Определение точек разрыва Пример 3.3 Рассмотрим функцию Функция имеет разрывы при , для которой и при . Нетрудно видеть, что при функция имеет неустранимые разрывы первого рода. В точке (значения на краях разыва существуют, но не совпадают); в точке В точках имеем: -- (снова пределы слева и справа существуют, но не совпадают). Рис.3.5.График функции Пример 3.4 Функция при и имеет при при разрыв второго рода, так как . и Рис.3.6.График функции Пример 3.5 Функция при имеет при и разрыв второго рода, так как . Рис.3.7.График функции Пример 3.6 Возьмём . Все точки области определения этой элементарной функции являются точками непрерывности. Поскольку не входит в область определения функции , но определена во всех точках любой проколотой окрестности 0, то 0 -- точка разрыва функции . Разобранный выше пример 3.2 показывает, что если доопределить эту функцию при , положив , то функция становится непрерывной в точке 0. Значит, 0 -- точка разрыва первого рода для функции . Рис.3.8.Устранимый разрыв функции Пример 3.7 Рассмотрим функцию . Её область определения состоит из точек непрерывности, так как это элементарная функция. Точка , в которой функция не определена, -- это точка разрыва функции. Поскольку при , то . Это означает, что при функция имеет устранимый разрыв и становится непрерывной на всей вещественной оси, если положить . Рис.3.9.Устранимый разрыв функции Пример 3.8 Рассмотрим функцию разрыв, так как , то , где . Поскольку . При она имеет -- ограниченная функция, а при (по теореме 2.7). Следовательно, разрыв устранимый, и если доопределить функцию, положив , она становится непрерывной при всех . Рис.3.10.График функции при Пример 3.9 Рассмотрим функцию При , , заданную равенством , так что последовательность , -- это геометрическая прогрессия со знаменателем ,и При что имеет вид При , , , , Эта последовательность предела не имеет, так что функция , , и все , , так , и последовательность не определена при . Рис.3.11.График функции Получаем, что . Точками разрыва этой функции служат как все точки, не принадлежащие области определения (точки вида , ), так и все точки вида , , в которых функция принимает значение 1. Все точки разрыва -- устранимые, так как пределы функции слева и справа в этих точках совпадают и равны 0. Пример 3.10 Рассмотрим функцию , и точка -- точка разрыва. Рассмотрим поведение функции слева и справа от точки разрыва. При будет ; её область определения будет и не существует, и разрыв функции и ; при . Итак, значения "на правом берегу" разрыва в точке -- второго рода. Рис.3.12.График функции Замечание 3.1 Если функция точке слева или справа, то точку не определена на интервале, примыкающем к мы не считаем точкой разрыва функции. Пример 3.11 Рассмотрим функцию . При стремится к 0 и положителен, так что мы не считаем точками разрыва, так как функция при . . Её область определения -и при знаменатель . однако точки не определена при и и Рис.3.13.График функции Пример 3.12 Рассмотрим функцию . Точка несмотря на характер её поведения при при . Рис.3.14.График функции . Её область определения -- это не является точкой разрыва функции , поскольку функция , не определена