Заряженная капля

a
F
F
á
F
F
Ðèñ. 4
ñ èçâåñòíûì ðàäèóñîì êðèâèçíû R. Íà
ðèñóíêå 5 ïîêàçàíî öåíòðàëüíîå ñå÷åíèå ëèíçû, CC′ – åå îñü, Î – öåíòð
êðèâèçíû ëèíçû â îáëàñòè âåðøèíû.
Ïóñòü n – ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà ëèíçû, äëÿ îðãñòåêëà n = 1,47
(äëÿ äëèí âîëí ñâåòà 0,5 – 0,6 ìêì), à
n0 ¾1 – ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîçäóõà. Âäîëü îñè íà ëèíçó ïàäàåò ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà. Ðàññìîòðèì õîä
îäíîãî èç ëó÷åé, ïàäàþùèõ íà ëèíçó â
ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Ð, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ âáëèçè îñè CC′ (ïàðàêñèàëüíîå
ïðèáëèæåíèå). Çäåñü α – óãîë ïàäåíèÿ
ýòîãî ëó÷à, β – óãîë ïðåëîìëåíèÿ, F –
òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à ñ îñüþ ëèíçû,
ò.å. ôîêóñ ëèíçû äëÿ ëó÷åé, áëèçêèõ ê
îïòè÷åñêîé îñè. Ïîëàãàÿ óãëû α è β
ìàëûìè, ò.å. ñ÷èòàÿ sin α = α è sin β =
= β , èìååì α = n β (çàêîí ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà) è OF/R = β α − β (òåîðåìà ñèíóñîâ äëÿ òðåóãîëüíèêà OPF),
îòêóäà ïîëó÷àåì OF = R n − 1 . Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû, èçìåðåííîå
îò åå âåðøèíû, ðàâíî
>
CF = R +
R
n −1
=R
>
n
n −1
C
C
≈ 3,1R .
Ó íàøåé ëèíçû F = 2,6 ñì, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðàäèóñó êðèâèçíû ëèíçû R =
= 0,83 ñì. Èìåííî íà ðàññòîÿíèè ÷óòü
Çàðÿæåííàÿ êàïëÿ
Ïóñòü çàðÿæåííàÿ êàïëÿ íàõîäèòñÿ â
ïîëå òÿæåñòè íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè, íå ñìà÷èâàåìîé âîäîé. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ñèëà òÿæåñòè ñòðåìèòñÿ
«ðàñïëþùèòü» êàïëþ, òî ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ è ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî îòòàëêèâàíèÿ ñòðåìÿòñÿ, íàîáîðîò, «ðàñïðÿìèòü» åå, ñäåëàòü ñôåðè÷åñêîé. Êàê îöåíèòü âêëàä êàæäîé
èç ñèë? Ïðè êàêîì ðàäèóñå êàïëÿ áóäåò
ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò øàðèêà?
áîëüøå äþéìà îò âåðøèíû ëèíçû ïîä
íåé è áûëà ñïðÿòàíà ôîòîãðàôèÿ, êîòîðàÿ «ïðîÿâèëàñü», êîãäà ìû ïîìåñòèëè
ëèíçó â âîäó.
Êàêèì îáðàçîì îêàçàëîñü âîçìîæíûì óâèäåòü ôîòîãðàôèþ ïîä ëèíçîé â
âîäå? Äåëî â òîì, ÷òî â âîäå ïðåëîìëÿþùàÿ ñïîñîáíîñòü ëèíçû óìåíüøèëàñü
è èç êîðîòêîôîêóñíîé ëèíçà ïðåâðàòèëàñü â äëèííîôîêóñíóþ. Äåéñòâèòåëüíî, êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ âîäû â
âèäèìîé îáëàñòè ñïåêòðà ñîñòàâëÿåò
nâ = 1,33 – 1,34, à îòíîñèòåëüíûé
êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ îðãñòåêëà â
âîäå ðàâåí nîòí = n nâ = 1,10 ± 0,01 .
Ïîýòîìó íèæíåå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå
íàøåé ëèíçû, çàëèòîé ñâåðõó âîäîé,
îêàçàëîñü ðàâíûì
Fâ = R
nîòí
nîòí − 1
=
11
,
0,1
R = 11R ,
åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ïîëóïðîñòðàíñòâî ïîä
ëèíçîé ñîñòîèò èç îðãñòåêëà è ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå èçìåðÿåòñÿ îò âåðøèíû
ëèíçû. Òàêèì îáðàçîì, âîäà óâåëè÷èâàåò ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû áîëåå
÷åì â 3,5 ðàçà, ÷òî îêàçûâàåòñÿ âïîëíå
äîñòàòî÷íûì äëÿ íàáëþäåíèÿ ñïðÿòàííîãî ïîä ëèíçîé îáúåêòà.
Èäåÿ ðàññìîòðåííîãî îïûòà î÷åíü
ïðîñòà è ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà â
äðóãèõ ñëó÷àÿõ. Òàê, ëèíçó ìîæíî ñäåëàòü ìàòîâîé, ñòóïåí÷àòîé (ñî ñòóïåíüêàìè îò ðåçöà) èëè äàæå ãîôðèðîâàííîé. Èëè åùå ïðîùå – â êà÷åñòâå ìàñêèðîâî÷íîãî ïîêðûòèÿ íåêîòîðîãî ïëîñêîãî îáúåêòà ìîæíî âçÿòü ìàòèðîâàííóþ ñâåðõó ïëàñòèíêó èç ïðîçðà÷íîãî
ìàòåðèàëà, êîòîðàÿ â âîäå èëè äðóãîé
ñïåöèàëüíîé æèäêîñòè ñòàíåò íà âèä
ïî÷òè ãëàäêîé, ÷òî ïîçâîëèò íàáëþäàòü ñïðÿòàííûé ïîä ïëàñòèíêîé
îáúåêò. Òàêàÿ îïòè÷åñêàÿ ìàñêèðîâêà è
äåêîäèðîâêà îáúåêòà ñ ïîìîùüþ èçìåíåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû
Èñïîëüçóåì ýíåðãåòè÷åñêèé ïîäõîä
è çàïèøåì óñëîâèå ñôåðè÷íîñòè êàïëè
â âèäå Wï + Wý ≥ Wò , ãäå Wï = σS =
= 4 πσR 2 – òàê íàçûâàåìàÿ ïîâåðõíîñòíàÿ ýíåðãèÿ (ñâÿçàííàÿ ñ ñèëàìè
ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ),
Wý = q 2
?8πε RD = 2πε E R
0
2
3
0
– ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ,
Wò = mgR = 4 πρgR
4
3
– ýíåðãèÿ òÿãîòåíèÿ. Çäåñü σ –êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ
âîäû, R – ðàäèóñ êàïëè, Å – íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ íà ïîâåðõíîñòè êàïëè, ρ – ïëîòíîñòü âîäû.
Ïîëó÷èëè ôàêòè÷åñêè êâàäðàòíîå
C
α
R
α β
P
n¾
O
n >
F
C
Ðèñ. 5
ïðåäñòàâëÿåò îïðåäåëåííûé ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ.
 çàêëþ÷åíèå – íåñêîëüêî çàäà÷ äëÿ
ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.
1. Ó ëèíçû, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 5, îïðåäåëèòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå
äëÿ ëó÷åé, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ âäîëü
îïòè÷åñêîé îñè â íàïðàâëåíèè ââåðõ
(âåðõíèé ôîêóñ).
2. Ïîêàæèòå, ÷òî ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå îäíîðîäíîãî øàðà ðàäèóñîì R,
ñäåëàííîãî èç ïðîçðà÷íîãî äèýëåêòðèêà ñ êîýôôèöèåíòîì ïðåëîìëåíèÿ n
R 2−n
(1 < n < 2), ðàâíî F =
.
2 n −1
3. Øàð ðàäèóñîì R ñ êîýôôèöèåíòîì
ïðåëîìëåíèÿ n1 íàõîäèòñÿ â ïëàñòèíêå
òîëùèíîé 2R ñ êîýôôèöèåíòîì ïðåëîìëåíèÿ n2 ( n2 < n1 ). Îïðåäåëèòå
ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå øàðà ñ ïëàñòèíêîé ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè ñâåòà íà
ïëàñòèíêó.
4. Ïðèäóìàéòå, êàêèìè åùå îïòè÷åñêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ñäåëàòü âèäèìûì îáúåêò, «ñïðÿòàííûé» â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû.
5. Ïî÷åìó âîäà íå ïðîíèêàåò â çàçîð
ìåæäó ëèíçîé è ïîäñòàâêîé (áëàãîäàðÿ
÷åìó â íàøåì îïûòå ôîòîãðàôèÿ îñòàåòñÿ âñåãäà ñóõîé)?
>
>
C
C
íåðàâåíñòâî
4
πρgR4 ,
3
îòêóäà íàõîäèì ðàäèóñ êàïëè
4πσR2 + 2πε 0E2 R3 ≥
2
R≤
3ε 0 E +
2
4
9 ε 0 E + 48 σρg
.
4 ρg
Ïîäñòàâëÿÿ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå
çíà÷åíèå íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ Å = 3 ⋅ 106 Â/ì (ïðè
áîëüøåé íàïðÿæåííîñòè ïðîèçîéäåò
ïðîáîé âîçäóõà), èìååì R ≤ 1,38 ñì.
Äëÿ íåçàðÿæåííîé (Å = 0) êàïëè
R ≤ 0,47 ñì. Çíà÷èò, çàðÿæåííàÿ êàïëÿ ñîõðàíÿåò ñôåðè÷åñêóþ ôîðìó ïðè
âòðîå áîëüøåì ðàäèóñå.
Â.Äðîçäîâ
45