Рандомизированные алгоритмы стохастической оптимизации

Ðàíäîìèçèðîâàííûå àëãîðèòìû
ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè, êâàíòîâûå
êîìïüþòåðû, èñêóññòâåííûé èíòåëëåêò
Ñ. C. Ñûñîåâ
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò1
Äëÿ ðàíäîìèçèðîâàííîãî àëãîðèòìà ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè îñëàáëåíû óñëîâèÿ ñîñòîÿòåëüíîñòè åãî îöåíîê, ðàññìîòðåíû ïîðÿäêè òî÷íîñòè
ïðè êîíå÷íîì ÷èñëå íàáëþäåíèé, à òàêæå ïðåäëàãàåòñÿ íîâàÿ ñõåìà ðåàëèçàöèè ýòîãî àëãîðèòìà íà êâàíòîâûõ êîìïüþòåðàõ. Âî âòîðîé ÷àñòè ñòàòüè
ðàññìàòðèâàåìñÿ âîïðîñ îá îäíîì èç ñïîñîáîâ ðåàëèçàöèè èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà.
1.
Ââåäåíèå
Çàäà÷à ïîèñêà ìèíèìóìà (ìàêñèìóìà) íåêîòîðîé ôóíêöèè (ôóíêöèîíàëà)
f (x) ! min
x
èçâåñòíà óæå äàâíî. Åå àêòóàëüíîñòü îáîñíîâûâàåòñÿ òåì ôàêòîì, ÷òî
äîâîëüíî áîëüøîé êëàññ çàäà÷ ñâîäèòñÿ ê åå ðåøåíèþ. ×àñòî ïîðÿäîê
ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé è ÷èñëî íåèçâåñòíûõ òàêîâû, ÷òî àíàëèòè÷åñêèé
ïîèñê ðåøåíèÿ ñòàíîâèòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíûì. Íà ñàìîì äåëå,
öåííîñòü àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íå òàê óæ âûñîêà îíî âñå ðàâíî áóäåò èñêàæåíî ïðè èñïîëüçîâàíèè (íàïðèìåð, çà ñ÷åò îãðàíè÷åííîé ðàçðÿäíîñòè âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí, èëè íåòî÷íîñòè èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ).
 ñëó÷àå íåïðåðûâíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè, çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ïîèñêó êîðíåé åå ïðîèçâîäíîé (èëè òî÷åê, â êîòîðûõ ãðàäèåíò îáðàùàåòñÿ â íîëü). Îäíàêî åñëè äèôôåðåíöèðóåìîñòü îòñóòñòâóåò, èëè îáùèé âèä èññëåäóåìîé ôóíêöèè íåèçâåñòåí, çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ
êà÷åñòâåííî èíîé.  òîæå âðåìÿ ñóùåñòâóåò êëàññ àëãîðèòìîâ, ïîçâîëÿþùèõ íàõîäèòü ðåøåíèÿ äîâîëüíî øèðîêîãî êëàññà çàäà÷ ñ ëþáîé çàðàíåå
çàäàííîé òî÷íîñòüþ. Ïðèìåíåíèå ýòèõ àëãîðèòìîâ íå òðåáóåò èçîáðåòàòåëüíîñòè è íå çàâèñèò îò âèäà ôóíêöèîíàëà (ïðè óñëîâèè, ÷òî óðàâíåíèå ïðèíàäëåæèò êëàññó ïðèìåíèìîñòè). Òàêîãî ðîäà óíèâåðñàëüíîñòü
åñòåñòâåííûì îáðàçîì âëå÷åò ïðîñòîòó ðåàëèçàöèè ýòèõ àëãîðèòìîâ íà
âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèíàõ, à èòåðàòèâíàÿ ïðèðîäà ïîçâîëÿåò óòî÷íÿòü
ïîëó÷åííóþ îöåíêó ñ êàæäîé íîâîé èòåðàöèåé. Ðå÷ü èäåò î ðåêóððåíòíûõ àëãîðèòìàõ ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè.
1
c Ñ. C. Ñûñîåâ, 2005
206
Áîëüøèíñòâî ïñåâäîãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè, òèïà ïðîöåäóðû Êèôåðà-Âîëüôîâèòöà [1], òðåáóþò íåñêîëüêèõ èçìåðåíèé ôóíêöèè
ïîòåðü íà èòåðàöèè. Ýòè îãðàíè÷åíèÿ ïîäðàçóìåâàþò íåîáõîäèìîñòü íà
êàæäîé èòåðàöèè èçìåðÿòü ìèíèìèçèðóåìóþ ôóíêöèþ â íåñêîëüêèõ ðàçíûõ òî÷êàõ. Åñëè æå âèä ñàìîé ôóíêöèè ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì, èëè êàæäîå åå èçìåðåíèå çàâèñèò îò ðåàëèçàöèè íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû,
è òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü åå â ñðåäíåì
Ew fF (x; w)g ! min
;
x
òî ìíîãîêðàòíîå èçìåðåíèå ôóíêöèè â îäíîé òî÷êå ñòàíîâèòñÿ íåâîçìîæíûì. Ïîäîáíàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò, íàïðèìåð, â çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè
ñèñòåì ðåàëüíîãî âðåìåíè.
Àëãîðèòìû, âïèñûâàþùèåñÿ â òàêèå îãðàíè÷åíèÿ, áûëè ïðåäëîæåíû
â êîíöå 80-õ, íà÷àëå 90-õ ãîäîâ â ðàáîòàõ [212]. Îíè ïîëó÷èëè íàçâàíèå
ðàíäîìèçèðîâàííûõ àëãîðèòìîâ ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè, â ñèëó òîãî, ÷òî âõîäíûå äàííûå â ýòèõ àëãîðèòìàõ ïîäâåðãàþòñÿ èñêóññòâåííîé
ðàíäîìèçàöèè íà êàæäîì øàãå. Ñðåäè îñíîâíûõ äîñòîèíñòâ ýòèõ àëãîðèòìîâ ìîæíî íàçâàòü ñõîäèìîñòü ïðè ïî÷òè ïðîèçâîëüíûõ ïîìåõàõ
[915] è ìàëîå (îäíî - äâà) êîëè÷åñòâî èçìåðåíèé ôóíêöèè ïîòåðü íà
èòåðàöèè.
Ýòà ðàáîòà ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì öèêëà ðàáîò [911].  íåé ðàññìàòðèâàþòñÿ íîâûå áîëåå ñëàáûå óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè ðàíäîìèçèðîâàííîãî àëãîðèòìà ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ñ îäíèì èçìåðåíèåì ôóíêöèè ïîòåðü, îöåíèâàåòñÿ ðåçóëüòàò ðàáîòû ïðè êîíå÷íîì ÷èñëå èòåðàöèé,
à òàêæå ïðåäëàãàåòñÿ ñõåìà èñïîëüçîâàíèÿ êâàíòîâûõ âû÷èñëèòåëüíûõ
óñòðîéñòâ äëÿ ðåàëèçàöèè îñíîâíîé ÷àñòè èòåðàöèè ýòîãî àëãîðèòìà. Áîëåå ñëàáûå óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè ðàñøèðÿþò êðóã ïðèìåíåíèÿ àëãîðèòìà,
÷òî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü åãî áîëåå óâåðåííî â ñèòóàöèÿõ, êîãäà ñâîéñòâà ôóíêöèè ïîòåðü èçâåñòíû íå ïîëíîñòüþ.
2.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
è îñíîâíûå ïðåäïîëîæåíèÿ
Rd Rp ! R1 äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïî ïåðâîìó
àðãóìåíòó ôóíêöèÿ, x1 ; x2 : : : âûáèðàåìàÿ ýêñïåðèìåíòàòîðîì ïîñëåÏóñòü
F (x; w)
:
äîâàòåëüíîñòü òî÷åê èçìåðåíèÿ (ïëàí íàáëþäåíèÿ), â êîòîðûõ â êàæäûé
ìîìåíò âðåìåíè
õàìè
vn
n = 1; 2; : : : äîñòóïíî íàáëþäåíèþ ñ àääèòèâíûìè ïîìåF (; wn )
çíà÷åíèå ôóíêöèè
yn = F (xn ; wn ) + vn ;
ãäå fwn g íåêîíòðîëèðóåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí:
wn 2 Rp , èìåþùèõ îäèíàêîâîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåèçâåñòíîå ðàñïðåäåëå207
()
Pw ñ êîíå÷íûì íîñèòåëåì.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Òðåáóåòñÿ ïî íàáëþäåíèÿì y1 ; y2 : : : ïîñòðîèòü
?
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îöåíîê fn g íåèçâåñòíîãî âåêòîðà , ìèíèìèçèðóþ-
íèå
^
ùåãî ôóíêöèþ
f (x) =
Z
Rp
F (x; w)Pw (dw)
òèïà ôóíêöèîíàëà ñðåäíåãî ðèñêà.
Îáû÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ìèíèìèçàöèè ôóíêöèè
ëåå ïðîñòîé ìîäåëè íàáëþäåíèé
f () ïðè áî-
yn = f (xn ) + vn ;
êîòîðàÿ ëåãêî óêëàäûâàåòñÿ â îáùóþ ñõåìó. Ñäåëàííîå îáîáùåíèå â ïîñòàíîâêå çàäà÷è äèêòóåòñÿ ñòðåìëåíèåì ó÷åñòü ñëó÷àé ìóëüòèïëèêàòèâíûõ ïîìåõ â íàáëþäåíèÿõ
yn = wn f (xn ) + vn ;
êîòîðûé âõîäèò â îáùóþ ñõåìó ñ ôóíêöèåé
F (x; w) = wf (x).
Äàëåå â ñòàòüå áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèÿ
åâêëèäîâîé íîðìû è ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â
Rd .
Ââåäåì ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà
k k è h; i äëÿ
2 (1; 2].
Ïóñòü
V (x) = kx ? k ;
ãäå
?
- èñêîìûé âåêòîð èç ïðîñòðàíñòâà ïàðàìåòðîâ, è ñôîðìóëèðóåì
îñíîâíûå ïðåäïîëîæåíèÿ.
A.1
Ôóíêöèÿ
f (x) èìååò åäèíñòâåííûé ìèíèìóì è
(rV (x); rf (x)) V (x); 8x 2 Rd
ñ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé > 0.
A.2 Ïðè ëþáîì w ãðàäèåíòû ôóíêöèé F (; w) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
Ãåëüäåðà ñ ïîêàçàòåëåì 1
krx F (x; w) rx F (y; w)k M kx yk 1 ; 8x; y 2 Rd
ñ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé M > 0.
3.
Ïðîáíîå âîçìóùåíèå è îñíîâíîé àëãîðèòì
Ïóñòü
n ; n = 1; 2; : : : íàáëþäàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
íåçàâèñèd
ìûõ äðóã îò äðóãà ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ â
ïðîáíûì îäíîâðåìåííûì âîçìóùåíèåì,
þò çíà÷åíèÿ
1 ñ âåðîÿòíîñòüþ 21 .
R
, íàçûâàåìàÿ â äàëüíåéøåì
êîìïîíåíòû êîòîðûõ ïðèíèìà-
208
Çàôèêñèðóåì íåêîòîðûé íà÷àëüíûé âåêòîð
^0 2 Rd è âûáåðåì íåêîòî-
ðûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, ñòðåìÿùèåñÿ ê íóëþ:
fn g è fn g.  [1012] äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé òî÷åê èçìå^n g áûë ïðåäëîæåí ñëåäóþùèé àëãîðèòì, èñïîëüðåíèÿ fxn g è îöåíîê f
çóþùèé íà êàæäîì øàãå (èòåðàöèè) îäíî íàáëþäåíèå:
(
xn = ^n 1 + n n ; yn = F (xn ; wn ) + vn ;
^n = Pn (^n 1 nn n yn ):
(1)
Pn (); n = 1; 2; : : : îïåðàòîðû ïðîåêòèðîâàíèÿ íà
n Rd ,
?
ñîäåðæàùèå, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî n 0, òî÷êó . Åñëè çàðàíåå èçâåñòíî
 ýòîì àëãîðèòìå
íåêîòîðûå âûïóêëûå çàìêíóòûå îãðàíè÷åííûå ïîäìíîæåñòâà
, ñîäåðæàùåå òî÷êó ? ,
òî ìîæíî ñ÷èòàòü n = .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìíîæåñòâà fn g ìîãóò
çàìêíóòîå îãðàíè÷åííîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî
ðàñøèðÿòüñÿ äî áåñêîíå÷íîñòè.
4.
Ñõîäèìîñòü
= supp(Pw ()) Rp êîíå÷íûé íîñèòåëü ðàñïðåäåëåíèÿ Pw (); Fn 1 -àëãåáðó âåðîÿòíîñòíûõ ñîáûòèé, ïîðîæäàåìóþ ñëó^0 ; ^1 ; : : : ; ^n 1 , ôîðìèðóåìûìè ïî àëãîðèòìó (1);
÷àéíûìè âåëè÷èíàìè dn = diam(n ) äèàìåòð ìíîæåñòâà n ; cn = 2 1 n n ;
n = n 23 2 cn M dn ;
n = Mdn 1 n n + cn n + 2 1 cn max
kF (? ; w)k + 24 3 n n M ;
W
1 :
n = n ; zn = 1 n+1
Îáîçíà÷èì
W
n
(
)
n+1
2 (1; 2] è âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
)g;
Ò å î ð å ì à 1 Ïóñòü (A.1) äëÿ ôóíêöèè f x
E F x; w
(A.2) äëÿ ôóíêöèè F ; w
w W;
( )= f (
( ) 8 2
n
ôóíêöèÿ F ? ; w îãðàíè÷åíà íà W ;
8n ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû v1 ; : : : ; vn è âåêòîðà w1 ; : : : ; wn
ñÿò îò wn ; n , à ñëó÷àéíûé âåêòîð wn íå çàâèñèò îò n ;
1
1
íå çàâè-
E fjvn j g n ; n = 1; 2; : : : ;
8n 0 n 1;
X
n = 1; n ! 0; ïðè n ! 1:
n
Òîãäà 1). ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îöåíîê f^n g, äîñòàâëÿåìûõ àëãîðèòìîì (1), ñõîäèòñÿ ê òî÷êå ? â ñëåäóþùåì ñìûñëå:
E fk^n ? k g ! 0 ïðè n ! 1:
209
(^ ) =
(1
^
( ) ( (^ ) + )
2). Åñëè
O Qni=01 Q i .
n!1 zn z > , òî EV n
n 1
0
3). Åñëè zn z > 8n, òî EV n EV 0
i=0
z 1
4). Åñëè, áîëåå òîãî,
X
n < 1
n
òîãäà n ! ? ïðè n ! 1 ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, è
lim
1
1
^
P fk^n
? k
8n n0 g 1
E k^n0
)
(1
i ):
P
? k + 1
n=n0 n :
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 ïðèâåäåíî â ïðèëîæåíèè.
Çàìå÷àíèÿ:
F (x; w) = wf (x) óñëîâèÿ òåîðåìû 1
f (x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (A.1,2).
1 ïîìåõè íàáëþäåíèÿ vn ìîæíî óñëîâíî íàçâàòü ïî÷òè
1. Äëÿ ôóíêöèè
âûïîëíÿþòñÿ, åñëè ôóíêöèÿ
2. Â òåîðåìå
ïðîèçâîëüíûìè, òàê êàê îíè ìîãóò áûòü íåñëó÷àéíûìè, íî íåèçâåñòíûìè è îãðàíè÷åííûìè, èëè ïðåäñòàâëÿòü èç ñåáÿ ðåàëèçàöèþ íåêîòîðîãî
ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîöåññà ñ ïðîèçâîëüíîé ñòðóêòóðîé çàâèñèìîñòåé. Â
÷àñòíîñòè, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèé òåîðåìû 1 íåò íåîáõîäèìîñòè ïðåäïîëàãàòü ÷òî-ëèáî î çàâèñèìîñòè ìåæäó
vn
3. Äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû
è
Fn 1 .
1 ñîâñåì íå îáÿçà-
òåëüíî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êîìïîíåíòû âåêòîðîâ ïðîáíîãî îäíîâðåìåííîãî âîçìóùåíèÿ
n ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ òîëüêî 1. Äîñòàòî÷íî ïðåäïî-
ëîæèòü ñèììåòðè÷íîñòü è êîíå÷íîñòü íîñèòåëÿ èõ ðàñïðåäåëåíèÿ.
5.
Ïðèìåð
Äëÿ èëëþñòðàöèè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè àëãîðèòìà (1) ïðèâåäåì ïðèìåð åãî èñïîëüçîâàíèÿ â çàäà÷å äâóìåðíîé îïòèìèçàöèè. Ïðåäïîëîæèì,
÷òî íà ïëîñêîñòè íàõîäèòñÿ íåêîòîðàÿ òî÷êà
?
(öåëü), ìåñòîïîëîæåíèå
êîòîðîé íàì íåèçâåñòíî, íî ìû ìîæåì èçìåðÿòü äëÿ ëþáîé òî÷êè
ëè÷èíó
x âå-
kx ? k1;2 , íî ñ ïîìåõîé, ò. å. íàáëþäàòåëþ äîñòóïíû ñëåäóþùèå
âåëè÷èíû:
yn = kxn
? k1;2 + vn :
Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû îïðåäåëèòü ìåñòîïîëîæåíèå öåëè.
 êà÷åñòâå ïîìåõè âûáèðàëèñü ñëó÷àéíûå èëè äåòåðìèíèðîâàííûå
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:
jvn j 12 , à ÷èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn g; fn g
áûëè âûáðàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:
n = 0p:15 ; n = 1:
n
Ïðîåêòèðîâàíèå íå èñïîëüçîâàëîñü. Íà ðèñ. 1 ïîêàçàí òèïè÷íûé ïðèìåð
ðåçóëüòàòà ðàáîòû àëãîðèòìà ïîñëå òûñÿ÷è èòåðàöèé. Êîîðäèíàòû öåëè
210
Ðèñ. 1: Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îöåíîê.
áûëè âûáðàíû:
x
= 9:31, y = 8:98.  êà÷åñòâå ïîìåõè áûëà çàäàíà
vn = 0:5. Êîîðäèíàòû ïîëó÷èâøåéñÿ îöåíêè ^1000 :
ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà
x=
9:3, y = 9:01.
6.
Êâàíòîâûé êîìïüþòåð è âû÷èñëåíèå
îöåíêè âåêòîðà-ãðàäèåíòà ôóíêöèè
Ðàññìîòðèì ïðîáëåìó âûáîðà âû÷èñëèòåëüíîãî óñòðîéñòâà, íàèëó÷øèì îáðàçîì ïîäõîäÿùåãî äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàíäîìèçèðîâàííîãî àëãîðèòìà ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ñ îäíèì èçìåðåíèåì ôóíêöèè øòðàôà íà èòåðàöèè.  [10] áûë îïèñàí ñïîñîá ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà (1) íà
âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâàõ íîâîãî òèïà êâàíòîâûõ êîìïüþòåðàõ. Çà
ïðîøåäøåå âðåìÿ òåðìèíîëîãèÿ è àêñèîìàòèêà ìîäåëåé êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé ñòàëè áîëåå ÷åòêèìè. Îïèñàííûé â [10] ñïîñîá ðåàëèçàöèè íå
áûë ïîõîæ íà òèïè÷íûé êâàíòîâûé àëãîðèòì, è ñåé÷àñ ìîæíî ñêàçàòü,
÷òî âûáðàííûé ðàíåå ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ íå áûë óäà÷íûì. Çäåñü ìû
îïèøåì íîâûé ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ àëãîðèòìà íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå, êîòîðûé â áîëüøåé ìåðå ñîîòâåòñòâóåò îáùåé ëîãèêå êâàíòîâûõ
âû÷èñëèòåëüíûõ àëãîðèòìîâ.
Äî íåäàâíåãî âðåìåíè êâàíòîâûé êîìïüþòåð ðàññìàòðèâàëñÿ èñêëþ÷èòåëüíî êàê óìîçðèòåëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü. Îäíàêî â ïîñëåäíåå âðåìÿ, áëàãîäàðÿ óñïåõàì êîìïàíèè IBM â ïîñòðîåíèè êâàíòîâîãî
âû÷èñëèòåëÿ íà áàçå ÿäåðíî-ìàãíèòíîãî ðåçîíàíñà, ýòà ìîäåëü ïåðåñòàåò
áûòü òîëüêî óìîçðèòåëüíîé (ñì. [16]). Êîíå÷íî, íà äàííûé ìîìåíò ñóùåñòâóþò ñåðüåçíûå ñîìíåíèÿ â òîì, ÷òî ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ ïðàêòè÷åñêè
211
ïîëåçíîãî êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà èìååò ðåøåíèå, îäíàêî ðàáîòû â ýòîì
íàïðàâëåíèè âåäóòñÿ ñ âûñîêîé èíòåíñèâíîñòüþ.
Îïèøåì êðàòêî ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà è
ïîêàæåì, êàê ïðåäñòàâëÿåòñÿ â ýòîé ìîäåëè àëãîðèòì (1). Äëÿ íà÷àëà
ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå ïîíÿòèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñîñòîÿíèÿ, íàáëþäàåìûå è èçìåðåíèÿ [17]. Ñîñòîÿíèå ëþáîé êâàíòîâîé ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ êàê ëó÷ â íåêîòîðîì êîìïëåêñíîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîñêîëüêó
ëó÷ ýòî êëàññ âåêòîðîâ, åãî ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ëþáûì èç âåêòîðîâ
ýòîãî êëàññà. Ïîýòîìó ñîñòîÿíèÿ â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ÷àñòî îáîçíà÷àþò êàê âåêòîðà åäèíè÷íîé äëèíû â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå íàä ïîëåì
êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Ïîëó÷åíèå èíôîðìàöèè î ñèñòåìå âñåãäà ñâÿçàíî
ñ íàáëþäåíèåì íåêîòîðûõ âåëè÷èí. Äàæå â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ÷àñòî
ïðèõîäèòñÿ íàáëþäàòü íå òó âåëè÷èíó, î êîòîðîé íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü
èíôîðìàöèþ (íàïðèìåð, íàáëþäåíèå îáúåìà âûòåñíåííîé âîäû äëÿ èçìåðåíèÿ îáúåìà òåëà).  êâàíòîâîé ìåõàíèêå òàêîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ
íàáëþäàåìàÿ. Íàáëþäàåìàÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð â ðàññìàòðèâàåìîì êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå. Èçìåðåíèå êâàíòîâîé ñèñòåìû èçìåíÿåò åå.  ðåçóëüòàòå èçìåðåíèÿ èññëåäîâàòåëü ïîëó÷àåò îäíî èç ñîáñòâåííûõ ÷èñåë íàáëþäàåìîé, à ñàìà ñèñòåìà ïåðåõîäèò â
ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîìó ÷èñëó ñîáñòâåííûé âåêòîð. Íàáëþäàåìàÿ ýòî
ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ èíôîðìàöèè î ñîñòîÿíèè. Âûáîð ñîáñòâåííîãî ÷èñëà
ïðè èçìåðåíèè ïðîèñõîäèò ñëó÷àéíî, ñ âåðîÿòíîñòüþ ðàâíîé êâàäðàòó
ïðîåêöèè èçó÷àåìîãî ñîñòîÿíèÿ íà ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð. ßñíî, ÷òî èçìåðåíèå êâàíòîâîé ñèñòåìû äàåò íàì ïîëíóþ èíôîðìàöèþ î íåé òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà åå ñîñòîÿíèå ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç
ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ âûáðàííîé íàáëþäàåìîé.
Ñîñòîÿíèå êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà ýòî ñîñòîÿíèå íåêîòîðîé êâàíòîâîé ñèñòåìû. Ñîñòîÿíèå ïðîñòåéøåé êâàíòîâîé ñèñòåìû åäèíè÷íûé
âåêòîð â äâóìåðíîì êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå. Áàçèñ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ êàê
j0i è j1i, ïî àíàëîãèè ñ f0; 1g â êëàññè-
÷åñêîé òåîðèåé èíôîðìàöèè. Òàêàÿ ñèñòåìà ìîæåò ïðèíèìàòü íå òîëü-
êî áàçèñíûå çíà÷åíèÿ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñïîñîáíà õðàíèòü áîëüøå èíôîðìàöèè íåæåëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ êëàññè÷åñêàÿ. Òåì íå ìåíåå, ïðè èçìåðåíèè òàêîé ñèñòåìû, îíà ïåðåéäåò â îäíî èç áàçèñíûõ çíà÷åíèé (â
ñëó÷àå ïðàâèëüíî âûáðàííîé íàáëþäàåìîé), è èíôîðìàöèÿ, õðàíèìàÿ
â íåé áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü íåêîòîðîé êëàññè÷åñêîé èíôîðìàöèè. Îïèñàííàÿ êâàíòîâàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ êóáèò (êâàíòîâûé áèò), ïî àíàëîãèè ñ êëàññè÷åñêèì áèòîì. Êâàíòîâàÿ ñèñòåìà èç íåñêîëüêèõ êóáèòîâ
ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê èõ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå. Òàêèì îáðàçîì, ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà, ñ êîòîðûì îïåðèðóåò êâàíòîâûé êîìïüþòåð, ðàñòåò
ýêñïîíåíöèàëüíî ñ ðîñòîì ÷èñëà êóáèòîâ. Ýòî ñâîéñòâî ëåæèò â îñíîâå
ôåíîìåíà êâàíòîâîãî ïàðàëëåëèçìà. Äîñòàòî÷íî ñòðîãîå îáîñíîâàíèå
ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð,
212
â [18].
Åùå îäíèì âàæíûì ñâîéñòâîì êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî
èõ ýâîëþöèÿ óíèòàðíà. Èíûìè ñëîâàìè, ëþáîå ïðåîáðàçîâàíèå êóáèòîâ
â êâàíòîâîì êîìïüþòåðå ÿâëÿåòñÿ óíèòàðíûì îïåðàòîðîì â ñîîòâåòñòâóþùåì êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè (êðîìå èçìåðåíèÿ) â êâàíòîâîì êîìïüþòåðå äîëæíû
áûòü îáðàòèìû. Ïóñòü
f : Rd ! R íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþ-
ùàÿ óñëîâèÿì òåîðåìû 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàçðÿäíîñòü èñïîëüçóåìîãî
p. Óíèòàðíûé îïåðàòîð, ðåàëèçóþùèé íà
f (x), ìîæíî çàäàòü íà âñåõ êëàññè÷åñêèõ äâîè÷íûõ öåïî÷êàõ x äëèíû p d, îïðåäåëÿþùèõ àðãóìåíò ôóíêöèè,
êâàíòîâîãî âû÷èñëèòåëÿ ðàâíà
êâàíòîâîì êîìïüþòåðå ôóíêöèþ
òàê:
ãäå
Uf : jxijy i ! jxijy f (x)i;
y ïðîèçâîëüíàÿ äâîè÷íàÿ öåïî÷êà äëèíû p, ïîáèòîâîÿ îïåðà-
öèÿ ëîãè÷åñêîãî èëè. Ýòî ñïîñîá çàäàíèÿ îïåðàòîðà íà áàçèñíûõ âåêòîðàõ. Íà âñå îñòàëüíûå âåêòîðà îïåðàòîð ïðîäîëæàåòñÿ ëèíåéíî. Ëåãêî
âèäåòü, ÷òî ïîñòðîåííûé îïåðàòîð îáðàòèì è äåéñòâóåò â êîìïëåêñíîì
ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè
2dp+p .
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó: ïîëó÷èòü ñëåäóþùóþ îöåíêó òî÷êè ìèíèìóìà
ôóíêöèè ïî àëãîðèòìó (1). Äëÿ ïîäà÷è íà âõîä âû÷èñëèòåëÿ ïîäãîòîâèì
ñóïåðïîçèöèþ
ãäå
2d âîçìóùåííûõ çíà÷åíèé òåêóùåãî âåêòîðà îöåíêè:
X
xn = 1d
j^ + i;
2 2 i 2f 1;+1gd n 1 n i
1 ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê p-ðàçðÿäíûå ÷èñëà. Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ óíèUf ê jxn ij0i ïîëó÷àåì
òàðíîãî îïåðàòîðà
Uf jxn ij0i = 1d
2
X
i 2f 1;+1gd
j^n 1 + n i ijf (^n 1 + n i )i:
Èç îáùèõ ñâîéñòâ ìîäåëè êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé ñëåäóåò, ÷òî ïîñëå èçìåðåíèÿ ïîëó÷åííîãî ñîñòîÿíèÿ, ñ âåðîÿòíîñòüþ
èç âåêòîðîâ âèäà
1
2d
áóäåò ïîëó÷åí îäèí
j^n 1 + n i ijf (^n 1 + n i )i; i 2 f 1; +1gd :
Èç ïåðâûõ
pd
ðàçðÿäîâ ýòîãî âåêòîðà ëåãêî ïîëó÷èòü ðåàëèçàöèþ âåê-
i . Ïî àëãîðèòìó (1) êîîðäèíàòû âåêòîi íàäî óìíîæèòü íà ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå ôóíêöèè ïîòåðü â
òîðà ñëó÷àéíîãî âîçìóùåíèÿ
ðà
âîçìóùåííîé òî÷êå, êîòîðîå çàïèñàíî â ïîñëåäíèõ
p ðàçðÿäàõ ïîëó÷åí-
íîãî ïîñëå èçìåðåíèÿ ðåçóëüòàòà.
213
7.
Î íåêîòîðûõ õàðàêòåðèñòèêàõ
êîìïüþòåðîâ íîâîãî ïîêîëåíèÿ
Çà áîëåå ÷åì ïÿòèäåñÿòèëåòíþþ èñòîðèþ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ êîìïüþòåðîâ îäíèì èç îñíîâíûõ ðàçî÷àðîâàíèé äëÿ ÷åëîâå÷åñòâà ñòàëà íåâîçìîæíîñòü ñîçäàíèÿ èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà. Íåñìîòðÿ íà âíóøèòåëüíûé ïðîãðåññ â ñôåðå ñîçäàíèÿ ìîùíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâ, ïîêà åùå íåëüçÿ ãîâîðèòü î äåòàëüíîì ïîíèìàíèè ýòîé
çàäà÷è èëè î íàïðàâëåíèÿõ èññëåäîâàíèé, êîòîðûå ìîãëè áû äàòü ðåçóëüòàò.
Áîëüøàÿ ÷àñòü ðàáîò ïî èñêóññòâåííîìó èíòåëëåêòó, èçâåñòíûõ àâòîðó, ïîñâÿùåíà ðåøåíèþ êîíêðåòíûõ çàäà÷, èëè ðåàëèçàöèÿì êàêèõ-ëèáî
ýâðèñòè÷åñêèõ ïîâåäåí÷åñêèõ àëãîðèòìîâ, ýôôåêòèâíî ñïðàâëÿþùèõñÿ
ñ òåñòîâûìè çàäàíèÿìè è òåðïÿùèõ êðàõ íà çàäà÷àõ ðåàëüíîãî ìèðà.
Ïåðåä òåì êàê ïåðåéòè ê äèñêóññèè î ïîäõîäàõ ê ñîçäàíèþ èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà, ñäåëàåì íåáîëüøîé îáçîð äîñòèæåíèé â ìàòåìàòèêå è èíôîðìàòèêå çà ïðîøåäøèé âåê, ÷òî ïîçâîëèò íàì ñ áîëüøèì
îïòèìèçìîì ñìîòðåòü íà âîçìîæíîñòü ðåøåíèÿ îáîçíà÷åííîé ïðîáëåìû
â áóäóùåì. Ïåðâûå êîìïüþòåðû áûëè ñïåöèàëèçèðîâàíû äëÿ ðåøåíèÿ
êîíêðåòíûõ çàäà÷. Ýòî îáîñíîâûâàëîñü ýêîíîìè÷åñêèìè ïðè÷èíàìè è
ñëàáîé ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé áàçîé. Çà êîðîòêîå âðåìÿ òåõíè÷åñêèé ïðîãðåññ ïîçâîëèë ñîçäàòü óíèâåðñàëüíûé êîìïüþòåð, à òåîðåòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ ïîçâîëèëè ýôôåêòèâíî ðåøàòü áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷. Îêîí÷àòåëüíî êîíöåïöèÿ óíèâåðñàëüíîãî ÿçûêà ïðîãðàììèðîâàíèÿ çàêðåïèëàñü â ñåðåäèíå ñåìèäåñÿòûõ, è ïîñëåäíèå òðè äåñÿòèëåòèÿ òåõíîëîãèÿ ïðîãðàììèðîâàíèÿ áóðíî ðàçâèâàëàñü. Íåñìîòðÿ íà
ýòî, îñòàëèñü çàäà÷è, ýôåêòèâíîå ðåøåíèå êîòîðûõ òðåáóåò íåâåðîÿòíûõ
âû÷èñëèòåëüíûõ ìîùíîñòåé (íàïðèìåð, îáðàùåíèå ìàòðèö, ôàêòîðèçàöèÿ áîëüøèõ ÷èñåë, ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå è Ëàïëàñà è ò. ä.). Ìíîãèå èç
íèõ ôîðìèðóþò ìèíèìàëüíóþ áàçó äëÿ ïîñòðîåíèÿ èíòåëëåêòóàëüíûõ
ñèñòåì.
Ñåãîäíÿ íàèëó÷øèé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ áûñòðûõ âû÷èñëèòåëüíûõ
óñòðîéñòâ çàêëþ÷àåòñÿ â îðãàíèçàöèè ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé äëÿ ïåðåðàáîòêè áîëüøèõ îáúåìîâ èíôîðìàöèè. Íàèáîëåå ïåðñïåêòèâíû çäåñü
äâà íàïðàâëåíèÿ. Ïåðâîå ñâÿçàíî ñ ñîçäàíèåì êëàññè÷åñêèõ ýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ, òàêèõ êàê VLSIC (Very Large Scale Integrated Circuits).
Íà äàííûé ìîìåíò äîñòóïíà òåõíîëîãèÿ 0.13 ìèêðîí, è àíîíñèðóåòñÿ
òåõíîëîãèÿ 0.11 ìèêðîí. Ïðîöåññîðû, ïîñòðîåííûå ïî ýòèì òåõíîëîãèÿì ñïîñîáíû îäíîâðåìåííî âûïîëíÿòü ñîòíè òûñÿ÷ îïåðàöèé. Êîìïàíèÿ
IBM îáúÿâèëà, ÷òî â òå÷åíèè íåñêîëüêèõ ëåò áóäåò ñîçäàíî óñòðîéñòâî,
âûïîëíÿþùåå îäíîâðåìåííî ìèëëèîí âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé. Òàêèå
âû÷èñëèòåëüíûå ìîùíîñòè ïîçâîëÿò áûñòðî îáðàùàòü ìàòðèöû áîëüøèõ
ðàçìåðîâ, ÷òî íåîáõîäèìî â çàäà÷àõ, ñâÿçàííûõ ñ ðàñïîçíàâàíèåì.
214
Âòîðîå, áîëåå ïåðñïåêòèâíîå íàïðàâëåíèå â ñîçäàíèè âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâ ñâÿçàíî ñ èñïîëüçîâàíèåì êâàíòîâûõ êîìïüþòåðîâ, îáñóæäàåìûõ ðàíåå â ýòîé ðàáîòå. Äëÿ ðåøåíèÿ îïðåäåëåííûõ âèäîâ çàäà÷
áóäóò ñîçäàâàòüñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ìîëåêóëû è êâàíòîâûå àëãîðèòìû.
Íåñìîòðÿ íà øèðîêóþ ðàñïðîñòðàíåííîñòü ñïåöèàëèçèðîâàííûõ ïàðàëëåëüíûõ ïðîöåññîðîâ ìíîãèå èññëåäîâàòåëè ñîãëàñíû ñ òåì, ÷òî ïîêà
åùå íå ðàçðàáîòàíà ìåòîäîëîãèÿ ñîçäàíèÿ àëãîðèòìîâ è óñòðîéñòâ äëÿ
ðåøåíèÿ çàäà÷ èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà [19]. Ðàçðàáîòêà ïîäîáíîé ìåòîäîëîãèè ïî âñåé âèäèìîñòè ñâÿçàíà ñ àíàëèçîì ðàçëè÷íûõ çàäà÷ ÈÈ,
âûÿâëåíèåì àíàëîãè÷íûõ ÷àñòåé è ñîçäàíèåì íîâîé ôîðìàëüíîé ëîãèêè,
àäàïòèðîâàííîé ïîä ýòè ÷àñòè.
 [20] áûë ïðåäëîæåí îäèí èç âîçìîæíûõ ïîäõîäîâ ê ñîçäàíèþ èíòåëëåêòóàëüíîé ñèñòåìû. Òåðìèí èíòåëëåêòóàëüíàÿ ïîäðàçóìåâàåò ñïîñîáíîñòü ñèñòåìû àäàïòèðîâàòüñÿ ê ìåíÿþùåìóñÿ îêðóæåíèþ ïîñðåäñòâîì âûáîðà çàäà÷è, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ðåøèòü â òåêóùèé ìîìåíò.
Òàêàÿ ñèñòåìà ìîæåò ñîñòîÿòü èç äâóõ ÷àñòåé: âíóòðåííåé è âíåøíåé,
ðåãóëèðóþùåé âçàèìîäåéñòâèå ñ âíåøíèì ìèðîì (äàò÷èêè, ñåíñîðû, ìàíèïóëÿòîðû, ãóñåíèöû, è ò. ä.). Âíóòðåííÿÿ ÷àñòü äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü
ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
äëÿ êàæäîé èç ðåøàåìûõ ñèñòåìîé çàäà÷ èìååòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåå
óñòðîéñòâî, ñïîñîáíîå îïòèìàëüíî ðåøàòü ýòó çàäà÷ó,
èíôîðìàöèÿ èç âíåøíåãî ìèðà ïîñòóïàåò íà âõîäû âñåõ óñòðîéñòâ
îäíîâðåìåííî.
Ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ óñëîâèé âñå óñòðîéñòâà áóäóò èíòåðïðåòèðîâàòü è
îáðàáàòûâàòü èíôîðìàöèþ èç ðåàëüíîãî ìèðà ïàðàëëåëüíî.
Ìîæíî âîîáðàçèòü ìíîæåñòâî ïóòåé ðåàëèçàöèè òàêîé ñèñòåìû. Äàëåå ìû ðàçáåðåì îäèí èç íèõ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì íóæíà ñèñòåìà,
ñïîñîáíàÿ ðåøàòü íåêîòîðîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî çàäà÷:
fA1 ; A2 ; : : : ; An g:
Çäåñü
n
1; 2; 3 èëè 100000; 1000000). Ïðåäñòàâèì,
íàòóðàëüíîå ÷èñëî (
÷òî íàøè óñòðîéñòâà ðåàëèçîâàíû â âèäå ìîëåêóë (êâàíòîâûõ êîìïüþòåðîâ), âçàèìîäåéñòâóþùèõ äðóã ñ äðóãîì è ñâåðíóòûõ, íàïðèìåð, â
ñïèðàëü èëè øàð îäíà çà äðóãîé
fD1 ; D2 ; : : : ; Dn g:
Ïîäîáíàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ ôîðìà ìîæåò îáëåã÷èòü îäíîâðåìåííîñòü
äëÿ âñåõ óñòðîéñòâ íåêîòîðîãî áèîëîãè÷åñêîãî èëè ôèçè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ. Ïîëîæèì, ÷òî ïîâåäåíèå êàæäîãî èç óñòðîéñòâ îïðåäåëÿåòñÿ åãî
215
âíóòðåííåé ñòðóêòóðîé, ïîòîêîì äàííûõ èç âíåøíåãî ìèðà è íåêîòîðûì
êîíå÷íûì íàáîðîì ïàðàìåòðîâ
i
èç ìíîæåñòâà
i
Di = Di (i ); i 2 i ; i = 1; 2; : : : ; n:
Âñå ïàðàìåòðû ñèñòåìû â ýòîì ñëó÷àå ìîãóò áûòü ïåðå÷èñëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:
0
1 1
B 2 C
B C
= B .. C ; 2 = 1 n :
@
.
n
A
Ýòà ñõåìà óäîâëåòâîðÿåò îáîèì ïåðå÷èñëåííûì âûøå óñëîâèåì.
Áîëåå ïðîñò â ðåàëèçàöèè âàðèàíò, â êîòîðîì êàæäîå èç óñòðîéñòâ
ïðåäñòàâëåíî îòäåëüíîé íåéðîííîé ñåòüþ. Òåîðåòè÷åñêèé àïïàðàò íåéðîííûõ ñåòåé óæå äîñòàòî÷íî ñèëüíî ïðîðàáîòàí (ïî ñðàâíåíèþ ñ êâàíòîâûìè êîìïüþòåðàìè), ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü ñòðîèòü ñèñòåìó èç ãîòîâûõ êèðïè÷èêîâ. Íåäîñòàòêîì òàêîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòü
ðàçìíîæåíèÿ âõîäíûõ äàííûõ äëÿ âñåõ óñòðîéñòâ ñèñòåìû.
Ïðèâåäåì äëÿ ïðèìåðà çàäà÷ó, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðîé ïîäîáíàÿ ñõåìà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïîäõîäÿùåé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó íàñ åñòü íàáîð
óñòðîéñòâ, ñïîñîáíûõ ðàñïîçíàâàòü îïðåäåëåííûå âèäû èçîáðàæåíèé (êàæäîå èç óñòðîéñòâ íàñòðîåíî íà êàêîé-ëèáî êîíêðåòíûé îáúåêò). Âñå ýòè
óñòðîéñòâà ïîëó÷àþò â ðåàëüíîì âðåìåíè èçîáðàæåíèå ñ íåêîòîðîé öèôðîâîé êàìåðû.  êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè òîëüêî îäíî èç óñòðîéñòâ, îáúÿâèâøåå ñåáÿ ãëàâíûì, ìîæåò óïðàâëÿòü êàìåðîé. Ñóùåñòâóåò òàêæå îäíî óñòðîéñòâî, óïðàâëÿþùåå êàìåðîé â ñëó÷àÿõ, êîãäà íèêòî íå îáúÿâèë
ñåáÿ ãëàâíûì. Îíî ìîæåò äåéñòâîâàòü ïî êàêîìó-íèáóäü ïðîñòîìó àëãîðèòìó íàïðèìåð îñìàòðèâàòüñÿ èëè ñêàíèðîâàòü íåêîòîðûé âàæíûé
ó÷àñòîê, â êîòîðîì îæèäàåòñÿ ïîÿâëåíèå îáúåêòîâ. Êàðòèíêà ñ êàìåðû
ïîñòîÿííî ïîäàåòñÿ íà âõîäû âñåõ ðàñïîçíàâàòåëåé, è òå â ñâîþ î÷åðåäü
ïûòàþòñÿ ðàñïîçíàòü â íåé ñâîé îáúåêò. Ðåçóëüòàòîì èõ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíü ñîâïàäåíèÿ â ïðîöåíòàõ (íàïðèìåð, îáúåêò ÿâëÿåòñÿ êîøêîé
ñ âåðîÿòíîñòüþ 75%). Åñëè ó êàêîãî-òî èç óñòðîéñòâ ñòåïåíü äîñòîâåðíîñòè ïðåâûñèëà íåêèé çàðàíåå óñòàíîâëåííûé ïîðîã (íàïðèìåð, 90%),
òî ýòî óñòðîéñòâî îáúÿâëÿåò ñåáÿ ãëàâíûì è áåðåò íà ñåáÿ óïðàâëåíèå
êàìåðîé äëÿ áîëåå äåòàëüíîãî èçó÷åíèÿ îáúåêòà èëè ñëåæåíèÿ çà íèì.
Çäåñü ìû ïîäîøëè ê îäíîé èç ñàìûõ âàæíûõ êîíöåïöèé ïðåäëàãàåìîãî ðåøåíèÿ ïîíÿòèþ èíôîðìàöèîííîãî ðåçîíàíñà [20]. Îïðåäåëèì ýòî
ñëåäóþùèì îáðàçîì óñòðîéñòâî âõîäèò â ðåçîíàíñ ñ âõîäíûìè äàííûìè, åñëè îíî ðàñïîçíàëî â íèõ êîððåêòíûå âõîäíûå ïàðàìåòðû è ìîæåò
óñïåøíî ðåøàòü çàäà÷ó. Â íàøåé ñèñòåìå íåèçáåæíî áóäóò âîçíèêàòü òðè
ñèòóàöèè:
216
â ðåçîíàíñ âîøëî òîëüêî îäíî óñòðîéñòâî,
â ðåçîíàíñ âîøëè íåñêîëüêî óñòðîéñòâ,
íè îäíî èç óñòðîéñòâ íå âîøëî â ðåçîíàíñ.
Ïåðâûé ñëó÷àé óæå áûë îïèñàí ðàíåå. Âî âòîðîì ìîæíî âûáðàòü ãëàâíîå óñòðîéñòâî ïî êàêèì-ëèáî ïîêàçàòåëÿì ñèëû (êà÷åñòâà) ðåçîíàíñà (â
ïîñëåäíåì ïðèìåðå ïî âåëè÷èíå ïîêàçàòåëÿ äîñòîâåðíîñòè ðàñïîçíàâàíèÿ). Òðåòèé ñëó÷àé íàèáîëåå èíòåðåñåí. Îí ìîæåò íàïðèìåð îçíà÷àòü,
÷òî ïàðàìåòðû óñòðîéñòâ íàäî íàñòðîèòü äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåçîíàíñà, ÷òî
ñòàâèò ïåðåä íàìè çàäà÷ó ìíîãîìåðíîé îïòèìèçàöèè:
f ( ) = 1
max(probi (i )) ! min :
 äàííîì ñëó÷àå ìèíèìóì ôóíêöèè ïîòåðü äîñòèãàåòñÿ â òîì ñëó÷àå,
êîãäà äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå êà÷åñòâî ðàñïîçíàâàíèÿ íà
îäíîì èç óñòðîéñòâ. Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ïðåäëàãàåòñÿ
ðàññìîòðåííûé âûøå â ýòîé ñòàòüå ðàíäîìèçèðîâàííûé àëãîðèòì ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè, êîòîðûé, êàê ìû âèäåëè õîðîøî ëîæèòñÿ íà
ëîãèêó êâàíòîâûõ âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâ è ïî ìíîãèì ïàðàìåòðàì
ïðåäïî÷òèòåëüíåå äðóãèõ ïîäîáíûõ àëãîðèòìîâ äëÿ îïòèìèçàöèè ñèñòåì
â ðåàëüíîì âðåìåíè.
Ðàññìîòðèì ïðèìåð èíòåëëåêòóàëüíîé ñèñòåìû, ðàáîòàþùåé íà ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ïðèíöèïàõ. Ïðåäñòàâèì ñåáå ðîáîòà, âçàèìîäåéñòâóþùåãî ñ ðåàëüíûì ìèðîì ÷åðåç ñòàíäàðòíûå óñòðîéñòâà äàò÷èêè, êàìåðû, ìèêðîôîíû, ðàäèîëîêàòîðû, ãóñåíèöû, ùóïàëüöà, è ò. ä. Öåíòðàëüíûé êîìïüþòåð íàøåãî ðîáîòà ñîñòîèò èç òûñÿ÷ óñòðîéñòâ, îáðàáàòûâàþùèõ îäíè è òå æå äàííûå, ïîñòóïàþùèå èç âíåøíåãî ìèðà, è ñîçäàþùèõ âíóòðåííåå ïðåäñòàâëåíèå ìèðà â ìîçãó ðîáîòà. Ýòî âíóòðåííåå
ïðåäñòàâëåíèå ïî î÷åâèäíûì ïðè÷èíàì áóäåò ñîçäàâàòüñÿ ñ ïîìåõàìè è
ïîñòîÿííî êîððåêòèðîâàòüñÿ.
Öåíòðàëüíûé êîìïüþòåð èñïîëüçóåò ñîçäàííîå ïðåäñòàâëåíèå ìèðà äëÿ ðàñ÷åòà îïòèìàëüíîé òðàåêòîðèè, ïîçâîëÿþùåé ðîáîòó èçáåæàòü
îïàñíîñòåé è âûïîëíèòü ïîñòàâëåííîå çàäàíèå. Ôóíêöèîíèðîâàíèå ðîáîòà â ïîäîáíûõ óñëîâèÿõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê îäíîâðåìåííîå âûïîëíåíèå íåñêîëüêèõ ïàðàëëåëüíûõ çàäà÷, êîíòðîëèðóåìûõ ðàçíûìè óñòðîéñòâàìè â öåíòðàëüíîì êîìïüþòåðå. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî åñëè ðåçîíàíñíûå óñòðîéñòâà íå êîíêóðèðóþò çà îáùèé ðåñóðñ (êàìåðó, ðóêó è ò. ä.),
òî íåò íåîáõîäèìîñòè âûáèðàòü èç íèõ ãëàâíîå.
Ðàáîòà âñåõ óñòðîéñòâ ðîáîòà (â òîì ÷èñëå è âû÷èñëèòåëüíûõ) ðåãóëèðóåòñÿ âåêòîðîì ïàðàìåòðîâ, ðàçìåðíîñòü êîòîðîãî ìîæåò áûòü î÷åíü
áîëüøîé. Ïîèñê îïòèìàëüíûõ çíà÷åíèé ýòèõ ïàðàìåòðîâ âîçìîæåí òîëüêî ïîñëå ïîñòàíîâêè çàäà÷è, âêëþ÷àþùåé â ñåáÿ îïðåäåëåíèå ôóíêöèîíàëà êà÷åñòâà.  äàííîì ñëó÷àå ôóíêöèîíàë êà÷åñòâà áóäåò îöåíèâàòüñÿ
217
öåíòðàëüíûì êîìïüþòåðîì. Îñíîâíûå âîçìîæíûå êðèòåðèè ñîîòâåòñâèå âíóòðåííåé êàðòèíû ìèðà ðåàëüíûì óñëîâèÿì (÷èñëî êîððåêöèé),
÷èñëî è êà÷åñòâî èíôîðìàöèîííûõ ðåçîíàíñîâ, è ò. ä. Íàñòðîéêó ïàðàìåòðà ñ âûñîêîé ðàçìåðíîñòüþ óäîáíåå âñåãî ïðîèçâîäèòü îïèñàííûì
âûøå ìåòîäîì.
8.
Çàêëþ÷åíèå
Íà äàííûé ìîìåíò ðàçðàáîòàíî äîñòàòî÷íî ìíîãî èòåðàòèâíûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ îïòèìèçàöèè. Ñðåäè íèõ åñòü äåòåðìèíèðîâàííûå
è ñòîõàñòè÷åñêèå. Ìåòîä, îáñóæäàåìûé â äàííîé ðàáîòå èìååò ïî ñðàâíåíèþ ñ íèìè îäíî íåñîìíåííîå ïðåèìóùåñòâî íà êàæäîé èòåðàöèè
íåîáõîäèìî ëèøü îäíî èçìåðåíèå ôóíêöèè ïîòåðü. Ïðè ýòîì åäèíñòâåííûì óñëîâèåì íà ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ïîìåõ â èçìåðåíèè ÿâëÿåòñÿ
èõ íåçàâèñèìîñòü ñ ïðîáíûì îäíîâðåìåííûì âîçìóùåíèåì.
Îòìåòèì, ÷òî â çàäà÷àõ, ïðåäïîëàãàþùèõ âîçìîæíîñòü íåñêîëüêî ðàç
èçìåðÿòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ïîòåðü íà èòåðàöèè, ïðåäïî÷òèòåëüíåå èñïîëüçîâàòü àëãîðèòìû, ðåàëèçóþùèå ýòî ïðåèìóùåñòâî (íàïðèìåð, ðàíäîìèçèðîâàííûå àëãîðèòìû ñ äâóìÿ è áîëåå èçìåðåíèÿìè), òàê êàê îíè
ñõîäÿòñÿ ê òî÷êå ìèíèìóìà áûñòðåå. Òåì íå ìåíåå, ñóùåñòâóåò êëàññ çàäà÷, â êîòîðûõ ìåòîä ñ îäíèì èçìåðåíèåì ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé àëüòåðíàòèâîé, ÷òî äåëàåò àêòóàëüíûì èçó÷åíèå ãðàíèö åãî ïðèìåíèìîñòè.
Ïðåäëàãàåìîå ðåøåíèå çàäà÷è ñîçäàíèÿ èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà
áàçèðóåòñÿ íà ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî â áëèæàéøåì áóäóùåì ñòàíåò âîçìîæíî îðãàíèçîâûâàòü òûñÿ÷è óñòðîéñòâ äëÿ ïàðàëëåëüíîé ðàáîòû. Ýòî
ïðåäïîëîæåíèå îáîñíîâûâàåòñÿ ïîñëåäíèìè ñåðüåçíûìè ïðîäâèæåíèÿìè
â ñîçäàíèè êâàíòîâîãî è ÄÍÊ êîìïüþòåðîâ. Ïðåäñòàâëÿåòñÿ î÷åâèäíûì,
÷òî áóäóùåå èíôîðìàòèêè ñâÿçàíî èìåííî ñ ïàðàëëåëüíûìè âû÷èñëåíèÿìè, òåõíîëîãèÿìè, ïîçâîëÿþùèìè èõ îðãàíèçîâûâàòü è ìåòîäàìè, ñïîñîáíûìè äàâàòü ðåçóëüòàò â æåñòêèõ óñëîâèÿõ ðåàëüíîãî âðåìåíè.
9.
Ïðèëîæåíèå
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1.
Ðàññìîòðèì àëãîðèòì (1). Èñïîëüçóÿ
ñâîéñòâà âûáðàííîé ôóíêöèè Ëÿïóíîâà è òåîðåìó Ëàãðàíæà î ñðåäíåì,
íåòðóäíî ïîëó÷èòü
V (^n ) V (^n 1 )
n hrV (^ ); y i + n ky k :
n 1
n n
n
n n
Ïðèìåíèâ ê ïîëó÷åííîìó âûðàæåíèþ îïåðàöèþ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îòíîñèòåëüíî
-àëãåáðû Fn , èìååì
E fV (^n )jFn g V (^n 1 )
218
n hrV (^ ); E f F (^ + ; w ) + v jF gi+
n 1
n
n 1
n n n
n n n
n
+ nn E fkyn k jFn g = V (^n 1 ) n hrV (^n 1 ); E fr F (^n 1 ; wn )jFn gi
n hrV (^n 1 ); E fr F (^n 1 + Æ n ; wn ) r F (^n 1 ; wn )jFn gi+
+ nn E fkyn k jFn g V (^n 1 ) n hrV (^n 1 ); rf (^n 1 )i+
+n n M krV (^n 1 )k + nn E fkyn k jFn g V (^n 1 ) n hrV (^n 1 ); rf (^n 1 )i + Mdn 1 n n + nn E fkyn k jFn g:
Çäåñü Æ 2 [0; n ] ìíîæèòåëü èç òåîðåìû Ëàãðàíæà. Âîñïîëüçîâàâøèñü
óñëîâèåì
(A.1),
ïîëó÷àåì
E fV (n+1 )jFn g V (^n 1 ) n V (^n 1 )+
+Mdn 1 n n + nn E fkF (^n 1 + n n ; wn ) + vn k jFn g:
1 (x + y ) ê ïîñëåäÏðèìåíèâ óñëîâèå (A.2) è íåðàâåíñòâî (x + y ) 2
íåìó ÷ëåíó â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà, âûâîäèì
n E fkF (^n 1 + n n ; wn ) + vn k jFn g = n E fkF (? ; wn )+
n
n
+hrF (? + Æ1 (n + n n ? ); wn ); n + n n ? i + vn k jFn g ?
2 1 nn n + 22 2 nn max
W kF ( ; w)k +
+22 2 nn M kn + n n ? k2 ?
3 2
4
cn n + 2 1 cn max
W kF ( ; w)k + 2 cn M dn V (n ) + 2
3 n n M :
ln = E fV (^n )g, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâà
Âçÿâ áåçóñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îò ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà è, îáîçíà÷èâ
ln ln 1 (1 n ) + n ;
èç âûïîëíåíèÿ êîòîðûõ è êîíêðåòíûõ óñëîâèé òåîðåìû 1 âñå åå óòâåðæäåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî âûâîäÿòñÿ èç ñîîòâåòñòâóþùèõ óòâåðæäåíèé [21].
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 çàêîí÷åíî.
219
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1.
Kiefer J., Wolfowitz J.
Statistical estimation on the maximum of a
regression function // Ann. Math. Statist. 1952. Vol. 23. P. 462466.
2.
Ãðàíè÷èí Î. Í.
Ñòîõàñòè÷åñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ñ âîçìóùåíèåì íà
âõîäå ïðè çàâèñèìûõ ïîìåõàõ íàáëþäåíèÿ // Âåñòí. ËÃÓ. 1989.
Ñåð. 1. Âûï. 4. Ñ. 2731.
3.
Ïîëÿê Á. Ò., Öûáàêîâ À. Á. Îïòèìàëüíûå ïîðÿäêè òî÷íîñòè ïîèñêîâûõ àëãîðèòìîâ ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè // Ïðîáë. ïåðåäà÷è èíôîðì. 1990.  2. C.
4.
4553.
Polyak Â. Ò., Tsybakov A. Â. On stochastic approximation with arbitrary
noise (the KW case) // In: Topics in Nonparametric Estimation,
R. Z. Khasminskii ed., Advances in Soviet Mathematics. Amer. Math.
Soc., Providence. 1992.  12. Ð.
Spall J. C.
5.
107113.
A onemeasurement form of simultaneous perturbation
stochastic approximation // Automatica. 1997. 33. P. 109112.
6.
Ãðàíè÷èí Î.Í.
Ïðîöåäóðà ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè ñ âîçìó-
ùåíèåì íà âõîäå // ÀèÒ. 1992.  2. Ñ. 97104.
7.
Ãðàíè÷èí Î. Í. Îöåíèâàíèå òî÷êè ìèíèìóìà íåèçâåñòíîé ôóíêöèè,
íàáëþäàåìîé íà ôîíå çàâèñèìûõ ïîìåõ // Ïðîáë. ïåðåäà÷è èíôîðì.. 1992.  2. Ñ. 1620.
Chen H. F., Duncan T. E., PasikDuncan B.
8.
A KieferWolfowitz
Algorithm with Randomized Differences// IEEE Trans. on Automat.
Control. 1999. Vol. 44.  3. P. 442453.
9.
Ãðàíè÷èí Î. Í.
Îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ ëèíåéíîé ðåãðåññèè ïðè
ïðîèçâîëüíûõ ïîìåõàõ // ÀèÒ. 2002.  1. Ñ. 3041 .
10.
Ãðàíè÷èí Î. Í. Ðàíäîìèçèðîâàííûå àëãîðèòìû ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè ïðè ïðîèçâîëüíûõ ïîìåõàõ // ÀèÒ. 2002.  2. Ñ. 44
55 .
11.
Ãðàíè÷èí Î. Í.
Îïòèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ðàíäîìèçèðî-
âàííûõ àëãîðèòìîâ ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè ïðè ïðîèçâîëüíûõ ïîìåõàõ // ÀèÒ. 2003. 2. C. 8899.
12.
Ãðàíè÷èí Î. Í., Ïîëÿê
Á. Ò.
Ðàíäîìèçèðîâàííûå àëãîðèòìû
îöåíèâàíèÿ è îïòèìèçàöèè ïðè ïî÷òè ïðîèçâîëüíûõ ïîìåõàõ. Ì.:
Hàóêà, 2003. 291 ñ.
13.
Ljung L., Guo L.
The Role of Model Validation for Assessing the Size
of the Unmodeled Dynamics // IEEE Trans. on Automat. Control.
1997. Vol. 42.  9. P. 12301239.
220
14.
Ãðàíè÷èí Î. Í.
Íåìèíèìàêñíàÿ ôèëüòðàöèÿ ïðè íåèçâåñòíûõ
îãðàíè÷åííûõ ïîìåõàõ â íàáëþäåíèÿõ // ÀèÒ. 2002.  9. C. 125
133.
15.
Granichin O. N.
Linear regression and filtering under nonstandard
assumptions (Arbitrary noise) // IEEE Trans. on Automatic Control.
2004. Vol. 49.  10. P. 18301835.
16. http://domino.research.ibm.com/ comm/pr.nsf/pages/
rsc.quantum.html?Open&printable
17.
Ôàääååâ Ë. Ä., ßêóáîâñêèé Î. À.
Ëåêöèè ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå
äëÿ ñòóäåíòîâ-ìàòåìàòèêîâ. Èçä-âî ÐÕÄ. 2001.
18.
Shor P. W.
Quantum computing // Proc. 9-th Int. Math. Congress.
Berlin. 1998.
www.math.nine.edu/documenta/xvol-icm/Fields/Fields.html
19.
Âëàäèìèðîâè÷ À. Ã., Ãðàíè÷èí Î. Í., Ìàêàðîâ À. À.
Íåñòàíäàðò-
íàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà //  ñá. Ñòîõàñòè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ â
èíôîðìàòèêå, ïîä ðåä. Î. Í. Ãðàíè÷èíà. Èçä-âî Ñ.-Ïåòåðá. óí-òà.
2005. Ñ. 2947.
20.
Granichin O. N., Sysoev S. S. About some characteristics of computers
of new generation // In: Proc. of the Int.Conference Phisycs and
Control. St. Petersburg. Russia. 2003. Vol. 3. P. 804807.
21.
Ïîëÿê Á. Ò.
Ñõîäèìîñòü è ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè èòåðàòèâíûõ ñòî-
õàñòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ. 1. Îáùèé ñëó÷àé. // ÀèÒ. 1976.  12.
Ñ. 8394.
221