ÒÅÌÀ 1. Ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà Öåëü è çàäà÷è

ÒÅÌÀ 1. Ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè
ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà
Öåëü è çàäà÷è
Öåëü êîíòåíòà òåìû 1 íàó÷èòü ÷èòàòåëÿ èññëåäîâàòü àíàëèòè÷åñêè ìîäåëü ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà, îñíîâàííóþ íà àíàëèçå çàäàííûõ
ïðåäïî÷òåíèé ïîòðåáèòåëÿ.
Çàäà÷è êîíòåíòà òåìû 1:
• Ïðåäñòàâèòü ôîðìàëèçîâàííîå îïèñàíèå ïðîñòåéøåé ýêîíîìèêîìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà.
• Ïîñòðîèòü ôóíêöèè ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ôóíêöèé ïîëåçíîñòè.
• Ïðîäåìîíñòðèðîâàòü òåõíèêó àíàëèòè÷åñêîãî ïðîâåäåíèÿ ñðàâíèòåëüíî-ñòàòè÷åñêîãî àíàëèçà (àíàëèçà íà ÷óâñòâèòåëüíîñòü) â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ïîòðåáèòåëüñêîãî ïîâåäåíèÿ.
• Ïîêàçàòü àëãîðèòì è ïðèìåð ðàñ÷åòà ýôôåêòà çàìåùåíèÿ è ýôôåêòà äîõîäà (ïî Ñëóöêîìó).
Îãëàâëåíèå
Ÿ 1.1. Áþäæåòíîå ìíîæåñòâî. Ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ è ôóíêöèÿ
ïîëåçíîñòè
Ÿ 1.2. Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ (äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ
ïðåäïî÷òåíèé.
Ÿ 1.3. Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå ê Ÿ 1.2.
Ÿ 1.4. Ñðàâíèòåëüíàÿ ñòàòèêà â ìîäåëè ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà. Êðèâûå "äîõîä ïîòðåáëåíèå", "öåíà ïîòðåáëåíèå", êðèâàÿ ñïðîñà.
Ÿ 1.5. Ýôôåêò çàìåùåíèÿ è ýôôåêò äîõîäà (ïî Ñëóöêîìó).
Ÿ 1.6. Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå ê Ÿ 1.5.
Ÿ 1.1.
Áþäæåòíîå ìíîæåñòâî.
Ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ è ôóíêöèÿ
ïîëåçíîñòè
Îñíîâíîå ñîäåðæàòåëüíîå ïðåäïîëîæåíèå ïðîñòåéøåé ìîäåëè ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà: ïîòðåáèòåëü âûáèðàåò "ëó÷øèé" íàáîð èç ÷èñëà òåõ,
1
êîòîðûå îí ìîæåò ñåáå ïîçâîëèòü.
Ïóñòü èìååòñÿ äâà òîâàðà, x1 è x2 êîëè÷åñòâî òîâàðà 1 è 2 ñîîò2
âåòñòâåííî, x = (x1 , x2 ) ∈ R+
ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð (consumption
bundle). Ïóñòü èçâåñòíû öåíû p1 > 0 è p2 > 0 ðàññìàòðèâàåìûõ òîâàðîâ,
p = (p1 , p2 ), m > 0 äåíåæíàÿ ñóììà, êîòîðóþ ìîæåò èçðàñõîäîâàòü
ïîòðåáèòåëü (äîõîä).
p1 x1 + p2 x2 = px ≤ m
(1.1.1)
áþäæåòíîå îãðàíè÷åíèå ïîòðåáèòåëÿ.
2
B = B(p1 , p2 , m) = {x ∈ R+
| px ≤ m}
(1.1.2)
áþäæåòíîå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ïîòðåáèòåëüñêèõ íàáîðîâ,
äîñòóïíûõ ïðè äàííûõ öåíàõ è äîõîäå.
Êîëè÷åñòâî 6
òîâàðà 2
m
q p2
−
→
p = (p1 , p2 )
H
HH
x2
0
¢̧
¢
H¢q
HH
qx
H
HH
m
HHqp1
Êîëè÷åñòâî
òîâàðà 1
H
x1
Ðèñ. 1.1.1. Áþäæåòíîå ìíîæåñòâî ïîòðåáèòåëÿ (1.1.2)
Èñïîëüçîâàííîå âûøå ïðåäïîëîæåíèå î íàëè÷èè âñåãî äâóõ òîâàðîâ
íå ñëèøêîì îãðàíè÷èâàåò èññëåäîâàòåëÿ.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî âûäåëèòü
íåêîòîðûé òîâàð (òîâàð 1) èç ìíîæåñòâà èìåþùèõñÿ è ïîíèìàòü ïîä
òîâàðîì 2 âñå îñòàëüíûå òîâàðû. Èíîãäà ïîëàãàþò, ÷òî p2 = 1, è â ýòîì
ñëó÷àå x2 äåíåæíàÿ ñóììà, êîòîðóþ ïîòðåáèòåëü ìîæåò èñòðàòèòü íà
âñå òîâàðû, êðîìå òîâàðà 1, à áþäæåòíîå îãðàíè÷åíèå èìååò âèä p1 x1 +
x2 ≤ m.
Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà áþäæåòíîãî ìíîæåñòâà:
p1
óãëîâîé êîýôôèöèåíò áþäæåòíîé ëèíèè (åå íàêëîí èëè àëüp2
òåðíàòèâíûå èçäåðæêè ïîòðåáëåíèÿ òîâàðà 1);
• −
• B(tp1 , tp2 , tm) = B(p1 , p2 , m) ∀ t > 0;
• èçìåíåíèå äîõîäà âûçûâàåò ïàðàëëåëüíûé ñäâèã áþäæåòíîé ëèíèè,
à èçìåíåíèå îäíîé èç öåí åå ïîâîðîò.
2
Åñëè èçìåðÿòü öåíó òîâàðà 1 è äîõîä îòíîñèòåëüíî öåíû1 òîâàðà 2,
òî óðàâíåíèå áþäæåòíîé ëèíèè
óäîáíî çàïèñàòü â âèäå
p1 x1 + p2 x2 = m
(1.1.3)
p1
m
x1 + x2 =
.
p2
p2
(1.1.4)
 ýòîì ñëó÷àå òîâàð 2 ñòàíîâèòñÿ òîâàðîì-èçìåðèòåëåì (à åãî öåíà
ñòàíîâèòñÿ åäèíè÷íîé).
 ìèêðîýêîíîìèêå èñïîëüçóþò äâà îñíîâíûõ ïîäõîäà ê ìîäåëèðîâàíèþ ïîâåäåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ:
• choice-based approach (ïðîãíîç ïîâåäåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ íà îñíîâå
àíàëèçà íàáëþäàåìûõ âûáîðîâ èëè "âûÿâëåííûõ ïðåäïî÷òåíèé");
• preference-based approach (ïðåäïîëàãàåò, ÷òî êàæäûé ïîòðåáèòåëü
èìååò è èñïîëüçóåò ïðè îñóùåñòâëåíèè âûáîðà ñâîþ ñèñòåìó ïðåäïî÷òåíèé íà ìíîæåñòâå âñåõ ïîòðåáèòåëüñêèõ íàáîðîâ).
Ðàññìîòðèì äàëåå âòîðîé ïîäõîä.
2
Ïóñòü x è y èç R+
íåêîòîðûå ïîòðåáèòåëüñêèå íàáîðû. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ êîíêðåòíîãî ïîòðåáèòåëÿ âûïîëíåíà ðîâíî îäíà èç ñëåäóþùèõ àëüòåðíàòèâ:
• ïîòðåáèòåëü ñòðîãî ïðåäïî÷èòàåò íàáîð x íàáîðó y (x  y );
• y  x;
• ïîòðåáèòåëþ áåçðàçëè÷íî, êàêîé èç ýòèõ äâóõ íàáîðîâ âûáðàòü
(x ∼ y).
Åñëè íàáîð x "ïî êðàéíåé ìåðå òàê æå õîðîø" äëÿ ïîòðåáèòåëÿ, êàê
íàáîð y (ò. å. x  y èëè x ∼ y ), òî ãîâîðÿò, ÷òî ïîòðåáèòåëü ñëàáî
ïðåäïî÷èòàåò íàáîð x íàáîðó y (x % y ).
Ñëåäóþùèå òðè ñâîéñòâà (àêñèîìû) ïîòðåáèòåëüñêèõ ïðåäïî÷òåíèé
ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíåíûìè âñåãäà:
• àêñèîìà ïîëíîé óïîðÿäî÷åííîñòè (ñðàâíèìîñòè):
2
∀ x, y ∈ R+
âûïîëíåíî, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíî èç äâóõ îòíîøåíèé:
x % y , y % x;
2
• àêñèîìà ðåôëåêñèâíîñòè: x % x ∀ x ∈ R+
;
1
"38 ïîïóãàåâ äëèíà îäíîãî óäàâà".
3
• àêñèîìà òðàíçèòèâíîñòè: åñëè x % y è y % z , òî
2
x % z∀ x, y, z ∈ R+
.
Èíîãäà óäîáíî ïðèíÿòü, ÷òî ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ äîïîëíèòåëüíî óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó èëè íåñêîëüêèì èç ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ:
2
• ñâîéñòâî íåïðåðûâíîñòè: ∀ y ∈ R+
ìíîæåñòâà
{x | x % y} è {x | y % x} çàìêíóòû;
• ñâîéñòâî ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè (ñâîéñòâî íåíàñûùåíèÿ):
2
∀ x, y ∈ R+
åñëè x1 ≥ y1 , x2 ≥ y2 , x 6= y, òî x  y;
• ñâîéñòâî âûïóêëîñòè:
2
∀ x, y, z ∈ R+
, åñëè x % z, y % z, 0 ≤ t ≤ 1, òî tx+(1−t)y % z;
• ñâîéñòâî ëîêàëüíîãî íåíàñûùåíèÿ (local nonsatiation):
2
∀ x ∈ R+
, ε > 0 ∃ y ∈ Sε (x) (ò. å. ρ(x, y) < ε) : y  x.
2
Êðèâàÿ áåçðàçëè÷èÿ (indirence curve) γ , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç x ∈ R+
,
2
ñîåäèíÿåò âñå òî÷êè x ∈ R+ , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ: x ∼ x. Èíîãäà
óäîáíî ðàññìàòðèâàòü êðèâóþ áåçðàçëè÷èÿ γ , ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç x ∈ R2 ,
êàê ãðàôèê ôóíêöèè x2 (x1 ), x1 > 0, çíà÷åíèå êîòîðîé äëÿ êàæäîãî
ïîëîæèòåëüíîãî x1 îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ:
(x1 , x2 (x1 )) ∼ (x1 , x2 ).
Îòìåòèì, ÷òî åñëè x  y , òî ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûå áåçðàçëè÷èÿ
íå ïåðåñåêàþòñÿ.
Ñåìåéñòâî êðèâûõ áåçðàçëè÷èÿ îäíîãî ïîòðåáèòåëÿ â ïðîñòðàíñòâå
2
R+ ïîòðåáèòåëüñêèõ íàáîðîâ íàçûâàþò êàðòîé áåçðàçëè÷èÿ.
x2 6
2
|x % x}
{x ∈ R+
x
q
γ
-
0
x1
Ðèñ. 1.1.2. Êðèâàÿ áåçðàçëè÷èÿ è ñëàáî ïðåäïî÷èòàåìîå ìíîæåñòâî
2
Äëÿ êàæäîãî x ∈ R+
ñëàáîïðåäïî÷èòàåìîå ìíîæåñòâî (upper con2
tour set) {x ∈ R+ | x % x} ñîäåðæèò âñå ïîòðåáèòåëüñêèå íàáîðû, êîòîðûå, ïî êðàéíåé ìåðå, òàê æå õîðîøè äëÿ ïîòðåáèòåëÿ, êàê íàáîð x.
4
Ïðèâåäåì íèæå ïðèíÿòûå â ýêîíîìè÷åñêîé òåîðèè îïðåäåëåíèÿ íåêîòîðûõ êîíêðåòíûõ òèïîâ ïðåäïî÷òåíèé ïîòðåáèòåëÿ.
Åñëè ïîòðåáèòåëü ãîòîâ çàìåùàòü îäèí èç òîâàðîâ â ñâîåì ïîòðåáèòåëüñêîì íàáîðå äðóãèì òîâàðîì â ïîñòîÿííîé ïðîïîðöèè, ýòè äâà òîâàðà íàçûâàþò ñîâåðøåííûìè çàìåíèòåëÿìè, èëè ñóáñòèòóòàìè(perfect
substitutes). Îòìåòèì, ÷òî îòìå÷åííîå ñâîéñòâî, êàê è ñëåäóþùèå, îòíîñèòñÿ â áîëüøåé ñòåïåíè íå ê ñàìèì òîâàðàì, à ê îòíîøåíèþ ðàññìàòðèâàåìîãî ïîòðåáèòåëÿ ê äàííûì òîâàðàì, ò. å. ê åãî ïðåäïî÷òåíèÿì.
Ñîâåðøåííûå êîìïëåìåíòû, èëè âçàèìîäîïîëíÿþùèå òîâàðû
(perfect complements), ýòî òàêèå òîâàðû, êîòîðûå ïîòðåáèòåëü âñåãäà
ñòðåìèòñÿ èñïîëüçîâàòü âìåñòå (â êîìïëåêòå), â ïîñòîÿííîé ïðîïîðöèè.
Ïðåäåëüíàÿ íîðìà çàìåùåíèÿ MRS (áëàãîì 1 áëàãà 2):
¯
∆x2 ¯¯
• M RS = lim
= x02 (x1 );
∆x1 →0 ∆x1 ¯x∈γ
(1.1.5)
• |M RS| ïðèáëèæåííî ïîêàçûâàåò êîëè÷åñòâî áëàãà 2, îò êîòîðîãî ïîòðåáèòåëü ãîòîâ îòêàçàòüñÿ âçàìåí íà óâåëè÷åíèå êîëè÷åñòâà
áëàãà 1 íà åäèíèöó;
• òàíãåíñ óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê êðèâîé áåçðàçëè÷èÿ;
• ïðåäåëüíàÿ ãîòîâíîñòü ïëàòèòü çà äîïîëíèòåëüíîå ïîòðåáëåíèå
áëàãà 1.
Êîëè÷åñòâî 6
áëàãà 2
x2
qx
qx
x2
0
x1
x1
γ
-
Êîëè÷åñòâî
áëàãà 1
Ðèñ. 1.1.3. Ê îïðåäåëåíèþ M RS â òî÷êå x: x ∼ x,
∆x1 = x1 − x1 , ∆x2 = x2 − x2
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïðåäïî÷òåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ ïåðâîìó çàêîíó
Ãîññåíà, ïðåäåëüíàÿ íîðìà çàìåùåíèÿ (áëàãîì 1 áëàãà 2)
¯
∆x2 ¯¯
M RS = lim
∆x1 ∆x1 ¯x∈γ
óáûâàåò ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ïðè äâèæåíèè ïî êðèâîé áåçðàçëè÷èÿ
γ â íàïðàâëåíèè âîçðàñòàíèÿ êîëè÷åñòâà ïåðâîãî áëàãà x1 .
5
Óäîáíûì ñïîñîáîì îïèñàíèÿ ïðåäïî÷òåíèé ïîòðåáèòåëÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè ïîòðåáèòåëÿ.
Òåîðåìà 1.1.1(î ñóùåñòâîâàíèè ôóíêöèè ïîëåçíîñòè).
2
Åñëè ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ íà ìíîæåñòâå R+
ïîòðåáèòåëüñêèõ
íàáîðîâ óäîâëåòâîðÿþò àêñèîìàì:
• ïîëíîé óïîðÿäî÷åííîñòè,
• ðåôëåêñèâíîñòè,
• òðàíçèòèâíîñòè,
• íåïðåðûâíîñòè,
• ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè,
2
òî ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè u: R+
→ R1 , ïðåäñòàâëÿþùàÿ ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ, ò. å.:
2
∀ x, y ∈ R+
: u(x) > u(y) ⇔ x  y.
(1.1.6)
Çàìå÷àíèå 1.1.1. Ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ, îïðåäåëÿåòñÿ íå åäèíñòâåííûì îáðàçîì. À èìåííî, åñëè
2
u : R+
→ R1 , ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè, f : R1 → R1 , âîçðàñòàþùàÿ
2
ôóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé, òî f (u(x)), x ∈ R+
, òàêæå ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè (ïðåäñòàâëÿþùàÿ òå æå ñàìûå ïðåäïî÷òåíèÿ).
Ãðàôèê ôóíêöèè ïîëåçíîñòè èíîãäà íàçûâàþò "ãîðîé óäîâîëüñòâèé".
Êðèâûå áåçðàçëè÷èÿ ÿâëÿþòñÿ ëèíèÿìè óðîâíÿ ôóíêöèè ïîëåçíîñòè.
Ïðåäåëüíàÿ ïîëåçíîñòü áëàãà 1
M U1 = u0x1 =
∂u(x)
∂x1
(1.1.7)
çàâèñèò îò âûáîðà ôóíêöèè ïîëåçíîñòè, ïðåäñòàâëÿþùåé ïðåäïî÷òåíèÿ.
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðåäåëüíàÿ íîðìà çàìåùåíèÿ íå çàâèñèò
îò âûáîðà ôóíêöèè ïîëåçíîñòè, ïðåäñòàâëÿþùåé ïðåäïî÷òåíèÿ. Êðîìå
òîãî, ïðåäåëüíàÿ íîðìà çàìåùåíèÿ ñâÿçàíà ñ ïðåäåëüíûìè ïîëåçíîñòÿìè
ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:
∂u(x)
M U1
∂x1
=−
.
(1.1.8)
M RS = x02 (x1 ) = −
∂u(x)
M U2
∂x2
Äëÿ òîãî, ÷òîáû "ðàñïîçíàòü" ïðåäïî÷òåíèÿ, ïðåäñòàâëåííûå ðàçëè÷íûìè ôóíêöèÿìè ïîëåçíîñòè u è v , äîñòàòî÷íî:
6
• ïîäñ÷èòàòü MRS äëÿ u è υ , èñïîëüçóÿ (1.1.8), è ñðàâíèòü èõ;
• åñëè MRS äëÿ ôóíêöèé u è υ îäèíàêîâû, òî èì ñîîòâåòñòâóþò îäíè
è òå æå êðèâûå áåçðàçëè÷èÿ;
• åñëè, êðîìå òîãî, íàïðàâëåíèå âîçðàñòàíèÿ ïðåäïî÷òåíèé äëÿ u è
υ îäíî è òî æå, òî ýòè ôóíêöèè ïðåäñòàâëÿþò îäíè è òå æå ïðåäïî÷òåíèÿ.
Ïðèìåðû ôóíêöèé ïîëåçíîñòè:
• ñîâåðøåííûå çàìåíèòåëè
u(x1 , x2 ) = ax1 + bx2 , a > 0, b > 0,
M RS = −
a
b
x2
(1.1.9)
6
HH
H
HH
HH
H
HH
H
HH
HH
0
H
H
HH
H
-
x1
Ðèñ. 1.1.4. Êàðòà áåçðàçëè÷èÿ äëÿ (1.1.9), a = 1, b = 2
• âçàèìîäîïîëíÿþùèå òîâàðû
u(x1 , x2 ) = min{ax1 , bx2 }, a > 0, b > 0,
(1.1.10)
M RS = ∞ èëè M RS = 0
x2
6
x2 =
pp
ppp
p
p
ppp
ppp
p
p
ppp
ppp
p
p
ppp
ppp
p
a
x1
b
0
-
x1
Ðèñ. 1.1.5. Êàðòà áåçðàçëè÷èÿ äëÿ (1.1.10), a = 1, b = 2
• êâàçèëèíåéíûå ïðåäïî÷òåíèÿ
u(x1 , x2 ) = υ(x1 ) + x2 ,
M RS = −υ 0 (x1 )
7
(1.1.11)
x2
6
-
0
x1
Ðèñ. 1.1.6. Êàðòà áåçðàçëè÷èÿ äëÿ (1.1.11), v(x1 ) =
√
x1
• ïðåäïî÷òåíèÿ Êîááà-Äóãëàñà
u(x1 , x2 ) = xc1 · xd2 , c > 0, d > 0,
M RS = −
(1.1.12)
cx2
dx1
x2
6
-
0
x1
Ðèñ. 1.1.7. Êàðòà áåçðàçëè÷èÿ äëÿ (1.1.12)
Ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ 1.1.1, ïðåäïî÷òåíèÿ Êîááà-Äóãëàñà ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ ôóíêöèé ïîëåçíîñòè:
Ÿ 1.2.
υ(x1 , x2 ) = c ln x1 + d ln x2 ,
(1.1.13)
u
e(x1 , x2 ) = xa1 x1−a
2 , 0 < a < 1.
(1.1.14)
Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè ñïðîñà
ïîòðåáèòåëÿ (äëÿ ðàçëè÷íûõ
òèïîâ ïðåäïî÷òåíèé)
Ïóñòü B(p1 , p2 , m) áþäæåòíîå ìíîæåñòâî ïîòðåáèòåëÿ,
2
u(x), x ∈ R+
íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ïðåäïî÷òåíèÿ äàííîãî ïîòðåáèòåëÿ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðàöèîíàëüíûé ïîòðåáèòåëü âûáèðàåò ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð x∗ = x∗ (p1 , p2 , m), äîñòàâëÿþùèé ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå åãî ôóíêöèè ïîëåçíîñòè íà
8
áþäæåòíîì ìíîæåñòâå. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îïòèìàëüíûé
(èëè ðàâíîâåñíûé) ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð x∗ (consumer's demanded
bundle) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è óñëîâíîé îïòèìèçàöèè:
(
u(x∗ ) = max u(x);
2
p1 x1 + p2 x2 ≤ m, x ∈ R+
.
(1.2.1)
Åñëè çàäà÷à îïòèìàëüíîãî âûáîðà ïîòðåáèòåëÿ (1.2.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x∗ (p1 , p2 , m) äëÿ ëþáîãî âåêòîðà (p1 , p2 , m) ñ ïîëîæèòåëüíûìè êîìïîíåíòàìè, ñîîòâåòñòâóþùóþ âåêòîðíóþ ôóíêöèþ
x∗ (p1 , p2 , m) = (x∗1 (p1 , p2 , m), x∗2 (p1 , p2 , m))
íàçûâàþò ôóíêöèåé ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ (consumer's demand function).
Èç âòîðîé òåîðåìû Âåéåðøòðàññà ñëåäóåò, ÷òî çàäà÷à (1.2.1) âñåãäà
èìååò ðåøåíèå. Êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé (íóëåâîé ñòåïåíè):
x∗ (p1 , p2 , m) = x∗ (tp1 , tp2 , tm) ∀ t > 0.
(1.2.2)
Ïðè îïðåäåëåííûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ î ïðåäïî÷òåíèÿõ
ïîòðåáèòåëÿ ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è (1.2.1) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì:
Ñâîéñòâî 1.2.1. Åñëè ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ óäîâëåòâîðÿþò ñâîéñòâó "local nonsatiation", îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð ëåæèò íà
áþäæåòíîé ëèíèè, ò. å. p1 x∗1 + p2 x∗2 = m.
Ñâîéñòâî 1.2.2. Åñëè ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ óäîâëåòâîðÿþò ñâîéñòâó ñòðîãîé âûïóêëîñòè, çàäà÷à (1.2.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
x∗ (p1 , p2 , m).
Ñâîéñòâî 1.2.3. Åñëè âûïîëíåíî ñâîéñòâî 1.2.2 è, êðîìå òîãî, x∗1 > 0,
x∗2 > 0 (òàê íàçûâàåìîå âíóòðåííåå èëè íå óãëîâîå ðåøåíèå), áþäæåòíàÿ ëèíèÿ êàñàåòñÿ íàèáîëåå ïðèâëåêàòåëüíîé äëÿ ïîòðåáèòåëÿ êðèâîé
áåçðàçëè÷èÿ γ â òî÷êå x∗ (ñì. ðèñ. 1.2.1).
x2
m
p2
x∗2
6
Q
Q
Q
Q q
Q
Q
Q
Q
Q
γ
-
m
x∗1
0
x1
p1
∗
Ðèñ. 1.2.1. Âíóòðåííåå ðåøåíèå x çàäà÷è (1.2.1)
ïðè ñòðîãî-âûïóêëûõ ïðåäïî÷òåíèÿõ òî÷êà êàñàíèÿ
áþäæåòíîé ëèíèè è êðèâîé áåçðàçëè÷èÿ
9
Âàæíîå ñâîéñòâî 1.2.3, êîòîðîå ìîæåò áûòü äîêàçàíî ìåòîäîì Ëàãðàíæà, èíîãäà çàïèñûâàþò â ñëåäóþùèõ ôîðìàõ, êàæäàÿ èç êîòîðûõ äîïóñêàåò îïðåäåëåííóþ ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ:
•
M RS = −
p1
â òî÷êå x∗ ,
p2
(ò. å. äëÿ îïòèìàëüíîãî íàáîðà ïðåäåëüíàÿ íîðìà çàìåùåíèÿ ðàâíà ýêîíîìè÷åñêîé íîðìå çàìåùåíèÿ);
•
p1
M U1
=
â òî÷êå x∗ ;
p2
M U2
M U2
M U1
=
â òî÷êå x∗ ,
p1
p2
(ò. å. ïðåäåëüíàÿ ïîëåçíîñòü, îòíåñåííàÿ ê öåíå òîâàðà, îäèíàêîâà äëÿ
âñåõ ïðèîáðåòàåìûõ òîâàðîâ òàê íàçûâàåìûé âòîðîé çàêîí Ãîññåíà).
Îòìåòèì, ÷òî åñëè u(x) äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, òî â îáùåì
ñëó÷àå çàäà÷ó (1.2.1) ðåøàþò ìåòîäîì Êóíà-Òàêêåðà, êîòîðûé ïîçâîëÿåò
íàéòè è òàê íàçûâàåìûå óãëîâûå ðåøåíèÿ.
Ðàññìîòðèì ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî âûáîðà äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ïðåäïî÷òåíèé ïîòðåáèòåëÿ.
Ïðèìåð 1.2.1. Ñîâåðøåííûå çàìåíèòåëè:
•
u(x1 ,x2 ) = ax1 + b x2 , a > 0, b > 0 :
m
a p1
> , ðåøåíèå x∗ óãëîâîå, ïðè÷åì x∗1 = , x∗2 = 0;
b
p2
p1
a p1
m
• åñëè < , ðåøåíèå x∗ óãëîâîå, ïðè÷åì x∗1 = 0, x∗2 = ;
b
p2
p2
a
p1
• åñëè = , ëþáàÿ òî÷êà áþäæåòíîé ëèíèè ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüb
p2
íûì ïîòðåáèòåëüñêèì íàáîðîì.
• åñëè
Ïðèìåð 1.2.2. Âçàèìîäîïîëíÿþùèå òîâàðû:
u(x1 , x2 ) = min{ax1 , bx2 }, a > 0, b > 0 :
 ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü êàê òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ áþäa
æåòíîé ëèíèè è ïðÿìîé x2 = x1 :
b


∗


 x1 (p1 , p2 , m) =



 x∗2 (p1 , p2 , m) =
10
bm
;
bp1 + ap2
am
.
bp1 + ap2
(1.2.3)
Ïðèìåð 1.2.3. Ïðåäïî÷òåíèÿ Êîááà-Äóãëàñà:
u(x1 , x2 ) = xc1 xd2 , c>0, d>0 :
∗
x:
Ïðåäïî÷òåíèÿ ýòîãî òèïà âñåãäà ïðèâîäÿò ê âíóòðåííåìó ðåøåíèþ

m
c



·
;
x∗1 (p1 , p2 , m) =


c + d p1


m
d
∗


 x2 (p1 , p2 , m) = c + d · p .
2
Ÿ 1.3.
(1.2.4)
Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå ê Ÿ 1.2
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó óñëîâíîé îïòèìèçàöèè (ñ îãðàíè÷åíèÿìè óðàâíåíèÿìè):

f (x∗ ) = max f (x), x ∈ Rn ,



 h (x) = 0,
1

...,



hk (x) = 0.
(1.3.1)
Èñïîëüçóåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ Ëàãðàíæà
L(x, λ1 , . . . , λk ) = f (x) −
k
X
λi hi (x).
(1.3.2)
i=1
Òåîðåìà 1.3.1 (íåîáõîäèìûå
óñëîâèÿ
îïòèìàëüíîñòè
äëÿ
çàäà÷è (1.3.1)).
Ïócòü ôóíêöèè f è hi äèôôåðåíöèðóåìû, x∗ ðåøåíèå (1.3.1),
óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ íåâûðîæäåííîñòè (ãðàäèåíòû îãðàíè÷åíèé â
òî÷êå x∗ ëèíåéíî íåçàâèñèìû). Òîãäà ñóùåñòâóåò âåêòîð λ∗ = (λ∗1 , . . . , λ∗k )
òàêîé, ÷òî âñå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè (1.3.2) ðàâíû íóëþ â òî÷êå
(x∗ , λ∗ ).
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó óñëîâíîé îïòèìèçàöèè ñ îãðàíè÷åíèÿìè íåðàâåíñòâàìè:

f (x∗ ) = max f (x), x ∈ Rn ,



 g (x) ≤ 0,
1




...,
gm (x) ≤ 0.
11
(1.3.3)
Èñïîëüçóåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ Ëàãðàíæà
L(x, µ1 , . . . , µm ) = f (x) −
m
X
µi gi (x).
(1.3.4)
i=1
Òåîðåìà 1.3.2.(íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ (Êóíà-Òàêêåðà) îïòèìàëüíîñòè
äëÿ çàäà÷è (1.3.3)).
Ïócòü ôóíêöèè f è gi äèôôåðåíöèðóåìû, x∗ ðåøåíèå (1.3.3),
óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ íåâûðîæäåííîñòè (ãðàäèåíòû ñâÿçûâàþùèõ
îãðàíè÷åíèé â òî÷êå x∗ ëèíåéíî íåçàâèñèìû). Òîãäà ñóùåñòâóåò âåêòîð
µ∗ = (µ∗1 , . . . , µ∗m ) òàêîé, ÷òî â òî÷êå (x∗ , µ∗ ) âûïîëíåíû óñëîâèÿ:



(a)






(b)


(c)





 (d)
∂L(·)
∂L(·)
= 0, . . . ,
= 0,
∂x1
∂xn
µ1 · g1 (x∗ ) = 0, . . . , µm · gm (x∗ ) = 0,
µ1 ≥ 0, . . . , µm ≥ 0,
g1 (x∗ ) ≤ 0, . . . , gm (x∗ ) ≤ 0.
Óñëîâèå (b) íàçûâàþò óñëîâèåì äîïîëíÿþùåé íåæåñòêîñòè.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó óñëîâíîé îïòèìèçàöèè ñî ñìåøàííûìè îãðàíè÷åíèÿìè:

f (x∗ ) = max f (x), x ∈ Rn ,





h1 (x) = 0,





 ...,
hk (x) = 0,



g1 (x) ≤ 0,





...,



gm (x) ≤ 0.
(1.3.5)
Èñïîëüçóåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ Ëàãðàíæà
L(x, λ1 , . . . , λk , µ1 , . . . , µm ) = f (x) −
k
X
i=1
λi hi (x) −
m
X
µj gj (x).
(1.3.6)
j=1
Òåîðåìà 1.3.3 (íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ (Êóíà-Òàêêåðà) îïòèìàëüíîñòè
äëÿ çàäà÷è (1.3.5)).
Ïóñòü ôóíêöèè f , hi , gi äèôôåðåíöèðóåìû, x∗ ðåøåíèå (1.3.5),
óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ íåâûðîæäåííîñòè (ãðàäèåíòû ñâÿçûâàþùèõ
îãðàíè÷åíèé â òî÷êå x∗ ëèíåéíî íåçàâèñèìû). Òîãäà ñóùåñòâóþò âåêòîðû
12
λ∗ = (λ∗1 , . . . , λ∗k ) è µ∗ = (µ∗1 , . . . , µ∗m ) òàêèå, ÷òî â òî÷êå (x∗ , λ∗ , µ∗ ) âûïîëíåíû óñëîâèÿ:



(a)






(b)


(c)





 (d)
∂L(·)
∂L(·)
= 0, . . . ,
= 0,
∂x1
∂xn
µ1 · g1 (x∗ ) = 0, . . . , µm · gm (x∗ ) = 0,
µ1 ≥ 0, . . . , µm ≥ 0,
hi (x∗ ) = 0, gi (x∗ ) ≤ 0.
Óñëîâèå (b) íàçûâàþò óñëîâèåì äîïîëíÿþùåé íåæåñòêîñòè äëÿ íåðàâåíñòâ.
Ÿ 1.4.
Ñðàâíèòåëüíàÿ ñòàòèêà â ìîäåëè
ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà.
Êðèâûå "äîõîäïîòðåáëåíèå",
"öåíàïîòðåáëåíèå", êðèâàÿ ñïðîñà
 Ÿ 1.2 ìû îáîçíà÷èëè ÷åðåç x∗ = x∗ (p1 , p2 , m) îïòèìàëüíûé (èëè
ðàâíîâåñíûé) ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð, âûáðàííûé êàê ðåøåíèå çàäà÷è
óñëîâíîé îïòèìèçàöèè (1.2.1). Èññëåäóåì, êàê èçìåíÿþòñÿ êîìïîíåíòû
âåêòîðà x∗ ïî ìåðå èçìåíåíèÿ öåí p1 è p2 è äîõîäà m (ïðè íåèçìåííûõ
ïðåäïî÷òåíèÿõ ïîòðåáèòåëÿ). Â ìèêðîýêîíîìèêå ïîäîáíîå èññëåäîâàíèå
íàçûâàþò ñðàâíèòåëüíî-ñòàòè÷åñêèì àíàëèçîì ("ñðàâíèòåëüíàÿ ñòàòèêà", comparative statics), à â ìàòåìàòèêå àíàëèçîì îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ x∗ çàäà÷è (1.2.1) "íà ÷óâñòâèòåëüíîñòü" ( sensitivity analysis).
Ôèêñèðóåì â ôóíêöèè ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ x∗ (p1 , p2 , m) ïåðâûå äâà
àðãóìåíòà: p1 = p1 , p2 = p2 . Ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ x∗ (p1 , p2 , m) ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé ôóíêöèåé îäíîé ñêàëÿðíîé ïåðåìåííîé m è ïîêàçûâàåò,
êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð ïðè èçìåíåíèè
äîõîäà ïîòðåáèòåëÿ (è ôèêñèðîâàííûõ öåíàõ p1 è p2 ). Ãîäîãðàô ýòîé
âåêòîð-ôóíêöèè x∗ (p1 , p2 , m) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðèâóþ â ïðîñòðàíñòâå
2
ïîòðåáèòåëüñêèõ íàáîðîâ R+
, ñîåäèíÿþùóþ âñå îïòèìàëüíûå ïîòðåáèòåëüñêèå íàáîðû, âûáèðàåìûå ïîòðåáèòåëåì ïðè ðàçëè÷íûõ óðîâíÿõ åãî
äîõîäà m. Ýòó êðèâóþ íàçûâàþò êðèâàÿ "äîõîäïîòðåáëåíèå" (income
expansion path).
13
x2
6
Q
Q
Q QQ
Q
Q QQQQq
Q
Q q QqQQQ
Q
Q QQQQ
Q
QQ QQ QQ
0
-
x1
Ðèñ. 1.4.1. Êðèâàÿ "äîõîäïîòðåáëåíèå" IEP ïîêàçûâàåò, êàê
èçìåíÿåòñÿ îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé âûáîð ñ ðîñòîì äîõîäà m
Åñëè ñ ðîñòîì äîõîäà ñïðîñ íà òîâàð i òàêæå ðàñòåò, ò. å.
4xi
x∗i (p1 , p2 , m + 4m) − x∗i (p1 , p2 , m)
=
> 0,
4m
4m
(1.4.1)
òîâàð i íàçûâàþò íîðìàëüíûì òîâàðîì. Òàê, íà ðèñ. 1.4.1 îáà òîâàðà
ÿâëÿþòñÿ íîðìàëüíûìè (normal goods).
Åñëè ñ ðîñòîì äîõîäà ñïðîñ íà òîâàð i ïàäàåò, ò. å. íåðàâåíñòâî (1.4.1)
âûïîëíåíî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, òîâàð i îòíîñÿò ê ãðóïïå òîâàðîâ
"íèçøåé êàòåãîðèè" (inferior goods).
Çàìåòèì, ÷òî ââåäåííûå âûøå õàðàêòåðèñòèêè òîâàðîâ ìîãóò ìåíÿòüñÿ ïðè çíà÷èòåëüíîì èçìåíåíèè äîõîäà (ñì. ðèñ. 1.4.2).
x2
6
Q
Q
Q QQ
Q
Q QQQQ
Q
Q QQQQQQ
Q
Q
Q QQQQ Q
Q
Q
Q
Q QQ QQ Q
0
-
x1
Ðèñ. 1.4.2. Ïðè óâåëè÷åíèè äîõîäà m ñïðîñ íà òîâàð 1
ñíà÷àëà ðàñòåò, à çàòåì íà÷èíàåò óìåíüøàòüñÿ
Åñëè êðèâàÿ "äîõîäïîòðåáëåíèå" ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëó÷, èñõîäÿ-
x∗2 (p1 , p2 , m)
ùèé èç íà÷àëà êîîðäèíàò, îòíîøåíèå ∗
íå çàâèñèò îò óðîâíÿ
x1 (p1 , p2 , m)
äîõîäà ïîòðåáèòåëÿ. Åñëè ýòî îòíîøåíèå óâåëè÷èâàåòñÿ ïî ìåðå ðîñòà äîõîäà m, èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî òîâàð 1 îòíîñèòñÿ ê ãðóïïå òîâàðîâ ïåðâîé
14
íåîáõîäèìîñòè (necessary good), à òîâàð 2 ê ÷èñëó ïðåäìåòîâ ðîñêîøè
(luxury good).
x2
6
Q
Q
Q Q
Q Q
Q QQQQ
Q
Q QQQQQQ
Q
Q QQQQQQ
Q
Q
Q
Q QQ QQ Q
-
0
x1
Ðèñ. 1.4.3. Âîçìîæíûé âèä êðèâîé γ "äîõîä ïîòðåáëåíèå"
(1 necessary good, 2 luxury good)
Èçìåíåíèå êîìïîíåíò îïòèìàëüíîãî ïîòðåáèòåëüñêîãî íàáîðà
è x∗2 (p1 , p2 , m) ïî ìåðå ðîñòà äîõîäà m ìîæíî ïðåäñòàâèòü
ãðàôè÷åñêè íå òîëüêî ñ ïîìîùüþ êðèâîé "äîõîäïîòðåáëåíèå" , íî è ñ
ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìûõ "êðèâûõ Ýíãåëÿ" . Êðèâûå Ýíãåëÿ ýòî ãðàôèêè ôóíêöèé x∗1 (p1 , p2 , m) â ïðîñòðàíñòâå Ox1 m è x∗2 (p1 , p2 , m) â ïðîñòðàíñòâå Ox2 m. Îíè ïîêàçûâàþò, êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ ñïðîñ íà òîâàð 1
è òîâàð 2 ñîîòâåòñòâåííî ïðè óâåëè÷åíèè äîõîäà ïîòðåáèòåëÿ.1
x∗1 (p1 , p2 , m)
m
m
6
0
-
x1
6
0
-
x2
Ðèñ. 1.4.4. Êðèâûå Ýíãåëÿ (îáà òîâàðà íîðìàëüíûå)
Ïîñòðîèì íèæå êðèâûå "äîõîäïîòðåáëåíèå" è êðèâûå Ýíãåëÿ äëÿ
íåêîòîðûõ òèïîâ ïðåäïî÷òåíèé, ïðåäñòàâëåííûõ ⠟ 1.1, ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåçóëüòàòîâ ïðèìåðîâ 1.2.1 1.2.3.
Ïðèìåð 1.4.1 (ïîñòðîåíèå êðèâîé "äîõîä ïîòðåáëåíèå" è êðèâûõ
Ýíãåëÿ â ñëó÷àå ñîâåðøåííûõ çàìåíèòåëåé: u(x1 , x2 ) = ax1 + bx2 , a > 0,
a p1
b > 0, > .)
b
p2
1
Èíîãäà êðèâûìè Ýíãåëÿ íàçûâàþò òàêæå êðèâûå, ïîêàçûâàþùèå çàâèñèìîñòü
çàòðàò ïîòðåáèòåëÿ íà êàêîé-ëèáî òîâàð (íàïðèìåð, p1 x∗1 (p1 , p2 , m)) îò äîõîäà m.
15
x2
m
6
m
¢
6
¢
6
¢
¢
¢ x1 = pm
1
¢
¢
m -ðàñòåò
-
a
0
x1
¢
-
0
x1
-
0
x2
Ðèñ. 1.4.5. Êðèâàÿ "äîõîä ïîòðåáëåíèå" è êðèâûå Ýíãåëÿ
â ñëó÷àå ñîâåðøåííûõ çàìåíèòåëåé ( ab > pp12 )
Ïðèìåð 1.4.2 (ïîñòðîåíèå êðèâîé "äîõîä ïîòðåáëåíèå" è êðèâûõ
Ýíãåëÿ â ñëó÷àå âçàèìîäîïîëíÿþùèõ òîâàðîâ: u(x1 , x2 ) = min{ax1 , bx2 },
a = 2 , b = 1)
x2
6
m
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
-
0
x1
m
6
£
£
£
£
£
£
££
6
¢
¢
¢
¢
¢
-
0
x1
¢
¢
-
¢
0
x2
Ðèñ. 1.4.6. Êðèâàÿ "äîõîä ïîòðåáëåíèå" è êðèâûå Ýíãåëÿ
â ñëó÷àå âçàèìîäîïîëíÿþùèõ òîâàðîâ a = 2, b = 1
Ïðèìåð 1.4.3 (ïîñòðîåíèå êðèâîé "äîõîä ïîòðåáëåíèå" è êðèâûõ
Ýíãåëÿ â ñëó÷àå ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà: u(x1 , x2 ) = xc1 xd2 , c = 2,
d = 1)
x2
m
6
m
6
¡
6
¡
¡
¡
³
³³
³³
0
³
³³
¡
-
x1
¡
¡
-
0
x1
£
£
£
£
£
£
££
0
-
x2
Ðèñ. 1.4.7. Êðèâàÿ "äîõîä ïîòðåáëåíèå" è êðèâûå Ýíãåëÿ
â ñëó÷àå ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà c = 2, d = 1
Îòìåòèì, ÷òî ïðåäïî÷òåíèÿ, ðàññìîòðåííûå â ïðèìåðàõ 1.4.1 1.4.3
îäíîâðåìåííî óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì äâóì ñâîéñòâàì:
16
• ýòè ïðåäïî÷òåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ ëèíåéíî-îäíîðîäíîé ôóíêöèè ïîëåçíîñòè1 (äëÿ ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà òàêîâîé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ (1.1.15));
• ýòè ïðåäïî÷òåíèÿ ïîðîæäàþò êðèâûå "äîõîäïîòðåáëåíèå" è êðèâûå Ýíãåëÿ ïðîñòîãî âèäà ëó÷è, èñõîäÿùèå èç íà÷àëà êîîðäèíàò.
 îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáûå ïðåäïî÷òåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå ïåðâîìó ñâîéñòâó (òàê íàçûâàåìûå, ãîìîòåòè÷íûå ïðåäïî÷òåíèÿ), îáÿçàòåëüíî óäîâëåòâîðÿþò è âòîðîìó.
Ïðèìåð 1.4.4 (ïîñòðîåíèå êðèâîé "äîõîä ïîòðåáëåíèå" è êðèâûõ
√
Ýíãåëÿ â ñëó÷àå êâàçèëèíåéíûõ ïðåäïî÷òåíèé: u(x1 , x2 ) = x1 + x2 )
x2
m
6
m
6
6
¡
¡
6
0
-
¡
-
x1
¡
¡
¡
-
0
x1
0
-
x2
Ðèñ. 1.4.8. Êðèâàÿ "äîõîäïîòðåáëåíèå" è êðèâûå Ýíãåëÿ
√
â ñëó÷àå êâàçèëèíåéíûõ ïðåäïî÷òåíèé (u(x1 , x2 ) = x1 + x2 )
Òåïåðü ôèêñèðóåì â ôóíêöèè ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ x∗ (p1 , p2 , m) öåíó
òîâàðà 2 (p2 = p2 ) è äîõîä (m = m). Ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ x∗ (p1 , p2 , m)
ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé ôóíêöèåé îäíîé ñêàëÿðíîé ïåðåìåííîé p1 è ïîêàçûâàåò, êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð ïðè
èçìåíåíèè öåíû òîâàðà 1 (ïðè ôèêñèðîâàííûõ äîõîäå è öåíå äðóãîãî
òîâàðà). Ãîäîãðàô ýòîé âåêòîð-ôóíêöèè x∗ (p1 , p2 , m) ïðåäñòàâëÿåò ñî2
áîé êðèâóþ â ïðîñòðàíñòâå ïîòðåáèòåëüñêèõ íàáîðîâ R+
, ñîåäèíÿþùóþ
âñå îïòèìàëüíûå ïîòðåáèòåëüñêèå íàáîðû, âûáèðàåìûå ïîòðåáèòåëåì
ïðè ðàçëè÷íûõ óðîâíÿõ öåíû p1 . Ýòó êðèâóþ íàçûâàþò êðèâàÿ "öåíà
ïîòðåáëåíèå" èëè price-oer curve (òî÷íåå áûëî áû íàçâàòü åå "öåíà òîâàðà 1 ïîòðåáëåíèå" ). Êðèâàÿ "öåíà òîâàðà 2-ïîòðåáëåíèå" îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî.
1 Ôóíêöèÿ
2
íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî-îäíîðîäíîé èëè îäíîðîäíîé
u(x1 , x2 ), (x1 , x2 ) ∈ R+
2
, ∀ t > 0.
ïåðâîé ñòåïåíè, åñëè u(tx1 , tx2 ) = tu(x1 , x2 ) ∀ x = (x1 , x2 ) ∈ R+
17
x2
6
H
Q
@
A H
QH
A@QHH
A @QQHH
A @ Q HH
A @ QQ HH
@
A
Q
H
0
-
x1
Ðèñ. 1.4.9. Êðèâàÿ "öåíàïîòðåáëåíèå" POC ïîêàçûâàåò,
êàê èçìåíÿåòñÿ îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé âûáîð
ïðè óìåíüøåíèè öåíû p1
Åñëè ïðè ñíèæåíèè öåíû p1 ñïðîñ x∗1 (p1 , p2 , m) íà òîâàð 1 ðàñòåò, ò. å.
4x1
x∗1 (p1 + 4p1 , p2 , m) − x∗1 (p1 , p2 , m)
=
< 0,
4p1
4p1
(1.4.2)
òîâàð 1 íàçûâàþò îáû÷íûì òîâàðîì (èëè ãîâîðÿò, ÷òî äëÿ íåãî âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñïðîñà). Òàê, êðèâàÿ "öåíàïîòðåáëåíèå" , ïðåäñòàâëåííàÿ
íà ðèñ. 1.4.9, ñîîòâåòñòâóåò îáû÷íîìó òîâàðó 1.
Åñëè ïðè ïîâûøåíèè öåíû p1 ñïðîñ x∗1 (p1 , p2 , m) íà òîâàð 1 òàêæå
ðàñòåò, ò. å. íåðàâåíñòâî (1.4.2) âûïîëíåíî ñ îáðàòíûì çíàêîì, òîâàð 1
íàçûâàþò òîâàðîì Ãèôôåíà (èëè ãîâîðÿò, ÷òî äëÿ íåãî íàðóøàåòñÿ çàêîí ñïðîñà).
x2
6
H
QH
@
Q
@H
QH
@QH
QH
@ QHH
@ QQHH
@
Q HH
0
-
x1
Ðèñ. 1.4.10. Êðèâàÿ "öåíàïîòðåáëåíèå"
(òîâàð 1 ÿâëÿåòñÿ òîâàðîì Ãèôôåíà)
Åñëè ïðè ñíèæåíèè öåíû p1 ñïðîñ x∗2 (p1 , p2 , m) íà òîâàð 2 ðàñòåò, ò. å.
4x2
x∗2 (p1 + 4p1 , p2 , m) − x∗2 (p1 , p2 , m)
=
< 0,
4p1
4p1
(1.4.3)
à òîâàð 1 îáû÷íûé, èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî òîâàð 2 âûñòóïàåò êîìïëåìåíòîì ïî îòíîøåíèþ ê òîâàðó 1 (èñïîëüçóåòñÿ òàêæå òåðìèí "âçàèìîäîïîëíÿåìûå òîâàðû"). Ðèñ. 1.4.9 îòâå÷àåò êàê ðàç ýòîìó ñëó÷àþ.
18
Åñëè ïðè ïîâûøåíèè öåíû p1 îáû÷íîãî òîâàðà 1 ñïðîñ x∗2 (p1 , p2 , m)
íà òîâàð 2 ðàñòåò, ò. å. íåðàâåíñòâî (1.4.3) âûïîëíåíî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî òîâàð 2 âûñòóïàåò ñóáñòèòóòîì ïî
îòíîøåíèþ ê òîâàðó 1 (èñïîëüçóåòñÿ òàêæå òåðìèí "âçàèìîçàìåíÿåìûå
òîâàðû").1
x2
6
H
Q
A H
@
QH
A@
q QHH
A @Q
q QH
A @ QH
q H
A @ QQHHq
Q HH
A
@
0
-
x1
Ðèñ. 1.4.11. Êðèâàÿ "öåíàïîòðåáëåíèå"
(òîâàð 2 âûñòóïàåò ñóáñòèòóòîì ïî îòíîøåíèþ ê òîâàðó 1)
Èçìåíåíèå ñïðîñà x∗1 (p1 , p2 , m) íà òîâàð 1, âûçâàííîå èçìåíåíèåì öåíû p1 ýòîãî òîâàðà, ìîæíî ïðåäñòàâèòü ãðàôè÷åñêè ñ ïîìîùüþ êðèâîé
ñïðîñà. Êðèâàÿ ñïðîñà íà òîâàð 1 ãðàôèê ñêàëÿðíîé ôóíêöèè îäíîé
ïåðåìåííîé x1 (p1 ) = x∗1 (p1 , p2 , m) èëè ôóíêöèè ñïðîñà îò öåíû â ïðîñòðàíñòâå Ox1 p1 .
p1
6
-
0
x1
Ðèñ. 1.4.12. Êðèâàÿ ñïðîñà äëÿ îáû÷íîãî òîâàðà
Åñëè ôóíêöèÿ îò öåíû x1 (p1 ) = x∗1 (p1 , p2 , m) ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ìîíîòîííîé (íàïðèìåð, óáûâàþùåé â ñëó÷àå îáû÷íîãî òîâàðà), äëÿ íåå ñóùåñòâóåò ñòðîãî ìîíîòîííàÿ â òîì æå ñìûñëå îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ p1 (x1 )
(inverse demand function èëè îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ñïðîñà). Ãðàôèêîì ýòîé
ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ âñå òà æå êðèâàÿ ñïðîñà (ñì. ðèñ. 1.4.12). Äëÿ êàæäîãî
äîïóñòèìîãî óðîâíÿ ñïðîñà x1 òîâàðà 1 îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ñïðîñà p1 (x1 )
1 Âîîáùå
ãîâîðÿ, ðàññìîòðåííûå âûøå õàðàêòåðèñòèêè òîâàðîâ íå ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè.
19
ïîêàçûâàåò, êàêîé äîëæíà áûòü öåíà p1 ýòîãî òîâàðà, ÷òîáû ïåðâàÿ êîìïîíåíòà îïòèìàëüíîãî ïîòðåáèòåëüñêîãî íàáîðà îêàçàëàñü ðàâíîé x1 :
x∗1 (p1 (x1 ), p2 , m) = x1 .
Ïîñòðîèì íèæå êðèâûå "öåíà òîâàðà 1 ïîòðåáëåíèå" è ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûå ñïðîñà äëÿ íåêîòîðûõ òèïîâ ïðåäïî÷òåíèé ïîòðåáèòåëÿ.
Ïðèìåð 1.4.5(ïîñòðîåíèå êðèâîé "öåíà p1 ïîòðåáëåíèå" è êðèâîé
ñïðîñà íà òîâàð 1 â ñëó÷àå ñîâåðøåííûõ çàìåíèòåëåé:
u(x1 , x2 ) = ax1 + bx2 , a = 1, b = 2, p2 = 6, m = 30)
x2
p1
6
5 qH
6
3
H
HH
0
-
x1
0
10
-
x1
Ðèñ. 1.4.13. Êðèâàÿ "öåíà p1 ïîòðåáëåíèå" è êðèâàÿ ñïðîñà x1 (p1 )
â ñëó÷àå ñîâåðøåííûõ çàìåíèòåëåé (a = 1, b = 2, p2 = 6, m = 30)
Ïðèìåð 1.4.6. (Ïîñòðîåíèå êðèâîé "öåíà p1 ïîòðåáëåíèå" è êðèâîé
ñïðîñà íà òîâàð 1 â ñëó÷àå âçàèìîäîïîëíÿþùèõ òîâàðîâ (perfect complements): u(x1 , x2 ) = min{ax1 , bx2 }, a = 2, b = 1.)
x2
p1
6
6
q
¢
¢
¢
¢
0
-
x1
0
q
-
x1
Ðèñ. 1.4.14. Êðèâàÿ "öåíà p1 ïîòðåáëåíèå" è êðèâàÿ ñïðîñà x1 (p1 )
â ñëó÷àå ñîâåðøåííûõ êîìïëåìåíòîâ (a = 2, b = 1)
Ïðèìåð 1.4.7. (Ïîñòðîåíèå êðèâîé "öåíà p1 ïîòðåáëåíèå" è êðèâîé
ñïðîñà íà òîâàð 1 â ñëó÷àå ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà (c = 2, d = 1,
p2 = 6, m = 30)
20
p1
x2 6
5a
0
6
p1 ðàñòåò
¾
-
x1
0
-
x1
Ðèñ. 1.4.15. Êðèâàÿ "öåíà p1 ïîòðåáëåíèå" è êðèâàÿ ñïðîñà x1 (p1 )
äëÿ ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà (c = 2, d = 1, p2 = 6, m = 30)
Ÿ 1.5.
Ýôôåêò çàìåùåíèÿ è ýôôåêò äîõîäà
(ïî Ñëóöêîìó)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð x∗ (p1 , p2 , m)
îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì äëÿ çàäàííîãî âåêòîðà (p1 , p2 , m),
ò. å. çàäà÷à (1.2.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Èçâåñòíî, ÷òî çàâèñèìîñòü îáúåìà ñïðîñà x∗1 (p1 , p2 , m) íà òîâàð 1 îò öåíû p1 ýòîãî òîâàðà ïðè
ôèêñèðîâàííûõ p2 è m çàäàåòñÿ ôóíêöèåé ñïðîñà îò öåíû x1 (p1 ).
Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, òîâàð 1 îáû÷íûé, ò. å. ôóíêöèÿ x1 (p1 )
óáûâàþùàÿ, à öåíà p1 âûðîñëà ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâîíà÷àëüíûì çíà÷åíèåì. Ýôôåêò èçìåíåíèÿ îáúåìà ñïðîñà íà òîâàð 1 â ñâÿçè ñ ðîñòîì
åãî öåíû î÷åâèäåí: ïîòðåáèòåëü áóäåò ïðèîáðåòàòü ìåíüøåå êîëè÷åñòâî
ýòîãî òîâàðà.
 ìèêðîýêîíîìè÷åñêîì àíàëèçå ÷àñòî ïðèâîäÿò äåêîìïîçèöèþ îòìå÷åííîãî èçìåíåíèÿ îáúåìà ñïðîñà íà äâå ñîñòàâëÿþùèå:
• âî-ïåðâûõ, ðîñò öåíû p1 èçìåíÿåò îòíîñèòåëüíûå öåíû ïðåäëàãàåìûõ ïîòðåáèòåëþ òîâàðîâ (ìåíÿåòñÿ íàêëîí áþäæåòíîé ëèíèè, ò. å.
ïðîïîðöèÿ, â êîòîðîé ïîòðåáèòåëü ìîæåò "çàìåùàòü" îäèí òîâàð
äðóãèì) òàê íàçûâàåìûé ýôôåêò çàìåùåíèÿ (substitution
eect);
• âî-âòîðûõ, ðîñò öåíû p1 óìåíüøàåò ïîêóïàòåëüíóþ ñïîñîáíîñòü
ôèêñèðîâàííîãî íîìèíàëüíîãî äîõîäà m ïîòðåáèòåëÿ (÷òî â îáùåì
ñëó÷àå âëèÿåò íà îáúåì ïîòðåáëåíèÿ îáîèõ òîâàðîâ, â òîì ÷èñëå
òîâàðà 1) òàê íàçûâàåìûé ýôôåêò äîõîäà1 (income eect).
1
Ýòî îáùåïðèíÿòîå íàçâàíèå íå ñòîèò âîñïðèíèìàòü ñëèøêîì áóêâàëüíî: íîìèíàëüíûé äîõîä m îñòàåòñÿ íåèçìåííûì ïðè èçìåíåíèè öåíû p1 , ìåíÿåòñÿ ëèøü ïîêóïàòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü ýòîãî êîëè÷åñòâà äåíåã, ò. å. "ðåàëüíûé äîõîä" ïîòðåáèòåëÿ.
21
Ïðèâåäåì íèæå áîëåå ñòðîãîå îïðåäåëåíèå ýôôåêòà çàìåùåíèÿ è ýôôåêòà äîõîäà (ïî Ñëóöêîìó).
Ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ, ïðåäñòàâëåííûå åãî ôóíêöèåé ïîëåçíî2
ñòè u(x), x ∈ R+
, öåíó p2 òîâàðà 2 è íîìèíàëüíûé äîõîä m áóäåì ñ÷èòàòü
íåèçìåííûìè.
Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, âûïîëíåíû âñå ïðåäïîëîæåíèÿ, ñäåëàííûå â íà÷àëå ïàðàãðàôà, è, êðîìå òîãî, òîâàð 1 ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì, à
ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ óäîâëåòâîðÿþò ñâîéñòâó "local nonsatiation".
Èìåííî ýòîìó ñëó÷àþ áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü çíàêè èçìåíåíèé â îáúåìå
ñïðîñà íà òîâàð 1 è ðèñ. 1.5.1.
• Èñõîäíàÿ çàäà÷à ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà (íà÷àëüíàÿ öåíà òîâàðà 1 ðàâíà po1 ):
½
u(xo ) = max u(x);
(1.5.1)
po1 x1 + p2 x2 ≤ m.
Áþäæåòíîå
ìíîæåñòâî
â
çàäà÷å
(1.5.1)
áóäåì
îáîçíà÷àòü
o
B =
áþäæåòíóþ ëèíèþ b , à îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð x = x∗ (po1 , p2 , m).
o
B(po1 , p2 , m),
o
• Êîíå÷íàÿ çàäà÷à ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà (êîíå÷íàÿ öåíà òîâàðà
1 ðàâíà pT1 > po1 , 4p1 = pT1 − po1 > 0):
(
u(xT ) = max u(x);
(1.5.2)
pT1 x1 + p2 x2 ≤ m.
Áþäæåòíîå
ìíîæåñòâî
â
çàäà÷å
(1.4.2)
áóäåì
îáîçíà÷àòü
T
B =
áþäæåòíóþ ëèíèþ b , à îïòèìàëüíûé ïîòðåáèT
òåëüñêèé íàáîð x = x∗ (pT1 , p2 , m).
Îòìåòèì, ÷òî ðåàëüíîå èçìåíåíèå îáñòîÿòåëüñòâ âûáîðà (po1 → pT1 )
ïîðîæäàåò ñîîòâåòñòâóþùåå ðåàëüíîå èçìåíåíèå îïòèìàëüíîãî ïîòðåáèòåëüñêîãî íàáîðà (xo → xT ) è, â ÷àñòíîñòè, îáúåìà ñïðîñà íà òîâàð 1:
T
B(pT1 , p2 , m),
4x1 = 4x1 (4p1 ) = xT1 − xo1 = x∗1 (po1 + 4p1 , p2 , m) − x∗1 (po1 , p2 , m). (1.5.3)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýôôåêòà çàìåùåíèÿ è ýôôåêòà äîõîäà íåîáõîäèìî
íàðÿäó ñ ðåàëüíûìè çàäà÷àìè (1.5.1) è (1.5.2), ñ êîòîðûìè ñòàëêèâàåòñÿ ïîòðåáèòåëü, ðàññìîòðåòü ñëåäóþùèå ãèïîòåòè÷åñêèå îáñòîÿòåëüñòâà
âûáîðà.
• Ïðîìåæóòî÷íàÿ çàäà÷à ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà (öåíà òîâàðà 1
ðàâíà pT1 , íîìèíàëüíûé äîõîä ïîòðåáèòåëÿ mt ïîäáèðàåòñÿ òàêèì
22
îáðàçîì, ÷òîáû èñõîäíûé îïòèìàëüíûé íàáîð xo ïî-ïðåæíåìó áûë
äîñòóïåí ïîòðåáèòåëþ, íåñìîòðÿ íà óäîðîæàíèå òîâàðà 1):
(
u(xt ) = max u(x);
(1.5.4)
pT1 x1 + p2 x2 ≤ mt ,
ãäå
mt = m + 4m = m + 4p1 xo1 .
(1.5.5)
Ïðîâåðèì, ÷òî çíà÷åíèå mt èç (1.5.5) ïîäîáðàíî êàê ðàç òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàáîð xo îñòàâàëñÿ äîñòóïíûì ïîòðåáèòåëþ â ïðîìåæóòî÷íîé
çàäà÷å, ò. å. ëåæàë íà áþäæåòíîé ëèíèè çàäà÷è (1.5.4):
x0 ∈ b0 : p01 + p2 x02 = m,
x0 ∈ bt : (p10 + ∆p1 )x01 + p2 x02 = m + ∆m
¯
¯
¯ ⇒ ∆m = ∆p1 x01 .
¯
Ãîâîðÿò, ÷òî óäîðîæàíèå òîâàðà 1 (po1 → pT1 ) è ñîîòâåòñòâóþùåå
"êîìïåíñàöèîííîå" óâåëè÷åíèå íîìèíàëüíîãî äîõîäà ïî ïðàâèëó (1.5.5)
(m → mt ) â ñîâîêóïíîñòè ñîõðàíÿþò "ïîêóïàòåëüíóþ ñïîñîáíîñòü ïîòðåáèòåëÿ".
Áþäæåòíîå ìíîæåñòâî â çàäà÷å (1.5.4) áóäåì îáîçíà÷àòü
t
B = B(pT1 , p2 , mt ),
áþäæåòíóþ ëèíèþ bt , à îïòèìàëüíûé
ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð xt = x∗ (pT1 , p2 , mt ).
Âîîáðàçèì, ÷òî ðåàëüíîå èçìåíåíèå îáñòîÿòåëüñòâ âûáîðà ïîòðåáèòåëÿ (ò. å. èçìåíåíèå óñëîâèé èñõîäíîé çàäà÷è (1.5.1) íà óñëîâèÿ êîíå÷íîé
çàäà÷è (1.5.2)) ïðîèñõîäèò â äâà ýòàïà:
• èñõîäíàÿ çàäà÷à (1.5.1) −→ ïðîìåæóòî÷íàÿ çàäà÷à (1.5.4);
• ïðîìåæóòî÷íàÿ çàäà÷à (1.5.4) −→ êîíå÷íàÿ çàäà÷à (1.5.2).
Ýòà âûìûøëåííàÿ êîíñòðóêöèÿ íå ìåíÿåò èòîãîâîå èçìåíåíèå (1.5.3)
îáúåìà ñïðîñà 4x1 íà òîâàð 1, íî ïîçâîëÿåò ðàçëîæèòü åãî íà äâå ñîñòàâëÿþùèå, ïðåäñòàâëåííûå â íà÷àëå ïàðàãðàôà.
À èìåííî, ïåðâûé ýòàï (ò. å. ïåðåõîä îò èñõîäíîé çàäà÷è ê ïðîìåæóòî÷íîé) äîïóñêàåò ñëåäóþùèå ýêîíîìè÷åñêèå è ãðàôè÷åñêèå èíòåðïðåòàöèè (ñì. ðèñ. 1.5.1):
• èçìåíÿþòñÿ îòíîñèòåëüíûå öåíû òîâàðîâ ïðè ñîõðàíåíèè ïðåæíåé
ïîêóïàòåëüíîé ñïîñîáíîñòè ïîòðåáèòåëÿ;
• áþäæåòíàÿ ëèíèÿ bo èñõîäíîé çàäà÷è ïîâîðà÷èâàåòñÿ âîêðóã òî÷êè xo äî ïîëîæåíèÿ bt (ïðîìåæóòî÷íàÿ áþäæåòíàÿ ëèíèÿ bt ïàðàëpT1
T
ëåëüíà êîíå÷íîé b , èõ îáùèé íàêëîí − ).
p2
23
Èçìåíåíèå â îáúåìå ñïðîñà íà òîâàð 1, ïîëó÷åííîå íà ïåðâîì ýòàïå:
4xS1 = xt1 − xo1 = x∗1 (pT1 , p2 , mt ) − x∗1 (p1 , p2 , m)
(1.5.6)
íàçûâàþò ýôôåêòîì çàìåùåíèÿ (ïîêóïàòåëü "çàìåùàåò" òîâàð 1 òîâàðîì 2 ñ ó÷åòîì èçìåíåíèÿ îòíîñèòåëüíûõ öåí, ïðè íåèçìåííîì ðåàëüíîì
äîõîäå).
Âòîðîé ýòàï (ò. å. ïåðåõîä îò ïðîìåæóòî÷íîé çàäà÷è ê êîíå÷íîé) òàêæå äîïóñêàåò ïîíÿòíîå òîëêîâàíèå (ñì. ðèñ. 1.5.1):
• èçìåíÿåòñÿ äîõîä (mt → m) ïîòðåáèòåëÿ ïðè ñîõðàíåíèè îòíîñèòåëüíûõ öåí;
• áþäæåòíàÿ ëèíèÿ bt ïàðàëëåëüíî ñäâèãàåòñÿ ê íà÷àëó êîîðäèíàò
äî ïîëîæåíèÿ bT .
Èçìåíåíèå â îáúåìå ñïðîñà íà òîâàð 1, ïîëó÷åííîå íà âòîðîì ýòàïå:
4xI1 = xT1 − xt1 = x∗1 (pT1 , p2 , m) − x∗1 (pT1 , p2 , mt )
(1.5.7)
íàçûâàþò ýôôåêòîì äîõîäà.
x2 6
S
S bt
S
S
S
S t
HH
S H Sx
q
S HH S
T
b S
T HS x0
HSH
q
Sqx
S
SHH b0
S
S HH
0
T
t
0
x1
x1 x1
x1
Ðèñ. 1.5.1. Ïîâîðîò b0 âîêðóã x0 äî ïîëîæåíèÿ bt îïðåäåëÿåò
ýôôåêò çàìåùåíèÿ (xt1 − x01 ), ñäâèã bt äî ïîëîæåíèÿ bT
îïðåäåëÿåò ýôôåêò äîõîäà (xT1 − xt1 )
Ïîíÿòíî, ÷òî
4x1 = ∆xS1 + ∆xI1 = (xt1 − xo1 ) + (xT1 − xt1 ),
(1.5.8)
ò. å. èòîãîâîå èçìåíåíèå (1.5.3) îáúåìà ñïðîñà íà òîâàð 1 ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó ýôôåêòà çàìåùåíèÿ è ýôôåêòà äîõîäà.
Òîæäåñòâî (1.5.8), ñïðàâåäëèâîå, â ÷àñòíîñòè, ïðè ëþáûõ èçìåíåíèÿõ
4p1 öåíû ïåðâîãî òîâàðà, ÷àñòî íàçûâàþò òîæäåñòâîì Ñëóöêîãî.
Îòäåëüíûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò çíàêè ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè
(1.5.8).  ðàññìîòðåííîì íàìè ñëó÷àå 4p1 > 0, à 4xS1 = xt1 − xo1 < 0, ò. å.
24
èçìåíåíèå ñïðîñà, âûçâàííîå ýôôåêòîì çàìåùåíèÿ, ïðîòèâîïîëîæíî ïî
çíàêó èçìåíåíèþ öåíû.
Äîêàæåì, èñïîëüçóÿ ðèñ. 1.5.1, ÷òî îòìå÷åííîå ñâîéñòâî (4xS1 < 0
ïðè 4p1 > 0) âûïîëíåíî âñåãäà (íåçàâèñèìî îò ïðåäïîëîæåíèé î òîì,
÷òî òîâàð 1 îáû÷íûé è íîðìàëüíûé). À èìåííî, xt íå ìîæåò ëåæàòü
íà áþäæåòíîé ëèíèè bt íèæå è ïðàâåå òî÷êè x0 , ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå
u(x0 ) > u(xt ), è, ñëåäîâàòåëüíî, íàáîð xt íå ìîæåò áûòü îïòèìàëüíûì.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî 4xS1 > 0 ïðè 4p1 < 0,
èíûìè ñëîâàìè, ýôôåêò çàìåùåíèÿ âñåãäà äåéñòâóåò â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ èçìåíåíèþ öåíû.1
 ðàññìîòðåííîì íàìè ñëó÷àå 4p1 > 0, à 4xI1 = xT1 − xt1 < 0, ò. å.
èçìåíåíèå ñïðîñà, âûçâàííîå ýôôåêòîì äîõîäà, ïðîòèâîïîëîæíî ïî çíàêó èçìåíåíèþ öåíû. Ýòî âûçâàíî ïðèíÿòûì ïðåäïîëîæåíèåì î òîì, ÷òî
òîâàð 1 íîðìàëüíûé. Åñëè áû òîâàð 1 îòíîñèëñÿ ê ãðóïïå òîâàðîâ
íèçøåé êàòåãîðèè, çíàê ýôôåêòà äîõîäà áûë áû ïðîòèâîïîëîæíûì.
Òàêèì îáðàçîì, ýôôåêò äîõîäà äåéñòâóåò â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ èçìåíåíèþ öåíû (4p1 4xI1 < 0), åñëè òîâàð 1 íîðìàëüíûé, è â òó
æå ñòîðîíó (4p1 4xI1 > 0), åñëè ýòî òîâàð íèçøåé êàòåãîðèè.
 ïîñëåäíåì ñëó÷àå òîâàð 1 ìîæåò äàæå îêàçàòüñÿ òîâàðîì Ãèôôåíà
(åñëè ýôôåêò äîõîäà äåéñòâóåò â ñòîðîíó èçìåíåíèÿ öåíû è ïðåâîñõîäèò
ïî ìîäóëþ ýôôåêò çàìåùåíèÿ), ò. å. óâåëè÷åíèå åãî öåíû ïðèâîäèò ê
óâåëè÷åíèþ åãî ïîòðåáëåíèÿ. Êîíå÷íî, â ýòîì ñëó÷àå ïðåäïîëîæåíèå î
òîì, ÷òî òîâàð 1 îáû÷íûé, íå âûïîëíÿåòñÿ.
Ñ ó÷åòîì îòìå÷åííûõ îáñòîÿòåëüñòâ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü âàæíîå
ñëåäñòâèå èç òîæäåñòâà Ñëóöêîãî:
Òåîðåìà 1.5.1(çàêîí ñïðîñà).
Åñëè ñ ðîñòîì äîõîäà ñïðîñ íà òîâàð óâåëè÷èâàåòñÿ, òî ñ ðîñòîì öåíû
äàííîãî òîâàðà ñïðîñ íà íåãî äîëæåí óìåíüøàòüñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ∆p1 > 0. Ïî óñëîâèþ òîâàð 1 íîðìàëüíûé,
ïîýòîìó ∆xI1 < 0 (ýôôåêò äîõîäà îòðèöàòåëüíûé). Êðîìå òîãî, ∆xS1 < 0
(ýôôåêò çàìåùåíèÿ îòðèöàòåëüíûé, êàê äîêàçàíî âûøå).
Òîãäà ∆x1 = ∆xS1 + ∆xI1 < 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè òîâàð íîðìàëüíûé, òî îí îáû÷íûé.
Ðàññìîòðèì ÷èñëåííûé ïðèìåð ðàçëîæåíèÿ îáùåãî ýôôåêòà èçìåíåíèÿ ñïðîñà íà ýôôåêò çàìåùåíèÿ è ýôôåêò äîõîäà (â ñëó÷àå ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà).
1
Îòìå÷åííîå ñâîéñòâî ýôôåêòà çàìåùåíèÿ èíîãäà ôîðìóëèðóþò ôðàçîé "ýôôåêò
çàìåùåíèÿ âñåãäà îòðèöàòåëåí", êîòîðóþ íå ñòîèò âîñïðèíèìàòü áóêâàëüíî.
25
Ïðèìåð 1.5.1 (ýôôåêò çàìåùåíèÿ è ýôôåêò äîõîäà äëÿ ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà.)
Ïóñòü ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè ïîòðåáèòåëÿ u(x1 , x2 ) = x21 x2 , p2 = 3,
m = 216, à öåíà òîâàðà 1 óâåëè÷èâàåòñÿ îò èñõîäíîãî çíà÷åíèÿ po1 = 2 äî
êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ pT1 = 3.
• Èñõîäíàÿ çàäà÷à ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà:
½
u = x21 x2 → max;
2x1 + 3x2 ≤ 216,

2 216
0


x
=
 1 3 · 2 = 72;


 x0 = 1 · 216 = 24
2
3 3
ñîîòâåòñòâóþùèé îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð (â èñõîäíîé çàäà÷å).
• Ïðîìåæóòî÷íàÿ çàäà÷à ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà:
Îòìåòèì, ÷òî 4m = 4p1 xo1 = 1 · 72.
½
u = x21 x2 → max,
3x1 + 3x2 ≤ 216 + 72 = 288,
2 288
·
= 64
3 3
ïåðâàÿ êîìïîíåíòà îïòèìàëüíîãî ïîòðåáèòåëüñêîãî íàáîðà â ïðîìåæóòî÷íîé çàäà÷å.
xt1 =
• Êîíå÷íàÿ çàäà÷à ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà:
½
u = x21 x2 → max,
3x1 + 3x2 ≤ 216,
2 216
·
= 48
3 3
ïåðâàÿ êîìïîíåíòà îïòèìàëüíîãî ïîòðåáèòåëüñêîãî íàáîðà â êîíå÷íîé çàäà÷å.
xT1 =
• îáùèé ýôôåêò èçìåíåíèÿ ñïðîñà íà òîâàð 1:
4x1 = xT1 − xo1 = 48 − 72 = −24;
26
• ýôôåêò çàìåùåíèÿ:
4xS1 = xt1 − xo1 = 64 − 72 = −8;
• ýôôåêò äîõîäà:
4xI1 = xT1 − xt1 = 48 − 64 = −16.
Ÿ 1.6.
Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå ê Ÿ 1.5
Ïóñòü po1 , po2 è mo öåíû òîâàðîâ è äîõîä â èñõîäíîé çàäà÷å ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà (1.5.1). Îáîçíà÷èì ÷åðåç x
e1 (p1 , po2 , mo ) ïåðâóþ êîìïîíåíòó ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.5.4) ïðè p1 = pT1 . Ýòî ôóíêöèÿ ïåðåìåííîé p1 ,
êîòîðàÿ êàæäîìó çíà÷åíèþ öåíû òîâàðà 1 ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå îïòèìàëüíûé îáúåì ñïðîñà íà ýòîò òîâàð ïðè óñëîâèè, ÷òî ëþáîå èçìåíåíèå
öåíû îòíîñèòåëüíî èñõîäíîãî óðîâíÿ po1 "êîìïåíñèðîâàíî" ñîîòâåòñòâóþùèì èçìåíåíèåì íîìèíàëüíîãî äîõîäà ïîòðåáèòåëÿ ïî ïðàâèëó (1.5.5).
Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ x
e1 (p1 , po2 , mo ) ïîêàçûâàåò, êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ îáúåì ñïðîñà íà òîâàð ïðè èçìåíåíèè åãî öåíû, íî ñîõðàíåíèè
ïîêóïàòåëüíîé ñïîñîáíîñòè ïîòðåáèòåëÿ (òàê íàçûâàåìàÿ ôóíêöèÿ ñïðîñà ïî Ñëóöêîìó).
 îáùåì ñëó÷àå ôóíêöèÿ ñïðîñà ïî Ñëóöêîìó, êîíå÷íî, îòëè÷àåòñÿ
îò ââåäåííîé ⠟1.4 ôóíêöèè ñïðîñà îò öåíû x1 (p1 ) = x∗1 (p1 , po2 , mo ), êîòîðóþ èíîãäà íàçûâàþò îáû÷íîé ôóíêöèåé ñïðîñà èëè ôóíêöèåé ñïðîñà
ïî Ìàðøàëëó. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îáû÷íàÿ ôóíêöèÿ ñïðîñà âûðàæàåò
çàâèñèìîñòü ìåæäó öåíîé òîâàðà è îáúåìîì ñïðîñà íà íåãî ñ ó÷åòîì ýôôåêòîâ çàìåùåíèÿ è äîõîäà, â òî âðåìÿ êàê ôóíêöèÿ ñïðîñà ïî Ñëóöêîìó
ó÷èòûâàåò òîëüêî ýôôåêò çàìåùåíèÿ.
Ñ ó÷åòîì (1.5.4) è (1.5.5) âûðàçèì àíàëèòè÷åñêè ñâÿçü ìåæäó ôóíêöèåé ñïðîñà ïî Ñëóöêîìó x
e1 (p1 , po2 , mo ) è îáû÷íîé ôóíêöèåé ñïðîñà
x∗1 (p1 , po2 , mo ):
x
e1 (p1 , po2 , mo ) = x∗1 (p1 , po2 , mo + (p1 − po1 )xo1 ).
(1.6.1)
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì òîæäåñòâî (1.6.1) ïî ïåðåìåííîé p1 (ïðè çíà÷åíèè
p1 = po1 ):
∂e
x1 (p1 , po2 , mo ) ∂x∗1 (p1 , po2 , mo ) ∂x∗1 (p1 , po2 , mo ) o
=
+
x1
∂p1
∂p1
∂m
èëè
x1 (p1 , po2 , mo ) ∂x∗1 (p1 , po2 , mo ) o
∂x∗1 (p1 , po2 , mo ) ∂e
=
−
x1 .
∂p1
∂p1
∂m
27
(1.6.2)
Óðàâíåíèå (1.6.2) íàçûâàþò óðàâíåíèåì Ñëóöêîãî (â äèôôåðåíöèàëüíîé
ôîðìå). Îíî ñâÿçûâàåò ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îáû÷íîé ôóíêöèè ñïðîñà
ïî öåíå è ïî äîõîäó ñ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè ñïðîñà ïî Ñëóöêîìó.
Ëåâàÿ ÷àñòü (1.6.2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ñïðîñà íà
òîâàð ïðè èçìåíåíèè åãî öåíû, ñëàãàåìûå â ïðàâîé ÷àñòè õàðàêòåðèçóþò
ñêîðîñòè äåéñòâèÿ ýôôåêòà çàìåùåíèÿ è ýôôåêòà äîõîäà ñîîòâåòñòâåííî.
Âûâîäû
• Óäîáíûì ñïîñîáîì îïèñàíèÿ ïðåäïî÷òåíèé ïîòðåáèòåëÿ â ïðîñòåéøåé ìîäåëè ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè. Ýòà ôóíêöèÿ âñåãäà ìîæåò áûòü ââåäåíà (ïðè÷åì íå åäèíñòâåííûì îáðàçîì), åñëè ïðåäïî÷òåíèå ïîòðåáèòåëÿ óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåííîìó íàáîðó äîñòàòî÷íî åñòåñòâåííûõ ïðåäïîëîæåíèé
(àêñèîì).
• Ïðåäåëüíàÿ íîðìà çàìåùåíèÿ M RS (áëàãîì 1 áëàãà 2) õàðàêòåðèçóåò íàêëîí êàñàòåëüíîé ê êðèâîé áåçðàçëè÷èÿ è ïî àáñîëþòíîé
âåëè÷èíå ïðèáëèæåííî ðàâíà êîëè÷åñòâó áëàãà 2, îò êîòîðîãî ïîòðåáèòåëü ãîòîâ îòêàçàòüñÿ âçàìåí íà óâåëè÷åíèå êîëè÷åñòâà áëàãà
1 íà åäèíèöó.
• Ôóíêöèÿ ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ õàðàêòåðèçóåò çàâèñèìîñòü îïòèìàëüíîãî ïîòðåáèòåëüñêîãî íàáîðà îò âåêòîðà öåí òîâàðîâ è äîõîäà ýòîãî ïîòðåáèòåëÿ.
• Ðåçóëüòàòû ñðàâíèòåëüíî-ñòàòè÷åñêîãî àíàëèçà (àíàëèçà íà ÷óâñòâèòåëüíîñòü) îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ â ïðîñòåéøåé çàäà÷å ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà ãðàôè÷åñêè ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ êðèâûõ "äîõîäïîòðåáëåíèå", êðèâûõ Ýíãåëÿ, êðèâûõ "öåíàïîòðåáëåíèå".
• Åñëè ôóíêöèÿ ñïðîñà îò öåíû ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé, òîâàð íàçûâàþò îáû÷íûì.
• Äëÿ îöåíêè ýôôåêòà çàìåùåíèÿ è ýôôåêòà äîõîäà ïðè èçìåíåíèè
öåíû òîâàðà íåîáõîäèìî íàéòè îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð â èñõîäíîé (äî èçìåíåíèÿ öåíû) è êîíå÷íîé (ïîñëå èçìåíåíèÿ
öåíû) çàäà÷å, à òàêæå âî âñïîìîãàòåëüíîé "ïðîìåæóòî÷íîé" çàäà÷å ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà.
• Åñëè ñ ðîñòîì äîõîäà ñïðîñ íà òîâàð óâåëè÷èâàåòñÿ, òî ñ ðîñòîì
öåíû äàííîãî òîâàðà ñïðîñ íà íåãî äîëæåí óìåíüøàòüñÿ (òàê íàçûâàåìûé çàêîí ñïðîñà).
28
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè
1. ×òî íàçûâàþò áþäæåòíûì ìíîæåñòâîì ïîòðåáèòåëÿ?
2. Êàêèå äâà ïîäõîäà èñïîëüçóþò â ìèêðîýêîíîìèêå ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïîâåäåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ?
3. Ïåðå÷èñëèòå è ïîÿñíèòå àêñèîìû ïîòðåáèòåëüñêèõ ïðåäïî÷òåíèé.
4. ×òî òàêîå êðèâàÿ áåçðàçëè÷èÿ ïîòðåáèòåëÿ?
5. Êàêîâ ýêîíîìè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëüíîé íîðìû çàìåùåíèÿ (áëàãîì
2 áëàãà 1)?
6. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ ìîæíî îïèñàòü ñ
ïîìîùüþ ôóíêöèè ïîëåçíîñòè?
7. Êàêîé ýêîíîìè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëüíîé ïîëåçíîñòè áëàãà 2?
8. Êàê ñâÿçàíû ïðåäåëüíûå ïîëåçíîñòè áëàã è ïðåäåëüíàÿ íîðìà çàìåùåíèÿ?
9. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé ïîëåçíîñòè, ïðåäñòàâëÿþùèõ îäèíàêîâûå ïðåäïî÷òåíèÿ.
10. ×òî òàêîå ðàâíîâåñíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð?
11. ×òî òàêîå ôóíêöèÿ ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ?
12.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ âòîðîé çàêîí Ãîññåíà?
13. Çàïèøèòå ôóíêöèþ ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ â ñëó÷àå òîâàðîâ ñîâåðøåííûõ çàìåíèòåëåé.
14. Çàïèøèòå ôóíêöèþ ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ â ñëó÷àå âçàèìîäîïîëíÿþùèõ òîâàðîâ.
15. Çàïèøèòå ôóíêöèþ ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ â ñëó÷àå ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà. Çàâèñèò ëè îáúåì ñïðîñà íà òîâàð îò öåíû äðóãîãî
òîâàðà?
16. Ïîÿñíèòå òåðìèí "ñðàâíèòåëüíàÿ ñòàòèêà".
17. ×òî íàçûâàþò êðèâîé "äîõîäïîòðåáëåíèå"?
18.  êàêîì ñëó÷àå òîâàð íàçûâàþò íîðìàëüíûì?
29
19.  êàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî òîâàð îòíîñèòñÿ ê ãðóïïå òîâàðîâ ïåðâîé íåîáõîäèìîñòè (necessary good)?
20. Â êàêîì ïðîñòðàíñòâå ðèñóþò êðèâóþ Ýíãåëÿ?
21. ×òî òàêîå "ãîìîòåòè÷íûå ïðåäïî÷òåíèÿ"?
22. Ïðèâåäèòå íåñêîëüêî ïðèìåðîâ êâàçèëèíåéíûõ ôóíêöèé ïîëåçíîñòè.
23. Ïðèâåäèòå îïðåäåëåíèå êðèâîé "öåíà òîâàðà 2-ïîòðåáëåíèå"?
24. Êàêîé òîâàð íàçûâàþò îáû÷íûì, à êàêîé òîâàðîì Ãèôôåíà?
25.  êàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî òîâàð 2 âûñòóïàåò ñóáñòèòóòîì ïî
îòíîøåíèþ ê òîâàðó 1, à â êàêîì êîìïëåìåíòîì?
26. Äàéòå îïðåäåëåíèå êðèâîé ñïðîñà íà òîâàð 2.
27. Êàêîâ ýêîíîìè÷åñêèé ñìûñë îáðàòíîé ôóíêöèè ñïðîñà?
28. Ïî÷åìó ïðè èçìåíåíèè öåíû îäíîãî òîâàðà ñ÷èòàþò, ÷òî èçìåíÿåòñÿ ïîêóïàòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü ôèêñèðîâàííîãî íîìèíàëüíîãî äîõîäà ïîòðåáèòåëÿ?
29. Êàê ñòðîèòñÿ ïðîìåæóòî÷íàÿ çàäà÷à ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà ïðè
îöåíêå ýôôåêòà çàìåùåíèÿ è ýôôåêòà äîõîäà (ïî Ñëóöêîìó)?
30.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ çàêîí ñïðîñà?
Áèáëèîãðàôèÿ
1. Âåäèíà Î.È., Äåñíèöêàÿ Â.Í., Âàðôîëîìååâà Ã.Á., Òàðàñþê À.Ô.
Ìàòåìàòèêà. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç äëÿ ýêîíîìèñòîâ. Ì.: Ôèëèíú, 2002.
2. Âýðèàí Õ. Ð. Ìèêðîýêîíîìèêà. Ïðîìåæóòî÷íûé óðîâåíü. Ñîâðåìåííûé
ïîäõîä.
Ì.:
ÞÍÈÒÈ,
1997
(ïåð.
êí.
H. R.Varian. Intermediate Microeconomics (A Modern Approach, 3rd
Ed.) W.W. Norton & Company, 1992).
3. Ãàëüïåðèí Â.Ì., Èãíàòüåâ Ñ.Ì., Ìîðãóíîâ Â.È. Ìèêðîýêîíîìèêà.
ÑÏá.: Ýêîíîìè÷åñêàÿ øêîëà, 1998.
4. Ñèìêèíà Ë.Ã., Êîðíåé÷óê Á.Â. Ìèêðîýêîíîìèêà. 2-å èçä. ÑÏá.:
Ïèòåð, 2003.
30
5. Òàðàñåâè÷ Ë.Ñ., Ãðåáåííèêîâ Ï.È., Ëåóññêèé À.È. Ìèêðîýêîíîìèêà. Ì.: Þðàéò-Èçäàò, 2005.
6. Òèðîëü Æ. Ðûíêè è ðûíî÷íàÿ âëàñòü: òåîðèÿ îðãàíèçàöèè ïðîìûøëåííîñòè. Ïåð. ïîä ðåä. Ãàëüïåðèíà Â.Ì. è Çåíêåâè÷à Í.À.
Ò. 1, 2. ÑÏá.: Ýêîíîìè÷åñêàÿ øêîëà, 2000.
7. Mas-Colell A., Winston M.D., Green J.R. Microeconomic Theory.
Oxford Univ. Press, 1995.
8. Simon C. P., Blume L. Mathematics for Economists. N.Y.: W.W.Norton
& Company, 1994.
9. Varian H.R. Microeconomic Analysis, 3rd Ed. W.W. Norton &
Company, 1992.
31