Сборник методических материалов Живая математика
advertisement
ÈÍÑÒÈÒÓÒ ÍÎÂÛÕ ÒÅÕÍÎËÎÃÈÉ ÆÈÂÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÑÁÎÐÍÈÊ ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÀÒÅÐÈÀËΠÌÎÑÊÂÀ Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà: Ñáîðíèê ìåòîäè÷åñêèõ ìàòåðèàëîâ. — Ì.: ÈÍÒ. — 176 ñ.  ñîñòàâëåíèè ñáîðíèêà ó÷àñòâîâàëè: Ã.Á. Øàáàò (íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü ïðîåêòà) Â.Ì. ×åðíÿâñêèé (Ðàáîòà ñ ïðîãðàììîé «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà», ïåðåâîä è íàó÷íîå ðåäàêòèðîâàíèå) Ã.Á. Øàáàò, Ñ.Â. Ñìèðíîâ, Â.Â. Êóëàãèíà, Â.Î. Ôèëèìîíåíêîâ, Ë.Ì. Ñìîëèíà, Â.Í. Áîðîâèêîâà (êîìïüþòåðíûå àëüáîìû «Óðîêè ïëàíèìåòðèè») Â.Í. Äóáðîâñêèé (êîìïüþòåðíûé àëüáîì «Ñòåðåîìåòðèÿ») Ã.À. Àäæåìÿí (êîìïüþòåðíûé àëüáîì «Çàäàíèÿ è ïðîåêòû äëÿ øêîëüíèêîâ 5–6 êëàññîâ») Ã.Á. Øàáàò (Äåñÿòü ïðèìåðîâ èç ãåîìåòðèè) À.Â. Ïàíòóåâ (Ïðîåêòíûå ðàáîòû «Äèíàìè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ») © The Geometer's Sketchpad. Key Curriculum Press © Ïåðåâîä íà ðóññêèé ÿçûê. Èíñòèòóò íîâûõ òåõíîëîãèé Ñîäåðæàíèå Ââåäåíèå â ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèé êîìïëåêò «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Ôîðìû è ìåòîäû îðãàíèçàöèè ó÷åáíîé äåÿòåëüíîñòè . . . . . . . . . . . 8 Òèïû èíòåðàêòèâíûõ ÷åðòåæåé è èõ îñîáåííîñòè . . . . . . . . . . . . . . . 11 Èíñòðóìåíòàðèé ïðîãðàììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Ñîñòàâ ÓÌÊ «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Ðàáîòà ñ ïðîãðàììîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ×òî òàêîå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ×òî ìîæíî äåëàòü ïðè ïîìîùè ïðîãðàììû? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Îáçîð óðîêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Óñòàíîâêà ïðîãðàììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Óñòàíîâêà ïîä Windows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Óñòàíîâêà ïîä Mac OS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Îñíîâíûå ñâåäåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ×òî íóæíî çíàòü î ñâîåì êîìïüþòåðå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ×òî íóæíî çíàòü î ïðîãðàììå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Óðîêè 1­–4. Çíàêîìñòâî ñ ïðîãðàììîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Óðîê 1. Ïîñòðîåíèå êâàäðàòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ×òî áóäåì èçó÷àòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïðîñòî ïîïðîáóåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . À òåïåðü çàéìåìñÿ âñåðüåç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñòðîèì ïåðïåíäèêóëÿðíûå è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå . . . . . . . . . . . Çàâåðøàåì ïîñòðîåíèå è èñïûòûâàåì åãî «íà ïðî÷íîñòü» . . . . . . ×òî äåëàòü äàëüøå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 32 32 33 34 35 36 Óðîê 2. Òåîðåìà î ÷åòûðåõóãîëüíèêàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ×òî áóäåì èçó÷àòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñòðîèì ïðîèçâîëüíûé ÷åòûðåõóãîëüíèê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Êîíñòðóèðóåì âïèñàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Èñïûòûâàåì êîíñòðóêöèþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñîçäàåì íàäïèñü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 37 38 38 39 Óðîê 3. Îæèâøèå ÷åðòåæè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ×òî áóäåì èçó÷àòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Âûäåëÿåì îáúåêò è ñëåäèì çà åãî òðàåêòîðèåé . . . . . . . . . . . . . . . . Ñîçäàåì êíîïêó àíèìàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ðàñêðàøèâàåì öâåòàìè ðàäóãè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 41 41 43 44 Óðîê 4. Êîëëåêöèÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ×òî áóäåì èçó÷àòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïåðåëèñòûâàåì äîêóìåíò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Èññëåäóåì êîíñòðóêöèþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïîêàçûâàåì ñïðÿòàííûå îáúåêòû è èññëåäóåì èõ ñâîéñòâà . . . . . Äîáàâëÿåì ñòðàíèöó ê äîêóìåíòó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñîçäàåì èíñòðóìåíò ïîëüçîâàòåëÿ Ìîé êâàäðàò . . . . . . . . . . . 46 46 46 47 47 49 50 Óðîêè 5–6. Ïðåîáðàçîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Óðîê 5. Îòðàæåíèÿ + Îòðàæåíèÿ = ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ×òî áóäåì èçó÷àòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ââåäåíèå ê óðîêó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñòðîèì îñè îòðàæåíèÿ è âíóòðåííîñòü ìíîãîóãîëüíèêà . . . . . . . . . Îòìå÷àåì îñè îòðàæåíèÿ è îòðàæàåì îáúåêòû . . . . . . . . . . . . . . . . Îòìå÷àåì, âðàùàåì, èçìåðÿåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Âû÷èñëÿåì, îòìå÷àåì, âðàùàåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 53 54 54 55 56 57 Óðîê 6. Êàëåéäîñêîï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ×òî áóäåì èçó÷àòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñîçäàåì è ïðèìåíÿåì íîâûé èíñòðóìåíò ïîëüçîâàòåëÿ . . . . . . . . Ýêñïåðèìåíòèðóåì ñ óãëîì îòðàæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ãîìîòåòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Àíèìàöèÿ è îáúåäèíåíèå îáúåêòîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 58 58 60 61 62 Óðîê 7. Íåìíîãî àëãåáðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ×òî áóäåì èçó÷àòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñòðîèì ãðàôèê â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . Èçîáðàæàåì ñåìåéñòâî êðèâûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Èññëåäóåì ôóíêöèè, çàâèñÿùèå îò ðàäèóñà îêðóæíîñòè . . . . . . . . 64 64 64 65 67 Óðîê 8. Èòåðàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ×òî áóäåì èçó÷àòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ×òî òàêîå êðèâàÿ Êîõà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Îïðåäåëÿåì ïðîîáðàç è îáðàç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Èòåðàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ãëóáèíà èòåðàöèè, öâåò ôîíàè âûâîä âñåõ îáðàçîâ . . . . . . . . . . . . Ñíåæèíêà Êîõà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 69 70 71 72 73 74 Ïðèëîæåíèå. Îáçîð êîìàíä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Êîìïüþòåðíûå àëüáîìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 ÒÅÎÐÅÌÛ È ÇÀÄÀ×È ØÊÎËÜÍÎÃÎ ÊÓÐÑÀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Ââåäåíèå â êîìïüþòåðèçèðîâàííûé êóðñ ïëàíèìåòðèè . . . . . . . . . . . Õàðàêòåðèñòèêà ìàòåðèàëîâ àëüáîìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Î ðàáîòå ó÷àùèõñÿ ñ ÷åðòåæàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ìåòîäè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ ê ðåøåíèþ çàäàíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 88 90 91 Ñòåðåîìåòðèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ìèíèìóì íåîáõîäèìûõ íàâûêîâ äëÿ ðàáîòû ñ àëüáîìîì «Ñòåðåîìåòðèÿ» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Óïðàâëåíèå èçîáðàæåíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Õàðàêòåðèñòèêè ÷åðòåæåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Èñïîëüçîâàíèå ñòåðåî÷åðòåæåé â ó÷åáíîì ïðîöåññå . . . . . . . . . . . 93 95 95 97 99 Ðàáîòà ñî ñòåðåî÷åðòåæàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Èëëþñòðàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Äåìîíñòðàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå ñå÷åíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Äðóãèå âèäû çàäàíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Øàáëîíû è èíñòðóìåíòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 101 101 104 105 107 109 Ìîäåëè òèïè÷íûõ ôîðì èñïîëüçîâàíèÿ ÆÌ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÛÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Çàäàíèÿ è ïðîåêòû äëÿ øêîëüíèêîâ 5–6 êëàññîâ . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Òðåóãîëüíèê: çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè è ëèíèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ìàòåðèàëû â ðàìêàõ øêîëüíîé ïðîãðàììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ìàòåðèàëû âíå ðàìîê øêîëüíîé ïðîãðàììû . . . . . . . . . . . . . . . . . Òðàåêòîðèè çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Îòêðûòûé óðîê «Ìàëîèçâåñòíàÿ òî÷êà â ãåîìåòðèè» . . . . . . . . . . . 115 116 123 130 134 Îðíàìåíòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñèììåòðèè: îñåâàÿ è öåíòðàëüíàÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Çíàêîìñòâî ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè . . . . . . . . . . . Ïîñòðîåíèå è ðàáîòà ñ îðíàìåíòàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Âûâîäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Çàùèòà ïðîåêòíûõ ðàáîò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 139 145 152 159 160 Çàäàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Äåñÿòü ïðèìåðîâ èç ãåîìåòðèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Ïðèìåðû èç ðàçëè÷íûõ îáëàñòåé ìàòåìàòèêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Ïðîåêòíûå ðàáîòû «Äèíàìè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ» . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Èíñòðóìåíòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Íîâûå âîçìîæíîñòè Æèâîé Ìàòåìàòèêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Ââåäåíèå â ó÷åáíîìåòîäè÷åñêèé êîìïëåêò «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà» Òðàäèöèîííûé ïîäõîä ê ïðåïîäàâàíèþ ãåîìåòðèè ïðèâîäèò ê ìàëîé ïîïóëÿðíîñòè ýòîãî ïðåäìåòà, îñîáåííî ñðåäè ó÷àùèõñÿ, äàë¸êèõ îò ìàòåìàòèêè. Íàèáîëåå î÷åâèäíàÿ ïðè÷èíà ýòîãî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ôîðìóëèðîâêè è äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì çàó÷èâàþò, íî íå ïðîâåðÿþò. Òàêîé ñòèëü îáó÷åíèÿ íàöåëåí íà ðàçâèòèå íåêðèòè÷åñêîãî, íåòâîð÷åñêîãî ìûøëåíèÿ è åñòåñòâåííî îòòîðãàåòñÿ ñîâðåìåííûìè øêîëüíèêàìè. Ìíîãèå èäåîëîãè ñîâðåìåííîãî îáðàçîâàíèÿ ñ÷èòàþò, ÷òî ôàêòû, îòêðûòûå ó÷àùèìèñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî, óñâàèâàþòñÿ èìè ëó÷øå, ÷åì ïðåïîäíåñåííûå ó÷èòåëåì â ãîòîâîì âèäå. Àâòîðû ñáîðíèêà ïîëíîñòüþ ïîääåðæèâàþò ïîâûøåíèå ðîëè ýêñïåðèìåíòà â ãåîìåòðèè. Î÷åíü âàæíàÿ ðîëü îòâîäèòñÿ ãåíåðàöèè âîïðîñîâ ó÷àùèìèñÿ, ôîðìèðîâàíèþ ïðåäïîëîæåíèé, èõ ïîäòâåðæäåíèþ è (îñîáåííî!) îïðîâåðæåíèþ. Ïðè ýòîì ðîëü ó÷èòåëÿ, îáó÷àþùåãî ïðàâèëüíûì óìîçàêëþ÷åíèÿì, ïðåäñòàâëÿåòñÿ íàì ïî-ïðåæíåìó öåíòðàëüíîé. Áîëüøóþ ðîëü â èçìåíåíèè ñîäåðæàíèÿ è ñòèëÿ ïðåïîäàâàíèÿ ãåîìåòðèè èãðàþò êîìïüþòåðíûå òåõíîëîãèè. Ñîâðåìåííûé êîìïüþòåðíûé ÷åðòåæ âûãëÿäèò, êàê òðàäèöèîííûé, è, êàê ïðàâèëî, ëåãêî èäåíòèôèöèðóåòñÿ ñ òðàäèöèîííûì, îäíàêî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êà÷åñòâåííî ñîâåðøåííî íîâîå ÿâëåíèå. Åãî ìîæíî òèðàæèðîâàòü, äåôîðìèðîâàòü, ïåðåìåùàòü èâèäîèçìåíÿòü. Ýëåìåíòû ÷åðòåæà ëåãêî èçìåðèòü êîìïüþòåðíûìè ñðåäñòâàìè, à ðåçóëüòàòû ýòèõ èçìåðåíèé äîïóñêàþò äàëüíåéøóþ êîìïüþòåðíóþ îáðàáîòêó. Âîçìîæíû òàêæå ìíîãîêðàòíûå îáìåíû ÷åðòåæàìè ñ ó÷èòåëåì, õðàíåíèå íåñêîëüêèõ âàðèàíòîâ îäíîãî è òîãî æå ÷åðòåæà è ò. ï. Ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü äîáèâàòüñÿ îò ó÷àùèõñÿ òî÷íûõ è ãðàìîòíûõ ïèñüìåííûõ ôîðìóëèðîâîê (ïî êðàéíåé ìåðå, êîíñòàòèðóþùèõ òî, ÷òî îíè âèäÿò); èõ ìîæíî ïåðåäåëûâàòü ñòîëüêî ðàç, ñêîëüêî òðåáóåòñÿ.  ýòèõ óñëîâèÿõ äàæå ó÷àùèéñÿ, íåñïîñîáíûé ê ïîëíîìó óñâîåíèþ äîêàçàòåëüñòâ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôàêòîâ, ìîæåò äîñòàòî÷íî óâåðåííî ÷óâñòâîâàòü ñåáÿ õîòÿ áû â òîì, ÷òî êàñàåòñÿ ïîâåäåíèÿ åãî ñîáñòâåííûõ ÷åðòåæåé. Ó÷àùèéñÿ èìååò âîçìîæíîñòü ìåíÿòü âíåøíèé âèä ôèãóðû, ñîïðîâîæäàòü åå íîâûìè íàäïèñÿìè è ò. ï. Ïîíèìàíèå äîñòèãàåòñÿ ïðîäîëæèòåëüíûìè ýêñïåðèìåíòàìè ñ ÷åðòåæàìè, äåôîðìàöèÿìè, èçìåðåíèÿìè è ñðàâíåíèÿìè. Íàèáîëåå æå âàæíî òî, ÷òî ó÷àùèéñÿ ïðàêòè÷åñêè íèêîãäà íå ðàáîòàåò ñ êàêèì‑òî åäèíñòâåííûì, ñêàæåì òðåóãîëüíèêîì, à âñåãäà — ñ öåëûì èõ ñåìåéñòâîì, ÷òî ñïîñîáñòâóåò ðàçâèòèþ åãî ãåîìåòðè÷åñêîé èíòóèöèè. Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèé êîìïëåêò (ÓÌÊ) «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà» ñôîðìèðîâàí íà îñíîâå ïðîãðàììû Geometry’s Sketchpad v. 4 (â ðóññêîì ïåðåâîäå «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà»), ðàçðàáîòàííîé ôèðìîé Key Currculum Press (USA), ïåðåâåäåííîé íà ðóññêèé ÿçûê è àäàïòèðîâàííîé Èíñòèòóòîì íîâûõ òåõíîëîãèé. Èñêëþ÷èòåëüíî ïðîñòàÿ â îñâîåíèè, ïðîãðàììà ïîçâîëÿåò ñîçäàâàòü êðàñî÷íûå, ëåãêî âàðüèðóåìûå è ðåäàêòèðóåìûå ÷åðòåæè, îñóùåñòâëÿòü îïåðàöèè íàä íèìè, à òàêæå ïðîèçâîäèòü âñå íåîáõîäèìûå èçìåðåíèÿ, ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, îáåñïå÷èâàåò ðàçâèòèå äåÿòåëüíîñòè ó÷àùåãîñÿ ïî òàêèì íàïðàâëåíèÿì, êàê àíàëèç, èññëåäîâàíèå, ïîñòðîåíèå, äîêàçàòåëüñòâî, ðåøåíèå çàäà÷, ãîëîâîëîìîê è äàæå ðèñîâàíèå. Ïðîãðàììíûé ïàêåò äîïîëíåí ðàçðàáîòàííûìè Èíñòèòóòîì äèíàìè÷åñêèìè ìîäåëÿìè (êîìïüþòåðíûìè àëüáîìàìè, çàäà÷íèêàìè, ïðèìåðàìè èñïîëüçîâàíèÿ ïðîãðàììû â øêîëüíîì è âíåøêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè) è ìåòîäè÷åñêèì ïîñîáèåì. Âåñü ýòîò êîìïëåêò ïðåâðàùàåò ÓÌÊ «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà» â âèðòóàëüíóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ëàáîðàòîðèþ äëÿ ó÷åáíûõ èññëåäîâàíèé ïðè èçó÷åíèè ïëàíèìåòðèè, ñòåðåîìåòðèè, àëãåáðû, òðèãîíîìåòðèè, ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ïðè ðàçðàáîòêå ÓÌÊ «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà» àâòîðû ñòàâèëè ïåðåä ñîáîé ñëåäóþùèå öåëè: • îáåñïå÷åíèå ïîòðåáíîñòè ó÷åáíîãî ïðîöåññà â èíôîðìàöèîííûõ ðåñóðñàõ äëÿ èçó÷åíèÿ ãåîìåòðèè; • ñîçäàíèå ó÷åáíûõ ìàòåðèàëîâ íîâîãî ïîêîëåíèÿ, îðèåíòèðîâàííûõ íà äîñòèæåíèå êà÷åñòâåííî íîâûõ îáðàçîâàòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ è îáåñïå÷èâàþùèõ ñèñòåìíîå âíåäðåíèå è àêòèâíîå èñïîëüçîâàíèå ÈÊÒ â ó÷åáíîì ïðîöåññå îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ ó÷ðåæäåíèé; • ïîääåðæêó ìîäåðíèçàöèè îáðàçîâàòåëüíîãî ïðîöåññà íà îñíîâå ñîâðåìåííûõ ïåäàãîãè÷åñêèõ è èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé; • âíåäðåíèå â ïðåïîäàâàíèå ìàòåìàòèêè ñîâðåìåííûõ ìåòîäèê, êîòîðûå äîëæíû ïîâûñèòü åãî ýôôåêòèâíîñòü ïðè ñîõðàíåíèè òðàäèöèîííûõ è õîðîøî ñåáÿ çàðåêîìåíäîâàâøèõ îáùèõ îðèåíòèðîâ ñèñòåìû ðîññèéñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ; • îáåñïå÷åíèå îðãàíèçàöèè ó÷åáíîé äåÿòåëüíîñòè, ïðåäïîëà­ ãàþùåé øèðîêîå èñïîëüçîâàíèå ôîðì ñàìîñòîÿòåëüíîé ãðóïïîâîé è èíäèâèäóàëüíîé èññëåäîâàòåëüñêîé è ïðîåêòíîé äåÿòåëüíîñòè. Ôîðìû è ìåòîäû îðãàíèçàöèè ó÷åáíîé äåÿòåëüíîñòè ÓÌÊ ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ ïðàêòè÷åñêè ïðè ëþáûõ âèäàõ ó÷åáíîé äåÿòåëüíîñòè, â òîì ÷èñëå, ïðè âûïîëíåíèè äîìàøíèõ ðàáîò, òâîð÷åñêèõ ïðîåêòîâ è ò. ä. Êàê íàì ïðåäñòàâëÿåòñÿ, çíà÷åíèå ýëåêòðîííûõ ÷åðòåæåé äëÿ ïîíèìàíèÿ êóðñà ãåîìåòðèè (ìû èñõîäèì, ïðåæäå âñåãî, èç èíòåðåñîâ ó÷àùèõñÿ ñî ñðåäíèìè ñïîñîáíîñòÿìè è îãðàíè÷åííûì èíòåðåñîì ê ãåîìåòðèè) íåâîçìîæíî ïðåóâåëè÷èòü. Ïåðåõîä îò ñòàòè÷åñêîé ãåîìåòðèè ê äèíàìè÷åñêîé ìåíÿåò îáúåêòû èññëåäîâàíèÿ íå ìåíüøå, ÷åì ïåðåõîä îò ÷èñåë ê ôóíêöèÿì — ó÷àùèéñÿ ðåàëüíî ðàáîòàåò ñ êîíôèãóðàöèÿìè. Ðàáîòà â âèðòóàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëàáîðàòîðèè îáåñïå÷èâàåò ïîääåðæêó ðàáîòû ïðîåêòíîãî òèïà, ïîäðàçóìåâàþùåãî ïî÷òè íåçàìåòíûé è ïëàâíûé ïåðåõîä îò íåñëîæíûõ îïûòîâ è ïðîñòûõ çàäàíèé ê óãëóáëåííîìó èçó÷åíèþ ÿâëåíèÿ, âûçâàâøåãî èíòåðåñ. Êðîìå òîãî, ïðîãðàììíàÿ ñðåäà ïîääåðæèâàåò è òðàäèöèîííóþ «çàäà÷íóþ» ôîðìó. Îñîáåííî óäà÷íî ðåàëèçóåòñÿ â íåé øèðîêèé ñïåêòð çàäà÷ «íà ïîñòðîåíèå». Èñïîëüçîâàíèå ÓÌÊ ïîçâîëÿåò ðàçâèòü ó ó÷åíèêîâ íàâûêè âîñïðèÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ (ôèãóð, ñâÿçàííûõ ñ íèìè âåëè÷èí, ôîðìóëèðîâîê óòâåðæäåíèé è âîïðîñîâ, äîêàçàòåëüñòâ è ò. ï.) è ïðîâåäåíèÿ ðàçëè÷íûõ àêòèâíûõ äåéñòâèé (èçìåðåíèé, ñðàâíåíèé, ïîñòðîåíèé, íàáëþäåíèé, ôîðìèðîâàíèÿ ïðåäïîëîæå­ íèé, èõ ïîäòâåðæäåíèé è îïðîâåðæåíèé, äîêàçàòåëüñòâ è ò. ï.). Ðàáîòàÿ ñ ÓÌÊ «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà» ó÷èòåëü ìîæåò: • ïðîèëëþñòðèðîâàòü îáúÿñíåíèÿ ýôôåêòíûìè è òî÷íûìè ÷åðòåæàìè; • îðãàíèçîâàòü ýêñïåðèìåíòàëüíóþ èññëåäîâàòåëüñêóþ äåÿòåëüíîñòü ó÷àùèõñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ óðîâíåì è ïîòðåáíîñòÿìè ó÷àùèõñÿ; • ïîâûñèòü ðàçíîîáðàçèå ôîðì ðàáîòû ó÷àùèõñÿ, çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èòü äîëþ àêòèâíîé òâîð÷åñêîé ðàáîòû â èõ ó÷åáíîé äåÿòåëüíîñòè; • âûñâîáîäèòü âðåìÿ íà âûïîëíåíèå ó÷àùèìèñÿ òâîð÷åñêèõ çàäà÷; • ðåàëèçîâàòü äèôôåðåíöèàöèþ ïî óðîâíþ çíàíèé è âîçìîæíîñòåé ó÷åíèêîâ è èíäèâèäóàëèçèðîâàòü îáó÷åíèå (ýòî îòíîñèòñÿ êàê ê óðîâíþ ôîðìèðîâàíèÿ ïðåäìåòíûõ óìåíèé è çíàíèé, òàê è èíòåëëåêòóàëüíûõ è îáùèõ óìåíèé). Íàõîäÿñü â ñðåäå âèðòóàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëàáîðàòîðèè Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà ó÷àùèéñÿ ïîëó÷àåò âîçìîæíîñòü: • âèäåòü ïðåäïîëîæèòåëüíîå ðàâåíñòâî è ïîäîáèå ôèãóð; • îòëè÷àòü îñìûñëåííûå óòâåðæäåíèÿ î ôèãóðàõ îò áåññìûñëåííûõ, òî÷íûå îò íåòî÷íûõ; • ïîíèìàòü, ÷òî óòâåðæäåíèÿ î ôèãóðàõ äåëÿòñÿ íà èñòèííûå è ëîæíûå; • ïîíèìàòü, ÷òî ëîæíûå óòâåðæäåíèÿ î ôèãóðàõ îïðîâåðãàþòñÿ êîíòðïðèìåðàìè, è ñàìîñòîÿòåëüíî ñòðîèòü êîíòðïðèìåðû; • ïîíèìàòü ñîîòíîøåíèå ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêèì óòâåðæäåíèåì, åãî îáîáùåíèÿìè è ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè; • îòëè÷àòü âåðíûå äîêàçàòåëüñòâà îò íåâåðíûõ, â îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ ñàìîñòîÿòåëüíî äîêàçûâàòü ïðàâäîïîäîáíûå óòâåðæäåíèÿ. Ïðè ðàáîòå â ðàìêàõ äàííîãî ÓÌÊ êàæäàÿ îáñóæäàåìàÿ ôèãóðà èçîáðàæàåòñÿ íà ýêðàíå ìîíèòîðà. Ïðîãðàììà ïîçâîëÿåò ñîçäàâàòü î÷åíü ñëîæíûå êîíñòðóêöèè çà îãðàíè÷åííîå âðåìÿ, äåëàòü àêêóðàòíûå, ÷åòêèå è ãðàìîòíûå ÷åðòåæè, à òàêæå ëåãêî èñïðàâëÿòü îøèáêè. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ èç âõîäÿùèõ â ÓÌÊ íàáîðîâ ãîòîâûõ ìîäåëåé è êîìïüþòåðíûõ àëüáîìîâ ó÷àùèåñÿ ìîãóò âûïîëíÿòü çàäàíèÿ íà ÷åðòåæå, ïðèëîæåííîì ê ïðîãðàììå, à ìîãóò ñîçäàâàòü ñîáñòâåííûå ÷åðòåæè è ñâåðÿòü ñâîè ïîñòðîåíèÿ ñ îáðàçöîì. Åñëè æå ðàáîòà ïðîèñõîäèò â êëàññå, îñíàùåííîì òîëüêî îäíèì êîìïüþòåðîì è ïðîåêòîðîì, ó÷åíèêàì ìîæíî ïðåäëîæèòü âûïîëíÿòü ðåøåíèÿ â òåòðàäè, ïîëüçóÿñü ïðè ýòîì óêàçàíèÿìè è ïîäñêàçêàìè, äàííûìè â çàäà÷àõ, è ñâåðÿòü ñâîè ïîñòðîåíèÿ ñ îáðàçöîì. Ó÷àùèåñÿ äîëæíû ñîïðîâîæäàòü ðåøåíèå êàæäîé çàäà÷è àíàëèçîì òîãî, íàñêîëüêî ôîðìóëèðóåìûå èìè ïîëîæåíèÿ âûäåðæèâàþò âàðèàöèè èñõîäíûõ ýëåìåíòîâ ÷åðòåæåé. Âñå ïîëîæåíèÿ, äîïóñêàþùèå ïðÿìóþ ïðîâåðêó (ðàâåíñòâî äëèí è óãëîâ, íàõîæäåíèå òî÷êè íà ëèíèè, ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèé â îäíîé òî÷êå è ò. ï.), äîëæíû îáÿçàòåëüíî ïðîâåðÿòüñÿ. Ëþáûå óòâåðæäåíèÿ î êîëè÷åñòâåííûõ ñâîéñòâàõ ÷åðòåæåé ìîãóò ïðîâåðÿòüñÿ ñ ïîìîùüþ âñòðîåííîãî àïïàðàòà èçìåðåíèé è àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä íèìè. Åùå óáåäèòåëüíåé è ïðîùå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîâåðêà ïîñòðîåíèé. Íàïðèìåð, êðóã âïèñàí â òðåóãîëüíèê ïðàâèëüíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí îñòàåòñÿ âïèñàííûì ïðè ïðîèçâîëüíûõ âàðèàöèÿõ âåðøèí òðåóãîëüíèêà; ýòî ïðîâåðÿåìî è ñàìèì ó÷àùèìñÿ, è ó÷èòåëåì áóêâàëüíî çà ñåêóíäû. Âñå ðåçóëüòàòû ðàáîòû íà êîìïüþòåðàõ äîëæíû õðàíèòüñÿ â âèäå îôîðìëåííûõ ÷åðòåæåé â ïðàâèëüíî ñòðóêòóðèðîâàííûõ äèðåêòîðèÿõ — íàäî íàó÷èòü ó÷àùèõñÿ îðãàíèçîâûâàòü àêòèâíûå äèðåêòîðèè è àðõèâû, ãðàìîòíî ïðîèçâîäèòü îáìåí ÷åðòåæàìè è ò. ï. Çàìå÷àíèÿ ïðåïîäàâàòåëÿ ìîæíî ôèêñèðîâàòü íà ÷åðòåæàõ ñïåöèàëüíûì «ó÷èòåëüñêèì» øðèôòîì (àíàëîãîì êðàñíûõ ÷åðíèë…).  îòëè÷èå îò òðàäèöèîííûõ òåòðàäåé, ýòè çàìå÷àíèÿ, êàê ïðàâèëî, íå äîëæíû áûòü íàïðàâëåíû íà êîíñòàòàöèþ îøèáîê ó÷àùåãîñÿ èëè ïðîáåëîâ â åãî çíàíèÿõ; âìåñòî ýòîãî çàìå÷àíèÿ äîëæíû ñîäåðæàòü êîíñòðóêòèâíûå ïðåäëîæåíèÿ ïî äîðàáîòêå èëè ïåðåðàáîòêå ÷åðòåæà. Ñîäåðæàòåëüíî-ìàòåìàòè÷åñêèå êðèòåðèè îöåíêè óñïåøíîñòè ó÷åíèêîâ ïðè ðàáîòå ñ ÓÌÊ â îñíîâíîì ñîâïàäàþò ñ òðàäèöè­ îííûìè. Êîìïüþòåðíûå êðèòåðèè ñâÿçàíû ñî ñïåöèôèêîé ñòðóêòóðû ÷åðòåæåé (âçàèìíàÿ çàâèñèìîñòü ýëåìåíòîâ ÷åðòåæåé, îðãàíèçàöèÿ ñòåïåíåé ñâîáîäû, ò. å. âûáîð óïðàâëÿþùèõ îáúåêòîâ, è ò. ï.). Ýñòåòèêî-ñòèëèñòè÷åñêèå — ñâÿçàíû 10 ñî ñòåïåíüþ èñïîëüçîâàíèÿ ó÷àùèìñÿ âûðàçèòåëüíûõ âîçìîæíîñòåé ïðîãðàììû: âûäåëåíèåì è ïîä÷åðêèâàíèåì ãëàâíûõ è ïðÿòàíüåì âñïîìîãàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ, ÿñíûìè è ãðàìîòíûìè ïîÿñíåíèÿìè. Îò ó÷àùèõñÿ âñåõ óðîâíåé ìîæíî òðåáîâàòü ïîëíîé îòâåòñòâåííîñòè çà èõ ïîñòðîåíèÿ, óâåðåííîñòè â ðàáîòå ñ íèìè. Ñëàáûå ó÷àùèåñÿ èìåþò âîçìîæíîñòü âèäåòü è íàáëþäàòü òî æå, ÷òî è ñðåäíèå; ëèøü óðîâåíü ïîíèìàíèÿ èìè ëîãè÷åñêèõ ñâÿçåé ìîæåò áûòü íèæå. Ñëåäóåò äîïóñêàòü, ÷òî îíè ñäåëàþò ìåíüøå ñðåäíèõ, íî ïîëíîñòüþ ïðî÷óâñòâóþò ïðîèñõîäÿùåå. Ñðåäíèå ó÷àùèåñÿ, êàê ïðàâèëî, â ñîñòîÿíèè ïîëíîñòüþ âûïîëíèòü îáÿçàòåëüíûå çàäàíèÿ è èíîãäà ïîïðîáîâàòü ñâîè ñèëû â äîïîëíèòåëüíûõ. Äëÿ ñèëüíûõ ó÷àùèõñÿ âîçíèêàåò âîçìîæíîñòü áûñòðî âûïîëíèòü íåîáõîäèìûé ìèíèìóì è âûñâîáîäèòü âðåìÿ äëÿ çàäà÷ ïîâûøåííîé òðóäíîñòè è ñîáñòâåííûõ èññëåäîâàíèé. Ó÷èòåëþ ìàòåìàòèêè, ïðèñòóïàþùåìó ê ðàáîòå â ÓÌÊ, äîñòàòî÷íî âëàäåòü êîìïüþòåðîì íà óðîâíå íà÷èíàþùåãî ïîëüçîâàòåëÿ. Ñàìà ïðîãðàììà Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà ëåãêî îñâàèâàåòñÿ ïðè ïîìîùè ðóêîâîäñòâà, ñîäåðæàùåãîñÿ â ïåðâîì ðàçäåëå äàííîãî ïîñîáèÿ. Ìû ðåêîìåíäóåì êîîðäèíèðîâàòü îñâîåíèå ïðîãðàììû â êëàññå ñ ïðåïîäàâàòåëÿìè èíôîðìàòèêè è ÈÊÒ ñ òåì, ÷òîáû ñ èõ ïîìîùüþ îñâàèâàëèñü áîëåå ïðîäâèíóòûå âîçìîæíîñòè êîìïüþòåðà. Ìîæíî òàêæå ââåñòè â êóðñ èíôîðìàòèêè è ÈÊÒ óðîêè, ïîñâÿùåííûå îñâîåíèþ ïðîãðàììû, íà êîòîðûõ ó÷èòåëÿ ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè ðàáîòàëè áû ñîâìåñòíî. Òèïû èíòåðàêòèâíûõ ÷åðòåæåé è èõ îñîáåííîñòè Êàê ìû óæå îòìå÷àëè, ãëàâíîé îñîáåííîñòüþ êîìïüþòåðíûõ ÷åðòåæåé ÿâëÿåòñÿ èõ äèíàìè÷íîñòü (ïîäâèæíîñòü). ×åðòåæ ñóùåñòâóåò âìåñòå ñî âñåìè ñâîèìè âîçìîæíûìè äåôîðìàöèÿìè. Ýëåìåíòû ÷åðòåæåé ìîæíî äâèãàòü, ïðè ýòîì ñîõðàíÿåòñÿ êîíôèãóðàöèÿ, çàäàííàÿ ïîñòðîåíèåì: ïåðïåíäèêóëÿðíûå ëèíèè îñòàþòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíûìè, ðàâíûå îòðåçêè — ðàâíûìè è ò. ä. È ó÷èòåëü, è ó÷åíèê èìåþò âîçìîæíîñòü èçìåíÿòü èñõîäíûå ïàðàìåòðû ÷åðòåæà, ïîëó÷àÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî äîïîëíèòåëüíûõ âàðèàíòîâ çàäà÷. Îôîðìëåíèå ÷åðòåæà çàâèñèò îò òèïà çàäà÷è èëè òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà, äëÿ èëëþñòðàöèè êîòîðîãî ýòîò ÷åðòåæ ñîçäàí. Èëëþñòðàöèè ê îïðåäåëåíèÿì ñîäåðæàò ïîäâèæíûé ÷åðòåæ îïðåäåëÿåìîãî îáúåêòà, êîòîðûé, êàê ïðàâèëî, âûäåëåí êàêèì-íèáóäü ÿðêèì öâåòîì è, èíîãäà, èçìåðåíèÿ, õàðàêòåðèçóþùèå åãî. Ðàáîòà ñ îïðåäåëåíèÿìè àíàëîãè÷íà òðàäèöèîííîé (çàïîìíèòü ÷åðòåæ, ïîâòîðèòü ôîðìóëèðîâêó, âäóìàòüñÿ â ôîðìóëèðîâêó, ñîîòíåñòè ñ äðóãèìè èçâåñòíûìè îïðåäåëåíèÿìè…). Äîïîëíèòåëüíûå âîçìîæíîñòè ñâÿçàíû ñ âàðèàöèÿìè ÷åðòåæåé, êîòîðûå ïîçâîëÿþò çðèòåëüíî çàïîìíèòü ñâîéñòâà, îòíîñÿùèåñÿ ê ñåìåéñòâàì ôèãóð, à íå òîëüêî ê îòäåëüíûì ôèãóðàì. 11 Èëëþñòðàöèÿìè êà÷åñòâåííûõ óòâåðæäåíèé ñëóæàò ïîäâèæíûå ÷åðòåæè, ïîçâîëÿþùèå ðàáîòàòü ñî âñåìè îáúåêòàìè, ñîñòàâëÿþùèìè êîíôèãóðàöèè, èñïîëüçóåìûå â ôîðìóëèðîâêàõ. Èíîãäà òàêèå ÷åðòåæè ñîäåðæàò íåêîòîðûå çíà÷åíèÿ ÷èñëåííûõ õàðàêòåðèñòèê, åñëè ïîñëåäíèå ïîäòâåðæäàþò ñïðàâåäëèâîñòü êà÷åñòâåííûõ óòâåðæäåíèé. Äâèãàÿ ýëåìåíòû ÷åðòåæà, ó÷åíèê ìîæåò óáåäèòüñÿ â èñòèííîñòè óòâåðæäåíèÿ. Ó÷èòåëü èìååò âîçìîæíîñòü â ïðîöåññå ýòîé ðàáîòû êîíòðîëèðîâàòü ïîíèìàíèå ôîðìóëèðîâîê: çàäàâàòü âîïðîñû î ñóùåñòâåííîñòè óñëîâèé, ïðîñèòü ó÷åíèêà òî÷íî ôîðìóëèðîâàòü åãî íàáëþäåíèÿ. Âñå çàäà÷è ìîæíî óñëîâíî ðàçáèòü íà òðè ãðóïïû: çàäà÷è, òðåáóþùèå òîëüêî îòâåòà; çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå è çàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî. Ñîîòâåòñòâåííî îôîðìëåíèå ÷åðòåæà çàâèñèò îò ãðóïïû çàäà÷, äëÿ èëëþñòðàöèè êîòîðîé ýòîò ÷åðòåæ ñîçäàí.  Çàäà÷àõ íà âû÷èñëåíèå è çàäà÷àõ, òðåáóþùèõ òîëüêî îòâåòà, â îñíîâíîì, èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ÷èñëåííûå õàðàêòåðèñòèêè ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ, ïðè÷åì íåêîòîðûå èç íèõ íåëüçÿ âûðàçèòü êîíå÷íûìè äåñÿòè÷íûìè äðîáÿìè, ò. å. òî÷íî èçìåðèòü ñðåäñòâàìè Æèâîé Ìàòåìàòèêè. Èëëþñòðàöèè ê òàêèì çàäà÷àì ñîäåðæàò èíîãäà áîëåå îáùèå êîíôèãóðàöèè. Ñâåäåíèå áîëåå îáùåé êîíôèãóðàöèè ê ÷àñòíîìó ñëó÷àþ ïîçâîëÿåò ïðîâåðèòü ïðàâèëüíîñòü ïðèâåäåííîãî îòâåòà.  íåêîòîðûõ çàäà÷àõ, íàîáîðîò, êîíôèãóðàöèÿ îñòàâëåíà äîñòàòî÷íî æåñòêîé, ò. å. ó÷åíèêó ïðåäëàãàåòñÿ ïðîñòî ïîóïðàæíÿòüñÿ â âîçìîæíîñòÿõ ïðîãðàììû, ïîëó÷èòü îòâåò è ñâåðèòü åãî ñî ñïðÿòàííûì îòâåòîì. Çàäà÷è ýòîãî òèïà îòëè÷àþòñÿ, ïî ñóòè, îò çàäà÷ íà äîêàçàòåëüñòâî òîëüêî òåì, ÷òî óòâåðæäåíèå íàäî íå òîëüêî äîêàçàòü, íî è ñôîðìóëèðîâàòü. Ýêñïåðèìåíòèðóÿ ñ ÷åðòåæîì (âàðüèðóÿ ýëåìåíòû, ïðîèçâîäÿ èçìåðåíèÿ è àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä íèìè), ó÷àùèéñÿ ôîðìóëèðóåò ãèïîòåçû. Ïîñëå ýòîãî çàäà÷à ïðåâðàùàåòñÿ â çàäà÷ó íà äîêàçàòåëüñòâî ñôîðìóëèðîâàííîé ãèïîòåçû. ×åðòåæè ê Çàäà÷àì íà ïîñòðîåíèå, â êîòîðûõ ïîñòðîåíèå íå ñëèøêîì ãðîìîçäêî è âûïîëíÿåòñÿ áåç êàêèõ-ëèáî ñïåöèàëüíî âûäóìàííûõ ïðèåìîâ, ñîäåðæàò ñïðÿòàííîå ïîñòðîåíèå (à èíîãäà åùå è ïîøàãîâîå îïèñàíèå ýòîãî ïîñòðîåíèÿ). ×åðòåæè ê çàäà÷àì, òðåáóþùèì íåòðèâèàëüíîãî èññëåäîâàíèÿ, èìåþò îòâåò. ×åðòåæè êî âñåì çàäà÷àì íà ïîñòðîåíèå âêëþ÷àþò â ñåáÿ äàííûå, ñîîòâåòñòâóþùèå óñëîâèþ êîíôèãóðàöèè. Ó÷åíèêó ïðåäëàãàåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî âûïîëíèòü ïîñòðîåíèå ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðíûõ àíàëîãîâ öèðêóëÿ è ëèíåéêè è ïðîâåðèòü åãî ïðàâèëüíîñòü è âûïîëíèìîñòü, âàðüèðóÿ âåëè÷èíû èëè ðàñïîëîæåíèå äàííûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ.  Çàäà÷àõ íà äîêàçàòåëüñòâî òðåáóåòñÿ äîêàçàòü íåêîå ñâîéñòâî ãåîìåòðè÷åñêîãî îáúåêòà. Èëëþñòðàöèè ê íèì ïîäîáíû ÷åðòåæàì ê òåîðåòè÷åñêîìó ìàòåðèàëó. Äâèãàÿ ñ ïîìîùüþ ìûøêè ýëåìåíòû êîíôèãóðàöèè, èçîáðàæåííîé íà ÷åðòåæå, ìîæíî óáåäèòüñÿ â èñòèííîñòè ïðèâåäåííîãî óòâåðæäåíèÿ. Èíîãäà, åñëè ïîñòðîåíèå ÷åðòåæà, óäîâëåòâîðÿþùåãî âñåì 12 óñëîâèÿì çàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî, îñòàâëÿåò ÷åðòåæó ñëèøêîì ìàëî ñòåïåíåé ñâîáîäû, ñòðîèòñÿ ÷åðòåæ ñ äîïîëíèòåëüíûìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ó÷åíèêó ïðåäëàãàåòñÿ óáåäèòüñÿ «âðó÷íóþ», ÷òî, êàê òîëüêî óñëîâèÿ âûïîëíåíû, âûïîëíåíî è óòâåðæäåíèå çàäà÷è (íàïðèìåð, ëþáîé òðåóãîëüíèê — æåñòêàÿ ôèãóðà, ò. å. îí îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè ñòîðîíàìè; ïîýòîìó, äëèíû åãî ñòîðîí íà ÷åðòåæå ìîãóò íå ñîîòâåòñòâîâàòü äàííûì çàäà÷è). Òàêèì îáðàçîì, ÷åðòåæè ê çàäà÷àì íà äîêàçàòåëüñòâà íå òîëüêî ñëóæàò èëëþñòðàöèÿìè, íî è ïîìîãàþò óáåäèòü ó÷åíèêà â èñòèííîñòè óòâåðæäåíèÿ, õîòÿ è íå ñîäåðæàò ñàìèõ äîêàçàòåëüñòâ. Îòäåëüíàÿ ãðóïïà — Æèâûå ñòåðåî÷åðòåæè, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé èíòåðàêòèâíûå ñòåðåîìåòðè÷åñêèå ìîäåëè èíñòðóìåí­ òàëüíîãî òèïà — ñî÷åòàíèå äâóìåðíîãî è òðåõìåðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ôèãóðû â îäíîì èçîáðàæåíèè.  ëþáîé ìîìåíò ìîæíî âêëþ÷èòü âðàùåíèå êîíñòðóêöèè âîêðóã îäíîé èëè íåñêîëüêèõ îñåé è âûáðàâ íîâûé ðàêóðñ èçîáðàæåíèÿ ïðîâåðèòü ïðàâèëüíîñòü âûïîëíåííûõ ïîñòðîåíèé. Îñîáåííîñòè ðàáîòû ñ êàæäûì èç òèïîâ ÷åðòåæåé îáñóæäàþòñÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçäåëàõ äàííîãî ïîñîáèÿ. Èíñòðóìåíòàðèé ïðîãðàììû  Æèâîé Ìàòåìàòèêå ðåàëèçîâàíû ñîâðåìåííûå ìåòîäû îáúåêòíîãî êîíñòðóèðîâàíèÿ, îïèðàþùèåñÿ íà èíòóèòèâíî ÿñíûå è ãåîìåòðè÷åñêè òî÷íûå ïðèíöèïû, ïðîäîëæåííûå â îáëàñòü äèíàìè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé, ÷òî îáåñïå÷èâàåò åé èñêëþ÷èòåëüíóþ ãèáêîñòü, óïðàâëÿåìîñòü è ïðîçðà÷íîñòü. ßäðî áëîêà êîíñòðóèðîâàíèÿ ñîñòàâëÿåò êîíöåïöèÿ «ëîêàëüíîäèíàìè÷åñêèõ èíñòðóìåíòîâ». Äèíàìè÷åñêèå âîçìîæíîñòè òàêîãî èíñòðóìåíòà âêëþ÷àþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî â ïðîöåññå åãî èñïîëüçîâàíèÿ: ñîçäàâàåìûé îáúåêò ïîñòîÿííî âèäåí íà ýêðàíå è ïðè ýòîì íåïðåðûâíî âèäîèçìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò òåêóùåãî ïîëîæåíèÿ êóðñîðà. Äëÿ ñîçäàíèÿ êîìïüþòåðíûõ ÷åðòåæåé â Æèâîé Ìàòåìàòèêå èñïîëüçóþòñÿ ñòàíäàðòíûå ãåîìåòðè÷åñêèå îïåðàöèè — ïðîâåäåíèå ïðÿìîé (ëó÷à, îòðåçêà) ÷åðåç äâå âûäåëåííûå òî÷êè, ïîñòðîåíèå îêðóæíîñòåé ïî öåíòðó è òî÷êå íà îêðóæíîñòè (à òàêæå ïî öåíòðó è ðàäèóñó), ôèêñàöèÿ ïåðåñå÷åíèé ïðÿìûõ è îêðóæíîñòåé, ïðîâåäåíèå ïàðàëëåëüíûõ, áèññåêòðèñ è ò. ï. Èìååòñÿ õîðîøî ðàçâèòàÿ ñèñòåìà èçìåðåíèé (ñ ðåãóëèðóåìîé òî÷íîñòüþ) äëèí, ïëîùàäåé è óãëîâ è âñòðîåííûå âîçìîæíîñòè àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàä ðåçóëüòàòàìè èçìåðåíèé. Ñèñòåìà ïðåîáðàçîâàíèé ñîäåðæèò âñå, ÷òî îò íåå åñòåñòâåííî îæèäàòü: óïðàâëÿåìûå ïîâîðîòû, ïåðåíîñû è îòðàæåíèÿ. Èíòåðôåéñ ïðîñò è óäîáåí, ÷åðòåæè âûðàçèòåëüíû è ëåãêî ðåäàêòèðóåìû. Èíñòðóìåíòû Æèâîé Ìàòåìàòèêè îáðàçóþò åñòåñòâåííóþ èåðàðõè÷åñêóþ ñòðóêòóðó. 13 Ïåðâè÷íûìè ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ èíñòðóìåíòû «òî÷êà», «ïðÿìàÿ», «îêðóæíîñòü» (òî åñòü, ôàêòè÷åñêè, êîìïüþòåðíàÿ ðåàëèçàöèÿ öèðêóëÿ è ëèíåéêè — ãåîìåòðè÷åñêèõ èíñòðóìåíòîâ, ñîñòàâëÿþùèõ îñíîâó êëàññè÷åñêîé ãåîìåòðèè). Íà ñëåäóþùåì óðîâíå — âñòðîåííûå â ïðîãðàììó äîïîëíèòåëüíûå èíñòðóìåíòû, ïîçâîëÿþùèå «çà îäèí õîä» âûïîëíèòü òàêèå ýëåìåíòàðíûå ïîñòðîåíèÿ öèðêóëåì è ëèíåéêîé, êàê ïðîâåäåíèå ïåðïåíäèêóëÿðîâ è ïàðàëëåëåé è äð., è áîëåå ñëîæíûå îïåðàöèè, ñîçäàþùèå îáðàçû ïîñòðîåííûõ ôèãóð ïðè ðàçëè÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ïîäîáèÿ è ïðåäïîëàãàþùèå çàäàíèå ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå ìîãóò ââîäèòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èëè êàê èçìåðåíèÿ ðàíåå ïîñòðîåííûõ îáúåêòîâ. Òðåòèé óðîâåíü — èíñòðóìåíòû-ìàêðîêîìàíäû, ñîçäàâàåìûå ïîëüçîâàòåëåì; òàêîé èíñòðóìåíò ìîæåò ìîìåíòàëüíî âîñïðîèçâîäèòü îäíàæäû âûïîëíåííóþ ïîëüçîâàòåëåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîñòðîåíèé â ïðèìåíåíèè ê ïðîèçâîëüíûì èñõîäíûì äàííûì. Ñòðóêòóðà èíòåðôåéñà îòâå÷àåò îïèñàííîé èåðàðõèè èíñòðóìåíòîâ, òàê ÷òî îñíîâíûå èíñòðóìåíòû — öèðêóëü è ëèíåéêà — äîñòóïíû èç êíîïî÷íîé ïàíåëè è óïðàâëÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ìûøüþ ïðîñòûì è åñòåñòâåííûì îáðàçîì, áîëåå ñëîæíûå ïîñòðîåíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåíþ, äëÿ ââîäà ÷èñëîâûõ çíà÷åíèé èñïîëüçóþòñÿ äèàëîãîâûå îêíà è ò. ä. Âîçìîæíîñòü ðåàëèçîâàòü â Æèâîé Ìàòåìàòèêå íå òîëüêî ïëàíèìåòðè÷åñêèå, íî è ñòåðåîìåòðè÷åñêèå ÷åðòåæè ñóùåñòâåííî ýêîíîìèò ó÷åáíîå âðåìÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ñîçäàíèåì ïðîñòðàíñòâåííûõ êîíôèãóðàöèé â íåêîòîðûõ ãðîìîçäêèõ «ñòåðåîìåòðè÷åñêèõ êîíñòðóêòîðàõ».  ïðîãðàììå èìååòñÿ âñòðîåííàÿ ïîìîùü, äàþùàÿ âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü ïîëíîå ïðåäñòàâëåíèå î âîçìîæíîñòÿõ íàáîðà ïðîãðàììû è ïðèåìàõ ðàáîò â íåé. Ñîñòàâ ÓÌÊ «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà» Ïîìèìî ñàìîé ïðîãðàììû Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà è íàñòîÿùåãî ïîñîáèÿ â ñîñòàâ ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîãî êîìïëåêñà âõîäÿò àëüáîìû ãîòîâûõ äèíàìè÷åñêèõ ÷åðòåæåé, ðàçäåëåííûå íà äâå ãðóïïû: «ÒÅÎÐÅÌÛ È ÇÀÄÀ×È ØÊÎËÜÍÎÃÎ ÊÓÐÑÀ» è «ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÛÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ». Ïåðâàÿ ãðóïïà «ÒÅÎÐÅÌÛ È ÇÀÄÀ×È ØÊÎËÜÍÎÃÎ ÊÓÐÑÀ» âêëþ÷àåò àëüáîì Ââåäåíèå â êîìïüþòåðèçèðîâàííûé êóðñ ïëàíèìåòðèè, ñîäåðæàùèé 46 óðîêîâ ïî òåìàì: íà÷àëüíûå ãåîìåòðè÷åñêèå ñâåäåíèÿ, òðåóãîëüíèêè, ÷åòûðåõóãîëüíèêè; ïëîùàäè, ïîäîáèå, îêðóæíîñòü. Àëüáîì Ñòåðåîìåòðèÿ ñîäåðæàùèò áîëåå 100 ñòåðåîìåòðè÷åñêèõ ìîäåëåé èíñòðóìåí­ òàëüíîãî òèïà.  àëüáîìå Äåìîíñòðàöèîííûå ìîäåëè ïðåäñòàâëåíî ñâûøå 40 äèíàìè÷åñêèõ ÷åðòåæåé, ïîêàçûâàþùèõ 14 äèäàêòè÷åñêèå âîçìîæíîñòè Æèâîé Ìàòåìàòèêè. Èõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå ïðèìåðà íîâîãî ìåòîäè÷åñêîãî ïîñîáèÿ, âêëþ÷àþùåãî äåìîíñòðàöèè, ñáîðíèê çàäà÷, ó÷åáíèê è ñáîðíèê ïðîåêòîâ. Ðàáîòàÿ ñ ïîäîáíûìè ìàòåðèàëàìè ó÷åíèêè óñâàèâàþò íîâûå ïîíÿòèÿ, îòðàáàòûâàþò íàâûêè èõ èñïîëüçîâàíèÿ â ðàçëè÷íûõ êîíôèãóðàöèÿõ, ðåøàþò çàäà÷è íà ðàçâèòèå ãåîìåòðè÷åñêîé èíòóèöèè è ãåîìåòðè÷åñêîãî âîîáðàæåíèÿ. Áëîê «ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÛÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ» ñîäåðæèò ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ ïðîãðàììû â ðàìêàõ øêîëüíîé è âíåøêîëüíîé ãåîìåòðèè è âêëþ÷àåò 6 àëüáîìîâ. Çàäàíèÿ è ïðîåêòû äëÿ øêîëüíèêîâ 5­–6 êëàññîâ, ñîäåðæàùàò îêîëî 200 çàäàíèé çàíèìà­òåëüíûõ çàäàíèé è ïðîåêòîâ ïî äâóì ðàçäåëàì ãåîìåòðèè («Òðåóãîëüíèê: çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè è ëèíèè» è «Îðíàìåíòû»), ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ïðîïåäåâòè÷åñêîãî êóðñà çíàêîìñòâà ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè ïîíÿòèÿìè ó÷åíèêîâ 5– 6 êëàññîâ. Àëüáîì Âîçìîæíûå ïðîãðàììû â äåñÿòè ïðèìåðàõ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ïðåäñòàâëåíèå î ðàçíîîáðàçíûõ âîçìîæíîñòÿõ ïðîãðàììû äëÿ ðàáîòû ñ ó÷àùèìèñÿ ðàçíûõ âîçðàñòîâ, óðîâíåé ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè è èíòåðåñà ê ãåîìåòðèè. Àëüáîì Èíñòðóìåíòû ñîäåðæèò íàáîð ïðèìåðîâ èñïîëüçîâàíèÿ ðàçíîîáðàçíûõ èíñòðóìåíòîâ, êîòîðûå ìîãóò îêàçàòüñÿ ïîëåçíûìè êàê äëÿ äåìîíñòðàöèîííûõ è ó÷åáíûõ öåëåé, òàê è ïðè âûïîëíåíèè ñëîæíûõ ñàìîñòîÿòåëüíûõ ðàáîò. Àëüáîì Äèíàìè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ñîäåðæèò 44 ïðèìåðà äëÿ ïîääåðæêè ïðîåêòíîé ðàáîòû øêîëüíèêîâ — «æèâûå ôîðìóëû» è ãðàôèêè.  àëüáîìå Ïðèìåðû èç ðàçëè÷íûõ îáëàñòåé ìàòåìàòèêè — ñâûøå 50 ìîäåëåé ïî òåìàì: Ãåîìåòðèÿ è ñòåðåîìåòðèÿ â ðàìêàõ è çà ðàìêàìè áàçîâîé øêîëüíîé ïðîãðàììû; Àíàëèòè÷åñêàÿ è àëãåáðàè÷åñêàÿ ãåîìåòðèè; Àëãåáðà è íà÷àëà àíàëèçà â ñîîòâåòñòâèè ñ áàçîâîé øêîëüíîé ïðîãðàììîé; Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ; Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ñòàòèñòèêà.  àëüáîìå Íîâûå âîçìîæíîñòè äåìîíñòðèðóþòñÿ ñâîéñòâà Æèâîé Ìàòåìàòèêè, íåäîñòóïíûå â ïðåäûäóùèõ âåðñèÿõ ïðîãðàììû Geometry’s Sketchpad. 15 Ðàáîòà ñ ïðîãðàììîé ×òî òàêîå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà? Åñëè ïðîãðàììà Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà åùå íå óñòàíîâëåíà, òî ñëåäóåò íà÷àòü ñ åå óñòàíîâêè, îáðàòèâøèñü äëÿ ýòîãî ê íèæåñëå­ äóþùåìó ðàçäåëó. Ðèñóíîê è âîîáùå âèçóàëèçàöèÿ âñåãäà áûëè âàæíîé ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ìàòåìàòèêè. Òðàäèöèîííî èçó÷åíèå ãåîìåòðèè ñîïðîâîæäàåòñÿ çàäà÷åé ïîñòðîåíèÿ íåêîòîðîé êîíñòðóêöèè ïðè ïîìîùè öèðêóëÿ è ëèíåéêè, à èçó÷åíèå àëãåáðû îáÿçàòåëüíî âêëþ÷àåò â ñåáÿ ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ. Ðàáîòà ñ êàðàíäàøîì è áóìàãîé èìååò âàæíåéøåå çíà÷åíèå, íî îáëàäàåò äâóìÿ Ãèïåðêóá (êóá â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå) ïîñòðîåí íåäîñòàòêàìè: òðåáóåò áîëüøèõ çàòðàò â Æèâîé Ìàòåìàòèêå âðåìåíè è êîíå÷íûé ïðîäóêò îêàçûâàåòñÿ ñòàòè÷íûì. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî êîìïüþòåðíàÿ ïðîãðàììà, ñêàæåì Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà, ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî ýêîíîìèòü âðåìÿ. Ìîæíî ìãíîâåííî âûïîëíÿòü òðóäîåìêèå çàäà÷è è, â èòîãå, ñòðîèòü î÷åíü ñëîæíûå êîíñòðóêöèè çà îãðàíè÷åííîå âðåìÿ. Äèíàìè÷åñêàÿ ìàòåìàòèêà ×òîáû ïîëíåå îñîçíàòü ïîëüçó îò ïðèìåíåíèÿ Æèâîé Ìàòåìàòèêè, íåîáõîäèìî îòìåòèòü òå ïðåèìóùåñòâà, êîòîðûå äàþò åå äèíàìè÷åñêèå âîçìîæíîñòè ïî ñðàâíåíèþ ñî ñòàòè÷íûìè ðèñóíêàìè íà áóìàãå èëè íà äîñêå è äàæå íà äèñïëåå ãðàôè÷åñêîãî êàëüêóëÿòîðà. Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ãåîìåòðè÷åñêîé êîíñòðóêöèè, êàæóùèåñÿ âåðíûìè, ìîãóò áûòü èñòèííûìè ëèøü â íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ, è òðåáóåòñÿ íåîäíîêðàòíîå ïîñòðîåíèå êîíñòðóêöèè, ÷òîáû ñôîðìóëèðîâàòü óòâåðæäåíèå, âåðíîå âî âñåõ ñëó÷àÿõ. Íàïðèìåð, íåëåãêî ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâ ñåìåéñòâà ïðÿìûõ y = mx + b, íå ïîñòðîèâ ìíîæåñòâî ïðÿìûõ ñ çàäàííûìè ïàðàìåòðàìè. Ëó÷ r ÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé óãëà ABC. Íåêîòîðûå ñâîéñòâà, íàïðèìåð ïåðåñå÷åíèå ýòèì ëó÷îì ïðîòèâîëåæàùåé ñòîðîíû â ñåðåäèíå îòðåçêà ÀÑ, ìîãóò êàçàòüñÿ èñòèííûìè, åñëè îðèåíòèðîâàòüñÿ íà ëåâûé ðèñóíîê. Åñëè ïîòàùèòü òî÷êó B, òî âèäíî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ýòî íåâåðíî. 19 Íàñòîÿùàÿ öåííîñòü êîíñòðóêöèé Æèâîé Ìàòåìàòèêè â òîì, ÷òî îíè ìîãóò äâèãàòüñÿ: èõ ìîæíî ïåðåìåùàòü è äåôîðìèðîâàòü, ìàñøòàáèðîâàòü è ò. ä., íå ðàçðóøàÿ íàëîæåííûå îãðàíè÷åíèÿ è ñâÿçè, èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, ñîõðàíÿÿ çàäàííûå ìàòåìàòè÷åñêèå ñâîéñòâà. Ïðè äåôîðìàöèè ôèãóðû îïðåäåëåííûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó åå ýëåìåíòàìè (ê ïðèìåðó, ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü äâóõ îòðåçêîâ) îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, íî ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå ÿâíî íå çàäàíû, íå ñîõðàíÿþòñÿ. Ïîýòîìó, èçìåíÿÿ ôèãóðó, ìîæíî èçó÷èòü âñå ìíîãîîáðàçèå åå ôîðì ñ çàäàííûìè ñâîéñòâàìè. Ëåãêî îòëè÷èòü ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå âåðíû âñåãäà, îò ñîîòíîøåíèé, êîòîðûå âåðíû ëèøü â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ. Êðîìå òîãî, àíèìàöèÿ ïàðàìåòðîâ m è b â âûðàæåíèè y = mx + b ïîçâîëÿåò íà îäíîì ÷åðòåæå èññëåäîâàòü äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïðÿìûõ. ×òî ìîæíî äåëàòü ïðè ïîìîùè ïðîãðàììû? Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà — ýòî âåñüìà ãèáêèé èíñòðóìåíò, ïîçâîëÿþùèé ðåàëèçîâàòü ìíîãèå ôàíòàçèè, îãðàíè÷åííûå òîëüêî ñîáñòâåííûì âîîáðàæåíèåì. Íà ðèñóíêå ïðèâåäåí ïðèìåð òàêîãî ðîäà. Îáúÿñíåíèå ñëîæíûõ òåì è èçó÷åíèå òåîðåì Ó÷åáíèêè ãåîìåòðèè ñîäåðæàò ìíîãî÷èñëåííûå îïðåäåëåíèÿ, ïîñòóëàòû, òåîðåìû, ëåììû, êîòîðûå áûâàåò íåëåãêî ïîíÿòü èëè âîñïðîèçâåñòè. Ïðè ïîìîùè Æèâîé Ìàòåìàòèêè óäîáíî ïîñòèãàòü (è ïðåïîäàâàòü) ñëîæíûå òåìû, ñîçäàâàÿ êîíñòðóêöèè, ìîäåëèðóþùèå óñëîâèÿ òåîðåì, è ýêñïåðèìåíòèðóÿ ñ íèìè. Ïðèìåð òàêîãî ðîäà ïðèâîäèòñÿ â ðàçäåëå «Óðîê 2. Òåîðåìà î ÷åòûðåõóãîëüíèêàõ». Ïðåçåíòàöèè ×åðòåæ Æèâîé Ìàòåìàòèêè, ïîäãîòîâëåííûé äëÿ ïðåçåíòàöèè, îáû÷íî òùàòåëüíî îôîðìëÿåòñÿ, âêëþ÷àåò â ñåáÿ àíèìàöèîííûå ýëåìåíòû è èñïîëíèòåëüíûå êíîïêè è ñîäåðæèò íåñêîëüêî ñòðàíèö. Ïðåçåíòàöèè ÿâëÿþòñÿ ýôôåêòèâíûì ìåòîäè÷åñêèì ñðåäñòâîì ïðåïîäàâàíèÿ, èõ ìîæíî ñîçäàâàòü â êîìïüþòåðíîì êëàññå èëè, ÷òî ëó÷øå, ñ ïîìîùüþ ïðîåêòîðà. Ó÷àùèåñÿ òàêæå ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü ñâîè ðàáîòû â âèäå ïðåçåíòàöèè èëè ñäåëàòü ñîáñòâåííûé äèíàìè÷åñêèé ó÷åáíèê ãåîìåòðèè. Îæèâëåíèå ðèñóíêîâ èç ó÷åáíèêà Ïîëó÷èâ îïðåäåëåííûé íàâûê â Æèâîé Ìàòåìàòèêå, íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ïðîùå è áûñòðåå âîñïðîèçâåñòè ðèñóíîê èç ó÷åáíèêà íà êîìïüþòåðå, ÷åì ðèñîâàòü åãî íà áóìàãå. Ïðè ýòîì ñòàíîâÿòñÿ äîñòóïíûìè òàêæå âñå äèíàìè÷åñêèå 20 âîçìîæíîñòè ïðîãðàììû è ïðåèìóùåñòâà ìàíèïóëÿöèè ñ ÷åðòåæîì, î êîòîðûõ óæå ñêàçàíî âûøå. Ïðèìåíåíèå ïðîãðàììû â äðóãèõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòèêè Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà — íåçàìåíèìûé èíñòðóìåíò äëÿ èçó÷åíèÿ íå òîëüêî ãåîìåòðèè, íî è âîîáùå âñåõ ìàòåìàòè÷åñêèõ êóðñîâ.  êóðñå àëãåáðû, íàïðèìåð, ïîëåçíî îáðàòèòüñÿ ê ýòîé ïðîãðàììå äëÿ ïîíèìàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî ñìûñëà ïðîèçâîäíîé êàê õàðàêòåðèñòèêè íàêëîíà êðèâîé èëè ïðè èññëåäîâàíèè è ïîñòðîåíèè ãðàôèêîâ ôóíêöèé è èõ ñåìåéñòâ, ïðè èçó÷åíèè ñâîéñòâ ïàðàáîëû è, ÷òî îñîáåííî âàæíî, äëÿ óÿñíåíèÿ òåðìèíà «ôóíêöèÿ» êàê ïîíÿòèÿ. Íåêîòîðûå ïðèìåðû ìîæíî íàéòè â ðàçäåëå «Óðîê 7. Íåìíîæêî àëãåáðû».  êóðñå òðèãîíîìåòðèè ñòîèò âîñïîëüçîâàòüñÿ âîçìîæíîñòÿìè ïðîãðàììû äëÿ îïðåäåëåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé íà åäèíè÷íîì êðóãå è â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå. Ñòàðøåêëàññíèêàì è ñòóäåíòàì Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà áóäåò ïîëåçíà ïðè èññëåäîâàíèè èíòåãðàëîâ, äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ïîä êðèâûìè ñ ïîìîùüþ êîìàíäû Ïðîèçâîäíàÿ. Òå, êòî óãëóáëåííî èçó÷àåò ìàòåìàòèêó è ôèçèêó, ìîãóò óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðîãðàììà Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà ïîìîãàåò ïîíÿòü íåýâêëèäîâó ãåîìåòðèþ è èíûå ñëîæíûå ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðèè. Îáðàòèâøèñü ê Óðîêó 8, ìîæíî óâèäåòü, êàê ëåãêî ñîçäàòü ôðàêòàëüíóþ ñòðóêòóðó — ñíåæèíêó Êîõà. Ïîñòðîåíèå ôðàêòàëîâ Óäèâèòåëüíûå ãåîìåòðè÷åñêèå îáúåêòû — ôðàêòàëû — ìîäåëèðóþò ñëîæíûå è êðàñèâûå ÿâëåíèÿ ïðèðîäû è ïîýòîìó ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòîì ìíîãèõ ãðàôè÷åñêèõ êîìïüþòåðíûõ ïðîãðàìì. Ôðàêòàë — ýòî ñàìîïîäîáíûé ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò, êîòîðûé âûãëÿäèò îäèíàêîâûì îáðàçîì ïðè ëþáîì óâåëè÷åíèè èçîáðàæåíèÿ. Ïîñòðîåíèå ôðàêòàëà âêëþ÷àåò â ñåáÿ èçãîòîâëåíèå ïðîñòîé êîíñòðóêöèè, êîòîðàÿ ôîðìèðóåò âñå ìåíüøèå è ìåíüøèå äåòàëè ôèãóðû. Êîìàíäà Èòåðàöèè ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü êîíñòðóêöèè òàêîãî ðîäà, âïðî÷åì, êàê è äðóãèå ôèãóðû ñ ïîâòîðÿþùèìñÿ àëãîðèòìîì ïîñòðîåíèÿ ýëåìåíòîâ. Èçîáðàæåíèå òðåõìåðíûõ òåë è ãåîìåòðè÷åñêèå ðèñóíêè Õîòèòå ñäåëàòü îðèãèíàëüíóþ ïîçäðàâèòåëüíóþ îòêðûòêó èëè ñïðîåêòèðîâàòü äèçàéí ñîáñòâåííîé âåá-ñòðàíèöû? Ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòîâ Æèâîé Ìàòåìàòèêè, äîïîëíåí­ íûìè êîìàíäàìè ìåíþ Âèä è äðóãèìè âîçìîæíîñòÿìè ïðîãðàììû, ìîæíî ñîçäàòü ìíîæåñòâî èíòåðåñíûõ è çàíèìàòåëüíûõ êàðòèí. 21 Âîçìîæíî, êîìó‑òî çàõî÷åòñÿ ïðîéòè 8 óðîêîâ â îäèí ïðèåì, à êîìó‑òî çà íåñêîëüêî ðàç.  ëþáîì ñëó÷àå, ïîëåçíî ïðîâåñòè êàêîå-òî âðåìÿ, ïîâòîðÿÿ ïðîéäåííîå íà óðîêàõ ñàìîñòîÿòåëüíî. Óðîêè 1–4 ñîñòàâëÿþò ãðóïïó, êîòîðóþ ìû íàçâà­ëè «Çíàêîìñòâî ñ ïðîãðàììîé». Ýòè óðîêè ÿâëÿþòñÿ îñíîâîé äëÿ ïîíèìàíèÿ ïðîãðàììû.  êàæäîì èç íèõ ïîñòðîåíèå êâàäðà­ òà ðàññìàòðèâàåòñÿ ñ îïðåäåëåííîé ìåòîäè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ. Îáçîð óðîêîâ Óðîêè â ýòîì ïîñîáèè ïîñòåïåííî, øàã çà øàãîì, ââîäÿò âî âñå îñíîâíûå è ìíîãèå äîïîëíèòåëüíûå âîçìîæíîñòè Æèâîé Ìàòåìàòèêè. Íîâè÷êó ñëåäóåò íà÷àòü ñ Óðîêà 1 è àêêóðàòíî ïðîéòè âåñü ïóòü, ïî êðàéíåé ìåðå, ïåðâûå ÷åòûðå óðîêà. Îïûòíîìó ïîëüçîâàòåëþ äîñòàòî÷íî ïðîãëÿäåòü ïåðâûå çàíÿòèÿ, îáðàùàÿ âíèìàíèå íà âîçìîæíûå ïîëåçíûå ñîâåòû. Êàê òîëüêî ïîÿâèòñÿ ÷òî-òî íîâîå, äâèãàòüñÿ äàëüøå ñëåäóåò ïîìåäëåííåå.  ýòîì ðàçäåëå ìû ïðèâåäåì îáçîð âñåõ âîñüìè óðîêîâ. Óðîê 1. Ïîñòðîåíèå êâàäðàòà Íà ýòîì óðîêå ìû çàéìåìñÿ ïîñòðîåíèåì êâàäðàòà. Íàó÷èìñÿ ïîëüçîâàòüñÿ èíñòðóìåíòàìè Îòðåçîê è Öèðêóëü, à òàêæå êîìàíäàìè Ïåðåñå÷åíèå, Ïàðàëëåëüíàÿ ïðÿìàÿ è Ïåðïåíäèêóëÿð. Áóäåì èñïûòûâàòü êîíñòðóêöèþ «íà ïðî÷íîñòü». Óðîê 2. Òåîðåìà î ÷åòûðåõóãîëüíèêàõ Íà ýòîì çàíÿòèè ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå ïðîñòîé ôèãóðû (ïðè ïîìîùè êîìàíä ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ è Èçìåðåíèÿ) è èçó÷èì íåêîòîðóþ òåîðåìó ãåîìåòðèè. Ñòàíåò ÿñíî, ÷òî äèíàìè÷åñêèå âîçìîæíîñòè ïðîãðàììû ïîçâîëÿþò äåëàòü âûâîäû î ñâîéñòâàõ öåëîãî êëàññà ôèãóð íà îñíîâå ïîñòðîåíèÿ îäíîé èç íèõ. Êðîìå òîãî, ìû íàó÷èìñÿ ñîçäàâàòü íàäïèñè èíñòðóìåíòîì Òåêñò. Óðîê 3. Îæèâøèå ÷åðòåæè Êîìàíäû Îñòàâëÿòü ñëåä, Öâåò è Àíèìàöèÿ, à òàêæå êíîïêà Àíèìàöèÿ ïîçâîëÿþò îæèâèòü ÷åðòåæ è ñäåëàòü åãî áîëåå ïðèâëåêàòåëüíûì è íàãëÿäíûì, ðàñêðàñèâ è ïðèâîäÿ â äâèæåíèå åãî îáúåêòû. Óðîê 4. Êîëëåêöèÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ Íà ýòîì óðîêå ïîçíàêîìèìñÿ ñ äîêóìåíòàìè, êîòîðûå ñîäåðæàò íåñêîëüêî ñòðàíèö.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðåäëàãàåòñÿ íàáîð ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ, ïîìåùàåìûõ íà ñòðàíèöàõ äîêóìåíòà. Íàó÷èìñÿ «ïåðåëèñòûâàòü» ñòðàíèöû, èññëåäîâàòü îáúåêò, ïîëüçóÿñü êîìàíäîé Ñâîéñòâà… è ïàíåëüþ ñâîéñòâ. Íàó÷èìñÿ, êðîìå òîãî, ñîçäàâàòü èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò àâòîìàòè÷åñêè âîñïðîèçâîäèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ êîíñòðóêöèþ. 22 Óðîêè 5 è 6 ìû îáúåäèíèëè â ãðóïïó «Ïðåîáðàçîâàíèÿ». Óðîê 5. Îòðàæåíèå + Îòðàæåíèå = ? Êàêîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé äâóõ îòðàæåíèé? Ïûòàÿñü îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ, ïîçíàêîìèìñÿ ñ êîìàíäàìè ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ è Êàëüêóëÿòîðîì ïðîãðàììû. Óðîê 6. Êàëåéäîñêîï Îòòàëêèâàÿñü îò ôèãóðû èç Óðîêà 5, ñîçäàäèì èíñòðóìåíò ïîëüçîâàòåëÿ. Ýòîò èíñòðóìåíò ïðèìåíèì ïðè èññëåäîâàíèÿõ ïðåîáðàçîâàíèé è ñâîéñòâ ñèììåòðèè. Çàòåì, ïîëüçóÿñü àíèìàöèåé è êîìàíäîé Ñâÿçàòü îáúåêòû, ñîçäàäèì ïðîñòîé, íî êðàñèâûé êàëåéäîñêîï. Óðîê 7. Íåìíîæêî àëãåáðû Îäíîãî óðîêà êîíå÷íî íåäîñòàòî÷íî, ÷òîáû îïèñàòü àëãåáðàè÷åñêèå âîçìîæíîñòè Æèâîé Ìàòåìàòèêè. Çäåñü ìû ëèøü ïîïðîáóåì îñâîèòü íåêîòîðûå èç íèõ: ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèé è ñåìåéñòâ ôóíêöèé, à òàêæå èññëåäóåì îäíó ôóíêöèþ. Óðîê 8. Èòåðàöèè Íà ýòîì óðîêå îñâîèì êîìàíäó Èòåðàöèè íà ïðèìåðå ïîñòðîåíèÿ ôðàêòàëüíîé êðèâîé Êîõà. Çàòåì ñîçäàäèì ñîîòâåòñòâóþùèé èíñòðóìåíò è ñ åãî ïîìîùüþ ïîñòðîèì ñíåæèíêó Êîõà. 23 Óñòàíîâêà ïðîãðàììû Âíèìàíèå! Ïðè ðàáîòå ñ ñèñòåìàìè Windows 2000/XP óñòàíîâêó Æèâîé Ìàòåìàòèêè è åå ïåðâûé çàïóñê ñëåäóåò ïðîâîäèòü òîëüêî îò èìåíè àäìèíèñòðàòîðà ñèñòåìû.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðîãðàììà ìîæåò îêàçàòüñÿ íåðàáîòîñïî­ ñîáíîé. Äàëåå îïèñûâàåòñÿ ïðîöåññ óñòàíîâêè Æèâîé Ìàòåìàòèêè íà ïëàòôîðìàõ Windows® è Mac OS®. Óñòàíîâêà ïîä Windows Âñòàâüòå êîìïàêò-äèñê â äèñêîâîä. Åñëè ïðîèçîéäåò àâòîìàòè÷åñêèé çàïóñê ïðîãðàììû óñòàíîâêè, òî ñëåäóéòå èíñòðóêöèÿì íà ýêðàíå.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå âûïîëíèòå ñëåäóþùèå øàãè: 1.Îòîáðàçèòå íà ýêðàíå ôàéëû, ñîäåðæàùèåñÿ íà êîìïàêò-äèñêå. 2.Çàïóñòèòå ïðîãðàììó ñ èìåíåì GskSetup.exe. 3.Ñëåäóéòå èíñòðóêöèÿì íà ýêðàíå. Óñòàíîâêà ïîä Mac OS 1.Âñòàâüòå êîìïàêò-äèñê â äèñêîâîä. 2.Ñîçäàéòå íà æåñòêîì äèñêå ñâîåãî êîìïüþòåðà ïàïêó (æåëàòåëüíî èñïîëüçóÿ ëàòèíñêèå áóêâû) è ïåðåïèøèòå â íåå ñîäåðæèìîå êîìïàêò-äèñêà. 24 Îñíîâíûå ñâåäåíèÿ Äëÿ ðàáîòû ñ ïðîãðàììîé Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà òðåáóþòñÿ íåêîòîðûå íàâûêè îáðàùåíèÿ ñ êîìïüþòåðîì è ñàìîé ïðîãðàììîé. Íîâè÷êó ïîëåçíî ïðî÷èòàòü ýòîò ðàçäåë ïîëíîñòüþ, à áîëåå èñêóøåííîìó ïîëüçîâàòåëþ äîñòàòî÷íî ñðàçó ïåðåéòè ê îïèñàíèþ íàáîðà èíñòðóìåíòîâ, à òî è âîâñå ê Óðîêàì. ×òî íóæíî çíàòü î ñâîåì êîìïüþòåðå Òîìó, êòî ñîâñåì íåçíàêîì ñ îïåðàöèîííûìè ñèñòåìàìè Windows èëè Mac OS, ñëåäóåò íà÷àòü ñ îïèñàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ïëàòôîðìû. Ïîçíàêîìèìñÿ ñ òåðìèíîëîãèåé, îïèñûâàþùåé äåéñòâèÿ ñ ìûøüþ. Óêàçàòü Ïåðåäâèíóòü ìûøü òàê, ÷òîáû óêàçàòåëü ñîîòâåòñòâóþùåãî èíñòðóìåíòà îêàçàëñÿ íàä æåëàåìûì ìåñòîì èëè îáúåêòîì. Ùåëêíóòü Íàæàòü è áûñòðî îòïóñòèòü êëàâèøó ìûøè. (Äëÿ Windows èñïîëüçóåòñÿ ëåâàÿ êëàâèøà, åñëè ÿâíî íå ñêàçàíî èíîå.) Äâàæäû ùåëêíóòü Áûñòðî ùåëêíóòü êëàâèøó äâà ðàçà. (Äëÿ Windows èñïîëüçóåòñÿ ëåâàÿ êëàâèøà, åñëè ÿâíî íå ñêàçàíî èíîå.) Ïåðåòàùèòü Óêàçàòü íà æåëàåìûé îáúåêò, íàæàòü è, óäåðæèâàÿ êëàâèøó, ïåðåäâèíóòü ìûøü â íóæíîå ìåñòî, à çàòåì îòïóñòèòü êëàâèøó. (Äëÿ Windows èñïîëüçóåòñÿ ëåâàÿ êëàâèøà, åñëè ÿâíî íå ñêàçàíî èíîå.) 25 ×òî íóæíî çíàòü î ïðîãðàììå Íà ðèñóíêàõ ïðåäñòàâëåíû êîïèè îêîí äîêóìåíòà íà ïëàòôîðìàõ Windows è Mac OS. Граница окна Номер страницы Свернуть Восстановить Закрыть Заголовок Окно документа Чертеж Переключатель страниц Разделитель Полосы прокрутки Изменение размера Îêíî äîêóìåíòà (Windows) Закрыть Свернуть Восстановить Номер страницы Разделитель Полосы прокрутки Изменение размера Заголовок Окно документа Чертеж Переключатель страниц Îêíî äîêóìåíòà (Mac OS) 26 Ñëåäóþùèå óïðàâëÿþùèå ýëåìåíòû èñïîëüçóþòñÿ îáåèìè îïåðàöèîííûìè ñèñòåìàìè. Íåêîòîðûå îáúåêòû, íàïðèìåð ëó÷è èëè ïðÿìûå, ïðîñòèðàþòñÿ çà âèäèìûå ãðàíèöû ÷åðòåæà. Îäíàêî åñòü âîçìîæíîñòü ïðîêðóòèòü ÷åðòåæ, íàæàâ íà ñòðåëêè ïðîêðóòêè, äàæå åñëè áåãóíîê óïèðàåòñÿ â îãðàíè÷èòåëü. Çàãîëîâîê ×òîáû èçìåíèòü ïîëîæåíèå îêíà, ïåðåòàùèòå åãî çàãîëîâîê. Çàêðûòü Ùåë÷îê íà ýòîì ýëåìåíòå çàêðûâàåò îêíî ÷åðòåæà. Íîìåðà ñòðàíèö ×òîáû ïåðåñêî÷èòü íà íóæíóþ ñòðàíèöó, íóæíî ùåëêíóòü íà åå íîìåðå (èëè èìåíè). Ýòîò óïðàâëÿþùèé ýëåìåíò ïðèñóòñòâóåò òîëüêî íà äîêóìåíòàõ, ñîñòîÿùèõ áîëåå ÷åì èç îäíîé ñòðàíèöû. Ðàçäåëèòåëü ×òîáû óâåëè÷èòü èëè óìåíüøèòü ïðîñòðàíñòâî, îòâåäåííîå äëÿ íîìåðîâ ñòðàíèö, ïîòàùèòå ðàçäåëèòåëü. Ïîëîñà ïðîêðóòêè ×òîáû ïðîêðóòèòü ÷åðòåæ, ïåðåòàñêèâàéòå áåãóíîê ëèáî ùåëêàéòå íà ïîëîñå èëè íàæèìàéòå íà ñòðåëêè ïðîêðóòêè. Èçìåíåíèå ðàçìåðà ×òîáû èçìåíèòü ðàçìåð îêíà, ïîòàùèòå ýòîò ýëåìåíò èëè âîñïîëüçóéòåñü êëàâèøàìè ïåðåìåùåíèÿ êóðñîðà. Òèïû è ôóíêöèè äðóãèõ óïðàâëÿþùèõ ýëåìåíòîâ çàâèñÿò îò èñïîëüçóåìîãî êîìïüþòåðà. Äëÿ îïåðàöèîííîé ñèñòåìû Windows Ãðàíèöà îêíà ×òîáû èçìåíèòü ðàçìåð îêíà, ïîòàùèòå ëþáóþ èç ÷åòûðåõ ãðàíèö. Ðàçâåðíóòü Ùåëêíèòå, ÷òîáû ðàçâåðíóòü îêíî ÷åðòåæà äî ðàçìåðîâ ýêðàíà. Ñâåðíóòü Ùåëêíèòå, ÷òîáû óìåíüøèòü îêíî ÷åðòåæà äî çíà÷êà. Äëÿ îïåðàöèîííîé ñèñòåìû Mac OS Âîññòàíîâèòü Ùåëêíèòå, ÷òîáû âîññòàíîâèòü ïðåæíèé ðàçìåð îêíà ÷åðòåæà. Ñâåðíóòü Ùåëêíèòå, ÷òîáû ñâåðíóòü îêíî ÷åðòåæà äî çàãîëîâêà. 27 Ðàáîòà ñ ìåíþ Âûïîëíåíèå êîìàíä ìåíþ 1. Óêàæèòå êóðñîðîì íà èìÿ ìåíþ, ñîäåðæàùåãî íóæíóþ êîìàíäó. 2. Ùåëêíèòå íà èìåíè ìåíþ. (Íà íåêîòîðûõ êîìïüþòåðàõ òðåáóåòñÿ íàæàòü è óäåðæèâàòü êëàâèøó ìûøè.) Ìåíþ ðàñêðûâàåòñÿ, âû âèäèòå åãî êîìàíäû. Ïðè äâèæåíèè êóðñîðà êîìàíäà, íà êîòîðóþ îí óêàçûâàåò, âûäåëÿåòñÿ öâåòîì, åñëè îíà â äàííûé ìîìåíò ãîòîâà ê èñïîëíåíèþ. Åñëè êîìàíäà îñòàåòñÿ òóñêëîé, òî îíà íåäîñòóïíà. 3. Óêàæèòå êóðñîðîì (âûäåëèòå öâåòîì) æåëàåìóþ êîìàíäó, ùåëêíèòå íà íåé (èëè åñëè êëàâèøà óäåðæèâàëàñü, òî îòïóñòèòå êëàâèøó). Âûáîð êîìàíäû â ìåíþ Âèä (Mac OS) Ïî÷åìó íåêîòîðûå êîìàíäû âûãëÿäÿò òóñêëûìè? Íåêîòîðûå êîìàíäû (êàê íà ýòèõ ðèñóíêàõ) âûãëÿäÿò òóñêëûìè (Ïîêàçàòü âñå ñïðÿòàííîå, Ñòåðåòü ñëåäû).  äàííûé ìîìåíò ýòè êîìàíäû íåäîñòóïíû, ïîñêîëüêó íå âûïîëíåíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ. Íàïðèìåð, êîìàíäà Ïîêàçàòü âñå ñïðÿòàííîå ñòàíîâèòñÿ äîñòóïíîé, åñëè ïðåäâàðèòåëüíî õîòÿ áû îäèí îáúåêò àêòèâíîãî ÷åðòåæà áûë ñïðÿòàí.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì îáñóæäàòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ òà èëè èíàÿ êîìàíäà ñòàíîâèòñÿ äîñòóïíîé. Âûïîëíåíèå êîìàíä ìåíþ ïðè ïîìîùè êëàâèàòóðû  ìåíþ Âèä, ïîêàçàííîì âûøå, ñïðàâà îò èìåíè êîìàíäû Îñòàâëÿòü ñëåä òî÷êè, èçîáðàæåí íàáîð ñèìâîëîâ T. Ýòà êîìáèíàöèÿ ñèìâîëîâ ÿâëÿåòñÿ èíûì ñïîñîáîì âûïîëíåíèÿ êîìàíäû — ïðè ïîìîùè êëàâèàòóðû. ×òîáû âûïîëíèòü ýòó êîìàíäó íà êîìïüþòåðå Mac OS, íàäî óäåðæèâàÿ êëàâèøó < >, íàæàòü êëàâèøó <T>. Äëÿ âûïîëíåíèÿ êîìàíäû íà ïëàòôîðìå Windows ñëåäóåò, óäåðæèâàÿ êëàâèøó <Ctrl>, íàæàòü ñèìâîë <T> àíãëèéñêîé êîäèðîâêè. 28 Âûïîëíåíèå êîìàíä ïîäìåíþ Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî íåêîòîðûå êîìàíäû ìåíþ Âèä èìåþò òðåóãîëüíèêè ñïðàâà îò èìåíè êîìàíäû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýòè êîìàíäû ñàìè ñîäåðæàò íàáîð êîìàíä, òî åñòü ÿâëÿþòñÿ èìåíåì ïîäìåíþ. ×òîáû âûáðàòü êîìàíäó ïîäìåíþ, íåîáõîäèìî: 1. Óêàçàòü êóðñîðîì æåëàåìóþ êîìàíäó — èìÿ ïîäìåíþ. Ðàñêðûâàåòñÿ ïîäìåíþ. 2. Ïåðåäâèíóòü êóðñîð ÷åðåç òðåóãîëüíèê íà ïîäìåíþ è äàëåå äî íóæíîé êîìàíäû. 3. Ùåëêíóòü (èëè îòïóñòèòü) êëàâèøó ìûøè. Âûáîð êîìàíäû èç ïîäìåíþ (Windows) Êîìàíäû, êîòîðûå çàêàí÷èâàþòñÿ ìíîãîòî÷èåì (…), ïðåæäå âñåãî îòîáðàæàþò îêíà äèàëîãà, â êîòîðûõ çàïðàøèâàåòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ. Îêíà äèàëîãà Îêíà äèàëîãà ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ çàäàíèÿ äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè, íåîáõîäèìîé ïðè âûïîëíåíèè êîìàíäû. Íàïðèìåð, âûïîëíåíèå êîìàíäû Ïåðåíåñòè… ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîïðîâîæäàåòñÿ ïîÿâëåíèåì îêíà äèàëîãà, ïîêàçàííîãî íà ðèñóíêå. Âûáðàâ Äèàëîãîâîå îêíî Ïåðåíîñ (Mac OS) æåëàåìûå îïöèè è ââåäÿ ñîîòâåòñòâóþùóþ èíôîðìàöèþ, ùåëêíèòå íà êíîïêå Ïåðåíîñ, òåì ñàìûì çàâåðøàÿ äèàëîã è âûïîëíÿÿ êîìàíäó. Ùåë÷îê íà êíîïêå Îòìåíà îçíà÷àåò îòêàç îò âûïîëíåíèÿ êîìàíäû, à ùåë÷îê íà êíîïêå ? (Mac OS) èëè íà êíîïêå Ñïðàâêà (Windows) âûçûâàåò ñïðàâî÷íûé ìàòåðèàë, îòíîñÿùèéñÿ ê ðàáîòå ñ äàííûì äèàëîãîâûì îêíîì. (Äëÿ âûçîâà Ñïðàâêè â ñèñòåìå Windows ìîæíî òàêæå âîñïîëüçîâàòüñÿ êëàâèøåé <F1>.) 29 Íàáîð èíñòðóìåíòîâ Íàáîð èíñòðóìåíòîâ (â íà÷àëå ðàáîòû ðàñïîëîæåí âäîëü ëåâîé ÷àñòè îêíà ÷åðòåæà) ñîäåðæèò èíñòðóìåíòû, ïîçâîëÿþùèå âûäåëÿòü, ïåðåòàñêèâàòü, ñîçäàâàòü îáúåêòû è äàâàòü èì èìåíà. Êðîìå òîãî, èìååòñÿ îñîáûé èíñòðóìåíò, ñëóæàùèé äëÿ èçãîòîâëåíèÿ è õðàíåíèÿ íåñòàíäàðòíûõ èíñòðóìåíòîâ, ñîçäàííûõ ñàìèìè ïîëüçîâàòåëÿìè. Èíñòðóìåíò Ñòðåëêà Ïðåäíàçíà÷åí äëÿ âûäåëåíèÿ è ïåðåäâèæåíèÿ (ïåðåòàñêèâàíèÿ) îáúåêòîâ ÷åðòåæà. Èìååòñÿ òðè ðàçíîâèäíîñòè ýòîãî èíñòðóìåíòà (êàê âûáðàòü îäíó èç íèõ, îïèñàíî íèæå), êîòîðûå ñëóæàò äëÿ ïåðåíîñà, âðàùåíèÿ è ðàñòÿæåíèÿ (ñæàòèÿ). Èíñòðóìåíò Òî÷êà Ñîçäàåò òî÷êó. Èíñòðóìåíò Öèðêóëü Ñîçäàåò îêðóæíîñòü. Èíñòðóìåíò Ëèíåéêà Ñîçäàåò îòðåçîê, ëó÷ èëè ïðÿìóþ — â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêàÿ èç òðåõ ðàçíîâèäíîñòåé èíñòðóìåíòà àêòèâíà â íàñòîÿùèé ìîìåíò. Èíñòðóìåíò Òåêñò Ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ñîçäàíèÿ è óïðàâëåíèÿ èìåíàìè è íàäïèñÿìè. Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ Ñîäåðæèò íàáîð êîìàíä äëÿ ñîçäàíèÿ èíñòðóìåíòîâ ïîëüçîâàòåëÿìè è ðàáîòû ñ íèìè, à òàêæå ñïèñîê ýòèõ èíñòðóìåíòîâ. Âûáîð èíñòðóìåíòà èç íàáîðà Ùåëêíèòå íà çíà÷êå íóæíîãî èíñòðóìåíòà. Ýòîò èíñòðóìåíò îñòàåòñÿ àêòèâíûì äî òåõ ïîð, ïîêà íå âûáðàí äðóãîé. Âûáîð ðàçíîâèäíîñòè èíñòðóìåíòà Èíñòðóìåíòû Ñòðåëêà è Ëèíåéêà èìåþò ïî òðè ðàçíîâèäíîñòè êàæäûé. Ëèíåéêà Ñòðåëêà Перенос Вращение Растяжение Отрезок Луч Прямая ×òîáû âûáðàòü îäíó èç ðàçíîâèäíîñòåé èíñòðóìåíòà 1. Ïîñòàâüòå êóðñîð íà çíà÷îê èíñòðóìåíòà Ñòðåëêà èëè Ëèíåéêà. 2. Íàæìèòå è óäåðæèâàéòå êëàâèøó ìûøè; ïðè ýòîì îòêðûâàþòñÿ çíà÷êè ðàçíîâèäíîñòåé èíñòðóìåíòà. 3. Óäåðæèâàÿ êëàâèøó ìûøè, ïåðåìåñòèòå êóðñîð íà íóæíûé çíà÷îê è îòïóñòèòå êëàâèøó. 30 Óðîêè 1­–4. Çíàêîìñòâî ñ ïðîãðàììîé Óðîêè 1–4 çíàêîìÿò ñ îñíîâíûìè ïðèíöèïàìè îðãàíèçàöèè ïðîãðàììû íà ïðèìåðå ïîñòðîåíèÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Ïîìèìî ïîñòðîåíèÿ, ìû íàó÷èìñÿ óïðàâëÿòü ðàçëè÷íûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ýòîé ôèãóðû è èññëåäîâàòü èõ, à òàêæå ñîçäàäèì íåêîòîðûå õóäîæåñòâåííûå êàðòèíû íà ýòîé îñíîâå. Êðîìå òîãî, ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ îäíîé òåîðåìîé ãåîìåòðèè î ñâîéñòâàõ ÷åòûðåõóãîëüíèêà.  èòîãå, ïîòðóäèâøèñü, ìîæíî ñòàòü çíàòîêîì îñíîâíûõ âîçìîæíîñòåé Æèâîé Ìàòåìàòèêè. Ñìåëî ýêñïåðèìåíòèðóéòå! Ëó÷øèé ñïîñîá èçó÷åíèÿ ìàòåðèàëà òîò, êîòîðûé ïîäõîäèò èìåííî âàì. Ê òîìó æå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà îáëàäàåò çàìå÷àòåëüíîé âîçìîæíîñòüþ: ðàçðåøàåòñÿ îòìåíèòü íåîãðàíè÷åííîå êîëè÷åñòâî âûïîëíåííûõ êîìàíä. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî, ïîâòîðÿÿ ñêîëüêî óãîäíî ðàç êîìàíäó Îòìåíèòü ìåíþ Ïðàâêà (<Ctrl+Z> äëÿ Windows èëè < +Z> äëÿ Mac OS), ìîæíî âåðíóòüñÿ íàçàä íà ëþáîå ÷èñëî øàãîâ, âïëîòü äî íà÷àëà óðîêà. Ïîýòîìó ïðîáóéòå, âîçâðàùàéòåñü, åñëè ïðîìàæåòå, è ñíîâà ýêñïåðèìåíòèðóéòå. 31 Óðîê 1. Ïîñòðîåíèå êâàäðàòà Íà ýòîì çàíÿòèè ïîóïðàæíÿåìñÿ ñ îñíîâíûìè èíñòðóìåíòàìè Æèâîé Ìàòåìàòèêè è ïîïûòàåìñÿ ïîñòðîèòü ãåîìåòðè÷åñêóþ ôèãóðó — êâàäðàò. ×òî áóäåì èçó÷àòü • Êàê âîñïîëüçîâàòüñÿ êîìàíäîé Îòìåíèòü, ÷òîáû ïðîäåëàòü îáðàòíûé ïóòü — îòìåíèòü äåéñòâèå âûïîëíåííûõ êîìàíä. • Êàê ïîñòðîèòü îòðåçêè è îêðóæíîñòè. • Êàê âûäåëèòü è ïåðåòàùèòü îáúåêòû. • Êàê ïîñòðîèòü ïåðïåíäèêóëÿðíûå è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå. • Êàê ïîñòðîèòü òî÷êè — ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ. • Êàê ñîõðàíèòü äîêóìåíò Æèâîé Ìàòåìàòèêè. Ïðîñòî ïîïðîáóåì Âïåðâûå ðàáîòàþùåìó â ïðîãðàììå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà òðóäíî ñîïðîòèâëÿòüñÿ æåëàíèþ ïîèãðàòü. Ïîïðîáóåì ðàçâëå÷üñÿ âìåñòå, âîñïîëüçîâàâøèñü íåáîëüøèìè ïîäñêàçêàìè. 1. Çàïóñòèòå ïðîãðàììó èëè, åñëè îíà óæå çàïóùåíà, âûáåðèòå êîìàíäó Íîâûé ÷åðòåæ ìåíþ Ôàéë.  äàëüíåéøåì âû óçíàåòå îá ýòèõ èíñòðóìåíòàõ åùå áîëüøå. 32 Îòêðûâàåòñÿ íîâîå ïóñòîå îêíî ÷åðòåæà. 2. Ïîèãðàéòå ñ èíñòðóìåíòàìè. • Èíñòðóìåíòû Òî÷êà, Öèðêóëü è Îòðåçîê (îíè èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå ñïðàâà òàê, êàê îíè ðàñïîëîæåíû â íàáîðå èíñòðóìåíòîâ) — èçâåñòíûå «ðó÷íûå» èíñòðóìåíòû. Íàðèñóéòå ñîîòâåòñòâóþùèå îáúåêòû íà ÷åðòåæå, ïîëüçóÿñü ýòèìè èíñòðóìåíòàìè. Ùåëêíèòå íà çíà÷êå èíñòðóìåíòà, à çàòåì ùåëêíèòå íà ÷åðòåæå. ×òîáû ïîñòðîèòü òî÷êó, äîñòàòî÷íî ùåëêíóòü îäèí ðàç èíñòðóìåíòîì Òî÷êà. ×òîáû ïîñòðîèòü îêðóæíîñòü èëè îòðåçîê, íóæíî ùåëêíóòü íà äâóõ ðàçíûõ ìåñòàõ íà ÷åðòåæå èíñòðóìåíòàìè Öèðêóëü è Îòðåçîê, ñîîòâåòñòâåííî. Ïîïðîáóéòå ùåëêàòü íà ðàçíûõ ìåñòàõ — íà ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå è íà óæå ñîçäàííûõ îáúåêòàõ (òî÷êàõ, îêðóæíîñòÿõ è îòðåçêàõ). • Åñëè ÷åðòåæ íàñûùåí îáúåêòàìè, ìîæåò âîçíèêíóòü æåëàíèå èõ ðàññðåäîòî÷èòü. Âûáðàâ èíñòðóìåíò Ñòðåëêà, âû ñìîæåòå âûäåëÿòü è ïåðåòàñêèâàòü îáúåêòû. Ïîïðîáóéòå, â ÷àñòíîñòè, îòòàùèòü îáúåêòû, ïðèñîåäèíåííûå ê äðóãèì îáúåêòàì. ×òîáû îòìåíèòü âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ ñðàçó, äîñòàòî÷íî ùåëêíóòü íà ïóñòîì ìåñòå ÷åðòåæà. • ×òîáû ïîêàçàòü èëè ñïðÿòàòü èìÿ îáúåêòà, ñëåäóåò ùåëêíóòü íà îáúåêòå èíñòðóìåíòîì Òåêñò. Äâîéíîé ùåë÷îê íà îáúåêòå èëè åãî èìåíè ïîçâîëÿåò èçìåíèòü èìÿ. ×òîáû ñîçäàòü ïðîñòðàíñòâî äëÿ íàäïèñè, äâàæäû ùåëêíèòå íà ïóñòîì ìåñòå (èëè íàæìèòå êëàâèøó, ïåðåòàùèòå ìûøü, îòïóñòèòå êëàâèøó). • Ñíîâà âîñïîëüçóéòåñü èíñòðóìåíòîì Ñòðåëêà äëÿ òîãî, ÷òîáû âûäåëèòü îäèí èëè íåñêîëüêî îáúåêòîâ. Ïîñìîòðèòå, êàêèå êîìàíäû ìåíþ îêàçûâàþòñÿ äîñòóïíûìè. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî íåêîòîðûå êîìàíäû äîñòóïíû âñåãäà, à äðóãèå òðåáóþò, ÷òîáû áûëè âûäåëåíû îáúåêòû íóæíîãî òèïà. À òåïåðü çàéìåìñÿ âñåðüåç Åñëè çíà÷îê èíñòðóìåíòà Ëèíåéêà âûãëÿäèò èíà÷å, ÷åì èçîáðàæåíèå íà ðèñóíêå ñïðàâà, òî íóæíî íàæàòü êëàâèøó è ïðîòàùèòü ìûøü äî èíñòðóìåíòà Îòðåçîê. 3. Åñëè âû ãîòîâû äâèãàòüñÿ äàëüøå, ïðîäåëàéòå ñëåäóþùåå: âûáåðèòå êîìàíäó Îòìåíèòü â ìåíþ Ïðàâêà èëè, äàæå ëó÷øå, íàáåðèòå êîìáèíàöèþ <Ctrl+Z> (Windows) èëè < +Z> (Mac OS). Êàæäîå î÷åðåäíîå âûïîëíåíèå ýòîé êîìàíäû âîçâðàùàåò ïðîäåëàííóþ ðàíåå ðàáîòó íà îäèí øàã íàçàä. Çàìå÷àíèå. Åñëè óäåðæèâàòü êëàâèàòóðíóþ êîìáèíàöèþ â íàæàòîì ñîñòîÿíèè, òî êîìàíäà ïîâòîðÿåòñÿ íåïðåðûâíî. Íàæàòèå êëàâèøè <Shift> ïðè âûïîëíåíèè êîìàíäû Îòìåíèòü çàìåíÿåò åå íà êîìàíäó Îòìåíèòü âñå è íåìåäëåííî âîçâðàùàåò ÷åðòåæ â íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå. Íàîáîðîò, ìîæíî âåðíóòü âûïîëíåííîå äåéñòâèå, âûáðàâ êîìàíäó Âåðíóòü (<Ctrl+R> äëÿ Windows èëè < +R> äëÿ Mac OS). 4. Òåïåðü ñíîâà íà÷íåì ñ ÷èñòîãî ëèñòà — ïóñòîãî ÷åðòåæà. Âûáåðåì èíñòðóìåíò Îòðåçîê. 5. Ïîñòðîèì ãîðèçîíòàëüíûé îòðåçîê, êîòîðûé áóäåò íèæíåé ñòîðîíîé êâàäðàòà. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ãîðèçîíòàëüíûå îòðåçêè (è âåðòèêàëüíûå òîæå) óäîáíî ñòðîèòü, óäåðæèâàÿ íàæàòîé êëàâèøó Ïîñëå øàãà 5 <Shift>. 6. Òåïåðü âûáåðåì èíñòðóìåíò Öèðêóëü. Êàê âû äóìàåòå, çà÷åì íóæåí öèðêóëü ïðè ïîñòðîåíèè êâàäðàòà? 33 Âñòðåòèâøèñü ñ êàêèìè-òî òðóäíîñòÿìè, ïîëåçíî îòêðûòü (êîìàíäà Îòêðûòü ìåíþ Ôàéë) äîêóìåíò Urok1.gsp â ïàïêå Ïîñîáèå. Òàì ñîäåðæàòñÿ èëëþñòðàöèè ê óðîêó. Íàïîìíèì, ÷òî èíñòðóìåíò Ñòðåëêà èñïîëüçóåòñÿ äëÿ âûäåëåíèÿ è ïåðåòàñêèâàíèÿ îáúåêòîâ. 7. Óñòàíîâèì Öèðêóëü íà ïðàâîì êîíöå îòðåçêà. Òî÷êà áóäåò çàìåòíî ÿð÷å, çíà÷èò, îíà äåéñòâèòåëüíî ìîæåò ñòàòü öåíòðîì îêðóæíîñòè. 8. Òåïåðü, êîãäà ïðàâàÿ òî÷êà ÿðêî ñâåòèòñÿ, ùåëêíåì íà íåé. Çàòåì ïåðåäâèíåì èíñòðóìåíò (ïðè ýòîì âèäíà îêðóæíîñòü) òàê, ÷òîáû çàñâåòèëàñü ëåâàÿ òî÷êà. Ùåëêíåì íà íåé. Ïîñòðîåíà îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â ïðàâîì êîíöå îòðåçêà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç åãî ëåâûé Ïîñëå øàãà 8 êîíåö. 9. Âûáåðåì èíñòðóìåíò Ñòðåëêà è ïîòàñêàåì îáå êîíöåâûå òî÷êè, óáåæäàÿñü, ÷òî îêðóæíîñòü äåéñòâèòåëüíî ïðèñîåäèíåíà ê îòðåçêó. Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî îòðåçîê îòðûâàåòñÿ îò îêðóæíîñòè (à ýòî çíà÷èò, ÷òî íà ñàìîì äåëå íà ÷åðòåæå áîëåå äâóõ òî÷åê), òî âûáåðåì êîìàíäó Îòìåíèòü ìåíþ Ïðàâêà íåñêîëüêî ðàç, ïîêà íå èñ÷åçíåò îêðóæíîñòü. Ñíîâà âûïîëíèì øàãè 6–8, àêêóðàòíî óñòàíàâëèâàÿ èíñòðóìåíò íà êîíöåâûå òî÷êè. 10.Òåïåðü îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ íà ÷åðòåæå, ùåëêíóâ èíñòðóìåíòîì Ñòðåëêà íà ïóñòîì ìåñòå. Âàæíî, ÷òîáû ïåðåä òåì, êàê âû íà÷íåòå âûäåëÿòü íîâûå îáúåêòû, âûäåëåííûõ îáúåêòîâ íå áûëî. Èíà÷å ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî âûäåëåíî áîëüøå îáúåêòîâ, ÷åì õîòåëîñü. Ñòðîèì ïåðïåíäèêóëÿðíûå è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå Äàëåå ïîñòðîèì ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè è ïåðïåíäèêóëÿðíóþ îòðåçêó. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî îïðåäåëåííàÿ ïðÿìàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïðè óñëîâèè çàäàíèÿ òî÷êè, ÷åðåç êîòîðóþ îíà ïðîõîäèò, è îòðåçêà, ê êîòîðîìó îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà. Òî÷íî òàê æå ïðîãðàììå òðåáóåòñÿ äâà âûäåëåííûõ îáúåêòà — òî÷êà è ïðÿìîëèíåéíûé îáúåêò — ÷òîáû ïîñòðîèòü ïåðïåíäèêóëÿðíóþ (èëè ïàðàëëåëüíóþ) ïðÿìóþ. 11.Âûäåëèì îòðåçîê è åãî ïðàâûé êîíåö, ùåëêíóâ íà íèõ èíñòðóìåíòîì Ñòðåëêà. Âûáåðåì êîìàíäó Ïåðïåíäèêóëÿð ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ. Ïîñòðîåíà ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ âûäåëåííîìó îòðåçêó è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âûäåëåííóþ òî÷êó. 12. äîïîëíåíèå ê âûäåëåííîé ïðÿìîé âûäåëèì îêðóæíîñòü è âûáåðåì êîìàíäó Ïåðåñå÷åíèå ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ. Ïîÿâèëèñü òî÷êè íà ïåðåñå÷åíèè ïðÿìîé ñ îêðóæíîñòüþ. Ïîñëå øàãà 12 34 ×òîáû Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà ìîãëà ïîñòðîèòü ïàðàëëåëüíóþ ïðÿìóþ, íåîáõîäèìî âûäåëèòü ïðÿìîëèíåéíûé îáúåêò, êîòîðîìó ïðÿìàÿ äîëæíà áûòü ïàðàëëåëüíà, è òî÷êó, ÷åðåç êîòîðóþ îíà äîëæíà ïðîõîäèòü (àíàëîãè÷íî ïîñòðîåíèþ ïåðïåíäèêóëÿðà). 13.Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ, ùåëêíóâ íà ïóñòîì ìåñòå ÷åðòåæà, à çàòåì âûäåëèì âåðõíþþ òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ è îòðåçîê. Òåïåðü âûáåðåì êîìàíäó Ïàðàëëåëüíàÿ ïðÿìàÿ ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ. Ïîñòðîåíà åùå îäíà ïðÿìàÿ. 14.Òåïåðü ïîñòðîèì âåðòèêàëü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç ëåâûé êîíåö îòðåçêà, âûáðàâ ëþáóþ èç êîìàíä: Ïåðïåíäèêóëÿð èëè Ïàðàëëåëüíàÿ ïðÿìàÿ. Ïîëüçóåìñÿ òåõíèêîé ïîñòðîåíèÿ, óæå ïðèìåíÿâøåéñÿ íà øàãàõ 11 èëè 13. 15.Îòìåíèâ âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ, âûäåëèì äâå ïîñëåäíèå ïîñòðîåííûå ïðÿìûå è íàéäåì èõ ïåðåñå÷åíèå ïðè Ïîñëå øàãà 15 ïîìîùè êîìàíäû Ïåðåñå÷åíèå ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ. Çàâåðøàåì ïîñòðîåíèå è èñïûòûâàåì åãî «íà ïðî÷íîñòü»  ðÿäå ñëó÷àåâ âîçíèêàåò íåîáõî­ äèìîñòü â ïåðåòàñ­ êèâàíèè îáúåêòîâ. Âîò ëèøü íåêîòî­ ðûå èç íèõ: èññëåäîâàíèå îòíîøåíèé ìåæäó îáúåêòàìè, ñðàâíå­ íèå èçìåðåíèé, ñîçäàíèå óäîáî­ ÷èòàåìûõ ÷åðòå­ æåé. Îäíàêî, åñëè â çàäà÷å òðåáóåòñÿ âûÿñíèòü, ñîõðà­ íÿåòñÿ ëè ôîðìà êîíñòðóêöèè íåèçìåííîé, òàêîé ýêñïåðèìåíò ìû íàçûâàåì èñïûòàíèåì «íà ïðî÷íîñòü». Èòàê, åñòü ÷åòûðå òî÷êè, îïðåäåëÿþùèå êâàäðàò. Âîïðîñ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, áóäåò ëè ýòîò êâàäðàò îñòàâàòüñÿ êâàäðàòîì, åñëè ïûòàòüñÿ åãî äåôîðìèðîâàòü, ïåðåòàñêèâàÿ êàêèå-ëèáî åãî ÷àñòè. Îòâåò «Äà», ïîñêîëüêó Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà ïåðåäâèãàåò îáúåêòû, ñîõðàíÿÿ çàäàííûå ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ (ñâÿçè) ìåæäó íèìè. Ê ïðèìåðó, ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè, îñòàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíîé èñõîäíîìó îòðåçêó ïðè ëþáûõ äâèæåíèÿõ, èáî òàê îíà áûëà ïîñòðîåíà íà øàãå 11. Òåì íå ìåíåå, ïîïðîáóéòå! Òàùèòå ðàçíûå ýëåìåíòû êâàäðàòà, ïîî÷åðåäíî âûäåëÿÿ íóæíûé îáúåêò è îòìåíÿÿ âûäåëåíèå. 16.Âûäåëèì âñå, çà èñêëþ÷åíèåì ÷åòûðåõ òî÷åê — óãëîâ êâàäðàòà è èñõîäíîãî îòðåçêà. Åñëè â ñòðîêå ñîñòîÿíèÿ ñêàçàíî: «Âûäåëåíû 5 îáúåêòîâ», òî âñå ñäåëàíî ïðàâèëüíî. Ñòðîêà ñîñòîÿíèÿ — ýòî èíôîðìàöèîííîå ñîîáùåíèå, êîòîðîå ïîÿâëÿåòñÿ â íèæíåì ëåâîì (Windows) èëè íèæíåì ïðàâîì (Mac OS) óãëó îêíà ÷åðòåæà. 17.Âûáåðåì êîìàíäó Ñïðÿòàòü îáúåêòû ìåíþ Âèä. Âèäíû ÷åòûðå óãëîâûå òî÷êè è íèæíÿÿ ñòîðîíà êâàäðàòà. Åñëè îêàçàëîñü, ÷òî ñïðÿòàíû íå òå îáúåêòû, òî íàäî âûáðàòü êîìàíäó Îòìåíèòü ìåíþ Ïðàâêà è ïîïûòàòüñÿ ñíîâà. Ïîñëå øàãà 17 18.Ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòà Îòðåçîê äîñòðîèì òðè ñòîðîíû êâàäðàòà. 35 Åñëè ôèãóðà äåéñòâèòåëüíî êâàäðàò, òî íåâàæíî êàê äâèæóòñÿ åå ÷àñòè. Åñëè æå ýòî âàæíî, òî ôèãóðà íå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì.  ýòîì è åñòü ñóòü èñïûòàíèÿ «íà ïðî÷íîñòü». Èòàê, ïåðâàÿ êîíñòðóêöèÿ ïîñòðîåíà! 19.Åùå ðàç ïîòàùèòå ðàçëè÷íûå ÷àñòè êâàäðàòà ïðè ïîìîùè èíñòðóìåíòà Ñòðåëêà. 20.Òåïåðü âûáåðåì êîìàíäó Ñîõðàíèòü ìåíþ Ôàéë. Ïðèñâîèì ÷åðòåæó ñîäåðæàòåëüíîå èìÿ, ñêàæåì Êâàäðàò, è ùåëêíåì íà êíîïêå Ñîõðàíèòü. Çàïîìíèì, ãäå ñîõðàíåí ýòîò ÷åðòåæ, ïîñêîëüêó îí åùå ïîíàäîáèòñÿ. ×òî äåëàòü äàëüøå Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê ñëåäóþùåìó óðîêó, âîçìîæíî, âàì çàõî÷åòñÿ ïîñòðîèòü ÷òî-íèáóäü ñàìîñòîÿòåëüíî. Ïîïûòàéòåñü ïîñòðîèòü ïàðàëëåëîãðàìì, ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá. Ïîñòðîåííóþ ôèãóðó èñïûòàéòå íà ïðî÷íîñòü. Íå îãîð÷àéòåñü, åñëè ÷òî-òî íå âûéäåò.  äàëüíåéøåì èçó÷åííîå íà ïåðâîì çàíÿòèè áóäåò äîïîëíåíî è ðàñøèðåíî. 36 Óðîê 2. Òåîðåìà î ÷åòûðåõóãîëüíèêàõ Âñåì èçâåñòíî, ÷òî íåêîòîðûå òåîðåìû ãåîìåòðèè òðóäíî óñâàèâàþòñÿ. Êîìó-òî íå õâàòàåò ïðîñòðàíñòâåííîãî âîîáðàæåíèÿ, êîìó-òî èíòóèöèè. Îòëè÷íûé ñïîñîá îñâîåíèÿ ãåîìåòðèè — ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ â ïðîãðàììå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà. Íà ýòîì çàíÿòèè ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ òåîðåìó, ôîðìóëèðîâêó êîòîðîé ïðåäñòîèò âûÿñíèòü.  ïðîöåññå âûÿñíåíèÿ âû óçíàåòå ìíîæåñòâî íîâûõ ïîëåçíûõ âîçìîæíîñòåé ïðîãðàììû. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíèòü ñåðåäèíû ñòîðîí ÷åòûðåõóãîëüíèêà, òî ïîëó÷åííàÿ ôèãóðà åñòü ______________. Çäåñü òåîðåìà ãåîìåòðèè ñôîðìóëèðîâàíà êàê âîïðîñ èç êðîññâîðäà. Íàøà çàäà÷à: íàéòè îòãàäêó ïðè ïîìîùè èññëåäîâàíèÿ â ïðîãðàììå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà. Åñëè âàì ïîêàæåòñÿ, ÷òî âîïðîñ ñëèøêîì ñëîæåí èëè, íàîáîðîò, ñëèøêîì ïðîñò — íåâàæíî. Âñå æå îñíîâíàÿ öåëü çàêëþ÷àåòñÿ â èçó÷åíèè ñîáñòâåííî ïðîãðàììû. ×òî áóäåì èçó÷àòü • • • • • Êàê Êàê Êàê Êàê Êàê ïîñòðîèòü ìíîãîóãîëüíèê ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòà Îòðåçîê. ïîêàçàòü èìÿ îáúåêòà. èçìåðèòü äëèíó è óãîë. ñîçäàòü íàäïèñü. ôîðìàòèðîâàòü òåêñò. Ñòðîèì ïðîèçâîëüíûé ÷åòûðåõóãîëüíèê Ïðîèçâîëüíûé ÷åòûðåõóãîëüíèê õàðàêòåðèçóåòñÿ îòñóòñòâèåì êàêèõ-ëèáî ÷àñòíûõ ñâîéñòâ, òèïà ðàâåíñòâà ñòîðîí, óãëîâ è ò. ï. 1. Çàïóñòèòå ïðîãðàììó èëè, åñëè îíà óæå çàïóùåíà, âûáåðèòå êîìàíäó Íîâûé ÷åðòåæ ìåíþ Ôàéë. 2. Ïîñòðîèì îòðåçîê èíñòðóìåíòîì Îòðåçîê. 3. Ïîñòðîèì äðóãîé îòðåçîê, îäèí èç êîíöîâ êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ êàêèì-òî êîíöîì ïåðâîãî îòðåçêà. Êîíåö ïåðâîãî îòðåçêà ñòàíåò ÿð÷å, êîãäà èíñòðóìåíò îêàæåòñÿ äîñòàòî÷íî áëèçêî ê íåìó. Ïîñëå øàãà 3 37 Òåïåðü ìîæíî ùåëêíóòü, ÷òîáû ñîâìåñòèòü êîíöåâûå òî÷êè äâóõ îòðåçêîâ. 4. Ïîñòðîèâ åùå äâà îòðåçêà ïîäîáíûì îáðàçîì, çàâåðøàåì ïîñòðîåíèå ÷åòûðåõóãîëüíèêà. 5. Èíñòðóìåíòîì Ñòðåëêà ïîòàùèòå ðàçíûå ÷àñòè êîíñòðóêöèè, ÷òîáû óáåäèòüñÿ, ÷òî îíè íå îòðûâàþòñÿ äðóã îò äðóãà. Êîíå÷íî, ýòî ñíîâà èñïûòàíèå «íà ïðî÷íîñòü». Åñëè êîíñòðóêöèÿ ðàçðûâàåòñÿ, òî íóæíî îòìåíèòü íåñêîëüêî øàãîâ è àêêóðàòíî ñîåäèíèòü Ïîñëå øàãà 5 êîíöû îòðåçêîâ. Êîíñòðóèðóåì âïèñàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê Ïîñêîëüêó áûëè âûäåëåíû ÷åòûðå ñòîðîíû, èõ ñåðåäèíû ñòðîÿòñÿ îäíîâðåìåííî. Òåïåðü, èìåÿ ÷åòûðåõóãîëüíèê è âñïîìíèâ íà÷àëî òåîðåìû: «Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíèòü ñåðåäèíû ñòîðîí ÷åòûðåõóãîëüíèêà…», ïîñòðîèì è ñîåäèíèì ñåðåäèíû ñòîðîí. 6. Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ, ùåëêíóâ íà ïóñòîì ìåñòå ÷åðòåæà. Äàëåå ïîñëåäîâàòåëüíî (ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå èëè ïðîòèâ, íåâàæíî) âûäåëèì ÷åòûðå ñòîðîíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà. 7. Âûáåðåì êîìàíäó Ñåðåäèíû ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ. 8. Âûáåðåì êîìàíäó Ïîêàçàòü èìåíà ìåíþ Âèä, ïðåäâàðèòåëüíî óáåäèâøèñü, ÷òî ÷åòûðå ñðåäíèå òî÷êè îñòàþòñÿ âûäåëåííûìè. 9. Âûáåðåì êîìàíäó Îòðåçêè ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ åùå ðàç, óáåäèâøèñü, ÷òî ÷åòûðå ñðåäíèå òî÷êè îñòàþòñÿ âûäåëåííûìè. Ïîñëå øàãà 9 Âïèñàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê ïîñòðîåí. Èñïûòûâàåì êîíñòðóêöèþ Ãèïîòåçà — ýòî îáîñíîâàííàÿ äîãàäêà, ïðåäïîëîæåíèå. 38 Âîçìîæíî, ó âàñ óæå åñòü ïðåäïîëîæåíèå î òîì, êàêîâû ñâîéñòâà âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Îäíàêî áóäåì îñòîðîæíû, ïîñêîëüêó òàêîé õàðàêòåð âíóòðåííåãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, ìîæåò áûòü, îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü ÷àñòíîé ôîðìîé âíåøíåãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Íóæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ãèïîòåçà îñòàåòñÿ âåðíîé ïðè ëþáîé ôîðìå âíåøíåãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Äëÿ ïðîâåðêè áóäåì ìåíÿòü âèä âíåøíåãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, ïîòàùèâ åãî, ñêàæåì, çà îäèí èç óãëîâ. Êðîìå òîãî, äëÿ íàäåæíîñòè ñòàíåì ïðîâîäèòü èçìåðåíèÿ. 10.Ïîòàùèì òóäà-ñþäà ðàçëè÷íûå ÷àñòè èñõîäíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, íàáëþäàÿ çà ôîðìîé âíóòðåííåãî. 11.Òåïåðü, âûäåëèâ ÷åòûðå âíóòðåííèõ îòðåçêà, AB=2.53 ñì âûáåðåì êîìàíäó Äëèíà ìåíþ Èçìåðåíèÿ. Ïîÿâèëèñü ÷åòûðå èçìåðåíèÿ. 12.Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ, à çàòåì ∠ABC=84.61° ïîñëåäîâàòåëüíî (íàïðèìåð, ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå) âûäåëèì òðè ñåðåäèíû è âûáåðåì êîìàíäó Óãîë ìåíþ Èçìåðåíèÿ. Îòâåò íà âîïðîñ — êàêîâà ôîðìà ôèãóðû — ïðèâåäåí íà èëëþñòðàöèè â êîíöå óðîêà. Ïîÿâèëîñü èçìåðåíèå óãëà, âåðøèíà êîòîðîãî áûëà îòìå÷åíà âòîðîé èç òðåõ âûäåëåííûõ òî÷åê. 13.Ñíîâà îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ è âûäåëèì òðè ïîñëåäîâàòåëüíûå, íî, êîíå÷íî, óæå äðóãèå òî÷êè, è îïÿòü âûáåðåì êîìàíäó Óãîë. Åùå äâàæäû ïîâòîðèì ýòîò øàã, êàæäûé ðàç, íà÷èíàÿ ñî âòîðîé òî÷êè ïðåäûäóùåãî èçìåðåíèÿ. Òåïåðü èìåþòñÿ ÷åòûðå èçìåðåíèÿ âíóòðåííèõ óãëîâ âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà. 14.Ïîòàùèì ðàçíûå ÷àñòè èñõîäíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, íàáëþäàÿ, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ èçìåðåíèÿìè. ×òî èçìåíÿåòñÿ è ÷òî îñòàåòñÿ íåèçìåííûì (èíîãäà ãîâîðÿò èíâàðèàíòíûì)? Ïîäòâåðæäàåòñÿ ëè ãèïîòåçà èëè ñòîèò ïîäóìàòü î åå óòî÷íåíèè? Åñëè ãèïîòåçà êàæåòñÿ ñïðàâåäëèâîé, ìîæíî ëè óâåðåííî ãîâîðèòü, ÷òî òåîðåìà äîêàçàíà? Ñîçäàåì íàäïèñü Äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ îá óñòðîéñòâå è èñïîëüçîâàíèè ïàíåëè ôîðìàòèðîâàíèÿ òåêñòà ìîæíî íàéòè â ñïðàâî÷íîé ñèñòåìå (Ñïðàâêà/ Ýëåìåíòû). ×òîáû áûëî ëåã÷å ðàçáèðàòüñÿ â ñäåëàííîì, äîïîëíèì ÷åðòåæ ïîÿñíÿþùèì åãî òåêñòîì. 15.Âûáåðåì èíñòðóìåíò Òåêñò. 16.Äâàæäû ùåëêíåì (èëè íàæìåì êëàâèøó, ïîòàùèì ìûøü, îòïóñòèì êëàâèøó) íà ïóñòîì ìåñòå ÷åðòåæà. Ïîÿâëÿåòñÿ ðàìêà îáðàìëåíèÿ òåêñòà. 17.Íàáåðåì íóæíûé ïîÿñíèòåëüíûé òåêñò, íà÷èíàÿ ñ ôîðìóëèðîâêè òåîðåìû è ãèïîòåçû. Ùåëêíóâ âíå ðàìêè íàäïèñè, çàêðîåì åå. Ùåë÷îê âíóòðè ðàìêè ñíîâà îòêðîåò íàäïèñü. Áûòü ìîæåò, ïðè ðàáîòå ñ òåêñòîì âû óñïåëè çàìåòèòü íàáîð èíñòðóìåíòîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà òàê íàçûâàåìîé ïàíåëè ôîðìàòèðîâàíèÿ òåêñòà. Èíñòðóìåíòû ýòîé ïàíåëè ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ôîðìàòèðîâàíèÿ òåêñòà — èçìåíåíèé ñàìîãî øðèôòà è åãî ðàçìåðà, öâåòà è ò. ä. Ìåíþ Âèä ñîäåðæèò êîìàíäó Ñïðÿòàòü/ Ïîêàçàòü ïàíåëü ôîðìàòèðîâàíèÿ òåêñòà. Ïàíåëü ôîðìàòèðîâàíèÿ òåêñòà (Windows) 18.Âîñïîëüçóåìñÿ ïàíåëüþ ôîðìàòèðîâàíèÿ òåêñòà è èçìåíèì øðèôò, öâåò òåêñòà è äðóãèå ñâîéñòâà íàäïèñè. Èçìåíåíèÿ êîñíóòñÿ íàäïèñè â öåëîì, åñëè îíà âûäåëåíà. Ùåëêíóâ âíóòðè íàäïèñè è ïîòàùèâ ìûøü, ìîæíî ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòà Òåêñò âûäåëèòü îòäåëüíûå ñèìâîëû è ôîðìàòèðîâàòü òîëüêî èõ. 19.Òåïåðü ñîõðàíèì ÷åðòåæ, äàâ åìó êàêîå-òî ðàçóìíîå íàçâàíèå. 39 Âîçìîæíî, âàì çàõî÷åòñÿ ïîóïðàæíÿòüñÿ ñ âèäîì ìàòåìàòè÷åñêèõ ñèìâîëîâ è îáîçíà÷åíèé. Ùåë÷îê íà ñàìîé ïðàâîé êíîïêå ïàíåëè ôîðìàòèðîâàíèÿ òåêñòà îòêðûâàåò äîïîëíèòåëüíûå èíñòðóìåíòû. 40 Ãèïîòåçà. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíèòü ñåðåäèíû ñòîðîí ÷åòûðåõóãîëüíèêà, òî ïîëó÷åííàÿ ôèãóðà áóäåò ïàðàëëåëîãðàììîì. Óðîê 3. Îæèâøèå ÷åðòåæè Íà ïåðâûõ äâóõ óðîêàõ ðàññìàòðèâàëèñü òðàäèöèîííûå âîïðîñû ãåîìåòðèè.  äàëüíåéøåì óâèäèì, ÷òî Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà íå ìåíåå ïîëåçíà äëÿ èçó÷åíèÿ àëãåáðû, ãåîìåòðèè ôðàêòàëîâ è äðóãèõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè. Îäíàêî, ìîæåò áûòü, íàèáîëåå âïå÷àòëÿþùåå äîñòîèíñòâî Æèâîé Ìàòåìàòèêè çàêëþ÷àåòñÿ â åå âîçìîæíîñòÿõ «îæèâëåíèÿ» ÷åðòåæà. Íà ýòîì óðîêå çàéìåìñÿ ñëåæåíèåì çà îáúåêòàìè è àíèìàöèåé. ×òî áóäåì èçó÷àòü • Êàê ñäåëàòü ïðîñòóþ àíèìàöèþ. • Êàê èñïîëüçóåòñÿ ïàíåëü óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì ïðè àíèìàöèè. • Êàê ñëåäèòü çà îáúåêòîì. • Êàê âûïîëíèòü îïðåäåëåííóþ êîìàíäó ïðè ïîìîùè Êîíòåêñòíîãî ìåíþ. • Êàê ñîçäàòü êíîïêó Àíèìàöèÿ. Âûäåëÿåì îáúåêò è ñëåäèì çà åãî òðàåêòîðèåé  ïàïêå Ïîñîáèå, ñîäåðæèòñÿ èëëþñòðàöèÿ ê óðîêó — ÷åðòåæ Urok3.gsp. Ïàíåëü Óïðàâëåíèå äâèæåíèåì â îïåðàöèîííîé ñèñòåìå Mac OS âûãëÿäèò íåñêîëüêî èíà÷å. 1. Îòêðîåì ÷åðòåæ Urok3.gsp. Âèäíû äâå òî÷êè íà ñòîðîíàõ ïðÿìîóãîëüíèêà è ñîåäèíÿþùèé èõ æåëòûé îòðåçîê. Îäíàêî âìåñòî òîãî, ÷òîáû ñòðîèòü ìíîæåñòâî æåëòûõ îòðåçêîâ, ïðèâåäåì îòðåçîê â äâèæåíèå è ïîñìîòðèì íà îñòàâëÿåìûé èì ñëåä. 2. Âûäåëèì æåëòûé îòðåçîê, ùåëêíóâ íà íåì èíñòðóìåíòîì Ñòðåëêà. 3. Âûáåðåì êîìàíäó Àíèìàöèÿ ìåíþ Âèä. Îòðåçîê íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ, è îäíîâðåìåííî ïîÿâëÿåòñÿ ïàíåëü Óïðàâëåíèå äâèæåíèåì. Объекты управления Пауза Пуск Изменение направления Стоп Увеличить скорость Скорость Уменьшить скорость 41 ßñíî, ÷òî ýòà ôèãóðà íå ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì, â ñìûñëå Æèâîé Ìàòåìàòèêè, ïîñêîëüêó íå âûäåðæèâàåò èñïûòàíèÿ íà «ïðî÷íîñòü».  äàííîì ñëó÷àå, ýòî íåâàæíî. 42 4. Ïîèãðàåì êíîïêàìè ýòîé ïàíåëè, íàïðèìåð, óâåëè÷èì è óìåíüøèì ñêîðîñòü, îáðàòèì äâèæåíèå.  êîíå÷íîì ñ÷åòå, óñòàíîâèì óìåðåííóþ ñêîðîñòü — ìåæäó 3 è 4. 5. Åñëè æåëòûé îòðåçîê âñå åùå âûäåëåí, òî ïåðåéäåì ê ñëåäóþùåìó øàãó.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå íàæìåì êíîïêó Ïàóçà íà ïàíåëè, ùåëêíåì íà ïóñòîì ìåñòå, âûäåëèì îòðåçîê è ñíîâà íàæìåì Ïàóçó, âîçîáíîâëÿÿ äâèæåíèå. 6. Âûáåðåì êîìàíäó Îñòàâëÿòü ñëåä ìåíþ Âèä. Òåïåðü âèäåí ñëåä äâèæóùåãîñÿ îòðåçêà. 7. Ïîñìîòðèì çàòåì, êàê âñå ýòî âûãëÿäèò ïðè èçìåíåíèè öâåòà îòðåçêà. Âûáåðåì òîò èëè èíîé öâåò èç ïîäìåíþ (íà ÷åðíîì ôîíå ëó÷øå ñìîòðÿòñÿ ÿðêèå öâåòà), äëÿ ÷åãî âûáåðåì êîìàíäó Öâåò ìåíþ Âèä. Èçìåíåíèå öâåòà îòðåçêà ìåíÿåò öâåò îñòàâëÿåìîãî îòðåçêîì ñëåäà. Ïîäáåðèòå ïîäõîäÿùèé âàì öâåò. 8. Äàëåå çàéìåìñÿ àíèìàöèåé. Âîò íåñêîëüêî ïðåäëîæåíèé. • Ñðàâíèòå àíèìàöèîííûå èçîáðàæåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êîíöàìè îòðåçêà. Äëÿ ýòîãî íóæíî íàæàòü êíîïêó Ïàóçà, ïîòàùèòü â òó èëè äðóãóþ ñòîðîíó êîíöåâóþ òî÷êó, à çàòåì ñíîâà çàïóñòèòü àíèìàöèþ, åùå ðàç íàæàâ Ïàóçó. • Ñðàâíèòå èçîáðàæåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ñêîðîñòåé äâèæåíèÿ êîíöåâûõ òî÷åê. ×òîáû ïîäåéñòâîâàòü íà ñêîðîñòü îäíîé òî÷êè, ñëåäóåò íàæàòü êíîïêó Âûäåëåíî è ïðîòàùèòü ìûøü äî íóæíîãî îáúåêòà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Òåïåðü èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè íà ïàíåëè áóäóò îòíîñèòüñÿ òîëüêî ê ýòîé òî÷êå. • Ïîñìîòðèòå âëèÿíèå ôîðìû ÷åòûðåõóãîëüíèêà, ïîòàùèâ åãî âåðøèíû. • Ïîñìîòðèòå, ÷òî ïðîèñõîäèò, åñëè òî÷êè äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó. (Ñäåëàéòå îáúåêòîì óïðàâëåíèÿ îäíó èç òî÷åê è îáðàòèòå åå äâèæåíèå, íàæàâ êíîïêó Èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ.) Êîíå÷íî, âû çàìåòèëè, ÷òî ñëåä îòðåçêà ïîñòåïåííî çàòóõàåò. Ýòî óäîáíî, ïîñêîëüêó ìîæíî íàáëþäàòü çà èçìåíåíèÿìè êàðòèíû. À ìîæíî ïîïðîáîâàòü èçìåíèòü ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ èëè âîâñå ïðåêðàòèòü åãî. 9. Âûáåðèòå êîìàíäó Íàñòðîéêè/Åäèíèöû ìåíþ Ïðàâêà è ïàíåëü Öâåò, ùåëêíóâ íà åå íàçâàíèè. Òåïåðü èçìåíèì ïîëîæåíèå äâèæêà, ðåãóëèðóþùåãî ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ ñëåäà, à çàòåì îòêàæåìñÿ îò çàòóõàíèÿ ñëåäà. Ñëåä ïëàâíî èñ÷åçàåò ñî âðåìåíåì. Âûáîð ýòîé ïîçèöèè óñòàíàâëèâàåò, ÷òî ñëåä îáúåêòà ïîñòåïåííî óãàñàåò. Ïðè ýòîì, ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü çàäàòü ñêîðîñòü óãàñàíèÿ. Äâå ïîçèöèè âûáîðà â íèæíåé ÷àñòè ýòîé ïàíåëè îïðåäåëÿþò, áóäóò ëè èçìåíåíèÿ êàñàòüñÿ äàííîãî ÷åðòåæà èëè âñåõ íîâûõ ÷åðòåæåé. Ïî óìîë÷àíèþ, èçìåíåíèÿ îòíîñÿòñÿ òîëüêî ê äàííîìó ÷åðòåæó. Ïàíåëü íàñòðîéêè öâåòà (Windows) Êîìàíäó Ñòåðåòü ñëåäû âûïîëíÿåò êëàâèàòóðíàÿ êîìáèíàöèÿ <Ctrl+B> (Windows) èëè< +B> (Mac OS). Âû íå çíàåòå, êàê âåñòè äèàëîã â ýòîì îêíå? Âû çàõîòåëè óçíàòü áîëüøå î äèàëîãîâûõ îêíàõ? Îòâåòû ñîäåðæàòñÿ â ñïðàâî÷íîé ñèñòåìå. Îòìåíà âûáîðà ýòîé ïîçèöèè ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñëåäû âîîáùå íå ãàñíóò. Òîãäà, ÷òîáû óäàëèòü ñëåä, íóæíî âûáðàòü êîìàíäó Ñòåðåòü ñëåäû (èëè íàæàòü êëàâèøó <Esc> íåñêîëüêî ðàç). 10.Âîò äâà ñîâåòà, êàê ïðîâîäèòü ýêñïåðèìåíò ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè çàòóõàíèÿ. • Ìíîãîêðàòíî âûïîëíÿòü êîìàíäó Íàñòðîéêè/Åäèíèöû óäîáíî, ïîëüçóÿñü êîíòåêñòíûì ìåíþ. Äëÿ âûçîâà ýòîãî ìåíþ â ñèñòåìå Windows, íóæíî ùåëêíóòü ïðàâîé êëàâèøåé ìûøè íà ïóñòîì ìåñòå.  ñèñòåìå Mac, ñëåäóåò ùåëêíóòü íà ïóñòîì ìåñòå, óäåðæèâàÿ êëàâèøó <Ctrl>. • Åñëè çàäàíî óñëîâèå, ÷òî ñëåä íå èñ÷åçàåò, òî â êàêîé-òî ìîìåíò ðàçóìíî âûáðàòü êîìàíäó Ñòåðåòü ñëåäû ìåíþ Âèä. Ñîçäàåì êíîïêó àíèìàöèè Âîñïîëüçîâàòüñÿ êîìàíäîé Àíèìàöèÿ (ìåíþ Âèä) èëè êíîïêîé Ïóñê íà ïàíåëè óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì — íàèáîëåå ïðîñòûå ñïîñîáû çàïóñêà àíèìàöèè. Îäíàêî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ (íàïðèìåð, åñëè íåîáõîäèìî, ÷òîáû ðàçíûå îáúåêòû êîíñòðóêöèè äâèãàëèñü ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè) ãîðàçäî óäîáíåå îêàçûâàåòñÿ êíîïêà Àíèìàöèÿ ïîäìåíþ Êíîïêè ìåíþ Ïðàâêà. 11.Ùåëêíåì íà ïóñòîì ìåñòå, òàê ÷òîáû âñå äâèæóùèåñÿ îáúåêòû ñòàëè îáúåêòàìè óïðàâëåíèÿ, à çàòåì íàæìåì êíîïêó Ñòîï íà ïàíåëè óïðàâëåíèÿ. 12.Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ è âûäåëèì îòðåçîê. Âûáåðåì ïóíêò Àíèìàöèÿ ïîäìåíþ Êíîïêè ìåíþ Ïðàâêà. Ïîÿâëÿåòñÿ äèàëîãîâîå îêíî Ñâîéñòâà îáúåêòà: êíîïêà Àíèìàöèÿ. Äèàëîãîâîå îêíî Ñâîéñòâà îáúåêòà: êíîïêà Àíèìàöèÿ (Windows) 43 Ê ñïðàâî÷íîé ñèñòåìå ìîæíî îáðàòèòüñÿ òàêæå, âûáðàâ êîìàíäó ìåíþ Ñïðàâêà. Áîëåå ïîäðîáíî îá óñòàíîâêàõ ñêîðîñòè è íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ìîæíî óçíàòü èç ñïðàâî÷íîé ñèñòåìû. Îáðàòèòüñÿ ê äèàëîãîâîìó îêíó Ñâîéñòâà ëþáîãî îáúåêòà ìîæíî òàêæå ùåë÷êîì íà ýòîì îáúåêòå ïðàâîé êëàâèøåé ìûøè (Windows) èëè ùåë÷êîì ìûøè ñ îäíîâðåìåííûì íàæàòèåì êëàâèøè <Ctrl> (Mac OS). ×òîáû èçìåðåíèå áûëî âèäíî íà ÷åðíîì ýêðàíå, åãî íóæíî îêðàñèòü â ÿðêèé öâåò. 44 13.Ùåëêíåì íà êíîïêå ñïðàâêè â äèàëîãîâîì îêíå (Ñïðàâêà â Windows, ? â Mac OS), ÷òîáû âûçâàòü ñîîòâåòñòâóþùèé ðàçäåë ñïðàâî÷íîé ñèñòåìû. Çàïóñêàåòñÿ êàêàÿ-ëèáî èç ïîèñêîâûõ ïðîãðàìì (âîçìîæíî, Netscape® èëè Explorer®) è íàõîäèòñÿ íóæíûé ðàçäåë ñïðàâî÷íîé ñèñòåìû. Ïîòðàòüòå íåêîòîðîå âðåìÿ íà çíàêîìñòâî ñ ýòîé ñèñòåìîé. 14.Âîçâðàùàåìñÿ ê ÷åðòåæó Æèâîé Ìàòåìàòèêè, âûáèðàÿ çíà÷îê Æèâîé Ìàòåìàòèêè (èç ìåíþ Ïðèëîæåíèÿ â âåðõíåì ïðàâîì óãëó äëÿ Mac OS, èëè èç ïàíåëè çàäà÷ äëÿ Windows). Äèàëîãîâîå îêíî Ñâîéñòâà îáúåêòà ïî-ïðåæíåìó îòêðûòî. Çàäàåì ñêîðîñòü è íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ äëÿ òî÷åê À è Â, îïðåäåëÿþùèõ âûäåëåííûé îòðåçîê. Êîãäà âñå ñäåëàíî, ñêàæèòå ÎÊ. Íà ÷åðòåæå ïîÿâëÿåòñÿ êíîïêà Àíèìàöèÿ, íàæàòèå íà êîòîðóþ çàïóñêàåò è îñòàíàâëèâàåò äâèæåíèå îòðåçêà. 15.Ïîéäåì äàëüøå — ñîçäàäèì êíîïêè àíèìàöèè ñ äðóãèìè óñòàíîâêàìè èëè, ÷òîáû èçìåíèòü óñòàíîâêè íà óæå ñîçäàííîé êíîïêå, âûäåëèì åå (ùåë÷êîì íà ÷åðíîé ïîëîñêå âäîëü ëåâîãî êðàÿ) è âûáåðåì êîìàíäó Ñâîéñòâà… ìåíþ Ïðàâêà. Ðàñêðàøèâàåì öâåòàìè ðàäóãè Çàìå÷àíèå.  ýòîì ïàðàãðàôå äåìîíñòðèðóåòñÿ îäíà èç ñàìûõ âïå÷àòëÿþùèõ âîçìîæíîñòåé ïðîãðàììû Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà — ìíîãîöâåòíàÿ ðàñêðàñêà. Îäíàêî, åñëè âû åùå íå âïîëíå óâåðåíû â òîì, ÷òî ïðåäûäóùèé ìàòåðèàë âïîëíå îñâîåí, ìîæåòå íå ÷èòàòü äàííûé ðàçäåë è äâèíóòüñÿ äàëüøå, íå îïàñàÿñü ïðîïóñòèòü ÷òî-òî âàæíîå. Ñåé÷àñ ìû áóäåì ó÷èòüñÿ ðàñêðàøèâàòü îòðåçîê, à çíà÷èò è åãî ñëåä, â ðàçíûå öâåòà. Òîò èëè èíîé öâåò áóäåò çàäàâàòüñÿ ÷èñëîì èëè ïàðàìåòðîì — äëèíîé îòðåçêà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè. Çíà÷èò ïðè äâèæåíèè îòðåçêà åãî öâåò áóäåò ìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò èçìåíåíèÿ åãî äëèíû. 16.Åñëè îòðåçîê â íàñòîÿùèé ìîìåíò äâèæåòñÿ, íàæìèòå êíîïêó Ïàóçà íà ïàíåëè óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì. 17.Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ, à çàòåì âûäåëèì îòðåçîê. Âûáåðåì êîìàíäó Äëèíà ìåíþ Èçìåðåíèÿ. Ïðè âûäåëåííîì èçìåðåíèè, ïîÿâèâøåìñÿ íà ýêðàíå, âûáåðåì ÿðêèé öâåò èç ïîäìåíþ Öâåò ìåíþ Âèä. 18.Âûäåëèì òåïåðü äâà îáúåêòà — îòðåçîê è èçìåðåíèå åãî äëèíû. Âûáåðåì êîìàíäó Çàäàåòñÿ ïàðàìåòðîì… èç ïîäìåíþ Öâåò ìåíþ Âèä. Ïîÿâëÿåòñÿ äèàëîãîâîå îêíî Öâåò, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà. Äèàëîãîâîå îêíî Öâåò, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà (Windows) Òàêîé äèàïàçîí èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà äàåò ëó÷øèå ðåçóëüòàòû, êîãäà òî÷êè äâèæóòñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè. Âïðî÷åì, ìîæåòå ïîïðîáîâàòü çàäàòü è äðóãîé äèàïàçîí. 19.Óñòàíîâèì â äèàëîãîâîì îêíå Ïàðàìåòð ìåíÿåòñÿ îò 0 äî 2 è íàæìåì Ãîòîâî. 20.Ïîòàùèì îäèí èç êîíöîâ îòðåçêà òóäà-ñþäà, òàê ÷òîáû åãî äëèíà óâåëè÷èâàëàñü è óìåíüøàëàñü. Öâåò îòðåçêà ìåíÿåòñÿ! Êîãäà äëèíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îò 0 äî 2, öâåò ìåíÿåòñÿ âî âñåì äèàïàçîíå öâåòîâ ðàäóãè. 21.Òåïåðü òåì èëè èíûì ñïîñîáîì çàïóñòèì àíèìàöèþ: íàæìåì êíîïêó Ïàóçà èëè îäíó èç ñîçäàííûõ êíîïîê Àíèìàöèÿ ëèáî ñîçäàäèì íîâóþ êíîïêó Àíèìàöèÿ. 22.Ñîõðàíèì ÷åðòåæ, äàâ åìó êàêîå-ëèáî ñîäåðæàòåëüíîå íàçâàíèå. 45 Óðîê 4. Êîëëåêöèÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ Èíîãäà ïðèõîäèòñÿ ñîçäàâàòü ÷åðòåæ ñàìîñòîÿòåëüíî ñ ñàìîãî íà÷àëà, êàê â ïåðâûõ äâóõ óðîêàõ, à èíîãäà ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ íåêîòîðîé çàãîòîâêîé ÷åðòåæà, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå. Çäåñü ìû ñêîìáèíèðóåì ýòè ïîäõîäû — âîñïîëüçóåìñÿ óæå ñäåëàííûì ÷åðòåæîì, òî÷íåå ìíîãîñòðàíè÷íûì äîêóìåíòîì, à çàòåì äîáàâèì ê äîêóìåíòó íîâûé ÷åðòåæ. Íàêîíåö, íàó÷èìñÿ, êàê ïðåîáðàçîâàòü êîíñòðóêöèþ â óäîáíûé èíñòðóìåíò. ×òî áóäåì èçó÷àòü • Êàê ïåðåìåùàòüñÿ âíóòðè ìíîãîñòðàíè÷íîãî äîêóìåíòà. • Êàê ïîêàçàòü ñïðÿòàííûå îáúåêòû (è ñíîâà èõ ñïðÿòàòü). • Êàê èññëåäîâàòü êîíñòðóêöèþ îáúåêòà ïðè ïîìîùè äèàëîãîâîãî îêíà Ñâîéñòâà. • Êàê äîáàâèòü ñòðàíèöó ê äîêóìåíòó. • Êàê ïðåîáðàçîâàòü êîíñòðóêöèþ â èíñòðóìåíò è êàê èì ïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì. Ïåðåëèñòûâàåì äîêóìåíò 1. Çàïóñòèì ïðîãðàììó Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà (åñëè îíà óæå íå çàïóùåíà) è âûáåðåì êîìàíäó Îòêðûòü ìåíþ Ôàéë. 2. Íàéäåì ïàïêó Ïîñîáèå è îòêðîåì ôàéë Urok4.gsp. Ýòîò äîêóìåíò ÿâëÿåòñÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè ìíîãîñòðàíè÷íûì äîêóìåíòîì, ïîñêîëüêó ñîäåðæèò íåñêîëüêî ÷åðòåæåé íà îòäåëüíûõ ñòðàíèöàõ. Åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå êàê íåáîëüøóþ êíèãó ÷åðòåæåé. 46 3. Ïîïðîáóåì ïåðåëèñòûâàòü ñòðàíèöû ýòîé êíèãè äâóìÿ ñïîñîáàìè: ïðè ïîìîùè êíîïîê, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ êíîïêàìè Ññûëîê è èçîáðàæåíû ñïðàâà, è ïîñðåäñòâîì ïåðåêëþ÷àòåëåé ñòðàíèö, êîòîðûå ïîÿâëÿþòñÿ â íèæíåé ÷àñòè îêíà ÷åðòåæà è èìåþò íîìåðà (èìåíà) ñòðàíèö. ×òîáû íàæàòü êíîïêó, ñëåäóåò ùåëêíóòü íà íåé èíñòðóìåíòîì Ñòðåëêà. Èññëåäóåì êîíñòðóêöèþ 4. Îòêðîåì ñòðàíèöó Ðàâíîáî÷íàÿ òðàïåöèÿ è ïîòàùèì òî÷êó L. Êàêîâà ñâÿçü (èëè êàêîâî ñîîòíîøåíèå) ìåæäó òî÷êàìè L è K? Êàêîå óñëîâèå çàñòàâëÿåò òðàïåöèþ îñòàâàòüñÿ ðàâíîáî÷íîé? Êàêèå èçìåðåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî îíà ðàâíîáî÷íàÿ? 5. Íà ñòðàíèöå Ïðÿìîóãîëüíèê ïîòàùèì òî÷êè E, H è G — âåðøèíû ïðÿìîóãîëüíèêà (ïî î÷åðåäè). Êàê âåäåò ñåáÿ ïðÿìîóãîëüíèê? 6. Íà ñòðàíèöå Ïàðàëëåëîãðàìì ïîòàùèì îòðåçêè MN è NO (ïî î÷åðåäè) è ïîñëåäèì çà èçìåðåíèÿìè. ×òî ïðîèñõîäèò ñ óãëàìè è äëèíàìè ïàðàëëåëîãðàììà? 7.  êà÷åñòâå ýêñïåðèìåíòà ïîòàùèì äðóãèå òî÷êè è îòðåçêè. Åñëè ÷åðòåæ ñòàíîâèòñÿ «çàìóñîðåííûì», òî âñåãäà ìîæíî âåðíóòüñÿ íà íåñêîëüêî øàãîâ íàçàä ïðè ïîìîùè êîìàíäû Îòìåíèòü. Èòàê, ïî÷åìó ôèãóðû âåäóò ñåáÿ òàê, à íå èíà÷å? ×òî çàñòàâëÿåò èõ ñîõðàíÿòü íåêîòîðûå ñâîéñòâà? Òåõíîëîãèÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ìû áóäåì èñêàòü îòâåòû, ïðèãîäèòñÿ êàê ïðè èçó÷åíèè ñäåëàííûõ êåì-òî ÷åðòåæåé, òàê è ïðè ñàìîñòîÿòåëüíîì ñîçäàíèè ñëîæíûõ êîíñòðóêöèé. Ïîêàçûâàåì ñïðÿòàííûå îáúåêòû è èññëåäóåì èõ ñâîéñòâà 8. Îòêðîåì ñòðàíèöó Ðàâíîáî÷íàÿ òðàïåöèÿ. Âûáåðåì êîìàíäó Ïîêàçàòü âñå ñïðÿòàííîå ìåíþ Âèä. Åñëè íè îäèí èç îáúåêòîâ íå áûë ñïðÿòàí, êîìàíäà Ïîêàçàòü âñå ñïðÿòàííîå íåäîñòóïíà. Òåïåðü âèäíû âûäåëåííûå îáúåêòû, êîòîðûå äî âûïîëíåíèÿ êîìàíäû áûëè ñïðÿòàíû. 47 9. Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ, ùåëêíóâ íà ïóñòîì ìåñòå. 10.Ïîòàùèì ðàçëè÷íûå ýëåìåíòû òðàïåöèè. Êàê ñîîòíîñÿòñÿ ðàçëè÷íûå îáúåêòû ÷åðòåæà ñ ïðÿìîé m? Ìîæíî ëè ÷òî-òî ïðåäïîëîæèòü î ïîëîæåíèè òî÷êè X íà îòðåçêå IJ? 11.Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ è âûäåëèì ïðÿìóþ m, ùåëêíóâ íà íåé. Âûáåðåì êîìàíäó Ñâîéñòâà ìåíþ Ïðàâêà. Åñëè åñòü êàêèå-ëèáî îòëè÷èÿ äèàëîãîâîãî îêíà îò åãî èçîáðàæåíèÿ íà ðèñóíêå, òî ñëåäóåò ùåëêíóòü íà ïåðåêëþ÷àòåëå Îáúåêò â âåðõíåé ÷àñòè äèàëîãîâîãî îêíà. Äèàëîãîâîå îêíî Ñâîéñòâà îáúåêòà (Windows) Ïðåäêè îáúåêòà — ýòî îáúåêòû, êîòîðûå îïðåäåëÿþò äàííûé îáúåêò. Ïîòîìêè îáúåêòà — ýòî îáúåêòû, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ äàííûì îáúåêòîì. 48 Ïîòðàòüòå íåêîòîðîå âðåìÿ íà ÷òåíèå îïèñàíèÿ ïðÿìîé m. Ýòà ïðÿìàÿ, î÷åâèäíî, áûëà ïîñòðîåíà ïðè ïîìîùè êîìàíäû Ïåðïåíäèêóëÿð, ïðè÷åì îòðåçîê IJ è òî÷êà X áûëè âûäåëåíû â ìîìåíò âûïîëíåíèÿ êîìàíäû. Çàìåòüòå òàêæå, ÷òî îïöèÿ Ñïðÿòàòü íå âûáðàíà, òî åñòü ïðÿìàÿ m ñåé÷àñ âèäíà. Åñëè âûáðàòü ýòó îïöèþ, òî ëèíèÿ âèäíà íå áóäåò (áóäåò ñïðÿòàíà). Îïöèÿ Ìîæíî âûäåëÿòü ìûøüþ âûáðàíà, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ùåë÷îê íà ïðÿìîé m èíñòðóìåíòîì Ñòðåëêà âûäåëÿåò ïðÿìóþ. 12.Ñäâèíåì äèàëîãîâîå îêíî, ïîòàùèâ ñòðîêó åãî çàãîëîâêà òàê, ÷òîáû ñòàëè âèäíû âñå îáúåêòû ÷åðòåæà. 13.Íàæìåì âñïîìîãàòåëüíîå ìåíþ Ïðåäêè è âûñâåòèì, ïðîäâèãàÿ ìûøü è ïîêà íå îòïóñêàÿ êëàâèøó ìûøè, îäèí, çàòåì äðóãîé îáúåêò. Âûñâå÷èâàåìûå èìåíà îáúåêòîâ â ìåíþ îäíîâðåìåííî âûñâå÷èâàþò è ñàìè îáúåêòû íà ÷åðòåæå. Îòìåòèì, ÷òî îáúåêòû â ìåíþ — ýòî òå æå îáúåêòû, ÷òî è óïîìÿíóòûå â îïèñàíèè ïðÿìîé m. 14.Îòïóñòèì êëàâèøó ìûøè íàä îäíèì èç ïðåäêîâ ïðÿìîé m. Ïàíåëü ïåðåêëþ÷àåòñÿ íà âûáðàííûé îáúåêò. 15.Ïðîäâèíüòåñü äàëüøå ïî «ãåíåàëîãè÷åñêîìó äåðåâó» ñàìîñòîÿòåëüíî. Ïîïûòàéòåñü äîáðàòüñÿ äî ïàíåëåé ñâîéñòâ âñåõ îáúåêòîâ ÷åðòåæà, âêëþ÷àÿ èçìåðåíèÿ. Îáðàùàéòå Èìÿ îáúåêòà ìîæíî èçìåíèòü, äàæå åñëè èìÿ íå ïîêàçûâàåòñÿ. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò ùåëêíóòü íà ïåðåêëþ÷àòåëå Èìåíà ïàíåëè Ñâîéñòâà îáúåêòà. âíèìàíèå íà îïèñàíèÿ ñâîéñòâ îáúåêòîâ. Ïîäóìàéòå, ïî÷åìó êàæäûé èç îáúåêòîâ èìååò òåõ èëè èíûõ ïðåäêîâ è ïîòîìêîâ è ïî÷åìó êîíñòðóêöèÿ ðàáîòàåò òàê, êàê çàäóìàíî. Êîíå÷íî, ïðèäåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ âñïîìîãàòåëüíûì ìåíþ Ïîòîìêè. Äîáàâëÿåì ñòðàíèöó ê äîêóìåíòó  ñëåäóþùèõ äâóõ ïàðàãðàôàõ ðå÷ü ïîéäåò îá ýêîíîìèè ñèë è âðåìåíè. Íà ïåðâîì óðîêå áûë ïîñòðîåí êâàäðàò. Âîçìîæíî, â áóäóùåì åùå íåîäíîêðàòíî ïîòðåáóåòñÿ êâàäðàò äëÿ òåõ èëè èíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé. Ïîýòîìó íà÷íåì ó÷èòüñÿ, êàê ìíîãîêðàòíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî ñäåëàííî åäèíîæäû. Ïîðÿäîê ðàñïîëîæåíèÿ ñòðàíèö â äîêóìåíòå ìîæíî èçìåíèòü, ïåðåòàñêèâàÿ èõ ìûøêîé ïî ñïèñêó ñòðàíèö. Êðîìå òîãî, ìîæíî ïåðåèìåíîâàòü ñòðàíèöó â ñòðîêå èìåíè òåêóùåé ñòðàíèöû è óäàëèòü ñòðàíèöó, íàæàâ êíîïêó Óäàëèòü ñòðàíèöó. Ïðåæäå âñåãî, çàìåòèì, ÷òî êíèãà ÷åðòåæåé, íàçâàííàÿ «Êîëëåêöèÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ» íå ñîäåðæèò ñàìîãî ñîâåðøåííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà — êâàäðàòà. 17.Åñëè ÷åðòåæ ïåðâîãî óðîêà (íàçâàííûé, ñêàæåì, Êâàäðàò. gsp) îòêðûò, òî ïåðåõîäèì ê ñëåäóþùåìó øàãó.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå âûáåðàåì êîìàíäó Îòêðûòü ìåíþ Ôàéë. 18.Òåïåðü àêòèâèçèðóåì äîêóìåíò Urok4.gsp, äëÿ ÷åãî ùåëêàåì íà êàêîì-òî ìåñòå ýòîãî ÷åðòåæà. 19. Âûáåðàåì êîìàíäó Íàñòðîéêè äîêóìåíòà ìåíþ Ôàéë. Ïîÿâëÿåòñÿ äèàëîãîâîå îêíî Íàñòðîéêè äîêóìåíòà. Äèàëîãîâîå îêíî Íàñòðîéêè äîêóìåíòà (Windows) 49 20.Äîáàâèì ñòðàíèöó Êâàäðàò.gsp â êíèãó, âûáðàâ åå èìÿ èç âñïîìîãàòåëüíîãî ìåíþ Äîáàâèòü êîïèþ, êàê ïîêàçàíî íà ïðåäûäóùåì ðèñóíêå. Ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîòîâî. Íîâàÿ ñòðàíèöà îòêðûâàåòñÿ ùåë÷êîì íà ñîîòâåòñòâóþùåì ïåðåêëþ÷àòåëå. Åñëè ñòðàíèö ñëèøêîì ìíîãî, òî ÷àñòü ïåðåêëþ÷àòåëåé íå ïîêàçûâàåòñÿ.  ýòîì ñëó÷àå ïîÿâëÿþòñÿ êíîïêè ïðîêðóòêè ïåðåêëþ÷àòåëåé, íàæèìàÿ êîòîðûå ìîæíî äîáðàòüñÿ äî íóæíîé ñòðàíèöû. Ñîçäàåì èíñòðóìåíò ïîëüçîâàòåëÿ Ìîé êâàäðàò Åñëè òðåáóåòñÿ äîïîëíèòåëüíî ïîñòðîèòü íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî êâàäðàòîâ, òî äîâîëüíî óòîìèòåëüíî ïîâòîðÿòü ðàç çà ðàçîì îäíè è òå æå øàãè ïîñòðîåíèÿ. Õîðîøî áûëî áû èìåòü ñïåöèàëüíûé èíñòðóìåíò ïîñòðîåíèÿ êâàäðàòà. Ê ñ÷àñòüþ, Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà ïðåäîñòàâëÿåò âîçìîæíîñòü ïðåîáðàçîâàòü ïî÷òè ëþáóþ êîíñòðóêöèþ â èíñòðóìåíò. Ýòîò èíñòðóìåíò ïîìåùàåòñÿ â íàáîð èíñòðóìåíòîâ, ïîëó÷àåò ñâîå èìÿ è òðåáóåòñÿ âñåãî ëèøü íåñêîëüêî ùåë÷êîâ, ÷òîáû âîñïðîèçâåñòè êîíñòðóêöèþ. Âîò êàê ýòî äåëàåòñÿ. 21.Íà ñòðàíèöå, êîòîðàÿ ñîäåðæèò ïîñòðîåííûé êâàäðàò, âûáåðåì èíñòðóìåíò Ñòðåëêà. Çàòåì âûáåðåì êîìàíäó Âûäåëèòü âñå ìåíþ Ïðàâêà. 22.Âûáåðåì êîìàíäó Ñîçäàòü íîâûé èíñòðóìåíò èç ìåíþ Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ íàáîðà èíñòðóìåíòîâ. Ââåäåì èìÿ Øàã 22 èíñòðóìåíòà, ñêàæåì Êâàäðàò. Ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîòîâî. Òåïåðü, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå, èìÿ íîâîãî èíñòðóìåíòà ïîÿâèëîñü â ñïèñêå èíñòðóìåíòîâ ïîëüçîâàòåëÿ. 23.Ùåëêíåì íà çíà÷êå Èíñòðóìåíòû Ïîñëå øàãà 22 ïîëüçîâàòåëÿ â íàáîðå èíñòðóìåíòîâ, òåì ñàìûì, âûáèðàÿ ïîñëåäíèé èç ñîçäàííûõ èíñòðóìåíòîâ, â äàííîì ñëó÷àå — Êâàäðàò. Êóðñîð ïðèíèìàåò âèä áåëîé ñòðåëêè ñ òî÷êîé íà âåðøèíå. 24.Ùåëêíåì íà ïðîèçâîëüíîì ìåñòå ÷åðòåæà, ïîòàùèì ìûøü è ñíîâà ùåëêíåì. Èíñòðóìåíò Êâàäðàò ñòðîèò êâàäðàò, îïðåäåëÿåìûé äâóìÿ òî÷êàìè. Èíñòðóìåíò îñòàåòñÿ àêòèâíûì, ïîýòîìó ìîæíî ïðîäîëæàòü ñòðîèòü êâàäðàòû, ïîêà íå áóäåò âûáðàí äðóãîé èíñòðóìåíò. 25.Ïîòðåíèðóéòåñü â ïîñòðîåíèè êâàäðàòîâ. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî ðàñïîëîæåíèå êâàäðàòà çàâèñèò îò òîãî, ãäå áûëè ñäåëàíû ùåë÷êè. Ïîïðîáóéòå ñëåäóþùèå âàðèàíòû: 50 • ùåëêàéòå ñëåâà íàïðàâî; • ùåëêàéòå ñïðàâà íàëåâî; • ïðè ñîçäàíèè êâàäðàòà óäåðæèâàéòå êëàâèøó <Shift> (ïðè ýòîì íàêëîí îòðåçêà êðàòåí 15°, ÷òî ïîçâîëÿåò ëåãêî îáåñïå÷èòü âåðòèêàëüíîñòü è ãîðèçîíòàëüíîñòü ñòîðîí); • ïîïðîáóéòå ïðèìåíèòü êîìàíäó Îòìåíèòü (ïðè ýòîì êîíñòðóêöèÿ îòìåíÿåòñÿ öåëèêîì); • ïðè ùåë÷êå íà óæå ñóùåñòâóþùåé òî÷êå èëè äðóãîì îáúåêòå, êâàäðàò ïðèêðåïëÿåòñÿ ê ýòîìó îáúåêòó. Ïîïûòàéòåñü â òî÷íîñòè âîñïðîèçâåñòè èíñòðóìåíòîì Êâàäðàò êîíñòðóêöèþ, èçîáðàæåííóþ íà ðèñóíêå. Ìîæåò áûòü, âàì óäàñòñÿ ïîñòðîèòü åùå êàêîé-íèáóäü èíòåðåñíûé îðíàìåíò. 51 Óðîêè 5–6. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãåîìåòðèÿ ïðåîáðàçîâàíèé èçó÷àåò âðàùåíèå, ñäâèã, ðàñòÿæåíèåñæàòèå è îòðàæåíèå ôèãóð. Íåêîòîðûå èç íèõ áóäóò ðàññìîòðåíû â äâóõ ïîñëåäóþùèõ óðîêàõ ïðè ïîìîùè ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîãðàììû Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà. Âíà÷àëå áóäåì èññëåäîâàòü íåêóþ ôóíäàìåíòàëüíóþ ïðîáëåìó, ðåøàåìóþ ïðè ïîìîùè âðàùåíèÿ è îòðàæåíèÿ. Çàòåì ïîñòðîèì ïðîñòîé êàëåéäîñêîï.  ïðîöåññå èññëåäîâàíèé óçíàåì íåñêîëüêî áîëüøå î ïðèìåíåíèè ìåíþ Èçìåðåíèÿ è Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ. 52 Óðîê 5. Îòðàæåíèÿ + Îòðàæåíèÿ = ? Íà ýòîì çàíÿòèè ìû áóäåì èçó÷àòü îäèí èç âîïðîñîâ ãåîìåòðèè ïðåîáðàçîâàíèé è ïîñìîòðèì, êàêóþ ïîìîùü â ýòîì ìîæåò îêàçàòü ïðèìåíåíèå Æèâîé Ìàòåìàòèêè. ×òî áóäåì èçó÷àòü • • • • Êàê áûñòðî ïîñòðîèòü âíóòðåííîñòü ìíîãîóãîëüíèêà. Êàê îòðàçèòü îáúåêòû îòíîñèòåëüíî ïðÿìûõ. Êàê âîñïîëüçîâàòüñÿ Êàëüêóëÿòîðîì. Êàê ïîâåðíóòü îáúåêò âîêðóã îòìå÷åííîé òî÷êè íà îòìå÷åííûé óãîë èëè íà îòìå÷åííîå âû÷èñëåíèå. 53 Ââåäåíèå ê óðîêó Ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîäåðæèò ÷åòûðå êîìàíäû, îòâå÷àþùèå îñíîâíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì. – òî÷êà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå (ïîâîðîò èëè ãîìîòåòèÿ) Íà ñàìîì äåëå, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ãîìîòåòèÿ è ïîâîðîò ýêâèâàëåíòíû. Íàïðèìåð, ãîìîòåòèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì –1 ýêâèâàëåíòíà ïîâîðîòó íà 180° . ßâëÿþòñÿ ëè êàêèå-ëèáî ïðåîáðàçîâàíèÿ «áîëåå îñíîâíûìè», ÷åì äðóãèå? Äðóãèìè ñëîâàìè, íåëüçÿ ëè ïîëó÷èòü îäíî èç íèõ, êîìáèíèðóÿ îñòàëüíûå? Íàïðèìåð, ìîæíî ëè ðåàëèçîâàòü ïîâîðîò êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïåðåíîñîâ? Îòâåò «Íåò», ïîñêîëüêó ïîâîðîò âðàùàåò îáúåêò, à ïåðåíîñ íå âðàùàåò. Ìîæåò ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âðàùåíèé áûòü ýêâèâàëåíòíîé ðàñòÿæåíèþ? Ñíîâà íåò, ïîñêîëüêó ïðè ðàñòÿæåíèè ðàçìåðû ìåíÿþòñÿ, à ïðè âðàùåíèè — ñîõðàíÿþòñÿ. À ìîæåò ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòðàæåíèé ñîîòâåòñòâîâàòü ïîâîðîòó? Ïîëîæèòåëüíûé îòâåò íå êàæåòñÿ íåâîçìîæíûì, è çäåñü ìû çàéìåìñÿ èññëåäîâàíèåì ýòîãî âîïðîñà. Ñòðîèì îñè îòðàæåíèÿ è âíóòðåííîñòü ìíîãîóãîëüíèêà Åñëè âîçíèêàþò êàêèå-òî òðóäíîñòè ïðè èçó÷åíèè ýòîãî èëè äðóãèõ óðîêîâ, ñòîèò îáðàòèòüñÿ ê ÷åðòåæàì â ïàïêå Ïîñîáèå. Äàííûé óðîê èëëþñòðèðóåòñÿ ÷åðòåæîì Urok5. gsp. 54 Íà÷íåì ñ ïîñòðîåíèÿ äâóõ îòðåçêîâ, êîòîðûå ñòàíóò îñÿìè îòðàæåíèÿ, è âíóòðåííîñòè ìíîãîóãîëüíèêà, êîòîðûé áóäåò îòðàæàòüñÿ. 1. Èíñòðóìåíòîì Îòðåçîê ïîñòðîèì îòðåçîê íà íîâîì ÷åðòåæå. 2. Âòîðîé îòðåçîê ïîñòðîèì òàê, ÷òîáû îäèí èç åãî êîíöîâ ñîâïàäàë ñ êîíöîì ïåðâîãî îòðåçêà. Íàçîâåì ýòó ôèãóðó V. Ìíîãîóãîëüíèê îáùåãî âèäà íå èìååò êàêèõ‑ëèáî ñïåöèàëüíûõ ñâîéñòâ, ïîäîáíûõ ðàâåíñòâó ñòîðîí, óãëîâ èëè ÷åãî-òî â ýòîì ðîäå. Òàêîé ìíîãîóãîëüíèê ìîæíî ïîñòðîèòü âñåãî ëèøü çà äâà ñëåäóþùèõ øàãà. Ïîñëå øàãà 2 Íàæàòèå êëàâèøè <Shift> îçíà÷àåò, ÷òî ðàíåå ïîñòðîåííûå îáúåêòû îñòàíóòñÿ âûäåëåííûìè. Çàìåòüòå, ÷òî ïðè ïîñòðîåíèè ìíîãîóãîëüíèêà âûäåëÿòü íóæíî âåðøèíû, à íå ñòîðîíû. 3. Âûáåðåì èíñòðóìåíò Òî÷êà è, ùåëêíóâ âíóòðè V, ïîñòðîèì òî÷êó. Íàæìåì êëàâèøó <Shift> è ïîáëèçîñòè îò ïåðâîé òî÷êè ïîñòðîèì åùå ÷åòûðå. Èìååì ïÿòü âûäåëåííûõ òî÷åê âíóòðè V. 4. Âûáåðåì êîìàíäó Âíóòðåííÿÿ îáëàñòü ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ. Åñëè ìíîãîóãîëüíèê ñàìîïåðåñåêàåòñÿ (êàê ñëîæåííûé ëèñò áóìàãè), òî íóæíî ðàñòàùèòü åãî âåðøèíû òàê, ÷òîáû îí ñòàë îäíîçíà÷íûì, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Îòìå÷àåì îñè îòðàæåíèÿ è îòðàæàåì îáúåêòû Çäåñü è íà ñëåäóþùåì óðîêå ðåêîìåíäóåì îêðàøèâàòü îáúåêòû â íåÿðêèå òîíà. Øàã 4. ×òîáû ïîëó­÷èòü îäíîçíà÷íûé (ò.å. áåç ñàìîïåðå­ñå­÷åíèé) ìíîãîóãîëü­íèê, íóæíî ðàñòàùèòü åãî âåðøè­íû. Òåïåðü çàéìåìñÿ âîïðîñîì, çàäàííûì âî ââåäåíèè ê óðîêó. Îòðàçèì âíóòðåííîñòü îòíîñèòåëüíî îäíîãî èç îòðåçêîâ, çàòåì ïîëó÷åííûé îáðàç îòðàçèì îòíîñèòåëüíî äðóãîãî îòðåçêà. 5. Âûäåëèì íèæíèé îòðåçîê è âûáåðåì êîìàíäó Îòìåòèòü îñü îòðàæåíèÿ ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ. Êîðîòêàÿ àíèìàöèÿ óêàçûâàåò, ÷òî îòðåçîê îòìå÷åí êàê îñü îòðàæåíèÿ ïîñëåäóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé. 6. Âûäåëèì âíóòðåííîñòü ìíîãîóãîëüíèêà (ùåëêíóâ íà íåé) è âûáåðåì êîìàíäó Îòðàçèòü ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ïîÿâèëñÿ îòðàæåííûé îáðàç. 7. Îñòàþùèéñÿ âûäåëåííûì îòðàæåííûé îáðàç ïîêðàñèì èíûì öâåòîì, äëÿ ÷åãî âûáåðåì öâåò èç ïîäìåíþ Öâåò ìåíþ Âèä. Òåïåðü äâàæäû ùåëêíåì íà âåðõíåì îòðåçêå, òåì ñàìûì îòìå÷àÿ åãî êàê íîâóþ îòìå÷åííóþ îñü îòðàæåíèÿ. Îòìåòèòü îñü ìîæíî, âûáðàâ êîìàíäó èëè äâàæäû ùåëêíóâ íà ïðÿìîëèíåéíîì îáúåêòå. 8. Ñíîâà âûáåðåì êîìàíäó Îòðàçèòü. Âûäåëåííûé ìíîãîóãîëüíèê (îáðàç èñõîäíîãî) îòðàæàåòñÿ îòíîñèòåëüíî âåðõíåãî îòðåçêà. Îïÿòü æå, ïîêðàñèì ïîëó÷åííûé íîâûé îáðàç â äðóãîé öâåò. 9. Ïîòàùèì êàêóþ-íèáóäü òî÷êó èñõîäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà è ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ îáðàçàìè. Ìîæíî ïîòàùèòü è äðóãèå îáúåêòû. Ïîñëå øàãà 8 Êàê ñîîòíîñèòñÿ òðåòèé ìíîãîóãîëüíèê ñ ïåðâûì? Íåò ëè âïå÷àòëåíèÿ, ÷òî òðåòèé ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì ïåðâîãî? Åñëè äà, òî âîêðóã êàêîé òî÷êè? Êàæåòñÿ åñòåñòâåííûì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî öåíòð âðàùåíèÿ — âåðøèíà V. ×òîáû ïðîâåðèòü ýòî ïðåäïîëîæåíèå, áóäåì âðàùàòü èñõîäíûé ìíîãîóãîëüíèê, à â äàëüíåéøåì ïðîâåäåì èçìåðåíèÿ. 55 Îòìå÷àåì, âðàùàåì, èçìåðÿåì Îòìå÷àÿ (èëè èçìåðÿÿ) óãîë, ñëåäóåò âûäåëÿòü òî÷êè òàê, ÷òîáû âåðøèíà óãëà áûëà âûäåëåíà âòîðîé. Îòìå÷åííûé óãîë íàïðàâëåí îò ïåðâîé âûäåëåííîé òî÷êè ê òðåòüåé ïðè âðàùåíèè âîêðóã âòîðîé. Îáðàç äâèæåòñÿ, êîãäà äâèæåòñÿ òî÷êà D. Ïî÷åìó? Ïîòîìó ÷òî ìåíÿåòñÿ îòìå÷åííûé óãîë, çàäàþùèé ïîâîðîò. 56 10.Âûáåðåì èíñòðóìåíò Îòðåçîê. Ïîñòðîèì òðåòèé îòðåçîê âíå V òàê, ÷òîáû îäèí èç åãî êîíöîâ ñîâïàäàë ñ âåðøèíîé (êàê íà ðèñóíêå íèæå). 11.Ïóñòü ýòîò îòðåçîê âûäåëåí; òåïåðü âûáåðåì îïöèþ Ïóíêòèðíàÿ èç ïîäìåíþ Òîëùèíà ëèíèè ìåíþ Âèä. Ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ îòëè÷àåò íîâûé îòðåçîê îò äâóõ ñòàðûõ. 12.Èíñòðóìåíòîì Òåêñò ùåëêíåì íà ÷åòûðåõ êîíöàõ îòðåçêîâ â òîì ïîðÿäêå, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò àëôàâèòíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóêâ íà ðèñóíêå. Çàäà÷à, ðåøàåìàÿ â íåñêîëüêèõ ñëåäóþùèõ ïóíêòàõ, ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïîâåðíóòü èñõîäíûé ìíîãîóãîëüíèê íà óãîë ∠ABD. Ïîñëå øàãà 12 Âíà÷àëå îòìåòèì ýòîò óãîë, ïîäîáíî òîìó êàê íåìíîãî ðàíüøå îòìåòèëè îñü îòðàæåíèÿ. 13.Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ, à çàòåì âûäåëèì òðè òî÷êè â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå: ñíà÷àëà A, çàòåì B, íàêîíåö D. 14.Âûáåðåì êîìàíäó Îòìåòèòü óãîë ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ. Êîðîòêàÿ àíèìàöèÿ óêàçûâàåò, ÷òî óãîë îòìå÷åí è, êðîìå òîãî, ïîêàçûâàåò íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ. 15.Âûäåëèì âåðøèíó (òî÷êó B) è âûáåðåì êîìàíäó Îòìåòèòü öåíòð ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ. Àíèìàöèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî òî÷êà îòìå÷åíà êàê öåíòð âðàùåíèÿ è ãîìîòåòèè. 16.Âûäåëèì èñõîäíûé ìíîãîóãîëüíèê è âûáåðåì êîìàíäó Ïîâåðíóòü ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ.  ïîÿâèâøåìñÿ äèàëîãîâîì îêíå óêàçûâàåì îïöèþ Ïîâåðíóòü Äèàëîãîâîå îêíî Ïîâîðîò (Windows) íà: Îòìå÷åííûé óãîë, à çàòåì íàæèìàåì êíîïêó Ïîâåðíóòü. Ïîÿâëÿåòñÿ îáðàç — ïîâîðîò èñõîäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà íà îòìå÷åííûé óãîë. 17.Ïîòàùèì òî÷êó D òàê, ÷òîáû îáðàç ïðè ïîâîðîòå ñîâïàë ñî âòîðûì îáðàçîì, ïîëó÷åííûì ïðè îòðàæåíèè. Êàê ñîïîñòàâèòü óãîë ìåæäó îñÿìè îòðàæåíèÿ (∠ABC) ñ óãëîì ïîâîðîòà (∠ABD)? Ïðåäëîæèòå ãèïîòåçó. 18.Èçìåðèì óãîë (∠ABC). Äëÿ ýòîãî Ïîñëå øàãà 19 âûäåëèì òðè òî÷êè (òî÷êà B âûäåëÿåòñÿ âòîðîé) è âûáåðåì êîìàíäó Óãîë ìåíþ Èçìåðåíèÿ. Ïîÿâëÿåòñÿ èçìåðåíèå óãëà. 19.Òàê æå èçìåðÿåòñÿ è áîëüøèé óãîë (∠ABD). Ïîäòâåðæäàåòñÿ ëè ãèïîòåçà î ñîîòíîøåíèè ìåæäó óãëàìè? Òàùèòå è èññëåäóéòå. Âû÷èñëÿåì, îòìå÷àåì, âðàùàåì Âîçìîæíî ïîòðåáóåòñÿ ïåðåäâèíóòü äèàëîãîâîå îêíî Íîâîå âû÷èñëåíèå òàê, ÷òîáû îíî íå çàñëîíÿëî èçìåðåíèå. Ðàíåå áûëà èñïîëüçîâàíà êîìàíäà Îòìåòèòü óãîë, ïðèìåíåííàÿ ê òðåì âûäåëåííûì òî÷êàì. Ìîæíî, îäíàêî, îòìåòèòü óãîë, èçìåðåíèå èëè âû÷èñëåíèå èíà÷å, êàê äåëàåòñÿ íà ýòîì øàãå. Ìîæåò áûòü, âû óæå çàìåòèëè, ÷òî áîëüøîé óãîë âäâîå áîëüøå ìàëîãî, êîãäà îáðàçû ïðè âðàùåíèè è îòðàæåíèè ñîâïàäàþò. Êîíå÷íî, êòî-òî ïîñ÷èòàåò, ÷òî ýòî è åñòü äîêàçàòåëüñòâî. Îäíàêî äëÿ áîëüøåé óáåäèòåëüíîñòè, à òàêæå â êà÷åñòâå çíàêîìñòâà ñ Êàëüêóëÿòîðîì ïðîãðàììû ïðîäîëæèì èññëåäîâàíèå, äîïîëíèâ åãî ïîâîðîòîì èñõîäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà íà óãîë, îïðåäåëÿåìûé âû÷èñëåíèÿìè. 20.Âûäåëèì òî÷êó D è íàæìåì êëàâèøó <Delete> (Mac OS) èëè <Backspace> (Windows). Òî÷êà óíè÷òîæåíà âìåñòå ñî ñâîèìè ïîòîìêàìè — ïóíêòèðíîé ëèíèåé, ïîñëåäíåé ïîñòðîåííîé âíóòðåííîñòüþ ìíîãîóãîëüíèêà è èçìåðåíèåì âòîðîãî óãëà. 21.Âû÷èñëèì óäâîåííîå èçìåðåíèå óãëà V. Äëÿ ýòîãî âûáåðåì êîìàíäó Âû÷èñëèòü ìåíþ Èçìåðåíèÿ, çàòåì íàáåðåì íà êëàâèàòóðå öèôðó 2 è ùåëêíåì íà èçìåðåíèè óãëà. Çàòåì ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîòîâî. 22.Íîâîå èçìåðåíèå âûäåëåíî, âûáèðàåì êîìàíäó Îòìåòèòü óãîë. Êîðîòêàÿ àíèìàöèÿ ïîäòâåðæäàåò, ÷òî âû÷èñëåíèå óãëà îòìå÷åíî. 23.Ïîâåðíåì âíóòðåííîñòü èñõîäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà íà îòìå÷åííûé âû÷èñëåííûé óãîë. Åñëè ýòî íåîáõîäèìî, ïîñìîòðèòå Êàëüêóëÿòîð (Windows) øàã 16, ÷òîáû âñïîìíèòü, êàê ýòî äåëàåòñÿ. Âíîâü ïîñòðîåííàÿ îáëàñòü ïîìåùàåòñÿ òî÷íî ïîâåðõ äâàæäû îòðàæåííîé âíóòðåííîñòè ìíîãîóãîëüíèêà. Òàêèì îáðàçîì, âðàùåíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå êîìïîçèöèè äâóõ îòðàæåíèé îòíîñèòåëüíî ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ ñ öåíòðîì â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ. Óãîë ïîâîðîòà ðàâåí óäâîåííîìó óãëó ìåæäó îñÿìè îòðàæåíèé. Îñòàëîñü ëèøü ïîäãîòîâèòüñÿ ê ñëåäóþùåìó óðîêó. 24.Âûäåëèì âû÷èñëåíèå (2·∠ABC = …) è íàæìåì êëàâèøó <Delete> (Mac OS) èëè <Backspace> (Windows). 25.Íå çàáóäåì ñîõðàíèòü ÷åðòåæ, ïîñêîëüêó îí åùå ïîíàäîáèòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè êàëåéäîñêîïà â Óðîêå 6. 57 Óðîê 6. Êàëåéäîñêîï Íà ïðåäûäóùåì óðîêå ìû ñóìåëè îòðàçèòü âíóòðåííîñòü ìíîãîóãîëüíèêà îòíîñèòåëüíî äâóõ îñåé. ×òî, åñëè ðåçóëüòàò, ôèíàëüíûé îáðàç, îòðàçèòü îòíîñèòåëüíî òåõ æå ñàìûõ îñåé è ïðîäîëæàòü ïîäîáíûé ïðîöåññ ñî âíîâü ïîëó÷àåìûìè îáðàçàìè? Êàêàÿ âîçíèêíåò êàðòèíà? Êàê îíà çàâèñèò îò óãëà ìåæäó îòðåçêàìè? Íà÷íåì óðîê ñ ñîçäàíèÿ èíñòðóìåíòà, ïðè ïîìîùè êîòîðîãî ïîïûòàåìñÿ îòâåòèòü íà ýòè âîïðîñû. Çàòåì íåìíîãî ðàçâëå÷åìñÿ — ïîñòðîèì êàëåéäîñêîï.  êîíöå êîíöîâ, âû óçíàåòå êîå-÷òî î ãîìîòåòèè, î òîì êàê ïðèñîåäèíèòü òî÷êè ê òðàåêòîðèÿì, à òàêæå î òîì êàê ïðèâåñòè êîíñòðóêöèþ â äâèæåíèå. ×òî áóäåì èçó÷àòü • Êàê ñîçäàòü èíñòðóìåíò ïîëüçîâàòåëÿ, êîòîðûé îïðåäåëÿåò ìíîãîøàãîâîå ïðåîáðàçîâàíèå. • Êàê ðàñòÿíóòü îáúåêòû îòíîñèòåëüíî îòìå÷åííîãî öåíòðà. • Êàê ïðèñîåäèíèòü íåçàâèñèìûå òî÷êè ê òðàåêòîðèÿì. Ñîçäàåì è ïðèìåíÿåì íîâûé èíñòðóìåíò ïîëüçîâàòåëÿ Áîëåå ïîëíîå îïèñàíèå ñâîéñòâ è âîçìîæíîñòåé èíñòðóìåíòà ïîëüçîâàòåëÿ ìîæíî íàéòè â ñïðàâî÷íîé ñèñòåìå (ìåíþ Ñïðàâêà). 58 Íà Óðîêå 4 óæå áûë ñäåëàí èíñòðóìåíò äëÿ ïîñòðîåíèÿ êâàäðàòà. Çäåñü ìû ñîçäàäèì áîëåå ñëîæíûé èíñòðóìåíò, êîòîðûé îòðàæàåò ëþáîé çàäàííûé îáúåêò îòíîñèòåëüíî äâóõ ïðîèçâîëüíûõ îñåé â äâà îáðàçà. Èíñòðóìåíò ïîëüçîâàòåëÿ, êàê ìû óæå âèäåëè, äàåò âîçìîæíîñòü ìíîãîêðàòíî ïðèìåíÿòü èìåþùóþñÿ êîíñòðóêöèþ äëÿ ïîñòðîåíèÿ íîâûõ îáúåêòîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåæäå âñåãî íóæíî ïîñòðîèòü êîíñòðóêöèþ. Çàòåì — âûäåëèòü Äàííûå — îáúåêòû, Î÷åðåäíîñòü, â êîòîðîé âûäåëÿþòñÿ Äàííûå, îïðåäåëÿåò î÷åðåäíîñòü, â êîòîðîé äîëæíû óêàçûâàòüñÿ îáúåêòû ïðè ïîñòðîåíèè êîíñòðóêöèè. Î÷åðåäíîñòü âûäåëåíèÿ Ðåçóëüòàòîâ íåñóùåñòâåííà. Êîãäà èíñòðóìåíò óêàçûâàåò íà îáëàñòü, âèäíî, ÷òî åå ïåðèìåòð ïîäñâå÷èâàåòñÿ. êîòîðûå îïðåäåëÿþò êîíñòðóêöèþ, è Ðåçóëüòàòû — îáúåêòû, êîòîðûå äîëæíû áûòü ïîñòðîåíû â èòîãå.  íàøåì ñëó÷àå Äàííûìè ÿâëÿþòñÿ èñõîäíàÿ âíóòðåííîñòü è äâå îñè îòðàæåíèÿ. Ðåçóëüòàòàìè äåéñòâèÿ èíñòðóìåíòà ÿâëÿþòñÿ äâå îáëàñòè — îòðàæåíèÿ îðèãèíàëà îòíîñèòåëüíî îñåé. 1. Îòêðîåì ÷åðòåæ ïðåäûäóùåãî óðîêà (åñëè îí åùå íå îòêðûò). 2. Ïîòàùèì îäèí èç êîíöîâ V, òàê ÷òîáû óãîë ñòàë áëèçîê ê 45°. 3. Âûäåëèì Äàííûå (âíà÷àëå èñõîäíóþ âíóòðåííîñòü, çàòåì îòðåçîê AB, çàòåì îòðåçîê BC), à ïîòîì Ðåçóëüòàòû (äâå îáëàñòè — îòðàæåíèÿ). Äîëæíî ïîëó÷èòüñÿ ïÿòü âûäåëåííûõ îáúåêòîâ. Ïîñëå øàãà 2 4. Âûáåðåì êîìàíäó Ñîçäàòü íîâûé èíñòðóìåíò èç ìåíþ Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ â íàáîðå èíñòðóìåíòîâ.  äèàëîãîâîì îêíå ââåäåì èìÿ èíñòðóìåíòà Øàã 4 Äâîéíîå îòðàæåíèå. Ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîòîâî. Èìÿ íîâîãî èíñòðóìåíòà ïîÿâèëîñü â ñïèñêå â íèæíåé ÷àñòè ìåíþ (ñì. ðèñóíîê). 5. Ùåëêíåì íà çíà÷êå Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ â íàáîðå èíñòðóìåíòîâ, ÷òîáû àêòèâèçèðîâàòü ïîñëåäíèé èç ñîçäàííûõ èíñòðóìåíòîâ, â äàííîì ñëó÷àå Äâîéíîå îòðàæåíèå. Çàòåì ùåëêíåì íà âåðõíåé ëåâîé îáëàñòè, ïîòîì íà íèæíåì îòðåçêå, äàëåå íà âåðõíåì îòðåçêå. Ïîÿâèëèñü äâå íîâûå îáëàñòè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îòðàæåíèÿìè îäíîãî èç îáðàçîâ èñõîäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà. 6. Èíñòðóìåíò ïî-ïðåæíåìó àêòèâåí. Ùåëêíåì íà ïîñëåäíåé ïîñòðîåííîé îáëàñòè (òîãî æå öâåòà, ÷òî è îáëàñòü, íàçâàííàÿ íàìè âåðõíåé ëåâîé) è íà äâóõ îòðåçêàõ. Òåïåðü èìååì ñåìü ìíîãîóãîëüíèêîâ, êàê íà ðèñóíêå. Ïîñëå øàãà 6 7. Äâà ðàçà âûáåðåì êîìàíäó Îòìåíèòü ìåíþ Ïðàâêà. Çàìåòèì, ÷òî êàæäûé ðàç îòìåíÿåòñÿ äåéñòâèå Äâîéíîå îòðàæåíèå. 59 Âîññòàíîâèì ïðåæíåå ñîñòîÿíèå, âûáðàâ äâà ðàçà êîìàíäó Âîññòàíîâèòü îòìåíåííîå äåéñòâèå. 8. Ïîòàùèì îäíó èç âåðøèí èñõîäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà, ÷òîáû ïðè ýòîì îöåíèòü ïîâåäåíèå øåñòè îáðàçîâ. 9. Íàéäåì ìíîãîóãîëüíèê, ðàñïîëîæåííûé âáëèçè âåðõíåé ëåâîé îáëàñòè, è áóäåì ñëåäèòü çà íèì. Ïîòàùèì òî÷êó C òàê, ÷òîáû óãîë áûë ìåíåå «êðàñèâûì», ÷åì 45° (íàïðèìåð, 48° èëè 83°). Ùåëêíåì íà ìíîãîóãîëüíèêå, çà êîòîðûì ñëåäèì, è íà îòðåçêàõ AB è BC. Çàòåì â êà÷åñòâå äàííîé îáëàñòè âîçüìåì ïîñëåäíèé èç ïîñòðîåííûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ (îäèí èç äâóõ âûäåëåííûõ) è, êîíå÷íî, ùåëêíåì íà îòðåçêàõ. Ïîäîáíûì îáðàçîì ïðèìåíÿÿ èíñòðóìåíò Äâîéíîå îòðàæåíèå, ïîñòðîèì 25–30 ìíîãîóãîëü­íèêîâ. Ýòî äîâîëüíî õèòðîóìíûé øàã. Åñëè âîçíèêàþò êàêèå-òî ïðåïÿòñòâèÿ, òî ìîæíî, êàê âñåãäà, îáðàòèòüñÿ çà ïîìîùüþ ê ñòðàíèöå Ïîñëå øàãà 5 íà ÷åðòåæå Urok6.gsp. Ýêñïåðèìåíòèðóåì ñ óãëîì îòðàæåíèÿ ×òîáû áîëåå òî÷íî óïðàâëÿòü óãëîì, íóæíî óäëèíèòü îòðåçîê, ïîòàùèâ åãî êîíåö, à çàòåì íàæèìàòü ñòðåëêè íà êëàâèàòóðå, ïîñëåäîâàòåëüíî ïåðåìåùàÿ êîíåö îòðåçêà íà îäèí ïèêñåë. 10.Ïîèãðàåì ñ óãëîì îòðàæåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ óãëîâ îáëàñòè ñîâïàäàþò, òî åñòü íàêëàäûâàþòñÿ äðóã íà äðóãà.  ýòîì ëåãêî óáåäèòüñÿ, çàäàâ, â ÷àñòíîñòè, óãëû 60°, 36°, 30° è 90°. Ìîæíî ëè ïðåäëîæèòü ãèïîòåçó äëÿ îáúÿñíåíèÿ, ïî÷åìó ïðè îïðåäåëåííûõ óãëàõ ïðåîáðàçîâàíèå îòðàæåíèÿ èìååò ñòîëü ñïåöèàëüíûå ñâîéñòâà? Ìîæíî ëè íà îñíîâàíèè ýòîé ãèïîòåçû ïðåäñêàçàòü, êàêîå êîëè÷åñòâî îáëàñòåé (ñ÷èòàÿ äâå è áîëåå íàëîæåííûõ îáëàñòåé çà îäíó) ïîëó÷èòñÿ äëÿ çàäàííîãî óãëà? Îòâåòû íà ýòè âîïðîñû âû íàéäåòå â êîíöå óðîêà. Øàã 10 äëÿ äâóõ ðàçíûõ óãëîâ Çàêîí÷èâ èññëåäîâàíèå ïîñòàâëåííûõ âîïðîñîâ, ïðîäîëæèòå ïîñòðîåíèå êàëåéäîñêîïà. 11.Âîñïîëüçîâàâøèñü êëàâèàòóðíîé êîìáèíàöèåé ýêâèâàëåíòíîé êîìàíäå Îòìåíèòü (<Ctrl+Z> äëÿ Windows èëè < +Z> äëÿ Mac), âåðíåìñÿ ê ÷åðòåæó, íà êîòîðîì áûëî ðîâíî ñåìü îáëàñòåé. 60 12.Óñòàíîâèì óãîë V íàñêîëüêî âîçìîæíî áëèçêèì ê 60°. 13.Âûáåðåì êîìàíäó Ñïðÿòàòü ìåíþ Âèä ïî îòíîøåíèþ ê èñõîäíîìó ìíîãîóãîëüíèêó, ïðåäâàðèòåëüíî åãî âûäåëèâ. Ïðîùå âñåãî â äàííîì ñëó÷àå âûäåëèòü îäíó èç åãî âåðøèí è âûáðàòü êîìàíäó Âûäåëèòü ïîòîìêîâ ìåíþ Ïðàâêà. Ãîìîòåòèÿ  íàñòîÿùèõ êàëåéäîñêîïàõ íå èñïîëüçóåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå ãîìîòåòèè. Çäåñü æå ýòî ïðåîáðàçî­âàíèå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü êàëåé­äîñêîï áîëåå èíòåðåñíûì. Ïîñëå øàãà 13 Êîìàíäà Ãîìîòåòèÿ ñæèìàåò (ðàñòÿãèâàåò) îáúåêòû â íàïðàâëåíèè îòìå÷åííîãî öåíòðà ñ îïðåäåëåííûì ìàñøòàáíûì êîýôôèöèåíòîì. Îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ïåðåíîñèò îáðàç ïî äðóãóþ ñòîðîíó îò ïðîîáðàçà îòíîñèòåëüíî öåíòðà. 14.Äâàæäû ùåëêíåì íà òî÷êå B (ðèñ. ïîñëå øàãà 13), îòìå÷àÿ åå êàê öåíòð ïðåîáðàçîâàíèÿ. 15.Âûäåëèì òðè îáëàñòè îäíîãî öâåòà è âûáåðåì êîìàíäó Ãîìîòåòèÿ ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ïîÿâëÿåòñÿ äèàëîãîâîå îêíî Ãîìîòåòèÿ. 16.Ââåäåì –1/2 â êà÷åñòâå ìàñøòàáíîãî ìíîæèòåëÿ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå; ùåëêíåì íà êíîïêå Äèàëîãîâîå îêíî Ãîìîòåòèÿ (Windows) Ãîìîòåòèÿ. Ïîÿâëÿþòñÿ òðè îáðàçà, êîòîðûå âäâîå ìåíüøå ïðîîáðàçîâ è ðàñïîëîæåíû íà äðóãîé ñòîðîíå îòíîñèòåëüíî öåíòðà, ÷åì ïðîîáðàçû. 17.Âûäåëèâ òðè íîâûå îáëàñòè, ïîêðàñèì èõ â äðóãîé öâåò. Äëÿ ýòîãî âûáåðåì öâåò èç ïîäìåíþ Öâåò ìåíþ Âèä. 18.Ê âûäåëåííûì íîâûì îáëàñòÿì ñíîâà ïðèìåíèì êîìàíäó Ãîìîòåòèÿ ñ òåì æå êîýôôèöèåíòîì. Îïÿòü èçìåíèì öâåò âíîâü ïîñòðîåííûõ îáëàñòåé. 61 19.Âûäåëèì äðóãèå òðè îáëàñòè èç ïåðâîíà÷àëüíûõ øåñòè è ïîâòîðèì øàãè 15–18. Òåïåðü èìååòñÿ 18 îáëàñòåé: ïî òðè îáëàñòè øåñòè ðàçíûõ öâåòîâ, êàê íà ðèñóíêå. 20.Ïîòàùèì îäíó èëè íåñêîëüêî âåðøèí èñõîäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà è ïîñìîòðèì, êàê ìåíÿåòñÿ ÷åðòåæ. Àíèìàöèÿ è îáúåäèíåíèå îáúåêòîâ Èìååòñÿ ìíîæåñòâî èíûõ ïðèëîæåíèé êîìàíäû Ñâÿçàòü îáúåêòû ìåíþ Ïðàâêà, ÷åì ðàññìàòðèâàåìûå çäåñü. Íàïðèìåð, ìîæíî ñâÿçàòü èçìåðåíèÿ è íàäïèñè.  îïðåäåëåííûõ ñèòóàöèÿõ ýòó êîìàíäó çàìåíÿåò êîìàíäà Îñâîáîäèòü òîãî æå ìåíþ, ïðèìåíèâ êîòîðóþ ìîæíî îñâîáîäèòü òî÷êó îò åå òðàåêòîðèè, òî åñòü ñäåëàòü íåçàâèñèìîé. 62 Ïîñëå øàãà 19 21.Âûäåëèì ëþáîé ìíîãîóãîëüíèê è âûáåðåì êîìàíäó Àíèìàöèÿ ìåíþ Âèä. Òî÷êè, êîòîðûå îïðåäåëÿþò âûäåëåííûé ìíîãîóãîëüíèê — ïÿòü åãî âåðøèí, ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè òî÷êàìè, òî åñòü òî÷êàìè, ïîñòðîåííûìè íà ïóñòîì ìåñòå ÷åðòåæà, à íå íà êàêîì-ëèáî îáúåêòå. Êàê âèäíî, íåçàâèñèìûå òî÷êè, à òàêæå îáúåêòû — ïîòîìêè ýòèõ òî÷åê äâèæóòñÿ ïðè àíèìàöèè ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Ìîæíî çàñòàâèòü èõ äâèãàòüñÿ áîëåå êîíòðîëèðóåìûì îáðàçîì, åñëè ïðåäâàðèòåëüíî ïðèñîåäèíèòü èõ ê êàêîé-òî òðàåêòîðèè. 22.Ùåëêíåì íà êíîïêå Ñòîï ïàíåëè óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì (èëè âûáåðåì êîìàíäó Îñòàíîâèòü àíèìàöèþ ìåíþ Âèä). 23.Âûäåëèì îäíó èç âåðøèí è îäèí èç îòðåçêîâ, ïîñëå ÷åãî âûáåðåì êîìàíäó Ïîìåñòèòü îáúåêò òî÷êà íà îáúåêò îòðåçîê ìåíþ Ïðàâêà. Òî÷êà «ñàäèòñÿ» íà îòðåçîê. Åñëè ïîòàùèòü òî÷êó, òî áóäåò âèäíî, ÷òî îíà ñòàëà äâèãàòüñÿ âäîëü îòðåçêà — òðàåêòîðèè åå äâèæåíèÿ. 24.Ïðèìåíèâ òó æå òåõíèêó, ïîìåùàåì âòîðóþ âåðøèíó íà äðóãîé îòðåçîê. 25.Èíñòðóìåíòîì Öèðêóëü ïîñòðîèì òðè îêðóæíîñòè ëþáûõ ðàäèóñîâ â ëþáîì ïóñòîì ìåñòå ÷åðòåæà (âàæíî, ÷òîáû îêðóæíîñòè íå áûëè ïðèñîåäèíåíû ê êàêîìó-ëèáî îáúåêòó). 26.Òåïåðü ïîìåñòèì îäíó çà äðóãîé Ïîñëå øàãà 25 òðè îñòàâøèåñÿ âåðøèíû íà òðè îêðóæíîñòè. Èòàê, êàæäàÿ âåðøèíà ïîìåùåíà íà ñîáñòâåííóþ òðàåêòîðèþ, ïðÿìîëèíåéíóþ èëè êðóãîâóþ. 27.Âûäåëèì ëþáóþ îáëàñòü, çàòåì âûáåðåì êîìàíäó Àíèìàöèÿ. Êàæäàÿ âåðøèíà äâèæåòñÿ âäîëü ñâîåé òðàåêòîðèè. 28.Äëÿ òîíêîé íàñòðîéêè êàëåéäîñêîïà âîñïîëüçóåìñÿ ïàíåëüþ óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì. ×òîáû ñêîððåêòèðîâàòü äâèæåíèå îòäåëüíîé òî÷êè (èçìåíèòü åå ñêîðîñòü èëè íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ), íóæíî «íàöåëèòüñÿ» íà íåå, òî åñòü âûáðàòü íà ïàíåëè óïðàâëåíèÿ. Ïîèãðàåì ñêîðîñòÿìè íåñêîëüêèõ òî÷åê, à òàêæå ðàçìåðàìè è ìåñòîïîëîæåíèåì òðàåêòîðèé. 29.Íàèãðàâøèñü è íàñëàäèâøèñü âèäîì êàëåéäîñêîïà, ñïðÿ÷åì âñå îáúåêòû, êðîìå ìíîãîóãîëüíèêîâ. Âîò óäîáíûé è áûñòðûé ñïîñîá äëÿ ýòîãî. • Îòìåíèòü âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ. • Âûáðàòü èíñòðóìåíò Òî÷êà, à çàòåì — êîìàíäó Âûäåëèòü âñå òî÷êè ìåíþ Ïðàâêà. • Âûáðàòü êîìàíäó Ñïðÿòàòü òî÷êè ìåíþ Âèä. • Ïîâòîðèòü ïîñëåäíèå äâà ïîëøàãà, ñíà÷àëà âûáðàâ èíñòðóìåíò Öèðêóëü, çàòåì èíñòðóìåíò Îòðåçîê. Îòâåò íà âîïðîñ, çàäàííûé â øàãå 10. Ìíîãîóãîëüíèêè íàêëàäûâàþòñÿ äðóã íà äðóãà, åñëè óãîë V óêëàäûâàåòñÿ â êðóãå öåëîå ÷èñëî ðàç. Êîëè÷åñòâî ìíîãîóãîëüíèêîâ, áåç ó÷åòà ÷èñëà íàëîæåíèé, ðàâíî ýòîìó öåëîìó ÷èñëó. Íàïðèìåð, äëÿ óãëà 36° êîëè÷åñòâî ìíîãîóãîëüíèêîâ ðàâíî 10. 63 Óðîê 7. Íåìíîãî àëãåáðû Íàçâàíèå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà îòðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî, ïîìèìî ñðåäñòâ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé, ïðîãðàììà èìååò íàáîð èíñòðóìåíòîâ, ïîçâîëÿþùèé ðåøàòü àëãåáðàè÷åñêèå è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå çàäà÷è, à òàêæå çàäà÷è ïî êóðñó ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà — êàê â ñèìâîëüíîì, òàê è â ãðàôè÷åñêîì âèäå. Ýòîò óðîê çíàêîìèò ñ íåêîòîðûìè àëãåáðàè÷åñêèìè ïðèìåðàìè. ×òî áóäåì èçó÷àòü • Êàê çàäàòü äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò è èçìåðèòü êîîðäèíàòû òî÷êè. • Êàê îïðåäåëèòü ôóíêöèþ è ïîñòðîèòü åå ãðàôèê. • Êàê èçîáðàçèòü äâà èçìåðåíèÿ â âèäå (x, y) òî÷êè íà ïëîñêîñòè. • Êàê ïîñòðîèòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê. Ñòðîèì ãðàôèê â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ (x, y) Äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò, èíîãäà íàçûâàåìàÿ x–y ïëîñêîñòüþ, ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ñðåäñòâîì âèçóàëèçàöèè â àëãåáðå.  ýòîì ïàðàãðàôå îïðåäåëèì êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü, èçìåðèì êîîðäèíàòû òî÷êè è ïîñòðîèì ãðàôèê ïðîñòîé ôóíêöèè. 1. Îòêðîåì íîâûé ÷åðòåæ è âûáåðåì êîìàíäó Çàäàòü ñèñòåìó êîîðäèíàò ìåíþ Ãðàôèêè. Ñîçäàåòñÿ x–y ñèñòåìà êîîðäèíàò ñ êâàäðàòíûìè ÿ÷åéêàìè ñåòêè è íà÷àëîì â öåíòðå îêíà ÷åðòåæà. 2. Èíñòðóìåíòîì Òî÷êà ïîñòðîèì òî÷êó â ëþáîì ìåñòå, íî âíå îñåé êîîðäèíàò. 64 Ïîñòðîèòü ãðàôèê ìîæíî, íå çàäàâàÿ ïðåäâàðèòåëüíî ñèñòåìó êîîðäèíàò. Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà çàäàåò åå àâòîìàòè­ ÷åñêè â íóæíûõ îáñòîÿòåëüñòâàõ. Ïðè èçìåíåíèè ìàñøòàáà íà øàãå 7, âèäíî, ÷òî îáëàñòü îïðåäå­ ëå­íèÿ ãðàôèêà îãðà­íè÷åíà. ×òîáû èçìåíèòü åå, ñëå­ äóåò ïîòàùèòü ñòðåëêó íà êîíå÷­ íîé òî÷êå ãðàôèêà èëè âûäåëèòü ãðàôèê, âûáðàòü êîìàíäó Ñâîéñòâà, è çàäàòü ãðàíèöû îáëàñòè íà ïàíåëè ñâîéñòâ. 3. Òî÷êà âñå åùå âûäåëåíà, ïîýòîìó ñðàçó âûáåðåì êîìàíäó Êîîðäèíàòû ìåíþ Èçìåðåíèÿ. Íà ýêðàíå ïîÿâëÿþòñÿ èìÿ òî÷êè è åå êîîðäèíàòû. Êîîðäèíàòû ìåíÿþòñÿ ïðè ïåðåòàñêèâàíèè òî÷êè.  ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = x. 4. Âûáåðåì êîìàíäó Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ìåíþ Ãðàôèêè. Ïîÿâëÿåòñÿ äèàëîãîâîå îêíî Íîâàÿ ôóíêöèÿ. 5. Ùåëêíåì íà êíîïêå x Êàëüêóëÿòîðà â äèàëîãîâîì îêíå Äèàëîãîâîå îêíî Íîâàÿ ôóíêöèÿ (Windows) èëè íàáåðåì êëàâèøó <x> íà êëàâèàòóðå. Ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîòîâî. Íà ýêðàíå ïîÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ f(x) = x è åå ãðàôèê y = x. 6. Âûäåëèì ïîñòðîåííûé ãðàôèê è íåçàâèñèìóþ òî÷êó (êîîðäèíàòû êîòîðîé èçìåðÿëè ðàíåå). Òåïåðü âûáåðåì êîìàíäó Ïîìåñòèòü îáúåêò òî÷êà íà îáúåêò ãðàôèê ôóíêöèè ìåíþ Ïðàâêà. Òî÷êà «ñàäèòñÿ» íà ãðàôèê ôóíêöèè. Åñëè ïîòàùèòü òî÷êó, òî áóäåò âèäíî, ÷òî îíà äâèæåòñÿ âäîëü ãðàôèêà, à åå êîîðäèíàòû îêàçûâàþòñÿ ðàâíûìè äðóã äðóãó (÷òî ñîâñåì íå óäèâèòåëüíî äëÿ ôóíêöèè y = x). 7. Ïîòàùèâ ÷èñëîâóþ ìåòêó íà îñÿõ êîîðäèíàò èëè òî÷êó (1, 0) âïðàâî èëè âëåâî, ìû óâèäèì èçìåíåíèå ìàñøòàáà ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ÷èñëà íà îñÿõ êîîðäèíàò àâòîìàòè÷åñêè ïîäñòðàèâàþòñÿ ïîä èçìåíåíèÿ ñåòêè. 8. Ïåðåòàùèì òî÷êó (1, 0) â íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå òàê, ÷òîáû âèäèìàÿ íà ýêðàíå îáëàñòü x ïðîñòèðàëàñü îò –10 äî 10. Èçîáðàæàåì ñåìåéñòâî êðèâûõ «Ïàðàìåòðîì» ìû íàçûâàåì ïåðå­ ìåííóþ, êîòîðàÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå. Áåçóñëîâíî âàæíî èìåòü âîçìîæíîñòü ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè. Îäíàêî íàñòîÿùàÿ ñèëà Æèâîé Ìàòåìàòèêè ïðîÿâëÿåòñÿ, êîãäà âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ïîñòðîèòü ñåìåéñòâî ôóíêöèé, òèïà ìíîæåñòâà ïðÿìûõ y = mx + b. Íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ m è b, çàòåì èñïðàâèì èìåþùóþñÿ ôóíêöèþ òàê, ÷òîáû îíà ñîäåðæàëà ïàðàìåòðû. Íàêîíåö, çàïóñòèì àíèìàöèþ ïàðàìåòðîâ è óâèäèì äèíàìè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ñåìåéñòâà ïðÿìûõ. 9. Âûáåðåì êîìàíäó Íîâûé ïàðàìåòð ìåíþ Ãðàôèêè.  äèàëîãîâîì îêíå ââåäåì m â ïîëå Èìÿ è 2 â ïîëå Çíà÷åíèå. Ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîòîâî (ñì. ðèñ. íà ñ. 66). 10.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëèì ïàðàìåòð b ðàâíûé –1. 65 Êîìàíäà Èçìåíèòü ôóíêöèþ çàìåíÿåòñÿ íà îäíó èç êîìàíä — Èçìåíèòü âû÷èñëåíèå, Èçìåíèòü ïàðàìåòð, Èçìåíèòü êîîðäèíàòû òî÷êè — â çàâèñèìîñòè îò òèïà âûäåëåííîãî îáúåêòà. Êëàâèàòóðíàÿ êîìáèíàöèÿ < +E> (Mac) èëè<Ctrl+E> (Windows) ýêâèâàëåíòíà ýòîé êîìàíäå. Äâîéíîé ùåë÷îê íà îáúåêòå (êðîìå òî÷êè) òàêæå âûçûâàåò ñîîòâåòñòâóþùåå äèàëîãîâîå îêíî. 66 11.Âûäåëèì îïðåäåëåíèå (íî íå ãðàôèê) ôóíêöèè f(x) = x è âûáåðåì êîìàíäó Èçìåíèòü ôóíêöèþ ìåíþ Ïðàâêà. Ïîÿâëÿåòñÿ äèàëîãîâîå îêíî Èçìåíèòü ôóíêöèþ. 12.Òåïåðü îïðåäåëèì ôóíêöèþ òàê: f(x) = m x + b. ×òîáû ââåñòè Äèàëîãîâîå îêíî Íîâûé ïàðàìåòðû m è b, íóæíî ùåëêíóòü ïàðàìåòð (Windows) íà íèõ íà ÷åðòåæå. Çíàêîì óìíîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ *. Ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîòîâî. Îäíîâðåìåííî ìîäèôèöèðóþòñÿ ôóíêöèÿ è ãðàôèê. Ïîñëå ýòîãî ìû èìååì ãðàôèê ôóíêöèè y = 2x – 1, ïîñêîëüêó ìû ñòðîèëè y = mx + b ïðè m = 2 è b = –1. 13.Èçìåíèì çíà÷åíèÿ m è b, âûçûâàÿ äèàëîãîâîå îêíî äâîéíûì ùåë÷êîì. Ïîñòðîèì íåñêîëüêî ãðàôèêîâ âèäà y = mx + b, íàïðèìåð y = 5x + 2, y = –1x – 7, y = 0.5x. Êîíå÷íî, ìíîãîå ìîæíî óçíàòü ìåíÿÿ ïàðàìåòðû âðó÷íóþ, êàê â ïðåäûäóùåì øàãå. Îäíàêî ãîðàçäî áîëüøå èíôîðìàöèè óäàåòñÿ ïîëó÷èòü ïðè àâòîìàòè÷åñêîì (íåïðåðûâíîì èëè ñòóïåí÷àòîì) èçìåíåíèè ïàðàìåòðà. 14.Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ. Çàòåì âûäåëèì ïàðàìåòð m è âûáåðåì êîìàíäó Àíèìàöèÿ (ïàðàìåòð) ìåíþ Âèä. Çíà÷åíèå m óâåëè÷èâàåòñÿ («äâèæåòñÿ»), è îäíîâðåìåííî ìåíÿåòñÿ ãðàôèê ôóíêöèè. Ïðè ýòîì ïîÿâëÿåòñÿ ïàíåëü óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì, êîòîðîé óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè è íàïðàâëåíèÿ èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà. (Íàïîìèíàåì, ÷òî îáçîð ôóíêöèé êíîïîê ïàíåëè íàõîäèòñÿ íà ñ. 41.) 15.Íàæàâ íà êíîïêó Ñòîï, îñòàíîâèì àíèìàöèþ. 16.Âûäåëèì ïàðàìåòð m è âûáåðåì êîìàíäó Ñâîéñòâà ìåíþ Ïðàâêà. Íà ïàíåëè Ñâîéñòâà èçìåíèì óñòàíîâêè òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå, è íàæìåì êíîïêó OK. 17.Ñíîâà âûáåðåì êîìàíäó Àíèìàöèÿ (ïàðàìåòð). ×åì îòëè÷àåòñÿ íîâûé âàðèàíò èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà Äèàëîãîâîå îêíî Ñâîéñòâà ïàðàìåòðà îò ïðåäûäóùåãî? (Windows) 18.Ïðîäîëæàåì ýêñïåðèìåíòèðîâàòü ñ àíèìàöèåé ïàðàìåòðîâ. Ïîïðîáóåì îäíîâðåìåííî èçìåíåíÿòü îáà ïàðàìåòðà, ïîïðîáóåì òàêæå ñëåäèòü (êîìàíäà Îñòàâëÿòü ñëåä ìåíþ Âèä) çà ãðàôèêîì. Èññëåäóåì ôóíêöèè, çàâèñÿùèå îò ðàäèóñà îêðóæíîñòè Çàâèñèìîñòü äëèíû îêðóæíîñòè è ïëîùàäè êðóãà îò ðàäèóñà — ïðèìåðû ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ôóíêöèè è ïîýòîìó ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ ñ àëãåáðàè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ. ×òîáû âûáðàòü èíñòðóìåíò Ëó÷, ñëåäóåò íàæàòü êëàâèøó íà çíà÷êå Ëèíåéêà (êàêîé áû èíñòðóìåíò íè áûë îòîáðàæåí íà íåé) è ïðîòàùèòü ìûøü äî èçîáðàæåíèÿ íóæíîãî èíñòðóìåíòà, à çàòåì îòïóñòèòü êëàâèøó. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ, ÷òîáû âûáðàòü êîìàíäó ìåíþ Èçìåðåíèÿ, íàäî âûäåëèòü òîëüêî îêðóæíîñòü (è íè÷åãî áîëåå).  ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îñè ìîãóò èìåòü íåçàâèñèìûå ìàñøòàáû.  ëþáîé ìîìåíò ñëåäû ñòèðàþòñÿ ïðè âûïîëíåíèè êîìàíäû Ñòåðåòü ñëåäû ìåíþ Âèä. Íà÷íåì ñ ïîñòðîåíèÿ îêðóæíîñòè, ðàäèóñ êîòîðîé ïðèíèìàåò âñåâîçìîæíûå çíà÷åíèÿ. 19.Ïðè ïîìîùè èíñòðóìåíòà Ëó÷ ïîñòðîèì íà íîâîì ÷åðòåæå ãîðèçîíòàëüíûé ëó÷. Ïðîâåñòè ëó÷ ãîðèçîíòàëüíî ëåã÷å, óäåðæèâàÿ êëàâèøó <Shift>. 20.Ïîñêîëüêó ëó÷ âñå åùå âûäåëåí, âûáåðåì êîìàíäó Ïîìåñòèòü íîâóþ òî÷êó íà îáúåêò ëó÷ ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ.  êàêîì-òî ìåñòå íà ëó÷å ïîñòðîåíà òî÷êà. Òî÷êó ìîæíî áûëî áû ïîñòðîèòü, ùåëêíóâ íà ëó÷å (íåçàâèñèìî îò òîãî, âûäåëåí ëè îí) èíñòðóìåíòîì Òî÷êà. 21.Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ. Òåïåðü âûäåëèì íà÷àëî ëó÷à è çàòåì ïîñòðîåííóþ íà øàãå 20 òî÷êó. Âûáåðåì êîìàíäó Îêðóæíîñòü ïî öåíòðó è òî÷êå ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ. Ïîñòðîåíà îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â Øàã 21 ïåðâîé âûäåëåííîé òî÷êå è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âòîðóþ. (Çàìåòèì, ÷òî ïîñòðîåííóþ íà øàãàõ 20 è 21 êîíñòðóêöèþ ìîæíî áûëî áû ñîçäàòü èíñòðóìåíòîì Öèðêóëü). 22.Èçìåðèì ðàäèóñ îêðóæíîñòè, åå äëèíó è ïëîùàäü êðóãà. 23.Ïîòàùèì òî÷êó, êîòîðàÿ çàäàåò ðàäèóñ îêðóæíîñòè, è ïîíàáëþäàåì çà èçìåíåíèÿìè èçìåðåíèé. Êàê èçìåíÿþòñÿ äëèíà îêðóæíîñòè è ïëîùàäü êðóãà?  ÷åì ðàçëè÷èå ìåæäó íèìè? Èññëåäóåì ýòè âîïðîñû ãðàôè÷åñêè. 24.Âûäåëèì èçìåðåíèå ðàäèóñà, çàòåì èçìåðåíèå äëèíû îêðóæíîñòè. Âûáåðåì êîìàíäó Ïîñòðîèòü òî÷êó (x, y) ìåíþ Ãðàôèêè. Ñîçäàåòñÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò è ñòðîèòñÿ òî÷êà. Åñëè òî÷êà íå âèäíà, òî, ñêîðåå âñåãî, îíà íàõîäèòñÿ âíå âèäèìîé îáëàñòè ýêðàíà. 25.Âûáåðåì Ïðÿìîóãîëüíóþ ñåòêó èç ïîäìåíþ Ôîðìà ñåòêè ìåíþ Ãðàôèêè. Ïîòàùèì âíèç íîâóþ åäèíè÷íóþ òî÷êó (0, 1), ïîêà íå ïîÿâèòñÿ òî÷êà, ïîñòðîåííàÿ íà øàãå 24. ßñíî, ÷òî x-êîîðäèíàòà — ýòî ðàäèóñ îêðóæíîñòè, à y-êîîðäèíàòà — äëèíà îêðóæíîñòè. Èìåííî òàêèì áûëî ïîñòðîåíèå íà øàãå 24. 26.Âûäåëèì ïîñòðîåííóþ òî÷êó è âûáåðåì êîìàíäó Îñòàâëÿòü ñëåä ìåíþ Âèä. Ïîòàùèì òî÷êó, êîòîðàÿ çàäàåò ðàäèóñ îêðóæíîñòè, è óâèäèì ñëåä ïîñòðîåííîé òî÷êè ñ çàäàííûìè êîîðäèíàòàìè. 67 Áîëåå òî÷íî, ÃÌÒ â ïðîãðàììå — ýòî íåêîòîðîå ÷èñëî ïîëîæåíèé âåäîìîãî îáúåêòà. ×òîáû èçìåíèòü ýòî ÷èñëî, íóæíî âûäåëèòü ÃÌÒ è âûáðàòü êîìàíäó Ñâîéñòâà ìåíþ Ïðàâêà. Íàæàâ íà ïåðåêëþ÷àòåëü Ïàðàìåòð íà âêëàäêå Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê çàäàòü ×èñëî äèñêðåòíûõ ïîëîæåíèé.  ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ (êîãäà îòñëåæèâàåòñÿ îáúåêò ïðè äâèæåíèè íåêîòîðîé òî÷êè âäîëü òðàåêòîðèè) ìîæíî ïîëó÷èòü áîëåå òî÷íóþ êàðòèíó, ñîçäàâ îáúåêò — ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê (ÃÌÒ). 27.Âûäåëèì ïîñòðîåííóþ òî÷êó è òî÷êó, êîòîðàÿ çàäàåò ðàäèóñ îêðóæíîñòè, à çàòåì âûáåðåì êîìàíäó Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ. Ñîçäàåòñÿ ÃÌÒ — ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ ïîëîæåíèé âåäîìîãî îáúåêòà (ïîñòðîåííîé òî÷êè) ïðè äâèæåíèè âåäóùåãî îáúåêòà (òî÷êè, çàäàþùåé ðàäèóñ). 28.Îñòàëîñü ïîâòîðèòü øàãè 24 è 27, âçÿâ íà ýòîò ðàç ïëîùàäü êðóãà âìåñòî äëèíû îêðóæíîñòè. Èìååì äâà ÃÌÒ. Êàê âåäóò ñåáÿ ýòè êðèâûå? Êàêàÿ âåëè÷èíà ðàñòåò áûñòðåå è ïî÷åìó? Ýòî áûë ëèøü íåáîëüøîé ïðèìåð àëãåáðàè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ â ïðîãðàììå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà. Ãëàâà «Ìåíþ Ãðàôèêè» Ñïðàâî÷íîé ñèñòåìû (ìåíþ Ñïðàâêà) ñîäåðæèò äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ îá àëãåáðàè÷åñêèõ âîçìîæíîñòÿõ ïðîãðàììû. 68 Óðîê 8. Èòåðàöèè Èòåðàöèè — ìîùíûé è ñëîæíûé ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòðóìåíò. Íå îãîð÷àéòåñü, åñëè íå âñå ñòàíåò àáñîëþòíî ÿñíî ïðè ïåðâîé âñòðå÷å. Áóäåì íàäåÿòüñÿ, ÷òî, ïðîéäÿ ýòîò óðîê, âû ïðîäîëæèòå çíàêîìñòâî, áóäåòå ñàìîñòîÿòåëüíî ýêñïåðèìåíòèðîâàòü è ñòàíåòå ÷óâñòâîâàòü ñåáÿ âñå áîëåå óâåðåííî â ïðèìåíåíèè èòåðàöèé. Ïðèìåíåíèå èòåðàöèè äàåò âîçìîæíîñòü ìíîãîêðàòíî âîñïðîèçâîäèòü êîíñòðóêöèè èëè ïðåîáðàçîâàíèÿ. Èòåðàöèÿ ïîçâîëÿåò íå òîëüêî ýêîíîìèòü âðåìÿ ïîñòðîåíèÿ êîíñòðóêöèè ñ ïîâòîðÿþùèìèñÿ ýëåìåíòàìè, íî è ñîçäàâàòü ñëîæíûå êîíñòðóêöèè, òèïà ôðàêòàëîâ. Ãðóáî ãîâîðÿ, ôðàêòàë — ýòî ôèãóðà, êîòîðàÿ âûãëÿäèò íåèçìåííî ïðè ëþáîì óâåëè÷åíèè. Èíûìè ñëîâàìè, ëþáàÿ ÷àñòü ôèãóðû ïîäîáíà âñåé ôèãóðå. Íà÷íåì ñ ïîñòðîåíèÿ, êîòîðîå âêëþ÷àåò â ñåáÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ãîìîòåòèè è ïîâîðîòà. Ïîòîì, ïðèìåíÿÿ êîìàíäó Èòåðàöèè, áóäåì ñòðîèòü âñå áîëåå ìåëêèå ÷àñòè ôèãóðû ïðè ïîìîùè îäíîé è òîé æå êîíñòðóêöèè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ôðàêòàë, íàçûâàåìûé êðèâîé Êîõà. Çàòåì, ïðèìåíèâ äðóãîé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ, ïîñòðîèì âíóòðåííþþ îáëàñòü ýòîé êðèâîé. Ïîëó÷åííóþ ôèãóðó ïðåîáðàçóåì â èíñòðóìåíò ïîëüçîâàòåëÿ, êîòîðûé, áóäó÷è ïðèìåíåí ê âåðøèíàì ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà, ñîçäàñò êðàñèâóþ êîíñòðóêöèþ — ñíåæèíêó Êîõà. ×òî áóäåì èçó÷àòü • Êàê âîñïîëüçîâàòüñÿ êîìàíäîé Èòåðàöèè. • Êàê óïðàâëÿòü ïîÿâëåíèåì íà ýêðàíå îáðàçîâ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà. • Êàê èçìåíèòü ãëóáèíó èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà. • Êàê ïîìåíÿòü öâåò ôîíà ÷åðòåæà. 69 ×òî òàêîå êðèâàÿ Êîõà Ïðåæäå âñåãî ïîïûòàåìñÿ ïîíÿòü, ÷òî òàêîå êðèâàÿ Êîõà è êàê îíà óñòðîåíà. Âïåðâûå ýòà êðèâàÿ áûëà îïèñàíà Êîõîì (Helge von Koch) â 1904 ãîäó, çàäîëãî äî òîãî âðåìåíè, êîãäà ïîÿâèëñÿ ðàçäåë ìàòåìàòèêè, íàçûâàåìûé ôðàêòàëüíîé ãåîìåòðèåé. Êîõ èçó÷àë êðèâóþ, òåïåðü íîñÿùóþ åãî èìÿ, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî êðèâàÿ, êîòîðàÿ íå âûõîäèò çà ïðåäåëû êîíå÷íîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, ìîæåò èìåòü áåñêîíå÷íóþ äëèíó. Âîò êàê îí ýòî äåëàë. • Íà÷èíàåòñÿ ñ ïîñòðîåíèÿ äâóõ òî÷åê. • Ìåæäó òî÷êàìè ñòðîèòñÿ îòðåçîê, êîòîðûé äåëèòñÿ íà òðè ðàâíûå ÷àñòè. Ìàòåìàòè÷åñêè âûðàæåíèå «ñäåëàòü òî æå ñàìîå» ýêâèâàëåíòíî òåðìèíó èòåðàöèè. ×åòâåðòàÿ ôèãóðà íà ðèñóíêå ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì îáðàçîì èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà. • Ñðåäíÿÿ ÷àñòü óäàëÿåòñÿ, íàä óäàëåííîé ÷àñòüþ ñòðîÿòñÿ ñòîðîíû ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà. • Îïèñàííûé ïðîöåññ ïîâòîðÿåòñÿ ïðèìåíèòåëüíî ê êàæäîìó èç ÷åòûðåõ ìåíüøèõ îòðåçêîâ. • Ïîñòðîåíèå ïðèìåíÿåòñÿ (àíàëîãè÷íûì îáðàçîì) êî âñå ìåíüøèì è ìåíüøèì îòðåçêàì (òåîðåòè÷åñêè — äî áåñêîíå÷íîñòè). Âîò êàê ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò äåìîíñòðèðóåò, ÷òî êðèâàÿ â êîíå÷íîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà ìîæåò èìåòü áåñêîíå÷íóþ äëèíó. Íà êàæäîì øàãå ïîñòðîåíèÿ äëèíà êðèâîé áîëüøå, ÷åì íà ïðåäûäóùåì (èíòåðåñíî, âî ñêîëüêî ðàç?). Åñëè ïðîöåññ ïîâòîðÿåòñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç, òî êðèâàÿ îñòàåòñÿ çàêëþ÷åííîé â êîíå÷íîé îáëàñòè, à åå äëèíà ñòàíîâèòñÿ íåîãðàíè÷åííî áîëüøîé. Ðàçóìååòñÿ, Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà íå â ñîñòîÿíèè ïîñòðîèòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî èòåðàöèé, íî èõ ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íî ìíîãî, ÷òîáû ïðîÿñíèòü ñòðóêòóðó êðèâîé Êîõà è äðóãèõ ôðàêòàëîâ. Íà ýòîì óðîêå ïîïðîáóåì çàäàâàòü ðàçíóþ ãëóáèíó èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà. Ìû óâèäèì, ÷òî íå î÷åíü áîëüøàÿ ãëóáèíà ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íî òî÷íîå ïðèáëèæåíèå ê êðèâîé Êîõà. 70 Îïðåäåëÿåì ïðîîáðàç è îáðàç  ïåðâóþ î÷åðåäü ïðè ïîñòðîåíèè èòåðàöèé ñëåäóåò ñêîíñòðóèðîâàòü îñíîâíûå îïåðàöèè, êîòîðûå äîëæíû ïîâòîðÿòüñÿ.  äàííîì ñëó÷àå îñíîâíûìè îïåðàöèÿìè ÿâëÿþòñÿ: äåëåíèå îòðåçêà íà òðè ÷àñòè è ïîñòðîåíèå ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà íàä ñðåäíåé ÷àñòüþ. 1. Íà íîâîì ÷åðòåæå âûáåðåì êîìàíäó Íàñòðîéêè/Åäèíèöû ìåíþ Ïðàâêà. Íà âêëàäêå Òåêñò âûáåðåì îïöèþ Ïîêàçûâàòü èìåíà âñåõ íîâûõ òî÷åê. Íàæìåì êíîïêó OK. Òåïåðü èìåíà âñåõ âíîâü ñîçäàâàåìûõ òî÷åê àâòîìàòè÷åñêè îòîáðàæàþòñÿ íà ýêðàíå. 2. Èíñòðóìåíòîì Îòðåçîê ïîñòðîèì (óäåðæèâàÿ êëàâèøó <Shift>) Ïîñëå øàãà 2 ãîðèçîíòàëüíûé îòðåçîê ñëåâà íàïðàâî. 3. Âûäåëèì òî÷êó B è âûáåðåì êîìàíäó Îòìåòèòü öåíòð ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ. 4. Âûäåëèì òî÷êó A è âûáåðåì êîìàíäó Ãîìîòåòèÿ ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ.  äèàëîãîâîì îêíå îñòàâèì ÷èñëèòåëü ðàâíûì 1, à çíàìåíàòåëü óñòàíîâèì ðàâíûì 3. Ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîìîòåòèÿ. Ïîñòðîåíà òî÷êà íà ðàññòîÿíèè Äèàëîãîâîå îêíî Ãîìîòåòèÿ (Windows) 1/3 îò òî÷êè B äî òî÷êè A. 5. Ïîâòîðèì øàãè 3 è 4, íî íà ýòîò ðàç ïðîèçâåäåì ïðåîáðàçîâàíèå ãîìîòåòèè òî÷êè B ñ öåíòðîì â òî÷êå A. Ïîñëå øàãà 5 6. Äâîéíûì ùåë÷êîì îòìåòèì òî÷êó B' êàê öåíòð. 7. Âûäåëèì òî÷êó A' è âûáåðåì êîìàíäó Ïîâåðíóòü ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ.  äèàëîãîâîì îêíå óñòàíîâèì óãîë, êàê íà ðèñóíêå. Íàæìåì êíîïêó Ïîâåðíóòü. Ïîÿâëÿåòñÿ òî÷êà — îáðàç ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîâîðîòà. Äèàëîãîâîå îêíî Ïîâîðîò (Windows) 8. Ñïðÿ÷åì èñõîäíûé îòðåçîê. 9. Èíñòðóìåíòîì Îòðåçîê ñîåäèíèì ïÿòü òî÷åê òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. 10.Ïåðåèìåíóåì òðè ñðåäíèå òî÷êè, êàê íà ðèñóíêå. ×òîáû èçìåíèòü èìÿ, íóæíî äâàæäû ùåëêíóòü íà èìåíè èíñòðóìåíòîì Ñòðåëêà èëè èíñòðóìåíòîì Òåêñò. Ïîñëå øàãà 10 71 Èòåðàöèè Íåìíîãî ïîäóìàåì î òîì, ÷òî «ñäåëàíî» ñ òî÷êàìè A è B. Ñíà÷àëà áûë ïîñòðîåí îòðåçîê ìåæäó íèìè, çàòåì ñäåëàíû íåêîòîðûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, à ñàì îòðåçîê áûë ñïðÿòàí. Òåïåðü âîîáðàçèì, ÷òî òî æå ñàìîå «äåëàåòñÿ» ñ ïàðàìè òî÷åê: A è C, C è D, D è E, E è B. Èìåííî ýòî ìû áóäåì ñåé÷àñ äåëàòü. Ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî òàêîé âçãëÿä ïîìîæåò ïîíÿòü ëîãèêó ïîñòðîåíèÿ. 11.Âûäåëèì òî÷êè A è B è âûáåðåì êîìàíäó Èòåðàöèè ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ïîÿâëÿåòñÿ äèàëîãîâîå îêíî Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ, â êîòîðîì ïðåäëàãàåòñÿ óñòàíîâèòü ñîîòâåòñòâèå ñ ïðîîáðàçàìè A è B. Øàã 12. Ùåë÷îê íà òî÷êå A îòîáðàæàåò åå íà ñåáÿ Ýêâèâàëåíòîì îïöèè Äîáàâèòü íîâîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ êîìáèíàöèÿ êëàâèø < +A> (Mac OS) èëè <Ctrl+A> (Windows). 72 12.Ìû õîòèì, ÷òîáû «ñäåëàííîå» ñ òî÷êàìè A è B, áûëî áû âîñïðîèçâåäåíî («ñäåëàíî») ñ òî÷êàìè A è C. Ïîýòîìó, ùåëêíóâ íà òî÷êå A íà ÷åðòåæå, îòîáðàæàåì òî÷êó A íà ñåáÿ. Çàòåì ùåëêíåì íà òî÷êå C, ÷òîáû îòîáðàçèòü òî÷êó B íà òî÷êó C.  êîëîíêå 1-ÿ èòåðàöèÿ äèàëîãîâîãî îêíà Èòåðàöèè äîëæíû áûòü èìåíà A è C. 13.Âûáåðåì îïöèþ Äîáàâèòü íîâîå îòîáðàæåíèå èç ðàñêðûâàþùåãîñÿ ìåíþ Ñòðóêòóðà â äèàëîãîâîì îêíå Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ. Ïîÿâëÿåòñÿ êîëîíêà âòîðîãî îòîáðàæåíèÿ (Îòîáðàæ. ¹2), â êîòîðîé íóæíî óêàçàòü íîâûå òî÷êè — îáðàçû òî÷åê A è B. 14.Íà ýòîò ðàç ùåëêíåì ïî î÷åðåäè íà òî÷êàõ C è D, ÷òîáû îíè ñûãðàëè ðîëè A è B, ñîîòâåòñòâåíî. 15.Ïîâòîðèì øàãè 13 è 14 äëÿ òî÷åê D è E, à çàòåì äëÿ òî÷åê E è B. Ïî÷òè âñå ãîòîâî, ÷òîáû âûïîëíèòü èòåðàöèè. Çàìåòèì òîëüêî, ÷òî áîëüøèé îòðåçîê ìû íå ïðÿòàëè ïðè ïåðåõîäå ñ îäíîãî óðîâíÿ èòåðàöèè íà äðóãîé. Ñäåëàåì ýòî íåìíîãî ïîçæå. (Åñëè âû íå âïîëíå ïîíèìàåòå, î ÷åì èäåò ðå÷ü, òî ïðîäåëàéòå ñëåäóþùèé øàã è ïîñìîòðèòå, ÷òî ïðîèñõîäèò íà ÷åðòåæå.) 16.Âûáåðåì îïöèþ Ïîêàçàòü îáðàçû òîëüêî ïîñëåäíåé èòåðàöèè èç ðàñêðûâàþùåãîñÿ ìåíþ Ïàðàìåòðû äèàëîãîâîãî îêíà Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ. 17.Åñëè äèàëîãîâîå îêíî âûãëÿäèò, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå, íàæìåì êíîïêó Âûïîëíèòü.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñëåäóåò íàæàòü ÿ÷åéêó ñ îøèáî÷íîé çàïèñüþ è ùåëêíóòü íà ïðàâèëüíîé òî÷êå. 18.Ñïðÿ÷åì ÷åòûðå èñõîäíûõ îòðåçêà. Èòàê, ïîñòðîåí ôðàêòàë — êðèâàÿ Êîõà. Áîëåå òî÷íî, ïîñòðîåíî êîíå÷íîå ÷èñëî èòåðàöèé — ïðèáëèæåíèå ê êðèâîé Êîõà. Ïîòàùèòå òî÷êè A è B, ÷òîáû ëó÷øå ðàññìîòðåòü êîíñòðóêöèþ. Ãëóáèíà èòåðàöèè, öâåò ôîíà è âûâîä âñåõ îáðàçîâ Óâåëè÷èòü (óìåíüøèòü) ÷èñëî èòåðàöèé, ìîæíî ïîëüçóÿñü êëàâèøàìè <+> (<–>). Ïî óìîë÷àíèþ ïðîãðàììà ñòðîèò òðè øàãà èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà. Ìîæíî èçìåíèòü ÷èñëî èòåðàöèé, èëè ãëóáèíó èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà, òåì ñàìûì ìåíÿÿ êðèâóþ. 19.Âûäåëèì ëþáóþ ÷àñòü èòåðàöèîííîãî îáðàçà è íàæìåì êëàâèøó <+> èëè <–> íà êëàâèàòóðå. ×èñëî èòåðàöèé óâåëè÷èâàåòñÿ èëè óìåíüøàåòñÿ. 20.Ñíîâà óñòàíîâèì ãëóáèíó èòåðàöèè ðàâíóþ 3. Ïðîùå âñåãî ñäåëàòü ýòî òàê: íàæèìàòü êëàâèøó <–> äî òåõ ïîð, ïîêà ãëóáèíà èòåðàöèè íå ïåðåñòàíåò ìåíÿòüñÿ, òî åñòü äî ãëóáèíû 1, à ïîòîì íàæàòü <+> äâà ðàçà. Ìû ñîáèðàåìñÿ ñäåëàòü ñíåæèíêó, ïîýòîìó óñòàíîâèì ãîëóáîé öâåò ôîíà. 73 21.Âûáåðåì êîìàíäó Íàñòðîéêè/Åäèíèöû è â äèàëîãîâîì îêíå îòêðîåì ïàíåëü Öâåò. Çàòåì ùåëêíåì íà ÿ÷åéêå Ôîí è óñòàíîâèì íåáåñíî-ãîëóáîé öâåò ïðè ïîìîùè Êîíñòðóêòîðà öâåòà. Ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîòîâî (OK). Òåïåðü ñîçäàäèì âòîðîé îáðàç èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà — âíóòðåííîñòü ìíîãîóãîëüíèêà áåëîãî öâåòà — ñîáñòâåííî ñíåæèíêó. 22.Âûäåëèì òî÷êè C, D è E è âûáåðåì êîìàíäó Âíóòðåííÿÿ îáëàñòü ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ. 23.Âíóòðåííîñòü âûäåëåíà, ïîýòîìó, âûáðàâ êîìàíäó Öâåò ìåíþ Âèä, Øàã 22 îòêðûâàåì Êîíñòðóêòîð öâåòà è óñòàíàâëèâàåì áåëûé öâåò. Ùåëêàåì íà êíîïêå Ãîòîâî. 24.Ñíîâà ïðîõîäèì øàãè 11–15. (Íà øàãå 16 ìû âûáðàëè îïöèþ Ïîêàçàòü îáðàçû òîëüêî ïîñëåäíåé èòåðàöèè èç ðàñêðûâàþùåãîñÿ ìåíþ Ïàðàìåòðû äèàëîãîâîãî îêíà Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ. Òåïåðü ìû âûáèðàåì îïöèþ Ïîêàçàòü îáðàçû âñåõ ïðîìåæóòî÷íûõ èòåðàöèé.) Ùåëêíåì íà êíîïêå Âûïîëíèòü. 25.Ïîïûòàåìñÿ óâåëè÷èâàòü è óìåíüøàòü ãëóáèíó îáîèõ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ (äëÿ êðèâîé è âíóòðåííîñòè) îäíîâðåìåííî. Äëÿ ýòîãî íóæíî âûäåëèòü âñå è íàæèìàòü êëàâèøè <+> è <–>, êàê íà øàãå 19. 26.Ñïðÿ÷åì òî÷êè C, D è E. Ñíåæèíêà Êîõà ×òîáû ðàçãëÿäåòü íîâóþ òî÷êó — îáðàç ïðè ïîâîðîòå, âîçìîæíî, ïîòðåáóåòñÿ ïðîêðóòèòü ýêðàí èëè óâåëè÷èòü ðàçìåð ÷åðòåæà. ×òî ïðîèçîéäåò, åñëè ùåëêàòü íà òî÷êàõ â îáðàòíîì îïèñàííîìó íà øàãå 31 ïîðÿäêå? Ïîïðîáóéòå. 74 Òåïåðü ñîâñåì íåñëîæíî ïîñòðîèòü êðàñèâóþ ôèãóðó, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ñíåæèíêîé Êîõà. Äëÿ ýòîãî ñîçäàåòñÿ èíñòðóìåíò ïîñòðîåíèÿ ôèãóðû, êîòîðàÿ áûëà ñäåëàíà «âðó÷íóþ». Çàòåì ñòðîèòñÿ ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê è ïðèìåíÿåòñÿ íîâûé èíñòðóìåíò. 27.Âûáåðåì êîìàíäó Âûäåëèòü âñå ìåíþ Ïðàâêà. 28.Âûáåðåì êîìàíäó Ñîçäàòü íîâûé èíñòðóìåíò, ùåëêíóâ íà çíà÷êå Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ èç íàáîðà èíñòðóìåíòîâ.  äèàëîãîâîì îêíå Ñîçäàòü íîâûé èíñòðóìåíò ââåäåì èìÿ Ñíåæèíêà. Ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîòîâî. 29.Ïîâåðíåì òî÷êó A íà 60° âîêðóã òî÷êè B. Äâîéíûì ùåë÷êîì íà òî÷êå B îòìå÷àåì åå êàê öåíòð, âûäåëÿåì òî÷êó A è âûáèðàåì êîìàíäó Ïîâåðíóòü ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ. Çíà÷åíèå óãëà äîëæíî áûòü ðàâíûì 60°. Ùåëêíåì íà êíîïêå Ïîâåðíóòü. 30.Ïîñòðîèì âíóòðåííîñòü òðåóãîëüíèêà ïî òðåì òî÷êàì: A, B è îáðàçó ïðè ïîâîðîòå. (Íà øàãå 22 äåëàëîñü òî æå ñàìîå.) 31.Ïðèìåíèì èíñòðóìåíò Ñíåæèíêà ê äâóì äðóãèì ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà, äëÿ ÷åãî, âûáðàâ ýòîò èíñòðóìåíò èç ìåíþ Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ, ùåëêíåì ïî î÷åðåäè íà òî÷êàõ B è A', à çàòåì — íà òî÷êàõ A' è A. 32.Ñïðÿ÷åì âñå òî÷êè è ñîõðàíèì ÷åðòåæ. Âñå óðîêè ïðîéäåíû, çàäàíèÿ âûïîëíåíû. Òåïåðü ìîæíî íåìíîãî îòäîõíóòü, à çàòåì ïåðåéòè ê ñàìîñòîÿòåëüíûì èññëåäîâàíèÿì. 75 Ïðèëîæåíèå. Îáçîð êîìàíä Çäåñü îïèñûâàåòñÿ ñîäåðæàíèå âñåõ êîìàíä ìåíþ Æèâîé Ìàòåìàòèêè. Áîëåå ïîäðîáíóþ èíôîðìàöèþ ìîæíî íàéòè â ñïðàâî÷íîé ñèñòåìå (ìåíþ Ñïðàâêà). Ìåíþ Ôàéë Íîâûé ÷åðòåæ Îòêðûâàåò íîâûé ïóñòîé äîêóìåíò Îòêðûòü Îòêðûâàåò îäèí èëè íåñêîëüêî ðàíåå ñîõðàíåííûõ äîêóìåíòîâ. Ñîõðàíèòü Ñîõðàíÿåò àêòèâíûé äîêóìåíò ñ èçìåíåíèÿìè, ñäåëàííûìè ïîñëå òîãî, êàê îí áûë îòêðûò. Ñîõðàíèòü êàê… Ïðèñâàèâàåò èìÿ è ñîõðàíÿåò àêòèâíûé äîêóìåíò â óêàçàííîì ìåñòå. Çàêðûòü… Çàêðûâàåò îêíî äîêóìåíòà. Íàñòðîéêè äîêóìåíòà Óïðàâëÿåò ñòðàíèöàìè è èíñòðóìåíòàìè, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ â äîêóìåíòå. Ïàðàìåòðû ïå÷àòè Óñòàíàâëèâàåò ðàçìåð ñòðàíèöû, åå îðèåíòàöèþ è äðóãèå îïöèè ïå÷àòè äîêóìåíòà. Ïðåäâàðèòåëüíûé ïðîñìîòð Îòîáðàæàåò íà ýêðàíå äîêóìåíò â âèäå, â êîòîðîì îí áóäåò íàïå÷àòàí. Ïå÷àòü Ïå÷àòàåò òåêóùóþ ñòðàíèöó àêòèâíîãî äîêóìåíòà. Âûõîä Çàêðûâàåò âñå îòêðûòûå äîêóìåíòû è ïðîãðàììó. Åñëè êàêîé-ëèáî ÷åðòåæ íå áûë ñîõðàíåí äî âûõîäà èç ïðîãðàììû, òî îí ìîæåò áûòü ñîõðàíåí ïðè âûïîëíåíèè ýòîé êîìàíäû (çàïðîñ íà ñîõðàíåíèå ÷åðòåæà). Ìåíþ Ïðàâêà 76 Îòìåíèòü Îòìåíÿåò ïîñëåäíåå âûïîëíåííîå ïðîãðàììîé äåéñòâèå. Âåðíóòü îòìåíåííîå äåéñòâèå Âîññòàíàâëèâàåò ðàíåå îòìåíåííîå äåéñòâèå. Âûðåçàòü Óäàëÿåò âûäåëåííûå è çàâèñèìûå îò íèõ îáúåêòû è ïîìåùàåò èõ â áóôåð îáìåíà. Êîïèðîâàòü Ïîìåùàåò êîïèè âûäåëåííûõ îáúåêòîâ â áóôåð îáìåíà. Âñòàâèòü Âñòàâëÿåò ñîäåðæèìîå áóôåðà îáìåíà â àêòèâíûé ÷åðòåæ. Óäàëèòü Óäàëÿåò âûäåëåííûå è çàâèñèìûå îò íèõ îáúåêòû. Êíîïêè Ñîçäàåò îäíó èñïîëíèòåëüíóþ êíîïêó èç íàáîðà. (Êíîïêè — ýòî îáúåêòû ÷åðòåæà, êîòîðûå âûïîëíÿþò îïðåäåëåííîå äåéñòâèå, íàïðèìåð, çàïóñêàþò àíèìàöèþ èëè ïðÿ÷óò îáúåêòû.) Âûäåëèòü âñå Âûäåëÿåò âñå îáúåêòû íà ÷åðòåæå, åñëè àêòèâíû èíñòðóìåíò Ñòðåëêà èëè Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ. Èíà÷å âûäåëÿåò òå îáúåêòû, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò àêòèâíîìó èíñòðóìåíòó. Âûäåëèòü ïðåäêîâ Âûäåëÿåò âñåõ ïðåäêîâ âñåõ âûäåëåííûõ îáúåêòîâ. (Ïðåäêàìè îáúåêòà ÿâëÿþòñÿ òå îáúåêòû, îò êîòîðûõ äàííûé îáúåêò íåïîñðåäñòâåííî çàâèñèò.) Âûäåëèòü ïîòîìêîâ Âûäåëÿåò âñåõ ïîòîìêîâ âñåõ âûäåëåííûõ îáúåêòîâ. (Ïîòîìêàìè îáúåêòà ÿâëÿþòñÿ òå îáúåêòû, êîòîðûå íåïîñðåäñòâåííî çàâèñÿò îò äàííîãî.) Îñâîáîäèòü èëè ñâÿçàòü îáúåêòû Èçìåíÿåò îòíîøåíèÿ ìåæäó îáúåêòàìè: îñâîáîæäàåò òî÷êè îò èõ ïðåäêîâ, ñîâìåùàåò òî÷êè è ïîìåùàåò òî÷êè íà òðàåêòîðèè, à òàêæå îáúåäèíÿåò òåêñòîâûå îáúåêòû. Èçìåíèòü îïðåäåëåíèå (Èçìåíèòü âû÷èñëåíèå, Èçìåíèòü ôóíêöèþ, Èçìåíèòü ïàðàìåòð, Èçìåíèòü êîîðäèíàòû òî÷êè) Ïðåäîñòàâëÿåò âîçìîæíîñòü èçìåíèòü âûäåëåííîå âû÷èñëåíèå èëè ôóíêöèþ ëèáî ïàðàìåòð, à òàêæå êîîðäèíàòû âûäåëåííîé òî÷êè. Ñâîéñòâà Ïðåäîñòàâëÿåò âîçìîæíîñòü èçìåíèòü ñâîéñòâà âûäåëåííîãî îáúåêòà. Íàñòðîéêè/ Åäèíèöû… Ïîçâîëÿåò çàäàòü óñòàíîâêè ïðîãðàììû. 77 Ìåíþ Âèä Ïîêàçàòü/ Ñïðÿòàòü èìåíà Ïîêàçûâàåò èëè ïðÿ÷åò èìåíà âûäåëåííûõ îáúåêòîâ. Ïåðåèìåíîâàòü… Ïîçâîëÿåò äàòü íîâîå èìÿ è íîâûå ñâîéñòâà îäíîìó âûäåëåííîìó îáúåêòó èëè ïðèñâîèòü ìíîæåñòâó îáúåêòîâ îïðåäåëåííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìåí. Îñòàâëÿòü ñëåä Ïåðåêëþ÷àòåëü (òèïà Äà–Íåò) óïðàâëÿåò ðåæèìîì ïîêàçà ñëåäîâ âûäåëåííûõ îáúåêòîâ. Ñòåðåòü ñëåäû Óäàëÿåò ñ ýêðàíà âñå âèäèìûå ñëåäû. Àíèìàöèÿ Ïðèâîäèò â äâèæåíèå âñå âûäåëåííûå ãåîìåòðè÷åñêèå îáúåêòû. Óâåëè÷èòü ñêîðîñòü/ Óìåíüøèòü ñêîðîñòü Óâåëè÷èâàåò èëè óìåíüøàåò ñêîðîñòü âûäåëåííûõ äâèæóùèõñÿ îáúåêòîâ (èëè, åñëè íè÷åãî íå âûäåëåíî, òî âñåõ äâèæóùèõñÿ îáúåêòîâ). Îñòàíîâèòü àíèìàöèþ/ Îñòàíîâèòü âñå Îñòàíàâëèâàåò äâèæåíèå âûäåëåííûõ îáúåêòîâ/îñòàíàâëèâàåò äâèæåíèå âñåõ îáúåêòîâ, åñëè íè÷åãî íå âûäåëåíî. Ïîêàçàòü/ Ñïðÿòàòü ïàíåëü ôîðìàòèðîâàíèÿ òåêñòà Ïîêàçûâàåò/ïðÿ÷åò òåêñòîâóþ ïàíåëü. Ïîêàçàòü/ Ñïðÿòàòü ïàíåëü óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì Ïîêàçûâàåò/ïðÿ÷åò ïàíåëü óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì Ïîêàçàòü/ Ñïðÿòàòü íàáîð èíñòðóìåíòîâ Ïîêàçûâàåò/ïðÿ÷åò íàáîð èíñòðóìåíòîâ ïðîãðàììû. Ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ 78 Ïîìåñòèòü íîâóþ òî÷êó íà îáúåêò Ñòðîèò íîâóþ òî÷êó íà êàæäîé âûäåëåííîé òðàåêòîðèè, åñëè ïðåäâàðèòåëüíî âûäåëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî òðàåêòîðèé. Ñåðåäèíà Ñòðîèò ñðåäèííóþ òî÷êó íà êàæäîì âûäåëåííîì îòðåçêå, åñëè ïðåäâàðèòåëüíî âûäåëåí îäèí èëè íåñêîëüêî îòðåçêîâ. Ïåðåñå÷åíèå Ñòðîèò òî÷êó â êàæäîì ïåðåñå÷åíèè äâóõ âûäåëåííûõ îáúåêòîâ, åñëè ïðåäâàðèòåëüíî âûäåëåíû äâà ïåðåñåêàþùèõñÿ îáúåêòà. Îòðåçîê/Ëó÷/ Ïðÿìàÿ Ñòðîèò îòðåçîê, ëó÷ èëè ïðÿìóþ ïî äâóì âûäåëåííûì òî÷êàì. Îòðåçîê íà÷èíàåòñÿ è çàêàí÷èâàåòñÿ â ýòèõ òî÷êàõ. Ëó÷ íà÷è­ íàåòñÿ â ïåðâîé òî÷êå è ñîäåðæèò âòîðóþ. Åñëè âûäåëåíî áîëåå äâóõ òî÷åê, òî ÷èñëî ïîñòðîåííûõ îáúåêòîâ ðàâíî ÷èñëó òî÷åê. Ïðåäâàðèòåëüíî íóæíî âûäåëèòü äâå èëè íåñêîëüêî òî÷åê. Ïàðàëëåëüíàÿ ïðÿìàÿ Ñòðîèò ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå âñåì âûäåëåííûì ïðÿìîëèíåéíûì îáúåêòàì è ïðîõîäÿùèå ÷åðåç âûäåëåííûå òî÷êè, åñëè âûäåëåíû ïðÿìîëèíåéíûé îáúåêò è îäíà èëè íåñêîëüêî òî÷åê, à òàêæå îäíà òî÷êà è îäèí èëè íåñêîëüêî ïðÿìîëèíåéíûõ îáúåêòîâ. Ïåðïåíäèêóëÿð Ñòðîèò ïðÿìûå, ïåðïåíäèêóëÿðíûå âñåì âûäåëåííûì ïðÿìîëèíåíåéíûì îáúåêòàì è ïðîõîäÿùèå ÷åðåç âñå âûäåëåííûå òî÷êè, åñëè âûäåëåíû ïðÿìîëèíåéíûé îáúåêò è îäíà èëè íåñêîëüêî òî÷åê, à òàêæå îäíà òî÷êà è îäèí èëè íåñêîëüêî ïðÿìîëèíåéíûõ îáúåêòîâ. Áèññåêòðèñà Ñòðîèò ëó÷ — áèññåêòðèñó óãëà, çàäàííîãî òðåìÿ âûäåëåííûìè òî÷êàìè, åñëè âûäåëåíû òðè òî÷êè òàê, ÷òî âòîðàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé óãëà. Îêðóæíîñòü ïî öåíòðó è òî÷êå Ñòðîèò îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â ïåðâîé âûäåëåííîé òî÷êå è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âòîðóþ, åñëè âûäåëåíû äâå òî÷êè. Îêðóæíîñòü ïî öåíòðó è ðàäèóñó Ñòðîèò îäíó èëè íåñêîëüêî îêðóæíîñòåé ñ öåíòðàìè â âûäåëåííûõ òî÷êàõ è ðàäèóñàìè, çàäàííûìè âûäåëåííûìè îòðåçêàìè èëè èçìåðåíèÿìè ðàññòîÿíèÿ, åñëè âûäåëåíû òî÷êà è íåñêîëüêî îòðåçêîâ è/èëè èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèé, à òàêæå åñëè âûäåëåíû îäèí îòðåçîê èëè îäíî èçìåðåíèå ðàññòîÿíèÿ è íåñêîëüêî òî÷åê. Äóãà ïî îêðóæíîñòè Ñòðîèò äóãó íà äàííîé îêðóæíîñòè èëè ñ äàííûì öåíòðîì è äâóìÿ âûäåëåííûìè òî÷êàìè íà îêðóæíîñòè, åñëè âûäåëåíû îêðóæíîñòü è äâå òî÷êè íà ýòîé îêðóæ­ íîñòè èëè åñëè âûäåëåíû öåíòð è äâå äðóãèå òî÷êè ðàâíîóäàëåííûå îò öåíòðà. Äóãà ÷åðåç 3 òî÷êè Ñòðîèò äóãó, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òðè âûäåëåííûå òî÷êè òàê, ÷òî îíà íà÷èíàåòñÿ â ïåðâîé òî÷êå, ïðîõîäèò ÷åðåç âòîðóþ è çàêàí÷èâàåòñÿ â òðåòüåé, åñëè âûäåëåíû òðè íåêîëëèíåàðíûå òî÷êè, òî åñòü òðè òî÷êè, íå ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ïðÿìîé. 79 Âíóòðåííÿÿ îáëàñòü (Âíóòðåííîñòü ìíîãîóãîëüíèêà, Êðóã, Ñåêòîð èëè Ñåãìåíò) Ñòðîèò âíóòðåííîñòü ìíîãîóãîëüíèêà, êîãäà âûäåëåíû òî÷êè — âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà, èëè êðóãè, êîãäà âûäåëåíû îêðóæíîñòè, èëè ñåêòîðà è ñåãìåíòû, êîãäà âûäåëåíû äóãè. Êîìàíäà äîñòóïíà, åñëè âûäåëåíû òðè èëè áîëåå òî÷åê, èëè åñëè âûäåëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî îêðóæíîñòåé, èëè åñëè âûäåëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî äóã. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê Ñòðîèò ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê âûäåëåííîãî îáúåêòà, êîãäà âåäóùàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ âäîëü òðàåêòîðèè, åñëè âûäåëåíû âåäîìûé îáúåêò è òî÷êà (âåäóùèé îáúåêò), êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå âåäîìîãî. Ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ 80 Îòìåòèòü öåíòð Îòìå÷àåò ïîñëåäíþþ èç âûäåëåííûõ òî÷åê êàê öåíòð ïðåîáðàçîâàíèé ïîâîðîòà è ãîìîòåòèè. Îòìåòèòü îñü îòðàæåíèÿ Îòìå÷àåò ïîñëåäíèé èç âûäåëåííûõ ïðÿìîëèíåéíûõ îáúåêòîâ êàê îñü, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé áóäåò îñóùåñòâëÿòüñÿ ïðåîáðàçîâàíèå îòðàæåíèÿ. Îòìåòèòü óãîë Îòìå÷àåò ïîñëåäíèé èç âûäåëåííûõ óãëîâ èëè èçìåðåíèé óãëà êàê óãîë ïîâîðîòà è óãëà ïîëÿðíîãî ïåðåíîñà, åñëè âûäåëåíû òðè òî÷êè èëè èçìåðåíèå óãëà. Îòìåòèòü îòíîøåíèå/ Îòìåòèòü îòíîøåíèå îòðåçêîâ/Îòìåòèòü êîýôôèöèåíò ­­ Îòìå÷àåò ïîñëåäíèé èç âûäåëåííûõ ïàðàìåòðîâ èëè âû÷èñëåíèé êàê êîýôôè­ öèåíò ïðåîáðàçîâàíèÿ ãîìîòåòèè (ïîäîáèÿ), åñëè âûëåëåíû òðè êîëëèíåàðíûå òî÷êè, èëè äâà îòðåçêà, èëè èçìåðåíèå áåçðàçìåðíîé âåëè÷èíû, èëè ïàðàìåòð, èëè áåçðàçìåðíîå âû÷èñëåíèå. Îòìåòèòü âåêòîð Îòìåí÷àåò äâå ïîñëåäíèå èç âûäåëåííûõ òî÷åê êàê âåêòîð ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåíîñà. Îòìåòèòü ðàññòîÿíèå Îòìå÷àåò îäíî èëè äâà ïîñëåäíèå èç âûäåëåííûõ èçìåðåíèé ðàññòîÿíèÿ (èëè äëèíû) êàê âåêòîð ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëÿðíîãî èëè äåêàðòîâîãî ïåðåíîñà. Ïåðåíåñòè Ñòðîèò îáðàçû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåíîñà âûäåëåííûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Ïîâåðíóòü Ñòðîèò îáðàçû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîâîðîòà âûäåëåííûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Ãîìîòåòèÿ Ñòðîèò îáðàçû ïðåîáðàçîâàíèÿ ãîìîòåòèè âûäåëåííûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Îòðàçèòü Ñòðîèò îáðàçû îòðàæåíèÿ âûäåëåííûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ îòíîñèòåëüíî îòìå÷åííîé îñè. Èòåðàöèè Ñòðîèò îáðàçû èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà ñâÿçàííûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ â ñîîòâåòñòâèè ñ çàäàâàåìûì èòåðàöèîí­ íûì ïðàâèëîì, åñëè âûäåëåíû íåñêîëüêî ïðîîáðàçîâ — íåçàâèñèìûõ òî÷åê èëè ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå îïðåäåëÿþò îáðàçû — çàâèñèìûå òî÷êè èëè âû÷èñëåíèÿ. Ìåíþ Èçìåðåíèÿ Äëèíà Èçìåðÿåò äëèíû âûäåëåííûõ îòðåçêîâ, åñëè âûäåëåíû íåñêîëüêî îòðåçêîâ. Ðàññòîÿíèå Èçìåðÿåò ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè èëè ðàññòîëÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîëèíåé­ íîãî îáúåêòà, åñëè âûäåëåíû äâå òî÷êè èëè îäíà òî÷êà è îäèí ïðÿìîëèíåéíûé îáúåêò. Ïåðèìåòð Èçìåðÿåò ïåðèìåòðû íåñêîëüêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, ñåãìåíòîâ è ñåêòîðîâ êðóãà, åñëè âûäåëåíû îäèí èëè íåñêîëüêî âíóòðåííîñòåé ìíîãîóãîëüíèêîâ, ñåãìåíòîâ èëè ñåêòîðîâ. Äëèíà îêðóæíîñòè Èçìåðÿåò äëèíû îêðóæíîñòåé, åñëè âûäåëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî îêðóæíîñòåé ëèáî îäèí èëè íåñêîëüêî êðóãîâ. Óãîë Èçìåðÿåò óãîë, îïðåäåëåííûé òðåìÿ âûäåëåííûìè òî÷êàìè, èç êîòîðûõ âòîðàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé, åñëè âûäåëåíû òðè òî÷êè. Ïëîùàäü Èçìåðÿåò ïëîùàäè âûäåëåííûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, êðóãîâ, îáëàñòåé âíóòðè îêðóæíîñòåé, ñåãìåíòîâ è ñåêòîðîâ, åñëè âûäåëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî âíóòðåííèõ îáëàñòåé. Óãëîâàÿ ìåðà äóãè Èçìåðÿåò óãëîâûå ìåðû äóã, åñëè âûäåëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî äóã, ëèáî åñëè âûäåëåíû îêðóæíîñòü è äâå èëè òðè òî÷êè íà îêðóæíîñòè. Äëèíà äóãè Èçìåðÿåò äëèíû äóã, åñëè âûäåëåíû îêðóæ­ íîñòü è äâå èëè òðè òî÷êè íà îêðóæíîñòè. 81 82 Ðàäèóñ Èçìåðÿåò ðàäèóñû âûäåëåííûõ îêðóæíîñòåé, êðóãîâ, äóã, ñåêòîðîâ è ñåãìåíòîâ, åñëè âûäåëåíû íåñêîëüêî îêðóæíîñòåé, êðóãîâ, äóã, ñåêòîðîâ èëè ñåãìåíòîâ. Îòíîøåíèå Èçìåðÿåò îòíîøåíèå äëèí äâóõ îòðåçêîâ, åñëè âûäåëåíû äâà îòðåçêà èëè òðè êîëëèíåàðíûå òî÷êè. Âû÷èñëèòü… Îòêðûâàåò Êàëüêóëÿòîð ïðîãðàììû. Êîîðäèíàòû Èçìåðÿåò êîîðäèíàòû âûäåëåííûõ òî÷åê â îòìå÷åííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, åñëè âûäåëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî òî÷åê. Àáñöèññà (õ) Èçìåðÿåò àáñöèññû (õ-êîîðäèíàòû) âûäåëåííûõ òî÷åê â îòìå÷åííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, åñëè âûäåëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî òî÷åê. Îðäèíàòà (ó) Èçìåðÿåò îðäèíàòû (ó-êîîðäèíàòû) âûäåëåííûõ òî÷åê â îòìå÷åííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, åñëè âûäåëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî òî÷åê. Ðàññòîÿíèå â ñèñòåìå êîîðäèíàò Èçìåðÿåò ðàññòîÿòèå ìåæäó äâóìÿ âûäåëåííûìè òî÷êàìè â ìàñøòàáå îòìå÷åííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, åñëè âûäåëåíû äâå òî÷êè. Íàêëîí Èçìåðÿåò íàêëîíû ïðÿìûõ â îòìå÷åííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, åñëè âûäåëåíû îäèí èëè íåñêîëüêî ïðÿìîëèíåéíûõ îáúåêòîâ. Óðàâíåíèå Îïðåäåëÿåò óðàâíåíèÿ âûäåëåííûõ îáúåêòîâ â îòìå÷åííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, åñëè âûäåëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî ïðÿìûõ èëè îêðóæíîñòåé. Ìåíþ Ãðàôèêè Çàäàòü ñèñòåìó êîîðäèíàò/Çàäàòü íà÷àëî êîîðäèíàò/ Çàäàòü åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü/ Çàäàòü åäèíè÷íûé îòðåçîê/Çàäàòü åäèíè÷íûå îòðåçêè Ñîçäàåò è îòìå÷àåò íîâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, âèä è ìàñøòàá êîòîðîé çàâèñÿò îò âûäåëåíèÿ òåõ èëè èíûõ îáúåêòîâ, åñëè âûäåëåíû: •îäíà òî÷êà; •îäíà îêðóæíîñòü; •îäèí îòðåçîê (åãî èçìåðåíèå); •îäíà òî÷êà è îäèí îòðåçîê (åãî èçìåðåíèå); •äâà îòðåçêà (èõ èçìåðåíèÿ); •îäíà òî÷êà è äâà îòðåçêà (èõ èçìåðåíèÿ); •íè÷åãî. Îòìåòèòü ñèñòåìó êîîðäèíàò Îòìå÷àåò ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé ñòðîÿòñÿ ãðàôèêè è ïðîèçâîäÿòñÿ èçìåðåíèÿ, åñëè âûäåëåíû: •îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò; •íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò; •åäèíè÷íàÿ òî÷êà; •åäèíè÷íàÿ îêðóæíîñòü; •êîîðäèíàòíàÿ ñåòêà. Ôîðìà ñåòêè Çàäàåò òèï è ìàñøòàá îòìå÷åííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Âîçìîæíûìè òèïàìè ñèñòåìû êîîðäèíàò ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòíàÿ, ïîëÿðíàÿ è ïðÿìîóãîëüíàÿ. Ïîêàçàòü/Ñïðÿòàòü Ïîêàçûâàåò èëè ïðÿ÷åò êîîðäèíàòíóþ ñåòêó îòìå÷åííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. ñåòêó Ïðèâÿçûâàòü òî÷êè ê ñåòêå Ïåðåêëþ÷àòåëü ïðèâÿçêè òî÷åê ê ñåòêå. Ïðèâÿçêà îçíà÷àåò, ÷òî íåçàâèñèìûå òî÷êè ïðè ñîçäàíèè èëè ïåðåòàñêèâàíèè «ïåðåñêàêèâàþò» â áëèæàéøèå öåëî÷èñëåííûå óãëû ñåòêè. Ïîñòðîèòü òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè…/ Ïîñòðîèòü òî÷êó (õ,ó)/Ïîñòðîèòü òî÷êó (r,theta)/ Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïî äàííûì èç òàáëèöû… Ñòðîèò îäíó èëè íåñêîëüêî òî÷åê, çàäàâàå­ ìûõ â äèàëîãîâîì îêíå, â îòìå÷åííîé ñèñ­ òåìå êîîðäèíàò, åñëè íè÷åãî íå âûäåëåíî. Ñòðîèò òî÷êó, êîîðäèíàòû êîòîðîé îïðåäåëÿþòñÿ èçìåðåíèÿìè â îòìå÷åííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, åñëè âûäåëåíû äâà èçìåðåíèÿ. Ñòðîèò òî÷êè, êîîðäèíàòû êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ äàííûìè èç òàáëèöû, åñëè âûäåëåíà îäíà òàáëèöà. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ êîìàíäà Ôîðìà ñåòêè îïðåäåëÿåò òèï ïàðû êàê (õ,ó) èëè (r,theta). Íîâûé ïàðàìåòð Ñîçäàåò íîâûé ïàðàìåòð — èçìåíÿåìóþ âåëè÷èíó. 83 Íîâàÿ ôóíêöèÿ Îòêðûâàåò êàëüêóëÿòîð Íîâàÿ ôóíêöèÿ, â êîòîðîì îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèÿ. Ãðàôèê ôóíêöèè/ Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè… Ñòðîèò ãðàôèêè âûäåëåííûõ ôóíêöèé èëè îêðûâàåò êàëüêóëÿòîð Íîâàÿ ôóíêöèÿ è ñòðîèò ãðàôèê íîâîé ôóíêöèè, åñëè íè÷åãî íå âûäåëåíî. Ïðîèçâîäíàÿ Âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ — ïðîèçâîäíóþ ïî íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé îò âûäåëåííîé ôóíêöèè. Çàïîëíÿòü òàáëèöó Ñîçäàåò òàáëèöó çíà÷åíèé âûäåëåííûõ èçìåðåíèé. Äîáàâèòü äàííûå â òàáëèöó Äîáàâëÿåò ñòðîêó èëè çàäàííîå êîëè÷åñòâî ñòðîê â âûäåëåííóþ òàáëèöó ëèáî àâòîìàòè÷åñêè çàïîëíÿåò âûäåëåííóþ òàáëèöó â çàâèñèìîñòè îò óñòàíîâîê â îêíå äèàëîãà. Óäàëèòü äàííûå èç òàáëèöû Óäàëÿåò ïîñëåäíþþ ñòðîêó èëè âñå ñòðîêè âûäåëåííîé òàáëèöû â çàâèñèìîñòè îò óñòàíîâîê â îêíå äèàëîãà. Ìåíþ Îêíî Ñîäåðæèò ñïèñîê îòêðûòûõ äîêóìåíòîâ è óïðàâëÿåò ðàñïîëîæåíèåì èõ îêîí íà ýêðàíå. Ìåíþ Ñïðàâêà Êîìàíäà ýòîãî ìåíþ ÿâëÿåòñÿ ïî ñóùåñòâó ññûëêîé íà íåêîòîðûé ðàçäåë ñïðàâî÷íîé ñèñòåìû. Âûïîëíåíèå ëþáîé êîìàíäû ìåíþ ïðèâîäèò ê çàïóñêó ïîèñêîâîé ïðîãðàììû è îòêðûâàåò ñïðàâî÷íóþ ñèñòåìó íà ñîîòâåòñòâóþùåé ñòðàíèöå. 84 Êîìïüþòåðíûå àëüáîìû ÓÌÊ «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà» ñîäåðæèò íåñêîëüêî àëüáîìîâ äèíàìè÷åñêèõ ÷åðòåæåé. Îäíè èç íèõ ÿâëÿþòñÿ íåïîñðåäñ­ òâåííîé ïîääåðæêîé êóðñà ãåîìåòðèè è ñòåðåîìåòðèè, äðóãèå ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ îðãàíèçàöèé ïðîåêòíîé äåÿòåëü­íîñòè ó÷àùèõñÿ è ôàêóëüòàòèâíûõ çàíÿòèé, òðåòüè – äåìîíñòðèðóþò âîçìîæíîñòè ïðîãðàììû Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà. Àëüáîìû ïðåäíàçíà÷åíû, ïðåæäå âñåãî, äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû ó÷àùèõñÿ. ×åðòåæè â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà íåñðàâíåííî íàãëÿäíåå òðàäèöèîííûõ, îíè ýñòåòè÷åñêè ïðèâëåêàòåëüíû, óïðàâëÿåìû è ðåäàêòèðóåìû. Ýòè êà÷åñòâà ýëåêòðîííûõ ÷åðòåæåé ïðèçâàíû îáëåã÷èòü ó÷åíèêó ïîíèìàíèå ôîðìóëèðîâîê òåîðåì è óñëîâèé çàäà÷.  ïðîöåññå ðàáîòû ó÷àùèéñÿ íàõîäèòñÿ â ïðÿìîì êîíòàêòå ñ ýëåìåíòàìè ÷åðòåæåé; îí ìîæåò èõ äåôîðìèðîâàòü, ïåðåìåùàòü, ðàñêðàøèâàòü, ðåãóëèðîâàòü òîëùèíó ëèíèé è íàñûùåííîñòü îáëàñòåé. Êðîìå òîãî, îí ìîæåò âûçûâàòü èìåíà îáúåêòîâ, ïðîèçâîäèòü èõ èçìåðåíèÿ è ðàñïîëàãàòü çàïèñè ðåçóëüòàòîâ ýòèõ èçìåðåíèé ïî ñâîåìó âêóñó. Ó÷àùèéñÿ èìååò âîçìîæíîñòü ñàì ïðîâåðèòü êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ÷åðòåæà è ïðàâèëüíîñòü ïîñòðîåíèé. Âñå ýòî ñîçäàåò ïðåäïîñûëêè äëÿ êîìïüþòåðíîãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà. ×òîáû îòêðûòü íóæíûé àëüáîì 1. Íàæìèòå êíîïêó Ïóñê è âûáåðèòå ïóíêò Ïðîãðàììû/ÓÌÊ Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà/ Ïóòåâîäèòåëü. Îòêðîåòñÿ «îáëîæêà» Ïóòåâîäèòåëÿ ñ îãëàâëåíèåì âñåõ ðåñóðñîâ ÓÌÊ. 2. Ùåëêíèòå â îãëàâëåíèè íà íàçâàíèè àëüáîìà, êîòîðûé âû õîòèòå îòêðûòü. ÒÅÎÐÅÌÛ È ÇÀÄÀ×È ØÊÎËÜÍÎÃÎ ÊÓÐÑÀ Ââåäåíèå â êîìïüþòåðèçèðîâàííûé êóðñ ïëàíèìåòðèè  ýòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðàêòè÷åñêèå àñïåêòû âåäåíèÿ óðîêîâ.  êà÷åñòâå îäíîãî èç âàðèàíòîâ ïëàíèðîâàíèÿ óðîêîâ ïðåäëàãàåòñÿ êîìïüþòåðíûé àëüáîì «Ââåäåíèå â êîìïüþòåðèçè­ ðîâàííûé êóðñ ïëàíèìåòðèè», ñîäåðæàùèé äèíàìè÷åñêèå ÷åðòåæè ê ñëåäóþùèì ðàçäåëàì êóðñà ìàòåìàòèêè. • • • • Íà÷àëüíûå ãåîìåòðè÷åñêèå ñâåäåíèÿ (6 óðîêîâ) Òðåóãîëüíèêè (10 óðîêîâ) ×åòûðåõóãîëüíèêè (9 óðîêîâ) Ïëîùàäü (5 óðîêîâ) 87 • Ïîäîáèå (8 óðîêîâ) • Îêðóæíîñòü (8 óðîêîâ) Íåñêîëüêî îáùèõ ïðèíöèïîâ îðãàíèçàöèè óðîêà • Êàæäàÿ îáñóæäàåìàÿ ôèãóðà èçîáðàæàåòñÿ íà ýêðàíå êîìïüþòåðà. • Âñå ïîëîæåíèÿ, äîïóñêàþùèå ïðÿìóþ ïðîâåðêó (ðàâåíñòâî äëèí è óãëîâ, íàõîæäåíèå òî÷êè íà ëèíèè, ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèé â îäíîé òî÷êå è ò. ï.), îáÿçàòåëüíî ïðîâåðÿþòñÿ. • Ó÷àùèåñÿ ñîïðîâîæäàþò ðåøåíèå êàæäîé çàäà÷è àíàëèçîì òîãî, íàñêîëüêî ôîðìóëèðóåìûå èìè ïîëîæåíèÿ âûäåðæèâàþò âàðèàöèè èñõîäíûõ ýëåìåíòîâ ÷åðòåæåé. • Ó÷àùèåñÿ ðàáîòàþò òîëüêî ñ êîìïüþòåðîì, íå âåäÿ íèêàêèõ çàïèñåé íè â òåòðàäÿõ, íè íà ëèñòî÷êàõ. • Âñå ðåçóëüòàòû ðàáîòû õðàíÿòñÿ â âèäå ãðàìîòíî îôîðìëåí­ íûõ ÷åðòåæåé â ãðàìîòíî ñòðóêòóðèðîâàííûõ äèðåêòîðèÿõ. Ðåêîìåíäóåòñÿ îðãàíèçàöèÿ õðàíåíèÿ ìàòåðèàëîâ íà ëè÷íûõ ýëåêòðîííûõ íîñèòåëÿõ (äèñêåòàõ, ôëýø-êàðòàõ, è ò. ï.) ó÷àùèõñÿ. Âñå ìàòåðèàëû ðàáîò ñîõðàíÿþòñÿ òàêæå (äóáëè­ðó­ þòñÿ) â ëè÷íûõ äèðåêòîðèÿõ íà øêîëüíîì ñåðâåðå è/èëè âíåø­ íèõ ýëåêòðîííûõ íîñèòåëÿõ. Ê ôàéëàì ðàáîò ó ó÷àùèõñÿ ñëåäóåò âûðàáîòàòü òàêîå æå îòâåòñòâåííîå îòíîøåíèå, êàê ê òåòðàäÿì.  êîíòàêòå ñ ïðåïîäàâàòåëåì èíôîð­ìà­òèêè ó÷àùèåñÿ äîëæíû ïðèó÷èòüñÿ ïðàâèëüíî îðãàíèçî­âûâàòü àêòèâíûå äèðåêòîðèè, àðõèâû, îñâîèòü ñèñòåìàòè÷åñêèé îáìåí ÷åðòåæàìè. Õàðàêòåðèñòèêà ìàòåðèàëîâ àëüáîìà Òåîðåòè÷åñêèå ðàçäåëû  àëüáîì âêëþ÷åíû âñå îñíîâíûå òåîðåìû, îòíîñÿùèåñÿ ê òåìàì óðîêîâ. Êîìïüþòåðíûå ÷åðòåæè ïðèëîæåíû ê òåêñòàì, íåïîñðåäñòâåííî çàèìñòâîâàííûì èç ó÷åáíèêà Àòàíàñÿíà. Îñíîâíîå íàçíà÷åíèå ýòèõ ÷åðòåæåé — «áûòü ïîä ðóêîé» íà âñÿêèé ñëó÷àé; îäíàêî âñìàòðèâàíèå â ÷åðòåæè, èõ ñîïîñòàâ­ ëåíèå ñ ôîðìóëèðîâêàìè è, îñîáåííî, âàðèàöèè ýëåìåíòîâ ÷åðòåæåé ìîãóò ïðèâåñòè ó÷àùèõñÿ ê óãëóáëåííîìó ïîíèìàíèþ òåîðåì. Îáùèå îáúåêòû Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðè ïåðåõîäå ê èçó÷åíèþ ëþáîãî íîâîãî êëàññà îáúåêòîâ êàæäûé ó÷àùèéñÿ ñòðîèò, ñîçäàåò ñîîòâåòñòâóþùèé îáùèé îáúåêò. Íàïðèìåð, îáùàÿ òðàïåöèÿ — ýòî òàêîé ÷åòûðåõóãîëüíèê â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà, êîòîðûé ïðè ëþáûõ âàðèàöèÿõ èñõîäíûõ ýëåìåíòîâ îñòàåòñÿ òðàïåöèåé è ïðè ýòîì ìîæåò ïðèíèìàòü ôîðìû âñåõ òðàïåöèé. Ìû ïðèëàãàåì âñå îáùèå îáúåêòû â êà÷åñòâå îáðàçöîâ äëÿ ðàáîòû ó÷àùèõñÿ; ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî îáùèå îáúåêòû ìîãóò ñòðîèòüñÿ ìíîãèìè ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. 88 Çàäà÷è Îáÿçàòåëüíûå çàäà÷è ïîäîáðàíû â íàøåì êóðñå â ðàñ÷åòå íà ñðåäíåãî ó÷àùåãîñÿ. Åñëè ó÷àùèéñÿ óâåðåííî âëàäååò êîìïüþòåðîì è õîðîøî çíàêîì ñ Æèâîé Ìàòåìàòèêîé (íà ýòî çíàêîìñòâî óõîäèò 3–4 óðîêà), òî îí ñïðàâëÿåòñÿ ñ îáÿçàòåëüíîé ÷àñòüþ íàøèõ çàäàíèé ñðàíèòåëüíî ëåãêî. Ó íåãî îñòàåòñÿ âðåìÿ íà íåòîðîïëèâîå, âäóì÷èâîå îôîðìëåíèå ÷åðòåæåé, èõ ëîãè÷åñêîå, ñòèëèñòè÷åñêîå è ýñòåòè÷åñêîå óñîâåðøåíñòâîâàíèå. Ó ñðåäíåãî ó÷àùåãîñÿ òàêæå îáÿçàòåëüíî äîëæíî îñòàâàòüñÿ âðåìÿ äëÿ ðàáîòû íàä îøèáêàìè.  ðàçâèòèè îòíîøåíèé êëàññà ñ ãåîìåòðèåé î÷åíü âàæíà òà ñòàäèÿ, íà êîòîðîé äàæå ñàìûå ñëàáûå ó÷àùèåñÿ íà÷èíàþò ÷óâñòâîâàòü, ÷òî èõ ôèãóðû âåäóò ñåáÿ ïîíÿòíûì äëÿ íèõ, ïðåäñêàçóåìûì îáðàçîì. Ýòî ÷óâñòâî ìîæåò îêàçàòüñÿ ïðåäïî­ ñûë­êîé äëÿ ïðåîäîëåíèÿ ñòðàõà ó÷àùèõñÿ ïåðåä ìàòåìàòèêîé, íåïðèÿòèÿ ïðåäìåòà è ÷óâñòâà áåññèëèÿ. Äëÿ ñëàáûõ ó÷àùèõñÿ âûïîëíåíèå âñåõ îáÿçàòåëüíûõ çàäàíèé âîçìîæíî îêàæåòñÿ çàòðóäíèòåëüíûì. Ìû íå ðåêîìåíäóåì ó÷èòåëþ íàñòàèâàòü íà ðåøåíèè èìè âñåõ çàäà÷; îäíàêî íåêîòîðûå äîëæíû áûòü ðåøåíû (ïî êðàéíåé ìåðå íà ýêñïåðèìåí­òàëüíîì óðîâíå) ïîëíîñòüþ. Ñëåäóåò ñ îñîáûì âíèìàíèåì îòíîñèòüñÿ ê ïîíèìàíèþ óñëîâèé çàäà÷ ñëàáûìè ó÷àùèìèñÿ; îäèí èç î÷åíü íàäåæíûõ êðèòåðèåâ ñîñòîèò ïðîñòî â ñïîñîáíîñòè ó÷àùåãîñÿ ñðåäñòâàìè Æèâîé Ìàòåìàòèêè èçîáðàçèòü óñëîâèå. Êðîìå òîãî, àíàëèç çàòðóäíåíèé ó÷àùèõñÿ ÷àñòî ïîçâîëÿåò ÿñíåå, ÷åì íà òðàäèöèîííûõ óðîêàõ (êîãäà îí íå ìîæåò ÷åãî-òî ïîâòîðèòü…), âûÿâèòü îáû÷íûå ìàòåìàòè÷åñêèå ïðîáåëû. ×òî æå êàñàåòñÿ ñèëüíûõ ó÷àùèõñÿ, òî ñ îáÿçàòåëüíûìè çàäà÷àìè îíè, êàê ïðàâèëî, ñïðàâëÿþòñÿ î÷åíü áûñòðî. Æåëàòåëüíî çàèíòåðåñîâàòü èõ äîïîëíèòåëüíûìè çàäà÷àìè è ñàìîñòîÿòåëüíûìè èññëåäîâàíèÿìè íàñòîëüêî, ÷òîáû îíè, íå îòâëåêàÿñü, ñòðåìèëèñü êàê ìîæíî áûñòðåå äî íèõ äîáðàòüñÿ.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ñèëüíûõ ó÷àùèõñÿ ìîæíî îñâîáîæäàòü îò çàâåäîìî ëåãêèõ äëÿ íèõ çàäà÷ (îñîáåííî îäíîòèïíûõ) ñ öåëüþ âûñâîáîæäåíèÿ èõ âðåìåíè äëÿ áîëåå ïðîäâèíóòûõ ðàññìîòðåíèé. Äîïîëíèòåëüíûå çàäà÷è. Äëÿ ñèëüíûõ ó÷àùèõñÿ ñðåäà ïðåäîñòàâ­ëÿåò óíèêàëüíûå âîçìîæíîñòè ïîïðîáîâàòü ñâîè ñèëû â îòäåëüíûõ çàäà÷àõ ïîâûøåííîé òðóäíîñòè.  áîëüøèíñòâå ñâîåì îíè çàèìñòâîâàíû íàìè èç ó÷åáíèêà Àòàíàñÿíà. Ýêñïåðèìåíòû Ýêñïåðèìåíòû â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà òàêæå îòíîñÿòñÿ ê «äîïîëíèòåëüíîé» øêîëüíîé äåÿòåëüíîñòè, íî îòíþäü íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿþòñÿ òðóäíûìè. Íàîáîðîò, ìíîãèå èç íèõ ìîãóò áûòü ðåêîìåíäîâàíû ñàìûì ñëàáûì ó÷àùèìñÿ. Êàê ïðàâèëî, ýòè ýêñïåðèìåíòû íå èìåþò «áóìàæíûõ» àíàëîãîâ; â íèõ ñóùåñò­ âåííî èñïîëüçóþòñÿ âîçìîæíîñòè Æèâîé Ìàòåìàòèêè. 89 Ñàìîñòîÿòåëüíûå èññëåäîâàíèÿ Íàêîíåö, íàèáîëåå ðåêîìåíäóåìûé íàìè âèä äåÿòåëüíîñòè ñèëüíûõ ó÷àùèõñÿ — ñàìîñòîÿòåëüíûå ñèñòåìàòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ, âïëîòü äî âûõîäà íà íàó÷íûé óðîâåíü. Ãëàâíîå îòëè÷èå òåì îò òðóäíûõ çàäà÷ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî êàæäûé óñïåõ â èññëåäîâàíèÿõ ïîðîæäàåò íîâûå âîïðîñû, è óâëå÷åííûé ó÷àùèéñÿ ïîñòåïåííî ïðåâðàùàåòñÿ â ñïåöèàëèñòà. Î ðàáîòå ó÷àùèõñÿ ñ ÷åðòåæàìè Ñàìîïðîâåðêà Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà äàåò øèðîêèå âîçìîæíîñòè äëÿ ñàìî­ ïðîâåðêè ó÷àùèìèñÿ. Âñå óòâåðæäåíèÿ î ðàçìåðàõ ýëåìåíòîâ ÷åðòåæåé ïðîâåðÿåìû, à ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó âåëè÷èíàìè î÷åâèäíû; êîíôè­ãó­ðàöèè íå äîëæíû ðàçâàëèâàòüñÿ ïðè âàðèàöèÿõ è ò. ï. Çíà÷èòåëüíûå óñèëèÿ ïåäàãîãîâ äîëæíû áûòü íàïðàâëåíû íà ðàçâèòèå ó ó÷àùèõñÿ êðèòè÷åñêîãî îòíîøåíèÿ ê ñîáñòâåííûì ðàáîòàì, ïðèâû÷êè ïûòàòüñÿ ïðåîäîëåâàòü çàòðóäíåíèÿ äî îáðàùåíèÿ ê ó÷èòåëþ. Ñàìîîöåíêà Ðàáîòó ñëåäóåò îðãàíèçîâàòü òàê, ÷òîáû åå ñóòü íå çàñëîíÿëàñü ïîãîíåé ó÷àùåãîñÿ çà õîðîøåé îöåíêîé èëè çà ïîõâàëîé ó÷èòåëÿ. Îäíà èç îñíîâíûõ öåëåé ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ó÷àùèéñÿ íàó÷èëñÿ ñîñòàâëÿòü ñîáñòâåííîå ñóæäåíèå î òîì, ðåøåíà ëè èì çàäà÷à. Ïðè âñåé î÷åâèäíîñòè ýòîãî ïîæåëàíèÿ åãî âûïîëíåíèÿ íåëåãêî äîáèòüñÿ. Âîçìîæíî, åãî âûïîëíåíèÿ è âîîáùå íåëüçÿ äîáèòüñÿ â çàäà÷àõ íà äîêàçàòåëüñòâî (âåäü äîêàçàòåëüñòâî, óâû, ïðàâèëüíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïðèçíàë ó÷èòåëü…); îäíàêî â ñðåäå Æèâîé Ìàòåìàòèêè áåçóñëîâíî ìîæíî äîáèòüñÿ îòâåòñòâåííîé ñàìîîöåíêè ðåøåíèé çàäà÷ íà ïîñòðîåíèå è íà âû÷èñëåíèå. Âûÿâëåíèå çàòðóäíåíèé Ðàáîòàÿ â ñðåäå Æèâîé Ìàòåìàòèêè, ó÷àùèéñÿ ïðèîáðåòàåò âîçìîæíîñòè îñîçíàíèÿ ñâîèõ çàòðóäíåíèé, íå èìåþùèå íèêàêèõ àíàëîãîâ íà òðàäèöèîíûõ óðîêàõ. Òèïè÷íûå ïðèìåðû: «ÿ âèæó, ÷òî ýòè îòðåçêè ðàâíû, à ïî÷åìó — íå ïîíèìàþ», «íà ïðîøëîì óðîêå ó ìåíÿ ýòè ëó÷è ïåðåñåêàëèñü â îäíîé òî÷êå, à ñåé÷àñ — íå ïåðåñåêàþòñÿ» è ò. ï. Ñàìîñòîÿòåëüíîå èñïðàâëåíèå îøèáîê Îò ðàçâèòûõ íàâûêîâ ñàìîñòîÿòåëüíîãî îñîçíàíèÿ çàòðóäíåíèé ñðàâíèòåëüíî íåäàëåêî äî ñàìîñòîÿòåëüíîãî æå èõ ïðåîäîëåíèÿ. Ó÷àùèéñÿ ìîæåò ïîïûòàòüñÿ ïîâòîðèòü òå æå äåéñòâèÿ íà íîâîì ÷åðòåæå, ïðîÿâèòü âíèìàíèå ê ÷àñòíûì ñëó÷àÿì, êîãäà òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ, è ïðîàíàëèçèðîâàòü íàðóøåíèÿ è ò. ä. 90 Ìåòîäè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ ê ðåøåíèþ çàäàíèé Ðàññìîòðèì íèæå íåêîòîðûå îñîáåííîñòè îôîðìëåíèÿ ÷åðòåæåé àëüáîìà.  çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðà çàäàíèé äèíàìè÷åñêèå ÷åðòåæè îôîðìëåíû ïî‑ðàçíîìó. Åñòü çàäà÷è, êîòîðûå ðåøàþòñÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòî, íå òðåáóþò óêàçàíèé ê ðåøåíèþ è ïîäñêàçîê. Äëÿ òàêèõ çàäà÷ ïðîñòî âûïîëíåí ÷åðòåæ: â îäíèõ ñëó÷àÿõ ýòî ñòàòè÷åñêèé ÷åðòåæ, â äðóãèõ — äèíàìè÷åñêèé. Èíòåðåñíû òàêæå çàäà÷è, ñíàáæåííûå «æèâûì» ÷åðòåæîì, ïîçâîëÿþùèå ïðîâîäèòü ýêñïåðèìåíò, ïåðåìåùàÿ óêàçàííûå îáúåêòû, ïðè ýòîì íàáëþäàÿ è äåëàÿ íåîáõîäèìûå âûâîäû. Ïðè÷åì ïîëüçîâàòåëü ìîæåò ëèáî ïðîâîäèòü ýêñïåðèìåíò ñàì, ëèáî âîñïîëüçîâàòüñÿ âîçìîæíîñ­òÿìè ïðîãðàììû (àíèìàöèîííûå ýôôåêòû, çàëîæåííûå â ÷åðòåæàõ). Äðóãàÿ ãðóïïà çàäà÷ ñíàáæåíà êíîïêîé «îòâåò». Îòâåò ìîæåò áûòü äàí â âèäå ÷èñëîâîé âåëè÷èíû, ãîòîâîãî ÷åðòåæà èëè âûïîëíåííîãî ïîñòðîåíèÿ.  ðÿäå çàäà÷ äàåòñÿ óêàçàíèå, êîòîðîå ëèáî ïîäñêàçûâàåò ïóòè ðåøåíèÿ, ëèáî óêàçûâàåò íà âîçìîæíîñòè ðàññìîòðåíèÿ ðàçëè÷íûõ ñëó÷àåâ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ — êíîïêà «óêàçàíèå». Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü çàäà÷ ñíàáæåíà êíîïêîé «ïîäñêàçêà», êîòîðàÿ ïîìîãàåò íàéòè ðåøåíèå çàäà÷è. Êíîïêà «ïðîâåðü ñåáÿ» ïîìîãàåò âûÿñíèòü ïðàâèëüíîñòü âûïîëíåíèÿ çàäàíèÿ, áóäü òî çàäà÷à íà âû÷èñëåíèå, ïîñòðîåíèå èëè äîêàçàòåëüñòâî. Åñòü ãðóïïà çàäà÷ (â îñíîâíîì íà äîêàçàòåëüñòâî) ñíàáæåííûõ êíîïêîé «ýêñïåðèìåíò».  ðÿäå ñëó÷àåâ îíà ñêðûâàåò ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ íåêîòîðûõ ýëåìåíòîâ îáúåêòà, îò êîòîðûõ çàâèñèò èñõîä äîêàçàòåëüñòâà. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî èçìåíèòü ðàçìåðû ñàìîãî îáúåêòà, ÷òîáû óáåäèòüñÿ ïðàêòè÷åñêèì ïóòåì â èñòèííîñòè òîãî óòâåðæäåíèÿ, êîòîðîå òðåáóåòñÿ äîêàçàòü.  àëüáîìå ïðåäñòàâëåíû òàêæå çàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî, ñíàáæåííûå êíîïêàìè, ïîä êîòîðûìè ñêðûòî ïîýòàïíîå äîêàçàòåëüñòâî çàäà÷è ñ ïîøàãîâûìè äîïîëíèòåëüíûìè ïîñòðîåíèÿìè.  íåêîòîðûõ çàäà÷àõ åñòü êíîïêà «ðåøåíèå». Îíà äàåò âîçìîæíîñòü ðàññìîòðåòü ãîòîâîå ðåøåíèå çàäà÷è è ïðèìåð åå îôîðìëåíèÿ. Êíîïêà «ïîñòðîåíèå» íåñåò ìíîãîôóíêöèîíàëüíóþ íàãðóçêó: â îäíèõ ñëó÷àÿõ ïîä íåé ñêðûòà ãîòîâàÿ äåìîíñòðàöèÿ ïîñòðîåíèÿ ÷åðòåæà; â äðóãèõ — ïîøàãîâîå ïîñòðîåíèå; â òðåòüèõ — «âûäàåòñÿ» ãîòîâûé ÷åðòåæ, êîòîðûé íåîáõîäèìî ñðàâíèòü ñ òåì, ÷òî âûïîëíèë ó÷åíèê ñàìîñòîÿòåëüíî. 91 Êíîïêà «â èñõîäíîå ïîëîæåíèå» ïîçâîëÿåò âåðíóòüñÿ ê íà÷àëó çàäà÷è è ìíîãîêðàòíî ïðîñìîòðåòü õîä ðåøåíèÿ. Åñëè çàäà÷à ñíàáæåíà ïóíêòàìè à), á) è ò. ä., òî äëÿ ïåðåõîäà îò ïóíêòà ê ïóíêòó íåîáõîäèìî ëèáî èñïîëüçîâàòü êíîïêó «â èñõîäíîå ïîëîæåíèå», ëèáî âòîðîé ðàç ùåëêíóòü íà êíîïêå äàííîãî ïóíêòà, ÷òîáû ñïðÿòàòü èìåþùèéñÿ ÷åðòåæ. 92 Ñòåðåîìåòðèÿ Ïðåäëàãàåìûé êîìïëåêò «æèâûõ ñòåðåî÷åðòåæåé» ïðåäíàçíà÷åí â ïîìîùü ó÷èòåëÿì è ó÷åíèêàì ïðè èçó÷åíèè ñòåðåîìåòðèè, òîé ÷àñòè øêîëüíîé ìàòåìàòèêè, êîòîðàÿ âûçûâàåò íàèáîëüøèå òðóäíîñòè. ×åðòåæè êîìïëåêòà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èíòåðàêòèâíûå ñòåðåî­ ìåòðè÷åñêèå ìîäåëè èíñòðóìåíòàëüíîãî òèïà, ñîçäàííûå â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà è îòêðûâàåìûå ýòîé ïðîãðàììîé. Ó÷àùèåñÿ ïîëó÷àþò èçîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé ôèãóðû, ÿâëÿþùååñÿ è îáúåêòîì, è èíñòðóìåíòîì, è ñðåäîé êîíñòðóè­ ðîâàíèÿ è èññëåäîâàíèÿ. Âàæíåéøàÿ îñîáåííîñòü ýòèõ ìîäåëåé çàêëþ÷àåòñÿ â ñî÷åòàíèè äâóìåðíîãî è òðåõìåðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ôèãóðû â îäíîì èçîáðàæåíèè, äîñòèãàåìîì ïðåæäå âñåãî çà ñ÷åò âîçìîæíîñòè ïðîèçâîëüíîãî èçìåíåíèÿ ðàêóðñà, à òàêæå áëàãîäàðÿ äðóãèì ýôôåêòàì òðåõìåðíîé ãðàôèêè. Áóäó÷è çàôèêñèðîâàííûì, òàêîå èçîáðàæåíèå âûïîëíÿåò âñå ôóíêöèè ðèñóíêà â ó÷åáíèêå è/èëè ÷åðòåæà â òåòðàäè (íî ÷åðòåæà ìàòåìàòè÷åñêè òî÷íîãî è ïîëèãðàôè÷åñêè êà÷åñòâåííîãî), ïðè÷åì îíî äîïóñêàåò ðåäàêòèðîâàíèå, äîïîëíèòåëüíûå ïîñòðîåíèÿ è ò. ï. Îäíàêî â ëþáîé ìîìåíò ïîëüçîâàòåëü ìîæåò «ïåðåéòè â òðåõìåð­ íûé ðåæèì», âêëþ÷èâ âðàùåíèå êîíñòðóêöèè âîêðóã îäíîé èëè íåñêîëüêèõ îñåé, à òàêæå íåêîòîðûå äðóãèå ýôôåêòû, ñîçäàþ­ùèå îùóùåíèå òðåõìåðíîñòè. Âûáèðàÿ íîâûé ðàêóðñ èçîáðàæåíèÿ, ìîæíî ïðîâåðèòü ïðàâèëüíîñòü âûïîëíåííûõ ïîñòðîåíèé, ïðîäîëæèòü èõ, ïðîèçâåñòè èçìåðåíèÿ è ò. ä. Ðàáîòà â òàêîé «êâàçèòðåõìåðíîé ñðåäå» — ýòî óíèêàëüíîå ñðåäñòâî ðàçâèòèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî âîîáðàæåíèÿ, íàâûêà, ÿâëÿþùåãîñÿ âàæíåéøåé ïðåäïîñûëêîé è, â òî æå âðåìÿ, ðåçóëüòàòîì óñïåø­ íîãî èçó÷åíèÿ ñòåðåîìåòðèè, ðåøåíèÿ ñòåðåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷.  êîìïëåêò âõîäèò áîëåå 100 ÷åðòåæåé. Ïðè îòáîðå èõ ñþæåòîâ àâòîðû ñòðåìèëèñü â ïåðâóþ î÷åðåäü ïðèäåðæèâàòüñÿ ñîäåðæàíèÿ «Ãåîìåòðèè 10–11» Ë.Ñ. Àòàíàñÿíà è äð., íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîãî â Ðîññèè íà ñåãîäíÿ ó÷åáíèêà ãåîìåòðèè; ê êîìïëåêòó ïðèëîæåíà òàáëèöà, êîòîðàÿ ïîçâîëèò ó÷èòåëþ íàéòè æèâîé ÷åðòåæ (åñëè îí èìååòñÿ) ê çàäàííîìó òåîðåòè÷åñêîìó ðàçäåëó èëè çàäà÷å èç ýòîãî ó÷åáíèêà. Îäíàêî ïðàêòè÷åñêè âñå ÷åðòåæè ìîæíî èñïîëüçîâàòü è ïðè ïðåïîäàâàíèè ïî ëþáîìó äðóãîìó ó÷åáíèêó. Áîëüøèíñòâî ÷åðòåæåé êîìïëåêòà ïîñâÿùåíû íà÷àëüíûì, áàçîâûì òåìàì êóðñà — âçàèìíîìó ðàñïîëîæåíèþ, ïàðàëëåëüíîñòè è ïåðïåíäè­ êó­ëÿðíîñòè ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé, îñîáåííî ïîëíî ïðåäñòàâëåíû çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå ñå÷åíèé. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ, â îñíîâíîì, òåì, ÷òî èìåííî ïåðâûå øàãè â èçó÷åíèè ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâà âûçûâàþò ó ó÷åíèêîâ îñíîâíûå òðóäíîñòè, çäåñü çàêëàäûâàåòñÿ îñíîâà äëÿ óñïåøíîãî îñâîåíèÿ âñåãî êóðñà, è íà ýòîì ýòàïå ðàáîòà ñ ìîäåëÿìè ïðèíåñåò íàèáîëüøóþ ïîëüçó. 93  äðóãèõ ðàçäåëàõ êóðñà âûáèðàëèñü ìàòåðèàëû, ñàìûå ñóùåñòâåííûå äëÿ ñàìîãî êóðñà èëè ïîçâîëÿþùèå íàèáîëåå ïîëíî ðåàëèçîâàòü ïðåèìóùåñòâà äèíàìè÷åñêèõ òðåõìåðíûõ ÷åðòåæåé. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ñëîæíîñòè àâòîðû òàêæå îðèåíòèðîâàëèñü íà îñíîâíóþ ìàññó ó÷àùèõñÿ. Ëèøü íåáîëüøîå ÷èñëî çàäàíèé ìîæíî îòíåñòè ê óðîâíþ íåñêîëüêî âûøå ñðåäíåãî. Íî ïîèñòèíå íåèñ÷åðïàåìîå ïîëå äåÿòåëüíîñòè äëÿ ñèëüíûõ ó÷åíèêîâ îòêðûâàþò çàäàíèÿ ïî ñàìîñòîÿòåëüíîìó êîíñòðóèðî­ âàíèþ ÷åðòåæåé áîëåå ñëîæíûõ òåë è êîíñòðóêöèé. Ñ ýòîé öåëüþ â êîìïëåêò âêëþ÷åíû øàáëîíû è èíñòðóìåíòû, êîòîðûå ñóùåñòâåííî óïðîñòÿò ÷èñòî òåõíè÷åñêóþ ñòîðîíó ýòîé ðàáîòû, ñäåëàâ åå èíòåðåñíåå. 94 Ìèíèìóì íåîáõîäèìûõ íàâûêîâ äëÿ ðàáîòû ñ àëüáîìîì «Ñòåðåîìåòðèÿ» Èíòåðåñíîé îñîáåííîñòüþ ÷åðòåæåé äàííîãî êîìïëåêòà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî äëÿ ðàáîòû ñ íèìè, â îòëè÷èå îò çàäàíèé, ïðåäëàãàåìûõ îáû÷íî ïðè èçó÷åíèè ïðîãðàììû Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà, äîñòàòî÷íî ñàìîãî ìèíèìàëüíîãî âëàäåíèÿ èíòåðôåéñîì ïðîãðàììû.  ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ âñå, ÷òî òðåáóåòñÿ îò ïîëüçîâàòåëÿ, ýòî óìåòü: • ðàáîòàòü ñ ôàéëàìè — îòêðûâàòü, çàêðûâàòü, ñîõðàíÿòü; • ðàáîòàòü ñ ìûøüþ, â ÷àñòíîñòè, íàæèìàòü âèðòóàëüíûå êíîïêè, èìåþùèåñÿ íà âñåõ ÷åðòåæàõ (îäèíî÷íûé ùåë÷îê íà êíîïêå), è ïåðåìåùàòü ìûøüþ ïîäâèæíûå ýëåìåíòû òàê íàçûâàåìûõ «äâèæêîâ» (ïåðåòàñêèâàíèåì; ïðèìåðû ñì. â ñëåäóþùåì ïîäðàçäåëå) — ýòîãî óæå âïîëíå äîñòàòî÷íî äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ÷åðòåæåé èëëþñòðàòèâíîãî õàðàêòåðà; • ñòðîèòü ïðÿìîëèíåéíûå îáúåêòû è âûïîëíÿòü ñâÿçàííûå ñ íèìè êîìàíäû ìåíþ: ïðîâîäèòü ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå (ïåðïåíäèêóëÿðàìè ïðàêòè÷åñêè ïîëüçîâàòüñÿ íå ïðèõîäèòñÿ), íàõîäèòü ïåðåñå÷åíèÿ, ñòðîèòü ñåðåäèíó îòðåçêà, ïðÿòàòü íåíóæíûå ýëåìåíòû ÷åðòåæà — ýòîãî õâàòèò äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ íà ïîñòðîåíèå; • ðåäàêòèðîâàòü âû÷èñëåíèÿ ñ ïîìîùüþ âñòðîåííîãî êàëüêóëÿòîðà — ýòî íåîáõîäèìî äëÿ çàïèñè îòâåòîâ â çàäà÷àõ íà âû÷èñëåíèå. ×òîáû ñàìîñòîÿòåëüíûå ïîñòðîåíèÿ âûãëÿäåëè àêêóðàòíåå è êðàñèâåå, æåëàòåëüíî íàó÷èòüñÿ ñòðîèòü âíóòðåííèå îáëàñòè ìíîãîóãîëüíèêîâ, èçìåíÿòü öâåò îáúåêòîâ, òîëùèíó ëèíèé, èìåíà îáúåêòîâ.  îòäåëüíûõ çàäàíèÿõ íóæíî èçìåðÿòü äëèíû îòðåçêîâ. Óïðàâëåíèå èçîáðàæåíèåì Íà âñåõ ÷åðòåæàõ èìååòñÿ «ïàíåëü», íà êîòîðîé ðàñïîëîæåíû âèðòóàëüíûå äâèæêè è êíîïêè, óïðàâëÿþùèå ðàêóðñîì è ðàçìåðîì èçîáðàæåíèÿ. Íà ðèñ. 1 òàêèõ ýëåìåíòîâ ìíîãî — ýòà ïàíåëü âçÿòà èç ÷åðòåæà-øàáëîíà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà è ïðåäóñìàòðèâàåò âîçìîæíîñòü åãî èñïîëüçîâàíèÿ â ðàçíîîáðàçíûõ ñèòóàöèÿõ, êîãäà òðåáóåòñÿ âûáðàòü êàêîé-òî êîíêðåòíûé ðàêóðñ ôèãóðû. Åñëè èçìåíåíèå ðàêóðñà èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî äëÿ ñîçäàíèÿ «ñòåðåîýôôåêòà» è âûáèðàòü êîíêðåòíûé âèä íå íóæíî, íà ïàíåëè îáû÷íî îñòàþòñÿ: • äâèæîê Ìàñøòàá: äëèíà ñîîòâåòñòâóþùåãî îòðåçêà èçìåíÿåòñÿ ïåðåòàñêèâàíèåì òðåóãîëüíèêà–óêàçàòåëÿ ìûøüþ è ïîçâîëÿåò ïðîïîðöèîíàëüíî ìåíÿòü âñå ðàçìåðû èçîáðàæåíèÿ, • êíîïêà Ñòàðò/ñòîï è óãëîâîé äâèæîê, ïðèâîäÿùèå èçîáðàæåííóþ êîíñòðóêöèþ âî âðàùåíèå âîêðóã ñâÿçàííîé 95 ñ íåé îñè: êíîïêà âêëþ÷àåò è âûêëþ÷àåò âðàùåíèå, äâèæîê ïîçâîëÿåò âðàùàòü ôèãóðó âðó÷íóþ; • äâèæîê Íàêëîí, ïîâîðà÷èâàþùèé ôèãóðó âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè âïåðåä è íàçàä â äèàïàçîíå îò –90° äî 90°; ïðè íóëåâîì íàêëîíå îñü âðàùåíèÿ âåðòèêàëüíà. Ðèñ. 1 Íà ðèñ. 1 èìååòñÿ òàêæå äâèæîê Âûñîòà, èçìåíÿþùèé âûñîòó ïàðàëëåëåïèïåäà, è êíîïêè âûáîðà êîíêðåòíûõ âèäîâ (ïðîåêöèé). Îáû÷íî íà ïàíåëè åñòü è êíîïêà  èñõîäíîå ïîëîæåíèå, âîçâðàùàþùàÿ èçîáðàæåíèå ê èñõîäíîìó «óäîáíîìó» ðàêóðñó.  áîëüøèíñòâå ìîäåëåé èñïîëüçóþòñÿ è âèðòóàëüíûå êíîïêè äðóãèõ òèïîâ — ïîêàçà è ñêðûòèÿ îáúåêòîâ, ïðåçåíòàöèé (êîìáèíàöèè íåñêîëüêèõ êíîïîê) è äð. Íàïðèìåð, íà òîì æå ÷åðòåæå ïàðàëëåëåïèïåäà èìååòñÿ êíîïêà Ñìåíèòü ïðåäñòàâëåíèå ðåáåð, êîòîðàÿ çàäàåò îäèí èç äâóõ ñïîñîáîâ èçîáðàæåíèÿ ðåáåð (ñ ó÷åòîì è áåç ó÷åòà èõ âèäèìîñòè; ðèñ. 2). Ðèñ. 2 Îáðàòèì âíèìàíèå íà êíîïêè, íàçûâàåìûå, â çàâèñèìîñòè îò êîíòåêñòà, Ê íà÷àëó, Ñáðîñ, Îòìåíèòü è ò. ï. Îíè âîçâðàùàþò ðèñóíîê â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå, íî íå ìîãóò «ñòåðåòü» ïîñòðîåíèÿ èëè îòìåíèòü èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ, ïðîèçâåäåííûå ïîëüçîâàòåëåì.  ýòèõ ñëó÷àÿõ ñëåäóåò çàêðûòü ÷åðòåæ áåç ñîõðàíåíèÿ (ñì. «Èñïîëüçîâàíèå ñòåðåî÷åðòåæåé â ó÷åáíîì ïðîöåññå»). 96 Õàðàêòåðèñòèêè ÷åðòåæåé ×òîáû îáëåã÷èòü èñïîëüçîâàíèå êîìïëåêòà, ê íåìó ïðèëîæåíà òàáëèöà, êðàòêî îïèñûâàþùàÿ âñå õàðàêòåðèñòèêè ÷åðòåæåé. Ôàéë òàáëèöû âû ìîæåòå íàéòè ïî àäðåñó: …/Modules/Stereometry/Documentation/Õàðàêòåðèñòèêè ÷åðòåæåé.xls. Ïåðâûå äâà ñòîëáöà ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ïîèñêà íóæíîãî ÷åðòåæà.  ïåðâîì ñòîëáöå íàõîäÿòñÿ íàçâàíèÿ âñåõ ÷åðòåæåé, îòðàæàþùèå èõ òåìàòèêó. Îíè ðàçáèòû íà 9 ðàçäåëîâ, ïðèáëèçèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùèõ ãëàâàì ñòàíäàðòíûõ ó÷åáíèêîâ ñòåðåîìåòðèè, ïðåæäå âñåãî, «Ãåîìåòðèè 10–11» Ë.Ñ. Àòàíàñÿíà è äð.: • Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé • Ïàðàëëåëüíîñòü ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé • Ïîñòðîåíèå ñå÷åíèé • Ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé • Óãëû è ðàññòîÿíèÿ â ïðîñòðàíñòâå • Âåêòîðû è êîîðäèíàòû • Ìíîãîãðàííèêè • Êðóãëûå òåëà • Øàáëîíû è èíñòðóìåíòû Ðàçäåë Ïîñòðîåíèå ñå÷åíèé îáðàçîâàí â ñâÿçè ñ áîëüøèì ÷èñëîì ñîîòâåòñòâóþùèõ çàäàíèé, èõ âàæíîñòüþ ïðè èçó÷åíèè ñòåðåîìåòðèè è òåì, ÷òî â ýòèõ çàäàíèÿõ îñîáåííî ÿðêî ïðîÿâëÿåòñÿ ýôôåêò îò ïðèìåíåíèÿ êîìïüþòåðíûõ ìîäåëåé â ïðåïîäàâàíèè ãåîìåòðèè. 97 Îñîáíÿêîì ñòîèò ïîñëåäíèé ðàçäåë — Øàáëîíû è èíñòðóìåíòû, ÷åðòåæè êîòîðîãî îáúåäèíåíû íå òåìàòè÷åñêè (êîíêðåòíîãî ó÷åáíîãî ñîäåðæàíèÿ îíè íå íåñóò, õîòÿ è ìîãóò áûòü îòíåñåíû, â îñíîâíîì, ê ðàçäåëó Ìíîãîãðàííèêè), à ïî ñâîèì ôóíêöèÿì; ïîäðîáíåå î íèõ ãîâîðèòñÿ íèæå. Íàçíà÷åíèå âòîðîãî ñòîëáöà òàêæå î÷åâèäíî: çäåñü ïåðå÷èñëåíû ïóíêòû ó÷åáíèêà, ê êîòîðûì îòíîñÿòñÿ «òåîðåòè÷åñêèå» ÷åðòåæè, è íîìåðà çàäà÷, íà îñíîâå êîòîðûõ áûëè ïîñòðîåíû ÷åðòåæè–çàäàíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî â íåñêîëüêèõ ñëó÷àÿõ ìû ñî÷ëè öåëåñîîáðàçíûì ïîìåñòèòü ÷åðòåæ â èíîé ðàçäåë, ÷åì áîëüøèíñòâî äðóãèõ ÷åðòåæåé, îòíîñÿùèõñÿ ê òîé æå ãëàâå ó÷åáíèêà. Òðåòèé ñòîëáåö òàáëèöû â êîììåíòàðèÿõ íå íóæäàåòñÿ — â íåì ñòîÿò èìåíà ñîîòâåòñòâóþùèõ ôàéëîâ Æèâîé Ìàòåìàòèêè.  ñëåäóþùèõ äâóõ ñòîëáöàõ îïèñàí òèï ÷åðòåæà êàê ó÷åáíîãî îáúåêòà.  ÷åòâåðòîì ñòîë­­­áöå óêàçàí õàðàêòåð èëëþñòðèðóåìîãî ÷åðòåæîì ìàòåðèàëà: ôðàãìåíò òåîðèè — îïðåäåëåíèå èëè óòâåðæäåíèå (òåîðåìà èëè ëåììà) èëè çàäà÷à äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ (ïðîèëëþñòðèðîâàííûì ìîæåò áûòü òîëüêî åå óñëîâèå èëè òàêæå è ðåøåíèå); êðîìå òîãî, èìååòñÿ íåñêîëüêî ÷åðòåæåé-øàáëîíîâ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíûõ ïîñòðîåíèé. Ïÿòûé ñòîëáåö ïîÿñíÿåò ôîðìó ïðåäñòàâëåíèÿ ìàòåðèàëà. ×åðòåæè, ðàññ÷èòàííûå òîëüêî íà ïðîñìîòð è ïîëó÷åíèå èíôîðìàöèè, íàçâàíû èëëþñòðàöèÿìè è äåìîíñòðàöèÿìè, à ïðåäïîëàãàþùèå àêòèâíîå öåëåíàïðàâëåííîå âìåøàòåëüñòâî ó÷åíèêà â ÷åðòåæ — çàäàíèÿìè. • Èëëþñòðàöèÿ — íàèáîëåå ïðîñòîé ïî ñòðóêòóðå ÷åðòåæ, ïðåäíàçíà÷åííûé ëèøü äëÿ òîãî, ÷òîáû ñäåëàòü áîëåå íàãëÿäíîé è ïîíÿòíîé ðàññìàòðèâàåìóþ êîíôèãóðàöèþ èëè ïðîèçâîäèìûå íà íåé ïîñòðîåíèÿ; òåêñò íà òàêèõ ÷åðòåæàõ, êàê ïðàâèëî, ñâîäèòñÿ ê ôîðìóëèðîâêå ôàêòà èëè óñëîâèÿ çàäà÷è. • Äåìîíñòðàöèÿ — ýòî èçëîæåíèå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû èëè ðåøåíèÿ çàäà÷è, «ðàçâîðà÷èâàþùååñÿ âî âðåìåíè», òî åñòü ðàçáèòîå íà øàãè, íà êàæäîì èç êîòîðûõ èçìåíÿåòñÿ ðèñóíîê, ïîÿâëÿþòñÿ êðàòêèå òåêñòîâûå ïîÿñíåíèÿ, êîíòðîëüíûå âîïðîñû; ïåðåõîä ê íîâûì øàãàì îñóùåñòâëÿåòñÿ íàæàòèåì íà êíîïêè. • Çàäàíèå — ýòî èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å, ÷àùå âñåãî, íà ïîñòðîåíèå èëè íà âû÷èñëåíèå.  çàäàíèÿõ ó÷åíèê äîëæåí âûïîëíèòü íåêîòîðûå ïîñòðîåíèÿ (êàê â çàäà÷àõ íà ñå÷åíèÿ), èçìåíèòü çíà÷åíèÿ ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ (ââîäÿ îòâåòû), ïåðåäâèíóòü êàêèå-òî ÷àñòè ìîäåëè (íàïðèìåð, ñ öåëüþ âûáîðà ñïåöèàëüíîãî «óäîáíîãî» ðàêóðñà èçîáðàæåíèÿ). Îáû÷íî çàäàíèÿ ñîäåðæàò ôîðìóëèðîâêó òîãî, ÷òî òðåáóåòñÿ ñäåëàòü, ÷åðòåæ–ìîäåëü è, çà÷àñòóþ, ìåõàíèçì àâòîìàòè÷åñêîé ïðîâåðêè, ñîîáùàþùèé, âåðíî ëè âûïîëíåíî çàäàíèå. 98 Íåêîòîðûå ÷åðòåæè èìåþò ïðèçíàêè íåñêîëüêèõ ðàçíûõ òèïîâ, è îñòàëüíûå ñòîëáöû òàáëèöû ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü áîëåå ÿñíîå ïðåäñòàâëåíèå î òîì, êàê óñòðîåí ÷åðòåæ è êàê ñ íèì ðàáîòàòü. Ïðè ðàçðàáîòêå ñöåíàðèåâ äåìîíñòðàöèé àâòîðû ñòðåìèëèñü óéòè îò ïàññèâíîãî âîñïðèÿòèÿ èíôîðìàöèè, èçáåãàëè ïîäðîáíûõ îáúÿñíåíèé «êàê â ó÷åáíèêå». Ïîýòîìó ðàññóæäåíèÿ äàþòñÿ â êîíñïåêòèâíîé ôîðìå, à íåäîñòàþùèå äåòàëè âîñïîëíÿþòñÿ ïîäñêàçêàìè, íàâîäÿùèìè è êîíòðîëüíûìè âîïðîñàìè. Ïðè÷åì ïîäñêàçêè ýòè — «ãðàôè÷åñêèå»: ïî íàæàòèþ êíîïêè ïîÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ïîñòðîåíèÿ, èçìåíÿåòñÿ ðàñïîëîæåíèå ýëåìåíòîâ èëè ðàêóðñ èçîáðàæåíèÿ òàê, ÷òîáû íàìåêíóòü íà èäåþ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû èëè ðåøåíèÿ çàäà÷è.  øåñòîì ñòîëáöå òàáëèöû îòìå÷åíû ìàòåðèàëû, ñîäåðæàùèå òàêèå ïîäñêàçêè, à â ñåäüìîì ñòîëáöå — íàëè÷èå íàâîäÿùèõ è êîíòðîëüíûõ âîïðîñîâ. Ïîñëåäíèå äâà ñòîëáöà îòíîñÿòñÿ, â îñíîâíîì, ê ÷åðòåæàìçàäàíèÿì: â âîñüìîì ñòîëáöå óêàçàíî, êàêîãî ðîäà çàäàíèå äîëæåí âûïîëíèòü ó÷àùèéñÿ (ïîñòðîåíèå, âû÷èñëåíèå, èçìåðåíèå, âûáîð íóæíîãî ðàêóðñà èçîáðàæåíèÿ èëè «èçìåíåíèå» — òàê ìû îáîçíà÷èëè ðàçíîîáðàçíûå çàäàíèÿ, â êîòîðûõ òðåáóåòñÿ ïåðåìåñòèòü êàêèå-òî ýëåìåíòû ÷åðòåæà, èçìåíèòü ðàçìåðû è ò. ï.), à èç äåâÿòîãî ñòîëáöà ìîæíî óçíàòü, ïðîâåðÿåòñÿ ëè îòâåò àâòîìàòè÷åñêè. Èñïîëüçîâàíèå ñòåðåî÷åðòåæåé â ó÷åáíîì ïðîöåññå Òèï ÷åðòåæà êàê ó÷åáíîãî îáúåêòà îïðåäåëÿåò ñïîñîá åãî èñïîëüçîâàíèÿ. Ìû îãðàíè÷èìñÿ óïîìèíàíèåì òðåõ îñíîâíûõ âàðèàíòîâ îðãàíèçàöèè ðàáîòû: 1. Ãðóïïîâàÿ ðàáîòà ñ êëàññîì ïðè ó÷àñòèè ó÷èòåëÿ òðåáóåò íàëè÷èÿ â êëàññå ìåäèà-ïðîåêòîðà. Ó÷èòåëü äåìîíñòðèðóåò ÷åðòåæ íà íàñòåííîì ýêðàíå, îáñóæäàåò åãî ñ ó÷åíèêàìè, ïîëó÷àåò îò íèõ îòâåòû íà âîïðîñû, çàäàâàåìûå íà ÷åðòåæå, âûïîëíÿåò ïî èõ ïðåäëîæåíèÿì çàäàíèÿ è ò. ï. Ìåñòî ó÷èòåëÿ çäåñü ìîæåò çàíÿòü è âûçâàííûé «ê äîñêå» ó÷åíèê. 2. Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà â êëàññå âîçìîæíà â êîìïüþòåðíîì êëàññå ñ äîñòàòî÷íûì êîëè÷åñòâîì ðàáî÷èõ ìåñò. Ó÷åíèêè âûïîëíÿþò ñâîè çàäàíèÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ëèáî íåáîëüøèìè ãðóïïàìè ïî 2–3 ÷åëîâåêà, ÷òî áûâàåò äàæå áîëåå ýôôåêòèâíî. 3. Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ èíäèâèäóàëüíàÿ ðàáîòà äîìà. Ñ ÷åðòåæàìè, èëëþñòðèðóþùèìè òåîðèþ è ðåøåíèÿ çàäà÷, òî åñòü èëëþñòðàöèÿìè è äåìîíñòðàöèÿìè ëó÷øå ðàáîòàòü íà áîëüøîì ýêðàíå, õîòÿ ìîæíî èçó÷àòü èõ è â ðåæèìå ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû. Ïîøàãîâûå äåìîíñòðàöèè îáû÷íî ñîäåðæàò ïîÿñíèòåëüíûé òåêñò; ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ó÷èòåëü ïðèìåíÿåò èõ êàê íàãëÿäíîå ñîïðîâîæäåíèå ïðè îáúÿñíåíèè íîâîãî ìàòåðèàëà èëè ïîâòîðåíèè. 99  èëëþñòðàöèÿõ ñ ïîäñêàçêàìè (êîòîðûå ìîæíî íàéòè ïî ñïèñêó ìàòåðèàëîâ) âñå ðàññóæäåíèå ïðåäñòàâëåíî ïîñëåäîâàòåëüíûìè èçìåíåíèÿìè êàðòèíêè, ýòî ñâîåãî ðîäà «äåìîíñòðàöèè áåç ñëîâ». Èìè ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ êàê êàíâîé, íà îñíîâå êîòîðîé ó÷àùèåñÿ äîëæíû ñàìîñòîÿòåëüíî âîññòàíîâèòü (èëè âñïîìíèòü) è èçëîæèòü ïðîïóùåííûå äåòàëè. Íåêîòîðûå äîêàçàòåëüñòâà è ðåøåíèÿ çàäà÷ äàíû â îáîèõ âàðèàíòàõ. Çàäàíèÿ ðàññ÷èòàíû, â ïåðâóþ î÷åðåäü, íà ñàìîñòîÿòåëüíûå çàíÿòèÿ. Ïðè ýòîì ðàáîòà çà êîìïüþòåðîì ìîæåò ñî÷åòàòüñÿ ñ ðàáîòîé â òåòðàäè.  ÷àñòíîñòè, ýòî óìåñòíî â áîëüøèíñòâå çàäà÷ íà âû÷èñëåíèå; â òàêîì ñëó÷àå ÷åðòåæ ïîìîãàåò ëó÷øå ïîíÿòü óñëîâèå çàäà÷è, ïðèäóìàòü ðåøåíèå è ïðîâåðèòü îòâåò. Çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå ðåøàþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî çà êîìïüþòåðîì. Âàæíûé ñîâåò. ×òîáû çàäàíèå ìîæíî áûëî èñïîëüçîâàòü ïîâòîðíî, ïîñëå îêîí÷àíèÿ ðàáîòû ôàéë ñëåäóåò çàêðûòü áåç ñîõðàíåíèÿ; à ñîõðàíÿòü âíîâü âûïîëíåííûå ïîñòðîåíèÿ ñëåäóåò â äðóãîì ôàéëå. Òàê æå ìîæíî ïîñòóïàòü, åñëè ïðè âûïîëíåíèè çàäàíèÿ áûëè äîïóùåíû îøèáêè è íóæíî íà÷àòü âñå ñíà÷àëà. Äðóãîé ïóòü — çàäàòü êîìàíäó îòìåíû ïîñëåäíåãî âûïîëíåííîãî äåéñòâèÿ èç ìåíþ Ïðàâêà (èëè íàæàòü êîìáèíàöèþ êëàâèø <Ctrl+Z>); îòìåíèòü ñðàçó âñå äåéñòâèÿ (ïîñòðîåíèÿ, ïåðåìåùåíèÿ è ò. ä.), âûïîëíåííûå ïîñëå îòêðûòèÿ ôàéëà, ìîæíî êîìàíäîé <Ctrl+Shift+Z>. Îäíàêî ýòî íå âñåãäà îáåñïå÷èâàåò âîçâðàò ÷åðòåæà ê èñõîäíîìó ñîñòîÿíèþ — íà ðèñóíêå ìîãóò ïîÿâèòüñÿ ëèøíèå îáúåêòû (÷òî ñâÿçàíî ñ îñîáåííîñòÿìè ðàáîòû âèðòóàëüíûõ êíîïîê); â òàêîì ñëó÷àå íóæíî âåðíóòüñÿ ê íà÷àëó ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùåé êíîïêè, ïðèñóòñòâóþùåé íà âñåõ ÷åðòåæàõ. Øàáëîíû ñîäåðæàò ãîòîâûå èçîáðàæåíèÿ ñòàíäàðòíûõ ôèãóð, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî ñîçäàâàòü íîâûå ÷åðòåæè, íàäñòðàèâàÿ èëè èçìåíÿÿ çàãîòîâêè. ×åðòåæè ýòîãî òèïà ñíàáæåíû íàèáîëåå ïîëíûì íàáîðîì óïðàâëÿþùèõ ýëåìåíòîâ (ïàíåëü íà ðèñ. 1 âçÿòà ñ øàáëîíà ïàðàëëåëåïèïåäà).  íåêîòîðûå øàáëîíû âñòðîåíû ïîëüçîâàòåëüñêèå èíñòðóìåíòû äëÿ ïîñòðîåíèÿ èçîáðàæåíèé âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ ñ ó÷åòîì âèäèìîñòè èõ ýëåìåíòîâ è èíñòðóìåíòû äëÿ íàíåñåíèÿ òî÷åê íà ïîäâèæíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, ïîçâîëÿþùèå ñòðîèòü èçîáðàæåíèÿ ëþáûõ ôèãóð. Êîíå÷íî, îíè ðàññ÷èòàíû íà èíäèâèäóàëüíóþ ðàáîòó. Íàêîíåö, ïðàêòè÷åñêè âñå ÷åðòåæè êîìïëåêòà ïîäõîäÿò äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé äîìàøíåé ðàáîòû, îäíàêî ó÷èòåëü äîëæåí ïîäðîáíî îáúÿñíèòü, â ÷åì ñîñòîèò çàäàíèå è êàê åãî âûïîëíÿòü. Ïîñêîëüêó ìíîãèå êîíñòðóêöèè â ÷åðòåæàõ ïîÿâëÿþòñÿ òîëüêî ïî õîäó ðàáîòû, ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà çàãîëîâîêêîëîíòèòóë.  íåì óêàçàíà òåìàòèêà ÷åðòåæà è åãî òèï êàê ó÷åáíîãî îáúåêòà. Áîëåå ïîäðîáíî ïîðÿäîê ðàáîòû ñ ÷åðòåæàìè îáúÿñíÿåòñÿ íà ïðèìåðàõ â ñëåäóþùåì ðàçäåëå. 100 Ðàáîòà ñî ñòåðåî÷åðòåæàìè Èëëþñòðàöèÿ Íà ðèñ. 3 ïðèâåäåí ïðèìåð ÷åðòåæà-èëëþñòðàöèè (ê «ïðèçíàêó ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ»). Ðèñóíîê äàåò ÿñíîå è íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î òîì, ÷òî òàêîå ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå, ïîçâîëÿÿ óâèäåòü èõ ñ ðàçíûõ ñòîðîí è ïðè ðàçíûõ ðàñïîëîæåíèÿõ òî÷åê. Ïðî÷óâñòâîâàòü ñìûñë òåîðåìû Ïðèçíàê ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ ïîçâîëÿåò âñòðîåííîå â ÷åðòåæ çàäàíèå (â ýòîì ñìûñëå äàííûé ïðèìåð íåñòàíäàðòíûé): åñëè ïîìåñòèòü ïîäâèæíóþ òî÷êó C íà ïðÿìóþ AB («âðó÷íóþ» èëè Ðèñ. 3 ñ ïîìîùüþ êíîïêè), òî ïðÿìûå ñòàíóò ïåðåñåêàþùèìèñÿ, î ÷åì è ñîîáùèò íàäïèñü ñïðàâà âíèçó. Îïòèìàëüíûé ñïîñîá èñïîëüçîâàíèÿ ýòîãî ÷åðòåæà — äåìîíñòðàöèÿ íà áîëüøîì ýêðàíå ïðè îáúÿñíåíèè ñîîòâåòñòâóþùåé òåìû. Ìîæíî ñäåëàòü è èíà÷å: ñïðÿòàâ ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû, ïðåäëîæèòü ó÷àùèìñÿ ïîýêñïåðèìåíòèðîâàòü è ñàìèì ñôîðìóëèðîâàòü ïðèçíàê ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ, à âîçìîæíî, è îïðåäåëåíèå. Ïðèìåðû èëëþñòðàöèé ñ ïîäñêàçêàìè ðàññìàòðèâàþòñÿ â ñëåäóþùåì ïîäðàçäåëå. Äåìîíñòðàöèÿ Ïîçíàêîìèìñÿ ñ äåìîíñòðàöèåé «Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ» èç òåìû «Óãëû è ðàññòîÿíèÿ â ïðîñòðàíñòâå». Íà èñõîäíîé êàðòèíêå (ðèñ. 4 à) ïîêàçàíû ïëîñêîñòü è ïåðåñåêàþùàÿ åå ïðÿìàÿ (òî÷êè A è M, çàäàþùèå ïðÿìóþ, ìîæíî ïåðåäâèãàòü, à âñþ êîíôèãóðàöèþ â öåëîì âðàùàòü). 101 Íàæàâ íà êíîïêó Îïðåäåëåíèå, ìû óâèäèì (ðèñ. 4 á) åãî ñëîâåñíóþ ôîðìóëèðîâêó è ãðàôè÷åñêóþ èëëþñòðàöèþ ê íåìó. Îäíîâðåìåííî ïîÿâëÿåòñÿ íîâàÿ êíîïêà Óòâåðæäåíèå, Ðèñ. 4 à Ðèñ. 4 á Ðèñ. 4 â 102 âûçûâàþùàÿ ôîðìóëèðîâêó ýêñòðåìàëüíîãî ñâîéñòâà óãëà ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ, à òàêæå êíîïêè ïîøàãîâîãî ïîêàçà åãî äîêàçàòåëüñòâà, âûçûâàåìûå èìè íàäïèñè, êîíòðîëüíûå âîïðîñû è äîïîëíèòåëüíûå ïîñòðîåíèÿ. Íà ðèñ. 4 â ïîêàçàí îêîí÷àòåëüíûé âèä ÷åðòåæà. Ýòà äåìîíñòðàöèÿ ïðåäíàçíà÷åíà äëÿ ïîêàçà ÷åðåç ïðîåêòîð ïðè àêòèâíîì îáñóæäåíèè ñ êëàññîì.  ó÷åáíèêå Ë.Ñ. Àòàíàñÿíà è äð. ðàçáèðàåìîå â íåé óòâåðæäåíèå äàíî â âèäå çàäà÷è (ñ ðåøåíèåì).  êîìïëåêòå èìååòñÿ âòîðîé âàðèàíò ýòîãî æå ÷åðòåæà, â êîòîðîì îòñóòñòâóþò ïîÿñíåíèÿ è âîïðîñû ê äîêàçàòåëüñòâó, íî ïðîâåäåíî äîïîëíèòåëüíîå ïîñòðîåíèå (â ñïèñêå ìàòåðèàëîâ ýòîò ÷åðòåæ îòíåñåí ê èëëþñòðàöèÿì ñ ïîäñêàçêàìè). Åãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü, êîãäà óòâåðæäåíèå ïðåäëàãàåòñÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ. Áîëåå òèïè÷íûé ïðèìåð ÷åðòåæà òîãî òèïà ïîêàçàí íà ðèñ. 5. Ïîñòðîåíèå ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé äàííîé ïðÿìîé a Ðèñ. 5 è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M, çäåñü ïðîèñõîäèò ïî øàãàì: ñíà÷àëà ïðîâîäèòñÿ ïëîñêîñòü ÷åðåç à è M, ïîòîì â ýòîé ïëîñêîñòè — ïåðïåíäèêóëÿð p è ò. ä. Îïèðàÿñü íà ýòîò «ðàçâèâàþùèéñÿ» ðèñóíîê, ó÷àùèåñÿ âîññòàíàâëèâàþò è îáîñíîâûâàþò äåòàëè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîñòðîåíèé è äîêàçàòåëüñòâ. Îáðàòèì âíèìàíèå íà êíîïêè, èìåþùèåñÿ íà ýòîì è ìíîãèõ äðóãèõ ÷åðòåæàõ òîãî æå òèïà. Êíîïêà Âñå øàãè ïîäðÿä ïîçâîëÿåò ïðîñìîòðåòü âñå ïîñòðîåíèå ñ íåáîëüøèìè ïàóçàìè ìåæäó øàãàìè. Ó÷èòåëü ìîæåò âîñïîëüçîâàòüñÿ ýòîé âîçìîæíîñòüþ ïðè îïðîñå. Êíîïêà Ê äîêàçàòåëüñòâó åäèíñòâåííîñòè îñóùåñòâëÿåò ïåðåõîä íà âòîðóþ ñòðàíèöó ÷åðòåæà ê ñîîòâåòñòâóþùåìó ðàññóæäåíèþ, à êíîïêà Ê íà÷àëó äîêàçàòåëüñòâà ñêðûâàåò âñå, ÷òî áûëî ïîêàçàíî ïðè íàæàòèè êíîïîê øàãîâ. Íàêîíåö, íà Ïàíåëè óïðàâëåíèÿ â äàííîì ñëó÷àå èìååòñÿ òîëüêî äâå êíîïêè — îäíà èç íèõ çàïóñêàåò èëè ïðåêðàùàåò âðàùåíèå, à äðóãàÿ óñòàíàâëèâàåò èñõîäíûé óãîë ïîâîðîòà. 103 Çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå ñå÷åíèé  ãðàôå «âèä çàäàíèÿ» ñïèñêà ÷åðòåæåé óêàçàíû òàêèå âèäû çàäàíèé: ïîñòðîåíèå, âû÷èñëåíèå, èçìåðåíèå, èçìåíåíèå, âûáîð ðàêóðñà, à òàêæå èõ êîìáèíàöèè. Áîëüøàÿ ÷àñòü çàäàíèé íà ïîñòðîåíèå — ýòî çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå ñå÷åíèé. Íà ðèñ. 6 ïîêàçàíî îäíî èç òàêèõ çàäàíèé, òî÷íåå, ÷åðòåæ ñ åãî ðåøåíèåì â çàêëþ÷èòåëüíîì ñîñòîÿíèè, ïîñëå ïðîõîäà ïî âñåì øàãàì (ðåøåíèÿ äàíû êî âñåì çàäà÷àì íà ñå÷åíèÿ). Ñî ñòðóêòóðîé ÷åðòåæåé òàêîãî òèïà ìû óæå ïîçíàêîìèëèñü â ïðåäûäóùåì ïîäðàçäåëå. Ðèñ. 6 Îòìåòèì íåêîòîðûå îñîáåííîñòè ñàìîé ìîäåëè íà ýòîì ÷åðòåæå. Âî-ïåðâûõ, äàííûå òî÷êè K, M, N ìîæíî ïðîèçâîëüíî ñìåùàòü âäîëü ðåáåð, íà êîòîðûõ îíè ëåæàò; ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì èçìåíÿåòñÿ è ñå÷åíèå (â ÷àñòíîñòè, îíî ìîæåò ñòàòü ÷åòûð¸õóãîëüíèêîì). Âî-âòîðûõ, ðåáðà ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîïàäàÿ íà åãî íåâèäèìóþ ñòîðîíó ïðè âðàùåíèè ôèãóðû, ñòàíîâÿòñÿ ïóíêòèðíûìè, à íà âèäèìîé ñòîðîíå — ñïëîøíûìè. Òàêèì îáðàçîì, ìîäåëü ïîçâîëÿåò â íàãëÿäíîé ôîðìå èññëåäîâàòü çàäà÷ó âî âñåé ïîëíîòå. Íî ïðåäëàãàòü âñåì ó÷àùèìñÿ ñòðîèòü òàêóþ ìîäåëü íå íóæíî, ñêîðåå, ýòî ïðîåêòíîå çàäàíèå. ×åðòåæ ê çàäàíèþ êàê òàêîâîìó, íà êîòîðîì ó÷åíèêè âûïîëíÿþò ïîñòðîåíèÿ ñàìîñòîÿòåëüíî, ñîäåðæèò òîëüêî èçîáðàæåíèå ïàðàëëåëåïèïåäà è äàííûõ òî÷åê K, M, N, à òàêæå ïàíåëü óïðàâëåíèÿ è òåêñò óñëîâèÿ. Íà ÷åðòåæàõ-çàäàíèÿõ ýôôåêò «íåâèäèìîñòè» ðåáåð íå èñïîëüçóåòñÿ, òàê êàê òî÷êà, ïîñòðîåííàÿ, íàïðèìåð, íà ïóíêòèðíîì ðåáðå, áóäåò èñ÷åçàòü ñ ÷åðòåæà ïðè âðàùåíèè, êîãäà ýòî ðåáðî áóäåò ïîïàäàòü íà âèäèìóþ ñòîðîíó ïàðàëëåëåïèïåäà. 104 Èíñòðóìåíòàðèé ïðîãðàììû Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà ïîçâîëÿåò âûïîëíÿòü íà ýêðàíå öèðêóëåì è ëèíåéêîé îáû÷íûå ïîñòðîåíèÿ — òàêèå æå, êàê íà áóìàãå (êñòàòè, â çàäà÷àõ íà ïîñòðîåíèå ñå÷åíèé ìîæíî — è æåëàòåëüíî — îáõîäèòüñÿ îäíîé ëèíåéêîé).  òî æå âðåìÿ, áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî ðàêóðñ èçîáðàæåíèÿ â ëþáîé ìîìåíò ìîæíî èçìåíèòü, ýòè ïîñòðîåíèÿ ïðîèñõîäÿò êàê áû â ïðîñòðàíñòâå, ÷òî ïðèäàåò ïðîöåññó ðåøåíèÿ íîâîå êà÷åñòâî. Îñîáî âûäåëèì âîçìîæíîñòü ñàìîêîíòðîëÿ: âñå âåðøèíû ïðàâèëüíî ïîñòðîåííîãî ñå÷åíèÿ äîëæíû ëåæàòü â îäíîé ïëîñêîñòè è, ñëåäîâàòåëüíî, â íåêîòîðîì ðàêóðñå îíè îáÿçàòåëüíî ïîïàäóò íà îäíó ïðÿìóþ; ýòî ïðîèñõîäèò, êîãäà íàïðàâëåíèå ïðîåêöèè ñòàíîâèòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïëîñêîñòè ñå÷åíèÿ. Åñëè âåðøèíû íèêîãäà íå îêàçûâàþòñÿ íà îäíîé ïðÿìîé ïðè âðàùåíèÿõ — ïîñòðîåíèå îøèáî÷íî. Àíàëîãè÷íî ìîæíî êîíòðîëèðîâàòü íå òîëüêî ðåçóëüòàò ïîñòðîåíèÿ, íî è êàæäûé åãî øàã. Çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå Ïðèìåð çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå ïîêàçàí íà ðèñ. 7. Ðèñ. 7 Êàê è â áîëüøèíñòâå çàäà÷ ýòîãî òèïà, íà ÷åðòåæå, êðîìå óñëîâèÿ çàäà÷è è ìîäåëè ðàññìàòðèâàåìîé ôèãóðû, èìåþòñÿ ïîëÿ äëÿ ââîäà è ïðîâåðêè îòâåòà. Îáû÷íî ýòî âûäåëåííûå êðàñíûì öâåòîì âåëè÷èíû; â íàøåì ïðèìåðå èõ ÷åòûðå (AM, DM è ò. ä.). Äëÿ ââîäà îòâåòà íóæíî äâàæäû ùåëêíóòü íà ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè÷èíå è îòðåäàêòèðîâàòü åå â îòêðûâàþùåìñÿ îêíå. Íèæå ñëåäóåò áîëåå ïîäðîáíîå îáúÿñíåíèå. 105  Æèâîé Ìàòåìàòèêå åñòü òðè âèäà âåëè÷èí: 1. Èçìåðåíèÿ, òî÷íåå, ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé, ìåíÿþùèåñÿ âìåñòå ñ èçìåðÿåìîé ôèãóðîé; íàïðèìåð, íà ðèñ. 7 ýòî äëèíû èçìåíÿåìûõ îòðåçêîâ m è n, îïðåäåëÿþùèå äàííûå ïî óñëîâèþ äëèíû ðåáåð AB è MB ïèðàìèäû; 2. Ïàðàìåòðû — òî åñòü äåñÿòè÷íûå ÷èñëà, ââîäèìûå íåïîñðåäñòâåííî ñ êëàâèàòóðû; ïðè äâîéíîì ùåë÷êå ìûøüþ íà ïàðàìåòðå îòêðûâàåòñÿ îêîøêî äëÿ ïðîñòîãî ÷èñëîâîãî («òåêñòîâîãî») ââîäà; 3. Âû÷èñëåíèÿ — ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ âûðàæåíèé, ñîñòàâëåííûõ èç âåëè÷èí ëþáûõ òèïîâ ïðè ïîìîùè àëãåáðàè÷åñêèõ îïåðàöèé è ôóíêöèé, çàëîæåííûõ â ïðîãðàììó; ïðè äâîéíîì ùåë÷êå íà âû÷èñëåíèè íà ýêðàíå âûâîäèòñÿ âñòðîåííûé â ïðîãðàììó ìîäóëü Êàëüêóëÿòîð, â êîòîðîì ìîæíî èçìåíèòü ôîðìóëó èëè ïåðåîïðåäåëèòü âõîäÿùèå â íåå âåëè÷èíû. Íàïðèìåð, åñëè âàì íóæíà âåëè÷èíà, ðàâíàÿ 1/3, ïðè÷åì âàñ óñòðàèâàåò åå äåñÿòè÷íîå ïðèáëèæåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî òûñÿ÷íûõ, ìîæíî èñïîëüçîâàòü «ïðîñòîé» ÷èñëîâîé ïàðàìåòð, ïðèñâîèâ åìó çíà÷åíèå 0,333 èëè âìåñòî ýòîãî äåñÿòè÷íîãî çíà÷åíèÿ ââåñòè âûðàæåíèå 1/3 — îíî áóäåò àâòîìàòè÷åñêè ïðåîáðàçîâàíî â äåñÿòè÷íóþ äðîáü (â ïðèíöèïå, â ïîëå ââîäà ïàðàìåòðà äîïóñòèìû ëþáûå àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè). Íî åñëè âàì òðåáóåòñÿ êàê ìîæíî áîëåå òî÷íîå çíà÷åíèå òîé æå äðîáè, ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ «âû÷èñëåíèåì», òî åñòü îòðåäàêòèðîâàòü âåëè÷èíó ñ ïîìîùüþ êàëüêóëÿòîðà, íàáðàâ â åãî îêíå âûðàæåíèå 1/3. Òîãäà çíà÷åíèå äðîáè áóäåò õðàíèòüñÿ â ïàìÿòè êîìïüþòåðà ñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé òî÷íîñòüþ (14–16 çíà÷àùèõ öèôð), õîòÿ, êîíå÷íî, è ýòî çíà÷åíèå íå ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî òî÷íûì. Îòìåòèì, ÷òî íå ñëåäóåò ïóòàòü òî÷íîñòü ýêðàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ÷èñåë ñ òî÷íîñòüþ ïðåäñòàâëåíèÿ â ïàìÿòè (ñì. ðàçäåë «Âíóòðåííÿÿ ìàòåìàòèêà ïðîãðàììû Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà» â ñèñòåìå ïîìîùè ïðîãðàììû). Òàê, åñëè íà ýêðàíå ÷èñëà ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî äâóõ çíàêîâ, òî îáà íàøèõ ÷èñëà áóäóò âûãëÿäåòü êàê 0,33, à åñëè ñ òî÷íîñòüþ äî 6 çíàêîâ, òî 0,333 áóäåò âûãëÿäåòü êàê 0,333000, à 1/3 êàê 0,333333. Åñëè â îêíå êàëüêóëÿòîðà ââåñòè ëþáóþ äåñÿòè÷íóþ äðîáü, òî ïîëó÷åííàÿ âåëè÷èíà àâòîìàòè÷åñêè ïðåîáðàçóåòñÿ â ïàðàìåòð (äåñÿòè÷íîå ÷èñëî); äëÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïàðàìåòðà â âû÷èñëåíèå íóæíî ïðèìåíèòü ê íåìó êîìàíäó Èçìåíèòü ïàðàìåòð (<Ctrl+E>), èìåþùóþñÿ â êîíòåêñòíîì ìåíþ ïàðàìåòðà è â ìåíþ Ïðàâêà. Îòâåòû â çàäà÷àõ âñåãäà ñëåäóåò ââîäèòü ñ ìàêñèìàëüíîé òî÷íîñòüþ — ÷àùå âñåãî, êàê «âû÷èñëåíèå», ïðè÷åì â âèäå âûðàæåíèÿ îò äàííûõ âåëè÷èí, à íå êîíêðåòíîãî ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ. Íàïðèìåð, â íàøåì ïðèìåðå âåðíîå çíà÷åíèå AM ðàâíî . Åñëè äâàæäû ùåëêíóòü íà ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè÷èíå íà ÷åðòåæå (íà AM = 7,57 ñì), òî îòêðîåòñÿ îêíî 106 êàëüêóëÿòîðà ñ âûðàæåíèåì n*2 (ýòî íåêîå ïðîèçâîëüíîå âû÷èñëåíèå, íóæíîå òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òîáû áûëî ïðîùå âûâåñòè íà ýêðàí êàëüêóëÿòîð), êîòîðîå è ñëåäóåò çàìåíèòü èñêîìûì âûðàæåíèåì. Ïðè ýòîì, ÷òîáû âñòàâèòü â ôîðìóëó, íàáèðàåìóþ â êàëüêóëÿòîðå, òðåáóåìóþ âåëè÷èíó (â äàííîì ñëó÷àå m èëè n, ïîìåùåííûå â ôîðìóëèðîâêå óñëîâèÿ), äîñòàòî÷íî äâàæäû ùåëêíóòü íà íåé ìûøüþ. Åñëè â èòîãå ââåäåíî èñòèííîå çíà÷åíèå èñêîìîé âåëè÷èíû, òî ñîîáùåíèå ïîêà íåïðàâèëüíî çàìåíèòñÿ íà âåðíî!, è ýòî ñîîáùåíèå áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ íà ýêðàíå è ïðè âàðèàöèè äàííûõ. Çàìåòèì, êñòàòè, ÷òî â íàøåì ïðèìåðå äàííûå ìîæíî âàðüèðîâàòü êàê ïåðåäâèãàÿ äâèæêè âíèçó ýêðàíà, òàê è ñëó÷àéíûì îáðàçîì (êíîïêîé Íîâûå äàííûå), ïðè÷åì èçîáðàæåíèå ïèðàìèäû áóäåò èçìåíÿòüñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ íîâûìè äàííûìè. Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé ó÷åíèê ìîæåò ïîëó÷èòü ñâîå êîíêðåòíîå çàäàíèå.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äëÿ òîãî, ÷òîáû óâèäåòü ñîîáùåíèå î ïðàâèëüíîñòè îòâåòà ïîñëå åãî ââîäà, íàäî íàæàòü ñïåöèàëüíóþ êíîïêó Ïðîâåðêà. Íàêîíåö, óïîìÿíåì î êíîïêå Ïîäñêàçêà.  ðàññìàòðèâàåìîì ïðèìåðå îíà ïîìîãàåò ðåøèòü çàäà÷è. Ïîäñêàçêà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïèðàìèäà ïîâîðà÷èâàåòñÿ òàê, ÷òîáû ñîâïàëè èçîáðàæåíèÿ òî÷åê A è C, òî åñòü ïîëó÷èëàñü ïðîåêöèÿ âäîëü ïðÿìîé AC (ðèñ. 8). Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ýòîé ïðîåêöèè èñêîìûå Ðèñ. 8 ðàññòîÿíèÿ ðàâíû AM è MB, ñîîòâåòñòâåííî. Âûáîð îïòèìàëüíîãî ðàêóðñà (èëè ìåòîä ïðîåêöèè) — ýòî ìåòîä ðåøåíèÿ ñòåðåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷, êîòîðûé íàèëó÷øèì îáðàçîì îòâå÷àåò èíñòðóìåíòàðèþ íàøèõ ìîäåëåé, ïîñêîëüêó âûáèðàòü ðàêóðñ ìîæíî, íåïîñðåäñòâåííî ïîâîðà÷èâàÿ èçîáðàæåíèå. Äðóãèå âèäû çàäàíèé  íåñêîëüêèõ çàäàíèÿõ êîìïëåêòà òðåáóåòñÿ ïåðåäâèíóòü íåêîòîðûå òî÷êè òàê, ÷òîáû âûïîëíèòü îïðåäåëåííîå óñëîâèå. Íàïðèìåð, â çàäàíèè «Âåêòîðíûå óðàâíåíèÿ» (ðèñ. 9) íóæíî ðàñïîëîæèòü âåêòîð x òàê, ÷òîáû îí óäîâëåòâîðÿë çàäàííîìó ñîîòíîøåíèþ. 107 Î òîì, ÷òî öåëü äîñòèãíóòà, ñîîáùèò íàäïèñü íà ýêðàíå. Ê ýòîìó çàäàíèþ ïðèëàãàþòñÿ èíñòðóìåíòû äëÿ ðèñîâàíèÿ âåêòîðîâ (ñòðåëîê) è äëÿ îòêëàäûâàíèÿ âåêòîðà îò òî÷êè. Ðèñ. 9 Ðèñ. 10 Ïåðâûå ïóíêòû çàäàíèÿ íà òåìó «Êîìïëàíàðíîñòü âåêòîðîâ» (ðèñ. 10) ñîñòîÿò â òîì, ÷òîáû, ïîëüçóÿñü äâèæêàìè íà Ïàíåëè óïðàâëåíèÿ, ïîäîáðàòü òàêîé ðàêóðñ, ïðè êîòîðîì ðàññìàòðèâàåìûå îòðåçêè îêàçûâàþòñÿ íà îäíîé ïðÿìîé — îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñàìè îòðåçêè â ïðîñòðàíñòâå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Íàêîíåö, óïîìÿíåì è î çàäàíèÿõ, â êîòîðûõ òðåáóåòñÿ âûïîëíèòü èçìåðåíèÿ, ÷òîáû âûâåñòè èëè ïðîâåðèòü ôîðìóëû, ñâÿçûâàþùèå íåêîòîðûå âåëè÷èíû. Êîìàíäû èçìåðåíèÿ îïèñàíû â ñîîòâåòñòâóþùåì ðàçäåëå ñïðàâêè ïî ïðîãðàììå. Íàéòè ýòè çàäàíèÿ ìîæíî ïî ñïèñêó ÷åðòåæåé êîìïëåêòà. 108 Øàáëîíû è èíñòðóìåíòû  êîìïëåêòå èìååòñÿ ïÿòü ÷åðòåæåé-øàáëîíîâ. Òðè èç íèõ — ýòî ìîäåëè ìíîãîãðàííèêîâ (íàêëîííîãî è ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäîâ, òåòðàýäðà — ñì. ðèñ. 11). Êðîìå Ïàíåëè óïðàâëåíèÿ ïîëîæåíèåì ñ äâèæêàìè, çàäàþùèìè ïîâîðîò è íàêëîí èçîáðàæåíèÿ, îáùèé ìàñøòàá è ðàçìåðû ôèãóðû, Ðèñ. 11 è êíîïêàìè ñïåöèàëüíûõ «õîðîøèõ» ðàêóðñîâ (î íèõ ìû óæå ãîâîðèëè ðàññìàòðèâàÿ ðèñ. 1), íà ýòèõ ÷åðòåæàõ èìåþòñÿ êíîïêè äëÿ óïðàâëåíèÿ âèäîì, òî÷íåå, ñïîñîáîì ïðåäñòàâëåíèÿ ôèãóðû. Ýòè êíîïêè ïîçâîëÿþò: • ïîêàçûâàòü ãðàíè ìíîãîãðàííèêà èëè ïðÿòàòü èõ, îñòàâëÿÿ òîëüêî «êàðêàñ» èç åãî ðåáåð (îòìåòèì, ÷òî ïðè ïîïàäàíèè íà îáðàòíóþ, íåâèäèìóþ, ñòîðîíó ôèãóðû ãðàíè èñ÷åçàþò, ÷òîáû âíîâü ïîÿâèòüñÿ íà âèäèìîé ñòîðîíå; öâåò êàæäîé ãðàíè îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì ÷èñëîâûì ïàðàìåòðîì, êîòîðûì ìîæíî óïðàâëÿòü); • èçìåíÿòü ïðåäñòàâëåíèå ðåáåð: íà ðèñ. 11 âèäèìûå ðåáðà ïîêàçàíû æèðíûìè ëèíèÿìè, à íåâèäèìîå — ïóíêòèðîì (è ýòî áóäåò ñîáëþäàòüñÿ ïðè âðàùåíèè ïèðàìèäû), íî ìîæíî âñå ðåáðà ïîêàçàòü îäèíàêîâî — ñïëîøíûìè ëèíèÿìè; ýòîò «ïðîñòîé» âèä íóæíî âûáèðàòü, åñëè íà ÷åðòåæå ïðåäïîëàãàåòñÿ ïðîèçâîäèòü êàêèå-òî ïîñòðîåíèÿ; • ïîêàçûâàòü èëè ñêðûâàòü âåðøèíû. Òàêæå ìîæíî óâèäåòü èçîáðàæåíèå íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ýëåìåíòîâ (â íàøåì ïðèìåðå — ìåäèàí òåòðàýäðà, ñèñòåìû êîîðäèíàò, â êîòîðîé îí ïîñòðîåí). Åùå îäíî âàæíîå ñâîéñòâî äàííîé ìîäåëè — âîçìîæíîñòü ïåðåìåùàòü âåðøèíû, ïðîèçâîëüíî èçìåíÿÿ ôîðìó ïèðàìèäû. Ìîäåëè ìíîãîãðàííèêîâ ìîãóò ñëóæèòü çàãîòîâêàìè äëÿ èëëþñòðèðîâàíèÿ èõ ðàçíîîáðàçíûõ ñâîéñòâ èëè îñíîâîé äëÿ äîïîëíèòåëüíûõ ïîñòðîåíèé, ïîçâîëÿþùåé ñîçäàâàòü ìîäåëè áîëåå ñëîæíûõ ôèãóð. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ìîäåëåé íåíóæíûå êíîïêè ñëåäóåò ñïðÿòàòü èëè âîîáùå óäàëèòü (ïàðàìåòðû óäàëÿòü íåëüçÿ!). ×åðòåæ Èçîáðàæåíèå íåâèäèìûõ ýëåìåíòîâ ñîäåðæèò ìîäåëü ïðàâèëüíîé ÷åòûð¸õóãîëüíîé ïèðàìèäû íà îäíîé èç ñòðàíèö, 109 íî ãëàâíîå åãî íàçíà÷åíèå â äðóãîì: â íåì «óïàêîâàíû» èíñòðóìåíòû äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé ñ ýôôåêòîì íåâèäèìûõ ðåáåð è ãðàíåé, ïîäîáíûì îïèñàííîìó âûøå. Ïðàâèëà èñïîëüçîâàíèÿ ýòèõ èíñòðóìåíòîâ ïîäðîáíî îáúÿñíÿþòñÿ â ñàìîì ÷åðòåæå. Íà ÷åðòåæå Îñíîâíîé øàáëîí äëÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîíñòðóêöèé èçîáðàæåíû îñè OX, OY è OZ âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò è ïàíåëü óïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿìè. Ìîæíî âçÿòü òî÷êó íà êàæäîé îñè (x, y, z, ñîîòâåòñòâåííî) è ïîñòðîèòü ïî ýòèì òî÷êàì èçîáðàæåíèå òàêîé òî÷êè A, ÷òîáû åå ïðîåêöèÿ íà îñü OX ïàðàëëåëüíî ïëîñêîñòè OYZ ñîâïàäàëà ñ òî÷êîé x, à àíàëîãè÷íûå ïðîåêöèè íà äâå äðóãèå îñè ñîâïàäàëè ñ y è z. Òîãäà ïðè âðàùåíèè ñèñòåìû êîîðäèíàò òî÷êà A áóäåò âðàùàòüñÿ âìåñòå ñ íåé. Ïîñòðîèâ äîñòàòî÷íîå ÷èñëî òî÷åê, ìîæíî ïîëó÷èòü èçîáðàæåíèå ëþáîé ôèãóðû, «ïðèâÿçàííîé» ê ñèñòåìå êîîðäèíàò.  ôàéëå èìåþòñÿ èíñòðóìåíòû, îáëåã÷àþùèå ïîñòðîåíèå òî÷åê, ïðèâÿçàííûõ ê îñÿì: îäèí èç íèõ ñòðîèò òî÷êó ñ çàäàííûìè ÷èñëîâûìè çíà÷åíèÿìè êîîðäèíàò, à äðóãîé — â ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé äâå äàííûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå ñòðîèò òî÷êó, êîòîðàÿ âðàùàåòñÿ âìåñòå ñ ïëîñêîñòüþ è êîòîðóþ, â òî æå âðåìÿ, ìîæíî ïåðåìåùàòü ïî ïëîñêîñòè. Äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ ïî ðàññìîòðåííûì âîïðîñàì ìîæíî íàéòè â ñëåäóþùèõ èñòî÷íèêàõ. 1. Äóáðîâñêèé Â.Í. Íåîæèäàííûé ðàêóðñ. — «Êâàíò» ¹2, 1980. 2. Äóáðîâñêèé Â.Í. Ñòåðåîìåòðèÿ ñ êîìïüþòåðîì. — «Êîìïüþòåðíûå èíñòðóìåíòû â îáðàçîâàíèè» ¹6, 2003. 3. Äóáðîâñêèé Â.Í. è äð. Îáðàçîâàòåëüíûé êîìïëåêñ «Ìàòåìàòèêà, 5– 11 êëàññû. Ïðàêòèêóì». — ÇÀÎ «1Ñ», ÈÍÒ è äð., 2002–2005. 110 Ìîäåëè òèïè÷íûõ ôîðì èñïîëüçîâàíèÿ ÆÌ Â ýòîì àëüáîìå ïðåäñòàâëåíû ìîäåëè, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëåçíû êàê äëÿ îáúÿñíåíèÿ íîâîãî ìàòåðèàëà, òàê è äëÿ çàêðåïëåíèÿ ïîëó÷åííûõ çíàíèé: «äåìîíñòðàöèÿ», «çàäà÷íèê», «ó÷åáíèê», «ïðîåêò». Ìîäåëè äàþò ãðàôè÷åñêèé îáðàç ïîíÿòèé è èõ ñâÿçåé â äèíàìèêå è èëëþñòðèðóþò òàêèå òåìû è ïîíÿòèÿ êàê ïðîèçâîäíàÿ, èíòåãðàë, ïðîèçâîäíàÿ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè è åå ñâîéñòâà, ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ, ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå êâàäðàòíîãî íåðàâåíñòâà. Îñíîâíàÿ öåëü ìîäåëåé, ñëóæàùèõ äëÿ çàêðåïëåíèÿ ïîëó÷åííûõ çíàíèé, — äàòü ó÷åíèêó èíñòðóìåíò äëÿ ñàìîñòîÿ­ òåëüíîé ðàáîòû â ðàìêàõ îñâîåíèÿ íîâîé òåìû, ïîìî÷ü ó÷àùèìñÿ ñâÿçàòü ãðàôè÷åñêèé îáðàç ïîíÿòèé è èõ òî÷íûå îïðåäåëåíèÿ; îâëàäåòü ïîíÿòèÿìè íàñòîëüêî, ÷òîáû äîáèâàòüñÿ òðåáóåìûõ ðåçóëüòàòîâ; îñâîèòü ïîíÿòèÿ íå òîëüêî íà êà÷åñòâåííîì, íî è íà êîëè÷åñòâåííîì óðîâíå, ïðîâîäÿ èçìåðåíèÿ è ïðîâåðÿÿ ñîîòâåòñòâèå ðåçóëüòàòîâ çàäàííûì èëè îæèäàåìûì çíà÷åíèÿì; ðàçîáðàòüñÿ â ñâÿçÿõ âïåðâûå ââîäèìûõ ïîíÿòèé ñ óæå îñâîåííûìè; îáðàòèòü âíèìàíèå íà äåòàëè, îñîáåííî ïðîïåäåâòè÷åñêîãî õàðàêòåðà. Çäåñü ïðåäëàãàþòñÿ ìîäåëè ïî ñëåäóþùèì òåìàì: • äðîáíî-ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, òåîðåìà Ïèôàãîðà, ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ïàðàáîëû; • íåïðåðûâíûé ñïåêòð êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèé, çàäà÷à Åâêëèäà, îñâîåíèå ïîíÿòèé ñðåäíåãî è äèñïåðñèè äëÿ äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Êëàññ çàäà÷ «íà ïîñòðîåíèå» ïî÷òè íå èìååò àíàëîãà â øêîëüíîé àëãåáðå è íà÷àëàõ àíàëèçà. Ìåæäó òåì ðîëü ýòèõ çàäà÷ òðóäíî ïåðåîöåíèòü. Áîëåå òîãî, ñîäåðæàùèéñÿ â íèõ àëãîðèòìè÷åñêèé ýëåìåíò íåîáõîäèì äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ ìûøëåíèÿ, ðåàëèçóþùåãî öåëîñòíûé ïîäõîä. Ïîýòîìó çàäà÷è èç êóðñà èíôîðìàòèêè, íàïðàâëåííûå íà îñâîåíèå àëãîðèòìè÷åñêîãî ïîäõîäà, íå çàìåíÿþò ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ íà ïîñòðîåíèå, íî ìîãóò (è äîëæíû) äîïîëíÿòü èõ. Èìåííî â ýòîì êëàññå çàäà÷ äèäàêòè÷åñêèå âîçìîæíîñòè Æèâîé Ìàòåìàòèêè îñîáåííî âåëèêè áëàãîäàðÿ èñêëþ÷èòåëüíîé ÿñíîñòè è öåëüíîñòè çàëîæåííûõ â íåé ïðèíöèïîâ êîíñòðóèðî­ âàíèÿ. Èëëþñòðàöèåé ê ýòîìó ðàçäåëó ÿâëÿþòñÿ è ÷åðòåæè, è íàáîðû ñöåíàðèåâ è èíñòðóìåíòîâ: ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ ïî äâóì ñòîðîíàì è äâóì ïðèëåãàþùèì ê íèì, ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè, ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ ïî òðåì ñòîðîíàì, òðåóãîëüíèêè ñ òðåìÿ ðàâíûìè óãëàìè, çàäà÷à çàìîùåíèÿ ïëîñêîñòè ïðàâèëüíûìè ìíîãîóãîëüíèêàìè è èõ êîìïëåêñàìè. 111 Çàäà÷è íà ðàçâèòèå ãåîìåòðè÷åñêîé èíòóèöèè è àëãîðèòìè­ ÷åñêîãî âîîáðàæåíèÿ — óíèêàëüíûé êëàññ çàäà÷, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ìîãëè áû âûïîëíÿòüñÿ ó÷àùèìèñÿ íà ó÷åáíûõ ìåõàíè÷åñêèõ øàðíèðíûõ ìîäåëÿõ. ×àñòü ýòèõ çàäà÷ ïîñòðîåíà ïî ïðèíöèïó «÷åðíîãî ÿùèêà» — íàáëþäåíèÿ çà äâèæåíèåì âåäóùèõ è âåäîìûõ òî÷åê (ýëåìåíòîâ) ïîçâîëÿþò âûñêàçàòü ïðåäïîëîæåíèÿ î íåâèäèìîì ìåõàíèçìå (àëãîðèòìå ïîñòðîåíèÿ ôèãóðû â öåëîì), ñâÿçûâàþùåì «âõîä» è «âûõîä». Çäåñü ïðèâåäåíû øåñòü âàðèàíòîâ òàêèõ çàäà÷. Ñàìûå òèïè÷íûå ôîðìû èñïîëüçîâàíèÿ ÆÌ â çàíÿòèÿõ ñ ó÷àùèìèñÿ — ýòî äåìîíñòðàöèîííàÿ ôîðìà (çäåñü: ôèëüì), òðàäèöèîííàÿ ôîðìà îñâîåíèÿ ìàòåðèàëà (çäåñü: çàäà÷íèê); ôîðìà ðàáîòû ñ íîâûì ïîíÿòèåì (çäåñü: ó÷åáíèê); ïðîåêòíàÿ ôîðìà ðàáîòû (çäåñü: ïðîåêò). «Ôèëüì» — ýòî ÷åðòåæ, êîòîðûé íà÷èíàåò ðàáîòàòü ïðè îòêðûòèè è íå òðåáóåò íèêàêèõ äåéñòâèé îò ó÷àùåãîñÿ. Ïðè ïîäãîòîâêå òàêîãî ÷åðòåæà èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå âîçìîæíîñòè ÆÌ: • êîìàíäà ÖÅÏÎ×ÊÀ ñîçäàåò êíîïêó, ïîî÷åðåäíî è ñ çàäàííûìè ïàóçàìè âêëþ÷àþùóþ ðÿä äðóãèõ êíîïîê. • êîìàíäà ñîçäàíèÿ êíîïîê ÑÏÐßÒÀÒÜ/ÏÎÊÀÇÀÒÜ ïîçâîëÿåò ïîäãîòîâèòü îáúåêò (÷åðòåæ, òåêñò, êíîïêó, ãðàôè÷åñêèé ôàéë, âñòàâëåííûé èç PAINT èëè PHOTOSHOP) äëÿ ïîêàçà åãî â íóæíûé ìîìåíò âðåìåíè. • êíîïêè ÌÓËÜÒÈÏËÈÊÀÖÈß è ÄÂÈÆÅÍÈÅ äàþò âîçìîæíîñòü îðãàíèçîâàòü äâèæåíèå â ÷åðòåæå. • ïîñðåäñòâîì êîìàíäû ÖÅÏÎ×ÊÀ â êà÷åñòâå êíîïêè âêëþ÷àþòñÿ ïðèëîæåíèÿ, íàïðèìåð, ìóçûêà, ðå÷ü, âèäåîôðàãìåíò è ò. ï. • ìóçûêàëüíûé ôàéë âîñïðîèçâîäèòñÿ ñèñòåìíûìè ñðåäñòâàìè òàê, ÷òî îí ìîæåò èäòè îäíîâðåìåííî ñ ìóëüòèïëèêàöèåé â ÷åðòåæå ÆÌ. Òèïîâûå «÷åðòåæè-çàäà÷è» (çàäà÷íèê) îòëè÷àþòñÿ ïî ñòåïåíè àêòèâíîñòè ó÷àùåãîñÿ, íåîáõîäèìîé äëÿ ðàáîòû ñ íèìè. Ñàìàÿ ïðîñòàÿ ôîðìà — ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ãîòîâàÿ êîíñòðóêöèÿ è èíñòðóêöèÿ-òåêñò, ðàçâîðà÷èâàþùèéñÿ ïî ìåðå îòâåòîâ. Áîëåå ñëîæíàÿ ôîðìà ïðåäóñìàòðèâàåò ñàìîñòîÿòåëüíûå ïîñòðîåíèÿ ïî õîäó ðåøåíèÿ çàäà÷è. Ïðè ïîäãîòîâêå òàêèõ ÷åðòåæåé èñïîëüçóþòñÿ âîçìîæíîñòè ïîÿâëåíèÿ ïîäñêàçîê â çàâèñèìîñòè îò äåéñòâèé ó÷àùèõñÿ. Íàïðèìåð, ãðàôè÷åñêèé ôàéë, âñòàâëåííûé â ÷åðòåæ êàê ïîòîìîê òî÷êè, âèäèì òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòà òî÷êà ñóùåñòâóåò. Òàê æå âåäåò ñåáÿ è èìÿ òàêîé òî÷êè, äàæå åñëè îíî çàäàíî êàê âèäèìîå. Íàïîìíèì, ÷òî òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ îòðåçêîâ ìîæåò ñóùåñòâîâàòü, íàïðèìåð, â çàâèñèìîñòè îò èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ. Êðîìå òîãî, óäîáíî èñïîëüçîâàòü ñî÷åòàíèÿ êíîïîê ÖÅÏÎ×ÊÀ è ÑÏÐßÒÀÒÜ/ÏÎÊÀÇÀÒÜ. «Ó÷åáíèêîì» ìû çäåñü íàçûâàåì ìàòåðèàë, ïðè ïîìîùè êîòîðîãî ââîäÿòñÿ è îáúÿñíÿþòñÿ íîâûå ïîíÿòèÿ êóðñà. Ïðèìåðíàÿ ñõåìà òàêîâà: íà÷èíàåì ñ óïðàâëÿåìîé äåìîíñòðàöèè, 112 ñëóæàùåé äëÿ ââåäåíèÿ è ðàçúÿñíåíèÿ ïîíÿòèÿ, çàòåì ñëåäóåò ñåðèÿ èç íåñêîëüêèõ íåñëîæíûõ çàäà÷ íà îâëàäåíèå ïîíÿòèåì, è, íàêîíåö, åñëè ââîäèìîå ïîíÿòèå ýòî ïîçâîëÿåò, èäóò çàäàíèÿ íà îñâîåíèå áèáëèîòåêè îïåðàöèé, ñâÿçàííûõ ñ ââåäåííûì ïîíÿòèåì. Äëÿ ïîäãîòîâêè òàêèõ ÷åðòåæåé èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå âîçìîæíîñòè ÆÌ: • ñðåäñòâà, ïåðå÷èñëåííûå äëÿ äåìîíñòðàöèé è çàäà÷, ñ îñîáûì âíèìàíèåì ê âîçìîæíîñòÿì äèçàéíà (öâåò, ðàìêè, ôîðìàò, âñòàâêè, ðàñïîëîæåíèå); • êîìàíäà ÏÎÑÒÐÎÈÒÜ… ÆÈÂÎÉ ÑËÅÄ, äàþùàÿ ìîùíîå ñðåäñòâî îáîçðåíèÿ ïðîñòðàíñòâà êîíôèãóðàöèé âî ìíîãèõ çàäà÷àõ; • ñîçäàíèå è ïîääåðæêà áèáëèîòåêè ËÈ×ÍÛÕ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÎÂ. Ïðîåêò â ÆÌ ìîæíî îïðåäåëèòü êàê çàäà÷ó êîíöåíòðè÷åñêîé ñëîæíîñòè. Îáû÷íî â òàêîé çàäà÷å çàäàåòñÿ îäèí–äâà ïðÿìûõ («íàâîäÿùèõ») âîïðîñà è ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåñòè äàëüíåéøåå èññëåäîâàíèå óæå ñàìîñòîÿòåëüíî. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñëåäóþùèå âîïðîñû ó÷àùèéñÿ äîëæåí ñòàâèòü ñåáå ñàì — è ñàì æå íà íèõ îòâå÷àòü, íî ïèñüìåííî è â êîíòàêòå ñ ïðåïîäàâàòåëåì. Äåÿòåëüíîñòü òàêîãî ðîäà òðåáóåò îò ó÷àùåãîñÿ íàâûêà ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû ñ ïðîãðàììîé, ïðåæäå âñåãî â ïîñòðîåíèè è â ïðîâåðêå ãèïîòåç — â èçìåðåíèÿõ (ìåíþ ÈÇÌÅÐÅÍÈß) è âû÷èñëåíèÿõ (ÊÀËÜÊÓËßÒÎÐ). Âàæíî íàó÷èòüñÿ îôîðìëÿòü ðàáîòó â âèäå ëè÷íûõ èíñòðóìåíòîâ ñ êîììåíòàðèÿìè è ñîáèðàòü èõ â ïàïêè. Çäåñü ïðèãîäèòñÿ è âîçìîæíîñòü ñáðàñûâàòü ÷åðòåæè â ôàéë â ôîðìàòå WMF. ×àñòî ïðèõîäèòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ àâòîâûçîâîì íåêîòîðûõ îáúåêòîâ, îáùèõ äëÿ íåñêîëüêèõ èíñòðóìåíòîâ. Ïðèìåíÿåòñÿ è êîìàíäà ÒÀÁËÈÖÛ — âûâîä ñîáðàííîé â ÆÌ èíôîðìàöèè â ÷èñëåííîì âèäå äëÿ îáðàáîòêè â äðóãèõ ñðåäàõ. 113 ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÛÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ Çàäàíèÿ è ïðîåêòû äëÿ øêîëüíèêîâ 5–6 êëàññîâ Äàííûé àëüáîì ñîäåðæèò ìàòåðèàëû äëÿ ïðîïåäåâòè÷åñêîãî êóðñà çíàêîìñòâà ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè ïîíÿòèÿìè ó÷åíèêîâ ìëàäøèõ êëàññîâ â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà. Öåëü ýòîãî ìîäóëÿ — ðàçâèòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìûøëåíèå è íàó÷èòü øêîëüíèêîâ 5–6 êëàññîâ ïðèìåíÿòü êîìïüþòåðû äëÿ ðåøåíèÿ ðàçíîîáðàçíûõ çàäà÷. Àâòîð ñòðåìèëñÿ íå ñòîëüêî ñîîáùèòü íîâûå ñâåäåíèÿ, ñêîëüêî «îæèâèòü» è îñâåæèòü â ïàìÿòè ó÷åíèêîâ ïðîñòåéøèå ãåîìåòðè÷åñêèå ôàêòû, ñ êîòîðûìè îíè óæå âñòðå÷àëèñü íà óðîêàõ ìàòåìàòèêè. Çàäàíèÿ íîñÿò ýêñïåðèìåíòàëüíûé õàðàêòåð, îíè ó÷àò øêîëüíèêîâ ïîäìå÷àòü çàêîíîìåðíîñòè, âûñêàçûâàòü è ïðîâåðÿòü ãèïîòåçû. 210 çàíèìàòåëüíûõ çàäàíèé ðàñïðåäåëåíû ïî 27 òåìàì.  òåìàõ «Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêà», «Ëîìàíàÿ», «Ëó÷, ïðÿìàÿ, îòðåçîê», «Òðåóãîëüíèê», «Ïðÿìîóãîëüíèê», «Ïëîùàäü è ïåðèìåòð ìíîãîóãîëüíèêà», «Ðàâåíñòâî ôèãóð», «Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà», «Îêðóæíîñòü», «Óãîë», «Áèññåêòðèñà óãëà», «Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíàìè è óãëàìè òðåóãîëüíèêà», «Ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ», «Ïàðàëëåëîãðàìì», «Äåëåíèå îòðåçêà íà n ÷àñòåé», «Âïèñàííûå óãëû», «Âïèñàííûå è îïèñàííûå ìíîãîóãîëüíèêè» ó÷åíèê ñòðîèò è èññëåäóåò óæå çíàêîìûå åìó ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Íîâûì çäåñü ÿâëÿåòñÿ «íàáëþäåíèå» çà ôèãóðîé ïðè åå äâèæåíèè ïî ÷åðòåæó. Ó÷åíèêó íóæíî íàéòè çàêîíîìåðíîñòè äâèæåíèÿ è ñäåëàòü èç ýòèõ íàáëþäåíèé îáîñíîâàííûå âûâîäû. Òåìû «Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ», «Îñåâàÿ è öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ», «Àëãîðèòìû ïîñòðîåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð», «Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà», «Ðàçíîå», «Äâèæåíèå ôèãóð è èõ òðàåêòîðèÿ», «Îðíàìåíòû», «Ïðÿìàÿ Ýéëåðà», «Âíåâïèñàííûå îêðóæíîñòè», «Èçáðàííûå çàäà÷è è òåîðåìû», âûõîäÿùèå çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû, ðàññ÷èòàíû íà «ïðîäâèíóòûõ» ó÷åíèêîâ. Êàæäîå çàäàíèå ñîäåðæèò ïîäðîáíîå ïîøàãîâîå ðóêîâîäñòâî ïî ñîçäàíèþ ÷åðòåæà è íå íóæäàåòñÿ â äîïîëíèòåëüíîì îïèñàíèè. Ïåðå÷åíü âñåõ çàäàíèé ïîìåùåí â êîíöå îïèñàíèÿ äàííîãî àëüáîìà. Íèæå ïðèâîäÿòñÿ êîììåíòàðèè ê äâóì ðàçäåëàì àëüáîìà — «Òðåóãîëüíèê: çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè è ëèíèè» è «Îðíàìåíòû». 114 Òðåóãîëüíèê: çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè è ëèíèè  àëüáîì âêëþ÷åíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ÷åðòåæåé, ñâÿçàííûõ ñ òåìîé «Òðåóãîëüíèêè». Êàæäîå òàêîå çàäàíèå ñîäåðæèò ïîøàãîâûå èíñòðóêöèè, ïîçâîëÿþùèå ïðîâîäèòü ãåîìåòðè÷åñêèå ýêñïåðèìåíòû, «ïîäñêàçêè» è íåêîòîðûå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ. Íàëè÷èå òåîðåòè÷åñêîé ÷àñòè îñâîáîæäàåò ïîëüçîâàòåëÿ îò íåîáõîäèìîñòè èìåòü ïðè ñåáå ó÷åáíèê ïðè ðàáîòå ñ êîìïüþòåðíûì àëüáîìîì. Ïðåäñòàâëåí íàáîð ÷åðòåæåé, èëëþñòðèðóþùèõ çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè è ëèíèè â òðåóãîëüíèêå, ïðèìåðû óðîêîâ ïî ïîñòðîåíèþ òàêèõ ÷åðòåæåé â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà.  îñíîâå ëåæàò ìàòåðèàëû ïðîåêòíîé ðàáîòû, ïðîâåäåííîé â 6–7 êëàññàõ øêîëû ¹ 1012 Çàïàäíîãî îêðóãà ãîðîäà Ìîñêâû, öåëüþ êîòîðîé áûëî ïðîèëëþñòðèðîâàòü èçâåñòíûå è îáíàðóæèòü íîâûå ôàêòû î çàìå÷àòåëüíûõ òî÷êàõ òðåóãîëüíèêà è èõ ñâîéñòâàõ. Çäåñü ñîäåðæàòñÿ ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé è èññëåäîâàíèé, êàê ïðàâèëî, ñâÿçàííûõ ñ êîìïüþòåðíûìè ýêñïåðèìåíòàìè â âèðòóàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëàáîðàòîðèè Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìàòèçèðîâàí­ íûé íàáîð êîìïüþòåðíûõ ÷åðòåæåé, èëëþñòðèðóþùèõ òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë î çàìå÷àòåëüíûõ òî÷êàõ òðåóãîëüíèêà. ×åðòåæè â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà íåñðàâíåííî íàãëÿäíåå òðàäèöèîííûõ. Îíè ýñòåòè÷åñêè ïðèâëåêàòåëüíû, èìè ìîæíî óïðàâëÿòü, èõ ìîæíî ðåäàêòèðîâàòü. Äåôîðìèðóÿ ÷åðòåæ è îäíîâðåìåííî íàáëþäàÿ çà çàìå÷àòåëüíûìè òî÷êàìè, ó÷åíèêè ïðîâåðÿþò ñîõðàíÿåìîñòü íàáëþäàåìûõ ôàêòîâ ïðè ðàçëè÷íûõ ôîðìàõ òðåóãîëüíèêà. Äâèãàÿ ýëåìåíòû ÷åðòåæà â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà, îíè óáåæäàþòñÿ â èñòèííîñòè ïðèâåäåííûõ ó÷èòåëåì óòâåðæäåíèé èëè âûäâèãàåìûõ ñàìèìè øêîëüíèêàìè ãèïîòåç. Ýòè óòâåðæäåíèÿ ïðîâåðÿåìû ñòîëüêî ðàç, ñêîëüêî íóæíî, ÷òîáû ïîëíîñòüþ ñíÿòü ñîìíåíèÿ — ó÷àùèåñÿ íèêîãäà íå ðàáîòàþò ñ åäèíñòâåííûì òðåóãîëüíèêîì, à âñåãäà ñ öåëûì èõ ñåìåéñòâîì. Ïðè âðàùåíèè òðåóãîëüíèêà ïî îïèñàííîé îêðóæíîñòè, çàìå÷à­ òåëüíûå òî÷êè òîæå îïèñûâàþò îêðóæíîñòè ðàçíûõ äèàìåòðîâ, çàâèñÿùèõ îò âèäà òðåóãîëüíèêà. Äëÿ ðàçâèòèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé èíòóèöèè ó÷åíèêàì ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåñòè èññëåäîâàíèÿ íà îïðåäåëåíèå «ñëåäîâ» äâèæóùèõñÿ «çàìå÷àòåëüíûõ» òî÷åê. Ïîëó÷åííûå ÷åðòåæè ïðèâåäåíû â òðåòüåé ÷àñòè ýòîãî ðàçäåëà. Ðàáîòó ïî ýòîé òåìå æåëàòåëüíî íà÷èíàòü â 6 êëàññå — ñ ñîñòàâëåíèÿ «ýíöèêëîïåäèè» çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê òðåóãîëüíèêà (â âèäå áðîøþðû), â êîòîðóþ ìîæíî âêëþ÷èòü òåêñòîâûé êîììåíòàðèé — âñå íàáëþäåíèÿ, ïðîâîäèìûå äåòüìè, è ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé — ÷åðòåæè.  ñòàðøèõ êëàññàõ ê ýòèì ÷åðòåæàì ìîæíî âåðíóòüñÿ, ÷òîáû ïîäâåñòè ïîä ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû òåîðåòè÷åñêóþ áàçó. 115 Ìàòåðèàëû â ðàìêàõ øêîëüíîé ïðîãðàììû  ýòîé ÷àñòè ñîáðàíû ÷åðòåæè, èëëþñòðèðóþùèå ñâîéñòâà òðåóãîëüíèêà. Îíè ïîìîãóò ó÷èòåëþ îðãàíèçîâàòü ïðîöåññ èçó÷åíèÿ è ïîâòîðåíèÿ ìàòåðèàëà. Çàìå÷àòåëüíûå ëèíèè â òðåóãîëüíèêå Ìåäèàíà Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé âåðøèíó òðåóãîëüíèêà ñ ñåðåäèíîé ïðîòèâîëåæàùåé ñòîðîíû. Áèññåêòðèñà âíóòðåííåãî óãëà Îòðåçîê áèññåêòðèñû óãëà òðåóãîëüíèêà, ñîåäèíÿþùèé âåðøèíó òðåóãîëüíèêà ñ òî÷êîé ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû. Áèññåêòðèñà âíåøíåãî óãëà Ëó÷, äåëÿùèé âíåøíèé óãîë ïîïîëàì. Âûñîòà Ïåðïåíäèêóëÿð, ïðîâåäåííûé èç âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ê ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð Ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ñòîðîíå òðåóãîëüíèêà è äåëÿùàÿ åå ïîïîëàì. 116 Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ìåäèàíû, áèññåêòðèñû è âûñîòû  ëþáîì òðåóãîëüíèêå áèññåêòðèñà ëåæèò âíóòðè óãëà, îáðàçîâàííîãî âûñîòîé è ìåäèàíîé, ïðîâåäåííûìè èç ýòîé æå âåðøèíû. Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè â òðåóãîëüíèêå Ñâîéñòâà ìåäèàí Òåîðåìà: òðè ìåäèàíû ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå è äåëÿòñÿ ýòîé òî÷êîé â îòíîøåíèè 2:1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû. Äàííàÿ òî÷êà âñåãäà íàõîäèòñÿ âíóòðè òðåóãîëüíèêà. Ÿ íàçûâàþò öåíòðîì ìåäèàí èëè öåíòðîì òÿæåñòè òðåóãîëüíèêà. Êàæäàÿ ìåäèàíà äåëèò òðåóãîëüíèê íà äâà òðåóãîëüíèêà îäèíàêîâîé ïëîùàäè. Òðè ìåäèàíû äåëÿò òðåóãîëüíèê íà øåñòü ðàâíîâåëèêèõ òðåóãîëüíèêîâ. Ðàñïîëîæåíèå öåíòðà òÿæåñòè òðåóãîëüíèêà Îñòðîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê Òóïîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê 117 Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê Ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê Ïðàâèëüíûé (ðàâíîñòîðîííèé) òðåóãîëüíèê Ñâîéñòâà áèññåêòðèñû Òåîðåìà: âíóòðåííèå áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå, êîòîðàÿ âñåãäà ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà. Ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà äåëèò ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó íà ÷àñòè, ïðîïîðöèîíàëüíûå äâóì äðóãèì ñòîðîíàì: à1/à2 = b/ñ Âíóòðåííÿÿ è âíåøíÿÿ áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îäíó âåðøèíó òðåóãîëüíèêà, âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. 118 Äâå áèññåêòðèñû âíåøíèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà, ïðèëåæàùèå ê îäíîé ñòîðîíå, ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ðàñïîëîæåíèå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ òðåóãîëüíèêà Îñòðîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê Òóïîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê Ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê Ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê 119 Ñâîéñòâà âûñîò Òåîðåìà Àðõèìåäà: ïðÿìûå, ñîäåðæàùèå âûñîòû òðåóãîëüíèêà, ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà íàçûâàåòñÿ îðòîöåíòðîì. Îðòîöåíòð îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà. Îðòîöåíòð ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé ïðÿìîãî óãëà. Îðòîöåíòð òóïîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ëåæèò âíå òðåóãîëüíèêà. Îðòîöåíòð ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà áëèæå ê îñíîâàíèþ. Îðòîöåíòð ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà è ñîâïàäàåò ñ òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí, áèññåêòðèñ è ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ. 120 Ñâîéñòâà ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ Ïðÿìûå, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà â èõ ñåðåäèíàõ, íàçûâàþòñÿ ñåðåäèííûìè ïåðïåíäèêóëÿðàìè (ìåäèàòðèñàìè). Òðè ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì îïèñàííîé îêðóæíîñòè.  îñòðîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà.  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ñîâïàäàåò ñ ñåðåäèíîé ãèïîòåíóçû. 121  òóïîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ëåæèò âíå òðåóãîëüíèêà. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ëåæèò íà ìåäèàíå (áèññåêòðèñå, âûñîòå) ïðîâåäåííîé ê îñíîâàíèþ. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ñîâïàäàåò ñ åãî öåíòðîì. Ñâîéñòâà ñåðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà è áèññåêòðèñû Ïðîäîëæåíèå áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàåòñÿ ñ ñåðåäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì â òî÷êå, ëåæàùåé íà îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà. 122 Ìàòåðèàëû âíå ðàìîê øêîëüíîé ïðîãðàììû  ýòîé ÷àñòè îáñóæäàþòñÿ âîïðîñû, ëåæàùèå âíå øêîëüíîé ïðîãðàììû, íî êîòîðûå ìîãóò áûòü èíòåðåñíû äëÿ âíåóðî÷íîé äåÿòåëüíîñòè è ìîòèâèðîâàííûõ ó÷àùèõñÿ. Òî÷êà Æåðãîíû Ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ñ òî÷êàìè êàñàíèÿ âïèñàííîé îêðóæíîñòè, ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýòó òî÷êó íàçûâàþò òî÷êîé Æåðãîíû. Âíåâïèñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà. Òî÷êà Íàãåëÿ Âíóòðåííÿÿ áèññåêòðèñà îäíîãî èç óãëîâ òðåóãîëüíèêà è âíåøíèå áèññåêòðèñû äâóõ äðóãèõ åãî óãëîâ, ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì âíåâïèñàííîé îêðóæíîñòè. Äëÿ âñÿêîãî òðåóãîëüíèêà ñóùåñòâóþò òðè âíåâïèñàííûõ îêðóæíîñòè. Ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ñ òî÷êàìè êàñàíèÿ âíåâïèñàííûõ îêðóæíîñòåé ñî ñòîðîíàìè òðåóãîëüíèêà, ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýòó òî÷êó íàçûâàþò òî÷êîé Íàãåëÿ. 123 Ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ñ òî÷êàìè êàñàíèÿ âïèñàííîé èëè âíåâïèñàííîé îêðóæíîñòè, ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýòî òîæå òî÷êà Íàãåëÿ. Ïåðïåíäèêóëÿðû ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà èç öåíòðîâ âíåâïèñàííûõ â íåãî îêðóæíîñòåé ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýêñòðåìàëüíûå câîéñòâà òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ âíóòðè òðåóãîëüíèêà • Âíóòðè òðåóãîëüíèêà ñóùåñòâóåò òî÷êà, ñóììà ðàññòîÿíèé îò êîòîðîé äî âåðøèí òðåóãîëüíèêà íàèìåíüøàÿ (îíà íàçûâàåòñÿ òî÷êîé Ôåðìà). Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê 124 Òóïîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê Ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê Ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ òî÷êè Ôåðìà ñì. íèæå • Âíóòðè òðåóãîëüíèêà ñóùåñòâóåò òî÷êà, ñóììà ðàññòîÿíèé îò êîòîðîé äî ñåðåäèí ñòîðîí òðåóãîëüíèêà íàèìåíüøàÿ. Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê Òóïîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê Ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê Ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê 125 Ñâîéñòâà çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê òðåóãîëüíèêà. Ïðÿìàÿ Ýéëåðà  ëþáîì òðåóãîëüíèêå òðè çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè — îðòîöåíòð, öåíòð òÿæåñòè è öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè — ïðèíàäëåæàò îäíîé ïðÿìîé. Ýòó ïðÿìóþ íàçûâàþò ïðÿìîé Ýéëåðà. Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè íà ïðÿìîé Ýéëåðà â îñòðîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè íà ïðÿìîé Ýéëåðà â òóïîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå 126 Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè íà ïðÿìîé Ýéëåðà â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå  ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ÷åòûðå çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè — îðòîöåíòð, öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè, öåíòð òÿæåñòè è öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè — ëåæàò íà ïðÿìîé Ýéëåðà. 127  ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå âñå ÷åòûðå çàìå÷àòåëüíûå ëèíèè ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýòó òî÷êó íàçûâàþò öåíòðîì òðåóãîëüíèêà, è îíà ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé. Àëãîðèòì Òîððè÷åëëè ïîñòðîåíèÿ òî÷êè Ôåðìà • ïîñòðîèòü íà ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà, âîâíå, ðàâíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè; • ñîåäèíèòü îòðåçêîì êàæäóþ âåðøèíó òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíîé ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíå; • ïîñòðîèòü òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ îòðåçêîâ. 128 Ñâîéñòâà òî÷êè Ôåðìà • Êàæäàÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà âèäíà èç òî÷êè Ôåðìà ïîä óãëîì 120 ãðàäóñîâ; • îêðóæíîñòè, îïèñàííûå îêîëî ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ôåðìà. 129 Òðàåêòîðèè çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê Ïðè âðàùåíèè òðåóãîëüíèêà ïî îïèñàííîé îêðóæíîñòè çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òîæå îïèñûâàþò îêðóæíîñòè ðàçíûõ äèàìåòðîâ â çàâèñèìîñòè îò âèäà òðåóãîëüíèêà. Íèæå ïðèâåäåíû ñíèìêè ýêðàíîâ ñ òàêèìè ýêñïåðèìåíòàìè, êîòîðûå ìîæíî ïðîâîäèòü â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà. Ïðè íàæàòèè êíîïêè Ìóëüòèïëèêàöèÿ ÷åðòåæ «îæèâàåò» è ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü òðàåêòîðèþ òî÷êè. Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà 130 Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè òóïîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà âïèñàííîé îêðóæíîñòè îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà âïèñàííîé îêðóæíîñòè ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà 131 Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà âïèñàííîé îêðóæíîñòè òóïîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ îðòîöåíòðà îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ îðòîöåíòðà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà 132 Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ îðòîöåíòðà òóïîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà Òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê òðåóãîëüíèêà 133 Îòêðûòûé óðîê «Ìàëîèçâåñòíàÿ òî÷êà â ãåîìåòðèè» Óðîê ïðîâîäèòñÿ â 7 êëàññå. Öåëü óðîêà • çíàêîìñòâî ñ ôèçè÷åñêîé ìîäåëüþ òî÷êè Ôåðìà; • ïîñòðîåíèå òî÷êè Ôåðìà äëÿ òðåóãîëüíèêà Íàïîëåîíà. Îáîðóäîâàíèå Êîìïüþòåð, ôèçè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ íàõîæäåíèÿ òî÷êè Ôåðìà. Ïëàí óðîêà 1) Ââåäåíèå Ìû ñ âàìè íà÷àëè âìåñòå ñîçäàâàòü áðîøþðó «Ýíöèêëîïåäèÿ çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê òðåóãîëüíèêà». Ðàíåå, çàíèìàÿñü ïðîåêòîì «Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà», ìû îáíàðóæèëè î÷åíü èíòåðåñíûé ôàêò. Áåðÿ íåêîòîðûå òî÷êè èç ìíîæåñòâà òî÷åê âíóòðè òðåóãîëüíèêà, ìû óâèäåëè, ÷òî ñóììà ðàññòîÿíèé îò ýòèõ òî÷åê äî âåðøèí òðåóãîëüíèêà óìåíüøàëàñü. È âûäâèíóëè ãèïîòåçó (ïðåäïîëîæåíèå, òðåáóþùåå ïîäòâåðæäåíèÿ), ÷òî ìîæåò áûòü ñðåäè ýòèõ òî÷åê åñòü òî÷êà, ñóììà ðàññòîÿíèé îò êîòîðîé äî âåðøèí òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé. Îêàçûâàåòñÿ, ýòèì âîïðîñîì èíòåðåñîâàëèñü ó÷åíûå åù¸ â 18 âåêå: ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê Ïüåð Ôåðìà, øâåéöàðñêèé ãåîìåòð ßêîá Øòåéíåð, èòàëüÿíñêèé ó÷¸íûé Ýâàíæåëèñòà Òîððè÷åëëè, èçâåñòíûé êàê èçîáðåòàòåëü ðòóòíîãî áàðîìåòðà. Âñå îíè ïîäõîäèëè ê íàõîæäåíèþ ýòîé òî÷êè ïî-ðàçíîìó, íî êàæäûé äîêàçàë, ÷òî òàêàÿ òî÷êà â òðåóãîëüíèêå åñòü.  ãåîìåòðèè ýòó çàäà÷ó íàçûâàþò êëàññè÷åñêîé çàäà÷åé Ôåðìà, à ñàìó òî÷êó — òî÷êîé Ôåðìà. Èíîãäà åå íàçûâàþò òî÷êîé Òîððè÷åëëè èëè òî÷êîé Áðîêàðà. Ìû íàó÷èëèñü ñòðîèòü äàííóþ òî÷êó ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà, ïðåäëîæåííîãî èòàëüÿíñêèì ó÷¸íûì Òîððè÷åëëè (ñì. âûøå). Ïîýòîìó, äàâàéòå ñåãîäíÿ åù¸ ðàç íàéä¸ì òî÷êó Ôåðìà äëÿ âàøèõ òðåóãîëüíèêîâ. 2) Òåîðåòè÷åñêèå âîïðîñû • Êàêóþ òî÷êó òðåóãîëüíèêà íàçûâàþò òî÷êîé Ôåðìà? [Òî÷êîé Ôåðìà íàçûâàåòñÿ òàêàÿ òî÷êà òðåóãîëüíèêà, ñóììà ðàññòîÿíèé îò êîòîðîé äî âåðøèí òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé.] • Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê ÀÂÑ. Êàêîâ 1-ûé øàã ïîñòðîåíèÿ òî÷êè Ôåðìà ïî àëãîðèòìó Òîððè÷åëëè? [Ïîñòðîèì íà ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà âíå åãî ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè.] • Êàêîâ 2-é øàã àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ òî÷êè Ôåðìà? [Ñîåäèíèì îòðåçêàìè âåðøèíû ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà.] 134 • Êàêîâ 3-é øàã àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ òî÷êè Ôåðìà? [Ïîñòðîèì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêîâ è îáîçíà÷èì òî÷êîé F.] • Ïåðå÷èñëèòå ñâîéñòâà òî÷êè Ôåðìà, êîòîðûå ìû ñ âàìè îáíàðóæèëè. [1-å ñâîéñòâî: îêðóæíîñòè, îïèñàííûå îêîëî ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ, ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ôåðìà. Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ îêðóæíîñòåé îêîëî ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ: 1) ïîñòðîèòü öåíòðû ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ; 2) ïîñòðîèòü îêðóæíîñòè, îïèñàííûå îêîëî ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ.] • ×òîáû äîêàçàòü ýòî çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî òî÷êè Ôåðìà, íàçîâ¸ì ýòó çàäà÷ó «Çàäà÷åé áóäóùåãî» è âåðí¸ìñÿ ê íåé â ñòàðøèõ êëàññàõ. Ñïðÿ÷üòå îêðóæíîñòè, à öåíòðû ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ ñîõðàíèòå. • Êàêîå åùå ñâîéñòâî òî÷êè Ôåðìà âû îáíàðóæèëè? [2-å ñâîéñòâî: êàæäàÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà èç òî÷êè Ôåðìà âèäíà ïîä óãëîì 120 ãðàäóñîâ. Àëãîðèòì èçìåðåíèÿ: 1) èçìåðèòü óãëû AFC, AFB è BFC; 2) ñðàâíèòü.] • À ñåé÷àñ èçìåíèòå âèä òðåóãîëüíèêà è ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà ýòè óãëû. ×òî âû çàìåòèëè? [Óãëû íå èçìåíèëèñü.] 3) Ïðàêòè÷åñêàÿ ðàáîòà • Èòàê, ìû ñ âàìè ïîäîøëè ê èçâåñòíîìó ôàêòó èç êóðñà ôèçèêè. Åñëè íà òåëî äåéñòâóþò òðè îäèíàêîâûå ñèëû è îíè óðàâíîâåøèâàþò äðóã äðóãà, òî óãëû ìåæäó íèìè ñîñòàâëÿþò 120 ãðàäóñîâ. Ïîñòðîèì ìîäåëü, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ïðàêòè÷åñêèì ïóò¸ì íàéòè òî÷êó Ôåðìà äëÿ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà. Ýòó ìîäåëü âû ñåé÷àñ âèäèòå âïåðâûå, ïîýòîìó öåëüþ ñåãîäíÿøíåãî çàíÿòèÿ ÿâëÿåòñÿ çíàêîìñòâî ñ ôèçè÷åñêîé ìîäåëüþ òî÷êè Ôåðìà. Âûñòóïàþò äâà ó÷åíèêà, êîòîðûå èçãîòîâèëè ýòó ìîäåëü* è çíàêîìÿò àóäèòîðèþ ñ ìîäåëüþ. Îäèí èç íèõ ðàññêàçûâàåò, à äðóãîé ïîêàçûâàåò. Äîêëàä ó÷åíèêîâ Ýòà ôèçè÷åñêàÿ ìîäåëü ïîçâîëÿåò ïðàêòè÷åñêèì ïóò¸ì íàéòè ìåñòîïîëîæåíèå òî÷êè Ôåðìà äëÿ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà. Ñóòü ìîäåëè â ñëåäóþùåì: íà äîñêå â âèäå ðåøåòêè çàêðåïëåíû øòûðè ñ ïîäøèïíèêàìè òàê, ÷òî èõ ìîæíî ñâîáîäíî ïåðåñòàâèòü â ëþáîå îòâåðñòèå ðåøåòêè. Ýòè øòûðè ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè * Ìîäåëü ïðåäëîæåíà ó÷àùèìèñÿ 7 «Â» êëàññà øêîëû ¹ 1012 Çàïàäíîãî îêðóãà. 135 òðåóãîëüíèêà. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ñäåëàíû èç ðåçèíêè, ÷òîáû áûëî ëåãêî èçìåíèòü âèä òðåóãîëüíèêà. ×åðåç êàæäûé ïîäøèïíèê ïåðåêèíóòà íèòü ñ ãðóçîì íà êîíöå. Âñå ãðóçû îäèíàêîâû, ìàññà êàæäîãî ðàâíà 100 ãðàììàì. Íèòè âçÿòû ñïåöèàëüíûå, íåðàñòÿæèìûå. Ñâîáîäíûå êîíöû íèòåé ñâÿçàíû â îäèí óçåë. Êîãäà ãðóçû áóäóò îòïóùåíû, îíè íàòÿíóò íèòè. Íà óçåë ñî ñòîðîíû íèòåé ñ ãðóçîì äåéñòâóþò ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòåé. Ïîñëå òîãî, êàê ñèëû ñòàíóò ðàâíûìè ïî âåëè÷èíå è áóäóò óðàâíîâåøèâàòü äðóã äðóãà, óçåë óñòàíîâèòñÿ â èñêîìîé òî÷êå. Åñëè èçìåðèòü óãëû ìåæäó íèòÿìè, òî áóäåò âèäíî, ÷òî îíè ñîñòàâëÿþò ìåæäó ñîáîé óãëû 120 ãðàäóñîâ. Êàæäàÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà èç ýòîé òî÷êè áóäåò âèäíà ïîä óãëîì 120 ãðàäóñîâ, à òàêèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò òî÷êà Ôåðìà.  ýòîì ìû ìîæåì óáåäèòüñÿ, åñëè ïðèñòàâèì ê íàøåé ìîäåëè äèñê èç îðãñòåêëà, íà êîòîðîì íà÷åð÷åíû ëó÷è, èñõîäÿùèå èç îäíîé òî÷êè è îáðàçóþùèå ìåæäó ñîáîé óãîë 120 ãðàäóñîâ. Ïîñëå òîãî, êàê ëó÷è è íèòè ïîëíîñòüþ ñîâìåñòÿòñÿ íàëîæåíèåì, ìîæíî îòìåòèòü ôëîìàñòåðîì ìåñòîïîëîæåíèå òî÷êè Ôåðìà äëÿ äàííîãî òðåóãîëüíèêà. Ýêñïåðèìåíò ïîâòîðÿåòñÿ íåñêîëüêî ðàç, äëÿ ðàçíûõ âèäîâ òðåóãîëüíèêà. Äàëåå ðåáÿòà ïðåäëàãàþò æåëàþùèì ïîïðîáîâàòü íàéòè òî÷êó Ôåðìà. Äàâàéòå ïîñòðîèì òî÷êó Ôåðìà äëÿ òðåóãîëüíèêà Íàïîëåîíà. Âñïîìíèì «òåîðåìó Íàïîëåîíà». [Åñëè íà ñòîðîíàõ ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ïîñòðîèòü ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, òî èõ öåíòðû îáðàçóþò äðóãîé ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê.] • Êàê âû áóäåòå èñïîëüçîâàòü ñâîé ÷åðò¸æ äëÿ ïîñòðîåíèÿ òðåóãîëüíèêà Íàïîëåîíà? [Ñîåäèíèì îòðåçêàìè öåíòðû ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ.] • À òåïåðü ïî àëãîðèòìó Òîððè÷åëëè íàéäèòå òî÷êó Ôåðìà äëÿ òðåóãîëüíèêà Íàïîëåîíà. 136 4) Èòîãè óðîêà Îòêðîéòå áðîøþðû «Ýíöèêëîïåäèÿ çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê òðåóãîëüíèêà», ñîñòàâëåííûå âàìè ðàíåå, íàéäèòå ðàçäåë «Ýêñòðåìàëüíûå ñâîéñòâà òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ âíóòðè òðåóãîëüíèêà» è ïîñìîòðèòå, ÷òî âû íàïèñàëè ïðî òî÷êó Ôåðìà. Çäåñü åñòü îïðåäåëåíèå òî÷êè Ôåðìà è ðàçíûå âèäû òðåóãîëüíèêîâ, äëÿ êîòîðûõ ìû íàõîäèëè òî÷êó Ôåðìà. Òåïåðü íàì íàäî äîïèñàòü òå ñâîéñòâà òî÷êè Ôåðìà, êîòîðûå ìû ñ âàìè ðàññìîòðåëè. Äîìàøíåå çàäàíèå: ïîäãîòîâèòü ìàëåíüêîå ñîîáùåíèå î òîì, êàê êàæäûé èç âàñ âïèñàë áû ñâîéñòâà òî÷êè Ôåðìà â ñâîþ ýíöèêëîïåäèþ. À ëó÷øåå ñîîáùåíèå ìû âêëþ÷èì â íàø ñáîðíèê. Æåëàþùèå ìîãóò ïîäîéòè ê ôèçè÷åñêîé ìîäåëè òî÷êè Ôåðìà è ïîïðîáîâàòü íàéòè å¸ â ëþáîì òðåóãîëüíèêå. 137 Îðíàìåíòû Ýòîò ðàçäåë ïîñâÿùåí îïèñàíèþ íàáîðà ïðîåêòîâ «Îðíàìåíòû». Êàê ïîêàçûâàåò äåâÿòèëåòíèé îïûò ðàáîòû àâòîðà â 5– 11 êëàññàõ ìîñêîâñêîé øêîëû 1012 è â íåñêîëüêèõ äðóãèõ øêîëàõ, ñîçäàíèå îðíàìåíòîâ â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà âûçûâàåò ó äåòåé áîëüøîé èíòåðåñ. Èì íðàâèòñÿ, ÷òî â ðåçóëüòàòå äîñòàòî÷íî ïðîñòûõ ìàíèïóëÿöèé êàæäûé èç íèõ ìîæåò ïîëó÷èòü ðàçíîîáðàçíûå êðàñèâûå êàðòèíêè. Îäíîâðåìåííî äåòè ëó÷øå îñâàèâàåò âàæíåéøèå ãåîìåòðè÷åñêèå ïîíÿòèÿ, ïðèîáðåòàþò íàâûêè èññëåäîâàòåëüñêîé ðàáîòû. ×òîáû îòêðûòü ñïèñîê ÷åðòåæåé íàáîðà «Îðíàìåíòû», ùåëêíèòå â îãëàâëåíèè êîìïüþòåðíîãî àëüáîìà «Çàäàíèÿ è Ïðîåêòû» íà ññûëêå «Îðíàìåíòû». Íàáîð «Îðíàìåíòû» ñîäåðæèò ïðîåêòû ðàçëè÷íîé ñëîæíîñòè, òàê ÷òî ó÷èòåëü èìååò âîçìîæíîñòü ó÷èòûâàòü èíäèâèäóàëüíûå îñîáåííîñòè ó÷åíèêà. Ñèëüíîìó ó÷åíèêó ñòîèò ïðåäëîæèòü îðíàìåíòû èç ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ (ïðîãðàììà 9 êëàññà), ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå ïîòðåáóþòñÿ ñëîæíûå ïîñòðîåíèÿ. À ñëàáîìó ó÷åíèêó ëó÷øå çàíÿòüñÿ îðíàìåíòàìè èç ïðîñòåéøèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð.  ïåðâîé ÷àñòè ýòîãî ðàçäåëà ïîäðîáíî ðàññêàçûâàåòñÿ î ïîäãîòîâèòåëüíîé ÷àñòè ðàáîòû íàä ïðîåêòîì — îñâîåíèè ïîíÿòèÿ ñèììåòðèè. Âî âòîðîé ÷àñòè ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ãåîìåòðè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ðàññìàòðèâàþòñÿ âèäû ïðåîáðàçîâàíèé è ñïîñîáû ðàáîòû ñ íèìè â ïðîãðàììå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà. Òðåòüÿ ÷àñòü ïîñâÿùåíà ñîáñòâåííî îðíàìåíòàì è íà÷èíàåòñÿ ñ áåñåäû î íèõ. Çàòåì îïèñûâàåòñÿ ïðîöåäóðà ñîçäàíèÿ èíñòðóìåíòîâ Æèâîé Ìàòåìàòèêè, ïîçâîëÿþùèõ ñòðîèòü ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè, ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ÿ÷ååê îðíàìåíòîâ. Äàëåå ñ ïîìîùüþ îñâîåííîé òåõíîëîãèè ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîÿòñÿ îðíàìåíòû.  ÷åòâåðòîé ÷àñòè äëÿ ïðèìåðà ïðèâîäèòñÿ îïèñàíèå çàùèòû ïðîåêòíûõ ðàáîò â ìîñêîâñêîé øêîëå 1012. 138 Ñèììåòðèè: îñåâàÿ è öåíòðàëüíàÿ  îñíîâå ïîñòðîåíèÿ îðíàìåíòîâ ëåæèò ñèììåòðèÿ. Ðàáîòó ìîæíî íà÷àòü ñ èçó÷åíèÿ âèäîâ ñèììåòðèè, ðàçäåëèâ ýòîò ïðîöåññ íà íåñêîëüêî ýòàïîâ. Ñèììåòðèÿ â ïðèðîäå Îðãàíèçóéòå ñ äåòüìè ïðîãóëêó â ëåñ. Ïóñòü îíè âíèìàòåëüíî ðàññìîòðÿò ëèñòüÿ äåðåâüåâ, öâåòû, íàñåêîìûõ; îáðàòèòå èõ âíèìàíèå íà ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííûå óçîðû íà êðûëüÿõ áàáî÷êè, íà ñïèíå ãóñåíèöû. Ïîñëå ïðîãóëêè ìîæíî äàòü äåòÿì çàäàíèå: íàðèñîâàòü êàðòèíêó íà òåìó «Ëåòîì â ñèììåòðè÷íîì ëåñó». Ê ïðèìåðó, èçîáðàçèòü äåðåâüÿ ñ êðóïíûìè ëèñòüÿìè, íàñåêîìûõ, öâåòû è ïîêàçàòü èõ îñè ñèììåòðèè. Ñèììåòðèÿ â ðèñóíêàõ Ïðåäëîæèòå ðåáÿòàì ðàññìîòðåòü äîìà ñâîè èãðóøêè, êàðòèíêè â êíèæêàõ è íàéòè â íèõ ñèììåòðèþ (îñîáåííî ìíîãî ñèììåòðè÷íûõ êàðòèíîê âñòðå÷àåòñÿ â êíèæêàõ äëÿ ðàñêðàñêè). Çàòåì ìîæíî ïðåäëîæèòü ñëåäóþùèå çàäàíèÿ. 1. Íàðèñîâàòü ëþáèìóþ èãðóøêó è ïîêàçàòü íà ðèñóíêå îñü åå ñèììåòðèè. Ïðèìåðû: 2. Íàðèñîâàòü ãåîìåòðè÷åñêîãî ñèììåòðè÷íîãî ðîáîòà ñ ïîìîùüþ òðåõ ôèãóð — êâàäðàòà, ïðÿìîóãîëüíèêà, òðåóãîëüíèêà è íà ðèñóíêå ïîêàçàòü âñå îñè ñèììåòðèè. Ïðèìåð: 3. Íàðèñîâàòü æèâîòíîå èëè íàñåêîìîå, òåëî êîòîðîãî èìååò ôîðìó ãåîìåòðè÷åñêîé ôèãóðû, è, åñëè ìîæíî, ïîêàçàòü åãî îñü èëè îñè ñèììåòðèè. Ïðèìåðû: 139 Ñèììåòðèÿ â áóêâàõ, ñëîâàõ è öèôðàõ Òåïåðü ìîæíî ïîïûòàòüñÿ îáíàðóæèòü ñèììåòðèþ â áóêâàõ è ñëîâàõ. Íà äîì äàòü çàäàíèå: çàïèñàòü áóêâû ðóññêîãî àëôàâèòà è óêàçàòü òå, ó êîòîðûõ åñòü îñü ñèììåòðèè; ïðèâåñòè ïðèìåðû ñëîâ, èìåþùèõ îñè ñèììåòðèè. Íàïðèìåð, ñëîâî ÎÍÎ èìååò äâå îñè ñèììåòðèè (âåðòèêàëüíóþ è ãîðèçîíòàëüíóþ); ñëîâî ØÀËÀØ — âåðòèêàëüíóþ îñü ñèììåòðèè; ñëîâà ÝÕÎ, ÑÎÍ — ãîðèçîíòàëüíóþ îñü ñèììåòðèè è ò. ä. Ìîæíî ïðåäëîæèòü ïðèäóìàòü ñâîè ïðèìåðû ñèììåòðè÷íûõ ñëîâ è ïîêàçàòü, êàê ïðîõîäÿò îñè ñèììåòðèè; íàïèñàòü öèôðû è çåðêàëüíî îòðàçèòü èõ îòíîñèòåëüíî çàäàííîé îñè. ÝÕÎ ÎÍÎ Ïîñòðîåíèå ïëîñêèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð Ïîñòðîåíèå ïëîñêèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð ó÷àùèåñÿ âûïîëíÿþò íà áóìàãå è íà êîìïüþòåðå. Ïîñòðîåíèÿ íà êëåò÷àòîé áóìàãå • Ïîñòðîèòü ñèììåòðè÷íóþ ôèãóðó, çàòåì, ñêëàäûâàÿ áóìàãó, ïîêàçàòü âñå îñè ñèììåòðèè ôèãóðû è, åñëè åñòü, öåíòð ñèììåòðèè (íàïðèìåð, íàðèñîâàòü êâàäðàò è ñëîæèòü åãî âäîëü êàæäîé äèàãîíàëè); • íàðèñîâàòü ãåîìåòðè÷åñêóþ ôèãóðó (êâàäðàò, ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá), ïîñòðîèòü âñå îñè ñèììåòðèè è óêàçàòü öåíòð ñèììåòðèè, åñëè îí åñòü; • ïîñòðîèòü ëþáóþ ôèãóðó è îòðàçèòü åå îòíîñèòåëüíî çàäàííîé îñè ñèììåòðèè; • ïîñòðîèòü ëþáóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ôèãóðó, îòðàçèòü åå îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîé îñè ñèììåòðèè, à ïîòîì îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé. Ïîñòðîåíèÿ â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà Çàäàíèå 1 Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ñèììåòðèÿ, ñòð. 1: 1. Ðèñ. 1.1 140 Ïîñòðîéòå ôèãóðó À è ïðÿìóþ Ï. 2. Ïîñòðîéòå ôèãóðó Á, ñèììåòðè÷íóþ ôèãóðå À îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé Ï. Ïîðÿäîê ïîñòðîåíèÿ ñèììåòðè÷íîé ôèãóðû: • âûäåëèòå ïðÿìóþ Ï è â ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ âûáåðèòå êîìàíäó Îòìåòèòü îñü îòðàæåíèÿ; • âûáåðèòå êîìàíäó Âûäåëèòü âñå èç ìåíþ Ïðàâêà; • âûáåðèòå êîìàíäó Îòðàçèòü èç ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ. 3. Ïîäâèãàéòå ôèãóðû À è Á. Èçìåðüòå èõ ïëîùàäè è ïåðèìåòðû, âûäåëÿÿ âíóòðåííèå îáëàñòè ôèãóð è âûáèðàÿ êîìàíäû Ïëîùàäü è Ïåðèìåòð ìåíþ Èçìåðåíèÿ. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î ïëîùàäÿõ è ïåðèìåòðàõ ýòèõ ôèãóð? 4. Èçìåðüòå ðàññòîÿíèå îò êàæäîé âåðøèíû ôèãóðû À äî îñè ñèììåòðèè è ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâüòå â âèäå òàáëèöû. Àíàëîãè÷íî èçìåðüòå ðàññòîÿíèå îò êàæäîé âåðøèíû ôèãóðû Á äî îñè. Äëÿ èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè äî ïðÿìîé (îòðåçêà, ëó÷à) ñëåäóåò âûäåëèòü ýòè îáúåêòû è âûáðàòü êîìàíäó Ðàññòîÿíèå èç ìåíþ Èçìåðåíèÿ. Ñîâåò 1.Ñîáëþäàéòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âûäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ äðóã äðóãó âåðøèí è èçìåðåíèé. Ñîâåò 2.Íå çàáûâàéòå îòìåíÿòü âûäåëåíèå ëèøíèõ îáúåêòîâ, ïîñêîëüêó êîìàíäó ìîæíî âûïîëíèòü ïðè óñëîâèè, ÷òî âûäåëåíû òå è òîëüêî òå îáúåêòû, êîòîðûå åé íóæíû. 5. Ïîäâèãàéòå ôèãóðû îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè. ×òî ïðîèñõîäèò ñ ðåçóëüòàòàìè èçìåðåíèÿ? ×òî èíòåðåñíîãî âû çàìåòèëè? 6. Ïîäâèãàéòå îñü ñèììåòðèè. À ÷òî èíòåðåñíîãî âû íàáëþäàåòå òåïåðü? Çàäàíèå 2 Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ñèììåòðèÿ, ñòð. 2 Ïîñòðîéòå ôèãóðó À è ïðÿìóþ Ï, êàê íà ðèñóíêå. Ïîñòðîéòå ôèãóðó Á, ñèììåòðè÷íóþ ôèãóðå À îòíîñèòåëüíî îñè Ï, è âûïîëíèòå óïðàæíåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïóíêòàì 3–6 Çàäàíèÿ 1. Ðèñ. 1.2 141 Çàäàíèå 3 Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ñèììåòðèÿ, ñòð. 3 1. Ïîñòðîéòå îòðåçêè a, b, ñ. Ðèñ. 1.3 2. Äëÿ êàæäîãî îòðåçêà ïîñòðîéòå åãî îñü ñèììåòðèè. Ñêîëüêî îñåé ñèììåòðèè ó îòðåçêà? Ïîñòðîåíèå îñè ñèììåòðèè îòðåçêà: • âûäåëèòå ùåë÷êîì îòðåçîê, à â ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ âûáåðèòå êîìàíäó Ñåðåäèíà; • âûäåëèòå îòðåçîê è åãî ñåðåäèíó, à â ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ âûáåðèòå êîìàíäó Ïåðïåíäèêóëÿð. 3. Ïîäâèãàéòå îòðåçêè, ïîäâèãàéòå êîíöû îòðåçêîâ. ×òî èíòåðåñíîãî âû çàìåòèëè? Çàäàíèå 4 Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ñèììåòðèÿ, ñòð. 4 1. Ïîñòðîéòå ôèãóðû, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå. Ðèñ. 1.4 2. 3. 4. 5. Êàêèå èç ýòèõ ôèãóð èìåþò îñü ñèììåòðèè? Åñòü ëè íà ðèñóíêå ôèãóðà, êîòîðàÿ íå èìååò îñè ñèììåòðèè? Åñòü ëè ôèãóðà, êîòîðàÿ èìååò íåñêîëüêî îñåé ñèììåòðèè? Ïîñòðîéòå äëÿ êàæäîé ôèãóðû åå îñü (èëè îñè) ñèììåòðèè (åñëè èìååòñÿ íåñêîëüêî îñåé ñèììåòðèè, òî âûäåëèòå èõ ðàçíûìè öâåòàìè). Ïîñòðîåíèå îñè ñèììåòðèè ôèãóðû: • âûäåëèòå êàêóþ-íèáóäü ñòîðîíó ôèãóðû è ïîñòðîéòå åå ñåðåäèíó; • ïîñòðîéòå ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð èëè ïîñòðîéòå ïðÿìóþ, ñîäåðæàùóþ ýòó ñåðåäèíó è êàêóþ-òî èíóþ ïîäõîäÿùóþ òî÷êó (äðóãóþ âåðøèíó, ñåðåäèíó äðóãîé ñòîðîíû è ò. ä.). 142 Çàäàíèå 5 Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ñèììåòðèÿ, ñòð. 5 1. Ïîñòðîéòå ôèãóðû, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå. Ðèñ. 1.5 2. Äëÿ êàæäîé ôèãóðû ïîñòðîéòå åå îñü ñèììåòðèè. Åñëè îñåé íåñêîëüêî, òî âûäåëèòå èõ ðàçíûìè öâåòàìè. 3. Îòâåòüòå íà âîïðîñû • Ñêîëüêî îñåé ñèììåòðèè ó êàæäîé ôèãóðû? • Åñòü ëè íà ðèñóíêå ôèãóðà, ó êîòîðîé íåò îñè ñèììåòðèè? • Åñòü ëè íà ðèñóíêå ôèãóðà, êîòîðàÿ èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî îñåé ñèììåòðèè? Çàäàíèå 6 Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ñèììåòðèÿ, ñòð. 6 1. Ïîñòðîéòå ôèãóðó À1, ñèììåòðè÷íóþ ôèãóðå À îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a, è ôèãóðó À2, ñèììåòðè÷íóþ ôèãóðå À1 îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé b. Ðèñ. 1.6 2. Ïîäóìàéòå, ÷òî ìîæíî ñêàçàòü î ôèãóðàõ À è À2. 3. Ïîäâèãàéòå ôèãóðû À, À1 è À2 è îòâåòüòå, åñòü ëè âçàèìîñâÿçü ìåæäó íèìè. 4. Èçìåðüòå ðàññòîÿíèå îò âåðøèí ôèãóðû À äî îñåé a è b, çàòåì ïîäâèãàéòå ôèãóðó À îòíîñèòåëüíî îñåé a è b è ïîíàáëþäàéòå çà èçìåíåíèåì ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé. 5. Ïîâòîðèòå ïóíêò 4 äëÿ ôèãóð À1 è À2 (ïîäóìàéòå, ñòîèò ëè ýòî äåëàòü — èëè âû óæå äîãàäàëèñü?). 6. Ïîäâèãàéòå îñè a è b è ïîíàáëþäàéòå çà ðåçóëüòàòàìè èçìåðåíèÿ. 7. Ñäåëàéòå âûâîä èç ñâîèõ íàáëþäåíèé î ñîõðàíåíèè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè. 143 Çàäàíèå 7 Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ñèììåòðèÿ, ñòð. 7 1. Ñäåëàéòå òðè ÷åðòåæà, ïîäîáíûå ñëåäóþùèì ðèñóíêàì (ïîñìîòðèòå íà íèõ âíèìàòåëüíî, ÷òîáû ïðàâèëüíî âûïîëíèòü ïîñòðîåíèå). Ðèñ. 1.7 2. Íà êàæäîì ðèñóíêå ïðîâåäèòå (åñëè ìîæíî) îñü ñèììåòðèè òàê, ÷òîáû îíà äåëèëà ïîïîëàì ïëîùàäè îáåèõ ôèãóð. 3. Ïîäóìàéòå, íà êàêîì èç ðèñóíêîâ íåëüçÿ ïðîâåñòè òàêóþ îñü ñèììåòðèè è ïî÷åìó. 144 Çíàêîìñòâî ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè Íà ýòèõ óðîêàõ ó÷àùèåñÿ ïîëó÷àþò ïðåäñòàâëåíèå î ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ è ó÷àòñÿ ðàáîòàòü ñ íèìè â ïðîãðàììå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà, ÷òîáû çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ èìè ïðè ïîñòðîåíèè îðíàìåíòîâ. Âèäû ïðåîáðàçîâàíèé: • • • • îòðàæåíèå; ïîâîðîò; ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ; ãîìîòåòèÿ. Çàäàíèå 1 Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ïðåîáðàçîâàíèå, ñòð. 1 1. Ïîñòðîéòå äâå ïðÿìûå m è ð, ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êå Î, è ïðîèçâîëüíóþ ôèãóðó, íàïðèìåð, òðåóãîëüíèê ÂÑÅ: Ðèñ. 2.1 2. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê Â'Ñ'Å', ñèììåòðè÷íûé òðåóãîëüíèêó ÂÑÅ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé m, à çàòåì òðåóãîëüíèê Â''Ñ''Å'', ñèììåòðè÷íûé òðåóãîëüíèêó Â'Ñ'Å' îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ð. 3. Ñîåäèíèòå òî÷êè Â, Ñ è Å è ñîîòâåòñòâóþùèå èì òî÷êè Â'', Ñ'' è Å'' ñ òî÷êîé Î. Èçìåðüòå óãëû ÂÎÂ'', ÑÎÑ'', ÅÎÅ'' è óãîë, îáðàçîâàííûé ïðÿìûìè m è ð, à òàêæå äëèíû îòðåçêîâ ÂÎ è Â''Î, ÑÎ è Ñ''Î, ÅÎ è Å''Î. 4. Äâèãàéòå ïðÿìûå îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà, ïåðåìåùàéòå ôèãóðû ïî ÷åðòåæó. ×òî èíòåðåñíîãî âû óâèäåëè? Çàäàíèå 2 Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ïðåîáðàçîâàíèå, ñòð. 2 1. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê DEC. Ðèñ. 2.2 145 2. Ïîñòðîéòå òî÷êó  âíå òðåóãîëüíèêà è îòìåòüòå åå êàê öåíòð ïðåîáðàçîâàíèÿ. • Âûäåëèòå òî÷êó  è âûáåðèòå êîìàíäó Îòìåòèòü öåíòð â ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ. • Ïîñëå ýòîãî òî÷êà  áóäåò îñòàâàòüñÿ öåíòðîì ïîâîðîòà è ðàñòÿæåíèÿ, ïîêà âû íå óêàæåòå äðóãîé öåíòð. 3. Ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòà Ðàñòÿæåíèå èç íàáîðà èíñòðóìåíòîâ Ñòðåëêà èçìåíèòå ðàçìåðû òðåóãîëüíèêà. • âûäåëèòå òðåóãîëüíèê è öåíòð Â; • â íàáîðå èíñòðóìåíòîâ Ñòðåëêà âûáåðèòå èíñòðóìåíò Ðàñòÿæåíèå; • óñòàíîâèòå óêàçàòåëü íà âíóòðåííþþ îáëàñòü òðåóãîëüíèêà, íàæìèòå êíîïêó ìûøè è ïîäâèãàéòå óêàçàòåëü. Âíèìàíèå!Îäíîâðåìåííî ñ ðàçìåðàìè òðåóãîëüíèêà ìåíÿåòñÿ è åãî ðàññòîÿíèå îò öåíòðà Â. 4. Ïîëó÷èòå òðåóãîëüíèê óìåíüøåííîãî ðàçìåðà ïðè ïîìîùè êîìàíäû Ãîìîòåòèÿ: Èñïîëüçîâàíèå êîìàíäû Ãîìîòåòèÿ: • âûäåëèòå òðåóãîëüíèê è öåíòð ãîìîòåòèè èíñòðóìåíòîì Ñòðåëêà; • âûáåðèòå êîìàíäó Ãîìîòåòèÿ èç ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ — ïîÿâèòñÿ äèàëîãîâîå îêíî Ãîìîòåòèÿ; • â îòêðûâøåìñÿ îêíå âûáåðèòå îïöèþ  çàäàííîì îòíîøåíèè è óñòàíîâèòå êîýôôèöèåíò ãîìîòåòèè, ðàâíûì 1/2; • íàæìèòå êíîïêó Ãîìîòåòèÿ — ïîÿâèòñÿ íîâûé òðåóãîëüíèê D'E'C', âäâîå ìåíüøèé ïðåäûäóùåãî. Ðèñ. 2.3 5. Äîáàâüòå ê ÷åðòåæó îòðåçîê, îòìåòüòå åãî êàê îñü ñèììåòðèè, îòðàçèòå òðåóãîëüíèêè îòíîñèòåëüíî äàííîé îñè, ïîäâèãàéòå âåðøèíû òðåóãîëüíèêîâ è ñàìó îñü, ïåðåìåùàéòå òðåóãîëüíèêè ïî ëèñòó ÷åðòåæà. Ðèñ. 2.4 ×òî èíòåðåñíîãî âû çàìåòèëè? 146 Ïîñòðîåíèå ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ (êâàäðàòà, òðåóãîëüíèêà, øåñòèóãîëüíèêà) Ïîñòðîåíèå ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà è êâàäðàòà ó÷àùèåñÿ ìîãóò èçó÷èòü ñàìîñòîÿòåëüíî ñ ïîìîùüþ ëþáîãî ó÷åáíèêà ãåîìåòðèè. Îâëàäåâ ïîñòðîåíèåì ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ íà áóìàãå, ïîëåçíî âñå ïîñòðîåíèÿ âîñïðîèçâåñòè â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà. Ðèñ. 3.1 Íà ñòðàíèöå 1 ÷åðòåæà Îðíàìåíòû_Ìíîãîóãîëüíèêè ïðèâåäåíû ñëåäóþùèå àëãîðèòìû ïîñòðîåíèÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ. Ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê 1. Èíñòðóìåíòîì Öèðêóëü ïîñòðîèòü îäíó îêðóæíîñòü, à çàòåì, âçÿâ ðàäèàëüíóþ (òî åñòü çàäàþùóþ ðàäèóñ) òî÷êó íà îêðóæíîñòè â êà÷åñòâå öåíòðà O2, ïîñòðîèòü âòîðóþ îêðóæíîñòü òàêîãî æå ðàäèóñà, îïðåäåëèâ â êà÷åñòâå ðàäèàëüíîé òî÷êè öåíòð O1. Ðèñ. 3.2 2. Ùåë÷îê íà îäíîé èç òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòåé îïðåäåëèò òðåòüþ âåðøèíó òðåóãîëüíèêà. Êâàäðàò 1. Èíñòðóìåíòîì Öèðêóëü ïîñòðîèòü îäíó îêðóæíîñòü, à çàòåì, âçÿâ ðàäèàëüíóþ òî÷êó íà îêðóæíîñòè â êà÷åñòâå öåíòðà, ïîñòðîèòü âòîðóþ îêðóæíîñòü òàêîãî æå ðàäèóñà. 147 2. Ïîñòðîèòü îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé öåíòðû îêðóæíîñòåé, ïîñëå ÷åãî âûäåëèòü öåíòðû. 3. Ïîñòðîèòü íà ýòèõ öåíòðàõ ïåðïåíäèêóëÿðû ê îòðåçêó. Äâå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ñ îêðóæíîñòÿìè (íà ðèñóíêå íèæå ýòî òî÷êè Å è D) è öåíòðû îêðóæíîñòåé çàäàþò ÷åòûðå âåðøèíû êâàäðàòà. Ðèñ. 3.3 Ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê 1. Èíñòðóìåíòîì Öèðêóëü ïîñòðîèòü îäíó îêðóæíîñòü, à çàòåì, âçÿâ ðàäèàëüíóþ (òî åñòü çàäàþùóþ ðàäèóñ) òî÷êó íà îêðóæíîñòè â êà÷åñòâå öåíòðà O2, ïîñòðîèòü âòîðóþ îêðóæíîñòü òàêîãî æå ðàäèóñà, óêàçàâ â êà÷åñòâå ðàäèàëüíîé òî÷êè öåíòð O1. 2. Òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ O3 îòìåòèòü êàê öåíòð òðåòüåé îêðóæíîñòè, à ðàäèàëüíîé òî÷êîé íàçíà÷èòü O1. Ïåðåñå÷åíèå O4 — öåíòð, O1 — ðàäèàëüíàÿ òî÷êà. Ïåðåñå÷åíèå O5 — öåíòð, O1 — ðàäèàëüíàÿ òî÷êà. Ðèñ. 3.4 3. Òî÷êè O2, O3, … , O7 — âåðøèíû øåñòèóãîëüíèêà. Èíñòðóìåíòû äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ×òîáû óïðîñòèòü ðàáîòó ïî ñîçäàíèþ îðíàìåíòîâ, ìû çàðàíåå çàãîòîâèëè èíñòðóìåíòû Æèâîé Ìàòåìàòèêè, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ïðîñòî «âçÿòü» íóæíûé ìíîãîóãîëüíèê èç Ãîòîâàëüíè, à íå ñòðîèòü åãî ñàìîñòîÿòåëüíî. Ýòè èíñòðóìåíòû ïîêàçàíû íà ñòðàíèöå 2 ÷åðòåæà Îðíàìåíòû_Ìíîãîóãîëüíèêè. Äëÿ êàæäîé ôèãóðû èìåþòñÿ äâà âàðèàíòà èíñòðóìåíòîâ — îäèí äëÿ ïîñòðîåíèÿ òîëüêî åå âíóòðåííåé îáëàñòè (áåç ñòîðîí), äðóãîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêæå è ñòîðîí (íàçâàíèå âòîðîãî âàðèàíòà ñîäåðæèò îêîí÷àíèå «_1»). 148 Ðèñ. 3.5. Îòêðûòîå ìåíþ Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ Ïîòðåíèðóéòåñü. Âûáåðèòå èç îòêðûâàþùåãîñÿ ìåíþ Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ êàêîé-íèáóäü èíñòðóìåíò è ïîñòðîéòå äâå òî÷êè. Ïîëó÷èòñÿ ìíîãîóãîëüíèê. Îðèåíòàöèÿ ìíîãîóãîëüíèêà çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ óêàçàòåëÿ îò ïåðâîé òî÷êè äî âòîðîé (ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå èëè ïðîòèâ). Ðèñ. 3.6 Èíñòðóìåíò óïðàâëåíèÿ ìíîãîóãîëüíèêàìè (ÓÌ) Åùå îäèí ïîëüçîâàòåëüñêèé èíñòðóìåíò Æèâîé Ìàòåìàòèêè ñîçäàí äëÿ óäîáñòâà èçìåíåíèÿ ìàñøòàáà è îðèåíòàöèè îðíàìåíòà. Îí íàçâàí èìåíåì ÓÌ (óïðàâëåíèå ìíîãîóãîëüíèêàìè). Âûáåðèòå â ìåíþ Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ èíñòðóìåíò ÓÌ, è ïîñòàâüòå íà ÷åðòåæå òðè òî÷êè (íà ðèñóíêå íèæå ýòî òî÷êè 1, 2 è Á1). Ïðè ýòîì àâòîìàòè÷åñêè ïîÿâèòñÿ åùå îäíà òî÷êà (íà ðèñóíêå íèæå Á2). Òî÷êè Á1 è Á2 áóäåì íàçûâàòü áàçîâûìè òî÷êàìè. Ðèñ. 3.7. Ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê, ïîñòðîåííûé íà áàçîâûõ òî÷êàõ Åñëè òåïåðü ïðè ïîìîùè îäíîãî èç íàøèõ ïîëüçîâàòåëüñêèõ èíñòðóìåíòîâ ïîñòðîèòü ìíîãîóãîëüíèê, ñîâìåùàÿ åãî ïåðâûå äâå âåðøèíû ñ áàçîâûìè òî÷êàìè, òî äâèæåíèå ëþáîé òî÷êè èíñòðóìåíòà ÓÌ (íà ðèñóíêå âûøå 1 èëè 2) ïðèâåäåò ê èçìåíåíèþ ðàçìåðà è/èëè îðèåíòàöèè ìíîãîóãîëüíèêà è âñåõ ñâÿçàííûõ ñ íèì ôèãóð. 149 Ïîñòðîåíèå ýëåìåíòàðíûõ ÿ÷ååê ñ ïîìîùüþ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé Ïîñëå òîãî, êàê ó÷àùèåñÿ íàó÷èëèñü ñòðîèòü íà êîìïüþòåðå ðàâíîñòîðîííèå ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû, ó÷èòåëü ñòàâèò ïåðåä íèìè î÷åðåäíóþ çàäà÷ó — ñîñòàâèòü èç ôèãóð ðàçíûå ýëåìåíòàðíûå ÿ÷åéêè ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòîâ ïîñòðîåíèÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ è ñëåäóþùèõ îïåðàöèé: • îòìåòèòü êàêóþ-ëèáî ñòîðîíó ôèãóðû êàê îñü ñèììåòðèè è îòðàçèòü ôèãóðó îòíîñèòåëüíî äàííîé îñè; • îòìåòèòü êàêóþ-ëèáî âåðøèíó ôèãóðû êàê öåíòð è ïîâåðíóòü ôèãóðó îòíîñèòåëüíî ýòîãî öåíòðà íåñêîëüêî ðàç; • îêðàñèòü ìíîãîóãîëüíèêè, ñîñòàâëÿþùèå ÿ÷åéêó, ðàçíûìè öâåòàìè. Ïðèìåðû çàäàíèé 1. Íà ñòîðîíàõ ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ïîñòðîèòü êâàäðàòû. 2. Íà ñòîðîíàõ ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà ïîñòðîèòü êâàäðàòû è ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè. 3. Ïîñòðîèòü ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê T è îòðàçèòü åãî îòíîñèòåëüíî ñòîðîíû a, ïîëó÷åííûé ðîìá T+T' ïîâåðíóòü íà 90 ãðàäóñîâ âîêðóã òî÷êè À. Ïîëó÷åííóþ ôèãóðó ïîâåðíóòü íà 90 ãðàäóñîâ âîêðóã òî÷êè À' è ò. ä. 4. Ïîêðàñèòü ìíîãîóãîëüíèêè, ñîñòàâëÿþùèå ÿ÷åéêó, ðàçíûìè öâåòàìè è ñïðÿòàòü ëèøíèå ëèíèè. Ïðèìåðû âûïîëíåííûõ çàäàíèé ñîäåðæàòñÿ íà ñòðàíèöå 1 ÷åðòåæà Îðíàìåíòû_ß÷åéêè. 150 Ïðèìåðû ÿ÷ååê Ïðèìåðû ÿ÷ååê ïðèâåäåíû íà ñòðàíèöå 2 ÷åðòåæà Îðíàìåíòû_ß÷åéêè: 151 Ïîñòðîåíèå è ðàáîòà ñ îðíàìåíòàìè Áåñåäà îá îðíàìåíòàõ Âî âðåìÿ áåñåäû ó÷èòåëü ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà äåìîíñòðèðóåò íà ýêðàíå çàðàíåå ïîñòðîåííûå ÿðêèå è êðàñî÷íûå îðíàìåíòû, ðèñóíêè ïàðêåòîâ è áîðäþðîâ, îáðàùàåò âíèìàíèå äåòåé íà óçîðû íà èõ îäåæäàõ è ò. ä., âûâåøèâàåò íà äîñêå â âèäå ïëàêàòîâ íåñêîëüêî îáðàçöîâ îáîåâ è ïðåäëàãàåò ó÷àùèìñÿ íàéòè ñèììåòðèþ è ïîâòîðÿåìîñòü â ðèñóíêàõ. Äîìàøíåå çàäàíèå: ðàññìîòðåòü óçîðû íà êîâðàõ, ëèíîëåóìå, îáîÿõ, øòîðàõ è ò. ä. è ñäåëàòü âûâîäû (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ó÷àùèåñÿ ñäåëàþò âûâîäû î òîì, ÷òî ýëåìåíòû óçîðà îáëàäàþò ñèììåòðèåé è ÷òî ýòè ýëåìåíòû ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþòñÿ). Äàëåå ó÷èòåëü ïðåäëàãàåò ó÷àùèìñÿ âûáðàòü ðèñóíêè äëÿ ïðîåêòíîé ðàáîòû: îðíàìåíòû èç ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ è óçîðû íà êëåò÷àòîé áóìàãå, íàïðèìåð èç ïðåäñòàâëåííûõ â ÷åðòåæå Îðíàìåíòû_Ïðèìåðû. Ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ Ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ îðíàìåíòîâ ïðèâåäåíû íà ÷åðòåæå Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå. Øàõìàòíàÿ äîñêà Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå, ñòð. 1. Êàæäàÿ ÿ÷åéêà øàõìàòíîé äîñêè ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì, ïîýòîìó ïîñòðîèòü äàííûé îðíàìåíò î÷åíü ëåãêî. Øàãè ïîñòðîåíèÿ: 1. Ïîñòðîéòå ÓÌ, à íà åãî áàçîâûõ òî÷êàõ èíñòðóìåíòîì Êâàäðàò_1 ïîñòðîéòå êâàäðàò. 2. Òåì æå èíñòðóìåíòîì ïîñòðîéòå åùå îäèí êâàäðàò, èìåþùèé îáùóþ ñòîðîíó ñ ïåðâûì. 3. Ïîêðàñüòå êâàäðàòû â ðàçíûå öâåòà. 4. Âûäåëèòå ëåâóþ âåðõíþþ è ïðàâóþ íèæíþþ âåðøèíû ëþáîãî êâàäðàòà, à çàòåì âûáåðèòå êîìàíäó Îòìåòèòü âåêòîð èç ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ. 5. Âûäåëèòå âñþ ôèãóðó. Íåñêîëüêî ðàç ïîäðÿä âûáåðèòå êîìàíäó Ïåðåíåñòè èç ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ (â îêíå Ïåðåíîñ âûáèðàéòå êàæäûé ðàç ñïîñîá «ïåðåíîñ íà îòìå÷åííûé âåêòîð»). 152 6. Òåïåðü óêàæèòå âåêòîð ñ îáðàòíûì íàïðàâëåíèåì. Âûäåëèòå ñíà÷àëà ïðàâóþ âåðõíþþ, çàòåì ëåâóþ íèæíþþ âåðøèíû ëþáîãî êâàäðàòà. Ïîâòîðèòå äåéñòâèÿ 4 è 5. Áóãîðêè Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå, ñòð. 3. Øàãè ïîñòðîåíèÿ: 1. Ïîñòðîéòå ÓÌ, à íà åãî áàçîâûõ òî÷êàõ Ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê_1 è ñìåæíûé ñ íèì òðåóãîëüíèê. 2. Ñìåæíûé òðåóãîëüíèê ïîêðàñüòå, ïîñòðîéòå ñåðåäèíó C áàçîâîé ñòîðîíû. 3. Îòìåòüòå âåêòîð ÀÑ, âûäåëèòå ôèãóðó è òðè ðàçà âûáåðèòå êîìàíäó Ïåðåíåñòè èç ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ, òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîéòå òðè îáðàçà ïðåîáðàçîâàíèÿ ñäâèãà, è ðàñêðàñüòå, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå íèæå. 4. Îòìåòüòå âåêòîð Á1Á2, âûäåëèòå ôèãóðó è ïîñòðîéòå òðè îáðàçà ïðåîáðàçîâàíèÿ ñäâèãà. 5. Âûáåðèòå â ãîòîâàëüíå èíñòðóìåíò Òî÷êà , à çàòåì â ìåíþ Ïðàâêà âûáåðèòå êîìàíäó Âûäåëèòü âñå òî÷êè. Ñïðÿ÷üòå òî÷êè ñ ïîìîùüþ êîìàíäû Ñïðÿòàòü òî÷êè èç ìåíþ Âèä. ×òîáû ïðîäîëæèòü îðíàìåíò, âû ìîæåòå âîñïîëüçîâàòüñÿ ïîäñêàçêîé íà ÷åðòåæå Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå, ñòð. 3: òî÷êè íà ýòîì ÷åðòåæå ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ âåêòîðîâ ñäâèãà. 153 Ñêàòåðòü 1 Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå, ñòð. 4. Øàãè ïîñòðîåíèÿ: 1. Ïîñòðîéòå ÓÌ, à íà åãî áàçîâûõ òî÷êàõ Ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê_1. Ïîêðàñüòå òðåóãîëüíèê. 2. Îòìåòüòå òî÷êó À êàê öåíòð, âûäåëèòå ôèãóðó è ïîâåðíèòå åå íà 90 ãðàäóñîâ, âûáðàâ êîìàíäó Ïîâåðíóòü èç ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ. 3. Îòìåòüòå áàçîâóþ ñòîðîíó êàê îñü îòðàæåíèÿ, âûäåëèòå âñþ ôèãóðó è âûáåðèòå êîìàíäó Îòðàçèòü èç ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ. 4. Îòìåòüòå êàêóþ-ëèáî ñòîðîíó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ áàçîâîé, (íàïðèìåð, BC) êàê îñü îòðàæåíèÿ, âûäåëèòå âñþ ôèãóðó è âûáåðèòå êîìàíäó Îòðàçèòü èç ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ. Âûäåëèòå âñå âåðøèíû âíóòðåííåãî ìíîãîóãîëüíèêà (ñêîëüêî ýòèõ âåðøèí?), ïîñòðîéòå Âíóòðåííþþ îáëàñòü è çàêðàñüòå åå. 154 5. Îòìåòüòå âåêòîð DÑ, âûäåëèòå ôèãóðó è ïîñòðîéòå îáðàç ïðåîáðàçîâàíèÿ ñäâèãà. Îòìåòüòå âåêòîð Á1Å, âûäåëèòå ôèãóðó è ïîñòðîéòå îáðàç ïðåîáðàçîâàíèÿ ñäâèãà. 6. Âûäåëèòå âåðøèíû P1, P2, …, P6, D, Á1, ïîñòðîéòå Âíóòðåííþþ îáëàñòü è ïîêðàñüòå åå «ôîíîâûì» öâåòîì. 7. Ñïðÿ÷üòå âñå òî÷êè è îòðåçêè. Ñêàòåðòü 2 Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå, ñòð. 5 Ýòîò îðíàìåíò ïîäîáåí îðíàìåíòó Ñêàòåðòü 1, îòëè÷èå çàêëþ÷àåòñÿ òîëüêî â çàäàíèè âåêòîðîâ ñäâèãà. 1. Ïîâòîðèòå øàãè 1–4 ïîñòðîåíèÿ Ñêàòåðòè 1. 2. Îòìåòüòå âåêòîð M1A, âûäåëèòå ôèãóðó è ïîñòðîéòå îáðàç ïðåîáðàçîâàíèÿ ñäâèãà. Îòìåòüòå âåêòîð M1M2, âûäåëèòå ôèãóðó è ïîñòðîéòå îáðàç ïðåîáðàçîâàíèÿ ñäâèãà. 3. Ïîâòîðèòå øàãè 6–7 ïîñòðîåíèÿ Ñêàòåðòè 1. 8. Ðàñêðàñüòå îðíàìåíò. 155 Ñàëôåòêè Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå, ñòð. 6 Øàãè ïîñòðîåíèÿ: 1. Ïîñòðîéòå ÓÌ, à íà åãî áàçîâûõ òî÷êàõ Êâàäðàò_1. 2. Âûäåëèòå îäíó èç åãî âåðøèí è îòìåòüòå åå êàê öåíòð ïîâîðîòà. 3. Âûäåëèòå êâàäðàò âìåñòå ñ åãî ñòîðîíàìè è ïîâåðíèòå âîêðóã âûáðàííîãî öåíòðà ñåìü ðàç íà 45 ãðàäóñîâ. 4. Ïðåæäå ÷åì ðàñêðàøèâàòü ïîëó÷åííóþ ôèãóðó, ïîñòðîéòå âñå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñòîðîí ïîëó÷åííûõ êâàäðàòîâ. Äëÿ ýòîãî ïîñëåäîâàòåëüíî âûäåëÿéòå êàæäóþ ïàðó ïåðåñåêàþùèõñÿ ñòîðîí è âûáèðàéòå èç ìåíþ Ïîñòðîåíèå êîìàíäó Ïåðåñå÷åíèå. Ïîñëå ýòîãî âû ñìîæåòå ðàñêðàñèòü ôèãóðó, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå íèæå. 5. Îòìåòüòå âåêòîð AB è ïåðåíåñèòå ôèãóðó. 6. Îòìåòüòå âåêòîð ÑD è ñíîâà ïåðåíåñèòå âñþ ôèãóðó. Âûáåðèòå äðóãèå âåêòîðû è ïðåîáðàçóéòå äàííûé îðíàìåíò. Êàêîé îðíàìåíò âû ñ÷èòàåòå ñàìûì êðàñèâûì? Òàíåö çâåçäî÷åê Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå, ñòð. 7 156 Øàãè ïîñòðîåíèÿ: 1. Ïîñòðîéòå ÓÌ, à íà åãî áàçîâûõ òî÷êàõ Êâàäðàò. 2. Íà ñòîðîíàõ êâàäðàòà ïîñòðîéòå Ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè_1. 3. Ðàñêðàñüòå ôèãóðó. 4. Îòìåòüòå âåêòîð AB è ïåðåíåñòè ôèãóðó, ïîòîì îòìåòüòå âåêòîð CD è ïåðåíåñòè íîâóþ ôèãóðó. 5. Ïîñòðîéòå öâåòíîé ôîí. Àëìàçèêè Øàãè ïîñòðîåíèÿ: 1. Ïîñòðîéòå Ïðàâèëüíûé Òðåóãîëüíèê_1. 2. Îòìåòüòå åãî âåðòèêàëüíóþ ñòîðîíó êàê îñü îòðàæåíèÿ è îòðàçèòå òðåóãîëüíèê. 3. Íà ñòîðîíàõ ïîëó÷èâøåãîñÿ ðîìáà ïîñòðîéòå äâà Êâàäðàòà_1 è ñîåäèíèòå íèæíèå âåðøèíû êâàäðàòîâ îòðåçêîì. 4. Âûäåëèòå ýòîò îòðåçîê êàê îñü îòðàæåíèÿ è îòðàçèòå âñþ ôèãóðó. Òî, ÷òî ïîëó÷èëîñü, ðàñêðàñüòå. 157 5. Îòìåòüòå âåêòîð îò òî÷êè 1 äî òî÷êè 2 è ïåðåíåñèòå ôèãóðó. 6. Îòìåòüòå âåêòîð îò òî÷êè 3 äî òî÷êè 4 è ïåðåíåñèòå ôèãóðó. Ïîâòîðÿÿ äåéñòâèÿ 5 è 6, âû ìîæåòå «çàìîñòèòü» àëìàçèêàìè âåñü ÷åðòåæ. Ðàáîòó ñ «Àëìàçèêàìè» ìîæíî ïîñòðîèòü êàê íåáîëüøîå èññëåäîâàíèå. Íàïðèìåð, ïîïðîñèòü äåòåé íàéòè íàèáîëåå «ýêîíîìè÷íóþ» ÿ÷åéêó, ïîçâîëÿþùóþ ñîçäàòü òîò æå óçîð. Ïðèìåð òàêîé ðàáîòû ïðèâåäåí â ÷åðòåæå Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå, ñòð. 8. 158 Âûâîäû Ïðèâåäåííûå âûøå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî îáùàÿ èäåÿ àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ îðíàìåíòîâ ñâîäèòñÿ ê íåñêîëüêèì ïóíêòàì: • òâîð÷åñêîìó — èçîáðåòåíèþ ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè îðíàìåíòà, ìîæåò áûòü, íà îñíîâå ñòàíäàðòíûõ äåòàëåé (â íàøåì ñëó÷àå — ìíîãîóãîëüíèêîâ); • òåõíîëîãè÷åñêîìó — ñîçäàíèþ óäîáíûõ èíñòðóìåíòîâ èçãîòîâëåíèÿ ñòàíäàðòíûõ äåòàëåé (â íàøåì ñëó÷àå — Èíñòðóìåíòîâ ïîëüçîâàòåëÿ Æèâîé Ìàòåìàòèêè); • «èññëåäîâàòåëüñêîìó» — ïðèìåð: ïîèñê «îïòèìàëüíîé» ÿ÷åéêè â îðíàìåíòå «Àëìàçèêè»; • «ìàòåìàòè÷åñêîìó» — ïðèâÿçêå ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè ê âåêòîðó, óïðàâëÿþùåìó åå ìàñøòàáîì è îðèåíòàöèåé (ÓÌ), è çàäàíèþ äâóõ âåêòîðîâ ñäâèãà, òèðàæèðóþùèõ ÿ÷åéêó. 159 Çàùèòà ïðîåêòíûõ ðàáîò Ïî çàâåðøåíèè òåîðåòè÷åñêîé è ïðàêòè÷åñêîé ðàáîòû ó÷àùèåñÿ ãîòîâÿòñÿ ê çàùèòå ñâîèõ ïðîåêòîâ. Ïîäãîòîâêó íà÷èíàþò ñ ïðîáíûõ âûñòóïëåíèé. Äëÿ ýòîãî ó÷åíèêè äåëÿòñÿ íà òâîð÷åñêèå ãðóïïû. Êàæäàÿ ãðóïïà ïðèäóìûâàåò ñâîè îðíàìåíòû. Çàòåì, âûñòóïàÿ íà óðîêå-ñåìèíàðå, ðåáÿòà ðàññêàçûâàþò î ïðîäåëàííîé ðàáîòå, ïîêàçûâàþò ðåçóëüòàòû íà êîìïüþòåðå. Ïîñëå âûñòóïëåíèé ãðóïïû îáìåíèâàþòñÿ óçîðàìè è ñòðîÿò íà êîìïüþòåðàõ îðíàìåíòû, ïðèäóìàííûå äðóãèìè, âîñõèùàþòñÿ ñâîèìè è ÷óæèìè äîñòèæåíèÿìè. Ïðèìåð óðîêà çàùèòû ïðîåêòîâ Òåìà: «Îðíàìåíòû â íàøåé æèçíè» Äëÿ ïîäâåäåíèÿ èòîãîâ ïðîäåëàííîé êîëëåêòèâíîé ðàáîòû â êîìïüþòåðíîì êëàññå ïðîâîäèòñÿ äâóõ÷àñîâîé óðîê. Öåëü óðîêà Ïîñòðîåíèå îðíàìåíòîâ ñ ïðèìåíåíèåì ðàçíûõ âèäîâ ïðåîáðàçîâàíèé ôèãóð (îòðàæåíèå, ïîâîðîò, ñäâèã, ðàñòÿæåíèå); çàùèòà ïðîåêòíûõ ðàáîò. Çàäà÷è óðîêà 1. Îáðàçîâàòåëüíûå — îáåñïå÷èòü â õîäå óðîêà ïîâòîðåíèå ñëåäóþùèõ îñíîâíûõ ïîíÿòèé: • âèäû ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ; • âèäû ïðåîáðàçîâàíèé; à òàêæå çàêðåïëåíèå ñëåäóþùèõ íàâûêîâ è óìåíèé: • ïîñòðîåíèå ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ íà áóìàãå è íà êîìïüþòåðå; • ñîñòàâëåíèå èç ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ îðíàìåíòîâ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèé íà áóìàãå è íà êîìïüþòåðå; • çàïîëíåíèå ëèñòà ÷åðòåæà óçîðàìè; • ïîñòðîåíèå îðíàìåíòîâ íà êëåò÷àòîé áóìàãå; • óìåíèå ñïëàíèðîâàòü ñâîå âûñòóïëåíèå è îòâåòèòü íà âîïðîñû, âîçíèêøèå â õîäå åãî ïðåäñòàâëåíèÿ; • óìåíèå â íåîáõîäèìîì òåìïå ðàññêàçàòü î ïîñòðîåíèè óçîðà; • íàâûêè ñàìîêîíòðîëÿ; • íàâûêè è óìåíèå ðàáîòàòü ñ êîìïüþòåðîì. 2. Ðàçâèâàþùèå — ñïîñîáñòâîâàòü ðàçâèòèþ ó ó÷àùèõñÿ: • ñàìîñòîÿòåëüíîñòè, óìåíèÿ ëîãè÷åñêè èçëàãàòü ñâîè ìûñëè âî âðåìÿ äèñêóññèè; • âîëè è ñïîñîáíîñòè ïðåîäîëåâàòü òðóäíîñòè â ïðîöåññå îáó÷åíèÿ; • ïîçíàâàòåëüíîãî èíòåðåñà è òâîð÷åñêèõ ñïîñîáíîñòåé. 160 3. Âîñïèòàòåëüíûå — ñïîñîáñòâîâàòü âîñïèòàíèþ ó ó÷àùèõñÿ: • óâàæåíèÿ äðóã ê äðóãó â ïðîöåññå êîëëåêòèâíîé ðàáîòû; • ñïîñîáíîñòè âêëþ÷àòüñÿ â îáùåíèå, ÷óâñòâîâàòü ñåáÿ êîìôîðòíî â íîâûõ, íåïðèâû÷íûõ óñëîâèÿõ. Íà óðîêå äåòè ðàáîòàþò ãðóïïàìè. Çà êàæäûì êîìïüþòåðîì ñèäÿò äâà ó÷åíèêà. Äî íà÷àëà óðîêà êàæäàÿ ãðóïïà âûâåøèâàåò íà äîñêå ëèñòû ñ èçîáðàæåííûìè íà íèõ ýëåìåíòàðíûìè ÿ÷åéêàìè îðíàìåíòîâ, ïîäãîòîâëåííûõ èìè äîìà. Ïðåäñòàâèòåëè êàæäîé ãðóïïû ïîêàçûâàþò íà ýòèõ ëèñòàõ îðíàìåíòû, êîòîðûå îíè äîëæíû ñòðîèòü. Íà óðîêå íóæíî îòñëåæèâàòü ñîáëþäåíèå íîðì ãèãèåíû òðóäà øêîëüíèêà — ðàáîòà íà êîìïüþòåðå íå áîëüøå 20 ìèíóò.  òå÷åíèå ïåðâîé ÷àñòè óðîêà ó÷àùèåñÿ ñòðîÿò îðíàìåíòû èç ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. Çàâåðøèâ ðàáîòó, êàæäàÿ ãðóïïà çàùèùàåò ñâîé ïðîåêò: âûñòóïàåò ñ ðàññêàçîì î ïðåäñòàâëÿåìîì îðíàìåíòå, äåìîíñòðèðóÿ åãî ïîñòðîåíèå íà ýêðàíå. Âî âðåìÿ çàùèòû âûñòóïàþùèå ðàññêàçûâàþò åùå è î òîì, ñ êàêèìè òðóäíîñòÿìè îíè ñòîëêíóëèñü â ïðîöåññå âûïîëíåíèÿ ïðîåêòà è êàêèì îáðàçîì èì óäàëîñü èõ ïðåîäîëåòü, îòâå÷àþò íà âîïðîñû ãîñòåé, ïîêàçûâàþò, êàê, èçìåíÿÿ ôîðìó îðíàìåíòà è íàïðàâëåíèå çàäàííîãî âåêòîðà, ïîëó÷èòü íîâûå óçîðû.  òå÷åíèå âòîðîãî ÷àñà ó÷àùèåñÿ äåìîíñòðèðóþò ïðèäóìàííûå èìè îðíàìåíòû. Íà óðîêå ðåáÿòà ðàáîòàþò ñâîáîäíî: îíè ìîãóò ïîäõîäèòü äðóã ê äðóãó, ÷òî-òî ñïðàøèâàòü. Ó÷èòåëü âûñòóïàåò â ðîëè ïîìîùíèêà. Ïîñëå çàùèòû ïðîåêòîâ ó÷àùèåñÿ çàïèñûâàþò ñâîè îðíàìåíòû íà äèñêåòàõ. 161 Çàäàíèÿ 1. Îòðåçîê, äëèíà îòðåçêà. Çàäàíèÿ 1.1–1.6 2. Ëîìàíàÿ. Çàäàíèÿ 2.1–2.4 . Ëó÷. Ïðÿìàÿ. Îòðåçîê. Çàäàíèÿ 3.1–3.7 . Òðåóãîëüíèê. Çàäàíèÿ 4.1–4.5 . Ïðÿìîóãîëüíèê. Çàäàíèÿ 5.1–5.6 6. Ïëîùàäü è ïåðèìåòð ìíîãîóãîëüíèêà. Çàäàíèÿ 6.1–6.7 . Ðàâåíñòâî ôèãóð. Ïëîùàäü ìíîãîóãîëüíèêà. Çàäàíèÿ 7.1–7.4 . Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ. Çàäàíèÿ 8.1–8.5 . Îñåâàÿ è öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ. Çàäàíèÿ 9.1–9.17 10. Îêðóæíîñòü. Çàäàíèÿ 10.1–10.14 11. Óãîë. Çàäàíèå 11.1–11.14 12. Áèññåêòðèñà óãëà. Çàäàíèÿ 12.1–12.6 1. Àëãîðèòìû ïîñòðîåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð. Çàäàíèÿ 13.1–13.7 1. Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà. Çàäàíèÿ 14.1–14.4 1. Äâèæåíèå ôèãóð è èõ òðàåêòîðèÿ. Çàäàíèÿ 15.1–15.16 16. Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ýëëèïñà. Çàäàíèå 16.1 1. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíàìè è óãëàìè òðåóãîëüíèêà. Çàäàíèÿ 17.1–17.4 1. Ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ. Çàäàíèÿ 18.1–18.2 1. Ïàðàëëåëîãðàìì. Çàäàíèÿ 19.1–19.7 20. Äåëåíèå îòðåçêà íà n-÷àñòåé. Çàäàíèÿ 20.1–20.2 21. 21. Âíåâïèñàííûå îêðóæíîñòè. Çàäàíèÿ 21.1–21.2 22. Ïðÿìàÿ Ýéëåðà. Çàäàíèÿ 22.1–22.2 2. Âïèñàííûå óãëû. Çàäàíèÿ 23.1–23.4 2. Âïèñàííûå è îïèñàííûå ìíîãîóãîëüíèêè. Çàäàíèÿ 24.1–24.4 2. Èçáðàííûå çàäà÷è è òåîðåìû. Çàäàíèÿ 25.1–25.7 26. Îðíàìåíòû Îðíàìåíòû_Ìíîãîóãîëüíèêè Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèÿ Îðíàìåíòû_Ïðåîáðàçîâàíèÿ Îðíàìåíòû_Ïðèìåðû Îðíàìåíòû_Ñèììåòðèÿ Îðíàìåíòû_ß÷åéêè 2. Ðàçíîå. Çàäàíèÿ 27.1–27.12 162 Äåñÿòü ïðèìåðîâ èç ãåîìåòðèè Ïðèâåäåííûå â äàííîì àëüáîìå äåñÿòü ïðèìåðîâ ïîçâîëÿþò ñîñòàâèòü ïðåäñòàâëåíèå î ðàçíîîáðàçíûõ âîçìîæíîñòÿõ ïðîãðàììû â ðàáîòå ñ ó÷àùèìèñÿ ðàçíûõ âîçðàñòîâ, óðîâíåé ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè è èíòåðåñà ê ãåîìåòðèè. Ïåðâûå äâà ÷åðòåæà ïîñâÿùåíû òðåóãîëüíèêàì. Èç ýòîé òåìû âûáðàíû äâà ôàêòà: îäèí îáùåèçâåñòíûé (ëåãêèé) è îäèí ìàëîèçâåñòíûé (òðóäíûé è ãëóáîêèé).  ÷åðòåæå 01 ïðåäëàãàåòñÿ èññëåäîâàòü âèäû òðåóãîëüíèêîâ ñ ôèêñèðîâàííûì îñíîâàíèåì (òî÷íåå, èçìåíåíèå âèäà òðåóãîëüíèêà). Äâèãàÿ ïî ýêðàíó åäèíñòâåííóþ âåðøèíó, ó÷àùåìóñÿ ïðåäëàãàåòñÿ ïîíÿòü, «ãäå» òðåóãîëüíèê ïðåâðàùàåòñÿ èç îñòðîóãîëüíîãî â òóïîóãîëüíûé. Ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïîëåçíûì ïîðàáîòàòü ñ ýòèì ÷åðòåæîì äî ïðîõîæäåíèÿ òåìû. Ñëåäóåò ïîóïðàæíÿòüñÿ â òî÷íûõ ôîðìóëèðîâêàõ è îñîçíàòü òðèâèàëüíîñòü ïðîáëåìû «îòóïëåíèÿ» óãëà ïðè îñíîâàíèè; «îòóïëåíèå» óãëà, ïðîòèâîëåæàùåãî îñíîâàíèþ, íåî÷åâèäíî, è ó÷àùåìóñÿ (ëþáîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî óðîâíÿ!) ïðåäëàãàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ÷åðòåæà ñàìîñòîÿòåëüíî îáíàðóæèòü, ãäå îíî ïðîèñõîäèò. ×åðòåæ ñîäåðæèò ãåîìåòðè÷åñêóþ ïîäñêàçêó, êîòîðàÿ îäíîâðåìåííî ïîçâîëÿåò óáåäèòüñÿ â âåðíîñòè ïðåäïîëîæåíèÿ. ×åðòåæ 02 ïîñâÿùåí òåîðåìå Ïîíñåëå — êëàññè÷åñêîìó ôàêòó î âïèñàííûõ è îïèñàííûõ îêðóæíîñòÿõ, ñâÿçûâàþùåìó ýëåìåíòàðíóþ ãåîìåòðèþ ñ «âçðîñëîé» ìàòåìàòèêîé. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû î÷åâèäíà èç ÷åðòåæà (íî íà âñÿêèé ñëó÷àé ïðèâåäåíà è âûçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåé êíîïêîé); êðîìå òîãî, ÷åðòåæ èëëþñòðèðóåò äèíàìè÷åñêèå âîçìîæíîñòè ïðîãðàììû, äåëàþùèå òåîðåìó íåñîìíåííîé â êà÷åñòâå ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ôàêòà ãåîìåòðèè. Î äîêàçàòåëüñòâå ðå÷è íå èäåò, ò. ê. èçâåñòíûå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ïîíñåëå («øêîëüíîé» ïî ñâîåìó ñîäåðæàíèþ) ñóùåñòâåííî èñïîëüçóþò «âíåøêîëüíóþ» ìàòåìàòèêó. Îäíàêî ðàáîòà ñ ÷åðòåæîì, íåñîìíåííî, ìîæåò ñòèìóëèðîâàòü ó÷àùåãîñÿ ê èçó÷åíèþ ðàçäåëîâ àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè, íóæíûõ äëÿ ñåðüåçíîãî ïîíèìàíèÿ òåîðåìû.  ÷åðòåæå 03 îáúÿñíÿåòñÿ òåîðåìà ×åâû. Ïðèâîäèìàÿ ôîðìóëèðîâêà íàöåëåíà íà êàê ìîæíî áîëåå ïðîñòîå ïîíèìàíèå åå êàê íåïîñðåäñòâåííî íàáëþäàåìîãî ÿâëåíèÿ. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü äèäàêòè÷åñêóþ ôóíäàìåíòàëüíîñòü ýòîé òåîðåìû: óñëîâèå ïðîõîæäåíèÿ òðåõ ïðÿìûõ ÷åðåç îäíó òî÷êó, ðàâíîñèëüíîå îáðàùåíèþ â íîëü ñîîòâåòñòâóþùåãî îïðåäåëèòåëÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà, â ñðåäå ÆÌ èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê êîëè÷åñòâåííîå ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå àáñîëþòíî ïîíÿòíûå øêîëüíèêó äëèíû.  ÷åðòåæàõ 04 è 05 ïðåäëàãàåòñÿ ñ òåõ æå ïîçèöèé îñîçíàòü õîðîøî èçâåñòíûå ôàêòû èç øêîëüíîé ïðîãðàììû: ðàâåíñòâî âïèñàííûõ â îêðóæíîñòü óãëîâ, 163 îïèðàþùèõñÿ íà ôèêñèðîâàííóþ äóãó, è ðàâåíñòâî ïðîèçâåäåíèé îòðåçêîâ õîðä, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó.  ÷åðòåæå 06 ïðåäëàãàåòñÿ ïîðàáîòàòü ñ ìåíåå èçâåñòíîé âåëè÷èíîé èç àðñåíàëà øêîëüíîé ãåîìåòðèè: ñ ñóììîé ðàññòîÿíèé îò ïåðåìåííîé òî÷êè îñíîâàíèÿ ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà äî áîêîâûõ ñòîðîí. Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ íåêîòîðàÿ ñàìîñòîÿòåëüíîñòü ó÷àùåãîñÿ; äâèãàòü òî÷êó îí äîëæåí ñàì (â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùèõ ÷åðòåæåé, ãäå äëÿ âêëþ÷åíèÿ äâèæåíèÿ äîñòàòî÷íî íàæàòü êíîïêè). Ñàì æå îí äîëæåí äåëàòü âûâîäû è ïðîèçâîäèòü êîíòðîëüíûå èçìåðåíèÿ; ïðè íåîáõîäèìîñòè îí ìîæåò ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèå óêàçàíèÿ, íàæàâ êíîïêó. Ïîñëåäíèå ÷åòûðå ÷åðòåæà íå ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé íèêàêîé îáùåé èäååé. ×åðòåæ 07 ïîçâîëÿåò ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ïëîñêîñòüþ Ëîáà÷åâñêîãî è ïîñìîòðåòü íà ïðÿìóþ Ëîáà÷åâñêîãî, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè. ×åðòåæ 08 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé «ýêñïåðèìåíòàëüíóþ óñòàíîâêó» äëÿ ðåøåíèÿ ïîïóëÿðíîé âàðèàöèîííîé çàäà÷è «Ãäå ïîñòðîèòü ìîñò?». Ñíà÷àëà ìîæíî, äâèãàÿ ìîñò ïîïåðåê ðåêè, îïðåäåëèòü, ïðè êàêîì åãî ïîëîæåíèè äîðîãà, ñîåäèíÿþùàÿ äâà ðàçäåëåííûå ðåêîé ãîðîäà, áóäåò íàèêðàò÷àéøåé. Çàòåì íåêîòîðûå ó÷àùèåñÿ ìîãóò (ïðè æåëàíèè âîñïîëüçîâàâøèñü ïîäñêàçêîé, ñïðÿòàííîé ïîä êíîïêîé) îáîñíîâàòü ðåøåíèå. Ëþáîå ïðåäïîëîæåíèå ìîæíî ïðîâåðèòü — íàïðèìåð, ìåíÿÿ øèðèíó ðåêè. ×åðòåæ 09 — øóòî÷íûé ÷åðòåæ, íà íåì ïðîèëëþñòðèðîâàíû âîçìîæíîñòè ÆÌ â ðàáîòå ñ ïîäîáèåì è çåðêàëüíîé ñèììåòðèåé. Åñëè ïîäâèãàòü áîëüøèíñòâî îáúåêòîâ ÷åðòåæà, òî íà÷íóò äâèãàòüñÿ øàðíèðíûå ìåõàíèçìû, ÷òî âîñïðèíèìàåòñÿ êàê çàðÿäêà ïåðåä çåðêàëîì ñåìüè æèâîòíûõ. Ñ ïîìîùüþ îñòàâøèõñÿ îáúåêòîâ ìîæíî ìåíÿòü âíåøíèé âèä æèâîòíûõ. ×åðòåæ 10 âîçâðàùàåò íàñ ê ñåðüåçíîé ìàòåìàòèêå — íà íåì ïðîèëëþñòðèðîâàíà òåîðåìà Ïàñêàëÿ î âïèñàííûõ øåñòèóãîëüíèêàõ. Çäåñü îñìûñëåíèå òåîðåìû (êàê è îñâîåíèå åå äèíàìè÷åñêîãî ñîäåðæàíèÿ) öåëèêîì ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ó÷àùåìóñÿ. Ïðèìåðû èç ðàçëè÷íûõ îáëàñòåé ìàòåìàòèêè Ýòîò àëüáîì ñîäåðæèò áîëåå 50 ìîäåëåé ïî òåìàì: • Çàáàâíûå è êðàñèâûå ïðîñòûå ÷åðòåæè, èñïîëüçóþùèå äóãè • Çàáàâíûå è êðàñèâûå ñëîæíûå ÷åðòåæè, èñïîëüçóþùèå æèâûå ñëåäû (locus) è êîîðäèíàòíóþ ñèñòåìó • Ãåîìåòðèÿ â ðàìêàõ áàçîâîé øêîëüíîé ïðîãðàììû • Ñòåðåîìåòðèÿ â ðàìêàõ áàçîâîé øêîëüíîé ïðîãðàììû • Ãåîìåòðèÿ âíå øêîëüíîé ïðîãðàììû • Ñòåðåîìåòðèÿ âíå øêîëüíîé ïðîãðàììû 164 • • • • • • Àíàëèòè÷åñêàÿ è àëãåáðàè÷åñêàÿ ãåîìåòðèè Àëãåáðà â ðàìêàõ áàçîâîé øêîëüíîé ïðîãðàììû Íà÷àëà àíàëèçà â ðàìêàõ áàçîâîé øêîëüíîé ïðîãðàììû Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ñòàòèñòèêà Çàäà÷è íà ðàçâèòèå ãåîìåòðè÷åñêîé èíòóèöèè è íà àíàëèç àëãîðèòìîâ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé Ïðîåêòíûå ðàáîòû «Äèíàìè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ» Àëüáîì ñîäåðæèò ïðèìåðû äëÿ ïîääåðæêè ïðîåêòíîé ðàáîòû øêîëüíèêîâ, â òîì ÷èñëå íåñêîëüêî ìîäåëåé, ñäåëàííûõ àíãëèéñêèìè è ðîññèéñêèìè øêîëüíèêàìè. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Àòòðàêöèîí, Ïòèöà Ëåîíàðäî Ðàçíîöâåòíûé âåòåð Ãåîìåòðè÷åñêèå ìåñòà òî÷åê Ïàðàáîëà è óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê íåé Ó÷åáíûé ÷åðòåæ ê òåìå «Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå êâàäðàòíîãî íåðàâåíñòâà» Äðîáíî-ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ Òðåõìåðíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ òåîðåìû «Ñâîéñòâà ïàðàëëåëîãðàììà, îáðàçîâàííîãî ñåðåäèíàìè ïðîèçâîëüíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD» Êëàññ öèêëè÷åñêèõ âîñüìèóãîëüíèêîâ: al–a3+a5–a7=0a2– à4+à6–à8=0 Ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà â âåêòîðíóþ ñóììó àôèííî-ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà è äâàæäûïðîéäåííîãî òðåóãîëüíèêà Çàäà÷è «÷åðíûé ÿùèê» 1–5 Òåîðåìà Ïèôàãîðà Íàëîæåíèå ãåîìåòðè÷åñêîãî è àíàëèòè÷åñêîãî ÷åðòåæåé äðóã íà äðóãà Ãðàôèê â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ Ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ïàðàáîëû Êðèâîëèíåéíûé òðåóãîëüíèê 50 èòåðàöèé â çàäà÷å äâóõ òåë Èëëþñòðàöèÿ: òåîðåìà î òî÷êàõ ïåðåñå÷åíèÿ ÷åòûðåõ îêðóæíîñòåé Îáúåìíàÿ ìóëüòèïëèêàöèÿ: ñòåðåîïàðà Çàäà÷à çàìîùåíèÿ ïëîñêîñòè Íåïðåðûâíûé ñïåêòð êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèé Ïðåäåë íàêëîíà êàñàòåëüíîé êóáè÷åñêîé ôóíêöèè 165 • • • • • • • • • • • • • • • • • Ïðîèçâîäíàÿ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè è åå ñâîéñòâà Ïëîùàäü ïîä êðèâîé Ãåîìåòðè÷åñêîå è àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå êðèâîé Ïðîåêöèÿ ïðèçìû è ïèðàìèäû íà íåé ñ ñå÷åíèåì Êàëåéäîñêîï â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ Äâå îêðóæíîñòè, ñâÿçàííûå íèòÿìè Äèíàìè÷åñêèé ïîäñ÷åò òî÷åê, íàõîäÿùèõñÿ â çàäàííîé îáëàñòè Öèêëîèäà — Òðàåêòîðèÿ òî÷êè íà êîëåñå. Çàäà÷à Åâêëèäà Îáðàçîâàíèå ñðåäíåãî è äèñïåðñèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Ýâîëþòà îáðàçà ýëëèïñà ïðè èíâåðñèè Ìîäåëèðîâàíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Îñâîåíèå ïîíÿòèé ñðåäíåãî è äèñïåðñèè äëÿ äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ t-êðèòåðèé â ñòàòèñòèêå Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè Ñïèðìåíà Áðîñàíèå ïîä óãëîì Ïàðàëëåëîãðàìì Óàòòà Èíñòðóìåíòû Àëüáîì Èíñòðóìåíòû ñîäåðæèò íàáîð ïðèìåðîâ èñïîëüçîâàíèÿ ðàçíîîáðàçíûõ èíñòðóìåíòîâ, êîòîðûå ìîãóò îêàçàòüñÿ ïîëåçíûìè êàê äëÿ äåìîíñòðàöèîííûõ è ó÷åáíûõ öåëåé, òàê è ïðè âûïîëíåíèè ñëîæíûõ ñàìîñòîÿòåëüíûõ ðàáîò. Íàïîìíèì ðàçíèöó ìåæäó èíñòðóìåíòîì è êîìàíäîé: èíñòðóìåíò ïîðîæäàåò âñå èñõîäíûå òî÷êè ñàì, à êîìàíäà èñïîëüçóåò óæå ñîçäàííûå; êðîìå òîãî, â ïðîöåññå ðàáîòû èíñòðóìåíòà ìû âèäèì â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ïîñòðîåííóþ êîíñòðóêöèþ, è ùåë÷îê ìûøè òîëüêî çàêðåïëÿåò òî, ÷òî óæå ïîÿâèëîñü íà ýêðàíå. Ýòîò àëüáîì íà÷èíàåòñÿ ñ ââåäåíèÿ, â êîòîðîì ïðèâîäÿòñÿ íà÷àëüíûå ñâåäåíèÿ îá Èíñòðóìåíòàõ Ïîëüçîâàòåëÿ. Çàòåì îïèñûâàþòñÿ ÷åòûðå èíñòðóìåíòà ñ ïðèìåðàìè ïðèìåíåíèÿ è íåñêîëüêî óïðàæíåíèé: îïèñàííàÿ îêðóæíîñòü, ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, êâàäðàò, ïàðàáîëà. Ðàçäåë «Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè» ñîäåðæèò èíñòðóìåíòû äëÿ ñîçäàíèÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ ñ ðàçëè÷íûìè ÷èñëàìè ñòîðîí. Âñå èíñòðóìåíòû ñòðîÿò ìíîãîóãîëüíèêè èëè ïî ñòîðîíå, èëè ïî öåíòðó è ðàäèóñó îïèñàííîé îêðóæíîñòè. Äàëåå ïðèâåäåíû íåñêîëüêî Èíñòðóìåíòîâ Ïîëüçîâàòåëÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèé ïî çàäàííûì îáúåêòàì: ïàðàáîëà (äàí ôîêóñ è äèðåêòðèñà), ýëëèïñ (äàíû îáà ôîêóñà è òî÷êà íà ýëëèïñå), ãèïåðáîëà (äàíû îáà ôîêóñà è òî÷êà íà íåé), ýëëèïñ 166 èëè ãèïåðáîëà (äàíû äâà ôîêóñà è çíà÷åíèå ýêñöåíòðèñèòåòà) è îáùåå êîíè÷åñêîå ñå÷åíèå (äàíû ïÿòü òî÷åê). Èíñòðóìåíòû ÷åðòåæà «Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè» èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê òðåóãîëüíèêîâ — öåíòðà, öåíòðà îïèñàííîé îêðóæíîñòè, öåíòðà âïèñàííîé îêðóæíîñòè, è îðòîöåíòðà, à çàòåì è ïðÿìîé Ýéëåðà, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âñå ýòè òî÷êè íà íåì. Èíñòðóìåíòû â ïàïêå «Äðîáè» äàþò âîçìîæíîñòü ðàáîòàòü ñ äðîáÿìè â âèäå à/b. Âû ñìîæåòå èñïîëüçîâàòü èõ äëÿ äåìîíñòðàöèîííûõ öåëåé è äëÿ âûâîäà ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ â âèäå äðîáè. Äîêóìåíò «Äâèæêè» ñîäåðæèò ïÿòü èíñòðóìåíòîâ äëÿ ñîçäàíèÿ äâèæêîâ. Äâèæêè — ýòî óñòðîéñòâà, ïîçâîëÿþùèå ïîëüçîâàòåëþ óïðàâëÿòü âàæíûìè äëÿ ÷åðòåæà âåëè÷èíàìè âðó÷íóþ, ïåðåäâèãàÿ ìûøêîé ñïåöèàëüíî ñîçäàííóþ òî÷êó (èëè äðóãîé îáúåêò).  ïàïêå «Âñïîìîãàòåëüíûå èíñòðóìåíòû» ñîáðàíû Èíñòðóìåíòû, îñîáåííî ÷àñòî íåîáõîäèìûå äëÿ ïîñòðîåíèÿ, õîòÿ è íå ÿâëÿþùèåñÿ ïðîñòûìè ñàìè ïî ñåáå. Ýòî ðàçëè÷íûå ñòðåëêè, äóæêè, âåêòîðà è ñóììà âåêòîðîâ. Èíñòðóìåíòû Ïîëüçîâàòåëÿ, âñòðîåííûå â äîêóìåíò «Àíèìàöèÿ ïî íåçàâèñèìûì òî÷êàì», ñîçäàþò êíîïêè, êîòîðûå âêëþ÷àþò àíèìàöèþ çàäàííîé òî÷êè ïî çàäàííîìó ïóòè. Îíè íå ïåðåîïðåäåëÿþò òî÷êè, òî åñòü íå ñâÿçûâàþò åå ñ êàêèì-ëèáî ïóòåì, òàê ÷òî åå ìîæíî òóò æå ïóñêàòü è ïî ëþáîìó äðóãîìó ïóòè! Èíñòðóìåíòû Ïîâûøåííîé ñëîæíîñòè ïîçâîëÿþò ðåøàòü öåëûé ðÿä èíòåðåñíûõ çàäà÷. Êàê íàéòè òî÷êó, ðàñïîëîæåííóþ íà äàííîì óäàëåíèè (âû÷èñëÿåìîì ïî êîîðäèíàòàì) îò äàííîé òî÷êè? Êàê ñîçäàòü ôóíêöèþ, ïîëîâèíà êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ îäíîé äàííîé ôóíêöèåé, à âòîðàÿ ïîëîâèíà ñî âòîðîé? Êàê âû÷èñëèòü ìèíèìóì äâóõ âåëè÷èí? Êàê ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ñîâïàäàþùåé ñ äàííîé òîëüêî íà çàäàííîì èíòåðâàëå îñè X? Êàê âû÷èñëèòü íàêëîí ôóíêöèè? Íîâûå âîçìîæíîñòè Æèâîé Ìàòåìàòèêè  ýòîì àëüáîìå äåìîíñòðèðóþòñÿ íîâûå âîçìîæíîñòè ïðîãðàììû Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà, íåäîñòóïíûå â ïðåæíèõ âåðñèÿõ ïàêåòà Geometry’s Sketchpad. Ñòðîèì ÃÌÒ. Çäåñü ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ íåêîòîðûìè íåñëîæíûìè êîíñòðóêöèÿìè, èñïîëüçóþùèìè ïîíÿòèå ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê è ïîêàçûâàåì, êàê ïîñòðîèòü èõ â ÆÌ. Êàê ñòðîèòü èòåðàöèè. «Èòåðàöèÿ» äëÿ íåêîòîðîé îïåðàöèè çíà÷èò ïîâòîðåíèå åå. 167  ìàòåìàòèêå ïîä èòåðàöèåé ïîíèìàþò òàêîå ïîâòîðåíèå îïåðàöèè, êîãäà äëÿ î÷åðåäíîãî ïîâòîðåíèÿ áåðåòñÿ ðåçóëüòàò ïðåäûäóùåé îïåðàöèè.  àëãåáðå ïðè èòåðàöèè òî, ÷òî ïîëó÷èëîñü íà âûõîäå îäíîãî øàãà, ñëóæèòü âõîäíûìè äàííûìè äëÿ ñëåäóþùåãî.  ãåîìåòðèè èòåðàöèÿ ñîñòîèò â ïîâòîðåíèè îïåðàöèè íàä ãåîìåòðè÷åñêèìè îáúåêòàìè. Ìû èìååì ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò, ïðèìåíÿåì ê íåìó îïåðàöèþ, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì íîâûé ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò. Èñõîäíîå ìíîæåñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ — íà âõîäå îïåðàöèè, íîâîå — íà âûõîäå. Äëÿ ïîâòîðåíèÿ íóæíî óêàçàòü, êàêèå æå èç îáúåêòîâ íà âûõîäå ñòàíóò îáúåêòàìè íà âõîäå? Ýòî óêàçàíèå ñòðîèòñÿ êàê ñîîòâåòñòâèå èìåí âõîäíûõ è âûõîäíûõ îáúåêòîâ, òî åñòü òàáëèöà ñîîòâåòñòâèÿ èìåí. Âû ìîæåòå èñïîëüçîâàòü èòåðàöèè äëÿ ñîçäàíèÿ ïîâòîðÿþùèõñÿ ïðåîáðàçîâàíèé (òàêèõ êàê ìîçàèêè, çàìîùåíèÿ è ò. ï.), äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôðàêòàëîâ è äðóãèõ ñàìîïîäîáíûõ îáúåêòîâ, èëè ñîçäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ñåðèé — êàê ÷èñëîâûõ, òàê è ãåîìåòðè÷åñêèõ. Êàê èñïîëüçîâàòü ïàðàìåòðè÷åñêèé öâåò. Èñïîëüçîâàíèå ïîëíîöâåòíîé ïàëèòðû äëÿ âñåõ îáúåêòîâ — ýòî åùå íå âñå öâåòîâûå âîçìîæíîñòè ÆÌ. Ïàðàìåòðè÷åñêèé öâåò ïîçâîëÿåò ÷èñëåííî óïðàâëÿòü öâåòîì îáúåêòà, äàâàÿ òðåòüå èçìåðåíèå ìîäåëÿì íà ïëîñêîñòè, ïðèäàâàÿ èì ãëóáèíó è íàïîëíÿÿ èõ íîâûì ñìûñëîì. 168 ÄËß ÇÀÌÅÒÎÊ 169 ÄËß ÇÀÌÅÒÎÊ 170 Ïî âñåì âîïðîñàì, êàñàþùèìñÿ ìåòîäèêè èñïîëüçîâàíèÿ äàííîãî ïîñîáèÿ, à òàêæå ïî ïîâîäó ïðèîáðåòåíèÿ äðóãîãî îáðàçîâàòåëüíîãî îáîðóäîâàíèÿ îáðàùàéòåñü ê ñïåöèàëèñòàì Èíñòèòóòà íîâûõ òåõíîëîãèé (ÈÍÒ): 115162 Ìîñêâà, óë. Ìûòíàÿ, 50, òåë. (495) 221-2645, int@int-com.ru, www.int-edu.ru
