Лекция 1 (14 января 2014 г.). Многомерные случайные величины

Лекция 1 (14 января 2014 г.).
Многомерные случайные величины. Многомерная функция распределения, плотность
распределения. Маргинальные распределения. Независимость. Математическое ожидание.
Изменение плотности распределения при замене переменных. [2, глава 6].
Лекция 2 (21 января 2014 г.).
Гауссовские многомерные случайные величины. Формулы для плотности и характеристической
функции. Критерий независимости компонент. Устойчивость относительно линейных
отображений. [1].
Лекция 3 (28 января 2014 г.).
Условные математические ожидания (случай дискретного разбиения). Основные свойства.
Определение условного мат. ожидания в общем случае. [1]
Лекция 4 (04 февраля 2014 г.).
Теорема Радона-Никодима. Существование условного математического ожидания. Условные
меры.[1]
Лекция 5 (11 февраля 2014 г.).
Теоремы Лебега, Фату и Леви. Различные виды сходимости с.в. и соотношения между ними. [1].
Лекция 6 (18 февраля 2014 г.).
Теорема Прохорова. Лемма Бореля-Кантелли. ЗБЧ. Усиленный ЗБЧ для случайных величин с
конечным четвертым моментом. Закон 0-1. [1]
Лекция 7 (25 февраля 2014 г.)
Дискретные мартингалы и суб(супер)мартингалы. Теорема о выпуклой функции от мартингала.
Моменты остановки/случайные моменты времени. Теорема о математическом ожидании
(суб)мартингала в случайный момент времени. Приложение к задаче “о разорении”.
Лекции 8,9 (4, 11 марта 2014 г.)
Теоремы о сходимости супермартингалов. Усиленный закон больших чисел. Неравенства ДубаКолмогорова.
Лекция 10 (1 апреля 2014 г.)
Марковские цепи. Базовые свойства. Примеры. [4], [5]
Лекция 11 (8 апреля 2014 г.)
Существование и единственность стационарного распределения для регулярной транспортной
цепи. Связь со средним временем достижения (возвращения). Эргодическая теорема
(формулировка). [4], [5]
Лекция 12 (15 апреля 2014 г.)
Построение пуассоновского процесса. Формула Стирлинга как следствие ЦПТ [5]
Лекция 13 (22 апреля 2014 г.)
Доказательство эргодической теоремы для конечных регулярных марковских цепей. [1].
Ветвящиеся процессы [2].
Литература
1. Ширяев А.Н. Вероятность тт. 1-2.
2. Grimmet G., Welsh D., Probability. An introduction.
3. Grimmet G., Stirzaker D., One thousand exercises in probability.
4. Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. тт. 1-2.
5. Stirzaker D., Elementary probability.
http://portal.tpu.ru/SHARED/k/KITAEVA/statistics/book/Tab2/ElementaryProbabilityDavidStirzaker.pdf