Молекулы, сосиски и алмазы

ØÊÎËÀ
ñèëû òÿæåñòè Mg, äåéñòâóþùåé íà êîðîìûñëî, ðàâíî
x α = xl b . Ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè êîðîìûñëà îòíîñèòåëüíî
îñè âðàùåíèÿ êîðîìûñëà ðàâåí Mgxl/b. Ýòîò ìîìåíò óðàâíîâåøèâàåòñÿ ìîìåíòîì ñèëû òÿæåñòè ïåðåãðóçêà îòíîñèòåëüíî òîé æå îñè âðàùåíèÿ, ðàâíûì mga:
Îòñþäà
Mgxl
= mga .
b
x=
mab
= 2 ìì .
Ml
Çàäà÷à 2. Ïàðà ãàåê, îáåñïå÷èâàþùèõ íàñòðîéêó âåñîâ,
èìååò ìàññó 1 ã. Êóäà è íà êàêîå ðàññòîÿíèå íóæíî
ïåðåìåñòèòü ãàéêè, ÷òîáû ÷óâñòâèòåëüíîñòü âåñîâ ñòàëà
ðàâíîé 5 ìã?
Ìàññà êîðîìûñëà 200 ã, öåíòð ìàññ íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè 2 ìì îò îñè âðàùåíèÿ, ïåðåìåùåíèå ãàåê äîëæíî
ñîêðàòèòü ðàññòîÿíèå ìåæäó îñüþ âðàùåíèÿ è öåíòðîì ìàññ
äî 1 ìì (ýòî ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è). Ñëåäîâàòåëüíî,
ïàðó ãàåê ìàññîé 1 ã íóæíî ïåðåìåñòèòü ââåðõ íà ðàññòîÿíèå
200 ìì.
Ìîëåêóëû,
ñîñèñêè è
àëìàçû
À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ
Àëìàç – ÷èñòûé óãëåðîä, âñòðå÷àþùèéñÿ â ïðîçðà÷íûõ êðèñòàëëàõ îò ìåëêèõ çåðåí, âèäèìûõ ëèøü â
ìèêðîñêîï, äî êðèñòàëëîâ ìàññîé â 3000 êàðàò (600 ã).
...Ñîãëàñíî ïðåäàíèþ, çíàìåíèòûé «Êîèíóð», èëè
«Ãîðà ñâåòà», îòíÿòûé ó êîðîëÿ Ëàõîðà àíãëèéñêèìè
âîéñêàìè,.. ïðèíàäëåæàë êîðîëþ Êàðíà óæå çà 3 òûñ.
ëåò äî í.ý.
À.Ôåðñìàí. Ðàññêàçû î ñàìîöâåòàõ
Ê
ÀÊ ÈÇÂÅÑÒÍÎ, ÏÎÒÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÝÍÅÐÃÈß ÂÇÀÈÌÎ-
ìîäåéñòâèÿ äâóõ òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ðàññòîÿíèþ ìåæäó
–12
íèìè (ýòîò ôàêò òåñíî ñâÿ∼H
9
çàí ñ çàêîíîì Êóëîíà):
@m
qq
Wp : 1 2 .
H
r
–6
H
0
∼H
9LJ
Åñëè çíàêè çàðÿäîâ ïðîòèâîïîëîæíû, ïîòåíöè–1
àëüíàÿ ýíåðãèÿ îòðèöà9p ∼ H
9m
òåëüíà – èìååò ìåñòî ïðèòÿæåíèå, à çàâèñèìîñòü
Wp r ìîæíî èçîáðàçèòü
â âèäå áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé «ÿìû»
(ðèñ.1; øòðèõîâàÿ ëèÐèñ. 1
íèÿ).
Â
«ÊÂÀÍÒÅ»
35
Çàäà÷à 3.Êîðîìûñëî ñ ÷àøêàìè áåç ãðóçîâ èìååò ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, ïðè êîòîðîì ñòðåëêà îòêëîíåíà îò ñåðåäèíû øêàëû âïðàâî íà 10 ìì. Ïàðà ðåãóëèðîâî÷íûõ ãàåê èìååò
ìàññó 1 ã è â äàííûé ìîìåíò íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè 20 ñì
ñïðàâà îò îñè âðàùåíèÿ êîðîìûñëà. Â êàêóþ ñòîðîíó è íà
êàêîå ðàññòîÿíèå íóæíî ïåðåäâèíóòü ðåãóëèðîâî÷íûå ãàéêè, ÷òîáû ñòðåëêà â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ íàõîäèëàñü
òî÷íî â ñåðåäèíå øêàëû?
Î÷åâèäíî, ÷òî ãàéêè, îáîçíà÷èì èõ ìàññó mã , ñëåäóåò
ïåðåäâèíóòü âïðàâî. Ýòî ïåðåìåùåíèå ∆L äîëæíî ïðèâåñòè
ê èçìåíåíèþ ìîìåíòà ñèëû òÿæåñòè îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ êîðîìûñëà íà âåëè÷èíó, ðàâíóþ ìîìåíòó ñèë, âîçíèêàþùåìó ïðè ïîìåùåíèè íà ÷àøêó âåñîâ ïåðåãðóçêà ìàññîé
m = 100 ìã (ìû âîñïîëüçîâàëèñü ðåçóëüòàòàìè çàäà÷è 1):
mã g∆ L = mga ,
îòêóäà
∆L =
ma
= 2 ñì .
mã
Íåéòðàëüíûå ìîëåêóëû òîæå âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ
äðóãîì. Íà ðàññòîÿíèÿõ r, çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäÿùèõ èõ
õàðàêòåðíûé ðàçìåð dm , îíè èñïûòûâàþò âçàèìíîå ïðèòÿæåíèå – ïîýòîìó ãàçû è ìîãóò êîíäåíñèðîâàòüñÿ. Ïðè
ïîïûòêå æå ñáëèçèòü ìîëåêóëû òàê, ÷òîáû r ñòàëî ìåíüøå
dm , âîçíèêàåò ñèëüíîå îòòàëêèâàíèå – ïîýòîìó æèäêîñòè
ñëàáî ñæèìàåìû. Çíà÷èò, ðàäèàëüíàÿ çàâèñèìîñòü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ íåéòðàëüíûõ ìîëåêóë
äîëæíà ñîñòîÿòü èç äâóõ âåòâåé: ðåçêî ïàäàþùåé âáëèçè
íà÷àëà êîîðäèíàò è çàòåì ïëàâíî ðàñòóùåé è ïðèáëèæàþùåéñÿ ê îñè àáñöèññ (ðèñ.1; ñïëîøíàÿ êðèâàÿ). ßñíî, ÷òî â
òàêîé ñèòóàöèè äîëæíî ñóùåñòâîâàòü çíà÷åíèå ìåæìîëåêóëÿðíîãî ðàññòîÿíèÿ r = dm , ñîîòâåòñòâóþùåå ìèíèìóìó
ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè Wm – äíó òîé ñàìîé ïîòåíöèàëüíîé
ÿìû, êóäà ñòðåìÿòñÿ «ñâàëèòüñÿ» ìîëåêóëû, îáðàçóÿ êîíäåíñèðîâàííîå âåùåñòâî.
Ôèçèêè ïðèäóìàëè ìíîãî çàâèñèìîñòåé ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ìîëåêóë îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè.
Îäíà èç íèõ – ïîòåíöèàë Ëåííàðäà–Äæîíñà – èìååò âèä
ææ r ö
WLJ = 4Wm ç ç 0 ÷
èè r ø
12
6
ær ö ö
- ç 0÷ ÷ .
èrø ø
(* )
 ýòîì ñëó÷àå ìîæíî íàéòè ìèíèìóì ôóíêöèè è ïîëó÷èòü
çíà÷åíèå õàðàêòåðíîãî ðàçìåðà ìîëåêóë: dm = r0 6 2 . Ïîñêîëüêó â íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ r åñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó
öåíòðàìè ìîëåêóë, òî dm ìîæíî íàçâàòü äèàìåòðîì ìîëåêóë, à òîãäà èõ «ñîáñòâåííûé ðàäèóñ» ðàâåí dm 2 .
Åñëè ìîëåêóëà íàõîäèòñÿ â ãëóáèíå ãàçà èëè êîíäåíñàòà,
âäàëè îò åãî ãðàíèö, òî îíà ñî âñåõ ñòîðîí îêðóæåíà
äðóãèìè ìîëåêóëàìè. Îäíàêî åñëè ìîëåêóëà ðàñïîëîæåíà
ó ïîâåðõíîñòè êîíäåíñàòà, òî ó íåå ÷èñëî ñîñåäåé, à çíà÷èò, è ìîëåêóëÿðíûõ
ñâÿçåé, ìåíüøå, ÷åì ó
@m
ìîëåêóë â ãëóáèíå. Ïîýòîìó ïîòåíöèàëüíàÿ
ýíåðãèÿ òàêèõ ìîëåêóë
áóäåò äðóãîé.
H
θ
@H
Ðàññìîòðèì îäíó èç
ïîâåðõíîñòíûõ ìîëåêóë (çàøòðèõîâàíà íà
ðèñóíêå 2) è íàéäåì Ðèñ. 2
36
ÊÂÀÍT 2003/¹1
ýíåðãèþ åå âçàèìîäåéñòâèÿ ñî âñåìè îñòàëüíûìè ìîëåêóëàìè, çàïîëíÿþùèìè ïîëóïðîñòðàíñòâî. Èñïîëüçóÿ î÷åâèäíóþ ñèììåòðèþ çàäà÷è, âûäåëèì øàðîâîé ñëîé, îãðàíè÷åííûé ïîëóñôåðàìè ñ ðàäèóñàìè r è r + dr. Ñêîëüêî
ìîëåêóë dN ñîäåðæèòñÿ â ýòîì ñëîå? Îáúåì ñëîÿ ðàâåí
2πr 2dr , êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë ðàâíà n = ρ m ( ρ – ïëîòíîñòü æèäêîñòè, m – ìàññà îäíîé ìîëåêóëû), òîãäà
ρ
dN = × 2πr 2dr .
m
Ïóñòü ïîòåíöèàë ïàðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ îïèñûâàåòñÿ çàâèñèìîñòüþ ( * ). Òîãäà ñóììàðíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ
âûäåëåííîé íàìè ìîëåêóëû ñî âñåì ïîëóïðîñòðàíñòâîì
áóäåò îïèñûâàòüñÿ ëåãêî âû÷èñëÿåìûì èíòåãðàëîì:
ρ
WΣ = × 4Wm
m
¥
ò
dm
æ æ r0 ö 12 æ r0 ö 6 ö
2
ç çè r ÷ø - çè r ÷ø ÷ × 2πr dr =
è
ø
l
σl
σl
σl
∆α
m
Íà êàæäóþ ìîëåêóëó â ïîâåðõíîñòíîì ñëîå ïðèõîäèòñÿ
ïëîùàäü dm2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ðàâíà ïî âåëè÷èíå
= 10 -20 Äæ è ïîëó÷èì w » 0,35 Äæ ì2 .
Íî ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè åñòü âåëè÷èíà ïîðÿäêà êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ âîäû, êîòîðûé
ïðè êîìíàòíûõ óñëîâèÿõ ðàâåí σ = 0,07 Äæ ì2 . Êàê âèäèì,
íàøà îöåíêà, õîòÿ è çàâûøåíà, âåñüìà óäîâëåòâîðèòåëüíà,
åñëè ó÷åñòü ãðóáîñòü ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèé.
Íî ïðè ÷åì òóò ñîñèñêè è àëìàçû? Î÷åíü äàæå ïðè ÷åì, è
íå òîëüêî îíè. Íàïðèìåð, ñóùåñòâîâàíèå êàïåëü âîäû òîæå
îáåñïå÷èâàåòñÿ ïîâåðõíîñòíûì íàòÿæåíèåì. Òàê, êàïëè äîæäÿ
ðàäèóñîì à, ïàäàÿ â àòìîñôåðå, ñïëþùèâàþòñÿ àýðîäèíàìè÷åñêîé ñèëîé ñîïðîòèâëåíèÿ, ðàâíîé ñèëå òÿæåñòè (â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå). Ïðèðàâíèâàÿ ýòó ñèëó «âîññòàíàâëèâàþùåé» ñèëå ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ – ïîðÿäêà 2πaσ, –
ïîëó÷èì îöåíêó ïðåäåëüíîãî ðàäèóñà êàïëè:
mê g : 2πaσ , ãäå mê =
4 3
πa ρ ,
3
îòêóäà
a:
σ
=
ρg
0,07 Äæ ì 2
» 2,6 ìì ,
3
10 êã ì 3 × 10 ì ñ2
÷òî âïîëíå ðåàëüíî (ïîíàáëþäàéòå çà ëåòíèì ëèâíåì).
Ýòî ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå â ñëó÷àå êðèâîé ïîâåðõíîñòè âûçûâàåò äîïîëíèòåëüíîå äàâëåíèå âíóòðè îáúåìà æèäêîñòè. Ðàññìîòðèì íåáîëüøîé ó÷àñòîê öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ ðàäèóñîì êðèâèçíû R1 è öåíòðàëüíûì óãëîì
∆α (ðèñ.3,à). Åñëè åãî äëèíà l, òî íà êàæäóþ ñòîðîíó
äåéñòâóåò ñèëà, ðàâíàÿ σl . Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà, êàê ëåãêî
ïîíÿòü èç ðèñóíêà 3,á, íàïðàâëåíà ê öåíòðó êðèâèçíû è
ðàâíà
∆α
∆F = 2σl × tg
» σl∆α.
2
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äëèíà äóãè ∆s ñâÿçàíà ñ ðàäèóñîì êðèâèçíû
∆α
R
R
â
Ðèñ. 3
ñîîòíîøåíèåì ∆s = R1∆α , ïîëó÷èì
∆F
σ
=
l ∆s R1 .
Íî ýòî âåäü äàâëåíèå!
Ïîíÿòíî, ÷òî åñëè ó÷àñòîê ïîâåðõíîñòè íå öèëèíäðè÷åñêèé, à èñêðèâëåí åùå è â äðóãîé ïëîñêîñòè (ðàäèóñ êðèâèçíû
R2 ; ðèñ.3,â), òî ïîëó÷èì áîëüøåå äàâëåíèå:
1ö
æ 1
+
pL = σ ç
è R1 R2 ÷ø
10 Wm
w=
d .
πρ
m m
9
Ïîäñòàâèì äàííûå äëÿ âîäû: m = 18 × 1,67 × 10-27 êã »
o
» 3 × 10 -26 êã , ρ = 10 3 êã ì 3, dm » 3 A = 3 × 10 -10 ì, Wm =
σl
á
¥
æ r12
10 W 3
ρ
r6 ö
= 8π Wm ç - 0 9 + 0 3 ÷
= - πρ m dm .
m
9
m
3r ø r = d
è 9r
∆F
R
R
a
∆s
(çäåñü èíäåêñ «L» ïîä÷åðêèâàåò íàøå óâàæåíèå ê Ëàïëàñó,
÷üèì èìåíåì íàçûâàþò ýòî èçáûòî÷íîå äàâëåíèå ïîä èçîãíóòîé ïîâåðõíîñòüþ).
Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû ÿñíî, íàïðèìåð, ïî÷åìó ñîñèñêè
ïðè äîëãîì êèïåíèè ëîïàþòñÿ âäîëü, à íå ïîïåðåê: íàòÿæåíèå èõ îáîëî÷êè íà öèëèíäðè÷åñêîì ó÷àñòêå ìåíüøå, ÷åì íà
ñôåðè÷åñêèõ çàêðóãëåíèÿõ, à äàâëåíèå ñîäåðæèìîãî ìîæíî
ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûì âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ. Òàê æå âåäóò ñåáÿ
è äëèííûå ãàçãîëüäåðû – óñòðîéñòâà äëÿ ïðèåìà, õðàíåíèÿ
è âûäà÷è ãàçà.Êîíå÷íî, â ýòèõ ñëó÷àÿõ ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå îáåñïå÷èâàåòñÿ îáîëî÷êîé ñîñèñêè èëè ãàçãîëüäåðà.
À ÷òî æå àëìàçû? Êàê èçâåñòíî, äëÿ èõ ïîëó÷åíèÿ òðåáóþòñÿ âûñîêèå òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿ. Îêàçûâàåòñÿ, è çäåñü
íà ïîìîùü ïðèõîäèò ëàïëàñîâñêîå äàâëåíèå. Îöåíèì, êàêîãî ðàçìåðà àëìàç ìîæíî ïîëó÷èòü èç ðàñïëàâëåííîãî óãëåðîäà. Ïðèìåì σ = 5 Äæ ì2 , p = 60 × 103 àòì. Ñ÷èòàÿ ÷àñòèöó
ñôåðè÷åñêîé ( R1 = R2 = a ), èç âûðàæåíèÿ äëÿ äîáàâî÷íîãî
äàâëåíèÿ ïîëó÷èì
a=
o
2σ 2 × 5 Äæ ì2
=
» 15 × 10-10 ì = 15 À .
p
6 × 109 Í ì2
Êîíå÷íî, ìåëêîâàòûå àëìàçû, íî äëÿ ìíîãèõ òåõíîëîãèé
âåñüìà ïîëåçíûå.
Èòàê, âàðÿ ñîñèñêè è äóìàÿ îá àëìàçàõ, íå òåðÿéòå ÷óâñòâà
ìåðû, èáî íå íàïðàñíî îäèí ëèòåðàòóðíûé ãåðîé êàê-òî
ñêàçàë, ÷òî áðèëëèàíò â òûñÿ÷ó êàðàò – ýòî ïóøëî.