Вычислительная геометрия на плоскости

26
ÇÀÄÀ×È
2002 ¹ 39 ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ
Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ íà ïëîñêîñòè
Å.Â. Àíäðååâà, Þ.Å. Åãîðîâ,
Ìîñêâà
“Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ — ýòî ðàçäåë èíôîðìàòèêè, èçó÷àþùèé àëãîðèòìû ðåøåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ
çàäà÷. Òàêèå çàäà÷è âîçíèêàþò â êîìïüþòåðíîé ãðàôèêå, ïðîåêòèðîâàíèè èíòåãðàëüíûõ ñõåì, òåõíè÷åñêèõ
óñòðîéñòâ è äð. Èñõîäíûìè äàííûìè â òàêîãî ðîäà çàäà÷àõ ìîãóò áûòü ìíîæåñòâî òî÷åê, íàáîð îòðåçêîâ,
ìíîãîóãîëüíèê è ò.ï. Ðåçóëüòàòîì ìîæåò áûòü ëèáî îòâåò íà êàêîé-òî âîïðîñ (òèïà “ïåðåñåêàþòñÿ ëè ýòè
ïðÿìûå”), ëèáî êàêîé-òî ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò (íàïðèìåð, íàèìåíüøèé âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê, ñîäåðæàùèé çàäàííûå òî÷êè)” [1].
 “Èíôîðìàòèêå” ¹ 14 çà ýòîò ãîä áûëà îïóáëèêîâàíà ñòàòüÿ îäíîãî èç àâòîðîâ, ïîñâÿùåííàÿ çàäà÷àì âû÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè â îëèìïèàäàõ ïî èíôîðìàòèêå.  ÷àñòíîñòè, òàì áûë ñôîðìóëèðîâàí ðÿä
ýëåìåíòàðíûõ ïîäçàäà÷, íà êîòîðûå îïèðàåòñÿ ðåøåíèå áîëüøèíñòâà çàäà÷ âû÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè.
Îäíàêî çàíÿòèÿ äàæå ñ ìàòåìàòè÷åñêè õîðîøî ïîäãîòîâëåííûìè ó÷àùèìèñÿ ñòàðøèõ êëàññîâ ïîêàçàëè, ÷òî
ðåøåíèå òàêèõ ïîäçàäà÷ âûçûâàåò ó íèõ áîëüøîå çàòðóäíåíèå. Çàäà÷à ëèáî ñòàâèò èõ â òóïèê, ëèáî âûáðàííûé “ëîáîâîé” ñïîñîá ðåøåíèÿ íàñòîëüêî ñëîæåí,
÷òî äîâåñòè åãî äî êîíöà áåç îøèáîê ó÷àùèåñÿ íå
ìîãóò. Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ðåøåíèÿ “ãåîìåòðè÷åñêèõ”
çàäà÷ íà âñåðîññèéñêèõ îëèìïèàäàõ ïî èíôîðìàòèêå
ïðèâîäèò ê òåì æå âûâîäàì. Òàêóþ ñèòóàöèþ ìû ñ÷èòàåì ïîïðàâèìîé. Öåëü íàñòîÿùåé ñòàòüè — ïîêàçàòü
ïîäõîäû ê ðåøåíèþ ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷ íà ïëîñêîñòè, êîòîðûå ïîçâîëÿþò äîñòàòî÷íî áûñòðî è ìàêñèìàëüíî ïðîñòî ïîëó÷àòü ðåøåíèÿ áîëüøèíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ïîäçàäà÷.
Âåêòîðû è êîîðäèíàòû
×òîáû ïðèìåíÿòü ìåòîäû âû÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè,
íåîáõîäèìî ãåîìåòðè÷åñêèå îáðàçû ïåðåâåñòè íà ÿçûê
÷èñåë. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ïëîñêîñòè çàäàíà äåêàðòîâà
ñèñòåìà êîîðäèíàò (ÑÊ). Îáùåïðèíÿòî âûáèðàòü êî-
π
, ïðè êî2
òîðîì îñü Ox ñîâìåùàåòñÿ ñ îñüþ Oy, ïðîèñõîäèë ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Òàêóþ ÑÊ íàçûâàþò ïðàâîé.  äàëüíåéøåì ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî íàøà ÑÊ ïðàâàÿ.  òàêîé
ÑÊ íàïðàâëåíèå ïîâîðîòà ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì.
Òåïåðü ãåîìåòðè÷åñêèå îáúåêòû ïîëó÷àþò àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå. Òàê, ÷òîáû çàäàòü îòðåçîê, äîñòàòî÷íî
óêàçàòü êîîðäèíàòû åãî êîíöîâ. Ïðÿìóþ ìîæíî çàäàòü,
óêàçàâ ïàðó åå òî÷åê, ëèáî êîîðäèíàòàìè îäíîé åå òî÷êè è âåêòîðîì, õàðàêòåðèçóþùèì íàïðàâëåíèå ýòîé
ïðÿìîé, è ò.ä. Âîîáùå ïðè ðåøåíèè çàäà÷ îñíîâíûì
èíñòðóìåíòîì äëÿ íàñ áóäóò âåêòîðû. Íàïîìíèì ïîýòîìó íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î íèõ.
îðäèíàòíûå îñè òàê, ÷òîáû ïîâîðîò íà óãîë
Îòðåçîê AB, ó êîòîðîãî òî÷êó A ñ÷èòàþò íà÷àëîì (òî÷êîé ïðèëîæåíèÿ), à òî÷êó B — êîíöîì, íàçûâàþò âåêòîðîì AB è îáîçíà÷àþò ëèáî AB , ëèáî æèðíîé ñòðî÷íîé ëàòèíñêîé áóêâîé, íàïðèìåð, a. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ
äëèíû âåêòîðà (òî åñòü äëèíû ñîîòâåòñòâóþùåãî îòðåçêà) áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ñèìâîëîì ìîäóëÿ (íàïðèìåð, |a|). Äâà âåêòîðà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îíè
ñîâìåùàþòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì.
Ïóñòü òî÷êè A è B èìåþò êîîðäèíàòû (x1, y1) è (x2, y2)
ñîîòâåòñòâåííî. Êîîðäèíàòàìè âåêòîðà AB íàçûâàåòñÿ
ïàðà ÷èñåë (x2 – x1, y2 – y1). Íàîáîðîò, åñëè âåêòîð
èìååò êîîðäèíàòû (x, y) è ïðèëîæåí ê òî÷êå (x1, y1),
òî ëåãêî âû÷èñëèòü êîîðäèíàòû (x2, y2) åãî êîíöà:
x2 = x1 + x, y2 = y1 + y. Äëèíà âåêòîðà AB ïî òåîðåìå
Ïèôàãîðà ðàâíà (x 2 – x 1 )2 + ( y 2 – y 1 )2 . Ðàâåíñòâî
äâóõ âåêòîðîâ a = (ax, ay) è b = (bx, by) ýêâèâàëåíòíî
ðàâåíñòâó èõ ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò: ax = bx, ay = by.
Âåêòîðû ìîæíî ñêëàäûâàòü è óìíîæàòü íà ÷èñëà.
Ñëîæåíèå âåêòîðîâ ïðîèçâîäèòñÿ ïî ïðàâèëó òðåóãîëüíèêà èëè ïî ïðàâèëó ïàðàëëåëîãðàììà (ðèñ. 1).
b
a
a+
b
a
a+b
b
Ðèñ. 1
Ïîä ðàçíîñòüþ âåêòîðîâ a è b ïîíèìàþò ñóììó
âåêòîðà a ñ âåêòîðîì, ïðîòèâîïîëîæíûì âåêòîðó b
(ò.å. ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûì è ñîâïàäàþùèì ñ
íèì ïî äëèíå). Ïðè óìíîæåíèè âåêòîðà a íà ÷èñëî t
ïîëó÷àåòñÿ âåêòîð, èìåþùèé äëèíó |t | ⋅ |a|; åãî íàïðàâëåíèå ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì a, åñëè t > 0, è
ïðîòèâîïîëîæíî åìó, åñëè t < 0. Ýòî ïîçâîëÿåò íàì
ââåñòè îòíîøåíèå êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ (ò.å. ñîíàïðàâëåííûõ èëè ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûõ), ïîíèìàÿ ïîä íèì êîýôôèöèåíò èõ ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. Ñ ïîìîùüþ òàêîãî îòíîøåíèÿ óäîáíî îïèñûâàòü
ïîðÿäîê ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê íà ïðÿìîé. Íàïðèìåð,
óñëîâèå
AB
< 0 îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè A, B è C ëåæàò
AC
íà îäíîé ïðÿìîé, ïðè÷åì òî÷êà A ëåæèò ìåæäó B è C.
Îòìåòèì åùå, ÷òî âåêòîð, ñîíàïðàâëåííûé ñ äàííûì
âåêòîðîì a è èìåþùèé çàäàííóþ äëèíó l, ìîæíî
âûðàçèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
l
a . Â äàëüíåéøåì ìû
a
2002 ¹ 39 ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ
íåîäíîêðàòíî áóäåì ýòèì ïîëüçîâàòüñÿ.  êîîðäèíàòàõ ïåðå÷èñëåííûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè çàïèñûâàþòñÿ òàê:
åñëè a = (ax, ay) è b = (bx, by),
òî a + b = (ax + bx, ay + by),
a – b = (ax – bx, ay – by) è t ⋅ a = (t ⋅ ax, t ⋅ ay).
Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ íåíóëåâûõ âåêòîðîâ
a = (x1, y1) è b = (x2, y2) íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
(a, b) = |a | ⋅ |b | ⋅ cos ϕ,
ãäå ϕ — óãîë ìåæäó ýòèìè âåêòîðàìè.
 êîîðäèíàòàõ îíî âû÷èñëÿåòñÿ òàê:
(a, b) = x1x2 + y1y2.
Êàê âèäíî èç ôîðìóë, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ìîæíî
èñïîëüçîâàòü äëÿ íàõîæäåíèÿ óãëà ìåæäó âåêòîðàìè. Â
÷àñòíîñòè, äâà íåíóëåâûõ âåêòîðà ïåðïåíäèêóëÿðíû òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî
π
íóëþ ( cos = 0 ). Òàê êàê cos ϕ ïîëîæèòåëåí äëÿ îñò2
ðûõ óãëîâ è îòðèöàòåëåí äëÿ òóïûõ, óãîë ìåæäó âåêòîðàìè îñòðûé (òóïîé) â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà èõ
ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïîëîæèòåëüíî (îòðèöàòåëüíî).
Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè
Ïóñòü a è b — äâà íåíóëåâûõ âåêòîðà, îòëîæåííûå
îò îäíîé òî÷êè.  øêîëüíîì êóðñå ãåîìåòðèè ïîä óãëîì
ìåæäó âåêòîðàìè ïîíèìàåòñÿ ìåíüøèé èç äâóõ óãëîâ
ìåæäó ëó÷àìè, íà êîòîðûõ ëåæàò âåêòîðû a è b. Çíà÷åíèå òàêîãî óãëà âñåãäà íàõîäèòñÿ â ïðîìåæóòêå [0; π].
Äëÿ âû÷èñëåíèé ÷àñòî áîëåå óäîáíûì îêàçûâàåòñÿ
ïîíÿòèå îðèåíòèðîâàííîãî óãëà, ò.å. óãëà, ó÷èòûâàþùåãî âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå âåêòîðîâ. Çíà÷åíèå îðèåíòèðîâàííîãî óãëà ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ðàâíî îáû÷íîìó óãëó ìåæäó âåêòîðàìè. Îðèåíòèðîâàííûé óãîë
ìåæäó âåêòîðàìè a è b ïîëîæèòåëüíûé, åñëè ïîâîðîò
îò âåêòîðà a ê âåêòîðó b ñîâåðøàåòñÿ â ïîëîæèòåëüíîì
íàïðàâëåíèè (â íàøåé ÑÊ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè), è
îòðèöàòåëüíûé — â äðóãîì ñëó÷àå. Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî
ïàðà âåêòîðîâ a è b ïîëîæèòåëüíî (îòðèöàòåëüíî) îðèåíòèðîâàíà. Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà îðèåíòèðîâàííîãî
óãëà çàâèñèò îò ïîðÿäêà ïåðå÷èñëåíèÿ âåêòîðîâ è ìîæåò
ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ â èíòåðâàëå (–π; π]. Íà ðèñ. 2 îðèåíòèðîâàííûå óãëû ìåæäó âåêòîðàìè OA è OB è ìåæäó
âåêòîðàìè OB è OA ðàâíû ïî ìîäóëþ, íî ïåðâûé èç íèõ
îòðèöàòåëüíûé, à âòîðîé — ïîëîæèòåëüíûé.
Äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ OA , OB è OC ëåãêî âû÷èñëèòü
âåëè÷èíó îðèåíòèðîâàííîãî óãëà AOB, çíàÿ âåëè÷èíû óãëîâ AOC è COB: îíà ðàâíà èõ ñóììå ñ ó÷åòîì çíàêîâ.
Íàïðèìåð, ïðè òàêîì ðàñïîëîæåíèè âåêòîðîâ, êàê íà
ðèñ. 2, óãîë AOC âîéäåò â ñóììó ñî çíàêîì ïëþñ, à óãîë
COB — ñ ìèíóñîì. Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî ïðè ñóììèðîâàíèè äâóõ ïîëîæèòåëüíûõ (äâóõ îòðèöàòåëüíûõ)
óãëîâ ðåçóëüòàò ïðåâçîéäåò π ïî ìîäóëþ. Òîãäà, ÷òîáû
ïîëó÷èòü ïðàâèëüíîå çíà÷åíèå óãëà, íóæíî îòíÿòü (äîáàâèòü) 2π. Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî ïðè ýòîì íàì íå ïðèäåòñÿ
ÇÀÄÀ×È
27
ðàññìàòðèâàòü ðàçëè÷íûå ñëó÷àè âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ âåêòîðîâ.  ýòîì è ñîñòîèò ïðåèìóùåñòâî èñïîëüçîâàíèÿ îðèåíòèðîâàííûõ óãëîâ.
C
A
B
O
Ðèñ. 2
Êàê, çíàÿ êîîðäèíàòû âåêòîðîâ, íàéòè óãîë ìåæäó
íèìè? Î÷åâèäíûé ñïîñîá ñëåäóåò èç ôîðìóëû äëÿ ñêà(a, b)
. Îäíàêî ïðè ýòîì
a ⋅b
ïîëó÷èòñÿ çíà÷åíèå íåîðèåíòèðîâàííîãî óãëà è ÷àñòü èíôîðìàöèè (âîçìîæíî, ïîëåçíàÿ) áóäåò íàìè ïîòåðÿíà.
Êðîìå òîãî, èñïîëüçîâàíèå ýòîé ôîðìóëû äëÿ ïðîãðàììèðîâàíèÿ íå âñåãäà óäîáíî. Íàïðèìåð, â ÿçûêå Ïàñêàëü,
êàê è â ðÿäå äðóãèõ ÿçûêîâ ïðîãðàììèðîâàíèÿ, èç îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ðåàëèçîâàíà òîëüêî ôóíêöèÿ arctg ϕ. Ìû ïîêàæåì, êàê íàéòè óãîë èíà÷å, ïîñëå
òîãî, êàê ïîçíàêîìèìñÿ ñ îðèåíòèðîâàííîé ïëîùàäüþ.
ëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ: cos ϕ =
Îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîùàäü
Îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà — ýòî åãî
îáû÷íàÿ ïëîùàäü, ñíàáæåííàÿ çíàêîì. Çíàê ó îðèåíòèðîâàííîé ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ABC òàêîé æå, êàê ó
îðèåíòèðîâàííîãî óãëà ìåæäó âåêòîðàìè AB è AC . Òî
åñòü åå çíàê çàâèñèò îò ïîðÿäêà ïåðå÷èñëåíèÿ âåðøèí.
Íà ðèñ. 2 òðåóãîëüíèê ABC — ïðÿìîóãîëüíûé. Åãî îðèKKH
KKKH
|
AB
|
|
AC
| (îíà áîëüøå
⋅
åíòèðîâàííàÿ ïëîùàäü ðàâíà
2
íóëÿ, òàê êàê ïàðà AB , AC îðèåíòèðîâàíà ïîëîæèòåëüíî). Ýòó æå âåëè÷èíó ìîæíî âû÷èñëèòü äðóãèì ñïîñîáîì. Ïóñòü O — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè. Íà íàøåì ðèñóíêå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC ïîëó÷èòñÿ, åñëè
èç ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà OBC âû÷åñòü ïëîùàäè OAB è
OCA. Òàêèì îáðàçîì, íóæíî ïðîñòî ñëîæèòü îðèåíòèðîâàííûå ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ OAB, OBC è OCA. Ýòî
ïðàâèëî ðàáîòàåò ïðè ëþáîì âûáîðå òî÷êè O.
Òî÷íî òàê æå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè ëþáîãî
ìíîãîóãîëüíèêà A 1A2…An íóæíî ñëîæèòü îðèåíòèðîâàííûå ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ OA1A2, OA2A3, …, OAnA1
(ðèñ. 3).  ñóììå ïîëó÷èòñÿ ïëîùàäü ìíîãîóãîëüíèêà,
âçÿòàÿ ñî çíàêîì ïëþñ, åñëè ïðè îáõîäå ëîìàíîé A1A2…An
âíóòðåííîñòü ìíîãîóãîëüíèêà íàõîäèòñÿ ñëåâà, è ñî çíàêîì ìèíóñ, åñëè îíà íàõîäèòñÿ ñïðàâà. Îíà è íàçûâàåòñÿ “îðèåíòèðîâàííîé ïëîùàäüþ ìíîãîóãîëüíèêà
A1A2…An”. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðàâîé ÑÊ îðèåíòèðî-
ÇÀÄÀ×È
28
2002 ¹ 39 ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ
âàííàÿ ïëîùàäü îêàæåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé ïðè îáõîäå
ãðàíèöû ìíîãîóãîëüíèêà ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.
A2
A3
A4
A1
A5
O
Ðèñ. 3
Èòàê, âû÷èñëåíèå ïëîùàäè ìíîãîóãîëüíèêà ñâåëîñü
ê íàõîæäåíèþ îðèåíòèðîâàííîé ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà. Ïîñìîòðèì, êàê âûðàçèòü åå â êîîðäèíàòàõ. Ïóñòü
S — îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a = (x1, y1) è b = (x2, y2). Âû÷èñëèì
åå äëÿ êîíêðåòíîãî ðàñïîëîæåíèÿ âåêòîðîâ (ðèñ. 4). Âåëè÷èíà S çäåñü ïîëîæèòåëüíà (ïàðà âåêòîðîâ a = OA è
b = OB ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàíà). Äîñòðîèì íàø
òðåóãîëüíèê äî ïàðàëëåëîãðàììà OACB ïëîùàäè 2S
(çäåñü OC = OA + OB ). Òîãäà ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà OC1CC2 ðàâíà
|OC1| ⋅ |OC2| = (x1 + x2)(y1 + y2) =
= 2S + 2S1 + 2S2 + 2S3 =
= 2S + x1y1 + x2y2 + 2x2y1
(çäåñü S1, S2, S3 — îáû÷íûå íåîðèåíòèðîâàííûå ïëîùàäè). Ðàñêðûâ ñêîáêè â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà è âûðàçèâ 2S, ïîëó÷èì
2S = x1y2 – x2y1.
(1)
y1 + y2 C2
C
S1
S3
B
y2
S
S2
S2
b
S
A
a
S3
S1
x1
O
Ðèñ. 4
C1
x1 + x2
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî è ïðè äðóãèõ âàðèàíòàõ ðàñïîëîæåíèÿ âåêòîðîâ ôîðìóëà (1) òàêæå îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé. Òàêèì îáðàçîì, îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a = (x1, y1) è
b = (x2, y2), ðàâíà x1y2 – x2y1.
Âåëè÷èíà x1y2 – x2y1 íàçûâàåòñÿ êîñûì (èëè ïñåâäîñêàëÿðíûì) ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a è b. Äëÿ êîñîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìû áóäåì óïîòðåáëÿòü îáîçíà÷åíèå
[a, b]. Åãî íàçâàíèå ñâÿçàíî ñî ñâîéñòâîì êîñîé ñèììåòðèè: [a, b] = –[b, a] (â ëèòåðàòóðå ýòî îáîçíà÷åíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, íî â îòëè÷èå îò ïîñëåäíåãî êîñîå ïðîèçâåäåíèå — ñêàëÿð). Òàê
êàê íåîðèåíòèðîâàííàÿ ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b, ðàâíà |a| ⋅ |b| ⋅ |sin ϕ|, à
çíàê sin ϕ ñîâïàäàåò ñî çíàêîì îðèåíòèðîâàííîãî óãëà
ϕ, òî [a, b] = |a| ⋅ |b | ⋅ sin ϕ. Âåëè÷èíà [a, b] áîëüøå
íóëÿ, åñëè ïàðà âåêòîðîâ a è b ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàíà, è ìåíüøå íóëÿ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Êîñîå ïðîèçâåäåíèå íåíóëåâûõ âåêòîðîâ ðàâíî íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè êîëëèíåàðíû (sin 0 = sin π = 0).
Òåïåðü, êàê è îáåùàëè, íàéäåì â êîîðäèíàòàõ óãîë
ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè. Ïóñòü ϕ — îðèåíòèðîâàííûé
óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a = (x1, y1) è b = (x2, y2). Ñîïîñòàâëÿÿ ôîðìóëû äëÿ ñêàëÿðíîãî è êîñîãî ïðîèçâåäåíèé
[a, b] x 1 y 2 – x 2 y 1
=
. Çíàÿ
(a, b) x 1 x 2 + y 1 y 2
òàíãåíñ óãëà ìåæäó âåêòîðàìè, ìû ëåãêî íàéäåì óãîë
ìåæäó ïðÿìûìè, íà êîòîðûõ ëåæàò a è b: îí ðàâåí
ýòèõ âåêòîðîâ, èìååì tg ϕ =
[a, b]
. ×òîáû ïîëó÷èòü íåïîñðåäñòâåííî ñàì óãîë
(a, b)
ìåæäó âåêòîðàìè, îñòàëîñü âûÿñíèòü, îñòðûé îí èëè òóïîé. Ýòî ìû îïðåäåëèì ïî çíàêó ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ó÷òåì åùå, ÷òî çíàê îðèåíòèðîâàííîãî óãëà ñîâïàäàåò ñî çíàêîì êîñîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Òîãäà îêîí÷àòåëüíî èìååì:
arctg
ϕ = π , åñëè (a, b) = 0, [a, b] > 0;
2
ϕ=–
π
, åñëè (a, b) = 0, [a, b] < 0;
2
ϕ = arctg
[a, b]
, åñëè (a, b) > 0;
(a, b)
ϕ = arctg
[a, b]
+ π, åñëè (a, b) < 0, [a, b] ≥ 0;
(a, b)
ϕ = arctg
[a, b]
– π, åñëè (a, b) < 0, [a, b] < 0.
(a, b)
(2)
Âåëè÷èíà îáû÷íîãî óãëà ðàâíà ìîäóëþ çíà÷åíèÿ îðèåíòèðîâàííîãî óãëà.
Îòìåòèì, ÷òî âñå ñêàçàííîå îá îðèåíòèðîâàííûõ óãëàõ è ïëîùàäÿõ îòíîñèëîñü ê ïðàâîé ÑÊ. Ìîæåò ñòàòüñÿ, ÷òî äëÿ êîíêðåòíîé çàäà÷è óäîáíåå ââåñòè ëåâóþ ÑÊ.
Ê ïðèìåðó, êîîðäèíàòû ïèêñåëåé íà ýêðàíå ìîíèòîðà
äàþòñÿ èìåííî â ëåâîé ÑÊ (îñü àáñöèññ ñìîòðèò âïðàâî,
2002 ¹ 39 ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ
îñü îðäèíàò — âíèç). Ïðè òàêîì âûáîðå îñåé ïîëîæèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîò ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Ñ ýòîé ïîïðàâêîé âñå âûøåèçëîæåííîå ïðèìåíèìî è ê ëåâîé ÑÊ.
Óðàâíåíèÿ ëèíèé
1.1. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè, çàäàííûå ñâîèìè êîîðäèíàòàìè.
Ïóñòü íà ïðÿìîé çàäàíû äâå íåñîâïàäàþùèå òî÷êè: P1
ñ êîîðäèíàòàìè (x1, y1) è P2 c êîîðäèíàòàìè (x2, y2).
Ñîîòâåòñòâåííî âåêòîð ñ íà÷àëîì â òî÷êå P1 è êîíöîì â
òî÷êå P2 èìååò êîîðäèíàòû (x2 – x1, y2 – y1). Åñëè
P(x, y) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà íàøåé ïðÿìîé, òî êîîðäèíàòû âåêòîðà P1P ðàâíû (x – x1, y – y1). Ñ ïîìîùüþ êîñîãî ïðîèçâåäåíèÿ óñëîâèå êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ P1P è P1P2 ìîæíî âûðàçèòü òàê: [P1P, P1P2 ] = 0,
ò.å. (x – x1)(y2 – y1) – (y – y1)(x2 – x1) = 0
(3)
èëè
(y2 – y1)x + (x1 – x2)y + x1(y1 – y2) + y1(x2 – x1) = 0
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïåðåïèøåì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ax + by + c = 0,
(4)
ãäå a = y2 – y1,
b = x1 – x2 ,
c = x1(y1 – y2) + y1(x2 – x1).
Èòàê, âñÿêóþ ïðÿìóþ ìîæíî çàäàòü óðàâíåíèåì
âèäà (4).  ñëåäóþùåì ïóíêòå ìû ïîêàæåì, ÷òî è íàîáîðîò, ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ (êðîìå
a = b = 0) óðàâíåíèå òàêîãî âèäà çàäàåò íà ïëîñêîñòè
íåêîòîðóþ ïðÿìóþ.
Çàìåòèì, ÷òî ïðè ïðîãðàììèðîâàíèè ïåðâóþ èç ôîðìóë (3) íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü â ôîðìå îòíîøåíèÿ
x2 – x1
y – y1
, òàê êàê, âî-ïåðâûõ, äàæå åñëè âñå
= 2
x – x1
y – y1
êîîðäèíàòû çàäàííûõ òî÷åê öåëûå, îøèáêè âåùåñòâåííîé àðèôìåòèêè ïðè îïåðàöèè äåëåíèÿ íå ïîçâîëÿò
ïðîâåðÿòü ñ ïîìîùüþ óêàçàííîãî ñîîòíîøåíèÿ ïðèíàäëåæíîñòü òîé èëè èíîé òî÷êè äàííîé ïðÿìîé, à, âîâòîðûõ, åñëè òî÷êà P ñîâïàäåò ñ P1, ïðîãðàììà áóäåò
ïðåðâàíà â ñèëó äåëåíèÿ íà íîëü.
Óðàâíåíèå ïðÿìîé ìîæíî çàïèñûâàòü è â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå. Ëþáîé âåêòîð, ïðèëîæåííûé ê òî÷êå P1 è
çàêàí÷èâàþùèéñÿ â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå P(x, y), ëåæà-
ÇÀÄÀ×È
29
è, çíà÷èò, òî÷êà P ëåæèò íà ïðÿìîé P1P2. Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà óðàâíåíèé (5), ãäå ïàðàìåòð t ïðîáåãàåò
âñþ äåéñòâèòåëüíóþ îñü, çàäàåò ïðÿìóþ P1P2.
Ýòà æå ñèñòåìà, íî ñî ââåäåííûìè îãðàíè÷åíèÿìè íà
çíà÷åíèÿ t, áóäåò çàäàâàòü è îòðåçîê P1P2, è ëó÷ P1P2. Äëÿ
îòðåçêà t ∈[0, 1] (òî åñòü x ìåíÿåòñÿ â äèàïàçîíå [x1, x2],
à y — â äèàïàçîíå [y1, y2]), à äëÿ ëó÷à — t ∈[0, ∞).
1.2. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, çàäàííîé îäíîé èç åå òî÷åê è
âåêòîðîì íîðìàëè ê íåé.
Ïóñòü çàäàííàÿ òî÷êà P0 ïðÿìîé èìååò êîîðäèíàòû
(x0, y0), à íåêîòîðûé âåêòîð íîðìàëè n ê íåé (òî åñòü
âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé íàøåé ïðÿìîé) — êîîðäèíàòû
(a, b). Åñëè P(x, y) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà íàøåé ïðÿìîé, òî êîîðäèíàòû âåêòîðà P0 P ðàâíû (x – x0, y – y0).
Òîãäà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ
(n, P0 P ) ìîæíî âûðàçèòü òàê:
(n, P0 P ) = a(x – x0) + b(y – y0) = 0.
(6)
Î÷åâèäíî, ÷òî óðàâíåíèå ïðÿìîé (6) òàêæå íåñëîæíî
ïðèâåñòè ê âèäó (4). Òîãäà ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíî, ÷òî
êîýôôèöèåíòû a è b èç óðàâíåíèÿ (4) ïðåäñòàâëÿþò
ñîáîé êîîðäèíàòû îäíîãî èç âåêòîðîâ íîðìàëè ê îïèñûâàåìîé äàííûì óðàâíåíèåì ïðÿìîé. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ a, b è c
(êðîìå a = b = 0) óðàâíåíèå (4) çàäàåò ïðÿìóþ. Åþ
áóäåò ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ âåêòîðó (a, b) è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó, ÷üè êîîðäèíàòû óäîâëåòâîðÿþò (4).
Ïðè a ≠ 0 òàêîé òî÷êîé áóäåò, íàïðèìåð, òî÷êà
c
c
( – , 0), ïðè a = 0 — òî÷êà (0, – ).
b
a
Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî ïîñòàíîâêà çàäà÷è íà ïåðâûé
âçãëÿä êàæåòñÿ íåñêîëüêî èñêóññòâåííîé, èìåííî ñ åå
ïîìîùüþ ìû ïîëó÷èëè óäîáíûé èíñòðóìåíò äëÿ ðàññìîòðåíèÿ öåëîãî ðÿäà äðóãèõ çàäà÷.  ÷åì ñåé÷àñ íàì è
ïðåäñòîèò óáåäèòüñÿ.
1.3. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíîé äàííîé è
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííóþ òî÷êó.
Ïóñòü çàäàííàÿ òî÷êà P0 èñêîìîé ïðÿìîé èìååò êîîðäèíàòû (x0, y0). Åñëè P(x, y) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà
íà òîé æå ïðÿìîé, òî êîîðäèíàòû âåêòîðà P0 P ðàâíû
(x – x0, y – y0). Ýòîò âåêòîð ïåðïåíäèêóëÿðåí âåêòîðó
ùåé íà íàøåé æå ïðÿìîé, ìîæíî ïîëó÷èòü èç P1P2 ïóòåì óìíîæåíèÿ íà íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî t. Òîãäà äëÿ êàæäîé èç êîîðäèíàò â îòäåëüíîñòè ñïðàâåäëèâî:
(x – x1) = t(x2 – x1) è (y – y1) = t(y2 – y1).
Âûðàçèâ îòñþäà x è y, ïîëó÷àåì ñèñòåìó ïàðàìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé, êîòîðîé óäîâëåòâîðÿåò êàæäàÿ òî÷êà
íàøåé ïðÿìîé:
x = x1 + t(x2 – x1),
y = y1 + t(y2 – y1).
(5)
Íàîáîðîò, åñëè êîîðäèíàòû (x, y) òî÷êè P óäîâëåòâî-
âåêòîðîâ ( P1P2 , P0 P ) ìîæíî âûðàçèòü òàê:
(x2 – x1)(x – x0) + (y2 – y1)(y – y0) = 0
(7)
èëè
(x2 – x1)x + (y2 – y1)y + (x2 – x1)x0 + (y2 – y1)y0 = 0.
Åñëè æå èñõîäíàÿ ïðÿìàÿ çàäàíà êîýôôèöèåíòàìè
a, b è c ñâîåãî óðàâíåíèÿ, òî ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî âåêòîð åå íîðìàëè ñ êîîðäèíàòàìè (a, b) êîëëèíåàðåí
ðÿþò ýòèì ñîîòíîøåíèÿì, âåêòîð P1P êîëëèíåàðåí P1P2
âåêòîðó P0 P .
P1P2 , ãäå P1(x1, y1) è P2(x2, y2) — òî÷êè íà äàííîé
ïðÿìîé. Òîãäà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îðòîãîíàëüíûõ
ÇÀÄÀ×È
30
Òîãäà, çàïèñûâàÿ êîñîå ïðîèçâåäåíèå ýòèõ âåêòîðîâ,
ïîëó÷èì
b(x – x0) – a(y – y0) = 0.
(8)
1.4. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé äàííîé è íàõîäÿùåéñÿ îò íåå íà çàäàííîì ðàññòîÿíèè r.
Î÷åâèäíî, ÷òî èñêîìûõ ïðÿìûõ äâå. Âåêòîð íîðìàëè ê
èñõîäíîé ïðÿìîé îðòîãîíàëåí è êàæäîé èç ïàðàëëåëüíûõ
ïðÿìûõ. Çíà÷èò, êîýôôèöèåíòû a è b ïðè x è y â óðàâíåíèè (4) äëÿ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ ìîæíî âçÿòü òàêèìè
æå, êàê è ó èñõîäíîé ïðÿìîé. Îñòàåòñÿ ïîäîáðàòü çíà÷åíèå äëÿ òðåòüåãî èç êîýôôèöèåíòîâ. Îáîçíà÷èì åãî äëÿ
îäíîé ïðÿìîé c1, äëÿ âòîðîé — c2. Êàê óæå áûëî ïîêàçàíî âûøå, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ äîñòàòî÷íî çíàòü õîòÿ áû ïî îäíîé òî÷êå íà êàæäîé ïðÿìîé.
Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó P(x0, y0) íà èñõîäíîé ïðÿìîé (åñëè ïðÿìàÿ áûëà çàäàíà íå äâóìÿ òî÷êàìè, òî òî÷êó
ìîæíî íàéòè ïî ðåöåïòó, ïðåäëîæåííîìó â êîíöå 1.2).
Ïðîâåäåì ÷åðåç íåå ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ äàííîé.
Íà ïàðàëëåëüíîé æå ïðÿìîé áóäåì èñêàòü òî÷êó M(x1, y1)
åå ïåðåñå÷åíèÿ ñ ýòèì ïåðïåíäèêóëÿðîì (ðèñ. 5). Íàì
èçâåñòåí îäèí âåêòîð íîðìàëè n = (a, b). Âåêòîð PM
êîëëèíåàðåí åìó, à åãî äëèíà ðàâíà r. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî, êàê è íà ðèñóíêå, íîðìàëü ëåæèò ïî òó æå ñòîðîíó îò ïðÿìîé, ÷òî è òî÷êà M. Òîãäà
r
PM = n ⋅
x0 + a ⋅
2
a + b2
r
a 2 + b2
1.5. Óðàâíåíèå áèññåêòðèñû óãëà.
Ïóñòü âåêòîðû P0 P1 (x1, y1) è P0 P2 (x2, y2) ïðèëîæåíû ê òî÷êå P0(x0, y0). Íàéäåì óðàâíåíèå áèññåêòðèñû
óãëà P1P0P2. Åñëè ìû ðàçäåëèì êàæäûé èç âåêòîðîâ P0 P1
è P0 P2 íà åãî äëèíó, ïîëó÷èâ ïðè ýòîì âåêòîðû åäèíè÷íîé äëèíû, òî âåêòîð èõ ñóììû áóäåò ëåæàòü íà áèññåêòðèñå óãëà ìåæäó íèìè (ðèñ. 6). Êîîðäèíàòû ýòîãî âåêòîðà ðàâíû
x1
2
x1 + y1
2
+
x2
2
x2 + y2
, y0 + b ⋅
r
a 2 + b2
. Ïîäñòàâëÿÿ èõ â
2
y1
,
2
x1 + y1
r
P
Ðèñ. 5
Óðàâíåíèå îäíîé èç ïðÿìûõ ïîëó÷åíî.  êà÷åñòâå âåêòîðà íîðìàëè äëÿ äðóãîé ïðÿìîé ìîæíî èñïîëüçîâàòü
âåêòîð — PM .  ýòîì ñëó÷àå èìååì
2
c 2 = –ax 0 – by 0 + r a 2 + b .
+
y2
2
x2 + y22
.
KKKKH
P0P1
P0P1
KKKKH
P0 P2
P0 P2
P2
P0
Ðèñ. 6
Èç óñëîâèÿ åãî êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðó P0 P , ãäå
P(x, y) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà èñêîìîé ïðÿìîé, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå áèññåêòðèñû:

y1

+

2
2
x
y
+
1
1

y2
x22 + y22


 (x – x 0 ) –


x1
x2

–
+
2
 x 2 +y 2
x2 + y22
1
 1
M
2
P1
. Çíà÷èò, êîîðäèíàòû òî÷êè M ðàâíû
óðàâíåíèå (6), ïîëó÷àåì c 1 = –ax 0 – by 0 – r a 2 + b 2 .
n
2002 ¹ 39 ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ


 ( y – y 0 ) = 0 .

(9)
Ïðè íåîáõîäèìîñòè èç (9) íåñëîæíî ïîëó÷èòü êîýôôèöèåíòû a, b è c äëÿ çàïèñè óðàâíåíèÿ íàéäåííîé ïðÿìîé â âèäå (4).
1.6. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè.
Ïî îïðåäåëåíèþ îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå
M0(x0, y0) è ðàäèóñîì r, òî÷êà M(x, y) ïðèíàäëåæèò
åé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó M0 è M
ðàâíî r. Çàïèñàâ ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ êâàäðàòà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè, ìû ïðèäåì ê ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ îêðóæíîñòè:
(x – x0)2 + (y – y0)2 = r 2.
(10)
Íà ïðàêòèêå îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì çíàíèå òàêæå è
ïàðàìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé îêðóæíîñòè. Îáðàòèìñÿ
ñíà÷àëà ê îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.
Åñëè îáîçíà÷èòü çà t — óãîë ìåæäó ðàäèóñîì-âåêòîðîì
OM (çäåñü M(x, y) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà îêðóæíîñòè)
ÇÀÄÀ×È
2002 ¹ 39 ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ
è îñüþ Ox, îòñ÷èòûâàåìûé ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, òî
î÷åâèäíî, ÷òî x = rcos t, y = rsin t. Çíà÷èò, äëÿ ïðîèçâîëüíîé îêðóæíîñòè ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ áóäóò
âûãëÿäåòü òàê:
x = x0 + rcos t,
(11)
y = y0 + rsin t.
 çàêëþ÷åíèå ïîêàæåì, êàê îïðåäåëèòü äëèíó l íàèìåíüøåé äóãè îêðóæíîñòè, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû
öåíòðà îêðóæíîñòè (x0, y0) è êîíöîâ äóãè (x1, y1) è
(x2, y2). Èç êóðñà ãåîìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî äëèíà îêðóæíîñòè ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà óãëó ϕ ìåæäó âåêòîðàìè (x1 – x0, y1 – y0) è (x2 – x0, y2 – y0): l = r ϕ. À
êàê âû÷èñëèòü çíà÷åíèå òàêîãî óãëà, óæå áûëî ïîêàçàíî
âûøå (íàäî òîëüêî ó÷åñòü, ÷òî â ñëó÷àå ïîèñêà äëèíû
íàèìåíüøåé èç äâóõ äóã íàñ èíòåðåñóåò íåîðèåíòèðîâàííûé óãîë â äèàïàçîíå [0, π]).
1.7. Êàñàòåëüíûå ê îêðóæíîñòè.
Ïóñòü îêðóæíîñòü èìååò öåíòð â òî÷êå P0(x0, y0) è
ðàäèóñ r. Òðåáóåòñÿ íàéòè óðàâíåíèå êàñàòåëüíûõ ê íåé,
ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó P1(x1, y1). Çäåñü âîçìîæíû
òðè ñëó÷àÿ. Åñëè |P0P1| < r , òî P1 ëåæèò âíóòðè îêðóæíîñòè è êàñàòåëüíûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íåå, íå ñóùåñòâóåò. Åñëè |P0P1| = r, òî P1 ëåæèò íà îêðóæíîñòè.
Òîãäà ó èñêîìîé êàñàòåëüíîé íàì èçâåñòíû òî÷êà P1 è
íîðìàëü P1P0 , è åå óðàâíåíèå ëåãêî âûïèñûâàåòñÿ (ñì.
ï. 1.3). Íàêîíåö, â ñëó÷àå P0P1 > r òî÷åê êàñàíèÿ äâå,
è, îáîçíà÷èâ îäíó èç íèõ P2, ìû èìååì ïðÿìîóãîëüíûé
òðåóãîëüíèê P0P2P1 (ðèñ. 7). Ìîæíî ïîïûòàòüñÿ íàéòè
èñêîìîå óðàâíåíèå “â ëîá”. Åñëè (x2, y2) — êîîðäèíàòû òî÷êè êàñàíèÿ P2, òî ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà âûïèñûâàåòñÿ äëèíà îòðåçêà P1P2 (P0P2 = r, P0P1 âû÷èñëÿåòñÿ
ïî èçâåñòíûì êîîðäèíàòàì). Äðóãîå ñîîòíîøåíèå íà
êîîðäèíàòû x2 è y2 — óðàâíåíèå îêðóæíîñòè (10).
Îáà ýòè óðàâíåíèÿ êâàäðàòíûå. Ðåøåíèå òàêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïðåäñòàâëÿåò ñåðüåçíóþ òðóäíîñòü äëÿ
ó÷àùèõñÿ. Ïîïðîáóåì îáîéòèñü áåç êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé, èñïîëüçóÿ ñêàëÿðíîå è êîñîå ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ.
P2
P0
Ìû áóäåì èñêàòü êîîðäèíàòû a = x2 – x1 è b = y2 – y1
âåêòîðà P1P2 . Êàê óæå áûëî ñêàçàíî âûøå, äëèíû ñòîðîí
ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà P0P2P1 ëåãêî íàõîäÿòñÿ. Âûïèøåì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ P1P2 è P1P0 :
( P P , P P ) = |P1P2| ⋅ |P1P0| ⋅ cos ϕ = |P1P2|2.
1 2
1 0
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë êîñîãî ïðîèçâåäåíèÿ
[ P1P0 , P1P2 ] — óäâîåííàÿ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà P0P2P1,
âçÿòàÿ ñî çíàêîì ïëþñ äëÿ îäíîé èç òî÷åê êàñàíèÿ è ñ
ìèíóñîì — äëÿ äðóãîé:
[ P1P0 , P1P2 ] = ±|P0P2| ⋅ |P1P2|.
Çàïèñûâàÿ ýòè æå ïðîèçâåäåíèÿ â êîîðäèíàòàõ, ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî a è b:
(x0 – x1) ⋅ a + (y0 – y1) ⋅ b = |P1P2|2,
(x0 – x1) ⋅ b – (y0 – y1) ⋅ a = ±|P0P2| ⋅ |P1P2|.
Òàêóþ ñèñòåìó ðåøèòü óæå íåñëîæíî. Äàëåå ïî òî÷êå
P1(x1, y1) è íàïðàâëÿþùåìó âåêòîðó P1P2 = (a, b) âûïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé. Çàäà÷à ðåøåíà. Åñëè
æå íàì òðåáóåòñÿ åùå íàéòè è êîîðäèíàòû òî÷êè êàñàíèÿ, òî ýòî ìîæíî ñäåëàòü, èñïîëüçóÿ êîîðäèíàòû òî÷êè
P1 è íàéäåííûå êîîðäèíàòû âåêòîðà P1P2 .
Ê ðåøåíèþ ýòîé æå çàäà÷è åñòü ïîäõîä, ïðè êîòîðîì
íå ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü äàæå ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Îïóñòèì èç âåðøèíû P2 ïðÿìîãî óãëà âûñîòó P2P3
(ðèñ. 7). Èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ P1P2P0 è P1P3P2 íàéäåì äëèíû îòðåçêîâ P 1 P 3 è P 3 P 2 : P1P3 =
P2 P3 =
P1P2 ⋅ P0 P2
P0 P1
P3
P1
P1P2
P0 P1
2
;
. Òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì êî-
îðäèíàòû âåêòîðà P1P3 , òî÷êè P3(x3, y3) è, íàêîíåö, èñïîëüçóÿ èçâåñòíûå êîîðäèíàòû âåêòîðà n = (y0 – y1, x1 – x0),
ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ïðÿìîé P1P3, êîîðäèíàòû òî÷êè P2:
P1P3 = P1P0 ⋅
r
31
P1P3 ;
P1P0
x3 = x1 + ( P1P3 )x , y3 = y1 + ( P1P3 )y;
P3P2 = n ⋅
P3P2 ;
n
x2 = x3 + ( P3P2 )x , y2 = y3 + ( P3P2 )y.
Ðèñ. 7
Ïðîäîëæåíèå â ¹ 41/2002