7165

7165. Граната массой m = 1 кг разорвалась на высоте h= 6 м над землей на два
осколка. Непосредственно перед разрывом скорость гранаты была направлена
горизонтально и по модулю равна v = 10 м/с. Один из осколков массой m1 =0,4 кг
полетел вертикально вниз и упал на землю под местом разрыва со скоростью v1 = 40
м/с. Чему равен модуль скорости v2 второго осколка сразу после разрыва? Ускорение
свободного падения g = 10 м/с2, влиянием воздуха пренебречь.
Дано: m = 1 кг; h= 6 м; v = 10 м/с; m1 =0,4 кг; v1 = 40 м/с; g = 10 м/с2
Найти: v2=?
Решение. Будем использовать систему отсчета, связанную с землей, которую при
решении данной задачи можно считать неподвижной. Совместим начало
прямоугольной декартовой системы координат с поверхностью земли. Координатную
ось ОХ направим горизонтально в направлении движения фанаты в момент перед ее
разрывом, а координатную ось OY- вертикально вверх. В выбранной инерциальной
системе отсчета можно использовать закон сохранения импульса: импульс гранаты
перед ее разрывом равен суммарному импульсу осколков сразу после разрыва.
Обозначим через v1н модуль начальной скорости первого осколка сразу после разрыва
гранаты. Пренебрегая импульсом силы тяжести за время разрыва гранаты ввиду
малости времени разрыва, по закону сохранения импульса имеем: в проекции на
горизонтальную ось OX:
𝑚 ∙ 𝑣 = (𝑚 − 𝑚1 ) ∙ 𝑣2𝑥 ,
в проекции на вертикальное направление:
𝑚1 ∙ 𝑣1н = (𝑚 − 𝑚1 ) ∙ 𝑣2𝑦 .
Здесь v2x и v2y -проекции начальной скорости второго осколка на оси ОХ и OY
соответственно. Отсюда
𝑚∙𝑣
𝑚1 ∙ 𝑣1н
𝑣2𝑥 =
, 𝑣2𝑦 =
.
𝑚 − 𝑚1
𝑚 − 𝑚1
Скорость первого осколка в момент падения на землю и его скорость сразу после
разрыва гранаты связаны кинематическим соотношением:
2
𝑣12 = 𝑣1н
+ 2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ.
Учитывая, что
2
2
𝑣2 = √𝑣2𝑥
+ 𝑣2𝑦
,
получаем:
1
∙ √𝑚2 ∙ 𝑣 2 + 𝑚12 ∙ (𝑣12 − 2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ).
𝑚 − 𝑚1
Подставляя в эту формулу заданные в условии задачи числа и проверяя размерность,
находим ответ:
1
м
𝑣2 =
∙ √12 ∙ 102 + 0,42 ∙ (402 − 2 ∙ 10 ∙ 6) = 30,6 .
1 − 0,4
с
Ответ.
𝟏
м
𝒗𝟐 =
∙ √𝒎𝟐 ∙ 𝒗𝟐 + 𝒎𝟐𝟏 ∙ (𝒗𝟐𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉),
𝒗𝟐 = 𝟑𝟎, 𝟔 .
𝒎 − 𝒎𝟏
с
𝑣2 =