Л. Н. Ромакина ДЛИНА ДУГИ ОРИЦИКЛА НА

ïî Ïàðåòî ñ ìíîæåñòâîì êðèòåðèåâ (Hsk )k=1,...,r , ãäå r ÷èñëî ìàæîðàíòíî ñòàáèëüíûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà êðèòåðèåâ J îòíîñèòåëüíî ïîðÿäêà ω .
ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ
1. Ðîçåí Â. Â. Ïðèíÿòèå ðåøåíèé ïî êà÷åñòâåííûì êðèòåðèÿì. Ìàòåìàòè÷åñêèå
ìîäåëè. Saarbrucken : Palmarium Academic Publishing, 2013. 284 ñ.
ÓÄÊ 514.133
Ë. Í. Ðîìàêèíà
ÄËÈÍÀ ÄÓÃÈ ÎÐÈÖÈÊËÀ
ÍÀ ÃÈÏÅÐÁÎËÈ×ÅÑÊÎÉ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÎÉ ÊÐÈÂÈÇÍÛ
b ïîëîæèòåëüíîé êðèâèç ãåîìåòðèè ãèïåðáîëè÷åñêîé ïëîñêîñòè H
íû [1] ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ âûðàæåíèÿ äëèíû äóãè îðèöèêëà ÷åðåç
äëèíó ñòÿãèâàþùåé åå õîðäû. Ïîêàçàíî, ÷òî äëèíà äóãè îðèöèêëà, ñòÿãèâàåìîé ïàðàáîëè÷åñêîé õîðäîé, ðàâíà äâóì ðàäèóñàì êðèâèçíû ïëîñb.
êîñòè H
b äåéñòâèòåëüíîãî ðàäèóñà êðèâèçíû ρ
Òåîðåìà. Íà ïëîñêîñòè H
äëèíà l äóãè îðèöèêëà, ñòÿãèâàåìîé ýëëèïòè÷åñêîé (ãèïåðáîëè÷åñêîé)
õîðäîé äëèíîé a, ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå
a
l = 2ρ sin
2ρ
a
l = 2ρ ch
,
2ρ
(1)
äëèíà äóãè îðèöèêëà, ñòÿãèâàåìîé ïàðàáîëè÷åñêîé õîðäîé, ðàâíà 2ρ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ξ íàïðàâëåíèå îáõîäà àáñîëþòíîé ëèíèè γ
b , îïðåäåëÿþùåå íà H
b îðèåíòàöèþ â ñåìåéñòâå ðåïåðîâ âòîïëîñêîñòè H
b ñ öåíòðîì â òî÷ðîãî òèïà (ñì. [2, ï. 3.4.1]), ω îðèöèêë ïëîñêîñòè H
êå K , OM õîðäà îðèöèêëà ω . Âûáåðåì ïðàâûé êàíîíè÷åñêèé ðåïåð
R = {K, A2 , A3 , E} âòîðîãî òèïà òàê, ÷òîáû âåðøèíà A2 ëåæàëà íà ïðÿìîé OK : γ ∪ OK = A2 , A2 6= K ; âåðøèíà A3 áûëà ïîëþñîì ïðÿìîé OK
îòíîñèòåëüíî γ ; òî÷êà E ëåæàëà íà êàñàòåëüíîé OE ê àáñîëþòó. Ïîñêîëüêó ðåïåð R ïðàâûé, òî íàïðàâëåíèå îáõîäà äóãè KEA2 ñîâïàäàåò
ñ íàïðàâëåíèåì ξ .
Êîîðäèíàòû óêàçàííûõ òî÷åê â ðåïåðå R èìåþò âèä
K (1 : 0 : 0), A2 (0 : 1 : 0), A3 (0 : 0 : 1), E (1 : 1 : 1), O (1 : −1 : 0), (2)
58
à îðèöèêë ω çàäàí óðàâíåíèåì
x22 + x1 x2 − x23 = 0.
(3)
Ïðèñîåäèíèì ê ðåïåðó R îðòîãîíàëüíóþ îðèöèêëè÷åñêóþ ñèñòåìó
êîîðäèíàò Co ñ íóëåâûì îðèöèêëîì ω è íà÷àëîì O [3].  ñèñòåìå Co
b èìååò êîîðäèíàòû (u; v), îïðåäåëåííûå
êàæäàÿ òî÷êà X ïëîñêîñòè H
ðàâåíñòâàìè
vρ = δ|XX1 |,
u = ((KX)(KE)(KO)(KA3 )),
(4)
ãäå X1 òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé XK ñ îðèöèêëîì ω ; δ = 1 (δ = −1),
åñëè òî÷êà X íå ïðèíàäëåæèò (ïðèíàäëåæèò) ëó÷ó X1 K .
Çàïèñûâàÿ ðàâåíñòâà (4) â êîîðäèíàòàõ (2) äëÿ òî÷êè M , ïîëó÷èì
ñâÿçü åå êîîðäèíàò (m1 : m2 : m3 ) â ðåïåðå R ñ êîîðäèíàòàìè (u; v) â
ñèñòåìå Co : m3 = um2 , v = 0. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî M ïðèíàäëåæèò îðèöèêëó (3), âûðàçèì ÷åðåç u êîîðäèíàòû äàííîé òî÷êè â ðåïåðå R:
M u2 − 1 : 1 : u .
(5)
b â ñèñòåìå Co ñ åå ñîáñòâåíÑâÿçü êîîðäèíàò (u; v) òî÷êè ïëîñêîñòè H
íûìè êîîðäèíàòàìè (x̄1 : x̄2 : x̄3 ) â ðåïåðå R óñòàíàâëèâàþò ôîðìóëû (1)
èç [3]:
x̄1 = ρ u2 ev − e−v ,
x̄2 = ρev ,
x̄3 = ρuev .
Ñëåäîâàòåëüíî, äëèíà l äóãè OM ìåæäó òî÷êàìè O (0; 0) è M (u; 0)
íà êîîðäèíàòíîé ëèíèè ω (v = 0) ñèñòåìû Co îïðåäåëåíà ôîðìóëîé
Z
l=ρ
u
du = ρu.
(6)
0
Ðàññìîòðèì âñå âîçìîæíûå ñëó÷àè äëÿ õîðäû OM .
1. Õîðäà OM ïðèíàäëåæèò ýëëèïòè÷åñêîé ïðÿìîé.
 ýòîì ñëó÷àå, ïðèìåíÿÿ êîîðäèíàòû òî÷åê O è M èç (2) è (5), ïî
ïåðâîé ôîðìóëå (4.33) èç [1] íàõîäèì
|OM |
2 − u2
cos
=
,
ρ
2
= ±1.
(7)
Îïðåäåëèì ÷èñëî â âûðàæåíèè (7).
Ïîëÿðà òî÷êè O îòíîñèòåëüíî àáñîëþòà çàäàíà â ðåïåðå R êîîðäèíàòàìè (1 : −1 : 0) è ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ OM (1 : 1 : −u) â òî÷êå
O∗ (u : u : 2), óäàëåííîé îò O íà ðàññòîÿíèå πρ/2. Òî÷êà Q ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ OM è KA3 (0 : 1 : 0) çàäàíà â R êîîðäèíàòàìè (u : 0 : 1)
59
è ÿâëÿåòñÿ âíåøíåé îòíîñèòåëüíî ω , ïîñêîëüêó ëåæèò íà åãî êàñàòåëüíîé KA3 .
Íàñ èíòåðåñóåò äëèíà a âíóòðåííåé ýëëèïòè÷åñêîé õîðäû OM îðèöèêëà ω . Äàííàÿ õîðäà OM ÿâëÿåòñÿ êîðîòêèì (äëèííûì) îòðåçêîì ýëëèïòè÷åñêîé ïðÿìîé (ñì. [1, ï. 4.2.2]) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà íå
ñîäåðæèò (ñîäåðæèò) òî÷êó O∗ , ò. å. òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (OM O∗ Q) > 0 ((OM O∗ Q) < 0), èìåþùåå â êîîðäèíàòàõ âèä
2
>0
2 − u2
2
<0 .
2 − u2
(8)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ÷èñëà a âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
πρ
⇐⇒ 2 − u2 > 0
a<
2
πρ
2
a>
⇐⇒ 2 − u < 0 .
2
(9)
Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèÿì (9) â âûðàæåíèè (7) = 1. Ïîýòîìó
u = 2 sin
a
.
2ρ
(10)
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå u èç (10) â (6), ïîëó÷èì ïåðâóþ ôîðìóëó èç (1).
2. Õîðäà OM ïðèíàäëåæèò ãèïåðáîëè÷åñêîé ïðÿìîé.
Äëÿ êîîðäèíàò (1 : 1 : −u) ãèïåðáîëè÷åñêîé ïðÿìîé OM ñîãëàñíî
ïåðâîìó òðåáîâàíèþ (4.9) èç [1] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî 4 − u2 < 0,
à ñëåäîâàòåëüíî, è íåðàâåíñòâî 2 − u2 < 0. Ïîýòîìó ïî âòîðîé ôîðìóëå (4.33) èç [1] äëèíà a ãèïåðáîëè÷åñêîé õîðäû OM óäîâëåòâîðÿåò
âûðàæåíèþ
ch
a u2 − 2
=
.
ρ
2
Îòêóäà
u = 2 ch
a
.
2ρ
(11)
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå u èç (11) â (6), ïîëó÷èì âòîðóþ ôîðìóëó èç (1).
3. Õîðäà OM ïðèíàäëåæèò ïàðàáîëè÷åñêîé ïðÿìîé.
Îòëè÷íóþ îò K òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé KE ñ îðèöèêëîì ω îáîçíà÷èì T . Ïîñêîëüêó â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå òî÷êà M ïðèíàäëåæèò
ïàðàáîëè÷åñêîé ïðÿìîé OE , ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî îñè KE îðèöèêëà ω , òî õîðäû OT è M T ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî KE è ÿâëÿþòñÿ
ýëëèïòè÷åñêèìè.
Ïî òåîðåìå 2.4.27 èç [2] äëèíà a êàæäîé èç õîðä OT è M T ðàâíà πρ/3.
Ïðèìåíÿÿ äàííîå çíà÷åíèå a è äîêàçàííóþ â ï. 1 ïåðâóþ ôîðìóëó èç (1),
60
íàéäåì äëèíó l (OT ) äóãè OT : l (OT ) = ρ. Ïîñêîëüêó êîíãðóýíòíûå õîðäû îðèöèêëà ñòÿãèâàþò åãî êîíãðóýíòíûå äóãè, òî äëèíà l äóãè OM
îðèöèêëà ω , ñòÿãèâàåìîé ïàðàáîëè÷åñêîé õîðäîé OM , ðàâíà 2ρ.
Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî çàêëþ÷èòåëüíîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
b , ñòÿãèâàåìóþ ïàðàáîëè÷åñêîé õîðäîé,
Äóãó îðèöèêëà ïëîñêîñòè H
íàçîâåì ïàðàáîëè÷åñêîé, à åå ïîëîâèíó åäèíè÷íîé äóãîé îðèöèêëà.
b ïàðàáîëè÷åñêóþ è åäèÑîãëàñíî äîêàçàííîé òåîðåìå íà ïëîñêîñòè H
íè÷íóþ äóãè îðèöèêëà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåêîòîðûé ýòàëîí èçìåðåíèÿ äóã îðèöèêëîâ.
ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ
1. Ðîìàêèíà Ë. Í. Îðòîãîíàëüíàÿ îðèöèêëè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ãèïåðáîëè÷åñêîé ïëîñêîñòè ïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû // Äíè ãåîìåòðèè â Íîâîñèáèðñêå,
2013 : òåç. äîêë. Ìåæäóíàð. êîíô. Íîâîñèáèðñê : Èí-ò ìàòåìàòèêè èì. Ñ. Ë. Ñîáîëåâà
ÑÎ ÐÀÍ, 2013. Ñ. 74, 75.
2. Ðîìàêèíà Ë. Í. Ãåîìåòðèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé ïëîñêîñòè ïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû : â 4 ÷. ×. 1 : Òðèãîíîìåòðèÿ. Ñàðàòîâ : Èçä-âî Ñàðàò. óí-òà, 2013. 244 ñ.
3. Ðîìàêèíà Ë. Í. Ãåîìåòðèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé ïëîñêîñòè ïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû : â 4 ÷. ×. 2 : Ïðåîáðàçîâàíèÿ è ïðîñòûå ðàçáèåíèÿ. Ñàðàòîâ : Èçä-âî Ñàðàò.
óí-òà, 2013. 274 ñ.
ÓÄÊ 517.518.82
Ð. Î. Ðîìàíîâ, Ñ. È. Äóäîâ
Î ÂÍÅØÍÅÉ ÎÖÅÍÊÅ ÑÅÃÌÅÍÒÍÎÉ ÔÓÍÊÖÈÈ
ÏÎËÈÍÎÌÈÀËÜÍÎÉ ÏÎËÎÑÎÉ
1. Ïóñòü ñåãìåíòíàÿ ôóíêöèÿ F (t) = [f1 (t), f2 (t)] çàäàíà íà êîìïàêò-
íîì ìíîæåñòâå T âåùåñòâåííîé îñè ôóíêöèÿìè f1 (t) è f2 (t), ïðè÷åì
f1 (t) ≤ f2 (t) äëÿ âñåõ t ∈ T . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Pn (A, t) = a0 + a1 t+
+ · · · + an tn àëãåáðàè÷åñêèé ïîëèíîì ôèêñèðîâàííîé ñòåïåíè n è âåêòîðîì êîýôôèöèåíòîâ A = (a0 , a1 , . . . , an ) ∈ Rn+1 .
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó
ϕ(A, r) ≡ max max [Pn (A, t) − f2 (t) + r, f1 (t) − Pn (A, t) + r] → min ,
t∈T
(A,r)∈D
n+1
D = {(A, r) ∈ R
× R+ : ψ(A, r) ≡
≡ max max{[Pn (A, t) − f1 (t) − r, f2 (t) − Pn (A, t) − r] ≤ 0}}.
(1)
t∈T
Ïîä ïîëèíîìèàëüíîé ïîëîñîé ñ îñüþ, çàäàâàåìîé ãðàôèêîì ïîëèíîìà Pn (A, t), è øèðèíîé 2r áóäåì ïîíèìàòü ãðàôèê ñåãìåíòíîé ôóíêöèè
61