Перечень вопросов для экзамена по Математическому анализу 3-ий семестр 1. Производная по направлению и её связь с градиентом функции. Направления наискорейшего роста и убывания функции. Суть метода градиентного спуска. 2. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. 3. Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа и Пеано. Формула конечных приращений (формула Лагранжа). 4. Экстремум функции многих переменных. Необходимое условие. Стационарные точки. Знакоопределённость квадратичной формы. Формулировка достаточного условия. Алгоритм поиска экстремумов. 5. Экстремум функции многих переменных. Достаточное условие с леммой. 6. Линейные операторы и их особенности при действии из Rd в Rd. Норма оператора и её свойства. 7. Дифференцируемость вектор-функции в точке и связь с дифференцируемостью координатных функций. Матрица Якоби. Линейность, производная произведения функций многих переменных и скалярного произведения. 8. Дифференцируемость вектор-функции в точке. Матрица Якоби. Производная композиции вектор-функций. Оценка приращения вектор-функции 9. Производная скалярного произведения двух вектор-функций. Решение задачи линейной регрессии. 10. Критерий обратимости линейного оператора, обратимость оператора близкого к обратимому. Вид производной обратного отображения (лемма). 11. Лемма о билипшицевости и теорема об обратном отображении. 12. Понятие неявной функции, теорема о неявной функции 13. Условный экстремум: постановка задачи и метод подстановки. Метод множителей Лагранжа. Необходимые условия и формулировка достаточных условий. 14. Условный экстремум: постановка задачи. Формулировка необходимых условий и достаточных условий. Максимум и минимум квадратичной формы на единичной сфере. 15. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность интеграла с параметром 16. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Дифференцирование интеграла с параметром, правило Лейбница. 17. Равномерная сходимость функции по параметру. Предельный переход под знаком интеграла. О перестановке пределов в повторном пределе. 18. Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость и критерии равномерной сходимости, теорема о непрерывности интеграла с параметром. 19. Несобственные интегралы, зависящие от параметра, теорема о предельном переходе в несобственном интеграле, теорема о перемене местами интегрирования и дифференцирования. 20. Гамма- и бета-функции и их свойства. 21. Кратные интегралы (обзор) 22. Криволинейный интеграл 1 рода. Определение, свойства. 23. Криволинейный интеграл 2 рода. Определение, свойства. 24. Криволинейный интеграл 2 рода. Формула Ньютона-Лейбница, условия независимости интеграла от пути интегрирования. 25. Криволинейный интеграл 2 рода. Формула Грина 26. Полукольцо множеств. Основные свойства и примеры. 27. Сигма-алгебры множеств. Основные свойства и примеры. Сигма-алгебра, порождённая некоторой совокупностью подмножеств. 28. Мера и объём на полукольце, свойства монотонности и счетной-полуаддитивности. Примеры мер. Теоремы о непрерывности меры сверху и снизу для «возрастающих» и «убывающих» последовательностей множеств. 29. Внешняя мера, порожденной мерой, заданной на полукольце. Свойства (монотонность, счётнаяполуаддитивность). Измеримые множества и схема распространения меры с полукольца на σалгебру по Каратеодори. 30. Измеримые множества. Теорема Каратеодори о распространении меры с полукольца на σалгебру. 31. Свойства меры, полученной стандартным распространением (по Каратеодори). Критерий измеримости, полнота меры. 32. Полукольцо ячеек. Конечная-аддитивность объема на полукольце ячеек. 33. Полукольцо ячеек. Счётная-аддитивность объема на полукольце ячеек. Мера Лебега. 34. Измеримые по Лебегу множества. Измеримость параллелепипедов, не более чем счетных множеств. Измеримость открытых и замкнутых множеств, борелевских множеств. 35. Существование открытого\замкнутого множеств с мерами, близкими к мере данного множества (или регулярность меры Лебега). Существование множеств типа Gδ и Fσ с мерами, равными мере данного множества. Характеризация измеримого множества. 36. Лебеговы множества, измеримые функции и их простейшие свойства (1-7). Измеримость по Лебегу и по Борелю. 37. Измеримые функции. Измеримость непрерывной функции. Измеримость inf, sup и поточечного предела последовательности функций. 38. Простые и ступенчатые функции, их свойства. Приближение измеримых функций простыми 39. Приближение измеримых функций ступенчатыми. Арифметические действия над измеримыми функциями. Измеримость суммы ряда. 40. Понятие эквивалентных функций, сходимость почти везде и свойства предельной функции при сходимости почти везде. Сходимость по мере и её связь со сходимостью почти везде (Теорема Лебега. Теорема Рисса (без д-ва)) 41. Определение интеграла Лебега и его корректность. 42. Определение интеграла Лебега. Свойства интеграла Лебега от неотрицательной функции: монотонность по функции и по множеству, интеграл по множеству нулевой меры. 43. Свойства интеграла Лебега от неотрицательной функции: теорема Леви, линейность, однородность, аддитивность, строгая положительность интеграла. 44. Свойства интеграла Лебега для суммируемой функции: определение, интегрируемость модуля, интеграл от ограниченной функции по множеству конечной меры, пренебрежение множествами нулевой меры, равенство интегралов от эквивалентных функций 45. Свойства интеграла Лебега для суммируемой функции: монотонность, линейность, однородность, счётная-аддитивность. Мера, как интеграл. 46. Свойства интеграла Лебега для суммируемой функции: абсолютная непрерывность, теорема Чебышева и следствие 47. Предельный переход под знаком интеграла: лемма Фату, следствие, теорема Лебега о мажорируемой сходимости 48. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана и с несобственным интегралом Римана. 49. Кратные и повторные интегралы: теорема о вычислении меры множества по мерам сечений 50. Кратные и повторные интегралы: теоремы Тонелли, Фуббини 51. Кратные и повторные интегралы: теорема о мере декартова произведения и мере подграфика и графика 52. Теорема о сохранении измеримости при гладком отображении и сопутствующие факты 53. Лемма о мере растянутых кубических ячеек. Свойства ортогональных операторов, сингулярное разложение матриц. 54. Мера Лебега при линейном отображении 55. Теорема о схеме замены переменной в интеграле, следствия 56. Критерий плотности, понятие диффеоморфизма, лемма о непустых вложенных стягивающихся замкнутых множествах. 57. Преобразование меры Лебега при диффеоморфизме. Теорема о замене переменной в интеграле Лебега. 58. Пространства Лебега Lp, норма в них (неравенства Гёльдера и Минковского) и особенности этих пространств. Существенный супремум и его свойства. 59. Вложенность пространств Лебега на множествах конечной меры, полнота пространств Lp. 60. Ступенчатые функции в Lp и их плотность в Lp. Плотность непрерывных функций в Lp(Rd). Основные понятия для экзамена по Математическому анализу 3-ий семестр: Линейное пространство, Нормированное пространство, норма Предел отображения в нормированных пространствах Компакт, критерий компактности в Rd Предел функции многих переменных Свойства непрерывной функции на компакте Частная производная функции многих переменных Дифференцируемость функции многих переменных Направления наибольшего роста и наискорейшего убывания дифференцируемой функции. Теорема о равенстве смешанных производных. Формула конечных приращений (формула Лагранжа). Экстремум функции многих переменных. Необходимое и достаточное условия. Алгоритм поиска экстремума. Линейный оператор, норма оператора Дифференцируемость вектор-функции. Матрица Якоби. Дифференцируемость композиции вектор-функций. Теорема об обратном отображении Неявно заданная функция, Теорема о неявной функции Условный экстремум: постановка задачи. Метод множителей Лагранжа для поиска условного экстремума. Необходимое и достаточное условия. Дифференцирование собственного интеграла с параметром (формула Лейбница) Теорема о перестановке пределов в повторном пределе Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра Дифференцирование несобственного интеграла, зависящего от параметра Гамма- и бета- функции Двойной интеграл, формула сведения двойного интеграла к повторному Криволинейный интеграл 1 рода Криволинейный интеграл 2 рода Независимость криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования Формула Грина Полукольцо, Сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра Мера, счётная-аддитивность Теорема о непрерывности меры снизу\сверху Внешняя мера Схема стандартного продолжения меры с полукольца на сигма-алгебру Критерий измеримости Мера Лебега и измеримые множества в Rd Характеризация измеримых множеств Измеримые функции Основные свойства измеримых функций Простые функции, приближение измеримых простыми Сходимость и равенство функций почти везде Определение интеграла Лебега Основные свойства интеграла Лебега Теорема Леви Теорема Лебега о мажорируемой сходимости Связь интеграла Римана с интегралом Лебега Теорема Тонелли, Фуббини Ортогональный оператор, сингулярное разложение матриц Преобразование меры Лебега при линейном отображении Плотность одной меры относительно другой Преобразование меры Лебега при диффеоморфизме Диффеоморфизм, теорема о замене переменной в интеграле Лебега Пространства Лебега Lp и их свойства.
