О росте аналитической функции вблизи множества ее особых

Е.М.Дынькин
О РОСТЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ВБЛИЗИ МНОЖЕСТВА
ЕЕ ОСОБЫХ ТОЧЕК
Пусть С - комплексная плоскость, Е. - замкнутое множество
на вещественной оси R, , И - убывающая положительная функция на
С0, + о о ) , М > е . причем
(*•)
Рассмотрим совокупность J v ( М ) в с е х функций .f
, опреде­
ленных и аналитических в Q, \£_ , и таких, 4To|^(X)|4M(IIrrv2l) »
%К Е • Пусть также <£_ (|V|) = \J. <j£ ( с М)
.Согласно теореме
НЛевинсона (см., например,^-/)]с>0) м н о ж е с т в о 9 v ( M )
н о р м а л ь н о , то есть при 8>0
dej
Мс5)^бор{1к2)14^ЕСМ), j>c2.E)>6] < + о о
;
здесь J)(2,EV расстояние от точки2,2€.С до множества Е . Други­
ми словами, М - наименьшая функция, для которой|^(Х)|4М*(рй£))
2 к- Е ПРИ в с е х ^ ^ - ^ F CM) • Возникает вопрос о б
эффек­
тивной
оценке
мажорантыМ
• Некоторые
неравенства для М неявно содержатся в [ 2 ] и[з] (см.также абзац
после следствия к теореме I ) .
Рассмотрим следующий чертеж, симметричный относительно веще­
ственной оси:
Здесь О А Н , А_В - ДУга окружности с центром О, «С <-jr , Д - кон­
тур класса Q , Д - симметричный относительно R контур и
[P,GL]u[R S ] c A n A * Пусть W=X(2)- конформное отображение вну­
тренности ' на единичный круг Q=^2:|'XK / j] . Пусть при этом уча­
сток QAR, переходит в дугу f 1 , PQARS - » 1 а •
В работе [4] доказано, что при условии ( •*• ) для любого 0>0
158
существует функция 4L
непрерывная вместе со СВОИМИ частными
производными в круге Р С Р * £-С 1 °)
. и такая, что
it
а^Се^И « I , , %Ce°V0 внв1й,'04^(е*)4Г
б ) | | ^ | 4 с [ М (?(Н*П)]" Щ« 121 4.1
Наименьшее возможное значение постоянной С обозначим через Н (<!))•
Теорема I. П р и н е к о т о р о м ( 1 > 0 :
М^)=0[Мс^)4-Нк^)]7 5-+0 .
Доказательство. Если функция ^f~ удовлетворяет условиям а)
и б) с постоянной С = 2 Н(б), то функция Gi»^,, ^ равна I HaQ/\R,,
О BHePQAR/S и внутри контура Д
|||^C,H(5)[M(C 2 5lb2l)f
<**>
По симметрии б*, продолжается внутрь контзграЛ • Полагая&Н в за­
штрихованной области и 6 ^ = 0 в остальной части плоскости, мы не
нарушим условий (•# #•) и 6$€-С" Пусть точка % такова, что О С£, Е.)=^> 11пгй1<0 5uv<=6
и \ - ближайшая к % точка Е • Тогда 2„ - конец смежного к
интервала длины не менее 28СОбХ .Подвергнем чертеж подобному пре­
образованию так, чтобы точка 0 перешла в %0 , а 2 попала на дугу
Д ( 5 . Функция б / С, перейдет в функцию , для которой
IIIHHIWMOI^D] 4
Применяя формулу Коши-Грина к внешнему обводу Д {JД, мы получим
для любой $ - € l P ! ( M )
Но 0 ( 3 0 = 1 .
_
Наконец, если Цщ/^1 >Р(Х,Е)SubX, то | J(3t)l*М[р&,Ь)Ь(л4
Теорема доказана.
Следствие. Е с л и | \ | - л ю б а я
другая
фун­
кция, удовлетворяющая
у с л о в и ю (-Х-),
то
Доказательство следствия, основанное н§, иных идеях, неявно
содержится в [2] . Частей случал М ( Й = 5 ,М*(0)=0(<Г)
159
известен как "лемма Домара", см.[5].
П р е д п о л о ж и м теперь дополнительно, ч т о
фун­
к ц и я pi л о г а р и ф м и ч е с к и
выпукла
и
растет
о к о л о Ь-0 б ы с т р е е
любой
от е п е н и , М(д)" = О(Х/*) , Х/~>0. при всех 1г>0« Свяжем с
последовательность \т i°° .полагая
ты = Млр (г [ 1 h а )
iv>o
Аналогично [4] можно показать, что при условии (•*• ) класс Карлемана CCNV) неквазианалитичен (определения см. в [ б ] ) . Положим
дляw S>0 r-Pcft'.AUfil^HfeC^a-UD.r^Uw,, . .
Cf (0)=0 при всех У1>0] .
Теорема 2. I. П р и н е к о т о р о м 0 >0 ' |М U)) =
2.
М\8)>Р\2S),5>0.
Доказательство. I. Из результатов работы [4] вытекает оцен­
ка Цсб) = 0 ( Р " С^£))
• остальное следует из теоремы I.
_, 2. Воспользуемся двойственностью В.И.Мацаева [7] о . Ясно, что
£<0iCM).- банахово пространство с единичным шаром^0.(|V]).Фун­
кционал ф : J -* 5-(5), 5 > 0 , непрерывен B ^ L J C M ) " ||ф|| ^ М*с5).
Так как^. (М) C^-Q-H] СМ). т ° Ф без увеличения нормы продолжа­
ется на все Ч ,(№)'• положим Ц ? сЪ=<Ф, (t-2') H >
H*tw4.
Тогда ^ £ C ^ f l | i f ^ i ) k l 0 l l a i ( t - i r " 4 | 4 n u l l , M * ( f t f - U U * .
С другой стороны, Я* (.0) = иД (,~§)
при всех п, . Пусть
tCtH-^CtXt-xS)
. тогда |Vp"| 4 2 ш л М Ч Л ,^С0)=О
при всех(г>0и W)=4 • Поэтому М*С<5) >Р" ( 2 5 )
• Теорема
доказана.
Из теоремы Банаха-Штейнгауза вытекает
Следствие. Если ОсДЭ^ОСР ( 2 £)), <$>•*()» то существует £
£е.?ГЛМ) . такая«
что
k^)^OCQ(izO)
при 1X1-^0-
1ЙТЕРАТУРА
1. Levinsoa N.. Gap and density theorems, AMS, 1940.
2 . Domar Y., Arkiv for Uat.,3.№ 5, 1958, 429-440.
3. Гурарий В.П., Записки научн.семин.ЛОМИ, 19,1970,215-220.
4. Дынькин Е.М., Записки научн.семинЛОШ, 19, 1970, 221-226.
5. Taylor B.A., Williams D.L., Canad.T.Matb. ,22,» 6,1970,1266-1283.
6. Мандельбройт С , Примыкающие ряды, ИД, 1955.
7. Мацаев В.И., Теоремы единственности, полноты и компактности,
/
связанные с классической квазианалитичностьюДисс.Харьков,
:
1964.
160