Заряженные частицы и поля

50
ÊÂÀÍT 1999/¹3
A
A
B
J
H
H
B
H
I
F
G
C
O
C
G
O
D
Ðèñ. 12
Ðèñ. 13
íûõ òðåóãîëüíèêîâ. Èç ñîîáðàæåíèé
íåïðåðûâíîñòè ÿñíî, ÷òî êîãäà À ïðîáåãàåò îïèñàííóþ îêðóæíîñòü, Í ïðîéäåò âñþ óêàçàííóþ îêðóæíîñòü, ïðè÷åì çà îäèí îáîðîò òî÷êè À òî÷êà Í
ñîâåðøèò òðè ïîëíûõ îáîðîòà.
Çàìåòèì, ÷òî ïî òåîðåìå î ïðÿìîé
Ýéëåðà (óïðàæíåíèå 9) öåíòðîèä G
íàøåãî òðåóãîëüíèêà òàêæå îïèñûâàåò îêðóæíîñòü; åå ðàäèóñ ðàâåí (R –
– 2r)/3, à öåíòð äåëèò îòðåçîê IO â
îòíîøåíèè 1:2.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò ñëåäóþùàÿ çàäà÷à.
Ðàññìîòðèì äâå îêðóæíîñòè ω è Ω ,
ïåðâàÿ èç êîòîðûõ ëåæèò âíóòðè âòîðîé. Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷åòûðåõóãîëüíèê, âïèñàííûé â Ω è îïèñàííûé îêîëî ω . Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî
òîãäà, êàê è â ñëó÷àå òðåóãîëüíèêà,
òàêîé ÷åòûðåõóãîëüíèê ìîæíî íàðèñîâàòü, âçÿâ çà îäíó èç åãî âåðøèí ëþáóþ
òî÷êó îêðóæíîñòè Ω ; ýòî óòâåðæäåíèå
íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Ïîíñåëå (äëÿ
÷åòûðåõóãîëüíèêà). Âåðíî ëè, ÷òî
ìíîæåñòâî öåíòðîèäîâ âñåõ ýòèõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ òîæå îêðóæíîñòü?
(Öåíòðîèä ÷åòûðåõóãîëüíèêà – ýòî
öåíòð ìàññ ÷åòûðåõ ìàòåðèàëüíûõ òî-
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
Â.ÌÎÆÀÅÂ
ÝÒÎÉ ÑÒÀÒÜÅ ÁÓÄÓÒ ÐÀÑÑÌÎÒ-
ðåíû çàäà÷è î äâèæåíèè îòäåëüíûõ çàðÿäîâ â çàäàííûõ ýëåêòðè÷åñêèõ
è ìàãíèòíûõ ïîëÿõ.
Ñèëîâîé õàðàêòåðèñòèêîé ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ âåêòîð íà→
ïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E .
Åñëè çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà ñ çàðÿäîì q
íàõîäèòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà, ãäå íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñ→
êîãî ïîëÿ ðàâíà E , òî íà ÷àñòèöó ñî
ñòîðîíû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ äåéñòâó-
→
÷åê, ñîñðåäîòî÷åííûõ â åãî âåðøèíàõ;
îí íàõîäèòñÿ íà ïåðåñå÷åíèè ñðåäíèõ
ëèíèé ÷åòûðåõóãîëüíèêà.) Ýêñïåðèìåíò äàåò óòâåðäèòåëüíûé îòâåò íà ýòîò
âîïðîñ (ðèñ.13), íî ê ìîìåíòó íàïèñàíèÿ ýòîé ñòàòüè äîêàçàòåëüñòâîì ìû íå
ðàñïîëàãàëè.
Òåîðåìà Ïîíñåëå ñïðàâåäëèâà è äëÿ
ìíîãîóãîëüíèêîâ ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ñòîðîí n. Áóäåò ëè öåíòðîèä «ìíîãîóãîëüíèêà Ïîíñåëå» îïèñûâàòü îêðóæíîñòü ïðè ëþáîì n?
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Çàðÿæåííûå
÷àñòèöû è ïîëÿ
Â
I
→
åò ñèëà Fý = qE . À åñëè â ñèñòåìå
êîîðäèíàò, â êîòîðîé çàðÿæåííàÿ ÷à→
ñòèöà äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v , ñóùåñòâóåò ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé
→
B , òî íà ÷àñòèöó áóäåò äåéñòâîâàòü
ìàãíèòíàÿ ñèëà, èëè (êàê åå îáû÷íî
íàçûâàþò) ñèëà Ëîðåíöà, ðàâíàÿ FË =
= qvB sin α , ãäå α – óãîë ìåæäó âåêòîðîì ñêîðîñòè è âåêòîðîì ìàãíèòíîé
èíäóêöèè. Ñèëà Ëîðåíöà ïåðïåíäèêó→
→
ëÿðíà âåêòîðàì B è v , à åå íàïðàâ-
ëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà ëåâîé ðóêè. Ïîñêîëüêó ñèëà, äåéñòâóþùàÿ ñî ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ
íà çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó, ïåðïåíäèêóëÿðíà âåêòîðó ñêîðîñòè, îíà íå
ñîâåðøàåò ðàáîòû, à ëèøü èñêðèâëÿåò
òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû, íå ìåíÿÿ åå ýíåðãèè.
Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ êîíêðåòíûõ çàäà÷.
Çàäà÷à 1. Ðàññìàòðèâàÿ êëàññè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå, âû÷èñëèòå ñêîðîñòü
ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà, åñëè ðàäèóñ åãî êðóãîâîé îðáèòû r =
−10
= 0,53 ⋅ 10
ì, çàðÿä ýëåêòðîíà å =
−19
=1,6 ⋅ 10
Êë, åãî ìàññà m =
− 30
êã, ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòî= 0,9 ⋅ 10
−
ÿííàÿ ε 0 = 8,85 ⋅ 10 12 Ô/ì.
Ýëåêòðîí â àòîìå âîäîðîäà íàõîäèòñÿ â öåíòðàëüíîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì
ïîëå ïðîòîíà. Íà íåãî äåéñòâóåò ñèëà
Êóëîíà, êîòîðàÿ â äàííîì ñëó÷àå îáåñïå÷èâàåò öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ïðè äâèæåíèè ýëåêòðîíà ïî êðóãîâîé îðáèòå. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ýëåê-
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
òðîíà èìååò âèä
mv2
e2
=
,
r
4 πε 0r2
ãäå v – ñêîðîñòü ýëåêòðîíà íà îðáèòå.
Îòñþäà ïîëó÷àåì
e
6
= 2,2 ⋅ 10 ì ñ .
v=
4 πε 0 mr
Çàäà÷à 2. Ïðîéäÿ óñêîðÿþùóþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U = 3,52 ⋅ 10 3 Â,
ýëåêòðîí âëåòàåò â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé Â = 0,01 Òë
ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèÿì èíäóêöèè è
äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì
r = 2 ñì. Âû÷èñëèòå ïî ýòèì äàííûì
îòíîøåíèå çàðÿäà ýëåêòðîíà ê åãî
ìàññå.
Ïðîéäÿ óñêîðÿþùóþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, ýëåêòðîí ïðèîáðåòåò ñêîðîñòü v, êîòîðóþ ìîæíî íàéòè ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
eU =
mv
2
,
2
ãäå å – çàðÿä ýëåêòðîíà, m – åãî ìàññà.
 ìàãíèòíîì ïîëå íà ýëåêòðîí áóäåò
äåéñòâîâàòü ñèëà Ëîðåíöà, ðàâíàÿ evB
è íàïðàâëåííàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî âåê→
→
òîðàì ñêîðîñòè v è èíäóêöèè B . Ñèëà
Ëîðåíöà â äàííîì ñëó÷àå áóäåò ñîîáùàòü ýëåêòðîíó öåíòðîñòðåìèòåëüíîå
óñêîðåíèå:
2
mv
= evB ,
r
îòêóäà è íàõîäèì óäåëüíûé çàðÿä ýëåêòðîíà:
e
m
=
v
rB
.
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
2U
e
11
= 1,76 ⋅ 10 Êë êã .
=
2
m
rB
Óäåëüíûé çàðÿä ýëåêòðîíà e/m =
11
Êë/êã, óãîë ïàäåíèÿ α
= 1,76 ⋅ 10
= 30°. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè
d = 1 ñì.
Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ýëåêòðîíà â
ñèñòåìå êîîðäèíàò, èçîáðàæåííîé íà
ðèñóíêå 2. Ýëåêòðîí äâèæåòñÿ â îäíîðîäíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ñ íàïðÿ-
Çàäà÷à 3. Ýëåêòðîí ñî ñêîðîñòüþ
v0 = 10 9 ñì/ñ âëåòàåò â ïðîñòðàíñòâî
ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà, ìåæäó ïëàñòèíàìè êîòîðîãî ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U =
= 425  (ðèñ.1). Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó
h ìàêñèìàëüíîãî óäàëåíèÿ ýëåêòðîíà
îò íèæíåé ïëàñòèíû êîíäåíñàòîðà.
)
D
L
Ðèñ. 2
æåííîñòüþ, ðàâíîé Å = U/d è íàïðàâëåííîé ïî îñè Y. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ
ýëåêòðîíà âäîëü ýòîé îñè èìååò âèä
eU
may = − eE = −
,
d
ò.å. îí äâèæåòñÿ â ýòîì íàïðàâëåíèè
ðàâíîçàìåäëåííî. Åñëè ÷åðåç âðåìÿ
t = τ ýëåêòðîí ìàêñèìàëüíî óäàëèòñÿ
îò íèæíåé ïëàñòèíû, åãî êîîðäèíàòà
ó, à â íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ h, áóäåò
ðàâíà
eU 2
τ .
h = v0 cos α ⋅ τ −
2md
Î÷åâèäíî, ÷òî â âåðõíåé òî÷êå âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè ýëåêòðîíà ðàâíà íóëþ:
eU
τ = 0.
v0 cos α −
md
Èñêëþ÷àÿ âðåìÿ τ èç äâóõ ïîñëåäíèõ
óðàâíåíèé, íàõîäèì èñêîìóþ âåëè÷èíó:
2
v0
2
cos α ⋅ d
2Ue m
2
L
A α
Ðèñ. 1
D
−3
= 5 ⋅ 10 ì .
Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü òàêæå èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Åñëè
îòñ÷èòûâàòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ
ýëåêòðîíà â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå îò íèæíåé ïëàñòèíû (ó = 0), òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà íà âûñîòå h
ñîñòàâèò eUh/d. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè ýëåêòðîíà, çàïèñàííûé äëÿ
òî÷åê ñ êîîðäèíàòàìè ó = 0 è ó = h,
áóäåò èìåòü âèä
mv0
7
Çàäà÷à 4. Ýëåêòðîí âëåòàåò â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå è â òî÷êå À
→
èìååò ñêîðîñòü v0 , âåêòîð êîòîðîé
ñîñòàâëÿåò óãîë α ñ íàïðàâëåíèåì
ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ðèñ.3). Ïðè êàêèõ
çíà÷åíèÿõ èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ
;
h=
> C
51
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
2
2
=
mvx
2
+
eUh
d
,
ãäå v x = v0 sin α – ñêîðîñòü ýëåêòðîíà
íà âûñîòå h. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèÿ äëÿ v x ïîëó÷èì
h=
v02 cos2 α ⋅ d
.
2Ue m
α
L
*
+
Ðèñ. 3
 ýëåêòðîí îêàæåòñÿ â òî÷êå Ñ? Çàðÿä ýëåêòðîíà å, åãî ìàññà m, à ðàññòîÿíèå ÀÑ = L.
Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò (ðèñ.4),
íàïðàâèâ îñü Õ âäîëü âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Ðàçëîæèì ñêîðîñòü ýëåêòðîíà â òî÷êå À íà ñîñòàâëÿþùèå v x =
= v0 cos α è v y = v0 sin α . Íà ýëåêòðîí
â ìàãíèòíîì ïîëå áóäåò äåéñòâîâàòü
;
Ðèñ. 4
ñèëà Ëîðåíöà, ïðîåêöèÿ êîòîðîé íà îñü
Õ âñåãäà ðàâíà íóëþ, ïîýòîìó âäîëü
îñè Õ ýëåêòðîí áóäåò äâèãàòüñÿ ðàâíîìåðíî ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v x =
= v0 cos α .  ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè Õ, ýëåêòðîí áóäåò äâèãàòüñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R ïîä äåéñòâèåì ñèëû Ëîðåíöà, îáåñïå÷èâàþùåé
öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ýëåêòðîíà:
?
m v0 sin α
R
D
2
= ev0 sin α ⋅ B .
 ðåçóëüòàòå ýëåêòðîí ñòàíåò äâèãàòüñÿ
ïî âèíòîâîé ëèíèè, èçîáðàæåííîé íà
ðèñóíêå 4, ïåðåñåêàÿ îñü Õ ÷åðåç ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè (ïåðèîä îáðàùåíèÿ)
T=
2 πR
v0 sin α
=
2 πm
eB
.
Î÷åâèäíî, ÷òî ýëåêòðîí ïîïàäåò â
òî÷êó Ñ, åñëè çà âðåìÿ t AC ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ âäîëü îñè Õ îò òî÷êè À äî
òî÷êè Ñ îí ñîâåðøèò öåëîå ÷èñëî ïîëíûõ îáîðîòîâ:
t AC =
L
v0 cos α
= TN =
2 πm
eBN
N,
ãäå N = 1, 2, ... Êàæäîìó öåëîìó ÷èñëó
N ñîîòâåòñòâóåò ñâîå çíà÷åíèå èíäóê-
52
ÊÂÀÍT 1999/¹3
öèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ
BN =
2 πmv0 cos α
E2
2
N.
eL
Çàäà÷à 5*. Ïðîòîí ñ óäåëüíûì çàðÿäîì q/m = 0,96 ⋅ 10 8 Êë/êã íàëåòàåò
íà ñèñòåìó èç òðåõ ïëîñêèõ ìåòàëëè÷åñêèõ ñåòîê, ìåæäó êîòîðûìè ñ ïîìîùüþ äâóõ èñòî÷íèêîâ ñ ÝÄÑ E1
= 500 Â è E 2 = 200 Â ïîääåðæèâàþòñÿ
ïîñòîÿííûå ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ
(ðèñ.5). Ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñåòêàìè
ðàâíû d è ìíîãî ìåíüøå ïîïåðå÷íûõ
!
@
@
@
4
E2
E1
Ðèñ. 5
ðàçìåðîâ ñåòîê.  òî÷êå, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè d/4 çà âòîðîé ñåòêîé, ñêîðîñòü ïðîòîíà îêàçàëàñü ðàâíîé íóëþ. ×åìó áûëà ðàâíà ñêîðîñòü
ïðîòîíà íà áîëüøîì óäàëåíèè îò ñåòîê?
Ñêîðîñòü v ïðîòîíà íà áîëüøîì óäàëåíèè îò ñåòîê ìîæíî íàéòè ïî çàêîíó
ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
mv
b g
2
2
= qϕ
FG d IJ ,
H 4K
ãäå ϕ d 4 – çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñåòîê (îòíîñèòåëüíî
áåñêîíå÷íîñòè) â òî÷êå îñòàíîâêè ïðîòîíà.
Íàéäåì ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà
ϕ x ìåæäó ñåòêàìè 2 è 3 âäîëü îñè Õ,
ïðèíÿâ çà íà÷àëî îòñ÷åòà ïîëîæåíèå
âòîðîé ñåòêè (ðèñ.6). Ïîòåíöèàë ϕ x
ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ïîòåíöèàëîâ ϕ 12 x è
ϕ 23 x , ãäå ϕ 12 x ñîçäàåòñÿ òîëüêî
çàðÿäàìè ñåòîê 1 è 2, ìåæäó êîòîðûìè
ïîääåðæèâàåòñÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ
bg
bg
bg
bg
bg
!
-12
:
–
Ðèñ. 6
+ –
E1
+
E2
:
–E 2
2
Ðèñ. 7
bg
E1 , à ϕ 23 x – òîëüêî çàðÿäàìè ñåòîê 2
è 3 ñ ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ E 2 .
Ðàññìîòðèì êîíäåíñàòîð, îáðàçóåìûé
ñåòêàìè 2 è 3. Íà ðèñóíêå 7 ïðèâåäåí
ãðàôèê ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëà âíóòðè ýòîãî êîíäåíñàòîðà. Èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè ÿñíî, ÷òî ïîòåíöèàë
öåíòðà êîíäåíñàòîðà ðàâåí ïîòåíöèàëó
íà áåñêîíå÷íîñòè, ò.å. íóëþ. (Îòìåòèì, ÷òî íóëþ ðàâåí ïîòåíöèàë âñåõ
òî÷åê â ïëîñêîñòè ñèììåòðèè ñèñòåìû.) Çíà÷èò, âíóòðè êîíäåíñàòîðà ïîòåíöèàë ìåíÿåòñÿ îò çíà÷åíèÿ – E 2 2
íà îòðèöàòåëüíîé ïëàñòèíå äî + E 2 2
íà ïîëîæèòåëüíîé ïî ëèíåéíîìó çàêîíó. Âíå êîíäåíñàòîðà, ãäå íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ãîðàçäî ìåíüøå, ÷åì âíóòðè, ïðè óäàëåíèè îò ïëàñòèí íà ìàëîå
ðàññòîÿíèå (ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ ðàçìåðàìè) ïîòåíöèàë ïî÷òè íå èçìåíÿåòñÿ
(à ïðè óäàëåíèè íà áåñêîíå÷íî áîëüøîå ðàññòîÿíèå ïîòåíöèàë óáûâàåò äî
íóëÿ). Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ìîæíî ïðîâåñòè è äëÿ êîíäåíñàòîðà, îáðàçóåìîãî ñåòêàìè 1 è 2. Ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàåìàÿ òî÷êà îñòàíîâêè ïðîòîíà
ëåæèò âíóòðè ïðàâîãî êîíäåíñàòîðà
(íà ðàññòîÿíèè d 4 îò îòðèöàòåëüíîé
ïëàñòèíû), íî âíå ëåâîãî êîíäåíñàòîðà, äëÿ 0 ≤ x ≤ d ïîëó÷àåì
bg
ϕ12 x =
1
2
bg
E1 è ϕ 23 x = E2
FG x − 1 IJ .
H d 2K
.c
*
.Ë
bg
ϕ x =
è
ϕ
cE
2
1
1
h
− E 2 + E2
FG d IJ = 1 c2E
H 4K 4
1
x
íèÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû Ëîðåíöà èìååò
âèä
2
mv
= qvB ,
R
ãäå v – ñêîðîñòü, q – çàðÿä, m – ìàññà
÷àñòèöû, à R – ðàäèóñ êðèâèçíû åå
òðàåêòîðèè. Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ íàéäåì ñâÿçü ìåæäó R è v:
R=
d
R
h
− E2 .
Èòàê, ñêîðîñòü ïðîòîíà âäàëè îò ñåòîê áóäåò ðàâíà
FG d IJ =
m H 4K
q F
E I
=
E −
G
J ≈ 1,96 ⋅ 10
mH
2 K
2
q
ϕ
1
2
5
ì ñ.
Çàäà÷à 6*. ×àñòèöà ñ óäåëüíûì çàðÿäîì α = 10 8 Êë/êã âëåòàåò â êàìåðó Âèëüñîíà, íàõîäÿùóþñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé  =
= 10 −2 Òë, ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèÿì
mv
qB
=
v
αB
.
Ïðè ìàëîì îòíîñèòåëüíîì èçìåíåíèè
ðàäèóñà êðèâèçíû ( ∆R R = ε 100 % =
= 0,05) ìîæíî çàïèñàòü
∆R
,
L
Ðèñ. 8
Ïîñëå ñóììèðîâàíèÿ íàõîäèì
v=
-23
0
0
ìàãíèòíîé èíäóêöèè ïîëÿ. Ïîñëå ïîâîðîòà âåêòîðà ñêîðîñòè íà 90° –
îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ðàäèóñà òðàåêòîðèè ÷àñòèöû ïðè ýòîì ðàâíî ε =
= 5% – ïîëå âûêëþ÷àþò. Çàòåì ÷àñòèöà ïðîõîäèò ïóòü L = 30 ñì äî
ïîëíîé îñòàíîâêè. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ
âëåòåëà ÷àñòèöà â êàìåðó, åñëè ñèëà
ñîïðîòèâëåíèÿ ïðè åå äâèæåíèè ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè?
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà äâèæåíèå ÷àñòèöû â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå. Íà
÷àñòèöó äåéñòâóþò äâå ñèëû: ñèëà Ëîðåíöà FË , êîòîðàÿ îáåñïå÷èâàåò äâèæåíèå ïî îêðóæíîñòè ñ öåíòðîñòðåìèòåëüíûì óñêîðåíèåì, è ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ Fc ñî ñòîðîíû îêðóæàþùåãî âîäÿíîãî ïàðà (ðèñ.8). Óðàâíåíèå äâèæå-
=
∆v
v
≈
∆v
v0
,
ãäå v0 – ñêîðîñòü ÷àñòèöû ïðè âëåòå â
ìàãíèòíîå ïîëå. Èçìåíåíèå àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ñêîðîñòè ∆v ïðîèñõîäèò
ïîä äåéñòâèåì òîðìîçÿùåé ñèëû Fc =
= kv, ãäå k – êîíñòàíòà. Óðàâíåíèå
äâèæåíèÿ ÷àñòèöû âäîëü òðàåêòîðèè
èìååò âèä
kvdt = −mdv ,
èëè, ïîñêîëüêó vdt = ds (îòðåçîê ïóòè,
ïðîéäåííîãî ÷àñòèöåé),
m
ds = − dv .
k
 êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèÿõ (çà âðåìÿ
ïîâîðîòà âåêòîðà ñêîðîñòè íà 90°)
∆s ≈
πR
2
=
πv0
2 αB
è ∆v = − v0
ε
100%
,
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
îòêóäà ïîëó÷àåì
π
2αB
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä
≈
ε
m
k 100%
.
bg
v x t = v0 −
(1)
Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðÿìîëèíåéíûé
ó÷àñòîê òðàåêòîðèè ÷àñòèöû ïîñëå âûêëþ÷åíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ.  ýòîì ñëó÷àå íà ÷àñòèöó äåéñòâóåò òîëüêî ñèëà
ñîïðîòèâëåíèÿ, ïîýòîìó
F ε IJ .
∆s = L , à ∆v = − v G1 −
H 100% K
k
FG
H
IJ .
100% K
ε
v0 1 −
(2)
Ñîâìåñòíîå ðàññìîòðåíèå äâèæåíèÿ
íà îáîèõ ó÷àñòêàõ òðàåêòîðèè ïîçâîëÿåò èç âûðàæåíèé (1) è (2) íàéòè ñêîðîñòü v0 , ñ êîòîðîé ÷àñòèöà âëåòåëà â
ìàãíèòíîå ïîëå:
v0 ≈
2εαLB
≈ 10
b100% − εg π
4
ì ñ.
Çàäà÷à 7*. Ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â îäíîðîäíûõ è
âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ýëåêòðè÷åñêîì è ìàãíèòíîì ïîëÿõ.  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè åå ñêîðîñòü ðàâ→
→
→
→
→
íà v0 ( v0 ⊥ E è v0 ⊥ B ; ðèñ.9). ×åìó
*
-
áóäåò ðàâíà âåëè÷èíà ñêîðîñòè ÷àñòèöû â òå ìîìåíòû âðåìåíè, êîãäà
âåêòîð åå ñêîðîñòè áóäåò ñîñòàâëÿòü
→
180° ñ âåêòîðîì v0 , ïðè óñëîâèè, ÷òî
Å = v0 B ?
Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû (àíàëîãè÷íîå ïðåäûäóùåé çàäà÷å)
âäîëü îñè Õ (ðèñ.10):
m
dvx
dt
= − qvy B ,
ãäå m – ìàññà, q – çàðÿä ÷àñòèöû.
L
N
y.
v0 + v
qB m
.
2
mv0
2
c h
mv
+ qEy tn =
2
2
.
Ïðè óñëîâèè, ÷òî Å = v0 B , äëÿ ñêîðîñòè v ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
2
2
v − 2v0v − 3v0 = 0 ,
îòêóäà íàõîäèì èñêîìóþ ñêîðîñòü:
v = 3v0 .
Äëÿ ëþáîçíàòåëüíûõ ïðèâåäåì åùå îäíî
– êðàòêîå è êðàñèâîå – ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è. Ñðàçó îãîâîðèìñÿ, ÷òî ýòî ðåøåíèå
âûõîäèò çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû,
ïîñêîëüêó îíî ñâÿçàíî ñ ïðåîáðàçîâàíèåì
ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé ïðè ïåðåõîäå èç
îäíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû â äðóãóþ.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå íàøåé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû â ñèñòåìå êîîðäèíàò, äâèæóùåéñÿ âäîëü îñè Õ ñî ñêîðîñòüþ −v0 , ò.å.
íàâñòðå÷ó ÷àñòèöå ñî ñêîðîñòüþ v0 .  ýòîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñ íàïðÿæåííîñòüþ,
ðàâíîé v0 B è íàïðàâëåííîé íàâñòðå÷ó ýëåê→
L
Ðèñ. 9
c h
v x tn = −v è y tn =
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèÿõ áóäåò èìåòü âèä
m
m
Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè,
0
L=
qB
 òå ìîìåíòû âðåìåíè t = tn , êîãäà
→
ñêîðîñòü ÷àñòèöû v áóäåò ñîñòàâëÿòü
180° ñ âåêòîðîì íà÷àëüíîé ñêîðîñòè,
c h
:
òðè÷åñêîìó ïîëþ E . 1  ðåçóëüòàòå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì íóëþ, è
îñòàåòñÿ òîëüêî ìàãíèòíîå ïîëå. ×àñòèöà,
èìåþùàÿ íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü 2v0 , áóäåò
äâèãàòüñÿ ïî îêðóæíîñòè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ 2v0 . Ñëåäîâàòåëüíî, è â òîò ìîìåíò,
êîãäà âåêòîð ñêîðîñòè ÷àñòèöû áóäåò ñî-
;
Ðèñ. 10
LO
L
N
@
B
Ý
Ðèñ. 11
U
L
1 Ñì. ñòàòüþ Å.Ðîìèøåâñêîãî «Ýòà
çàãàäî÷íàÿ ìàãíèòíàÿ ñèëà» â ýòîì íîìåðå
æóðíàëà. (Ïðèì. ðåä.)
@
E
E
Ðèñ. 12
îò ïåðâîé ñåòêè ñêîðîñòü ÷àñòèöû áóäåò
ðàâíà ñêîðîñòè, êîòîðóþ îíà èìåëà âäàëè îò
ñåòîê? Ðàññòîÿíèå d ìåæäó ñåòêàìè ìíîãî
ìåíüøå ðàçìåðîâ ñåòîê.
4. Íà âàêóóìíûé ïëîñêèé äèîä, â êîòîðîì ðàññòîÿíèå ìåæäó êàòîäîì Ê è àíîäîì
+U
A
d
1. Ïó÷îê îäíîêðàòíî çàðÿæåííûõ ïîëîæèòåëüíûõ èîíîâ Li+ (À = 6) èñïóñêàåòñÿ
ýìèòòåðîì Ý, óñêîðÿåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì
!
Óïðàæíåíèÿ
h
LN
ïîëåì è, ïðîéäÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U =
= 3000 Â, ïîïàäàåò â êàìåðó ñ ïîïåðå÷íûì
ìàãíèòíûì ïîëåì c èíäóêöèåé Â =
= 3 ⋅ 10 −2 Òë (ðèñ.11). Íàéäèòå âåëè÷èíó
îòêëîíåíèÿ ïó÷êà h. Äëèíà êàìåðû L =
−19
= 15 ñì, çàðÿä ýëåêòðîíà å = 1,6 ⋅ 10
Êë,
−27
ìàññà ïðîòîíà m = 1,67 ⋅ 10
êã.
2. Ýëåêòðîí âëåòàåò â ïðîñòðàíñòâî ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà, ìåæäó ïëàñòèíàìè êîòîðîãî ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííàÿ ðàçíîñòü
ïîòåíöèàëîâ U = 60 Â (ñì. ðèñ.1). Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíóþ ñêîðîñòü ýëåêòðîíà,
ïðè êîòîðîé îí äîñòèãíåò âåðõíåé ïëàñòèíû. Óäåëüíûé çàðÿä ýëåêòðîíà e/m =
11
= 1,76 ⋅ 10 Êë/êã, óãîë ïàäåíèÿ α = 60°.
3. Ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà ïðîëåòàåò ÷åðåç òðè ïëîñêèå ìåòàëëè÷åñêèå
ñåòêè, ìåæäó êîòîðûìè ñ ïîìîùüþ äâóõ
èñòî÷íèêîâ ñ ÝÄÑ E1 = 250  è E 2 = 200 Â
ïîääåðæèâàþòñÿ ïîñòîÿííûå ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ (ðèñ.12). Íà êàêîì ðàññòîÿíèè õ
→
ñòàâëÿòü 180° ñ âåêòîðîì v0 , åå ñêîðîñòü
áóäåò ðàâíà 2v0 . Åñëè òåïåðü âåðíóòüñÿ â
íåïîäâèæíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, òî ïîíÿòíî, ÷òî ñêîðîñòü ÷àñòèöû áóäåò ðàâíà 3v0 .
*
O
53
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
B
K
Ðèñ. 13
À ðàâíî d, ïîäàíî ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå
U (ðèñ.13). Äèîä íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì
ìàãíèòíîì ïîëå, èíäóêöèÿ êîòîðîãî íàïðàâëåíà ïàðàëëåëüíî ïëîñêîñòè ýëåêòðîäîâ. Ïðè êàêîé ìèíèìàëüíîé âåëè÷èíå èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ýëåêòðîíû, ïîêèäàþùèå ïîâåðõíîñòü êàòîäà, íå ñìîãóò äîñòè÷ü àíîäà? Ýëåêòðîíû ó ïîâåðõíîñòè êàòîäà ìîæíî ñ÷èòàòü íåïîäâèæíûìè, à ïîëåì
òÿæåñòè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Çàðÿä ýëåêòðîíà å, åãî ìàññà m.