5. Прямые линии и плоскости

110
5. Ïðÿìûå ëèíèè è ïëîñêîñòè
5.1. Ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé
Îïðåäåëåíèå 5.1. Ïðÿìàÿ ëèíèÿ l íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå
r
îïðåäåëåíà, åñëè çàäàíà òî÷êà M0 è çàäàí íåíóëåâîé âåêòîð a ,
ïàðàëëåëüíûé ïðÿìîé.
Òî÷êó M0 áóäåì íàçûâàòü íà÷àëüíîé òî÷êîé ïðÿìîé, à âåêr
òîð a - íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì ïðÿìîé.
r
r
Ïóñòü r0 - ðàäèóñ âåêòîð
a
M
r rr
r
r− 0
òî÷êè M0 è a - íàïðàâëÿþM0
r
ùèé âåêòîð. Ðàññìîòðèì
r
l
r
r0
(ðèñ. 5.1.) ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M ∈ l ñ ðàäèóñ âåêòîðîì
r
e3
r r
r
r
e2
r . Âåêòîð M0M = r − r0 ïàr
Î
Ðèñ. 5.1.
e1
ðàëëåëåí ïðÿìîé l (âåêòîðó
r
a ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà òî÷êà M ëåæèò íà ïðÿìîé l . Òîãäà, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîr
æåíèåì 4.2, íàéä¸òñÿ òàêîå ÷èñëî t , ÷òî M0M = ta èëè
r r
r
(5.1)
r − r0 = ta .
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü òàê:
r
r
r = r0 + ta .
Íàîáîðîò, êàêîå áû ÷èñëî t ìû íè ïîñòàâèëè â (5.1), âåêòîð
r áóäåò îïðåäåëÿòü íåêîòîðóþ òî÷êó
r
M ëåæàùóþ íà ïðÿìîé l .
Óðàâíåíèå (5.1) íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé, à âåëè÷èíà t ∈ R íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðîì.
Âåêòîðíîå ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé âûãëÿäèò
îäèíàêîâî è â ïëàíèìåòðèè è â ñòåðåîìåòðèè. Â ðàçëîæåíèè ïî
ñîîòâåòñòâóþùåìó áàçèñó (îïðåäåëåíèå 4.14) îíî áóäåò èìåòü äâà
èëè òðè óðàâíåíèÿ:
111
rr r
1.  áàçèñå Oe1e2 e3 (òð¸õìåðíîå ïðîñòðàíñòâî)
x = x0 + lt,
y = y0 + mt,
z = z0 + nt,
r r
r
r
ãäå a = le1 + me2 + ne3 .
rr
 áàçèñå Oe1e 2 (ïëîñêîñòü)
x = x0 + lt,
y = y0 + mt,
(5.2)
(5.3)
r r
r
ãäå a = le1 + me 2 .
Óðàâíåíèÿ (5.2) è (5.3) íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå è íà ïëîñêîñòè.
5.2. Ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
Ïîëó÷èì òåïåðü ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè π â
ïðîñòðàíñòâå (ðèñ. 5.2).
r
r
Ïóñòü p è q äâà å¸ íåêîëëèíåàðíûõ íàïðàâëÿþùèõ âåêòîr
ðà âûõîäÿùèõ èç òî÷êè M0 ëåæàùåé â ïëîñêîñòè, r0 - ðàäèóñ
âåêòîð òî÷êè M0 , à rr - ðàäèóñ âåêòîð ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M .
r r
Âåêòîð M0M = r − r0 , íà÷àëî êîòîðîãî ëåæèò â ïëîñêîñòè π , ïàðàëëåëåí åé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà òî÷êà M ëåæèò íà ïëîñr
r
êîñòè. Â ñèëó íåêîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ p è q âåêòîð
r r
M0M = r − r0 ìîæåò áûòü (òåîðåìà 4.1 ï.2) ïî íèì ðàçëîæåí, ò.å.
íàéäóòñÿ òàêèå ÷èñëà t1 è t2 , ÷òî
r r
r
r
r − r0 = t1 p + t2 q
èëè
r r
r
r
r = r0 + t1 p + t2 q .
(5.4)
112
r
q
π
r r
r − r0
M0
r
r0
M
r
r
r
p
r
e3
Î
r
e2
r
e1
Ðèñ. 5.2.
Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè.
Ïóñòü (x0 , y0 , z0 ) è (x, y, z ) êîîðäèíàòû òî÷åê M0 è M â
rr r
r
r
r
r r
r
r
Oe1e2 e3 , p = p1e1 + p2 e 2 + p3 e , q = q1e1 + q 2 e 2 + q3 e3 , òîãäà (5.4)
ìîæíî çàïèñàòü êàê ñèñòåìó óðàâíåíèé
x = x0 + t1 p1 + t2 q1 ,
y = y0 + t1 p2 + t2 q 2 ,
z = z0 + t1 p3 + t2 q3 ,
(5.5)
êîòîðóþ ìû áóäåì íàçûâàòü ñèñòåìîé ïàðàìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïëîñêîñòè.
5.3. Ïðÿìàÿ ëèíèÿ íà ïëîñêîñòè
Âîçüì¸ì ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé (5.3) íà ïëîñêîñòè è èñêëþ÷èì èç íåãî ïàðàìåòð t :
x − x0 y − y0
=
.
l
m
Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
t=
m(x − x0 ) = l (y − y0 )
èëè
113
m(x − x0 ) − l (y − y0 ) = 0 .
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ðàçâ¸ðíóòàÿ çàïèñü îïðåäåëèòåëÿ âòîðîãî ïîðÿäêà, ò.å.
x − x0
l
y − y0
= 0.
m
(5.6)
Ïðåäëîæåíèå 5.1.  ïðîèçâîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè óðàâíåíèå ïðÿìîé ëèíèè ñ íà÷àëüíîé òî÷r
êîé M0 (x0 , y0 ) è íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì a (l, m ) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå (5.6).
Óðàâíåíèå (5.6) ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê óñëîâèå êîëëèíåàðíîñòè äâóõ âåêòîðîâ.
Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå (5.6):
x − x0
l
y − y0
= m(x − x0 ) − l (y − y0 ) = mx − ly + (ly0 − mx0 ) = 0 .
m
Ïîëàãàÿ
A = m ; B = −l ; C = ly0 − mx0
ïîëó÷èì îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè:
Ax + By + C = 0 .
(5.7)
Çäåñü ìû ïîëàãàåì, ÷òî êîýôôèöèåíòû A è B íå ðàâíû íóëþ
îäíîâðåìåííî, ò.å.
A2 + B 2 ≠ 0 .
Ïðîñòîé ïîäñòàíîâêîé â (5.7) ìîæíî ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî
÷èñëà
x0 = −
AC
BC
y0 = − 2
2 è
A +B
A + B2
2
(5.8)
ìîæíî ïðèíÿòü çà íà÷àëüíóþ òî÷êó M0 (x0 , y0 ) ïðÿìîé (5.7).
r
Ïðåäëîæåíèå 5.2. Âåêòîð a (− B, A) ìîæíî ïðèíÿòü çà íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé (5.7), à òî÷êó (5.8) çà å¸ íà÷àëüíóþ òî÷êó.
Åñëè â êà÷åñòâå ñèñòåìû êîîðäèíàò âûáðàòü îðòîíîðìèðî8 À.À. Êèðñàíîâ
114
r
âàííóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò, òîãäà âåêòîðó a (− B, A)
r
ìîæíî ñîïîñòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿðíûé ê íåìó âåêòîð n (A, B ) ,
êîòîðûé ìû áóäåì íàçûâàòü íîðìàëüíûì âåêòîðîì.
r
r
Ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü âåêòîðîâ a (− B, A) è n (A, B ) ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:
(ar, nr ) = −BA + AB = 0 .
Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé (5.7) ïðè:
1. A = 0 , B ≠ 0 , C ≠ 0 ,
òîãäà (5.7) ïðèìåò âèä
C
- ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíàÿ îñè àáñöèññ;
B
2. A ≠ 0 , B = 0 , C ≠ 0 ,
òîãäà èìååì
By + C = 0 èëè y = −
C
- ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíàÿ îñè îðäèíàò;
A
3. A ≠ 0 , B ≠ 0 , C = 0 ,
èìååì ïðÿìóþ ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò
Ax + By = 0 .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â óðàâíåíèè (5.7) êîýôôèöèåíò B ≠ 0 , ò.å.
ïðÿìàÿ íå ïàðàëëåëüíà îñè îðäèíàò. Ïîäåëèâ âñå ñëàãàåìûå óðàâíåíèÿ (5.7) íà B ≠ 0 , ïîëó÷èì:
Ax + C = 0 èëè x = −
C
A
x+ y+ =0
B
B
èëè ïîëàãàÿ
−
A
C
=k è − =b
B
B
îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì
y = kx + b .
Çàìåòèì, ÷òî
(5.9)
115
A m
= .
B l
Îïðåäåëåíèå 5.2. Îòíîøåíèå êîìïîíåíò íàïðàâëÿþùåãî âåêr
òîðà a (l, m ) íàçûâàåòñÿ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ïðÿìîé (5.9), à
ñàìî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì (ïðèâåä¸ííûì óðàâíåíèåì ïðÿìîé).
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò k ïðÿìîé
y
(5.9) â îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå
y = 2x + 2
êîîðäèíàò ðàâåí òàíãåíñó óãëà, êîòîk = tgϕ = 1
ðûé ïðÿìàÿ îáðàçóåò ñ îñüþ àáñöèññ.
Óãîë îòñ÷èòûâàåòñÿ îò îñè àáñöèññ â
r
íàïðàâëåíèè êðàò÷àéøåãî ïîâîðîòà
j
r
r
îò i ê j (ðèñ. 5.3).
ϕ
r
x
Èòàê
Î
i
k=−
m
.
(5.10)
l
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (5.6)
k = tgϕ =
Ðèñ. 5.3.
x − x0
l
y − y0
= m(x − x0 ) − l (y − y0 ) = 0 .
m
Åãî, î÷åâèäíî, ìîæíî çàïèñàòü êàê
m(x − x0 ) = l (y − y0 )
èëè
m
(x − x0 ) .
l
Ñ ó÷¸òîì (5.10) ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå ïðÿìîé ïðîõîäÿùåé
y − y0 =
÷åðåç òî÷êó M0 (x0 , y0 ) ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k :
y − y0 = k (x − x0 ) .
8*
(5.11)
116
5.4. Âåêòîðíûå óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè è ïðÿìîé
Âåêòîðíîå ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.4) óòâåðæäàåò, ÷òî òî÷êà M (ðèñ. 5.4) ëåæèò íà ïëîñêîñòè π òîãäà è
r r
òîëüêî òîãäà, êîãäà r − r0 êîìïëàíàðåí íàïðàâëÿþùèì âåêòîðàì
r
r
p è q . Ýòó êîìïëàíàðíîñòü ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ñìåøàííîå
ïðîèçâåäåíèå óêàçàííûõ âûøå âåêòîðîâ:
(5.12)
(rr − rr0 , pr, qr ) = 0 .
r r r
n = [p, q ]
r
q
r r
r − r0
M0
r
r0
r
p
r
e3
Î
π
r
r
M
r
e2
r
e1
Ðèñ. 5.4.
r r r
Çäåñü n = [p, q ] íåíóëåâîé âåêòîð ïåðïåíäèêóëÿðíûé ê ïëîñr r
êîñòè π , à ñëåäîâàòåëüíî è âåêòîðó r − r0 ∈ π . Óñëîâèå ïåðïåíäèr r
r
êóëÿðíîñòè âåêòîðîâ r − r0 è n åñòü ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ò.å.
(5.13)
(rr − rr0 , nr ) = 0 .
Óðàâíåíèÿ (5.12) è (5.13) áóäåì íàçûâàòü âåêòîðíûìè óðàâíåíèÿìè ïëîñêîñòè.
Óðàâíåíèå (5.13), èñïîëüçóÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü òàê:
(rr − rr0 , nr ) = (rr, nr ) − (rr0 , nr ) = 0 .
r
Ïîëàãàÿ − (r0 , n ) = D , ïîëó÷èì åù¸ îäíî óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
117
(rr, nr ) + D = 0 .
(5.14)
Âåêòîðíîå ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé (5.1) ãîâîðèò
î òîì, ÷òî òî÷êà M ëåæèò íà ïðÿìîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
r r
r
âåêòîð r − r0 ïàðàëëåëåí íàïðàâëÿþùåìó âåêòîðó a . Â ýòîì ñëór
÷àå íîðìàëüíûé âåêòîð n (A, B ) ïåðïåíäèêóëÿðåí êàê íàïðàâëÿr r
r
þùåìó âåêòîðó a , òàê è âåêòîðó r − r0 . Óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðr r
r
íîñòè âåêòîðîâ r − r0 è n åñòü ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñêàëÿðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ, ò.å.
(5.15)
(rr − rr0 , nr ) = 0 .
Óðàâíåíèå (5.15) íàçîâ¸ì âåêòîðíûì óðàâíåíèåì ïðÿìîé íà
ïëîñêîñòè.
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ìû ìîæåì ïðåîáðàçîâàòü ïðèâåä¸ííûì
âûøå ñïîñîáîì:
(rr − rr0 , nr ) = (rr, nr ) − (rr0 , nr ) = 0 .
r
Ïîëàãàÿ − (r0 , n ) = C , ïîëó÷èì íîâîå óðàâíåíèå ïðÿìîé íà
ïëîñêîñòè:
(5.16)
(rr, nr ) + C = 0 .
Ïðåäëîæåíèå 5.3. Åñëè x, y, z - êîìïîíåíòû ðàäèóñ âåêòîðà
r â îðòîíîðìèðîâàííîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, òîãäà
r
âåêòîðíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
(rr − rr0 , nr ) = 0
r
ïðè n ≠ O ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå ëèíåéíîãî ìíîãî÷ëåíà
Ax + By + Cz + D = 0 ,
ãäå A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .
r
r
r
r
Ïóñòü r = xi + yj + zk , òîãäà
118
r r
r
r r
+ yj + zk , n − (r0 , n ) =
r r
r r
r r
r r
= x i , n + y j , n + z k , n − (r0 , n ) = 0.
(rr − rr0 , nr ) = (rr, nr ) − (rr0 , nr ) = (xi
r
( ) ( ) ( )
Ïîëàãàÿ
)
r r
r r
r r
r r
(5.17)
A = i , n , B = j , n , C = k, n , D = −(r0 , n )
âåêòîðíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.13) ìû ìîæåì çàïèñàòü êàê
Ax + By + Cz + D = 0 ,
(5.18)
êîòîðîå ìû áóäåì íàçûâàòü îáùèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè.
Êîýôôèöèåíòû A , B è C îäíîâðåìåííî íóëþ íå ðàâíû,
r
òàê êàê îòëè÷íûé îò íóëåâîãî íîðìàëüíûé âåêòîð n íå ìîæåò
áûòü îäíîâðåìåííî ïåðïåíäèêóëÿðåí âñåì òð¸ì áàçèñíûì âåêòîðàì.
r r
r
r
Òàê êàê D = −(r0 , n ) ìû ìîæåì ïîëîæèòü r0 = λn , òîãäà
( )
( )
( )
D
D
r r
D = −λ (n, n ), λ = − r r = − r 2
(n, n ) n
è, òàêèì îáðàçîì,
r
D r
r0 = − r 2 ⋅ n
.
n
(5.19)
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü íà÷àëüíóþ òî÷êó ïëîñêîñòè åñëè îíà çàäàíà îáùèì óðàâíåíèåì (5.18).
Ïðåäëîæåíèå 5.4. Åñëè ñèñòåìà êîîðäèíàò îðòîíîðìèðîâàír
íàÿ, âåêòîð n ñ êîîðäèíàòàìè A, B,C ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì âåêòîðîì äëÿ ïëîñêîñòè çàäàííîé îáùèì óðàâíåíèåì
Ax + By + Cz + D = 0 .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äàííîãî ïðåäëîæåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ
ïðåäëîæåíèåì 4.9 è ôîðìóëàìè (4.31), (4.32) è (5.17).
Èòàê, åñëè
r
r
r
r
n = Ai + Bj + Ck ,
òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.32) èìååì
119
rr
(
n, i ) r r
A=
= (n, i )
r
i
2
,
r r
(
n, j ) r r
B=
= (n, j )
r
j
2
,
r r
(
n, k ) r r
C=
= (n, k )
r
k
2
,
÷òî ñ ó÷¸òîì êîììóòàòèâíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñîâïàäàåò ñ (5.17).
Ðàññìîòðèì åù¸ îäèí ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ îáùåãî óðàâíåíèÿ
ïëîñêîñòè èç âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ
(5.12)
(rr − rr0 , pr, qr ) = 0 .
Ïóñòü êîîðäèíàòû âåêòîðîâ â îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå
êîîðäèíàò åñòü:
r
r
r
r r
r − r0 = (x − x0 )i + (y − y0 ) j + (z − z0 )k ,
r r
r
r
r
r
r
r
p = px i + py j + pz k , q = q x i + q y j + q z k .
Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.57) ìû ìîæåì çàïèñàòü
(rr − rr0 , pr, qr ) =
x − x0
px
qx
y − y0
py
qy
z − z0
pz = 0
qz
èëè, ïîñëå ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ïî ïåðâîé ñòðîêå è ïåðåìåíå ìåñòàìè ñòîëáöîâ âî âòîðîì ñëàãàåìîì
x − x0
px
qx
y − y0
py
qy
=
py
qy
z − z0
pz =
qz
pz
p
⋅ (x − x0 ) + z
qz
qz
px
px
⋅ (y − y0 ) +
qx
qx
py
⋅ (z − z0 ) = 0.
qy
Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèÿ:
A=
py
qy
pz
p
B= z
,
qz
qz
px
px
C=
,
qx
qx
py
qy .
120
Òîãäà, ñ ó÷¸òîì ââåä¸ííûõ îáîçíà÷åíèé,
A(x − x0 ) + B (y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0
(5.20)
Ax + By + Cz + D = 0 .
(5.18)
èëè
Çäåñü ìû ïîëîæèëè D = − Ax0 − By0 − Cz0 .
Ðàâåíñòâî (5.20) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñêàëÿðíîå ïðîr
r
r
r
èçâåäåíèå âåêòîðà n = Ai + Bj + Ck è ïåðïåíäèêóëÿðíîãî åìó
r
r
r
r r
âåêòîðà r − r0 = (x − x0 )i + (y − y0 ) j + (z − z0 )k . Òàê êàê âåêòîð
r r
r
r − r0 ïðèíàäëåæèò ïëîñêîñòè, òî âåêòîð n åñòü íîðìàëüíûé ê
äàííîé ïëîñêîñòè âåêòîð.
Ðàññìîòðèì òàê íàçûâàåìûå íåïîëíûå óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè,
ïîëó÷àåìûå èç óðàâíåíèÿ
Ax + By + Cz + D = 0
(5.18)
ïðèðàâíèâàíèåì íóëþ îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ êîýôôèöèåíòîâ:
1. D = 0 .
 ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
Ax + By + Cz = 0 ,
êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè x = y = z = 0 , ò.å. äàííàÿ
ïëîñêîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.
2. A = 0 .
 ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
By + Cz + D = 0
ïàðàëëåëüíîé îñè Ox , òàê êàê íîðìàëüíûé âåêòîð äàííîé ïëîñr
êîñòè n (0, B,C ) ïåðïåíäèêóëÿðåí îñè Ox , êîòîðàÿ çàäà¸òñÿ íàr
ïðàâëÿþùèì âåêòîðîì i (1,0,0 ) . Ðàññìàòðèâàåìàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòü Oyz ïî ïðÿìîé, óðàâíåíèå êîòîðîé â ýòîé
ïëîñêîñòè ñîâïàäàåò ñ ñàìèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè
By + Cz + D = 0 .
121
Ðàññìàòðèâàÿ àíàëîãè÷íûå ñëó÷àè B = 0 è C = 0 ìû ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòåé
Ax + Cz + D = 0 è Ax + By + D = 0
ïàðàëëåëüíûõ ñîîòâåòñòâåííî îñÿì Oy è Oz .
Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò êðàòêî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:
åñëè â îáùåì óðàâíåíèè ïëîñêîñòè îòñóòñòâóåò ÷ëåí, ñîäåðæàùèé îäíó èç êîîðäèíàò, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà ñîîòâåòñòâóþùåé îñè êîîðäèíàò.
3. A = B = 0 .
 ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
Cz + D = 0
ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè Oxy , òàê êàê íîðìàëüíûé âåêòîð ïîëór
÷åííîé ïëîñêîñòè n (0,0,C ) ïàðàëëåëåí íàïðàâëÿþùåìó âåêòîðó
r
îñè Oz - k (0,0,1) .
Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïåðåïèñàòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
Cz + D = 0
â âèäå
D
,
C
òî ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî íàøà ïëîñêîñòü îòñåêàåò íà îñè Oz
z=−
îòðåçîê, ðàâíûé −
D
.
C
Ïîëàãàÿ A = C = 0 è B = C = 0 ìû ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâåííî
óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòåé
By + D = 0 è Ax + D = 0 ,
ïàðàëëåëüíûõ ñîîòâåòñòâåííî ïëîñêîñòÿì Oxz è Oyz .
Èòàê, åñëè íåïîëíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ñîäåðæèò òîëüêî
îäíó ïåðåìåííóþ, òî äàííàÿ ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà òîé êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ïåðåìåííûå êîòîðîé íå âõîäÿò â ðàññìàòðèâàåìîå íåïîëíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè.
4. A = B = D = 0 .
122
 ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
Cz = 0 ,
êîòîðîå è åñòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè Oxy , ò.ê. ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå óäîâëåòâîðÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè z = 0 , à ïåðåìåííûå x è y
ìîãóò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ. Êðîìå òîãî, íîðìàëüíûé âåêr
òîð ðàññìàòðèâàåìîé ïëîñêîñòè n (0,0,C ) , êàê è â ïðåäûäóùåì
ñëó÷àå, ïàðàëëåëåí íàïðàâëÿþùåìó âåêòîðó îñè Oz .
Ïîëàãàÿ A = C = D = 0 è B = C = D = 0 ìû ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòåé
By = 0 è Ax = 0 ,
ñîâïàäàþùèå ñîîòâåòñòâåííî ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè Oxz
è Oyz . Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ïóíêòà 3 ïðè
D=0.
r
r
r r
Âîçüì¸ì ïðîèçâîëüíûé âåêòîð a = li + mj + nk è ñîñòàâèì
ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
r
r
r
r
r
r
(ar, nr ) = li + mj + nk, nr = l i , nr + m j , nr + n k, nr .
Ñ ó÷¸òîì (5.17) ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü êàê
(ar, nr ) = Al + Bm + Cn .
r
Ïðåäëîæåíèå 5.5. Âåêòîð a ñ êîìïîíåíòàìè l, m, n â îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïàðàëëåëåí ïëîñêîñòè
Ax + By + Cz + D = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
(
) ( ) ( ) ( )
(5.21)
Al + Bm + Cn = 0 .
Çàìåòèì, ÷òî ëþáûå äâà íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðà, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ (5.21) ìîãóò áûòü ïðèíÿòû â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùèõ âåêòîðîâ ïëîñêîñòè.
Âñ¸ ñêàçàííîå âûøå î ïëîñêîñòè, ìîæåò áûòü ïðèìåíåíî è ê
ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè.  ÷àñòíîñòè, èìååò ìåñòî
r
Ïðåäëîæåíèå 5.6. Âåêòîð a ñ êîîðäèíàòàìè l, m â îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïàðàëëåëåí ïðÿìîé
123
Ax + By + c = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
(5.22)
Al + Bm = 0 .
r
r
r
Òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå n = Ai + Bj , óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñr
r r
r
òè âåêòîðà n è íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà a = li + mj è åñòü (5.22).
r r
r
Ó÷èòûâàÿ êîëëèíåàðíîñòü âåêòîðîâ r − r0 è a ìû ìîæåì
çàïèñàòü âåêòîðíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî íóëþ
èõ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:
(5.23)
[rr − rr0 , ar ] = O .
5.5. Óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè ïëîñêîñòåé è ïðÿìûõ
íà ïëîñêîñòè
Ðàññìîòðèì äâå ïëîñêîñòè π1 è π 2 çàäàííûå ñâîèìè îáùèìè óðàâíåíèÿìè:
A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 è A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 .
Ïðåäëîæåíèå 5.7. Äâå ïëîñêîñòè A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 è
A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 ïàðàëëåëüíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
A1 B1 C1
=
=
=λ
A2 B2 C 2
(5.24)
è ñîâïàäàþò, åñëè åù¸
D1
=λ.
D2
(5.25)
Óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè ïëîñêîñòåé π1 è π 2 ýêâèâàëåíòíî
r
óñëîâèþ êîëëèíåàðíîñòè èõ íîðìàëüíûõ âåêòîðîâ n1 (A1 , B1 ,C1 )
r
r
r
è n 2 (A2 , B2 ,C 2 ), ò.å. n1 = λn 2 , îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò (5.24).
Ðàâåíñòâà (5.24) ìîæíî ïîëó÷èòü è äðóãèì ñïîñîáîì, èñïîëüçóÿ, íàïðèìåð, ðàâåíñòâà (5.17):
124
r r
r r
r r
A1 = i , n1 = i , λn2 = λ i , n2 = λA2 è ò.ä.
Åñëè îäíîâðåìåííî âûïîëíåíû óñëîâèÿ (5.24) è (5.25), òîãäà óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòåé ýêâèâàëåíòíû, òàê êàê λ ≠ 0 (êîýôôèöèåíòû ïðÿìûõ îäíîâðåìåííî íå ìîãóò áûòü ðàâíûìè íóëþ).
( ) (
) ( )
Óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé π1 è π 2 ìîæíî ïîëó÷èòü èç ðàâåíñòâà íóëåâîìó âåêòîðó (îïðåäåëåíèå 4.17) âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ èõ íîðìàëüíûõ âåêòîðîâ:
[nr1, nr2 ] = O
èëè
r
r
r
i
j
k
B C1 r C1 A1 r A1 B1 r
A1 B1 C1 = 1
i +
j+
k =O
,
B2 C 2
C 2 A2
A2 B2
A2 B2 C 2
èëè
B1 C1 C1
=
B2 C 2 C 2
A1 A1
=
A2 A2
B1
=0.
B2
(5.26)
Ðàâåíñòâà (5.26) åñòü óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé.
Ïðåäëîæåíèå 5.8. Äâå ïðÿìûå l1 è l 2 íà ïëîñêîñòè çàäàííûå
îáùèìè óðàâíåíèÿìè A1x + B1 y + C1 = 0 è A2 x + B2 y + C 2 = 0 ïàðàëëåëüíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
A1 B1
=
=λ
A2 B2
(5.27)
è ñîâïàäàþò, åñëè åù¸
C1
=λ.
C2
(5.28)
Åñëè ïðÿìûå l1 è l 2 ïàðàëëåëüíû, òî ïàðàëëåëüíû è èõ íàr
r
r
r
ïðàâëÿþùèå âåêòîðû a1 (− B1 , A1 ) è a2 (− B2 , A2 ) , ò.å. a1 = λa2 , îò-
125
êóäà ñðàçó ñëåäóåò (5.27). Åñëè îäíîâðåìåííî âûïîëíåíû óñëîâèÿ (5.27) è (5.28), òî ó÷èòûâàÿ, ÷òî λ ≠ 0 , ìû èìååì ýêâèâàëåíòíûå óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ l1 è l 2 .
Âîïðîñ î ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïðÿìûõ l1 è l 2 (íàïðàâëÿþr
r
ùèõ âåêòîðîâ a1 (− B1, A1 ) è a2 (− B2 , A2 ) ), ìîæíî ðàññìîòðåòü åù¸
èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (5.7). Åñëè âûïîëíåíû ðàâåíñòâà (5.27), òî
− B1
− B2
A1 − λB2
=
− B2
A2
λA2
− B2
=λ
− B2
A2
A2
=0.
A2
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïðÿìûõ ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå
A1
A2
B1
=0.
B2
(5.29)
Çàäà÷à î ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïðÿìûõ èëè äâóõ ïëîñêîñòåé
ìîæåò áûòü ðåøåíà è ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé.
Ðàññìîòðèì
äâå
ïðÿìûå
A1x + B1 y + C1 = 0
è
A2 x + B2 y + C 2 = 0 . Ñîñòàâèì èç íèõ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:
A1x + B1 y = −C1 ,
A2 x + B2 y = −C 2 .
Åñëè
A1
A2
B1
≠0,
B2
òî ïî òåîðåìå 3.1 íàøà ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå (ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå) ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ C1 è
C2 .
Åñëè æå
126
A1
A2
B1
=0,
B2
÷òî âîçìîæíî, íàïðèìåð, ïðè ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ñòðîê îïðåäåëèòåëÿ, ò.å. åñëè A1 = λA2 è B1 = λB2 , òîãäà ïîëàãàÿ A1 = λA2 è
B1 = λB2 ñîñòàâèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó íàøåé ñèñòåìû:
 A1

 A2
B1
B2
− C1   λA2
~
− C 2   A2
λB2
B2
− C1   λA2
~
− C 2   0
λB2
0
− C1


− λC 2 + C1  .
 ýòîì ñëó÷àå ðàíã ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ áóäåò ìåíüøå
äâóõ, òîãäà r < n è ïî òåîðåìå Êðîíåêåðà-Êàïåëëè ñèñòåìà áóäåò
ñîâìåñòíîé è íåîïðåäåë¸ííîé (ïðÿìûå ñîâïàäàþò) åñëè C1 = λC 2 è
áóäåò íåñîâìåñòíîé (ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû), åñëè C1 ≠ λC 2 .
Ðàññìîòðèì òåïåðü äâå ïëîñêîñòè A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 è
A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 . Ïîëîæèì A1 = λA2 , B1 = λB2 , C1 = λC 2
è ñîñòàâèì ñèñòåìó óðàâíåíèé
A1x + B1 y + C1z = − D1 ,
A2 x + B2 y + C 2 z = −D2 .
Ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà äàííîé ñèñòåìû ïðè ñäåëàííûõ âûøå
ïðåäïîëîæåíèÿõ ëåãêî ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó
− D1
 λA2 λB2 λC 2



− λD2 + D1  ,
0
0
 0
àíàëèç êîòîðîé ëåãêî äà¸ò ïðèâåä¸ííûå âûøå óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè è ñîâïàäåíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé.
127
5.6. Óðàâíåíèå ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå
 ïðåäëîæåíèè 5.7 ìû óñòàíîâèëè óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè
èëè ñîâïàäåíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé
B1 C1 C1
=
B2 C 2 C 2
A1 A1
=
A2 A2
B1
=0.
B2
(5.26)
Åñëè óñëîâèå (5.26) íå âûïîëíåíî, ò.å. õîòÿ áû îäèí èç îïðåäåëèòåëåé îòëè÷åí îò íóëÿ, ÷òî ðàâíîñèëüíî çàïèñè
B1
C1
B2 C2
2
+
C1
A1
C2
A2
2
+
A1
B1
A2
B2
2
≠ 0,
(5.30)
òî ïëîñêîñòè çàäàííûå óðàâíåíèÿìè
A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 ,
(5.31)
A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0
îïðåäåëÿþò ïðÿìóþ, êàê ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé.
Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìó óðàâíåíèé (5.31) ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíåíèå ïðÿìîé ëèíèè â ïðîñòðàíñòâå ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (5.29).
Âûÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îáùåãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû
(5.31) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (5.30).  ýòîì ñëó÷àå ðàíã ñèñòåìû ðàâåí 2 è îáùåå ðåøåíèå áóäåò ñîñòîÿòü èç ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ
ñèñòåìû è ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ å¸ ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû.
×àñòíîå ðåøåíèå ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ïîëîæèâ â (5.31) z = 0 ,
òîãäà (5.31) ïðèìåò âèä
A1x + B1 y + D1 = 0 ,
A2 x + B2 y + D2 = 0 .
 ñèëó (5.30) îïðåäåëèòåëü
A1
A2
B1
≠0
B2
è ïî ïðàâèëó Êðàìåðà ìû ìîæåì íàéòè åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
íîâîé ñèñòåìû
128
A1 − D1
− D1 B1
A − D2
− D2 B2
x0 =
y0 = 2
A1 B1 è
A1 B1 .
A2 B2
A2 B2
(5.32)
Òî÷êó M0 (x0 , y0 ,0 ) ìû ìîæåì ïðèíÿòü çà íà÷àëüíóþ òî÷êó
ïðÿìîé (5.31). Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû
ïðè z = 1 ìû ìîæåì ïðèíÿòü â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà
ïðÿìîé.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïëîñêîñòè (5.31) èìåþò íîðìàëüíûå âåêr
r
òîðû n1 (A1, B1,C1 ) è n2 (A2 , B2 , C2 ) , êîòîðûå ïåðïåíäèêóëÿðíû êàê
ñîîòâåòñòâóþùèì ïëîñêîñòÿì, òàê è ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïëîñêîñòåé. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå íîðìàëüíûõ âåêòîðîâ åñòü âåêòîð ïàðàëëåëüíûé ïðÿìîé (5.31) è â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.46) ìû ìîæåì íàïèñàòü:
r
r
r
i
j
k
r B C1 r A1 C1 r A1 B1
r r r
−j⋅
+k⋅
a = [n1, n2 ] = A1 B1 C1 = i ⋅ 1
B2 C2
A2 C2
A2 B2 .
A2 B2 C2
Ïîìåíÿâ âî âòîðîì îïðåäåëèòåëè ìåñòàìè ñòîëáöû çàïèøåì
êîîðäèíàòû íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ïðÿìîé â âèäå:
B1 C1 C1
B2 C2 , C2
A1 A1
A2 , A2
B1
B2 .
(5.33)
Ðàññìîòðèì ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé (5.2)
x = x0 + lt,
y = y0 + mt,
z = z0 + nt.
(5.2)
r
Åñëè íè îäíà èç êîìïîíåíò íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà a (l, m, n )
íå ðàâíà íóëþ ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü (5.2) â âèäå
129
t=
èëè
x − x0
y − y0
z − z0
, t=
, t=
l
m
n
x − x0 z − z0 y − y0 z − z0
=
=
,
.
(5.34)
l
n
m
n
Óðàâíåíèÿ (5.34) îïðåäåëÿþò ïðÿìóþ êàê ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé, ïåðâàÿ èç êîòîðûõ ïàðàëëåëüíà îñè îðäèíàò (â íå¸ íå âõîäèò ïåðåìåííàÿ y ), âòîðàÿ ïàðàëëåëüíà îñè àáñöèññ (â íå¸ íå âõîäèò ïåðåìåííàÿ x ).
Óðàâíåíèÿ (5.34) ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå ñèììåòðè÷íîì
âèäå,
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
.
(5.35)
l
m
n
Åñëè îäíà èç êîìïîíåíò íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ðàâíà
íóëþ, íàïðèìåð, l = 0 , òîãäà íàäî ïîëîæèòü x = x0 è óðàâíåíèå
ïðÿìîé ïðèìåò âèä
x = x0 ,
y − y0 z − z0
=
.
m
n
(5.36)
Äàííàÿ ïðÿìàÿ ëåæèò â ïëîñêîñòè x = x0 , ò.å. ïàðàëëåëüíà
ïëîñêîñòè x = 0 . Àíàëîãè÷íî çàïèøóòñÿ óðàâíåíèÿ ïðÿìîé (5.36),
åñëè íóëþ áóäåò ðàâíà äðóãàÿ êîìïîíåíòà íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà, ò.å. åñëè m = 0 èëè n = 0 .
Åñëè íóëþ ðàâíû îäíîâðåìåííî äâå êîìïîíåíòû íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà, íàïðèìåð, l = m = 0 , òî óðàâíåíèå ïðÿìîé ïðèìåò âèä
(5.37)
x = x0 , y = y0 .
Ýòà ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè àïïëèêàò - îñè Oz . Îñòàëüíûå
âàðèàíòû ( l = n = 0 è n = m = 0 ) çàïèøóòñÿ àíàëîãè÷íî.
9 À.À. Êèðñàíîâ