68. Инвариантность и задачи с параметрами В статье

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
ñîâïàäàþò, ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòèì ïîëÿì. Íàéäèòå íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, åñëè èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ðàâíà 0,1 Òë, à íà÷àëüíîå óñêîðåíèå ïðîòîíà, âûçâàííîå äåéñòâèåì ýòèõ ïîëåé, ñîñòàâëÿåò 1012 ì ñ2 .
4. Ýëåêòðîí, ïðîøåäøèé óñêîðÿþùóþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ
∆ϕ = 40 B , âëåòàåò â ïëîñêèé ñëîé îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ
òîëùèíîé h = 10 ñì. Ñêîðîñòü ýëåêòðîíà ïåðïåíäèêóëÿðíà êàê
ur
ëèíèÿì ìàãíèòíîé èíäóêöèè ïîëÿ B , òàê è ïëîñêîé ãðàíèöå
ñëîÿ. Ïðè êàêîì ìèíèìàëüíîì çíà÷åíèè èíäóêöèè Bmin ýëåêòðîí íå ïðîëåòèò ñêâîçü ñëîé? Îòíîøåíèå ìîäóëÿ çàðÿäà ýëåêòðîíà ê åãî ìàññå γ = 1,76 × 1011 Êë êã .
5. Ýëåêòðîí äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R = 10 ñì â
Èíâàðèàíòíîñòü
è çàäà÷è
ñ ïàðàìåòðàìè
Ã.ÔÀËÈÍ, À.ÔÀËÈÍ
Â
ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ ÂÀÆÍÓÞ ÐÎËÜ ÈÃÐÀ-
åò ïîíÿòèå èíâàðèàíòíîñòè, ò.å. íåèçìåííîñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî îáúåêòà (÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà, âûðàæåíèÿ, ôóíêöèè, óðàâíåíèÿ è ò.ä.) îòíîñèòåëüíî íåêîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèé.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ìû ïîêàæåì, êàê ñâîéñòâà èíâàðèàíòíîñòè ïîçâîëÿþò ðåøàòü îïðåäåëåííûé êëàññ çàäà÷ ñ ïàðàìåòðàìè.
Óðàâíåíèÿ
Çàäà÷à 1 (ÌÃÓ, ìåõìàò, 1990). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ
ïàðàìåòðà à, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå
x - 2a sin ( cos x ) + a = 0
2
2
îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé Â = 1 Òë. Ïàðàëëåëüíî
ìàãíèòíîìó ïîëþ âîçáóæäàåòñÿ îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
ñ íàïðÿæåííîñòüþ Å = 100 Â/ì. Çà êàêîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè
êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà âîçðàñòåò âäâîå?
6. Ýëåêòðîí âëåòàåò â îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà ñ îäíîðîäíûì
ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì íàïðÿæåííîñòüþ E = 6 × 104  ì ïåðïåíäèêóëÿðíî åãî ñèëîâûì ëèíèÿì. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó
è íàïðàâur
ëåíèå âåêòîðà èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ B , êîòîðîå íàäî
ñîçäàòü â ýòîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà äëÿ òîãî, ÷òîáû ýëåêòðîí
ïðîëåòåë åå, íå îòêëîíÿÿñü îò ïåðâîíà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ.
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà W = 1,6 × 10-16 Äæ , ìàññà ýëåêòðîíà m = 9,1 × 10 -31 êã . Ñèëîé òÿæåñòè ïðåíåáðå÷ü.
2. Åñëè a = 2 sin 1 , òî óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä
x2 + 4 sin2 1 = 4 sin 1 × sin cos x .
(2)
Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ áîëüøå èëè ðàâíà 4 sin2 1 ,
ïðè÷åì ýòà íèæíÿÿ ãðàíèöà ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé – îíà äîñòèãàåòñÿ ïðè õ = 0. Îöåíèòü ïðàâóþ ÷àñòü íåìíîãî ñëîæíåå.
Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî ïðè èçìåíåíèè ïåðåìåííîé õ îò
-¥ äî +¥ âûðàæåíèå cos x ìåíÿåòñÿ îò –1 äî +1. Íà
îòðåçêå -1 £ t £ 1 ôóíêöèÿ sin t ìîíîòîííî âîçðàñòàåò îò
- sin 1 äî sin 1 . Ïîýòîìó âûðàæåíèå sin ( cos x ) ìåíÿåòñÿ îò
- sin 1 äî sin 1 . Ñîîòâåòñòâåííî, ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2)
ìåíÿåòñÿ îò - 4 sin 2 1 äî 4 sin 2 1 , ïðè÷åì çíà÷åíèÿ ïðàâîé
÷àñòè óðàâíåíèÿ ïîëíîñòüþ çàïîëíÿþò ýòîò îòðåçîê. Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå (2) ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå
2
2
2
 x + 4 sin 1 = 4 sin 1,

2
4 sin 1 ⋅ sin (cos x ) = 4 sin 1.
Ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü
x0 = 0 , êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò è âòîðîìó óðàâíåíèþ ñèñòåìû. Çíà÷èò, ñèñòåìà, à âìåñòå ñ íåé è óðàâíåíèå (2), èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå õ = 0. Ïîýòîìó ïðîâåðÿåìîå çíà÷åíèå
ïàðàìåòðà a = 2 sin 1 íóæíî âêëþ÷èòü â îòâåò çàäà÷è.
Îòâåò: a1 = 0 , a2 = 2 sin 1 .
Çàäà÷à 2 (õèìè÷åñêèé ô-ò, 1999). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ
ïàðàìåòðà à, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå
(
) + 2a = a
x 2x − 1
x
2 +1
(1)
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Ðåøåíèå. Íåèçâåñòíàÿ õ âõîäèò â óðàâíåíèå (1) ÷åðåç äâå
÷åòíûå ôóíêöèè: y = x2 è y = cos x . Ïîýòîìó ýòî óðàâíåíèå
èíâàðèàíòíî ïðè çàìåíå x íà –x. Çíà÷èò, åñëè êàêîå-òî ÷èñëî
x0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ (1), òî è ÷èñëî ( - x0 ) òàêæå
áóäåò êîðíåì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèå (1) èìååò
åäèíñòâåííûé êîðåíü òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà ñðåäè êîðíåé
ïðèñóòñòâóåò ÷èñëî x0 = 0 . Ïðè ýòîì íå èñêëþ÷åíî íàëè÷èå
è äðóãèõ êîðíåé. Âàæíî ëèøü òî, ÷òî åñëè ñðåäè êîðíåé íåò
÷èñëà 0, òî ìíîæåñòâî Ma åãî êîðíåé íå ìîæåò áûòü
îäíîýëåìåíòíûì (îíî ëèáî ïóñòî, ëèáî ñîäåðæèò ïî ìåíüøåé ìåðå äâà êîðíÿ âèäà x1 , - x1 ).
Ïðîñòàÿ ïîäñòàíîâêà ÷èñëà 0 íà ìåñòî íåèçâåñòíîé äàåò,
÷òî ÷èñëî 0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ (1) äëÿ a1 = 0 è
a2 = 2 sin 1 .
Äëÿ çàâåðøåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è äîñòàòî÷íî âûÿñíèòü,
ñêîëüêî êîðíåé èìååò óðàâíåíèå (1) äëÿ äâóõ «ïîäîçðèòåëüíûõ» çíà÷åíèé ïàðàìåòðà a1 = 0 è a2 = 2 sin 1 .
1. Åñëè à = 0, òî óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä x2 = 0 , ò.å.
èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü x0 = 0 . Ïîýòîìó çíà÷åíèå à = 0
íóæíî âêëþ÷èòü â îòâåò çàäà÷è.
"#
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
2
+1
èìååò íå÷åòíîå ÷èñëî ðåøåíèé.
Ðåøåíèå.  ýòîé çàäà÷å óðàâíåíèå òàêæå èíâàðèàíòíî ïðè
çàìåíå õ íà –õ (õîòÿ çàìåòèòü ýòî äîâîëüíî òÿæåëî).
Ïîýòîìó åñëè ÷èñëî x0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, òî ÷èñëî - x0 òàêæå áóäåò åãî êîðíåì. Âñëåäñòâèå ýòîãî,
êîëè÷åñòâî êîðíåé ìîæåò áûòü íå÷åòíûì òîëüêî â ñëó÷àå,
êîãäà ñðåäè êîðíåé íàõîäèòñÿ ÷èñëî x0 = 0 .  ïðîòèâíîì
ñëó÷àå ìíîæåñòâî êîðíåé ëèáî ïóñòî, ëèáî áåñêîíå÷íî, ëèáî
êîíå÷íî è ñîäåðæèò ÷åòíîå ÷èñëî êîðíåé.
Ïîäñòàâëÿÿ â èñõîäíîå óðàâíåíèå âìåñòî íåèçâåñòíîé õ
÷èñëî 0, ìû ïîëó÷èì ïðîñòîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî à:
2a = a2 + 1 , êîòîðîå èìååò äâà êîðíÿ: a1 = 1 , a2 = -1 .
Åñëè à = 1, òî èñõîäíîå óðàâíåíèå ðàñïàäàåòñÿ íà äâà
óðàâíåíèÿ:
x 2x − 1
x 2x − 1
=
= −4 .
,
0
2x + 1
2x + 1
(
)
(
)
Ïåðâîå óðàâíåíèå, î÷åâèäíî, èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü
x−4
,
õ = 0. Âòîðîå óðàâíåíèå ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó 2x =
x+4
"$
ÊÂÀÍT$ 2007/¹5
ïîñëå ÷åãî ñ ïîìîùüþ ãðàôèêîâ ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îíî íå
èìååò êîðíåé.
Èòàê, â ñëó÷àå à = 1 èñõîäíîå óðàâíåíèå èìååò ðîâíî 1
êîðåíü.
Åñëè à = –1, òî èñõîäíîå óðàâíåíèå òàêæå ðàñïàäàåòñÿ íà
äâà óðàâíåíèÿ:
= 0 , x (2
x 2x - 1
x
2 +1
x
x
) =4.
-1
2 +1
Ïåðâîå óðàâíåíèå òàêîå æå, êàê è ïåðâîå óðàâíåíèå â ñëó÷àå
à = 1; îíî èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü õ = 0. Âòîðîå óðàâíåíèå
x+4
, ïîñëå ÷åãî ñ ïîìîùüþ
ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó 2x =
x-4
ãðàôèêîâ ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îíî èìååò äâà êîðíÿ. Òî÷íûå
çíà÷åíèÿ ýòèõ êîðíåé íàì ñîâåðøåííî íå âàæíû; âïðî÷åì,
ãðàôèêè ïîçâîëÿþò èõ ëîêàëèçîâàòü: -5 < x1 < -4 , 4 < x2 < 5
( x1 = - x2 ).
Èòàê, â ñëó÷àå à = –1 èñõîäíîå óðàâíåíèå èìååò ðîâíî 3
êîðíÿ.
Õîòÿ ìû òî÷íî îïðåäåëèëè ÷èñëî êîðíåé â êàæäîì èç äâóõ
«ïîäîçðèòåëüíûõ» ñëó÷àåâ, äëÿ çàâåðøåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è
äîñòàòî÷íî áûëî ïðîñòî âûÿñíèòü, êîíå÷íî èëè íåò ÷èñëî
êîðíåé èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Òîãäà ìíîæåñòâî êîðíåé èìååò
âèä {0; x1; - x1;K ; xn; - xn } , ò.å. ñîäåðæèò íå÷åòíîå ÷èñëî
êîðíåé.
Îòâåò: a1 = 1 , a2 = -1 .
 ñëåäóþùåé çàäà÷å ïîÿâèòñÿ èíâàðèàíòíîñòü íåîáû÷íîãî
äëÿ øêîëüíîé ìàòåìàòèêè âèäà.
Çàäà÷à 3 (ÂÌÊ, 1998). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà
à, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå
2x
 x2 − 1 
5
2
2
(3)
21+ x + a cos 
+a − 4 =0
x


èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Ðåøåíèå. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî óðàâíåíèå (3) íå
1
èçìåíèòñÿ ïðè çàìåíå õ íà
. Ïîýòîìó åñëè x0 – ðåøåíèå
x
1
– òîæå ðåøåíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè
óðàâíåíèÿ (3), òî
x0
1
x0 – åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òî x0 =
, ò.å. x0 ìîæåò áûòü
x0
òîëüêî 1 èëè –1.
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå õ = 1 â óðàâíåíèå (3), ïîëó÷àåì
3
óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà: a2 + a + = 0 . Äèñêðè4
ìèíàíò ýòîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ îòðèöàòåëåí, òàê ÷òî íè
ïðè îäíîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà a ÷èñëî õ = 1 íå áóäåò êîðíåì
óðàâíåíèÿ (3).
Ïîäñòàâëÿÿ òåïåðü â óðàâíåíèå (3) õ = –1, ïîëó÷àåì
íåîáõîäèìîå (íî íåäîñòàòî÷íîå (!)) óñëîâèå äëÿ èñêîìûõ
3
çíà÷åíèé ïàðàìåòðà: a2 + a - = 0 , êîòîðîå èìååò äâà
4
1
3
êîðíÿ a =
è a=- .
2
2
Íàéäåì òåïåðü êîëè÷åñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (3) äëÿ
3
1
äâóõ «ïîäîçðèòåëüíûõ» çíà÷åíèé ïàðàìåòðà a = è a = - .
2
2
Íàëè÷èå â ýòîì óðàâíåíèè ðàçíîðîäíûõ ÷ëåíîâ (ïîêàçàòåëüíîãî è òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî), êîíå÷íî, ïîòðåáóåò ïðèìåíåíèÿ ãðàôè÷åñêîãî ìåòîäà èëè ìåòîäà îöåíîê. ×òîáû óïðîñòèòü äàëüíåéøèé àíàëèç, ïðèìåíèì òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ
t
ïîäñòàíîâêó x = tg , t ∈ ( π;0 ) U (0; π ) . Òîãäà (3) ïðåâðà2
òèòñÿ â ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
5
2sin t + a cos (2 ctg t ) + a2 − = 0 .
(4)
4
1. Åñëè a =
1
, òî óðàâíåíèå (4) ïðèìåò âèä
2
cos (2 ctg t ) = 2 − 21+ sin t .
(5)
Ôóíêöèþ y1 ( t ) = cos ( 2 ctg t ) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
ñóïåðïîçèöèþ ôóíêöèé y u = cos u è u t = 2 ctg t . Ïðè
èçìåíåíèè t îò - π äî 0 ôóíêöèÿ u t ìîíîòîííî óáûâàåò îò
+∞ äî −∞ . Ñîîòâåòñòâåííî, ôóíêöèÿ y1 ( t ) ñîâåðøàåò
áåñêîíå÷íîå ÷èñëî êîëåáàíèé îò –1 äî +1; ïðè ýòîì
 π
y1  −  = 1 . Äëÿ t ∈ (0; π ) â ñèëó ÷åòíîñòè ôóíêöèè y1 ( t )
 2
ñèòóàöèÿ àíàëîãè÷íà.
Ôóíêöèþ y2 ( t ) = 2 - 21+ sin t ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñóïåðïîçèöèþ ôóíêöèé y ( u ) = 2 - 21+ u è u ( t ) = sin t . Ãðàôèê
ôóíêöèè y ( u ) ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ñòàíäàðòíîé ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè 2u ïåðåíîñîì íà 1 âëåâî, îñåâîé ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî îñè Îõ, ïåðåíîñîì íà 2 ââåðõ. Ïîýòîìó
ïðè èçìåíåíèè ïåðåìåííîé t îò - π äî π ôóíêöèÿ y2 ( t )
 π
ñíà÷àëà âîçðàñòàåò îò y2 ( - π) = 0 äî y2  −  = 1 , çàòåì
 2
 π
π
óáûâàåò îò y2  −  = 1 äî y2   = −2 , à ïîòîì îïÿòü
 2
2
π
âîçðàñòàåò îò y2   = −2 äî y2 ( π) = 0 .
2
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (5) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî
êîðíåé íà ìíîæåñòâå ( −π;0 ) U (0; π ) , òàê ÷òî ïðîâåðÿåìîå
çíà÷åíèå ïàðàìåòðà íå âêëþ÷àåòñÿ â îòâåò.
3
2. Åñëè a = − , òî óðàâíåíèå (4) ïðèìåò âèä
2
1
cos (2 ctg t ) =
2 + 21+ sin t .
(6)
3
Ïðè t Î ( - π;0) U ( 0; π) ôóíêöèÿ y = cos ( 2 ctg t) ïðèíèìàåò
1
2 + 21+ sin t – èç
çíà÷åíèÿ èç îòðåçêà [ -1;1] , à ôóíêöèÿ y =
3
4
ìíîæåñòâà [1;2] \   . Ïîýòîìó óðàâíåíèå (6) ðàâíîñèëüíî
3 
ñèñòåìå
(
)
(
)
cos (2 ctg t ) = 1,

1
1+ sin t
= 1.
 3 2 + 2
(
)
Âòîðîå óðàâíåíèå ýòîé ñèñòåìû èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü,
π
óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ t ∈ ( −π;0 ) U (0; π ) : t = - . Ýòîò
2
êîðåíü ÿâëÿåòñÿ è êîðíåì ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, òàê
÷òî ïðîâåðÿåìîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà âêëþ÷àåòñÿ â îòâåò.
3
Îòâåò: a = - .
2
Ñèñòåìû
Êàê è äëÿ óðàâíåíèé, äëÿ ñèñòåì ñàìûì ðàñïðîñòðàíåííûì ñëó÷àåì ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ çíàêà ó îäíîé èëè íåñêîëüêèõ íåèçâåñòíûõ.
Çàäà÷à 4 (ýêîíîìè÷åñêèé ô-ò, 1987). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà
3 ⋅ 2 x + 5 x + 4 = 3 y + 5x2 + 3a,
(7)
 2
2
 x + y = 1
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Ðåøåíèå. Íàøà ñèñòåìà èíâàðèàíòà ïðè çàìåíå õ íà (–õ).
Ïîýòîìó åñëè x; y – ðåøåíèå ñèñòåìû (7), òî è - x; y òîæå
áóäåò ðåøåíèåì. Âñëåäñòâèå ýòîãî, åñëè ñèñòåìà (7) èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òî ýòî ðåøåíèå èìååò âèä 0; y .
Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî íåèçâåñòíîé õ ÷èñëî 0, ìû ïîëó÷èì, ÷òî
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
4
ïàðà 0; y ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (7) òîëüêî äëÿ a =
3
10
èëè a =
.  ïåðâîì ñëó÷àå ýòèì åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì
3
ìîæåò áûòü òîëüêî ïàðà ( x; y ) = ( 0;1) , âî âòîðîì – ïàðà
( x; y ) = ( 0; -1) . Êàê îáû÷íî, íåëüçÿ èñêëþ÷èòü, ÷òî êðîìå
îòìå÷åííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìà èìååò è äðóãèå ðåøåíèÿ.
Äëÿ çàâåðøåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íóæíî âûÿñíèòü, ñêîëüêî
ðåøåíèé èìååò èñõîäíàÿ ñèñòåìà (7) äëÿ äâóõ ïîäîçðèòåëü4
10
è a=
.
íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà a =
3
3
Èñïîëüçóÿ ãðàôè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ è ìåòîä îöåíîê,
4
ïàðà x; y = 0;1 ÿâëÿåòñÿ
ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ a =
3
10
åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì ñèñòåìû (7), à â ñëó÷àå a =
3
ñèñòåìà (7) èìååò ïî ìåíüøåé ìåðå òðè ðåøåíèÿ ( 0; -1) ,
( 1;0) , -1;0 .
4
Îòâåò: a = .
3
Çàäà÷à 5 (ìåõìàò, 1966). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ à è b, ïðè
êîòîðûõ ñèñòåìà
ì xyz + z = a,
ï
2
í xyz + z = b,
(8)
ï 2
2
2
îx + y + z = 4
èìååò òîëüêî îäíî ðåøåíèå (à, b, x, y, z – äåéñòâèòåëüíûå
÷èñëà).
Ðåøåíèå. Èñõîäíàÿ ñèñòåìà íå ìåíÿåòñÿ ïðè îäíîâðåìåííîé ïåðåìåíå çíàêîâ ó íåèçâåñòíûõ õ è ó. Èíà÷å ãîâîðÿ, îíà
èíâàðèàíòíà
îòíîñèòåëüíî
ïðåîáðàçîâàíèÿ
( x; y; z ) a (− x; − y; z ) . Ïîýòîìó åñëè òðîéêà ÷èñåë x0 ; y0 ; z0 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (8), òî è òðîéêà - x0 ; - y0 ; z0 áóäåò ðåøåíèåì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè x0 ; y0 ; z0 –
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû, òî x0 ; y0 ; z0 = - x0 ; - y0 ; z0 ,
îòêóäà x0 = 0 , y0 = 0 .
Ïðÿìàÿ ïîäñòàíîâêà â (8) âìåñòî õ è ó ÷èñëà 0 ïîêàçûâàåò,
÷òî òðîéêà 0;0; z – ðåøåíèå ñèñòåìû (8) òîëüêî â äâóõ
ñëó÷àÿõ:
1.  ñëó÷àå a = b = 2 åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì ìîæåò òîëüêî
òðîéêà ( x; y; z ) = ( 0;0;2) .
2.  ñëó÷àå a = b = –2 åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì ìîæåò áûòü
òîëüêî òðîéêà ( x; y; z ) = ( 0;0; -2) .
Ðåøàÿ ñèñòåìó (8) äëÿ óêàçàííûõ êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé
ïàðàìåòðîâ, ìû ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ a = b = 2 ñèñòåìà (8) êðîìå
èìååò åùå ÷åòûðå ðåøåíèÿ:
ðåøåíèÿ ( 0;0;2)
 5 +1 5 −1   5 −1 5 +1  − 5 −1 − 5 +1 
;
;1 ,
 2 ; 2 ;1 ,  2 ; 2 ;1 , 
2
2

 

 
− 5 +1 − 5 −1 
;
;1 , à äëÿ a = b = –2 òðîéêà x; y; z =

2
2


= 0;0; -2 ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì.
Îòâåò: a = b = –2.
 ñëåäóþùåé çàäà÷å, â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåé, ðàáîòàåò
íå òîëüêî èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ çíàêà ó
äâóõ íåèçâåñòíûõ, íî è ñèììåòðè÷íîñòü ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî âõîäÿùèõ â íåå íåèçâåñòíûõ (â íàøèõ òåðìèíàõ ðå÷ü èäåò
îá èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ
x; y a y; x ). Îäíàêî ýòà ñèììåòðèÿ (ñëåäîâàòåëüíî, è
ñîîòâåòñòâóþùàÿ èíâàðèàíòíîñòü) «ñïðÿòàíà» ñ ïîìîùüþ
çàìåíû íåèçâåñòíûõ.
Çàäà÷à 6 (ìåõìàò, 2006). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà
2xy − ax − 2ay + a2 − 2 = 0,
 2
(9)
2
2
4 x + 4 y − 8ax − 4ay − 7a − 20a = 0
"%
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
èìååò ðîâíî äâà ðàçëè÷íûõ ðåøåíèÿ.
a
Ðåøåíèå. Äëÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ u = x – a, v = y −
è
2
2
b = 3a + 5a ñèñòåìà (9) ïðèìåò âèä
uv = 1,
 2
2
u + v = b.
(10)
Ïîñêîëüêó ìåæäó ïàðàìè ( x; y ) è ( u; v) èìååòñÿ âçàèìíî
îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, ñèñòåìû (9) è (10) èìåþò îäíî è
òî æå ÷èñëî ðåøåíèé.
Ñèñòåìà (10) íå èçìåíèòñÿ, åñëè îäíîâðåìåííî èçìåíèòü
çíàêè ó ïåðåìåííûõ u è v, à òàêæå åñëè èõ ïîìåíÿòü ìåñòàìè.
Ïîýòîìó åñëè u0 ; v0 – ðåøåíèå ñèñòåìû (10), òî ðåøåíèÿìè
áóäóò è ïàðû - u0 ; -v0 , v0 ; u0 , -v0 ; - u0 . Â ñèëó ïåðâîãî
óðàâíåíèÿ, u0 è v0 îòëè÷íû îò 0, òàê ÷òî èç ÷åòûðåõ
óêàçàííûõ ïàð ïàðû u0 ; v0 è - u0 ; -v0 , à òàêæå ïàðû
v0 ; u0 è -v0 ; -u0 ðàçëè÷íû. Ïîýòîìó ñèñòåìà (10) ìîæåò
èìåòü äâà ðåøåíèÿ òîëüêî â ñëó÷àå u0 = v0 .
Ïðÿìàÿ ïîäñòàíîâêà â èñõîäíóþ ñèñòåìó äàåò, ÷òî ïàðà
( u; u ) áóäåò ðåøåíèåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà b = 2. Åñëè
b = 2, òî ñèñòåìà (10) ëåãêî ðåøàåòñÿ è äåéñòâèòåëüíî èìååò
äâà ðåøåíèÿ: ( 1;1) è ( -1; -1) .
Äëÿ îñíîâíîé ïåðåìåííîé à óñëîâèå b = 2 äàåò óðàâíåíèå
3a2 + 5a = 2 , îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò îòâåò.
1
Îòâåò: a1 = , a2 = -2 .
3
Óïðàæíåíèÿ
1 (ô-ò ïî÷âîâåäåíèÿ, 2001). Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà
b óðàâíåíèå tg b = log2 cos x - x èìååò ðîâíî îäèí êîðåíü?
2 (ãåîëîãè÷åñêèé ô-ò, 2003). Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ à óðàâíå2
íèå 2π2 x - 1 + 4a cos 2πx - 9a3 = 0 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå?
3 (ýêîíîìè÷åñêèé ô-ò, 2003). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà
b, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå
2 ö
æπ + 2
ö
æ 2x
b2 sin ç
- x÷ + sin2 ç
è 2
ø
è b + 1 b + 1÷ø
– b 4x2 + 8 - 8 x = 3 + arcsin 1 - x
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
4 (ìåõìàò, 1966). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ à è b, ïðè êîòîðûõ
ñèñòåìà
ì xy - 1
= a,
ï y
í x +1
ï 2
2
îx + y = b
èìååò òîëüêî îäíî ðåøåíèå.
5 (ÌØÝ, 2005). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà b, ïðè
êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé
ì x2 + 1 b = y + cos 2x,
ï
í sin x
ïî2
+ y =2
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
6 (ÂÌÊ, 1997). Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ à ñèñòåìà
4
4
ïì x + y = a,
í
ïîcos x - y + xy £ 1
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå?
7 (õèìè÷åñêèé ô-ò, 1986). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè
êîòîðûõ ñèñòåìà
ìï1 - x - 1 = 7 y ,
í
2
2
ïî49 y + x + 4a = 2x - 1
èìååò ðîâíî ÷åòûðå ðàçëè÷íûõ ðåøåíèÿ.