx=I  y 0 . Теорема остается верной для
a
любого компакта Р.
3. Дифференцирование. Пусть существуют частная производная
b
интегралы
'
y
и определенные
b
∫ f  x , y dx , ∫ f 'y  x , y dx
a
f
.
a
b
b
d
∫ f  x , y  dx=∫ f 'y  x , y  dx , то говорят, что возможно
dy a
a
дифференцирование под знаком интеграла.
Определение. Если
f
'
y
Теорема 3. Если на прямоугольнике Р функция f непрерывна по x , а функция
непрерывна, то возможно дифференцирование под знаком интеграла.
Доказательство. Зафиксируем параметр y ∈[c , d ] . Приращения  y таковы, что
b
y y ∈[ c , d ] . Непрерывная по
x функция
f  x , y  имеет интеграл
I  y=∫ fdx .
a
Рассмотрим дробь
b
b
 f
I
=∫ y dx= (по т.Лагранжа о среднем) =∫ f 'y  x , dx , ∈ y , y y  .
y a  y
a
Если  y  0 ⇒   y . Тогда, по теореме 2, примененной к непрерывной функции
b
b
I
'
=lim ∫ f 'y  x , dx =∫ f 'y  x , y dx .
f y , имеем: I '  y = lim
 y 0  y
 y a
a
 
4. Интегрирование.
d
Определение. Если
b
b
d
∫ dy ∫ f  x , y  dx=∫ dx ∫ f  x , y dy , то говорят, что возможно
c
a
a
c
изменение порядка повторного интегрирования.
Теорема 4. Если функция f непрерывна на прямоугольнике Р, то возможно изменение
порядка интегрирования.
Доказательство. Доказательство будет приведено позже в разделе «Двойные
интегралы».
1
x b−x a
dx .
0 ln  x
Решение. Подынтегральную функцию непрерывно доопределим нулем в точке x=0 ,
b
y=b
xy
xb −x a
dx= x y∣y=a =
интеграл – определенный. Рассмотрим интеграл ∫
. При x≥0 ,
ln x
a ln x
y≥a0 функция
x y непрерывна на прямоугольнике [0,1 ; a , b] . По теореме 4,
Пример. Пусть a ,b0 . Вычислить интеграл
I =∫
b
возможна
смена
порядка
интегрирования:
I =∫ dy ∫ x y dx .
a
1
x=1
∣
xy
∫ x dx= y1
0
y
1
, то
=
y 1
x=0
b
I =∫
a
1
Поскольку
0
dy
=ln b1−ln a1 .
y 1
Непрерывность и дифференцирование в случае, когда пределы интегрирования
зависят от параметра.
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений встречается интеграл вида
b y
y
∫
f  x , y dx . Рассмотрим более общий случай:
I  y= ∫ f  x , y dx и установим
a y
a
достаточные условия непрерывности и дифференцируемости интеграла по параметру, а
также вид формулы для производной.
Пусть функции a  y  , b y  определены и ограничены на отрезке [c , d ] . Функция
f  x , y  определена на компакте K ={ x , y : c≤ y≤d , a  y≤ x≤b  y} .
Непрерывность интеграла.
Теорема 5. Если функции a  y  , b y  непрерывны на отрезке [c , d ] , функция
b y 
f  x , y  непрерывна на компакте К, то интеграл I  y=∫a  y f  x , y  dx .
Доказательство. Поскольку  y  0 , то  a ,  b  0 .
bb
b
Приращение интеграла имеет вид:  I =∫aa f  x , y y  dx−∫a f  x , y dx .
Введем в рассмотрение следующие интегралы:
a
I 1=
∫
bb
f  x , y  y dx , I 2=
a a
∫
b
b
f  x , y y  dx , I 3=∫  y f  x , y  dx .
a
Итак,  I =I 1 I 2 I 3 . Докажем бесконечную малость каждого из них.
По теореме Вейерштрасса, функции, определенные и непрерывные на компакте,
∣ f  x , y ∣≤h , a 0≤a  y≤b y ≤b0 .
∣I 1∣≤h⋅∣ a∣0, I 1  0 .
ограничены:
Тогда
Аналогично устанавливаем,что I 2  0 . По лемме 2, частное приращение  y f  x , y  0
при  y  0 равномерно относительно x , то есть выполняется утверждение, что

∀ 0 ∃ : ∣ y∣⇒ ∣ y f  x , y ∣
2 b0−a 0
b  y −a  y 
 , I 3  0,  I 0 .
Поэтому ∣I 3∣≤
2b 0−a0 


Дифференцирование.
Пусть функции a  y  , b y  дифференцируемы на отрезке [c , d ] , а на компакте К
'
'
f  x , y  имеет частную производную
функция
f y , причем
f , f y непрерывны.
I1
I2
I3
 I y
Рассмотрим предел
как сумму пределов от
.


y
y  y  y
I2
Для
по теореме о среднем для интеграла от непрерывной функции, имеется
y
I2
f  , y y ⋅ b
такая точка ∈b ,b b , что
.
=
y
y
При  y  0⇒ b 0 ⇒ b ⇒ f  , y y  f b  y , y  .
Тогда I 2 = f  , y y ⋅ b  f b y  , y⋅b '  y  .
y
y
Аналогично имеем, что I 1 = − f  , y y ⋅ a − f  a  y  , y ⋅a '  y  .
y
y
При каждом фиксированном значении x применим к функции f  x , y  теорему о
I3 b '
∃∈
y
,
y
y

=∫ f  x , dx . Поскольку
среднем Лагранжа. Тогда
такая, что
y a y
 y  0 , то   y . Фиксируя y и устремляя  y  0 , применим теорему 2 к
b
I3
 ∫ f 'y  x , y  dx .
непрерывной функции f 'y (значения функций a ,b постоянные):
y a
Тем самым доказана
Теорема 6. Если функции f  x , y  , f 'y  x , y  непрерывны на компакте К, функции
a  y  , b y  дифференцируемы на отрезке [c , d ] , то на этом отрезке интеграл
by 
I  y=∫a  y f  x , y  dx имеет производную
b y 
I '  y = ∫ f 'y  x , y dx  f b y  , y ⋅b '  y− f  a  y , y ⋅a '  y  .
a  y
y
В случае для интеграла вида
I  y=∫ f  x , y dx ,
a
y
'
имеем: I '  y =∫ f y  x , y dx  f  y , y .
a