ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
advertisement
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ НЕПРЕРЫВНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Учебный план дополнительной профессиональной программы повышения квалификации «Актуальные проблемы комплексного анализа и приложений» № п/п 1 2 3 4 5 6 Темы семинарских занятий Аудиторные часы Подробное описание Теорема о вычетах является мощным инструментом для вычисления интеграла Приложения мероморфной функции по замкнутому контуру. теоремы о Ее часто используют также для вычисления вычетах вещественных интегралов. Имеются и другие полезные приложений теоремы о вычетах. Подобно тому, как мероморфные функции могут рассматриваться в качестве Целые и обобщения рациональных дробей, целые мероморфны функции можно рассматривать как обобщение евС многочленов. В частности, если для функции с мероморфных функций можно обобщить условием разложение на простейшие дроби (теорема роста на Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной бесконечнос функции), то для целых функций существует ти обобщение разложения на множители — теорема Вейерштрасса о целых функциях. Эллиптическая функция задана на комплексной плоскости и периодична в двух направлениях. Эллиптические функции можно рассматривать Эллиптическ как аналоги тригонометрических (т.е. имеющих ие функции только один период). Исторически, эллиптические функции были открыты как функции, обратные эллиптическим интегралам. Теорема Блоха— теорема о Предложени свойствах голоморфных функций. Теорема я Блоха Блоха используется при доказательстве теоремы Ландау. Теоремы Ландау для регулярных в круге функций устанавливают некоторые связи между Теорема геометрическими свойствами производимого Ландау этими функциями конформного отображения и начальными коэффициентами представляющих их степенных рядов. Интеграл коши - это интегральная формула, Интеграл выражающая значение аналитической функции типа Коши f(z) в точке, лежащей внутри замкнутого 2 4 4 4 4 4 7 Римановы поверхности 8 Функции ограниченно й вариации 9 Интеграл Стилтьеса 10 Абсолютно непрерывны е функции контура , не содержащего внутри себя особенностей f(z), через её значения на этом контуре: где интегрирование производится против часовой стрелки. Большое значение в теории аналитических функ ций многих комплексных переменных имеют бо лее глубокие обобщения интегральной формулы Коши, в перв ую очередь такие, как Лере формула (J. Leray), формула Коши Фантапье, и представление Вохнера Мартинелли. Поверхность Римана позволяет геометрически представить многозначные функции комплексного переменного таким образом, что каждой точке поверхности Римана соответствует одно значение многозначной функции, причем при непрерывном перемещении по поверхности непрерывно изменяется и функция. Первоначально класс функций с ограниченной вариацией был введён К. Жорданом в связи с обобщением признака Дирихле сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций. Однако в дальнейшем функции ограниченной вариации нашли широкое применение в различных областях математики, особенно в теории интеграла Стилтьеса. Интеграл Стилтьеса был впервые введен голландским математиком Стилтьесом в 1894 г. в его исследованиях о непрерывных дробях и получил затем широкое развитие и применение как в чисто математических вопросах, так и в вопросах естествознания. Абсолютная непрерывность — в математическом анализе, свойство функций и мер, состоящее, неформально говоря, в выполнении теоремы Ньютона—Лейбница о связи между интегрированием и дифференцированием . Обычно эта теорема формулируется в терминах интеграла Римана и включает в свои условия интегрируемость производной по Риману. При переходе к более общему интегралу Лебега, естественное требование существования измеримой производной почти всюду становится слишком слабым, и для выполнения соотношения, аналогичного теореме Ньютона — Лейбница, необходимо более тонкое условие, которое и называется абсолютной непрерывностью. 4 8 8 4 11 12 Обращение правила Лопиталя для регулярных функций Звездообраз ные области и области с «условием конуса» ВСЕГО 58 часов Рассматривается вопрос о возможности обращения правила Лопиталя для вычисления пределов отношения аналитических функций 6 в граничной точке области аналитичности в угле Штольца. Звездообразная область, относительно фиксированной точки О - это область D комплексного пространства С, такая, что отрезок, соединяющий любую точку области D с точкой О, целиком принадлежит этой области. Области с условием конуса играют важную роль 6 в теоремах вложения, в теории интегральных представлений функции, в вопросах граничного поведения функций, разрешимости задачи Дирихле. 58
