Московский государственный институт электронной техники

!&
ÊÂÀÍT 2008/¹2
ñâåòëîãî ïÿòíà íà ýêðàíå ïëàâíî (ìîíîòîííî) óâåëè÷èâàåòñÿ
è íà ðàññòîÿíèè L = 18 ñì îò ïåðåãîðîäêè äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ
r1 = 3 ñì . Åñëè ëèíçó óáðàòü, îñòàâèâ ýêðàí íà ìåñòå, òî
ðàäèóñ ïÿòíà íà ýêðàíå ñòàíåò r2 = 4,5 ñì . Îïðåäåëèòå
ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå F ëèíçû. (4 áàëëà)
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè À.Ëåäåíåâ, À.Ïè÷êóð
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé èíñòèòóò
ýëåêòðîííîé òåõíèêè
(òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò)
ÔÈÇÈÊÀ
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Âàðèàíò 1
1. Òåëî, äâèãàÿñü ïðÿìîëèíåéíî è ðàâíîçàìåäëåííî, ïðîøëî çà äâà îäèíàêîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðîìåæóòêà âðåìåíè τ = 2 ñ ïóòè s1 = 26 ì è s2 = 10 ì.
Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó a óñêîðåíèÿ òåëà.
2. Íà ñòîëå ñòîÿò ïðóæèííûå âåñû, íà
âåñàõ – öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ñ âîäîé
(ðèñ.1). Êîãäà â ñîñóä äîëèëè íåêîòîðîå
êîëè÷åñòâî âîäû, ñâîáîäíàÿ ïîâåðõíîñòü
âîäû â ñîñóäå îñòàëàñü îòíîñèòåëüíî
ñòîëà íà ïðåæíåì óðîâíå. Îïðåäåëèòå
æåñòêîñòü k ïðóæèííûõ âåñîâ. Âíóòðåííèé ðàäèóñ ñîñóäà r = 8 ñì.
3. Âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè O ìîæåò âðàùàòüñÿ ëåãêèé æåñòêèé ñòåðÐèñ. 1
æåíü, íà êîòîðîì íà îäèíàêîâûõ ðàññòîÿíèÿõ l = 40 ñì îò îñè çàêðåïëåíû íåáîëüøèå ãðóçû ñ
ìàññàìè m è M (ðèñ.2; îñü O ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè
ðèñóíêà). Ïåðâîíà÷àëüíî
ñòåðæåíü óäåðæèâàëè â ãîðèçîíòàëüíîì ïîëîæåíèè,
à çàòåì áåç òîë÷êà îòïóñÐèñ. 2
òèëè. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü v ãðóçîâ, åñëè îòíîøåíèå èõ ìàññ M m = 3 .
Òðåíèåì è ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
4. Âî ñêîëüêî ðàç îòëè÷àþòñÿ ñðåäíèå êâàäðàòè÷íûå
ñêîðîñòè ìîëåêóë âîäîðîäà è êèñëîðîäà â âîçäóõå íàøåé
àóäèòîðèè?
5. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q íóæíî ñîîáùèòü â èçîáàðíîì ïðîöåññå îäíîàòîìíîìó èäåàëüíîìó ãàçó, ÷òîáû óâåëè÷èòü åãî îáúåì â n = 2 ðàçà?  èñõîäíîì ñîñòîÿíèè îáúåì è
äàâëåíèå ãàçà ðàâíû V = 0,1 ì 3 è p = 100 êÏà.
6. Êîíäåíñàòîð, çàðÿä êîòîðîãî q = 50 íÊë, ïîäêëþ÷èëè
ê èñòî÷íèêó íàïðÿæåíèåì U = 100 Â.  ðåçóëüòàòå ýíåðãèÿ
êîíäåíñàòîðà óâåëè÷èëàñü â n = 4 ðàçà. Îïðåäåëèòå åìêîñòü
Ñ êîíäåíñàòîðà.
7. Ïðè ðàáîòå óòþãà âèëêà ýëåêòðè÷åñêîãî øíóðà èç-çà
ïëîõîãî êîíòàêòà ñ ðîçåòêîé íåìíîãî íàãðåâàåòñÿ. Îïðåäåëèòå ñîïðîòèâëåíèå r êîíòàêòà «âèëêà-ðîçåòêà», ñ÷èòàÿ, ÷òî
ìîùíîñòü âûäåëåíèÿ òåïëà â êîíòàêòå Pê = 2 Âò, íàïðÿæåíèå íà ñïèðàëè óòþãà U = 220 Â, ìîùíîñòü ñïèðàëè
P = 660 Âò.
8. Òîíêèé ìåòàëëè÷åñêèé ñòåðæåíü ïîäâåøåí â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå íà äâóõ ãèáêèõ ïðîâîäíèêàõ, ïîäêëþ÷åííûõ ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ. Ñíà÷àëà
ñòåðæåíü óäåðæèâàëè òàê, ÷òî âåêòîð èíäóêöèè ìàãíèòíîãî
ïîëÿ ñîñòàâëÿë óãîë α = 60° ñî ñòåðæíåì, à çàòåì ñòåðæåíü
óñòàíîâèëè ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó èíäóêöèè. Âî ñêîëüêî
ðàç èçìåíèëàñü ïðè ýòîì ñèëà Àìïåðà, äåéñòâóþùàÿ íà
ñòåðæåíü ñî ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ?
9. Íàáëþäàòåëü ðîñòîì h = 170 ñì, íàõîäÿñü íà ðàññòî-
ÿíèè L = 20 ì îò äåðåâà, âèäèò åãî âåðõóøêó â ìàëåíüêîì
çåðêàëå, ðàñïîëîæåííîì ãîðèçîíòàëüíî íà çåìëå íà ðàññòîÿíèè l = 2 ì îò åãî íîã. Îïðåäåëèòå âûñîòó Í äåðåâà.
10. Ðàáîòà âûõîäà ýëåêòðîíîâ èç àëþìèíèÿ ðàâíà
A1 = 3,74 ýÂ, à èç öåçèÿ – A2 = 1,89 ýÂ. Âî ñêîëüêî ðàç
îòëè÷àþòñÿ äëèíû âîëí, ñîîòâåòñòâóþùèå êðàñíûì ãðàíèöàì ôîòîýôôåêòà äëÿ ýòèõ ìåòàëëîâ?
Ôèçè÷åñêèå ïîñòîÿííûå
Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2
Ïëîòíîñòü âîäû ρ = 1000 êã ì 3
Ìîëÿðíàÿ ìàññà âîäîðîäà Μ â = 2 ã ìîëü
Ìîëÿðíàÿ ìàññà êèñëîðîäà Μ ê = 32 ã ìîëü
Âàðèàíò 2
(îëèìïèàäà-2007)
1. Ñ êàêîé ãîðèçîíòàëüíîé ñêîðîñòüþ v0 íóæíî áðîñèòü
êàìåíü ñ âåðøèíû ãîðû, ñêëîí êîòîðîé îáðàçóåò óãîë α ñ
ãîðèçîíòîì, ÷òîáû îí óïàë íà ñêëîí ãîðû íà ðàññòîÿíèè L îò
âåðøèíû? Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g. Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
2. Íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ëåæèò äîñêà
(ðèñ.3). Íà äîñêó îïèðàåòñÿ ñâîáîäíûé êîíåö òîíêîé îäíîðîäíîé áàëêè, øàðíèðíî çàêðåïëåííîé ïîä óãëîì α ê âåðòèêàëè.
Êàêóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ñèëó F
íóæíî ïðèëîæèòü ê äîñêå, ÷òîáû
ìåäëåííî çàòÿãèâàòü åå ïîä áàëêó
ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ? Ìàññà
áàëêè m, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ
ìåæäó áàëêîé è äîñêîé µ , óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g.
Ðèñ. 3
3. Òåëî ìàññîé m = 1 êã áðîñèëè
ïîä óãëîì ê ãîðèçîíòó. Íà âûñîòå h = 10 ì åãî êèíåòè÷åñêàÿ
ýíåðãèÿ îêàçàëàñü ðàâíîé Eê = 100 Äæ. Êàêîé áûëà âåëè÷èíà v0 íà÷àëüíîé ñêîðîñòè òåëà? Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî
ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 . Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
4. Íàéäèòå ïëîòíîñòü ρ âîäîðîäà â ñîñóäå îáúåìîì V =
= 40 ë, åñëè ÷èñëî åãî ìîëåêóë â ñîñóäå âäâîå áîëüøå
÷èñëà Àâîãàäðî NA . Ìîëÿðíàÿ ìàññà âîäîðîäà
Μ=
Μ = 2 × 10 -3 êã ìîëü .
5. Èäåàëüíûé ãàç ïåðåâîäÿò èç ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿíèå 2 â ïðîöåññå, ãðàôèê êîòîðîãî èçîáðàæåí
íà ðèñóíêå 4. Ñ÷èòàÿ èçâåñòíûìè äàâëåíèå p1 è îáúåìû V1,V2,V3 , îïðåäåëèòå
äàâëåíèå p2 , ïðè êîòîðîì
ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ ãàçîì
â äàííîì ïðîöåññå, ðàâíà
Ðèñ. 4
íóëþ.
6. Òðè îäèíàêîâûõ íåçàðÿæåííûõ ìåòàëëè÷åñêèõ øàðèêà 1, 2 è 3 ðàñïîëîæåíû
âäîëü îäíîé ïðÿìîé è ñâÿçàíû äâóìÿ îäèíàêîâûìè äëèííûìè èçîëèðóþùèìè íèòÿìè (ðèñ.5). ×åòâåðòûé òàêîé æå
øàðèê çàðÿäèëè è ïî î÷åðåäè ïðèêîñíóëèñü èì ê
ïåðâûì òðåì â ïîðÿäêå âîçÐèñ. 5
ðàñòàíèÿ èõ íîìåðîâ. Âî
ñêîëüêî ðàç ïîñëå ýòîãî îòëè÷àþòñÿ ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòåé?
7. Ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R = 18 êÎì è âîëüòìåòð
ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî è ïîäêëþ÷åíû ê èñòî÷íèêó
ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ U = 24 Â. Âîëüòìåòð ïðè ýòîì
ïîêàçûâàåò íàïðÿæåíèå U1 = 20 Â. Îïðåäåëèòå ñîïðîòèâëåíèå r âîëüòìåòðà.
!'
ÂÀÐÈÀÍÒÛ
8. Êàòóøêà èíäóêòèâíîñòüþ L ïðèñîåäèíåíà ê ïëîñêîìó
êîíäåíñàòîðó ñ ïëîùàäüþ îáêëàäîê S è ðàññòîÿíèåì ìåæäó
íèìè d. ×åìó ðàâíà äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ε
ñðåäû, çàïîëíÿþùåé ïðîñòðàíñòâî ìåæäó îáêëàäêàìè, åñëè
àìïëèòóäà ñèëû òîêà â êîíòóðå Im , à àìïëèòóäà íàïðÿæåíèÿ
íà êîíäåíñàòîðå Um ? Ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ ε0 . Àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì êîíòóðà ïðåíåáðå÷ü.
9. Ïðåäìåò íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè d = 20 ñì îò òîíêîé
ëèíçû, ïðè ýòîì ðàçìåð äåéñòâèòåëüíîãî èçîáðàæåíèÿ â Ã =
= 3 ðàçà ïðåâîñõîäèò ðàçìåð ïðåäìåòà. Ïîñòðîéòå õîä ëó÷åé,
ôîðìèðóþùèõ èçîáðàæåíèå, è îïðåäåëèòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå F ëèíçû.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè À.Áåðåñòîâ, È.Ãîðáàòûé,
Â.Ãóíäûðåâ, Ñ.Êóêëèí, È.Ôåäîðåíêî
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé
óíèâåðñèòåò èì. Í.Ý.Áàóìàíà
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå 21+
+ 22 - x = 9 .
x2 - 2x
<3.
4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log2
x-3
5. Êàêàÿ íàèáîëüøàÿ ïëîùàäü ìîæåò áûòü ó ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà, îñíîâàíèå êîòîðîãî ïàðàëëåëüíî îñè x,
à êîîðäèíàòû âåðøèí óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ
2
y = 9 - ( x - 2) ?
6. Îïðåäåëèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå
2
4 x 2 - 8 x + ( 2a + x + x ) = 4 èìååò ðîâíî äâà ðàçëè÷íûõ
êîðíÿ. Óêàæèòå ýòè êîðíè ïðè êàæäîì èç íàéäåííûõ çíà÷åíèé a.
7. Îñíîâàíèåì ïèðàìèäû TABC ñëóæèò òðåóãîëüíèê ABC,
âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû 4, à âûñîòà ïèðàìèäû, ðàâíàÿ 3,
ñîâïàäàåò ñ áîêîâûì ðåáðîì TA. Íàéäèòå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ
ïèðàìèäû ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíó ñòîðîíû
îñíîâàíèÿ AB è öåíòð ñôåðû, îïèñàííîé îêîëî ïèðàìèäû, è
ïàðàëëåëüíîé ìåäèàíå AD áîêîâîé ãðàíè TAB.
x
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
ÔÈÇÈÊÀ
Âàðèàíò 1
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
1. Ïåðâûé àâòîìîáèëü ïðîõîäèò â ìèíóòó íà 300 ì áîëüøå,
÷åì âòîðîé, ïîýòîìó âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ îäíîãî êèëîìåòðà
ó íåãî íà 10 ñåêóíä ìåíüøå. Íà ñêîëüêî ìåòðîâ óâåëè÷èâàåòñÿ îòñòàâàíèå âòîðîãî àâòîìîáèëÿ îò ïåðâîãî çà âðåìÿ,
ïîêà ïåðâûé ïðîõîäèò 1 êì?
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå cos 2x = 3 + 5 sin x . Óêàæèòå åãî
êîðíè, ëåæàùèå â ïðîìåæóòêå [ - 3π 2; π 2] .
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
1
æ
æ5
öö
çè 2 + log2 çè 4 - x ÷ø ÷ø log x 2 = 1 .
x x -1
3
> x+ .
8
x -1
5. Êàêóþ íàèáîëüøóþ ïëîùàäü ìîæåò èìåòü òðåóãîëüíèê,
îãðàíè÷åííûé îñüþ Ox, ïðÿìîé x = 3 2 è êàñàòåëüíîé ê
2
ãðàôèêó ôóíêöèè y = 2x â òî÷êå ñ àáñöèññîé x0 , åñëè
0 < x0 < 3 ?
6. Óêàæèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå
4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
8 ( x - x) = 4 + a ( x - 8)
èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü. Íàéäèòå ýòîò êîðåíü ïðè êàæäîì a.
7. Îñíîâàíèåì ïèðàìèäû TABC ñëóæèò òðåóãîëüíèê ABC,
âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû 4, à âûñîòà ïèðàìèäû ñîâïàäàåò
ñ áîêîâûì ðåáðîì TA. Íàéäèòå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ïèðàìèäû
ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíû ñòîðîíû îñíîâàíèÿ
AC è áîêîâîãî ðåáðà TB è ïàðàëëåëüíîé ìåäèàíå BD áîêîâîé
ãðàíè BTC, åñëè ðàññòîÿíèå îò âåðøèíû ïèðàìèäû T äî
ñåêóùåé ïëîñêîñòè ðàâíî 1/2.
Âàðèàíò 2
1. Îäèí ðàáî÷èé âçÿëñÿ âûïîëíèòü çàêàç çà 15 äíåé ïðè
óñëîâèè, ÷òî â òå÷åíèå 4 äíåé åìó áóäåò ïîìîãàòü âòîðîé
ðàáî÷èé. Åñëè áû ýòîò çàêàç áûë ïîðó÷åí êàæäîìó ðàáî÷åìó
îòäåëüíî, òî äëÿ åãî âûïîëíåíèÿ ïåðâîìó ïîòðåáîâàëîñü áû
íà 6 äíåé ìåíüøå, ÷åì âòîðîìó. Çà ñêîëüêî äíåé êàæäûé èç
íèõ ìîæåò âûïîëíèòü çàêàç?
2. Íàéäèòå âñå êîðíè óðàâíåíèÿ
cos 3x + cos 5x + 2 cos 4 x = 0 ,
ïðèíàäëåæàùèå ïðîìåæóòêó [ π 2; π] .
Âàðèàíò 1
1. Íàïèøèòå ôîðìóëèðîâêó çàêîíà Îìà äëÿ çàìêíóòîé
ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Íàïèøèòå ôîðìóëó çàêîíà Îìà äëÿ
ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 1. Óêàæèòå
åäèíèöû èçìåðåíèÿ âõîäÿùèõ
â íåå ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí.
2. Êàêóþ ðàáîòó À íóæíî
ñîâåðøèòü íàä îäíèì ìîëåì
èäåàëüíîãî ãàçà äëÿ åãî èçîáàðíîãî ñæàòèÿ, ïðè êîòîðîì Ðèñ. 1
êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè â α = 3 ðàç áîëüøå, ÷åì â íà÷àëüíîì?
Ïåðâîíà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ãàçà T1 = 400 Ê .
3. Ïðîòîí è ýëåêòðîí, äâèãàÿñü ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè, ïîïàäàþò â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå. Âî ñêîëüêî ðàç
ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîðèè ïðîòîíà R1 áîëüøå ðàäèóñà
êðèâèçíû òðàåêòîðèè ýëåêòðîíà R2 ?
4. Íàéäèòå íàèáîëüøèé ïîðÿäîê ñïåêòðà äëÿ æåëòîé
ëèíèè íàòðèÿ ñ äëèíîé âîëíû 589 íì, åñëè ïåðèîä äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè 2 ìêì.
5. Îäíîðîäíûé ñòåðæåíü îïèðàåòñÿ î âåðòèêàëüíóþ ïëîñêîñòü, îáðàçóÿ ñ ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ óãîë α = 60°
(ðèñ.2). Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó ñòåðæíåì è ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ µ1 = 0,25 . ×åìó ðàâíà ìèíèìàëüíàÿ âåëè÷èíà êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ µ2 ìåæäó ñòåðæíåì è
âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòüþ, ïðè êîòîðîé ñòåðæåíü áóäåò íàõîäèòüñÿ â
ðàâíîâåñèè?
6. Äâå áóñèíêè, èìåþùèå çàðÿäû
+q è +3q, óäåðæèâàþòñÿ íà äëèííîì ãîðèçîíòàëüíîì èçîëèðóþùåì Ðèñ. 2
ñòåðæíå íà ðàññòîÿíèè L0 äðóã îò äðóãà (ðèñ.3). Áóñèíêó,
èìåþùóþ çàðÿä +3q è ìàññó m, îòïóñêàþò, è îíà íà÷èíàåò
ñêîëüçèòü ïî ñòåðæíþ. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ
ðàâåí µ . Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå L ìåæäó áóñèíêàìè.
7. Ê îñè êîëåñà, ìàññà m êîòîðîãî
ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà ïî îáîäó,
ïðèñîåäèíåíà ïðóæèíà æåñòêîñòüþ
k (ðèñ.4). Âòîðîé êîíåö ïðóæèíû Ðèñ. 3