13-Электромагнитные волны

Электромагнитные волны
Примеры решения задач
Пример 1.
Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых металлических дисков, пространство между которыми заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε. Расстояние между внутренними поверхностями дисков равно d. Между
обкладками конденсатора поддерживается переменное напряжение U = U m sin ωt .
r
Пренебрегая краевыми эффектами, найдите магнитное поле H в пространстве между
обкладками конденсатора.
Решение.
Воспользуемся теоремой о циркуляr
ции вектора H с учетом тока смещения:
r
r r
⎛ r ∂D ⎞ r
∫L Hdl = ∫S ⎜⎜ j + ∂t ⎟⎟dS ,
⎝
⎠
d
где L - замкнутый контур, S - поверхность
r
ограниченная этим контуром, j - плотность
Замкнутый контур L –
окружность радиуса r
r
тока проводимости, ∂D / ∂t - плотность тока
r
r r
r r
r
смещения, D = εε 0 E , E - вектор напряженности электрического поля, H = B / μμ 0 , B вектор индукции магнитного поля. В качестве контура L выберем окружность радиуса r ,
центр которой лежит на оси системы между металлическими дисками. Будем считать, что
r < R , где R - радиус дисков. В качестве поверхности S выберем плоскую поверхность,
ограниченную контуром L , то есть круг радиуса r .
Плотность тока проводимости во всех точках этой поверхности равна нулю
r
r
( j = 0 ), а вектор напряженности E перпендикулярен этой поверхности, причем E = U / d .
Поэтому поверхностный интеграл в теореме о циркуляции равен
r
⎛ r ∂D ⎞ r
εε 0
εε 0
⎜
⎟
j
+
d
S
=
ω
U
cos
ω
t
dS
=
ωU m cos ωt πr 2 .
m
∫ ⎜⎝ ∂t ⎟⎠ ∫ d
d
S
S
В силу симметрии магнитные линии имеют форму коаксиальных окружностей с общей
осью, совпадающей с осью конденсатора. Поэтому:
r r
H
∫ dl = H ∫ dl = H 2πr .
L
Окончательно получим: H =
L
εε 0 ωr
U m cos ωt .
2d
Пример 2.
Электромагнитная волна переходит из вакуума в немагнитный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε. При этом амплитуда колебаний вектора напряженности электрического поля уменьшилась в m раз. Во сколько раз уменьшилась амплитуда колебаний
вектора магнитной индукции.
1
Решение
r
r
Амплитуды колебаний векторов напряженности E m и индукции Bm в электромагнитной волне связаны соотношением
E m = υB m ,
где υ = c / με - фазовая скорость волны. Записывая это соотношение для вакуума
E m1 = cBm1
и для немагнитной ( μ = 1 ) среды
c
Bm 2 ,
ε
Em 2 =
получим после простых преобразований B1 / B2 = m / ε .
Пример 3.
В вакууме в положительном направлении оси X распространяется плоская электромагнитная волна частотой ω = 3⋅109 с–1. В некоторый момент времени в точке с координатами (0,1 м, 0,2 м, 0,3 м) фаза колебаний вектора напряженности электрического поля равна ϕ1 = π . Определите в этот момент времени фазу колебаний ϕ 2 вектора магнитной индукции в точке с координатами (0,2 м, 0,4 м, 0,6 м).
Решение
r
r
В плоской электромагнитной волне колебания векторов E и B в точке, опредеr
ляемой вектором r , описываются формулами:
(
(
)
)
rr
r r
E = E m cos ωt − k r + α ,
rr
r r
B = Bm cos ωt − k r + α ,
r
r
где k - волновой вектор, | k |= 2π / λ = ω / c , α - начальная фаза колебаний. Вычислим
rr
скалярное произведение k r , учитывая, что при распространении волны вдоль оси X
k y = kz = 0 :
rr
k r = k x rx + k y ry + k z rz = k x rx = kx .
Отсюда:
ϕ1 = ωt − kx1 + α ,
ϕ 2 = ωt − kx2 + α ,
и
ϕ 2 = ϕ1 − k ( x 2 − x1 ) = ϕ1 − (ω / c)( x2 − x1 ) = π − 1 .
2
Пример 4.
Максимальное значение модуля вектора напряженности электрического поля плоской
монохроматической электромагнитной волны в вакууме равно Em. Определите интенсивность волны (среднее значение модуля вектора Пойнтинга).
Решение
В плоской электромагнитной волне
rr
rr
r r
r r
E = E m cos(ωt − k r ) , B = Bm cos(ωt − k r ) ,
r
r
r
где векторы E m , Bm и k взаимно перпендикулярны, E m = cBm и ε 0 μ 0 = 1 / c 2 . Вектор
Пойнтинга (вектор плотности потока энергии) равен
r
rr
S = [ EH ] ,
r
r
r r
где H = B / μμ 0 (в вакууме μ = 1 ). Учитывая ортогональность векторов E и H , получим
для модуля вектора Пойнтинга:
(
)
(
)
(
)
rr
rr
rr
r
E m2
2
S = E m ( Bm / μ 0 ) cos ωt − k r =
cos 2 ωt − k r = ε 0 cE m2 cos 2 ωt − k r .
cμ 0
rr
Поскольку среднее значение cos 2 ωt − k r = cos 2 α = 1 / 2 получим для интенсивности
(
)
волны:
r
I = S = ε 0 cE m2 / 2 .
Пример 5.
По прямому проводнику круглого сечения течет постоянный ток I. Найдите поток вектора Пойнтинга через
боковую поверхность участка данного проводника, имеющего сопротивление R.
Решение
I
I
r
E
l
r
S
r
E
r
H
Вектор Пойнтинга определяется
формулой
r
r
rr
S = [ EH ] ,
r r
r
r
где, H = B / μμ 0 , B - вектор индукции магнитного поля, E - вектор напряженности электрического поля в рассматриваемой точке. Нас интересуют точки, лежащие на поверхности цилиндрического провода.
Магнитные линии являются концентрическими окружностями, центры которых леr
жат на оси проводника, векторы H направлены по касательным к этим окружностям. На
r
r r
рисунке для двух точек поверхности проводника показаны векторы E , H и S . При поr
мощи теоремы о циркуляции найдем модуль вектора H :
H 2πr = I ,
3
r
где r - радиус проводника. Поэтому | S |= EH =
верхность проводника равен
EI
, а поток энергии через боковую по2πr
r
Φ =| S | A ,
где A = l 2πr - площадь боковой поверхности, l - длина проводника. Окончательно получим:
Φ = ElI = UI = I 2 R .
4