147 Ïîëàãàÿ k = − γ ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå â âèäå α(A1x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C 2 ) + γ (A3 x + B3 y + C3 ) = 0 , (5.85) ãäå α2 + β2 + γ 2 ≠ 0 . (5.86) Ðàñêðûâ ñêîáêè è ïðèâåäÿ ïîäîáíûå, ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå â âèäå (αA1 + βA2 + γA3 )x + (αB1 + βB2 + γB3 )y + (αC1 + βC2 + γC3 ) = 0 . Ïîëó÷åííîå òîæäåñòâî ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâàì αA1 + βA2 + γA3 = 0 , αB1 + βB2 + γB3 = 0 , (5.87) αC1 + β C2 + γC3 = 0 .  ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 3.2 (Êðîíåêåðà-Êàïåëëè) ñèñòåìà (5.87) áóäåò èìåòü íåíóëåâîå ðåøåíèå, åñëè A1 A2 A3 B1 B2 B3 = 0 C1 C 2 C3 , (5.88) êîòîðîå ìû ìîæåì ïðèíÿòü â êà÷åñòâå óñëîâèÿ ïåðåñå÷åíèÿ òð¸õ äàííûõ ïðÿìûõ â îäíîé òî÷êå. 5.8. Ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå. Îñíîâíûå çàäà÷è Çàäà÷à 14. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè òî÷êè Íàì òðåáóåòñÿ ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè äàííûå òî÷êè M1 (x1, y1, z1 ) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) , M3 (x3 , y3 , z3 ) íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé. 1. Ïðè ðåøåíèè ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè (5.4) 10* 148 r r r r r = r0 + t1 p + t2 q , M3 M1 r r r1 r3 r M 2 r2 (5.4) ãäå â ñîîòâåòñòâèè ñ ðèñ. 5.17 è M ðèñ. 5.2 íàäî ïîëîæèòü: r r r0 = r1 ; r r r r r p = M1M2 = r2 − r1 ; r r r q = M1M3 = r3 − r1 . z O y x Âûïîëíèâ óêàçàííóþ ïîäñòàíîâêó ïîëó÷èì èñêîìîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè Ðèñ. 5.17. r r r r r r r = r1 + t1 (r2 − r1 ) + t2 (r3 − r1 ) . (5.89) 2. Ãîðàçäî ïðîùå ðåøèòü ýòó çàäà÷ó èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ òð¸õ âåêòîðîâ M1M , M1M2 è M1M3 (ñì. ï. 4.7.3). Òàê êàê âñå ýòè âåêòîðû ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, èõ ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ, ò.å. (M M,M M ,M M )= 0 . 1 âèäå 1 2 1 3 Èñïîëüçóÿ (4.58) çàïèøåì èñêîìîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â x − x1 y − y1 z − z1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 . (5.90) Óðàâíåíèþ (5.90) ìîæíî ïðèäàòü áîëåå ñèììåòðè÷íûé âèä (ñì. çàäà÷ó 10): x y z x1 y1 z1 1 x2 y2 z2 1 x3 y3 z3 1 1 =0 . (5.91) 149 Çàäà÷à 15. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â îòðåçêàõ Ðàññìîòðèì îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.18) (5.18) Ax + By + Cz + D = 0 . Ïîëàãàÿ D ≠ 0 ïî àíàëîãèè ñ çàäà÷åé 4 âûïîëíèì î÷åâèäíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ: Ax + By + Cz = −D , Ax = x y z By = Cz = 1 , 1 , 1 , A B C −D x y z x y z + + = =1 + + = −D − D − D − D 1 1 1 −D èëè . A B C A B C Ïîëàãàÿ − D D D =a, − =b, − =c A B C ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â âèäå x y z + + = 1. a b c (5.92) Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè â îòðåçêàõ. Çàäà÷à 16. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè 1. Ïóñòü ïðÿìàÿ l çàäàíà âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì (5.1) r r r (5.1) r = r0 + a t , à ïëîñêîñòü π çàäàíà âåêòîðíûì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè (5.13) (5.13) (rr − rr0 , nr ) = 0 èëè (rr − rr0 , pr, qr ) = 0 .  ýòîì ñëó÷àå íàì èçâåñòåí íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé r r r r r a (l , m, n ) è íîðìàëüíûé âåêòîð ïëîñêîñòè n (A, B, C ) , n = [p, q ]. Ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè åñëè å¸ íàïðàâëÿþùèé âåê- 150 òîð ar ïåðïåíäèêóëÿðåí íîðìàëüíîìó âåêòîðó ïëîñêîñòè nr , ò.å., åñëè (ar, nr ) = 0 èëè Al + Bm + Cn = 0 . r Åñëè ïðè ýòîì íà÷àëüíûé âåêòîð ïðÿìîé r0 (5.93) áóäó÷è ïîäñòàâëåííûì â óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.13) ïðåâðàùàåò åãî â òîæäåñòâî, òîãäà íà÷àëüíàÿ òî÷êà ïðÿìîé ëåæèò â äàííîé ïëîñêîñòè è ïðÿìàÿ òîæå ëåæèò â ïëîñêîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìàÿ l ëåæèò â ïëîñêîñòè π åñëè îäíîâðåìåííî âûïîëíåíû óñëîâèÿ (5.94) Al + Bm + Cn = 0 è Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 . ßñíî, ÷òî íåâûïîëíåíèå óñëîâèÿ (5.93), ò.å. (5.95) Al + Bm + Cn ≠ 0 , åñòü óñëîâèå ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. Ïðÿìàÿ l ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ïëîñêîñòè π åñëè íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé ar ïàðàëëåëåí íîðìàëüíîìó âåêòîðó ïëîñêîñòè nr , ÷òî ðàâíîñèëüíî çàïèñè (5.96) [ar, nr ] = θ , èëè r i r j r k l m n =θ A B C . (5.97) 2. Åñëè ïðÿìàÿ l çàäàíà â âèäå A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 , A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 , à ïëîñêîñòü π çàäàíà ñâîèì îáùèì óðàâíåíèåì Ax + By + Cz + D = 0 , òîãäà íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.33) èìååò êîîðäèíàòû 151 r B a 1 B2 C1 C1 , C2 C 2 A1 A1 , A2 A2 r B1 B2 , íîðìàëüíûé âåêòîð ïëîñêîñòè åñòü n (A, B, C ) , è óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè åñòü (ar, nr ) = 0 èëè A B1 C1 B2 C2 +B C1 A1 C2 A2 +C A1 B1 A2 B2 =0. Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî åñòü íå ÷òî èíîå êàê A B C A1 B1 C1 = 0 A2 B2 C2 . (5.98) Åñëè A B C I = A1 B1 C1 ≠ 0 A2 B2 C2 , òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Êðîíåêåðà-Êàïåëëè ñèñòåìà óðàâíåíèé Ax + By + Cz + D = 0 , A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 , A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òàê êàê ðàíã ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ðàâåí 3 è ÷èñëî íåèçâåñòíûõ òîæå 3 ( RgI = 3 , n = 3 ) è òðè ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Çàäà÷à 17. Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì èçâåñòåí íîðìàëüíûé âåêòîð ïëîñr r êîñòè n (A, B, C ) è íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé a (l, m, n ) , òîãäà, 152 r n ψ r a êàê ýòî ñëåäóåò èç ðèñ. 5.18, óãîë ìåæäó r íîðìàëüíûì âåêòîðîì n (A, B,C ) è íà- l r ïðàâëÿþùèì âåêòîðîì a (l, m, n ) ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äàííûõ âåêòîðîâ: ϕ π Ðèñ. 5.18. cos ψ = Al + Bm + Cn A2 + B 2 + C 2 ⋅ l 2 + m 2 + n 2 . Òàê êàê ψ= π −ϕ, 2 òîãäà, ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî sin ϕ = cos ψ áóäåò sin ϕ = Al + Bm + Cn . A2 + B 2 + C 2 ⋅ l 2 + m 2 + n 2 (5.99) Çàäà÷à 18. Óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè â ïðîñòðàíñòâå r Åñëè èçâåñòíû íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû ïðÿìûõ a1 (l1, m1, n1 ) è r a2 (l 2 , m2 , n2 ) , òî óãîë ϕ ìåæäó ïðÿìûìè åñòü óãîë ìåæäó èõ íà- ïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè è ìû ìîæåì ñðàçó íàïèñàòü, ÷òî cos ϕ = l1l2 + m1m2 + n1n2 l12 + m12 + n12 ⋅ l22 + m22 + n22 . (5.100) Çàäà÷à 19. Ðàçáèåíèå ïðîñòðàíñòâà íà äâà ïîëóïðîñòðàíñòâà Ðàçáèåíèå ïðîñòðàíñòâà íà äâà ïîëóïðîñòðàíñòâà àíàëîãè÷íî ðàçáèåíèþ ïëîñêîñòè (çàäà÷à 5) íà äâå ïîëóïëîñêîñòè. Ïóñòü íàì äàíà ïëîñêîñòü π ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîì nr . Ïîëóïðîñòðàíñòâîì, îïðåäåëÿåìûì ïëîñêîñòüþ π è å¸ íîðìàëü- 153 íûì âåêòîðîì nr , áóäåì íàçûr âàòü ìíîæåñòâî òî÷åê (ðèñ. 5.19) n r r r M òàêèõ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé (r − r0 , n ) > 0 òî÷êè M0 ∈ π âåêòîð M0M ñîϕ ñòàâëÿåò ñ âåêòîðîì nr óãîë, íå ïðåâûøàþùèé π . 2 Åñëè rr - ðàäèóñ-âåêòîð òî÷- r êè M , à r0 - ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè M0 (rr − rr0 , nr ) < 0r −n M r q r p π r )= r ,n 0 r r − r 0 ( Ðèñ. 5.19. M0 ∈ π , òîãäà îïðåäåëåíèå ïîëó- ïðîñòðàíñòâà ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó (rr − rr0 , nr ) ≥ 0 (5.101) èëè Ax + By + Cz + D ≥ 0 . (5.102) Îáà ýòè íåðàâåíñòâà ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíåíèÿ ïîëîæèòåëüíîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà. Î÷åâèäíî, ÷òî ïëîñêîñòü è å¸ íîðìàëüíûé âåêòîð − nr çàäàþò äðóãîå ïîëóïðîñòðàíñòâî ñ óðàâíåíèåì (5.103) (rr − rr0 , nr ) ≤ 0 èëè Ax + By + Cz + D ≤ 0 . Ýòî ïîëóïðîñòðàíñòâî ìû áóäåì íàçûâàòü îòðèöàòåëüíûì ïîëóïðîñòðàíñòâîì, èìåÿ â âèäó óñëîâíîñòü òàêîãî ðàçáèåíèÿ. Âûáîð êîíêðåòíîãî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè âûäåëÿåò îäíî ïîëîæèòåëüíîå ïîëóïðîñòðàíñòâî. Êàê è â çàäà÷å 5 íîðìàëüíûé âåêòîð ïëîñêîñòè nr íàïðàâëåí â ïîëîæèòåëüíîå ïîëóïðîñòðàír r ñòâî è ñîñòàâëÿåò ñ íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè ïëîñêîñòè p è q ïðàâóþ òðîéêó âåêòîðîâ. Çàäà÷à 20. Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè Íàì èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî îòëè÷íîãî îò íóëåâîãî âåêr òîðà n (A, B,C ) ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê M (x, y, z ) , äëÿ êîòîðûõ 154 (M M, nr )= 0 , (5.104) 0 ãäå M0 (x0 , y0 , z0 ) - íåêîòîðàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè, êîòîðîå ìîæíî çàïèñàòü è òàê A(x − x0 ) + B (y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0 . (5.105) r Î âåêòîðå n (A, B,C ) áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îí îðòîãîíàëåí äàííîé ïëîñêîñòè. r Åñëè âåêòîð n (A, B,C ) íîðìèðîâàí, òîãäà A2 + B 2 + C 2 = 1 è åñëè ïðè ýòîì D ≤ 0 , òî óðàâíåíèå (5.104) åñòü íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè. r Åñëè n = 1 , òî r r r r (5.106) n = cos α ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k , ãäå α, β, γ - óãëû, îáðàçîâàííûå âåêòîðîì nr ñ îñÿìè êîîðäèíàò. Ïîäñòàâëÿÿ (5.106) â (5.105) ïîëó÷èì x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0 , (5.107) ãäå − p = D .  âåêòîðíîé ôîðìå íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè èìååò âèä (5.108) (nr, rr ) − p = 0 èëè (nr, rr ) = p . Åñëè ïëîñêîñòü çàäàíà óðàâíåíèåì (5.109) Ax + By + cz + D = 0 , òî äëÿ ïðèâåäåíèÿ åãî ê âèäó (5.107) íàäî íîðìèðîâàòü âåêòîð nr , ò.å. íàäî óðàâíåíèå (5.109) óìíîæèòü íà íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü µ=± 1 A + B2 + C 2 2 . (5.110) Äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè áóäåì âûáèðàòü çíàê (+) åñëè D < 0 è çíàê (-) åñëè D < 0 . Ïî àíàëîãèè ñ çàäà÷åé 6 ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî p â óðàâíå- 155 íèè (5.108) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ðàññòîÿíèåì îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî ïëîñêîñòè. Çàäà÷à 21. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè N h p K r n z Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè çàäà÷è 7 ï.3. M Ïóñòü ïëîñêîñòü çàäàíà r R íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì (5.108). Èç ðèñ. 5.20 ñëåäóåò, ÷òî ìîäóëü ïðîåêöèè ðàäèóñ-âåêr O y x òîðà R òî÷êè M (X ,Y , Z ) íà íîðìàëüíûé íîðìèðîâàííûé âåêòîð nr åñòü Ðèñ. 5.20. r r R, n r r Ïðnr R = r 2 ⋅ n = X cos α + Y cos β + Z cos γ = p + h , n ( ) îòêóäà r r h = X cos α + Y cos β + z cos γ − p èëè h = n, R − p ( ) (5.111) Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M (X ,Y , Z ) äî ïëîñêîñòè íàäî â íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.108) ïîäñòàâèòü êîîðäèíàòû äàííîé òî÷êè è ìîäóëü ïîëó÷åííîé âåëè÷èíû ïðèíÿòü çà èñêîìîå ðàññòîÿíèå. Åñëè ïëîñêîñòü çàäàíà â îáùåì âèäå, òîãäà h= AX + BY + CZ + D A2 + B 2 + C 2 . (5.112) Çàäà÷à 22. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè Ðàññìîòðèì äâå ñêðåùèâàþùèåñÿ (íå ïàðàëëåëüíûå è íå èìåþùèå îáùèõ òî÷åê) ïðÿìûå l1 è l2 . Èç ãåîìåòðèè èçâåñòíî, 156 r a2 ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóþò äâå ïëîñêîñòè π1 è π 2 , òàêèå, ÷òî: l1 ∈ π1 , l 2 ∈ π 2 è π1 ïàðàë- M2 l2 h r r2 r r1 M1 ëåëüíà π 2 . r a1 Ïóñòü óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ l1 l1 è l2 åñòü: r r r r r r r − r1 = a1t è r − r2 = a2t , z y O òîãäà äëÿ ïëîñêîñòè π1 ïîëîæèì Ðèñ. 5.21. r (ðèñ. 5.21) íà÷àëüíóþ òî÷êó r1 è x r r íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû a1 è a2 , r à äëÿ ïëîñêîñòè π 2 â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé òî÷êè âîçüì¸ì r2 è íàr r ïðàâëÿþùèå âåêòîðû a1 è a2 . Î÷åâèäíî, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè åñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè π1 è π 2 . Êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 5.21 îáú¸ì ïàðàëëåëåïèïåäà ïîñòðîåír r r r íîãî íà âåêòîðàõ r2 − r1 , a1 è a2 åñòü r r r r V = (r2 − r1, a1, a2 ) , à ïëîùàäü åãî îñíîâàíèÿ åñòü r r S = [a1, a2 ] . Òîãäà âûñîòà ïàðàëëåëåïèïåäà è ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè åñòü h= V S = (rr2 − rr1, ar1, ar2 ) [ar1, ar2 ] . (5.113) Åñëè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, òî îíè ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè è h = 0 , òîãäà (rr2 − rr1, ar1, ar2 ) = 0 r r è [a1, a2 ] ≠ 0 . 157 Çàäà÷à 23. Ïó÷îê è ñâÿçêà ïëîñêîñòåé Ïó÷êîì ïëîñêîñòåé áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâî ïëîñêîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåìóþ îñüþ ïó÷êà. Óðàâíåíèå ïó÷êà ïëîñêîñòåé èìååò âèä α (A1x + B1 y + C1z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C 2 z + D2 ) = 0 , (5.114) ãäå α 2 + β 2 ≠ 0 . Ñâÿçêîé ïëîñêîñòåé íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ïëîñêîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó, íàçûâàåìóþ öåíòðîì ñâÿçêè. Óðàâíåíèå ñâÿçêè ïëîñêîñòåé èìååò âèä α (A1x + B1 y + C1z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) + + γ (A3 x + B3 y + C3z + D3 ) = 0 ãäå α 2 + β 2 + γ 2 ≠ 0 . , (5.115)